Universit`a Cattolica del Sacro Cuore Clonazione di Stati Quantistici

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Università Cattolica del Sacro Cuore
Sede di Brescia
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Clonazione di Stati Quantistici
Relatore:
Ch.mo Prof. Fausto Borgonovi
Correlatore:
Ch.mo Prof. Giuseppe Nardelli
Laureando:
Giovanni Acquaviva
Matricola
3310640
Anno Accademico 2005/2006
Indice
1 Introduzione
2
2 Formalismo e strumenti della meccanica quantistica
4
2.1
Operatori lineari, unitari ed autoaggiunti . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Formalismo di Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Stati correlati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Clonazione di stati quantistici
10
3.1
Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2
Il problema della clonazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3
Clonazione imperfetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1
Caso simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2
Caso asimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.3
Clonazione state-dependent . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Osservazioni ed applicazioni
28
4.1
No-cloning e no-signaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2
No-cloning e state estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3
Amplificazione dell’emissione stimolata . . . . . . . . . . . . . 33
1
CAPITOLO 1
Introduzione
La definizione del concetto di informazione, che fino agli anni settanta richiamava esclusivamente l’ambito dell’informatica e della computazione,
ha subı̀to negli ultimi decenni un profondo ridimensionamento. I sempre più
frequenti contatti fra la teoria dell’informazione e la fisica quantistica hanno
permesso di espandere gli orizzonti di entrambe le branche (portando addirittura alcuni studiosi ad innalzare l’informazione a grandezza fondamentale per
la descrizione dei processi fisici).
Gli studi classici di computazione e di informatica si concentrano sui
metodi di trasferimento e di manipolazione di bit di informazione; gli sviluppi pratici che ne derivano hanno una efficienza che dipende principalmente
dai limiti tecnici delle implementazioni. Tuttavia tali implementazioni sono
destinate ad affrontare un limite che, in ultima istanza, non dipende dall’abilità tecnologica ma dalla natura quantistica della materia stessa. E’ a
questo livello che i due ambiti possono collaborare per permettere lo sviluppo
2
Introduzione
3
di una teoria dell’informazione quantistica. In questo caso gli elementi che
vengono manipolati sono i qubit, la cui peculiarità è quella di poter esistere
in sovrapposizioni di più stati.
Evitando di addentrarsi nello studio dell’informazione in quanto tale, lo
scopo del presente lavoro è quello di analizzare una particolarità che differenzia i bit classici da quelli quantistici: l’impossibilità intrinseca di effettuarne una copia arbitrariamente precisa. Questa impossibilità si esplicita
nel teorema no-cloning.
Oltre ad introdurre i principali strumenti matematici utilizzati nel corso dell’elaborato, si procede ad esporre l’evoluzione storica del processo di
clonazione di stati quantistici attraverso la descrizione dei principali risultati
teorici ottenuti; come si vedrà, nel caso di implementazioni criptografiche, il
limite imposto dal teorema no-cloning risulta addirittura utile per difendere
i canali di comunicazione da intrusioni esterne.
Come completamento, vengono messi in luce i collegamenti che intercorrono fra la clonazione e altri concetti fondamentali della fisica: la velocità
della luce come limite superiore per il trasferimento di informazione, le relazioni di commutazione delle osservabili fisiche e il processo di emissione
stimolata di fotoni. Quest’ultimo aspetto ha aperto la strada alla possibilità
di una verifica sperimentale del modello teorico di clonazione.
CAPITOLO 2
Formalismo e strumenti della meccanica
quantistica
2.1
Operatori lineari, unitari ed autoaggiunti
Una funzione A : C2 → C2 si dice lineare se per ogni a1 , a2 ∈ C e per ogni
v1 , v2 ∈ C2 si ha
A(a1 v1 + a2 v2 ) = a1 A(v1 ) + a2 A(v2 )
La rappresentazione di una funzione lineare rispetto alla base {|0i, |1i} è
A = a11 |0ih0| + a12 |0ih1| + a21 |1ih0| + a22 |1ih1|. In forma matriciale si ha
quindi


 a11 a12 
A=

a21 a22
La matrice A definisce un operatore lineare, che usualmente si indica con
la notazione Â (a partire dal capitolo 3 verrà utilizzata la notazione abbreviata A ≡ Â).
4
Formalismo e strumenti della meccanica quantistica
5
Dato un operatore Â, definiamo
• il suo trasposto come (ÂT )ij = (Â)ji
• il suo complesso coniugato come (Â∗ )ij = (Â)∗ij
• il suo aggiunto come Â† = (ÂT )∗
ˆ dove Iˆ è l’operatore identità.
L’operatore Â è detto unitario se ÂÂ† = I,
Le operazioni lecite su stati quantistici, ovvero qualsiasi evoluzione a cui va
incontro il sistema, sono trasformazioni unitarie: infatti queste sono le uniche
a preservare la norma dei vettori.
2.2
Formalismo di Von Neumann
Se un sistema quantistico è composto da un insieme di sottosistemi fisici
tutti descritti dallo stesso stato |ψi, tale insieme viene definito puro. Se,
d’altra parte, si ha a che fare con un insieme eterogeneo di n sottosistemi, ognuno nello stato |ψi i con popolazione percentuale pi sul totale, viene
introdotto il concetto di miscela di stati. E’ utile definire quale sia la media delle misure di un’osservabile Â su una certa miscela di stati tramite la
media di insieme. Nel calcolo della media d’insieme di un osservabile, il valore di aspettazione dell’osservabile relativo allo stato |ψi i viene pesato dalla
corrispondente popolazione percentuale; si ottiene quindi la seguente forma
[Â] =
XX
i
j
pi |haj |ψi i|2 aj
Formalismo e strumenti della meccanica quantistica
6
dove |aj i e aj sono gli autovettori e gli autovalori dell’osservabile in questione.
Questo porta a definire l’operatore densità ρ̂ per miscele di stati come
ρ̂ =
X
pi |ψi ihψi |
i
mentre per stati puri, ovviamente, la definizione si riduce a
ρ̂ = |ψihψ|
L’operatore densità è un operatore autoaggiunto ad autovalori non negativi.
E’ possibile dimostrare come tale operatore porti ad una formulazione alternativa dei postulati della meccanica quantistica che risulta del tutto equivalente alla formulazione classica basata sui ket di stato; ρ̂ quindi eredita dai
ket tutte le proprietà necessarie a descrivere uno stato quantistico.
