MOSTRA E CONCORSO : “La bottega matematica” : idee e suggerimenti
Trasformazioni Geometriche: macchina per lo studio della simmetria assiale
Di cosa si tratta ?: la macchina è formata da quattro aste incernierate che formano un rombo
articolato; in due vertici opposti del rombo sono collocati dei perni che scorrono in una scanalatura
mentre nei restanti vertici del rombo possono essere collocati due pennarelli.
A cosa serve? : ad un punto P fa corrispondere il punto Q simmetrico rispetto all’asse a
rappresentato dalla scanalatura. Si possono trasformare figure, verificare quali proprietà che si
conservano o meno, ecc.
Per ricerche e approfondimenti:
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm scegliere: Elenco Alfabetico dei
modelli: Biellismo per simmetrie assiali ortogonali (asse fisso)
http://www.mmlab.unimore.it/online/Home/VisitealLaboratorio/Materiale/PercorsoTrasformazionigeometriche.html
http://associazioni.monet.modena.it/macmatem/kit%20nuovi.pdf
Q
P
Trasformazioni Geometriche: macchina per lo studio l’omtetia
Di cosa si tratta ?: la macchina è formata da quattro aste incernierate nei punti A,B,C,D scelti in
modo da formare un parallelogramma. Il punto O è fissato al piano e nei punti D e P (vertici
corrispondenti dei triangoli simili OAD e OBP) si possono collocare due pennarelli.
A cosa serve? : ad un punto D fa corrispondere un punto P in una omotetia di centro O. Se il punto
D disegna una figura F, il punto P traccia una figura ingrandita F’; viceversa se il punto P disegna
una figura G, il punto D traccia una figura ridotta G’.
Per ricerche e approfondimenti:
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm
scegliere la sezione: Trasformazioni
scegliere la voce: Per le omotetie: Scheiner;
Sezioni coniche: macchina per tracciare un arco di parabola.
Di cosa si tratta ?: la macchina è formata da un piano di legno con un asta orizzontale su cui scorre
una squadra. All’estremità superiore della squadra è fissato un filo di lunghezza pari al lato stesso
della squadra. Il secondo estremo del filo è fissato in un punto fisso O; tale filo, accostato alla
squadra, viene tenuto in tensione da pennarello che traccia la curva.
A cosa serve? : il punto P traccia un arco di parabola avente come direttrice l’asta orizzontale e
come fuoco il punto fisso O. Si può verificare la definizione di parabola come luogo geometrico e
variare la forma della parabola stessa.
Per ricerche e approfondimenti:
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm
scegliere la sezione: Sezioni coniche
scegliere la voce: conicografi a filo teso: parabola
Giochi: spirografo
Di cosa si tratta ?: il gioco è formato da due ruote dentate: una fissa e una che rotola su quella fissa
mantenendo il contatto sul bordo dentato. La penna viene inserita in uno dei fori della ruota che
rotola e traccia una curva sul foglio di carta posto sotto.
A cosa serve? : Vengono disegnate curve che si ottengono dalla composizione delle due rotazioni.
Si possono esplorare le curve al variare delle rotelle usate; utilizzare il gioco per rivedere la
divisione intera con resto, ecc.
Per ricerche e approfondimenti:
http://it.wikipedia.org/wiki/Spirograph
2
Dai Rosoni ai Fregi alle Tassellature del piano
Rosoni
Di cosa si tratta ?: con la parola “rosone” in matematica si indica una figura piana per la quale esiste
solo un insieme finito di trasformazioni che lo portano in se stesso, in tal caso si dice che il gruppo
di simmetria (utilizzata come sinonimo di isometria) dei rosoni contiene un numero finito di
trasformazioni.
A cosa serve ?: l’analisi di un rosone consente lo studio delle rotazioni e delle simmetrie assiali,
permette di studiare il concetto di gruppo, infatti le trasformazioni presenti in un rosone con
l’operazione di composizione hanno la struttura di gruppo.
