F - dipartimento di fisica della materia e ingegneria elettronica

Magnetismo
Fisica II – CdL Chimica
Magnetismo
• gli effetti magnetici da magneti naturali sono
noti da molto tempo. Sono riportate osservazioni
degli antichi Greci sin dall’800 A.C.
• la parola magnetismo deriva dalla parola greca
per un certo tipo di minerale “magnetite”,
contenente ossido di ferro, trovato in Magnesia,
una regione della Grecia settentrionale.
• effetti magnetici osservati dalle proprietà dei
magneti naturali: possono esercitare forze su
minerali simili ed impartire questa proprietà
(magnetizzare) a pezzi di ferro posti a contatto con
essi.
• piccoli magneti sospesi con un filo si allineano sempre
in direzione nord-sud. Cioè essi possono rilevare il
campo magnetico terrestre.
Fisica II – CdL Chimica
Campo Magnetico: fatti sperimentali
• La carica elettrica in moto (ovvero una corrente) produce
un campo magnetico (p. es. elettromagnete).
• Alcuni materiali si comportano come magneti permanenti.
• Il campo magnetico è un campo vettoriale.
• Il campo magnetico interagisce con cariche elettriche in
moto.
• Il campo generato da un dipolo magnetico è dovuto allo
“spin” (trottola) che è una proprietà intrinsica delle
particelle elementari, come elettroni, protoni, neutroni.
• Intensi campi magnetici sono usati in medicina per delle
tecniche diagnostiche (NMR risonanza magnetica nucleare)
• Campi magnetici estremamente intensi sono stati rilevati in
alcune stelle.
Fisica II – CdL Chimica
Rilevazione di
impronte con
polvere di
particelle
magnetiche
Fisica II – CdL Chimica
Barra Magnetica
Fisica II – CdL Chimica
Barra Magnetica
• Un magnete ... due poli: N e S
Poli identici si respingono; Poli diversi si attraggono.
• Linee del campo magnetico: (definite allo stesso modo
delle linee di campo elettrico: direzione e densità)
S
N
Da Nord a Sud
• Vi ricorda un caso analogo in elettrostatica ?
Linee Campo Elettrico
di un Dipolo Elettrico
Linee di Campo Magnetico di
una barra magnetica
Fisica II – CdL Chimica
S
N
Monopolo Magnetico ?
• Una ipotesi: esiste una carica magnetica, proprio
come la carica elettrica. Una entità che avesse tale
carica magnetica si chiamerebbe monopolo magnetico
(avente una carica magnetica + o - ).
• Come possiamo tentare di isolare una tale carica
magnetica ?
Proviamo a tagliare il magnete in due:
S
N
S
N
S
N
• In realtà nessun tentativo di trovare dei monopoli
magnetici in natura ha dato, fino ad oggi, esito
positivo.
Fisica II – CdL Chimica
Proviamo a spezzare un magnete !
• Il Polo Nord ed il
Polo Sud
sono inseparabili
Fisica II – CdL Chimica
Origine del Campo Magnetico ?
• Quale sarà l’origine del campo magnetico, se non è la
carica magnetica ?
• Risposta: la carica elettrica in moto !
– cioè: la corrente in un filo che è avvolto in forma
cilindrica (solenoide) produce un campo molto simile a
quello generato da una barra magnetica permanente.
– Pertanto, la comprensione dell’origine del campo
generato da un magnete risiede nella conoscenza delle
“correnti” a livello atomico presenti nella materia.
Orbite degli elettroni intorno ai nuclei
“spin” intrinseco
degli elettroni
(è l’effetto più
importante)
Fisica II – CdL Chimica
Conclusione: Nessuna carica Magnetica
Linee del campo generato da un Magnete
S
N
Le linee del campo magnetico non iniziano né finiscono.
Non vi sono cariche magnetiche (monopoli)
Fisica II – CdL Chimica
Linee di campo: Elettrico vs Magnetico
• Analogie
– La densità ne rivela l’intensità
– Le frecce danno la direzione
• uscente +, Nord
• entrante -, Sud
• Differenze
– Inizio/Fine sulla carica elettrica
– Nessuna carica magnetica, linee continue !
• Convenzione per schemi 3-D :
– x x x x x x x entranti nella Pagina
– •••••••••••••
uscenti dalla Pagina
Forza Magnetica
Rileviamo l’esistenza di campi magnetici osservando i loro
effetti sulle cariche in movimento: il campo magnetico
esercita una forza sulla carica in moto.
• Qual è la “forza magnetica“ ?
Come si distingue dalla forza "elettrica" ?