Esplicitiamone ora alcune proprietà. Qualsiasi operatore densità soddisfa la
condizione di normalizzazione
T r(ρ̂) = 1
Ciò significa che la somma degli autovalori di ρ̂ è uno. Possiamo dunque
riscrivere l’equazione per la media d’insieme dell’osservabile Â come
[Â] = T r(ρ̂Â)
Considerando un sistema composto da due sottosistemi X e Y, aventi un set
di vettori di base rispettivamente {|xm i} e {|yn i}, la media di insieme per Â
in forma esplicita è data da
[Â] =
X
m,n,m0 ,n0
hxm |hyn | ρ̂ |xm0 i|yn0 i hxm0 |hyn0 | Â |xm i|yn i
Formalismo e strumenti della meccanica quantistica
7
Se un osservabile ÂX agisce esclusivamente sul sottosistema X, l’operatore
non avrà effetti sui vettori di base del sottosistema Y, quindi la media di
insieme prende la forma
[ÂX ] =
X
hxm |hyn | ρ̂ |xm0 i|yn0 i hxm0 | ÂX |xm i hyn0 |yn i
m,n,m0 ,n0
=
XX
m,m0
hxm |hyn | ρ̂ |xm0 i|yn i hxm0 | ÂX |xm i
n
= T rX ρ̂X ÂX
dove ρ̂X è definito come l’operatore densità ridotto dello sottosistema X:
ρ̂X = T rY (ρ̂) =
X
hyn | ρ̂ |yn i
n
L’operatore ridotto possiede le stesse proprietà dell’operatore densità ed è
quindi sufficiente per descrivere in maniera completa lo stato del sottosistema preso in considerazione.
Una rappresentazione utile per un sistema fisico a due stati - il sistema più
utilizzato nell’ambito della computazione quantistica, dove si ha che fare con
sistemi a due livelli detti qubit - è la sfera di Bloch. Un sistema a due livelli,
che nell’usuale notazione di Dirac è dato dalla forma |ψi = α|0i + β|1i, nella
notazione di von Neumann è rappresentato da una matrice 2×2; d’altra parte,
tutte le trasformazioni unitarie che agiscono su sistemi di qubit possono essere
espresse in funzione delle matrici di Pauli, quindi, con l’aggiunta dell’identità,
ˆ σ̂x , σ̂y , σ̂z } e si ha:
l’operatore di densità è sviluppabile sulla base {I,
ρ̂(~n) =
1 ˆ
I + ~n · ~σ
2
(2.1)
Formalismo e strumenti della meccanica quantistica
8
dove il fattore davanti alla parentesi è necessario affinchè valga la condizione
di normalizzazione trρ̂ = 1. Inoltre, la condizione che impone autovalori non
negativi è detρ̂ ≥ 0, da cui |~n|2 ≤ 1: la (2.1) è dunque una relazione biunivoca fra gli operatori di densità e i punti di una sfera di raggio |~n|2 .
Gli stati con |~n|2 = 1 sono stati puri, mentre i punti interni alla sfera identificano stati misti.
2.3
Stati correlati
Se i ket che descrivono sottosistemi di un sistema complessivo non sono fattorizzabili come prodotto tensoriale dei singoli ket, si dice che tali stati sono
correlati (entangled). Il fatto che due o più sistemi non siano fattorizzabili
implica che qualsiasi trasformazione unitaria che coinvolge un ket di questo
insieme inevitabilmente influenza anche i ket ad esso correlati.
Gli stati di Bell sono l’esempio più immediato di coppia correlata di stati.
Supponiamo di avere come stato iniziale una coppia |0i ⊗ |0i, o più in breve
|0i|0i, e di sottoporre il primo ket della coppia alla seguente trasformazione
unitaria
|0i|0i →
(|0i + |1i)
√
|0i ;
2
questa, nell’ambito della computazione quantistica, è una porta logica chiamata Hadamard, il cui effetto è evidentemente quello di portare |0i in una
sovrapposizione dei due stati |0i e |1i. Successivamente applichiamo alla cop-
Formalismo e strumenti della meccanica quantistica
9
pia di stati ottenuti la trasformazione controlled-NOT (C-NOT), che agisce
nel seguente modo
(|0i + |1i)
(|0i|0i + |1i|1i)
√
√
|0i →
2
2
dove lo stato sovrapposto funziona da controller per lo stato |0i, detto target:
quando il controller è nello stato |0i il target rimane invariato, mentre viene
invertito se il controller è nello stato |1i.
In questo modo abbiamo ottenuto una coppia correlata: infatti, ignorando
la costante a denominatore, è possibile dimostrare che non possono esistere
a1 , b1 , a2 , b2 ∈ C tali per cui
|0i|0i + |1i|1i = (a1 |0i + b1 |1i) ⊗ (a2 |0i + b2 |1i)
La correlazione fra stati è l’elemento cardine di alcuni dei fenomeni più peculiari ed utili della teoria dell’informazione quantistica, come l’algoritmo di
telestrasporto quantistico, la cui validità è già stata verificata sperimentalmente.
CAPITOLO 3
Clonazione di stati quantistici
3.1
Definizioni
Prima di passare ad analizzare l’evoluzione del concetto di clonazione degli
stati, dedichiamo questo paragrafo alla definizione dei termini in uso nella
computazione quantistica che verranno utilizzati in seguito.
Innanzi tutto, il processo di clonazione può essere definito attraverso un
operatore unitario U, che in seguito chiameremo QCM (Quantum Cloning
Machine): nel caso più generale, una QCM agisce su un sistema di input
composto da N stati |ψi, M-N stati |0i e uno stato |Mi, detto ancella, per
dare come output un sistema - non necessariamente fattorizzabile - composto
da M stati |ψi e uno stato |M0 i. Intuitivamente quindi si ha lo schema
U
h
i
|ψi⊗N ⊗ |0i⊗M −N ⊗ |Mi = |Ψi
(3.1)
L’ancella |Mi rappresenta lo stato dell’apparato di clonazione, anche esso
soggetto alla trasformazione unitaria cui va incontro il sistema. Tuttavia la
presenza di un’ancella nel procedimento non è sempre necessaria.