Questo rosone è trasformato in sé stesso da 9 rotazioni.
Per ricerche e approfondimenti:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/ROSONI/Gruppi%20di%20i
sometrie%20sette.htm
sito dell’Università di Bologna sui rosoni e sui gruppi
Fregi
Di cosa si tratta ?:Si usa il termine fregio per indicare una
striscia di piano che è ricoperta dalle copie ripetute di un
motivo “base”. Le copie sono ottenute mediante delle
isometrie, una delle quali è necessariamente una traslazione
nella direzione della striscia.
A cosa serve ?: l’analisi di un fregio consente lo studio di
alcune isometrie; permette di studiare il concetto di gruppo,
infatti le trasformazioni presenti in un fregio con l’operazione
di composizione hanno la struttura di gruppo, inoltre lo studio
di un fregio aiuta a comprendere meglio le tassellazioni.
I sette gruppi dei fregi in un arazzo portoghese.
L’immagine è tratta da http://www.matematita.it/materiale
Per ricerche e approfondimenti:
fregi: http://www.math.okstate.edu/~wolfe/border/border.html
3
Tassellature
Di cosa si tratta ?:Con il termine tassellatura (o tassellazione) si intende una qualsiasi ripartizione
del piano in un certo numero di figure dette tasselli; si ha una tassellatura soltanto quando le varie
“tessere” che la compongono non si sovrappongono né lasciano spazi vuoti. Gli schemi
bidimensionali, come quelli che si vedono raffigurati nella carta da parati e nei pavimenti sono
composti applicando ad un unico motivo fondamentale delle isometrie.
A cosa serve ?: l’analisi di una tassellazione consente lo
studio di alcune isometrie; ad esempio nell’immagine
raffigurata sotto vi sono rotazioni di 120° (e multipli),
traslazioni, simmetrie assiali.
Esempio di tassellatura ottenuta con il software
Cabrì e ispirato alle opere dell’artista olandese
Maurits Cornelis Escher (1898- 1972) che si
interessò di tassellazioni utilizzando figure
regolari ed irregolari.
Per ricerche e approfondimenti:
Per altri esempi (tra l’altro in questo sito vi è una spiegazione dettagliata su come operare con paint
per creare una tassellazione) si veda
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Maggio_05/Escher.htm
(Matematica e...Tassellature Il mondo di Escher)
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/terza/3_TASSEL.PDF
(unità didattica da sviluppare in una classe seconda superiore)
Wallpaper Groups http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/index.html
wallpaper animate: http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/wallpaper.html
Penrose (tassellazioni non periodiche)
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/TassellaturePenrose/Tassel
laturePenrose.htm
Sito dell’Università di Ferrara su Escher e sulle tassellazioni
http://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/index.htm
Questi sono solo alcuni dei moltissimi siti presenti in internet su questo argomento.
4
Giochi: Hex
Di cosa si tratta ?: il gioco consiste nel riuscire a formare una linea ininterrotta di pedine da un lato
all’altro della scacchiera qui sotto riprodotta. Questo gioco è stato inventato indipendentemente dal
premio Nobel per l’economia John Nash e dal matematico danese Piet Hein.
Come si gioca ? : I due giocatori utilizzano pedine di colore diverso (per esempio rosse e blu). Si
inizia con la scacchiera vuota. Il primo giocatore pone una propria pedina in una qualsiasi cella, di
seguito il secondo giocatore colloca una sua pedina in una delle celle ancora libera. I due giocatori
si alternano così nel gioco, cercando di collegare con una linea i lati della scacchiera del proprio
colore. La catena può essere tortuosa e lunga quanto si vuole, a patto che non ci siano spazi vuoti e
che sia formata da pedine dello stesso colore. Le celle in angolo possono essere occupate da pedine
di entrambe i giocatori. Vince il giocatore che per primo riesce a completare la sua catena.