Cominciamo con alcune osservazioni sperimentali sulla
forza magnetica:
q
v
Fmag
a)intensità: ∝ velocità di q
b)direzione: ⊥ direzione della velocità q
c) direzione: ⊥ direzione di B
d)verso: dipende anche dal segno q
Fisica II – CdL Chimica
Forza di Lorentz
• La forza F su una carica q che si muove con
velocità v in una regione dello spazio in presenza di
un campo elettrico E e di un campo magnetico B è
data da:
r
r
r r
F = qE + qv ∧ B
r
r r
se non vi è campo elettrico F = qv ∧ B
F = vB sin θ
B
x x x x x x
x x x x x x
v
x x x x x x
q
F
Fisica II – CdL Chimica
B
→→→→→
v →→
→→→
´ q
F
B
↑↑↑↑↑↑↑↑
v
↑↑↑↑↑↑↑↑
q
F=0
Regola della Mano Destra
• Pollice, v
• Indice, B
• Perpendicolare
uscente dal
palmo, F
– Forza su una
particella
carica
positivamente
Fisica II – CdL Chimica
Due versioni della regola della mano
destra
Fisica II – CdL Chimica
Forza magnetica agente su una carica in moto
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 1
• Due protoni si muovono ciascuno con lo
stesso modulo di velocità v (vedi figura)
verso una regione di spazio dove è
presente un campo magnetico costante B
diretto lungo z.
– Qual è la relazione tra le intensità delle
forze su ciascuno dei due protoni ?
(a) F1 < F2
(b) F1 = F2
y
1
v
B
2
v
z
(c) F1 > F2
• La forza magnetica è data da:
r
r r
F = q v B ⇒ F = qvB sin θ
• In entrambi i casi l’angolo tra v e B è 90° !!
Quindi F1 = F2.
Fisica II – CdL Chimica
x
Esempio 2
• Due protoni si muovono ciascuno con lo
stesso modulo di velocità v (vedi figura)
verso una regione di spazio dove è
presente un campo magnetico costante B
diretto lungo -z-.
– Quanto vale F2x, la componente -x- della
forza sul secondo protone ?
(a) F2x < 0
(b) F2x = 0
F1
F2
y
1
v
B
2
v
z
x
(c) F2x > 0
• per determinare la direzione della forza, usiamo la
regola della mano destra.
r r r
F = qv × B
• come mostrato in figura, F2x < 0.
Fisica II – CdL Chimica
Altre caratteristiche della forza magnetica
• La forza magnetica agente su un oggetto carico che si
muove in un campo magnetico non compie alcun lavoro.
(forza  spostamento !)
• La forza magnetica non può cambiare il valore della
velocità di un oggetto carico, ma solo cambiarne la
direzione del moto: B = “sterzo”, E = “acceleratore” o
“freno”.
• Nel sistema SI l’unità di misura del campo magnetico è il
tesla (T):
N
N
N
1T = 1
=1
=1
C ⋅m/s C /s⋅m
A⋅ m
unità comune è anche il gauss (G): 1 G = 10-4 T
Fisica II – CdL Chimica
~ campo sulla
superficie della
Terra !
La Terra è un Magnete !
Il polo Nord
magnetico si trova a
circa metà
circonferenza
terrestre (πRT) dal
polo Nord geografico
Fisica II – CdL Chimica
Campo magnetico terrestre
• Per convenzione, il polo Nord di un magnete è
quello che punta verso il Polo Nord Geografico
della Terra.
• Poichè poli opposti si attraggono, il “Polo Nord
Geomagnetico” è in effetti un polo SUD magnetico.
• Un po’ confuso, ma è solo una convenzione. Basta
ricordare che definiamo N per un magnete
l’estremità che punta verso il Nord geografico.
Unità di uso comune gauss (G): 1 G = 10-4 T deriva dal
vecchio sistema di unità di misura cgs: cm, grammo,
secondo. 1T è un campo molto grande: cinque volte il campo
di saturazione del ferro.
Per es. si usa un solenoide magnetico da 4T al CERN,
6 metri di diametro e lungo 10 metri !!
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Intensità del Campo Magnetico
•
•
•
•
•
•
•
•
Campo magnetico terrestre
un comune magnete (calamita)
macchie solari (aree superficie Sole)
i più intensi campi magnetici in lab
max campi magnetici raggiunti in lab
campi in stelle non di neutroni
Pulsars
Magnetars
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0.6 Gauss
100 Gauss
4000 Gauss
4.5 X 105 Gauss
107 Gauss
108 Gauss
1012-1013 Gauss
1014-1015 Gauss
Esempio
Perchè le bussole magnetiche funzionano sempre a qualunque
latitudine ?