10
Clonazione di stati quantistici
11
Come verrà mostrato in seguito, il risultato di un processo di clonazione
(tranne casi particolari) è generalmente imperfetto e per poterne valutare
l’esito in maniera quantitativa si può ricorrere a diversi metodi, la cui idea di
base comune è la valutazione della distanza fra i vettori di stato dell’input e
dell’output all’interno dello spazio di Hilbert del sistema. La fidelity risulta
la candidata ottimale fra questi metodi, per la sua semplicità di calcolo e
per la sua affidabilità: è definita come Fj = hψ|ρj |ψi, dove |ψi è lo stato
in input e ρj è l’operatore ridotto del clone j-esimo all’interno dell’output
|Ψi. Il valore minimo per Fj è 1/2 e si ottiene nel caso in cui ρj sia lo stato
totalmente misto
Iˆ
2
all’interno della sfera di Bloch.
A questo punto passiamo ad una classificazione dei diversi tipi di QCM
basata sul tipo di output ottenuto:
• una QCM è detta universale se il valore di Fj è indipendente dalla
scelta di |ψi in input. Altrimenti la QCM è detta state-dependent.
• una QCM è detta simmetrica se Fi = Fj , ∀i, j = 1, ..., M , cioè se
tutte lo copie in output hanno la stessa fidelity. Si usa la notazione
N → M , per indicare che da N input si ottengono M output con la
stessa fidelity; il caso asimmetrico è indicato con N → M1 + M2 , dove
agli output M1 (risp. M2 ) è associata la fidelity F1 (risp. F2 ).
• una QCM è detta ottimale se la fidelity delle copie è la massima
consentita dalla meccanica quantistica.
Clonazione di stati quantistici
3.2
12
Il problema della clonazione
In un articolo del 1982 [3], Nick Herbert propone un metodo di comunicazione superluminale chiamato FLASH (First Light Amplification Superluminal Hookup), basato sulle proprietà di correlazione degli stati di Bell.
Nell’esperimento ipotetico che Herbert presenta, Alice e Bob si trovano a
distanza arbitraria l’uno dall’altro e sono in possesso di una coppia di qubit
nello stato correlato |Ψ− i =
√1
2
(|0i|1i − |1i|0i). Suppone poi che Alice de-
cida di misurare σz sul suo qubit, ottendendo come risultato |0i oppure |1i
con uguale probabilità. Di conseguenza lo stato di Bob, se questi decidesse
di misurare σz sul proprio qubit, per le proprietà degli stati correlati verrebbe ad essere |1i oppure |0i; ma senza operare una misura B vede lo stato
caratterizzato da ρz = 21 |0ih0| + 12 |1ih1|. Se Alice misurasse σx , otterrebbe
gli autostati |+i o |−i, determinando cosı̀ l’esito di una misura di Bob sul
proprio sistema; ma, ancora una volta, se Bob non effettua alcuna misura si
trova davanti allo stato ρx = 21 |+ih+| + 21 |−ih−|.
A questo punto Herbert suppone che Bob sia in possesso di un apparato
in grado di clonare perfettamente lo stato del qubit in suo possesso e che lo
utilizzi per ottenere due copie identiche. Nel momento in cui Alice misura σx
(risp. σz ), lo stato dei due qubit di Bob è della forma ρx = 21 |+i|+ih+|h+| +
1
1
1
|−i|−ih−|h−|
risp.
ρ
=
|0i|0ih0|h0|+
|1i|1ih1|h1|
. E’ ovvio che ρx 6= ρz ,
z
2
2
2
in particolare h0|h1|ρx |0i|1i = 1/4, mentre h0|h1|ρz |0i|1i = 0. Quindi Bob,
misurando le due copie, sarebbe in grado di sapere che tipo di misura ha effet-
Clonazione di stati quantistici
13
tuato Alice sul proprio qubit senza utilizzare alcun canale di comunicazione.
Ovviamente, maggiore è il numero di copie in possesso di Bob, maggiore sarà
la probabilità per lui di conoscere il tipo di misura effettuato da Alice. Infatti, nel caso Alice ottenesse |0i da una misura di σz sul proprio qubit, Bob
troverebbe come risultato |1i per il 100% dei suoi qubit misurando σz , ma il
50% di |+i e |−i misurando σx .
Risulta evidente che questo esperimento, nel caso di una reale implementazione, sarebbe una violazione del limite superiore di velocità a cui può
avvenire qualsiasi trasferimento di informazione. Non sorprendono quindi la
grande quantità di articoli di risposta e le numerose ricerche mirate a scovare falle nel ragionamento o a mettere in luce degli aspetti della meccanica
quantistica in grado di spiegare e possibilmente confutare un simile comportamento. Fra i primi protagonisti del dibattito citiamo Dieks, Milonni e
Hardies nel 1982, Mandel nel 1983.
La risposta sicuramente più limpida e diretta a questo dilemma arriva da
Wooters e Zurek (W-Z), i quali espongono [4] una semplice dimostrazione
per assurdo basata sulla possibilità di clonare un fotone appartenente ad
una coppia correlata. Esplicitamente, nell’articolo di W-Z ci si chiede se sia
possibile, tramite un ipotetico apparato sperimentale, amplificare uno stato
quantistico, ossia produrre più copie di un sistema quantistico tutte aventi
le stesse proprietà dell’originale. Ovviamente l’azione di un simile apparato,
che nel caso in questione agisce su fotoni con polarizzazione ben definita
Clonazione di stati quantistici
14
(orizzontale o verticale), è rappresentabile tramite un operatore unitario che
agisce nel seguente modo:
U (|Mi|vi|0i) = |Mv i|vi|vi
(3.2)
U (|Mi|oi|0i) = |Mo i|oi|oi
(3.3)
dove |Mi è lo stato iniziale dell’apparato, |Mv i e |Mo i i suoi stati finali e |0i
è un ket di stato conosciuto su cui vengono copiate le informazioni degli stati
|vi e |oi (rappresenta in definitiva la pagina bianca su cui vengono trascritte
le informazioni).
