studio comparativo della flessione di eulero, la

STUDIO COMPARATIVO DELLA FLESSIONE DI
EULERO, LA FREQUENZA NATURALE E LE FRATTURE
DA FLESSIONE IN CUPRESSUS SEMPERVIRENS L.
Peter Sterken (traduzione: Fabrizio Cinelli)
Riassunto
Sono stati calcolati i momenti di flessione indotti dal
vento e gli stress generati nel fusto di un esemplare di
Cupressus sempervirens L. al fine di comparare la sicurezza
relativa alle fratture di flessione ed alla deformazione di
Eulero. Era inoltre calcolata la frequenza naturale del nudo
fusto. Quindi l'altezza e la corrispondente dimensione della
chioma erano messe in rilievo così da individuare il limite per
il quale i calcoli tradizionali di rottura non sarebbero più in
grado di predire la sicurezza dell'albero, poiché la esiguità
del diametro farebbe sì che il fusto si inarcherebbe
(deformazione di Eulero) invece di rompersi a causa del
solo stress da flessione.
Secondo i calcoli tradizionali di rottura, gli alberi esili con
una ridotta superficie della chioma potrebbero essere stabili,
grazie ai ridotti stress da flessione, durante raffiche di vento
di circa 32,5km/h. Nondimeno, la esiguità della sezione
ed il modulo elastico (MOE) potrebbero causare lo
stroncamento del fusto quando la frequenza naturale si
avvicina pericolosamente a quella delle raffiche violente
del vento. I risultati del presente studio suggeriscono che un
ridotto diametro del fusto e il MOE rappresentano fattori
critici quando valutiamo la sicurezza di alberi snelli.
Parole chiave: comparazione - carico del vento - fratture da
flessione - deformazione di Eulero - frequenza naturale.
Introduzione
Gli alberi dal fusto snello possono cadere per la formazione di una grande onda che si sviluppa per tutta la
lunghezza del loro asse principale. In realtà, l'albero
"devia se stesso" dal carico e questo tipo di collasso sembra
dipendere principalmente dal suo modulo di elasticità,
dall'altezza dell'albero e dal momento di inerzia
(Gordon, 1999).
Questo fenomeno può essere visualizzato assimilandolo
all'inclinazione di un sottile bastone da passeggio che
flette di lato sotto il nostro peso. Quando togliamo la
pressione, il bastone ritorna alla forma originaria. Ma
se noi lo forziamo a piegarsi troppo -il bastone devia late
ralmente- si rompe e noi cadiamo per terra. L'esiguità della sua sezione e
la capacità di deformarsi elasticamente determinano quanto del nostro peso
può sopportare prima che si deformi.
I calcoli tradizionali per la valutazione della resistenza alla rottura del
fusto sono basati sulla flessione di una trave formata da un tronco di
legno squadrato.
Questi calcoli non tengono in debita considerazione la flessione elastica del
fusto, cioè il suo comportamento elastico. E' ormai assunto che la
sicurezza da frattura è il risultato di ipotetici carichi di vento che agiscono su
tronchi e branche anelastiche. Gli attuali metodi, basati tipicamente su
quest'ultimo aspetto, determinano il fattore di sicurezza e lo spessore
residuo necessario della parete, considerando raffiche di vento della
velocità di un uragano (vedi per esempio: metodo SIA, Wessolly and
Erb, 1998).
Il presente articolo propone di unire l'effetto del comportamento elastic o dei
fusti e delle branche, con momenti flettenti indotti dal vento. Questo
comportamento elastico è qui rappresentato ipoteticamente dalla
deformazione di Eulero e dalla frequenza naturale di flessione dei fusti. Le
formule più utilizzate non sono in grado di predire esattamente l'effettiva
sicurezza dell'albero, a causa della enorme e naturale diversità di
parametri e fattori imprevedibili. Quindi, l'obiettivo dei presente studio è
quello di offrire un esercizio teorico che può simulare il processo di
integrazione del MOE (Modulus of Elasticity) di un fusto sottile e della
frequenza naturale ai calcoli tradizionali di rottura. Ad ogni modo il
protocollo sarebbe in modo eguale basato sul triangolo della statica
(carico, geometria e proprietà del materiale).
Materiali e metodi
• Soggetto albero
Per questo studio fu scelto un esemplare di Cupressus sempervirens L., alto
17,5m, situato nel Parco Sant Jordi, Spagna. L'albero era circondato da
una densa vegetazione di palme, cipressi ed altre specie arboree
mediterranee. Di tale pianta sono stati misurati l'altezza, i diametri del
tronco e lo spessore della corteccia. Fu scattata una fotografia digitale
per poter tracciare la sua silhouette su computer e calcolare l'area della
superficie verticale della chioma.