N
N
componenti concordi
(eguali a parità di
latitudine)
S
N
S
S
Fisica II – CdL Chimica
componenti discordi ininfluenti
Moto di una carica in
un campo magnetico
Fisica II – CdL Chimica
Traiettoria in un campo costante B
• Supponiamo che la carica q entri in una zona di
campo B con velocità v come mostrato sotto.
Che cammino seguirà q ?
x x x x x x x x x x x x
F = qE + qv ∧ B
x x x x x x x x x x x x
v
x x x x x x x x x x x x
v
F
F q
B
R
• la forza è sempre ⊥ alla velocità e a B.
– il cammino sarà circolare. F sarà la forza centripeta
necessaria per tenere la carica nella sua orbita circolare.
Calcoliamo R.
Fisica II – CdL Chimica
Raggio dell’orbita circolare
• forza Lorentz:
F = qvB
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x vx B
x x x x x x x x x x x x
v
F
F q
• acc. centripeta :
v2
a =
R
• 2a legge di Newton:
F = ma ⇒
v2
qvB = m
R
mv
p
=
⇒ R=
qB qB
Fisica II – CdL Chimica
R
risultato importante,
con utili conseguenze
sperimentali !
p = momento
generalizzato
anche per v ~ c
Periodo del Moto Circolare
Il periodo del moto è
2π r 2π mv 2π m
T=
=
=
v
v qB
qB
ovvero, la frequenza angolare
2π qB
ω = 2π f =
=
T
m
ω solo una funzione di q/m, ma
non della velocità v !!
Maggiore v: la circonferenza
cresce di DIMENSIONI
Fisica II – CdL Chimica
Se la velocità forma con B un angolo ≠ 90º
la traiettoria diviene elicoidale
Campi elettrici e magnetici combinati
Una particella carica attraversa una regione dello
spazio dove E e B sono perpendicolari tra loro e
perpendicolari alla direzione di propagazione delle
particelle.
Regolando l’intensità di E e B in modo che FE=FB si
ha
E
qE = qvB ⇒ v =
B
I campi E e B incrociati si comportano come un selettore di velocità
La deflessione dovuta al
qEL2
solo campo elettrico è
y=−
(rammentare ink-jet):
2mv 2
Attivando il campo magnetico in modo da
annullare la deflessione v=E/B (Thomson
nel 1897 misurò il rapporto carica/massa
per l’elettrone)
Fisica II – CdL Chimica
e 2 yE
= 2 2
m B L
Moto in campo magnetico: applicazioni
Misura di e/m:
esistenza elettrone
Selettore di velocità
(energia) di
particelle cariche
Fisica II – CdL Chimica
Campi elettrici e magnetici combinati:
applicazioni
Spettrometro di massa: apparecchio per la
separazione degli ioni in funzione della loro massa.
Quando un fascio di ioni provenienti da un forno+ionizzatore viene fatto
passare attraverso un selettore di velocità gli ioni si separano solo in
base alla loro massa (Ion Mass Spectroscopy).
Fisica II – CdL Chimica
L
Esempio 3
• Un protone, che si muove a velocità v,
entra in una regione che contiene un
campo costante B nella direzione -z- e
viene deflesso come mostrato.
• Un altro protone, che si muove a
velocità v1 = 2v, entra nella stessa
regione di spazio e viene deflesso
come mostrato.
v
B
v
B
B
v1
v1
B
– Confrontare il lavoro svolto dal campo
magnetico (W per v, W1 per v1) per deflettere i
protoni.
(a) W1 < W
(b) W1 = W
(c) W1 > W
• Ricordare che il lavoro svolto W è definito come: W ≡
∫
r
r
F • dx
• Rammentare anche che la forza magnetica e sempre perpendicolare alla
r
r
velocità:
r
F = qv × B
r r
r r
• Pertanto, il lavoro svolto è NULLO in entrambi i casi: F • dx = F • vdt = 0
∫
∫
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Ciclotrone
"Acceleratore a Risonanza Magnetica"
Fisica II – CdL Chimica
Ciclotrone
• "Acceleratore a Risonanza Magnetica":
• “Elettrodi a D" in un campo
magnetico costante B
• applicando una tensione
alternata V tra le “D” di
frequenza orbitale f:
ωc q B
fc =
=
2π m 2π
B
x x x x x x
+
V
-
V
+
x x x x x x
B
• la particella acquisirà una energia cinetica addizionale
Ekin= qV ogni volta che attraversa il “gap” (cioè due volte
per rivoluzione. Rammentare E=0 all’interno delle “D” !).