Analizziamo il caso in cui, tramite una trasformazione unitaria, si voglia
copiare uno stato rappresentato dalla combinazione lineare α|vi + β|oi, con
α2 + β 2 = 1. Il risultato del procedimento sarà una sovrapposizione delle
equazioni (3.2) e (3.3):
h
i
U |Mi α|vi + β|oi |0i = α|Mv i|vi|vi + β|Mo i|oi|oi
(3.4)
Se gli stati |Mo i e |Mv i non sono uguali, i due fotoni ottenuti e l’apparato si
troveranno in uno stato correlato; se i ket dell’apparato sono identici, i due
fotoni saranno rappresentabili dallo stato
α|vi|vi + β|oi|oi
Tuttavia, è ovvio che non si è ottenuto il risultato sperato, cioè uno stato fattorizzabile in cui entrambi i fotoni hanno polarizzazione α|vi + β|oi. Questo
ragionamento porta a concludere che, a causa della linearità che caratterizza
gli operatori in gioco, non è possibile effettuare una copia di uno stato quantistico qualsiasi : infatti la particolarità dell’apparato proposto da W-Z è che
Clonazione di stati quantistici
15
il buon esito dipende dagli stati in input (copia perfettamente stati appartenenti ad una base ortonormale, ma non è in grado di copiare altrettanto bene
delle sovrapposizioni): è quindi un esempio di QCM state-dependent.
Di seguito viene esposta una forma più generale del teorema no-cloning di
W-Z, seguita da due brevi dimostrazioni analitiche che fanno uso esplicito,
rispettivamente, (a) della proprietà delle trasformazioni unitarie di preservare la norma e (b) della linearità della meccanica quantistica.
Teorema no-cloning. Siano |φi e |ψi due stati generici, |0i uno stato
appartenente ad una base nota e U un operatore unitario tale che
U |φi ⊗ |0i = |φi ⊗ |φi
(3.5)
U |ψi ⊗ |0i = |ψi ⊗ |ψi
(3.6)
Allora deve essere hφ|ψi = 0 oppure hφ|ψi = 1.
Dimostrazione (a). Moltiplichiamo in prodotto interno le equazioni (3.5) e
(3.6) e sfruttiamo la proprietà di unitarietà dell’operatore U:
h0| ⊗ hφ| U † U |ψi ⊗ |0i = hψ| ⊗ hψ| |φi ⊗ |φi
hφ|ψi = hφ|ψi2
il che significa che i due stati sottoposti alla trasformazione unitaria sono
identici oppure ortogonali.
Clonazione di stati quantistici
16
Dimostrazione (b). Supponiamo di voler applicare la trasformazione unitaria
U allo stato |φi = α|0i + β|1i. Mantenendo la forma implicita della sovrapposizione, avremmo
U |φi ⊗ |0i = |φi ⊗ |φi
= α2 |00i + βα|10i + αβ|01i + β 2 |11i
Tuttavia, se sfruttiamo la linearità della trasformazione applicata alla
sovrapposizione, avremo
U (α|0i + β|1i)|0i = α|00i + β|11i
Le uniche scelte dei coefficienti che renderebbero uguali le due espressioni
sono α = 0 oppure β = 0
3.3
Clonazione imperfetta
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, il teorema no-cloning nega l’esistenza di un operatore unitario che permetta di ottenere copie perfette di
uno stato quantistico generico. L’impossibilità imposta dal teorema, analogamente alle relazioni di indeterminazioni di Heisenberg, è un’impossibilità intrinseca, dovuta esclusivamente alla struttura della meccanica quantistica.
Tuttavia è possibile rilassare una delle ipotesi del teorema, in modo da
analizzare più a fondo le potenzialità della clonazione: infatti il teorema nocloning non impedisce esplicitamente il procedimento di copia imperfetta di
uno stato generico; questo può essere fatto a patto di introdurre un errore la
Clonazione di stati quantistici
17
cui grandezza dipenderà dal tipo di trasformazione che si decide di applicare
al sistema; l’efficienza della trasformazione può essere poi valutata tramite
la fidelity definita in precedenza. E’ questo, in definitiva, il metodo adottato
per trovare un limite superiore alla capacità di copiare stati quantistici non
ortogonali.
3.3.1
Caso simmetrico
Introducendo questa nuova strategia, nel 1996 Bužek e Hillery (B-H) propongono [5] la prima QCM ottimale, simmetrica e universale per la clonazione
di qubit. L’azione di tale macchina sul generico stato |ψiA = α|0i + β|1i è
data da
UBH |ψiA |0iB |MiM =
r
r h
i
2
1
=
|ψiA |ψiB |ψ ⊥ iM −
|ψiA |ψ ⊥ iB + |ψ ⊥ iA |ψiB |ψiM
3
6
(3.7)
dove |ψ ⊥ i = α∗ |1i − β ∗ |0i. Gli operatori ridotti delle due copie all’output
sono ρA,B = 65 |ψihψ| + 16 |ψ ⊥ ihψ ⊥ |, oppure, servendoci della rappresentazione
di Bloch, ρA,B = 12 Iˆ + 23 ~n · ~σ : quest’ultima notazione è particolarmente
illuminante, in quanto il fattore
2
3
di fronte al vettore di Bloch ci dice che, se
gli stati in input sono puri, gli stati in output non lo sono più, dal momento
che sono rappresentati da una frazione del vettore unitario. Questo termine
frazionario è chiamato fattore di shrinking, in quanto la sua azione è quella
di diminuire il modulo del vettore di Bloch senza cambiarne la direzione, e
Clonazione di stati quantistici
18
viene solitamente indicato con η. Nel 1998 Gisin [6] dimostra la stretta connessione fra il fattore di shrinking e la fidelity di una clonazione, giungendo
alla semplice relazione F =
1+η
,
2
imponendo come ipotesi l’impossibilità di
trasmettere informazione a velocità superiore di quella della luce (eventualità
che si tradurrebbe in un fattore η = 1; si veda § 4.1).
Possiamo calcolare ora la fidelity delle due copie ottenute, che risulta
essere uguale per entrambe e pari a
5
1
5
FBH = hψ|ρA |ψi = hψ|ψihψ|ψi + hψ|ψ ⊥ ihψ ⊥ |ψi =
6
6
6
(3.8)
E’ stato dimostrato [7] che il valore di fidelity ottenuto tramite questa trasformazione è ottimale per per una QCM 1 → 2.
