Misure Meccaniche e Termiche • I fenomeni aleatori (o casuali) sono

2
Fenomeni aleatori
•
•
Misure Meccaniche e Termiche
Introduzione alla statistica
I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il
cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzati cioè
dalla proprietà che la loro osservazione in un insieme
fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi
risultati.
Non si ha una regolarità deterministica, bensì di tipo
statistico, in quanto nell'osservazione del fenomeno in
oggetto si può notare che, nonostante l'irregolare
comportamento dei singoli risultati, questi nel loro
complesso manifestano determinati caratteri di
regolarità.
Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali
Introduzione alla statistica
3
4
Probabilità discreta: funzioni statistiche
Probabilità discreta: dado a 6 facce
Funzione di densità discreta f(x)
P robabilità evento
1
punti massa
0.5
1/6
P robabilità cum ulata evento
0
-2
Introduzione alla statistica
-1
1
2
3
4
5
6
Evento: faccia dado
Funzione di probabilità cumulata discreta F(x)
1
0.5
1/6
0
-2
-1
0
1
2/6
3/6
5/6
4/6
2
3
4
Evento: faccia dado
5
7
8
7
8
1
6
Introduzione alla statistica
5
Valore atteso
• Valore atteso:
• Il valore atteso indica il baricentro della distribuzione e può
non coincidere con uno dei suoi punti di massa.
Nel caso del dado a 6 facce:
Introduzione alla statistica
0
6
Varianza e deviazione standard
• Varianza:
Indica il momento di inerzia della distribuzione, cioè la sua
dispersione attorno al valore medio.
• Deviazione standard (scarto quadratico medio):
Introduzione alla statistica
1
7
8
Serbatoio: 100 osservazioni
Variabili aleatorie continue
• Ipotizziamo di avere un serbatoio il cui livello può variare con
continuità fra 0 e 100 e che non presenti valori di livello più probabili di
altri.
Istogramma occorrenze - N = 100
Num ero occorrenze
15
100
90
80
70
60
50
10
5
0
40
5
15
25
35
45
55
65
Livello serbatoio
Istogramma - N = 100
5
15
25
35
30
75
85
95
75
85
95
0.02
h
20
10
0.015
0
0.5
0
-0.5
1
0.5
0
-0.5
-1
f(x)
1
• Quanto vale la probabilità associata ad un preciso valore di livello:
0.01
0.005
0
Introduzione alla statistica
45
55
65
Livello serbatoio
Introduzione alla statistica
9
10
Serbatoio: 1000 e 100mila osservazioni
Serbatoio: 100mila osservazioni
Istogramma occorrenze - N = 1000
Istogramma occorrenze - N = 100000
5
15
25
35
45
55
65
Livello serbatoio
Istogramma - N = 1000
75
85
5000
0.015
0.015
0.01
0.01
0.008
0
0
95
0.01
5000
5
15
25
35
45
55
65
Livello serbatoio
Istogramma - N = 100000
75
85
95
5
15
25
35
45
55
65
Livello serbatoio
Istogramma - N = 100000
75
85
95
f(x)
0
0.012
10000
Numero occorrenze
Numero occorrenze
Numero occorrenze
50
Istogramma - N = 100000
Istogramma occorrenze - N = 100000
10000
100
0.006
0.015
0.004
f(x)
f(x)
f(x)
0.01
0.005
0.002
0.005
0.005
0
0
5
15
25
35
45
55
Livello serbatoio
65
75
85
0
95
5
15
25
35
45
55
Livello serbatoio
65
75
85
5
15
25
95
L'aumento delle osservazioni porta ad una maggiore conoscenza del
fenomeno aleatorio
Introduzione alla statistica
35
45
55
Livello serbatoio
65
75
85
95
0
0
10
20
30
40
50
60
Livello serbatoio
100
12
Funzione densità di probabilità per v.a. continue
Istogramma - N = 10000000
Istogramma occorrenze - N = 10000000
0.012
0.01
• Si intuisce che se avessimo una conoscenza completa del
fenomeno aleatorio N → ∞ , potremmo fare tendere a 0 la
base degli istogrammi. Si continuerebbe ad avere un numero
finito di osservazioni in ogni intervallo.
5
0.008
0
5
15
25
35
45
55
65
Livello serbatoio
Istogramma - N = 10000000
75
85
95
f(x)
Numero occorrenze
5
90
Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi (aumentando la
“risoluzione”) il fenomeno non mantiene la propria regolarità
11
x 10
80
Introduzione alla statistica
Serbatoio: 10 milioni di osservazioni
10
70
0.006
0.015
0.004
f(x)
0.01
0.002
0.005
0
5
15
25
35
45
55
Livello serbatoio
65
75
85
95
0
0
10
20
30
40
50
60
Livello serbatoio
70
80
90
100
• Questo passaggio al limite ci consente di ottenere una
funzione continua: la funzione densità di probabilità (per v.a.
continue).
Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi il fenomeno ora
mantiene la propria regolarità
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
2
13
14
Distribuzione continua uniforme o rettangolare
Indici statistici
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
15
16
f(x) discrete Vs f(x) continue
v.a. continue: calcolo probabilità
• La differenza fra le funzioni densità discrete e continue non è
solo formale (sostituzione delle sommatorie con gli integrali):
 f(x) per v.a. discrete esprimono una probabilità
 f(x)
per v.a. continue esprimono una densità di
probabilità: la probabilità è associata ad intervalli e si