Fisica II – CdL Chimica
Ciclotrone
Un ciclotrone è usato per accelerare
protoni e particelle alfa (nucleo di He cioè
2 protoni + 2 neutroni).
+V
• Qual è la relazione tra fp, la frequenza della
tensione applicata per i protoni, e fα, la
frequenza della tensione applicata per le alfa?
(a) fp < fα
(b) fp = fα
B
x x x x x x
-V
+
x x x x x x
B
(c) fp > fα
q
B
• La frequenza orbitale è data da: ω =
m
• La frequenza applicata deve eguagliare la frequenza orbitale naturale.
• Le particelle Alfa hanno il doppio della carica, ma circa quattro volte la
massa dei protoni.
• Pertanto, the frequenza orbitale per le alfa deve essere circa metà
di quella dei protoni.
Fisica II – CdL Chimica
Campo Magnetico
“Fasce di van Allen”
“Bottiglia” magnetica per il
confinamento di cariche
(plasma). Essenziale per il
processo di fusione
nucleare.
Fisica II – CdL Chimica
Cintura di particelle cariche intrappolate
dal campo magnetico terrestre. Aurora
boreale/australe sopra i poli (collisioni
con atomi dell’atmosfera).
Effetto Hall
All’equilibrio:
qE H + qv d ∧ B = 0 ⇒ E H = − v d ∧ B
EH = vd B inoltre vd = j ne
detta t la larghezza
∆VH
j
i
EH =
= vd B =
B=
B
w
ne
wtne
iB
da cui n =
et ∆VH
Da una misura della ddp di Hall VH, si può ricavare la densità
di portatori.
Per alcuni metalli (Be, Zn) la ddp di Hall indica la presenza di
portatori positivi (lacune). Nei semiconduttori la situazione è
più complessa (effetti quantistici).
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Forza Magnetica su un conduttore
Fisica II - CdL Chimica
Forza magnetica agente su un filo percorso
da corrente
• Consideriamo un filo percorso da una corrente
in presenza di un campo magnetico B.
• Agirà una forza su ciascuna delle cariche che si
muovono nel filo. Quale sarà la forza totale
netta dF su una porzione di filo di lunghezza dl ?
• Consideriamo una carica dq che si muove con
velocità v lungo un filo di sezione A.
• Forza su ciascuna carica =
• Forza su dq
• Poichè
r
r
qv × B
r
r r
dF = dq v × B
dq
I=
dt
e
dl
v=
dt
⇒
Per un filo di lunghezza L che trasporta una
corrente I, la forza agente su di esso è:
Fisica II - CdL Chimica
N
dq
S
I
v
dℓ
r r
r
dF = I dl × B
r
v r
F = IL × B
Forza Magnetica su un conduttore
z
z
dF
dF
dℓ
y
y
x
B
x
dℓ
B
l Se il filo ha una lunghezza finita L
e B è uniforme allora:
b
b r
r r
r
r r

 r
F = I ∫ (d l × B) = I  ∫ d l  × B = I L × B
a
a


Fisica II - CdL Chimica
Forza Magnetica su un conduttore
l Se il filo è una spira chiusa
e B è uniforme allora:
r
r
r
F = I  Ñ∫ d l  × B = 0


r
poichè Ñ∫ d l = 0
La forza magnetica netta agente su una spira chiusa
immersa in un campo magnetico B uniforme è NULLA
Fisica II - CdL Chimica
Es.: Forza agente su un conduttore semicircolare
Conduttore percorso da corrente
I, in un campo B uniforme e .
Consideriamo le due forze agenti:
parte rettilinea
F1 = I lB = 2 IRB
poichè l ⊥ B direzione uscente dal grafico
semicirconferenza :
r r
dF2 = I ds × B = IB senθ ds
poichè s = Rθ e quindi ds = Rdθ
dF2 = IRB senθ dθ , diretta verso l'interno del grafico per ottenere F2 integriamo :
π
π
0
0
F2 = ∫ IRB senθ dθ = IRB ∫ senθ dθ = IRB [ -cosθ ]0 =
= − IRB ( cosπ − cos 0 ) = − IRB ( −1 − 1) = 2 IRB
r r r
F = F1 + F2 = 0
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π
Forza su una spira percorsa da corrente
l Se la spira non è “immersa” completamente nel campo
magnetico B, la forza sulla spira può essere ≠ 0.
corrente I
nella spira
FR
FL
F
B uscente
dalla pagina
l La forza magnetica sulla parte alta della spira è 0
poichè B=0.