Concentriamo per un momento la nostra attenzione sullo stato dell’ancella
|Mi. La forma dell’operatore densità in output è
ρM
1
1
2
= |ψ ⊥ ihψ ⊥ | + |ψihψ| =
3
3
2
1
I − ~n · ~σ
3
Il fattore di shrinking negativo collega lo stato in output dell’ancella ad
un processo che in computazione quantistica non può essere reso in maniera
perfetta, cioè la porta logica NOT. Dato che questa operazione implica la coniugazione complessa dei coefficienti dello sviluppo, si tratta di una trasformazione anti-unitaria che si risolve in una simmetria del vettore di Bloch
Clonazione di stati quantistici
19
rispetto al centro della sfera: nessuna rotazione o composizione di rotazioni
può dare questo risultato, sebbene esista una porta logica, il NOT Universale
(U-NOT), che approssima in modo ottimale questo processo; dato che è possibile dimostrare1 l’uguaglianza ρN OT = ρM , si dice che lo stato dell’ancella
all’output costituisce l’anti-clone ottimale dello stato in input.
Una QCM che possa generalizzare la macchina di B-H al caso N → M è
stata ideata da Gisin e Massar [7] ed è data dalla seguente trasformazione:
UGM |ψi⊗N |0i⊗M −N |Mi =
=
M
−N
X
j=0
s
!
(N + 1)(M − N )!(M − j)!
|ψi⊗M −j |ψ ⊥ i⊗j |Mj i
(M + 1)(M − N − j)!M !
(3.9)
La fidelity relativa agli output è
FGM =
M (N + 1) + N
,
M (N + 2)
(3.10)
che restituisce il valore di 5/6 nel caso con N = 1 e M = 2. Per una
trasformazione 1 → N con N → ∞ la fidelity decresce e raggiunge un valore
minimo asintotico di 2/3.
La trasformazione (3.9) è stata dimostrata essere ottimale da G-M tramite
evidenze numeriche, ma solo per N ≤ 7, a causa della complessità del problema a livello di calcolo numerico. Tuttavia, una dimostrazione analitica è
stata presentata da Bruß, Eckert e Macchiavello [9] tramite l’assunzione che
1
Non ci preoccupiamo di dimostrare questo risultato, dato che esula dallo scopo
dell’elaborato; per una trattazione si veda [8].
Clonazione di stati quantistici
20
lo stato di output abbia supporto sul sottospazio simmetrico dello spazio di
Hilbert 2M -dimensionale. Indicando con H⊗M lo spazio di Hilbert del sis⊗M
tema composto da M qubit, il sottospazio simmetrico è indicato con H+
ed ha dimensione d = M + 1. Questo è lo spazio generato da tutti gli stati
puri che sono invarianti sotto qualsiasi permutazione dei qubit costituenti:
con questa scelta ci si assicura quindi che gli operatori di densità degli stati
in output siano tutti uguali.
La dimostrazione prevede l’utilizzo di una concatenazione di due trasformazioni: la prima è una QCM universale N → M caratterizzata dal fattore
di shrinking η(N, M ), la seconda agisce sugli M output della prima per restituire infiniti stati in output con fattore η(M, ∞). Dimostrando che i fattori
di shrinking per QCM concatenate vengono moltiplicati fra loro, si arriva
alla disuguaglianza
η(N, M ) η(M, ∞) ≤ η opt (N, ∞)
dove il termine di destra è il fattore ottimale per una trasformazione N → ∞.
In seguito si dimostra che quest’ultimo termine è uguale al fattore ottimale
opt
della state estimation ηse
(N ) =
N
N +2
ponendo analogamente η(M, ∞) =
η(N, M ) =
N (M +2)
M (N +2)
trovato da Massar e Popescu2 . Im-
M
,
M +2
si ottiene un limite superiore di
per qualsiasi M ≥ N . Questo risultato, tramite la re-
lazione di Gisin che lega la fidelity al fattore di shrinking, porta alla FGM .
2
il calcolo della state estimation non è altro che una stima di quanta informazione
riguardante un sistema sia possibile ricavare da una misura del suo stato; Massar e Popescu
hanno dimostrato l’equivalenza fra il procedimento di acquisizione di informazione tramite
una misura su N stati preparati in modo equivalente e la QCM ottimale e universale del
tipo N → ∞; si veda § 4.2.
Clonazione di stati quantistici
21
Le QCM finora analizzate riguardano la clonazione di sistemi a due livelli,
ovvero descritti da un ambiente H = C2 . Tuttavia una ulteriore generalizzazione è stata introdotta da Werner [10], il quale ha esteso all’ambiente Cn
la trasformazione di G-M, ricavando una fidelity ottimale pari a
FW =
(n − 1)N + M + M N
M (N + n)
la quale ovviamente si riduce alla FGM per dimensione n = 2. Per sistemi a
dimensionalità n → ∞ la fidelity decresce: basti osservare che, in questo caso, il rendimento di una trasformazione 1 → 2 raggiunge il valore minimo 1/2.
3.3.2
Caso asimmetrico
Passiamo ora ad analizzare il caso delle QCM i cui output hanno, in generale,
fidelity differenti. I più recenti sviluppi di questo tipo di trasformazione
(Iblisdir et al., 2004; Fiuràšek et al., 2005) sono stati motivati per lo più dalla
necessità di trovare metodi di sicurezza ottimali in criptografia quantistica;
tuttavia, noi concentreremo la nostra attenzione su una QCM che possa
illustrare in modo chiaro e generale il concetto di clonazione asimmetrica di
qubit.
Nel 1998, Bužek, Hillery e Bendik mostrano una implementazione di
questo processo tramite un semplice circuito quantistico; l’azione di quest’ultimo su tre generici stati |aiA |biB |ciM appartenenti ad una base di C2 è la
seguente:
Uasimm (|aiA |biB |ciM ) = |a + b + ciA |a + biB |a + ciM
Clonazione di stati quantistici
22
dove i pedici permettono di distinguere gli stati coinvolti nella trasformazione.