A cosa serve? : Pur avendo delle regole semplicissime, il
gioco è particolarmente articolato, con una grande
ricchezza di strategie e tattiche. Lo stesso Einstein aveva
sulla sua scrivania, nello studio di Princeton, una scacchiera
dell'Hex.
Per ricerche e approfondimenti:
Martin Gadner Enigmi e giochi matematici Bur Saggi
http://it.wikipedia.org/wiki/Hex_(gioco)
Giochi: Germogli
Di cosa si tratta ?: E’ un gioco a due che può essere effettuato con carta e matita.
Come si gioca ? : Si disegnano tre punti su un foglio. A turno ogni giocatore unisce due punti con
una linea e pone un nuovo punto su di essa. Da ogni punto possono partire al massimo tre linee. Si
continua alternativamente fino a che non si può più tracciare nessuna linea. Vince chi dei due
giocatori traccia l’ultima linea possibile.
situazione iniziale
dopo una mossa
5
gioco vinto dal secondo giocatore
Naturalmente è possibile partire da un maggior numero di punti iniziali, ma già con tre punti il
gioco non è scontato.
A cosa serve? : si possono studiare le varie tattiche risolutive, il numero di mosse minime o
massime per terminare la sfida, quali curve chiuse o aperte sia meglio tracciare per bloccare
l’avversario, ecc.
Per ricerche e approfondimenti:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/Conway/Conway.htm
Giochi: Torre di Hanoi
Di cosa si tratta ?: Il problema delle Torri di Hanoi deriva da una antica leggenda indiana che recita
così: «nel grande tempio di Brahma a Benares, su di un piatto di ottone, sotto la cupola che segna
il centro del mondo, si trovano 64 dischi d'oro puro che i monaci spostano uno alla volta,
infilandoli in un ago di diamanti, seguendo l'immutabile legge di Brahma: nessun disco può essere
posato su un altro più piccolo. All'inizio del mondo tutti i 64 dischi erano infilati in un ago e
formavano la Torre di Brahma. Il processo di spostamento dei dischi da un ago all'altro è tuttora in
corso. Quando l'ultimo disco sarà finalmente piazzato a formare di nuovo la Torre di Brahma in un
ago diverso, allora arriverà la fine del mondo e tutto si trasformerà in polvere».
Come si gioca ? : La torre di Hanoi è un gioco di abilità per un giocatore solo. Il gioco è costituito
da tre bastoncini e da dei dischi di diverso diametro, forati al centro, che vengono inseriti nei
bastoncini. La situazione iniziale vede tutti i dischi infilati nel primo bastoncino, ordinati in modo
che il più largo sia in basso, mentre il più stretto in alto.
Lo scopo del gioco è di riprodurre la stessa configurazione sul terzo bastoncino, muovendo un disco
alla volta e tenendo conto che un disco non può mai essere posto sopra ad un altro più piccolo.
A cosa serve ? : gioco di abilità logica, si può cercare il metodo risolutivo più veloce ed efficace, o
anche il numero minimo di mosse per terminare il gioco.
Per ricerche e approfondimenti:
http://www.frasi.net/giochionline/torre-di-hanoi/
6
Giochi: Pentamini
Di cosa si tratta ?: L’idea è quella del tangram, solo che le tessere da utilizzare si costruiscono
accostando, senza sovrapposizioni, cinque quadrati uguali in modo che due quadrati adiacenti
abbiano in comune un intero lato. Le 12 possibili configurazioni sono riportate sotto (abbinate ad
una lettera dell’alfabeto per essere meglio ricordate).
Come si gioca ?: Utilizzando le tessere si può cercare di formare varie figure. Per iniziare si può
provare a formare i rettangoli di area 60, per esempio quelli 5 x 12 o 3 x 20. Non tutte le figure con
60 quadretti sono però ottenibili.