determina quindi mediante un'operazione di integrazione
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
17
18
Famiglie di distribuzioni
Distribuzione Normale o Gaussiana
PDF gaussiana standardizzata
0.4
0.3
f(x)
• Tutte le funzioni che soddisfano le proprietà analizzate
precedentemente sono possibili funzioni densità di
probabilità
f (x, , ) 
0.2
0.1
• Solo alcune di esse sono però adeguate per modellare
particolari fenomeni fisici
Introduzione alla statistica
-2
-1
0
1
X
CDF gaussiana standardizzata
2
3
2 2
4
0.5
0
-4
 x 2
   x  
-3
1
F(x)
• In questo corso sono di interesse:
 Uniforme (già analizzata)
 Normale o Gaussiana
 T-Student
0
-4
1 
e
2
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
4
La normale o
gaussiana è la
distribuzione che
descrive la maggior
parte dei fenomeni
fisici in campo
ingegneristico.
Introduzione alla statistica
3
19
20
Distribuzione normale o gaussiana N(,2)
Caratteristiche della Gaussiana
La distribuzione gaussiana è completamente descritta da due
parametri: media  e varianza 2.
Influenza della deviazione standard
Influenza della media
0.4
0.7
0
1
2
0.35
0.5
1
2
0.6
0.3
• circa il 95.5% della distribuzione
è compreso nell’intervallo centrato
su  e di estremi 2
0.5
0.25
0.4
0.2
• circa il 99.7% della distribuzione
è compreso nell’intervallo centrato
su  e di estremi 3
0.3
0.15
0.2
0.1
0.1
0.05
0
-5
0
5
0
-5
• circa il 68% della distribuzione è
compreso nell’intervallo centrato
su  e di estremi 
0
Introduzione alla statistica
5
Introduzione alla statistica
21
Distribuzione normale standard N(,1)
22
Distribuzione t-Student
• Di particolare importanza è la normale standard, ovvero la
distribuzione normale che ha media 0 e varianza (e deviazione
standard) pari a 1 (si indica con N(0,1)).
Proprietà: se X N(,2) 
se X è una variabile distribuita secondo una normale di media  e
varianza 2, la variabile
è distribuita secondo una normale
standard.
• Z è definita variabile standardizzata: consente un semplice uso delle
tabelle e consente di effettuare delle valutazioni “normalizzate” (es:
entro l'intervallo media  2 deviazioni standard è compreso circa il 95%
della distribuzione, per qualsiasi distribuzione gaussiana).
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
23
Relazioni utili
•
Per le distribuzioni simmetriche (Gaussiana, t-Student, …) valgono
le seguenti proprietà:
•
Se la distribuzione è a media nulla:
Tabelle statistiche
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
4
25
26
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
27
28
Esempio uso tabelle statistiche
0.2
0.15
f(x)
Si calcolino gli estremi dell'intervallo di confidenza al 90% di
una N(30,2).
0.1
0.90
0.05
0.05
0.05
0.2
0.18
0
22
0.90
24
26
28
0.16
0.14
32
34
36
38
0.95
0.15
f(x)
0.12
f(x)
30
X
0.2
0.1
0.05
0.1
0.05
0.08
0.06
0.04
0
22
0.05
0.05
24
26
28
30
X
32
34
36
38
0.02
0
22
24
26
28
30
X
32
34
36
38
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
29
Quando si effettua una misura si cerca di ottenere un
valore misurato che sia il più vicino possibile al
valore vero (sconosciuto e non conoscibile) della
grandezza di interesse.
Applicazione della
statistica alle misure
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
5
Se si fanno ripetere le misure di lunghezza del pesce a
diversi pescatori si otterranno valori diversi.
Le cause della diversità delle misure rilevata sono
molte, e si possono schematizzare in due gruppi:
• effetti sistematici (tirare la coda, misurare lungo la corda)
• effetti casuali
Altro esempio: misure ripetute nel tempo
effetti sistematici + casuali
effetti casuali
Come trattare tutte queste misure diverse ???
Soluzione: LA STATISTICA
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
Altro esempio: misure di pressione di un recipiente
Numero
rilevazione
Lettura
[kPa]
1
10.02
2
10.20
3
10.26
4
10.20
5
10.22
6
10.13
7
9.97
8
10.12
9
10.09
10
9.90
11
10.05
12
10.17
13
10.42
14
10.21
15
10.23
16
10.11
17
9.98
18
10.10
19
10.04
Introduzione alla20
statistica
Si sono effettuate 20 misure di
pressione in un recipiente:
Le misure non sono tutte uguali!
Quale è la misura che possiamo dire
essere il valore di pressione esistente
nel recipiente ?
9.81
Si può procedere così
così: si dispongano i dati rilevati in
ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei
(in questo caso si sceglie 0.05 kPa).
kPa).
Si definisca:
• n = numero di letture in un intervallo
• N = numero totale di letture
• a = ampiezza di un intervallo
e infine la funzione densità
densità di probabilità
probabilità discreta
fX(x):
(x):
f X ( x) 
Introduzione alla statistica
34
Introduzione alla statistica
Numero di
letture
nell’
nell’intervallo
fX(x)
Se si traccia un
intervallo di altezza
fX(x) per ogni
intervallo si ottiene:
n
n
f X ( x) 