A seconda del tipo di preparazione dello stato congiunto B-M, la trasformazione agisce in diversi modi sullo stato da copiare A. Analizziamo due
casi estremi: se lo stato congiunto è la coppia di Bell
1
√ |0iB |0iM + |1iB |1iM
2
allora, la trasformazione è della forma
1
1
Uasimm |ψiA √ |0iB |0iM + |1iB |1iM = |ψiA √ |0iB |0iM + |1iB |1iM ;
2
2
questa agisce come l’identità, lasciando invariato il sistema. Se lo stato
congiunto è invece rappresentato dallo stato totalmente scorrelato
1
|0iB √ |0iM + |1iM
2
la trasformazione agisce in modo da trasferire completamente da A a B lo
stato da copiare:
1
1
Uasimm |ψiA |0iB √ |0iM + |1iM = |ψiB √ |0iA |0iM + |1iA |1iM
2
2
Clonazione di stati quantistici
23
Arriviamo dunque alla QCM ottimale asimmetrica vera e propria, per la
cui definizione utilizziamo, come stato congiunto B-M, una sovrapposizione
dei due stati considerati precedentemente:
1
1
=
Uasimm |ψiA α √ |0iB |0iM + |1iB |1iM + β |0iB √ |0iM + |1iM
2
2
1
1
= α |ψiA √ |0iB |0iM + |1iB |1iM + β |ψiB √ |0iA |0iM + |1iA |1iM
2
2
(3.11)
Operando una scelta dei coefficienti della sovrapposizione (durante la fase di
preparazione dello stato congiunto B-M), possiamo ottenere una situazione
intermedia fra le due descritte sopra: usando la terminologia di B-H-B, possiamo regolare il flusso di informazione che va a distribuirsi fra A e B. Le
fidelity relative agli stati in output dipendono quindi dai coefficienti della
sovrapposizione secondo le seguenti relazioni:
FA = 1 −
β2
2
FB = 1 −
α2
2
(3.12)
Per dimostrare che tale QCM è ottimale, B-H-B si servono della disuguaglianza no-cloning 3 , che impone un limite superiore alla fidelity di entrambe le
copie:
p
(1 − FA )(1 − FB ) ≥
1
− (1 − FA ) − (1 − FB )
2
Sostituendo FA e FB date dall’eq.(3.12) si ottiene
α β ≥ 1 − β 2 − α2
3
la disuguaglianza no-cloning è stata ricavata da più autori in modo indipendente;
citiamo come riferimento il lavoro di Nicolas Cerf [11].
Clonazione di stati quantistici
24
Si può quindi osservare che la condizione di normalizzazione dello stato in
input B-M α2 + β 2 + αβ = 1 costituisce la saturazione di tale disuguaglianza.
Ci aspettiamo che una QCM valida possa essere ricondotta ai casi precedenti imponendo delle condizioni restrittive o delle generalizzazioni. Il caso
simmetrico viene ritrovato imponendo i valori α = β =
√1 ,
3
per i quali si
ottiene una fidelity di 5/6, la stessa ottenuta da B-H.
Per una generalizzazione a dimensinalità n > 2 consideriamo le seguenti
sostituzioni
n−1
1
√ |0iB |0iM + |1iB |1iM →
2
1 X
√
|kiB |kiM
n k=0
n−1
1
√ |0iM + |1iM →
2
1 X
√
|kiM
n k=0
Gli stati in output saranno rappresentati dagli operatori ridotti
ρA = (1 − β 2 )|ψihψ| + β 2
I
n
e
ρB = (1 − α2 )|ψihψ| + α2
I
n
,
quindi le fidelity relative a tali stati saranno
FA = 1 − β 2
n−1
n
Nel caso simmetrico si ottine FA,B =
e
FB = 1 − α2
n+3
,
2(n+1)
n−1
n
.
pari a 5/6 per dimensione n = 2.
Clonazione di stati quantistici
3.3.3
25
Clonazione state-dependent
Come da definizione, le trasformazioni di questo tipo sono caratterizzate da
valori di fidelity dipendenti dagli stati in input. L’idea è quella di definire
una QCM in grado sı̀ di clonare un ventaglio di stati più ristretto, ma che
permetta anche di raggiungere un tetto di fidelity maggiore rispetto ai limiti
imposti alle QCM universali per gli stessi stati. La trasformazione statedependent più conosciuta è la phase-covariant QCM ed è stata introdotta
per la prima volta da Bruß et al. [12]. Gli stati che sfruttano al meglio le
sue potenzialità sono della forma
1
|ψ x−y i = √ |0i + eiφ |1i ;
2
oppure, in termini di operatori densità,
ρx−y =
1 ˆ
I + cos φ σ̂x + sin φ σ̂y
2
dove φ è l’angolo fra il vettore di Bloch e l’asse x. Si nota immediatamente
che la componente lungo l’asse z del vettore è nulla, ovvero il vettore giace
sull’intersezione della sfera di Bloch con il piano x-y: è per questo motivo
che gli stati descritti da ρx−y sono chiamati stati equatoriali. Il nome phasecovariant deriva dal fatto che la fidelity relativa alla clonazione di questi
stati è indipendente da φ. Lo studio delle phase-covariant QCM è stato poi
generalizzato da Karimipour e Rezakhani (K-R) a stati con spin in direzione
generica ~n = (sen θcos φ, sen θsen φ, cos θ), della forma
|ψi = cos
θ
θ
|0i + sin eiφ |1i
2
2
Clonazione di stati quantistici
26
Analizziamo prima di tutto il caso generale di K-R [15]. La trasformazione
unitaria agisce sui ket di base nel seguente modo:


 U ph |0iA |0iB |MiM = α|0iA |0iB |0iM + β |0iA |1iB + |1iA |0iB |1iM

 U ph |1iA |0iB |MiM = α|1iA |1iB |1iM + β |0iA |1iB + |1iA |0iB |0iM
(3.13)
con la condizione di normalizzazione α2 + 2β 2 = 1.
Prendendo come input A lo stato |ψi = cos 2θ |0i + sin 2θ eiφ |1i, si ottiene
in output lo stato rappresentato dall’operatore
ρph
A
2
2
= β + 2βα |ψihψ| + α − 2βα
θ
2 θ
cos |0ih0| + sin |1ih1|
2
2
2
Possiamo dunque calcolare la fidelity relativa a questa trasformazione,
FAph
1
= + βα +
2
α2
− βα cos θ
2
(3.14)
notando immediatamente la sua indipendenza da φ.
Gli stati equatoriali presi in considerazione da Bruß et al. corrispondono
ad una scelta di cos θ = 0, ovvero θ = π2 ; l’unico parametro libero è dunque
β e siamo in grado di scegliere il valore che massimizza la fidelity:
β=
1
2
⇒
FAx−y ' 0, 854
Il valore ottenuto è di poco superiore al valore della fidelity di una QCM
universale, un risultato non ancora ottimale ma che ha un notevole vantaggio: la clonazione di stati equatoriali è infatti l’unica che permette di avere
stati in output completamente fattorizzabili. La fidelity delle trasformazioni
Clonazione di stati quantistici
phase-covariant in funzione di θ presenta un massimo relativo a
27
π
2
e due mas-
simi assoluti in corrispondenza dei poli della sfera di Bloch. I risultati di K-R
portano a stimare che in un intorno θ ≤ 0, 5 rad dei poli è possibile ottenere
clonazioni con fidelity di poco superiori a 0,9 e che tuttavia conservano buone
proprietà di fattorizzazione.