• Profilo della velocità del vento
Il modello "power-law" è usato per predire la velocità del vento a una data
altezza sopra il livello del suolo ed è rappresentato dalla formula seguente
(Berneiser & Kónig, 1996):

u
(z)
u
(g)
 h( z ) 
 ( g ) 
h 
Dove:
u(z) = velocità del vento ad una certa altezza (z) sopra il livello
del suolo;
u(g) = massima velocità attesa del vento, non influenzata
dall'asperità del terreno;
h (Z) = altezza sopra il livello del suolo alla quale è raggiunta una
certa velocità del vento (altezza dell'analisi);
h(g) = altezza sopra il livello del suolo alla quale è raggiunta la
massima velocità del vento;
a= coefficiente di attrito superficiale.
E' inoltre associato un fattore di turbolenza che consideri l'influenza di forti raffiche di vento in arrivo.
• Analisi del carico del vento sulla chioma
In accordo con le Norme Europee (AENOR, 1998), che raccomandano questa equazione per predire il carico del vento
sopra una struttura, si analizza il carico sulla chioma di un albero. Per
gli alberi la seguente formula rappresenta il logico adattamento
dell'equazione suddetta:
σmax = massima sollecitazione di flessione sulle fibre più esterne.
• Proprietìt del materiale
Per il Cupressus sempervirens erano accettati valori di 2 kN/cm2
per la forza di compressione longitudinale e 735 kN/cm2 per il
modulo di elasticità (MOE). A conoscenza dell'autore nessun
dato è stato ancora pubblicato per questa specie arborea mediterranea. Per questo motivo finora erano utilizzate le proprietà del
legno di Chamaecyparis lawsoniana (Wessolly & Erb, 1998).
• Geometria
Il diametro e la forma del tronco e lo spessore della corteccia erano
ritenuti gli stessi, così come i parametri della velocità del vento, le
proprietà del materiale.
Lo spessore della corteccia venne sottratto al diametro, per non
correre rischi, poiché la sua addizione alla forza del tronco costituisce un parametro che è ampiamente incognito.
Nell'inserimento dati del modello matematico variavano solo
l'altezza e la corrispondente area della chioma verticale.
F = 0,5CwρAu(z)2
Dove:
F= Forza che esercita una raffica di vento sulla chioma;
CW = coefficiente aerodinamico che descrive la flessibilità che un
albero adotta per diminuire la forza del vento;
ρ = Densità dell'aria, la quale dipende dalla pressione e dall'umidità dell'aria, così come per la temperatura e l'altitudine sul
livello del mare;
A = Area della superficie della chioma esposta al vento;
u(z) = Velocità del vento u ad una certa altezza (z) sopra il suolo.
• Sicurezza da rottura: teoria della flessione
Il calcolo della sicurezza da rottura dell'albero è basato sulla teoria
della flessione di una trave ed è il medesimo impiegato per il metodo
SIA (Wessolly & Erb, 1998). La sollecitazione da flessione sulla
superficie di una trave è calcolata con la seguente equazione:
 max 
M
W
Dove:
σmax = sollecitazione massima di flessione sulle fibre marginali;
M = momento di flessione;
W= modulo della sezione trasversale.
Il modulo della sezione trasversale è rappresentato dalla seguente
formula:
W
 3
d
32
Il fattore di sicurezza del tronco scaturisce da:
 compression
 max
S = fattore di sicurezza della sezione trasversale;
= 44,42cm
= 1,5cm
= 5144,13cm3
• Spessore necessario della parete residua
Lo spessore della parete residua, di cui un albero necessita per
resistere a qualsiasi velocità del vento, può essere calcolato assumendo
che il tronco cavo si comporti come un tubo vuoto, perfettamente
strutturato.
L'equazione qui utilizzata per calcolare lo spessore minimo della
parete residua, se perfettamente concentrico e chiuso, è in accordo
con la teoria della flessione della trave cava ed è la medesima usata per
il metodo SIA (Wessolly & Erb, 1998):

100 

t  0,5d 1  3 1 

S


Dove:
t = spessore minimo residuo della parete;
d = diametro netto misurato;
S = fattore di sicurezza della sezione trasversale.