l La forza magnetica sulle due sezioni verticali (sinistra
e destra) della spira sono eguali e opposte.
l La forza totale F “tira” la spira verso il basso
Fisica II - CdL Chimica
Forza su una spira percorsa da corrente
l E’ sempre importante considerare la simmetria. Nella
figura in basso un filo che porta una corrente I consiste
di due sezioni “dritte” ed una a semicerchio.
dϕ
ϕ
xdF x dℓx
x i x
x
x x
x
x
x
x
x x
FL
x x
x
x
x
x
x
x
x
FR
B verso l’interno
della pagina
x
l Dividiamo il segmento in 3 sezioni: sinistra e destra
“dritte” più quella semicircolare
Fisica II - CdL Chimica
Forza su una spira percorsa da corrente
l Le forze sulle sezioni “dritte” sono eguali e opposte
l Dividiamo il semicerchio in elementi infinitesimi
d l = Rdϕ
dF = iBRdϕ
r r
r
dF = i d l × B
dFy = iBR sin ϕ dϕ
l FX = 0 poichè le componenti x si cancellano tra loro a
causa della simmetria del semicerchio.
π
π
π
F = Fy = ∫ iBR sin ϕ dϕ = iBR ∫ sin ϕdϕ = −iBR cos ϕ 0 = 2iBR
l Lo stesso risultato si ha notando che:
0
0
2R
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Forza magnetica su una spira percorsa da
corrente
• Consideriamo una spira in un campo
magnetico (vedi fig.): Se il campo
è ⊥ al piano della spira, la forza
totale agente sulla spira è 0 !
x
x
Fx
x
– la forza sul tratto superiore cancella x
quella sul tratto inferiore
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(F = IBL)
F
x x
x x
x x
x x
x Ix
F
x
x
x
x
x
B
x
x
x
x F
x
– la forza sul tratto destro cancella
quella sul tratto sinistro. (F = IBL)
B
• Se il piano della spira non è ⊥ al
campo, ci sarà un momento torcente
non-nullo agente sulla spira !
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x
F
F
.
Momento torcente (motori elettrici)
b
b
τ ′ = F1 sen (θ ) + F3 sen (θ ) = ( i a B ) b sen (θ ) = i ab B sen (θ )
2
2
per N spire τ = Nτ ′ = N i a b B sin (θ ) = ( N i A ) B sin (θ )
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Forze magnetiche
e motori elettrici
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Calcolo del momento torcente
• Supponiamo che la bobina abbia larghezza w (il lato che si
vede) e lunghezza L (verso l’interno dello schermo). Il
momento torcente è dato da:
r r r
τ = r ×F
• Definiamo r1 e r2 come i vettori distanza dal centro della
spira verso sinistra e destra, essendo L la lunghezza
totale.
F1
B
r1
r2
x
w/2
w/2
r r r
τ = τ1 + τ 2
F2
• I vettori τ1 e τ2 puntano entrambi all’interno della pagina.
Anche il momento totale punta all’interno della pagina.
w
w
w
w
0
0
τ = F1 sin 90 + F2 sin 90 = iLB + iLB = iwLB
2
2
2
2
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Calcolo del momento torcente
• Poichè wL è l’area A racchiusa dalla spira, allora
τ = IAB
B
• In generale, il momento torcente è: x
θ
r r
r
τ = IA × B
⇒
dove
τ = AIB sinθ
A = wL = area spira
r
• Notare: se A ⊥ B, sinθ = 0 ⇒ τ = 0
r
τ massimo quando A è parallelo a B
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r
F
A
w
r
F
.
r r
r r ×F
r
r
F
Applicazioni: strumenti ad indice
Fisica II - CdL Chimica
Momento di Dipolo Magnetico
• Possiamo definire il momento di dipolo magnetico di
una spira percorsa da corrente come segue:
modulo :
direzione:
µ = AI
⊥ al piano della
spira nella direzione del pollice
della mano destra se le dita
indicano la direzione della
corrente.
r
F
x
θ
r
F
r
µ
θ
• Il momento torcente può quindi essere riscritto come:
τ = AIB sinθ
⇒
r r r
τ = μ×B
• Se vi sono N avvolgimenti (bobina), µ = NAI
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B
.
Analogia con il dipolo Elettrico
r
F
+q
r
p
.
r -q
F
r r r
τ = r×F
r
r
F = qE
r
r
p = 2q a
r r r
τ = p× E
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E
x
θ
r
F
θ
r
µ
B
r
F
.
r r r
τ = r ×F
r r r
F= IL×B
(per avvolgimento)
μ = NAI
r r r
τ = μ×B
Dipolo magnetico
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