n
N a 20 0.05
n
Na
Ipotizzando:
Densità
Densità di probabilità
probabilità
discreta
N  

a  0
Densità
Densità di probabilità
probabilità
continua
Introduzione alla statistica
6
Funzione densità di probabilità
DISTRIBUZIONE STATISTICA
38
DELLE MISURE
Probabilità
Probabilità
che a<x<b
b
p a  x b    f  x dx
•
a
Il teorema del limite centrale ci assicura che, sotto
opportune ipotesi, una misura esente da effetti
sistematici può essere modellata mediante una
distribuzione gaussiana.
Probabilità
Probabilità
che x<a
a
F a  
 f x dx

Funzione di distribuzione cumulata
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
LA FUNZIONE DI DENSITA’
DENSITA’ NORMALE o
GAUSSIANA
1
f x  
 2
e

 x   2
2
2
LA GAUSSIANA E’
E’ COMPLETAMENTE DESCRITTA DA
DUE PARAMETRI:
MEDIA
MEDIA
DEVIAZIONE
DEVIAZIONE STANDARD
 
F x  
x 
( o la varianza 2 )
x
 f x dx

Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
INFLUENZA DI MEDIA E DEVIAZIONE STANDARD
DEVIAZIONE STANDARD

NUMERO INFINITO DI CAMPIONI:
: MEDIA

: DEVIAZIONE STANDARD
MEDIA
MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN
NUMERO INFINITO DI RILEVAZIONI :
SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER
STIMARE MEDIA E DEVIAZ. ST.
ST.
Introduzione alla statistica
Introduzione alla statistica
7
AVENDO DIVERSE SERIE DI MISURAZIONI
POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA DI
QUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO
TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU
SI UTILIZZANO I SEGUENTI
STIMATORI
N
Media
campionaria
X
x
i 1
 x
s
i 1
DISTRIBUZIONE
DELLE MEDIE
CAMPIONARIE
m, m
N
N
Deviazione
standard
campionaria
UNA GAUSSIANA
i
i
X
DISTRIBUZIONE
CAMPIONARIA
, 
X
2
m= 
m 
N 1
Con xi= singola lettura e N = numero rilevazioni
Introduzione alla statistica

Introduzione alla statistica
45
Caratteristiche della Gaussiana
• circa il 68% della distribuzione è
compreso nell’intervallo centrato
su  e di estremi   
• circa il 95.5% della distribuzione
è compreso nell’intervallo centrato
su  e di estremi   2
• circa il 99.7% della distribuzione
è compreso nell’intervallo centrato
su  e di estremi   3
46
Si può quindi stimare che:
Circa il 68%degli intervalli così costruiti contiene il
valore vero (livello di confidenza 68%)
X
s
N
Circa il 95.5%degli intervalli così costruiti contiene
il valore vero (livello di confidenza 95.5%)
X
2s
N
Circa il 99.7%degli intervalli così costruiti contiene
il valore vero (livello di confidenza 99.7%)
X
Introduzione alla statistica
N
3s
N
Introduzione alla statistica
8