• La sicurezza nei confronti della flessione di Eulero
Il carico critico per il collasso di un tronco da flessione euleriana è calcolato considerando il modulo di elasticità del legno verde
(MOE), la snellezza e l'altezza dell'albero ed il carico del vento
sulla chioma. La formula per le travi, ritrovata in Gordon (1999) , è
qui utilizzata per gli alberi:
Fcrit   2
Dove:
W = modulo della sezione trasversale;
d = diametro della sezione trasversale.
S
Diametro medio del tronco
Spessore medio della corteccia
Modulo della sezione trasversale
EI
4h 2
Dove :
Fcrit = forzacriticachecondurrebbealladeformazionediEulerodeltronco;
E = momento elastico;
I = momento geometrico;
h = altezza dell'albero in m.
• Frequenza naturale
Nel modello impiegato, la frequenza di flessione del tronco nudo
è rappresentata dalla seguente equazione (AENOR, 1998):
σcompression = forza del legno verde;
n
 l d Ws
h 2 Wt
Dove:
n = frequenza di flessione del tronco, espressa in Hz;
εl = fattore di frequenza;
d = diametro del tronco;
h = altezza della palma o albero;
Ws = peso delle parti strutturali che contribuiscono alla durezza
del tronco;
Wt = peso totale del tronco.
Risultati e discussione
I risultati dell'analisi del carico del vento, dei fattori di sicurezza e
dello spessore della parete residua sono mostrati nella tabella 1.
Questi ultimi sono confrontati coi risultati della flessione euleriana
e della frequenza naturale di flessione.
momento di
flessione
Albero
stress
Sicurezza t
Sicurezza Frequenza
altezza, m kNm
S, kN/cm2 Flessione, richiesto Eulero, % naturale,
%
in cm
Hz
17,5
22
23,78
34,53
77,97
102,86
0,67
1,53
2
297,99 2,57 351,15 5,8
131,95 7,61 98,38 3,7
100,02 18,95 63,83 3,2
Poiché il suo fattore di sicurezza è relativamente alto, il cipresso di
altezza originaria pari a 17,5m necessiterebbe, teoricamente, di
un rapporto t/R di 0,13 per sopportare uragani di 117 km/h. La
sicurezza nei confronti della flessione euleriana, con un valore di
351,15% è più elevata della successiva. Quindi, l'influenza della sua
sottigliezza sembra essere meno importante delle semplici fratture
da flessione. In questo caso, il fattore di sicurezza calcolato
secondo la teoria della flessione potrebbe costituire un buon
orientamento per la sicurezza da frattura dell'albero. Da notare
inoltre che la bassa frequenza di flessione, suggerisce che
l'influenza della dinamica non ha molta importanza: sia
l'oscillazione dell'albero che la natura dinamica dei carichi del
vento possono determinare movimenti di risonanza, che generano
risposte dinamiche che possono essere molto più ampie di quelle
che sarebbero prodotte da carichi statici equivalenti.
Con un'altezza teorica di 22m, la riduzione della dimensione del
fusto dell'albero sembra accrescere l'importanza della deformazione
di Eulero. Secondo i calcoli tradizionali, l'albero sarebbe
teoricamente sicuro (131,95%) e necessiterebbe di uno spessore di
parete residua pari a 7,61cm per sopportare un uragano. Questo
dipende da un'area di superficie relativamente piccola (! !) e quindi
da un basso carico di vento. Nonostante ciò la sicurezza nei confronti
della deformazione euleriana è leggermente sotto il 100%, limite
necessario per sopportare forti raffiche di vento.
Quando abbiamo un'altezza superiore (23,78m), la sicurezza
relativa alla flessione si livella al 100%, minimo necessario perché
la pianta sia teoricamente sicura. Tuttavia, il valore di deformazione
euleriana diminuisce a tal punto che il rischio di flessione aumenta
notevolmente.
La frequenza naturale molto bassa suggerisce anche che aumenta
notevolmente il rischio di collasso. Più la frequenza naturale si
avvicina a quella delle raffiche di vento (1 Hz ad esempio) e
minore è la stabilità. La snellezza del fusto ed il MOE diventano
fattori critici, più degli stress dovuti alla flessione indotta dal solo
vento.
Diagramma 2 - Comparazione della sicurezza nei riguardi della
deformazione euleriana (linea rossa) e della frattura da flessione (linea
blu): suggerisce che la sicurezza in rapporto alla flessione euleriana
dovrebbe essere comparata a quella relativa alle fratture da flessione.