A cosa serve ?: si possono analizzare le simmetrie delle varie tessere, studiare se è possibile
tassellare il piano, costruire figure, scatole o oggetti tridimensionali se si utilizzano i pentacubi.
Per ricerche e approfondimenti:
http://geocities.com/liviozuc/
www.ipbz.it/filecomuni/download.aspx?area=9&sezione=623&id=1059&template=169&entita=30
La geometria delle api : le api ci insegnano come risparmiare
Di cosa si tratta ?: Le api costruiscono le loro cellette con una forma particolare. La sezione è
esagonale e il fondo di ogni cella è cuspidato anziché piano o curvo.
Operando il tal modo sembra che abbiano risolto un problema
geometrico ed economico: come usare il minimo di cera per
avere il massimo di volume per contenere il miele.
Il problema matematico corrispondente a questa realtà naturale è
dunque un problema di minimo.
Per ricerche e approfondimenti:
Decrizione del problema :
http://www.apicolturaonline.it/geomet.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Favo
http://www.mat.uniroma1.it/people/camiz/Vassallo%202008%20%20Tra%20arte%20e%20matematica.pdf
7
Approfondimento e generalizzazione : http://matematica.unibocconi.it/tassellatura/tass-home.htm
Trattazione più approfondita : pag 556 e seguenti del libro “Matematica dilettevole e curiosa” di
Italo Ghersi :
http://books.google.it/books?id=5FZbhdMCkdQC&pg=PA556&lpg=PA556&dq=geometria+delle+
api&source=bl&ots=1_UZRa4auo&sig=ISP_J8IECjtZJK28Y6y9AhouPk&hl=it&ei=54zwSf7_DITx_AaAwjJCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4#PPA556,M1
Bolle di sapone e non solo ….
Di cosa si tratta ?: Tutti conoscono la bellezza delle bolle di sapone . Meno note sono le proprietà
fisiche e matematiche delle lamine saponate. Può essere interessante creare “oggetti matematici”
mediante queste lamine sottili e studiarne le proprietà.
Quali concetti matematici si possono evidenziare?:
Utilizzando dei telai di forme irregolari, si possono vedere ed
esemplificare alcuni concetti topologici come quello di curva aperta
e chiusa, ecc. Per esempio si possono studiare la forme delle
membrane liquide che si formano utilizzando telai di forma cubica,
tetraedrica ecc.
La superficie in cui si dispone la lamina di saponata è sempre quella
di minima energia.
Per ricerche e approfondimenti:
Possibili ricette per la soluzione di sapone:
http://www.waybricolage.net/root/282_1403.asp
http://www.ludobus.it/bolle.htm
http://www.festaprimavera.com/ricette.htm
Generalità e telaietti:
http://www.funsci.com/fun3_it/esper2/esper2.htm
Superficie minima:
http://it.wikipedia.org/wiki/Superficie_minima
Guida didattica allo studio delle bolle:
http://www.iprase.tn.it/old/in05net/upload/pub/materiali/P
4t4n197_Rivista_matematica_n2.pdf
Telaio fatto con caramelle gommose e
spiedini di legno
Labirinti e topologia
8
Il labirinto di Creta in due antiche monete
Di cosa si tratta ?: al di là delle numerose e
apparentemente diverse raffigurazioni che si hanno
di tale labirinto, il suo schema è topologicamente ben
definito: si tratta di un labirinto ad una sola strada
(senza incroci), a 8 livelli che seguono la successione
0 3 2 1 4 7 6 5 8. Esso si può costruire attraverso un
semplice procedimento grafico.
A cosa serve?: Di labirinti ad n livelli ne esistono un numero ben definito.
Ad esempio di labirinti a 10 livelli se ne possono trovare 262, mentre sono 1828 quelli a 12 livelli.
Il grafo del labirinto più semplice, senza incroci, ad esempio quello di Creta, è un semplice
segmento. Il “labirinto” dato dai famosi “ponti di Konigsberg” viene studiato con un grafo più
complesso. Lo studio dei labirinti è legato alla teoria dei grafi e si lega dunque alle trasformazioni
topologiche nel piano.