Ad oggi, le clonazioni rappresentate da QCM phase-covariant sono le più
utilizzate nell’ambito della criptografia quantistica, in quanto sono equivalenti ad un procedimento di intercettazione su un famoso protocollo di criptografia quantistica4 : in tale protocollo, il canale di che collega le due parti
comunicanti viene percorso da qubit di tipo phase-covariant; quindi un possibile intercettatore (eavesdropper ) necessita di copiare solo tali stati. Lo
studio delle phase-covariant permette quindi di conoscere i limiti di sicurezza
dei canali di comunicazione quantistici più noti.
4
Il protocollo a cui si fa riferimento è BB84; per una descrizione, si vedano [13] e [14].
CAPITOLO 4
Osservazioni ed applicazioni
Dalla formulazione del teorema no-cloning nel 1982, si è dovuto attendere più di un decennio per assistere al primo tentativo di circumnavigare il
problema e di trovare i veri limiti imposti alla copia di informazione a livello
quantistico.
Da quel momento in poi gli sforzi di un numero sempre maggiore di
persone hanno contribuito a delineare l’entità di tali limiti, le analogie fra il
processo di clonazione ed altri fenomeni caratteristici della teoria quantistica
e le possibili implementazioni delle QCM. Nel presente capitolo analizzeremo
tre di questi aspetti, in modo da rendere chiara l’universalità del concetto
di clonazione di stati quantistici, che risulta essere un modo alternativo di
descrivere alcuni fenomeni già noti.
28
Osservazioni ed applicazioni
4.1
29
No-cloning e no-signaling
La conseguenza che un’ipotetica clonazione perfetta di stati quantistici ha
messo in evidenza fin dall’inizio del dibattito è la possibilità di costituire
un canale di comunicazione superluminale basato sulla correlazione fra stati.
La formulazione del teorema no-cloning, che determina l’impossibilità di un
simile scenario, come abbiamo visto non impone di per sè degli stretti limiti
superiori alla possibilità di clonazione; è necessario introdurre il concetto di
clonazione imperfetta per poter toccare tali limiti dal basso.
E’ stato Gisin [6] il primo a proporre di affrontare lo studio dell’ottimalità
della clonazione a partire dall’assunzione che la comunicazione superluminale
sia proibita (assunzione di no-signaling), introducendo fra l’altro il fattore
di shrinking per i vettori di Bloch come misura di questa condizione. Se
dunque l’operatore densità ridotto di un qubit in uscita da un processo di
clonazione 1 → 2 viene espresso nella forma 21 (I + η ~n · ~σ ), un valore di η = 1
significherebbe clonazione perfetta e quindi comunicazione superluminale.
Supponendo la simmetria fra i due stati output, l’operatore densità del
sistema complessivo in uscita è:
ρout (ψ) =
i
1h
I4 + η ~n · ~σ ⊗ I + I ⊗ ~n · ~σ + tij ~σi ⊗ ~σj
4
dove è stata sottintesa la somma su indici ripetuti.
(4.1)
Osservazioni ed applicazioni
30
Il fatto che sussista un’equivalenza fra l’azione di applicare una trasformazione unitaria al qubit originale per poi eseguire la clonazione e l’esecuzione della clonazione seguita dall’applicazione della trasformazione unitaria sull’output ottenuto, implica l’invarianza di ρout (ψ) sotto rotazioni attorno alla direzione del vettore di Bloch che descrive lo stato complessivo in
output:
h
i
eiα~n·~σ ⊗ eiα~n·~σ , ρout (ψ) = 0
Ciò impone delle condizioni sulla forma del tensore tij nell’eq. (4.1); ovvero,
se da ora in poi prendiamo ~n lungo la direzione z, avremo
txx = tyy , txy = −tyx , txz = tzx = tyz = tzy = 0.
In secondo luogo, la condizione di no-signaling impone che le miscele di
stati in output corrispondenti a miscele indistinguibili di stati in input siano
esse stesse indistinguibili; la condizione si traduce nella seguente forma:
ρout (↑) + ρout (↓) = ρout (←) + ρout (→)
il che implica txx = tyy = tzz ≡ t.
Infine, se teniamo conto delle proprietà fondamentali dell’operatore densità, abbiamo un’ultima condizione da imporre, ovvero la positività dei suoi
autovalori (ricavabili esplicitando la forma matriciale di ρout (↑)):
1
(1 ± 2η + t)
4
q
1
2
2
1 − t ± 2 t + txy
4
Osservazioni ed applicazioni
31
Imponendo quest’ultima condizione possiamo ricavare il massimo valore di
η, che corrisponde a porre txy = 0 e t = 0. Otteniamo quindi ηmax = 32 ,
da cui, tramite l’equazione (ricavata da Gisin stesso) che collega il fattore di
shrinking alla fidelity, si trova il limite Fmax = 56 , lo stesso trovato da Bužek
e Hillery (si veda eq.(3.8)).
4.2
No-cloning e state estimation
Il processo di misura di uno stato quantistico ha come risultato quello di far
precipitare il sistema in uno dei suoi autostati; d’altra parte le relazioni di
commutazione definiscono quali osservabili siamo effettivamente in grado di
misurare in maniera simultanea su uno stato, imponendo un limite all’informazione che possiamo estrapolare contemporaneamente da osservabili non
compatibili.
Un tipico esperimento mentale che si può eseguire a questo punto è il
seguente: supponiamo di possedere uno stato |ψi a noi sconosciuto e di voler
acquisire più informazione possibile riguardo ad esso. La scelta che si trova
in accordo con la meccanica quantistica sarebbe quella di trovare il numero
più alto possibile di osservabili commutanti in modo da poterle misurare
contemporaneamente con precisione arbitraria; tuttavia, se ci si chiede come
sia possibile ricostruire tutta l’informazione racchiusa in |ψi, l’unica risposta
implicherebbe una serie di medie statistiche su un grande numero di sistemi
Osservazioni ed applicazioni
32
preparati in modo identico e l’unico modo per essere sicuri di avere in mano
dei sistemi identici è di clonare lo stato |ψi.