Da osservare il punto di incontro delle curve, dal quale la snellezza
del fusto ed il MOE acquistano maggiore importanza.
I risultati suggeriscono che, in tronchi, branche o rami molto
assottigliati, i calcoli tradizionali basati sull'analisi del carico del
vento e la teoria della semplice flessione di un tubo vuoto
potrebbero non essere capaci di predire la sicurezza, se il MOE e le
ridotte dimensioni diametrali non vengono debitamente
considerate.
Il fattore di sicurezza per la flessione di Eulero può essere
impiegato insieme alla frequenza naturale calcolata (in Hz),
poiché sono entrambi metodi per valutare la sensibilità dell'albero
nei confronti dell'oscillazione dinamica, pericolosa e
imprevedibile.
Diagramma 3- Componenti di base del modello proposto: nella
prima figura, in alto a sinistra, è rappresentato il triangolo della
statica secondo i calcoli tradizionali di rottura; nella figura adiacente,
invece, il triangolo fa riferimento alla deformazione euleriana,
mentre nella terza i componenti del triangolo sono relativi alla
frequenza naturale, cioè alla suscettibilità a raffiche di bassa
frequenza.
Conclusioni
In fusti o branche filate e assurgenti possono acquistare una
considerevole importanza i collassi simili alla flessione euleriana. Non
solo il carico del vento o la forza di compressione del legno possono
indurre semplici fratture di flessione (vedi calcoli tradizionali di
rottura), ma anche il MOE (modulo elastico) e la ridotta
dimensione diametrale possono influenzare enormemente la
sicurezza di un fusto durante il verificarsi di eventi
meteorologici. Si avanza quindi l'ipotesi che comportamenti
dinamici catastrofici e la flessione euleriana acquistino maggiore
importanza dei calcoli tradizionali di rottura con alberi o fusti molto
inclinati.
E' possibile, quindi, che per questa ragione il metodo SIA
(Wessolly & Erb, 1998) impieghi solo forme di chioma, uniformemente distribuite, con silhouette relativamente bassa e
rigida.
Secondo il presente studio, il fusto sembra essere più disposto al
collasso da flessione euleriana, dovuto alla sua sottigliezza più che al
carico statico del vento ed alla semplice teoria della flessione di
una trave rigida. Questa ipotesi potrebbe accordarsi con il
cedimento in natura di fusti o branche esili (vedi Sterken 2005 per
una
breve
descrizione
della
flessione
euleriana).
Contemporaneamente, l'assunzione che la flessione di un fusto sia
direttamente proporzionale alla forza media del vento che agisce
nel centro della chioma ed in rapporto inversamente proporzionale
alla rigidezza del tronco (Peltola et al. 2000), supporta questa
ipotesi.
Note aggiuntive:
- In conclusione, nella valutazione di un albero nella pratica
quotidiana non c'è la necessità di un'analisi approfondita, poiché
una valutazione visuale fatta da esperti ed una certa dose di buon
senso forniranno in genere la diagnosi più attendibile; - Il MOE del
tronco di questo cipresso era misurato dall'autore su parecchie
sezioni trasversali con sensori del modulo di
Young, misurando la flessione longitudinale delle fibre più esterne di
legno a seguito dell'applicazione artificiale di un noto momento di
flessione (vedi: Peltola et al. 2000). Erano registrati valori così
bassi, come 414 kN/cm2, all'altezza di 1,03m, che stavano a
dimostrare come la sicurezza, rispetto alla flessione euleriana, mai
sarebbe stata più bassa di quella calcolata con i valori assunti per
Chamaecyparis lawsoniana.
- Per l'analisi del carico del vento, era impiegato un fattore di
turbolenza aerodinamica di 0,20 che è il valore proposto da Wessolly
e Erb (1998) per Chamaecyparis lawsoniana. Secondo questi autori,
questo fattore di turbolenza aerodinamica rappresenta parzialmente
l'albero nel suo comportamento elastico, durante gli eventi di vento.
Nondimeno, occorre notare che questi valori sono meramente
ipotetici, poiché ancora non testati (Mattheck & Bethge, 2005).
Quindi, sebbene questi fattori di turbolenza aerodinamica siano
impiegati nel presente modello per seguire una certa procedura,
occorre fare attenzione poiché il risultato finale dell'analisi del vento e
della stabilità dell'albero sono, ovviamente anch'essi, ipotetici.
Correspondance Address:
Peter Sterken: petersterken@hotmailcom
Fabrizio Cinelli: [email protected]