UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DELLA TUSCIA – DIBAF
Cdl in Scienze Forestali ed Ambientali – Tecnologie Alimentari ed enologiche
Corso di MATEMATICA (dr. L. Secondi)
PROVA SCRITTA 5 FEBBRAIO 2014
Tempo a disposizione: 2h e 30 minuti
Nome……….…................................Cognome….…..........................................………
Matricola……............................... Corso di laurea………….…………………………
ESERCIZIO 1
Si consideri la seguente funzione:
f ( x) =
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ln ( x − 1)
1− x
determinare il campo di esistenza;
valutare l’esistenza di eventuali simmetrie;
studiare il segno della funzione;
studiare l’intersezione della funzione con gli assi cartesiani;
studiare il comportamento agli estremi e verificare l’esistenza di asintoti (verticale,
orizzontale, obliquo);
calcolare la derivata prima, studiare la crescenza e decrescenza e determinare gli eventuali
punti di massimo e minimo;
calcolare la derivata seconda, studiare la concavità e determinare gli eventuali punti di
flesso;
tracciare il grafico qualitativo di f(x) utilizzando le informazioni ricavate nei punti
precedenti.
ESERCIZIO 2
Si considerino le seguenti funzioni:
f ( x) =
x2 − 4x + 4
x2 − 4
h ( x) =
x+2
x
a) Calcolare il limite della funzione f(x) per x→2
b) Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione h(x) nel punto x0 = −1
ESERCIZIO 3
La tabella seguente riporta la distribuzione dell’altezza (in cm) di 200 alberi situati in un
determinato quartiere di una città italiana:
Altezza
150 |- 200
200 |- 400
400 |- 500
Numero di alberi
50
75
75
a) Determinare media, moda e mediana della distribuzione
b) Rappresentare la distribuzione mediante la costruzione di un grafico opportuno;
c) Si ipotizzi di aver rilevato sugli stessi alberi anche il diametro a petto d’uomo e di aver
ottenuto un valore medio pari a 60 cm ed una varianza pari a 900. Valutare quale delle due
distribuzioni presenta maggiore variabilità ricorrendo ad un indice opportuno.
ESERCIZIO 4
E' stato osservato che tra tutti i clienti che entrano in una farmacia, il 90% chiede un medicinale o
chiede di misurare la pressione arteriosa, l'86% chiede solo un medicinale, mentre l'8% chiede solo
di misurare la pressione arteriosa. E’ noto inoltre che tra tutti i clienti che comprano un medicinale,
il 4.56% misura anche la pressione arteriosa.
a) Determinare la probabilità che un cliente chieda sia un medicinale che di misurare la
pressione arteriosa.
b) Gli eventi "chiedere un medicinale" e "chiedere di misurare la pressione arteriosa" sono
indipendenti?
c) Calcolare la probabilità che un cliente chieda un medicinale dato che ha chiesto di misurare
la pressione arteriosa.
ESERCIZIO 5
a) Verificare la compatibilità del seguente sistema e, in caso affermativo, risolverlo applicando
la regola di Cramer o ricorrendo al teorema di Rouché-Capelli:
2 x − y − 3z = 10
x + y − z = 6
− x + 5 y + 3z = 7
b) Calcolare l’inversa della matrice A, dopo aver verificato che la matrice sia invertibile:
−1 5 2
A=
2 −3
Domanda teorica
1. Illustrare l’impostazione assiomatica del calcolo delle probabilità e, successivamente, i
teoremi che a partire dai postulati di tale impostazione è possibile dimostrare.