Avendo quindi a portata di mano un grande numero di copie identiche
di |ψi, potremmo misurare per ciascuna di esse una osservabile o un set di
osservabili commutanti e ricostruire cosı̀ l’intero stato.
E’ evidente la contraddizione insita nel procedimento descritto sopra, in
quanto la formazione di una copia identica di |ψi implica che sia possibile
recuperare e trasferire tutta l’informazione di |ψi senza effettivamente operare alcuna misura. E’ tuttavia innegabile il legame stretto fra la clonazione
di uno stato e l’acquisizione di informazione su di esso: ci concentriamo ora
su quest’ultimo procedimento, che ricade nell’ambito della cosiddetta state
estimation.
Come abbiamo visto in precedenza, un approccio analitico al problema
della state estimation è stato affrontato da Massar e Popescu (M-P) ed è stato in seguito applicato da Bruß, Eckert e Macchiavello (B-E-M) nell’ambito
della clonazione simmetrica.
Il risultato ottenuto da M-P1 consiste nell’aver ricavato un fattore di
shrinking η ∗ (N ) relativo alla massima performance di una misura su N copie
di uno stato. Date N copie di uno stato sconosciuto |ψi, esiste un operatore
di misura ottimale Pa in grado di portare alla miglior stima possibile dello
stato in questione; ad ogni risultato a di una misura si associa una stima
1
Per la trattazione che segue si è fatto riferimento a [14], pag.13.
Osservazioni ed applicazioni
33
|ψa i dello stato in input. Dato che come risultato del processo di misura si
ottiene a con probabilità
T r Pa |ψihψ| = pa (ψ)
allora, in media, la misura restituisce come stima
ρst (ψ) =
X
pa (ψ)|ψa ihψa |
a
E’ possibile dimostrare che questa relazione è esprimibile nella forma
I
,
ρst (ψ) = η ∗ (N )|ψihψ| + 1 − η ∗ (N )
2
quindi la fidelity associata alla state estimation è F =
1+η ∗ (N )
.
2
Questo
risultato ha permesso a B-E-M di dimostrare la validità della relazione
η ∗ (N ) = η(N → ∞)
il punto di partenza per ricavare infine l’eq.(3.10).
4.3
Amplificazione dell’emissione stimolata
Basandoci sull’esperimento di Fasel et al. [16] riguardante un processo di
amplificazione della luce in una fibra drogata con erbio, in questa sezione
descriviamo la stretta relazione che intercorre fra il fenomeno dell’emissione
stimolata e la clonazione di stati quantistici. Sorvoleremo sui dettagli tecnici del setup sperimentale, concentrandoci maggiormente sugli aspetti che
permettono di trovare un ponte di collegamento fra i due processi.
Osservazioni ed applicazioni
34
Parlando di amplificazione, troviamo una prima analogia risalendo all’articolo in cui Wootters e Zurek, in risposta ad Herbert, collegano l’amplificazione di stati quantistici ad un processo di clonazione. Già allora i due
autori avevano preso in considerazione un esperimento riguardante la produzione di copie di fotoni con una data polarizzazione e avevano precisato
che l’emissione stimolata in un mezzo non può avvenire in modo indipendente
dall’emissione spontanea. Una seconda analogia sorge nella specificazione da
parte di Fasel et al. del materiale utilizzato per l’amplificazione, il cui rendimento è richiesto essere il più possibile indipendente dal tipo di polarizzazione
della luce incidente: questo equivale a supporre l’universalità del processo.
Come primo passo dell’esperimento, una sorgente invia sul materiale amplificatore N fotoni2 con la stessa polarizzazione, ad es. |V i, per dare come
output M > N fotoni.
In seguito il fascio cosı̀ ottenuto viene fatto passare in un beamsplitter
per poter separare le due componenti ortogonali di polarizzazione: infatti,
dato che in ogni processo di emissione stimolata è sempre presente una componente di emissione spontanea, è impossibile che tutti gli M fotoni in uscita
siano deterministicamente nello stato |V i e il processo risultante N → M è
caratterizzato dalla probabilità pM (k|N ) che fra gli M fotoni in output N + k
abbiano polarizzazione |V i e M − N − k fotoni abbiano la polarizzazione
ortogonale |Oi, con 0 ≤ k ≤ M − N . Quindi scriviamo
pM (k|N ) = P (N + k)V , (M − N − k)O |NV , 0O
2
in realtà nel corso dell’esperimento è stata presa in considerazione l’intensità luminosa, non il numero di fotoni; tuttavia la relazione che lega le due quantità permette di
semplificare la trattazione.
Osservazioni ed applicazioni
35
Normalizzando la probabilità in modo che pM (k|N ) = P (M, N ) (dove il
membro di destra è la probabilità associata al processo N → M ), definiamo la fidelity del processo come la frazione di fotoni trovati nella stessa
polarizzazione dell’input:
FN →M
N + k̄N M
=
M
con k̄N M =
M
−N
X
k=0
k
pM (k|N )
P (M, N )
(4.2)
Trascurando l’effetto di assorbimento durante l’interazione dei fotoni con il
materiale, si ha che pM (k|N ) è legata alla probabilità di emissione spontanea
pM (0|N ) dal fattore binomiale3 :
pM (k|N )
(N + k)!
=
pM (0|N )
N !k!
con 1 ≤ k ≤ M − N
(4.4)
Sostituendo quest’ultima relazione nella (4.3) si ottiene esattamente l’espressione della fidelity ottimale di Gisin e Massar per una QCM N → M :
FN →M =
MN + M + N
M (N + 2)
(4.5)
I risultati sperimentali di Fasel et al. sono in buon accordo con l’andamento teorico ottimale della fidelity in funzione del numero di stati in input, confermando sperimentalmente lo stretto legame fra clonazione di stati
quantistici ed emissione stimolata della radiazione luminosa.
3
con la supposizione che, se un atomo viene irradiato da n fotoni |V i e m fotoni |Oi,
le probabilità di emettere un altro fotone in una qualsiasi delle due polarizzazioni sono
legate da
p(1V |n, m)
n+1
=
(4.3)
p(1O |n, m)
m+1
Bibliografia
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Lett. 89, 107901.