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH
/Labirinti/Matematica%20e%201abirinti.htm
I labirinti tra gioco e storia nel sito del Progetto Polymath.
http://www.astrolog.org/labyrnth/algrithm.htm
Algoritmi risolutivi per attraversare ogni tipo di labirinto.
http://www.labyrinthos.net/locations.htm
Una guida per localizzare i labirinti sparsi per il mondo.
Curve di ampiezza costante
Di cosa si tratta ?: La più
semplice figura di ampiezza
costante dopo il cerchio è il
triangolo di Reuleaux, dal nome
dell’ingegnere e matematico
tedesco Franz Reuleaux (18291905): si costruisce partendo da
un triangolo equilatero e tracciando tre archi di cerchio, di raggio uguale al lato del triangolo, aventi
il centro in uno dei vertici di esso e gli estremi sugli altri due. L’ampiezza di questa figura è uguale
alla lunghezza del lato del triangolo equilatero.
A cosa serve?: Poiché il triangolo di Reuleaux può ruotare in un quadrato circoscritto mantenendosi
in contatto contemporaneamente con tutti e quattro i suoi lati e durante la rotazione ciascuno dei
suoi vertici traccia una traiettoria
approssimativamente quadrata è possibile
costruire una punta da trapano per realizzare
fori quadrati la cui sezione è un triangolo di
Reuleaux reso concavo da tre insenature in
modo da permettere il taglio dei bordi e la
fuoriuscita dei trucioli.
http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/cu
rve/visita/schedacurveampcost.htm
Superfici rigate
Di cosa si tratta? Un esempio di
superficie doppiamente) rigata:
l'iperboloide a una falda. Se afferriamo
9
con una mano degli spaghetti (che sono infatti dei segmenti di retta), questi si dispongono
approssimativamente come un iperboloide. Questo fatto dà luogo a un fenomeno inaspettato:
facendo girare una retta opportunamente inclinata, si riesce a farla passare attraverso una fessura a
forma di iperbole. Infatti l'asta, ruotando, descrive un iperboloide, che tagliato con un piano ha
come tracce le due fessure attraverso le quali passa senza difficoltà.
(Dalla mostra Matemática viva, Lisbona, 2000)
A cosa serve? La produzione (frequente in passato in scuole e università) di modelli di superfici in
gesso, legno, corde o altri materiali consente di individuare proprietà intuitivamente difficili da
visualizzare.
http://www.matematita.it/materiale/?p=cat&sc=271,462
http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/guida/paginaindice.php?id=2
http://www.dm.unibo.it
Concentrare le onde
Di cosa si tratta: se in una bacinella di forma ellittica col fondo
coperto d’acqua getto un sasso in corrispondenza di uno dei due
fuochi, le onde circolari che si generano, riflettendosi sulle pareti
del contenitore andranno a convergere tutte sull’altro fuoco.
A cosa serve: Lo stesso vale per qualsiasi tipo di raggi: luminosi,
sonori, calorifici. In ogni caso, tutti i raggi che partono da un fuoco,
dopo una riflessione sull'ellisse vanno a concentrarsi nell'altro, a
causa delle proprietà focali dell’ellisse (e delle
coniche in generale). Di qui la ragione del nome
fuochi; se si mette una fonte di calore in uno dei
fuochi, il calore si concentra nell'altro e può
incendiare un pezzo di carta o un materiale
infiammabile.
http://www.sns.it/html/OltreIlCompasso/Mostra
-Matematica/mostra/specchiustori.htm
Alcuni altri interessanti siti con materiale matematico:
http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/index.html
http://www2.polito.it/didattica/polymath/
http://www.matematicamente.it/
http://www.dm.unito.it/modelli/
http://www.matematita.it/materiale/
http://www.formath.it/
10
