t - Unipd

RACCOLTA DI ESERCIZI
tratti da temi d’esame
Andrea Defina
agosto 2012
-1-
Prefazione
Questa dispensa raccoglie di fatto alcuni dei temi di esame proposti agli studenti
del corso di Complementi di Idraulica sia per la parte relativa al moto vario nelle
condotte che per quella relativa alle correnti unidimensionali a superficie libera in
condizioni di moto stazionario.
Con riferimento alla prima parte, spesso nel testo si chiede di precisare e
giustificare le ipotesi semplificative introdotte. Nella descrizione delle soluzioni dei
problemi qui riportate, le ipotesi adottate sono precisate ma non giustificate; e questo
per evitare di appesantire l’esposizione (le dimostrazioni dell’applicabilità delle ipotesi
semplificative introdotte, infatti, sono sempre le stesse, descritte dettagliatamente
nella dispensa che riporta gli aspetti teorici del moto vario unidimensionale in
pressione).
In qualche caso, il testo dell’esercizio contiene un rimando. Ad esempio nel testo
dell’Esercizio 1 viene suggerito di vedere l’Esercizio 7. Ciò sta ad indicare che il
modo di risolvere questi due esercizi è sostanzialmente lo stesso. Capito, quindi,
come si procede nella soluzione di uno dei due esercizi, è possibile verificare
l’effettiva comprensione cercando di risolvere l’altro.
Con riferimento alla seconda parte, relativa ai canali, vorrei solo chiarire che la
maggior parte delle valutazioni quantitative qui riportate non sono strettamente
richieste per superare la prova d’esame. E’ sufficiente, in genere, valutare le
caratteristiche del moto uniforme allo scopo di stabilire se la pendenza del fondo è
inferiore o superiore a quella critica.
Come per tutte le altre mie numerosissime dispense sono grato a quanti vorranno
segnalarmi errori, precisazioni, suggerimenti e commenti o vorranno indicarmi
spiegazioni poco chiare o incomprensibili (a questo proposito voglio ricordare che
questa versione di esercizi svolti è stata preparata… un po’ in fretta).
Ringrazio Francesco Longo e Matteo Coriele per la segnalazione di alcuni errori.
Andrea Defina
Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima
Ambientale e Geotecnica - Università di Padova.
via Loredan, 20 – 35131 PADOVA
email: [email protected]
http://www.image.unipd.it/a.defina/
E’ vietata la riproduzione, integrale o parziale, a meno che la
stessa non sia stata preventivamente autorizzata dall’autore.
-2-
moto vario in pressione
Esercizio 1 (Vedi anche Esercizio 7). Nell’impianto di sollevamento illustrato in
figura, la galleria di mandata è lunga L=1600 m ed è a sezione circolare con diametro
interno D=1.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico
con una sezione orizzontale Ω=8.0 m2.
Nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di energia si ricavi, a
partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
del livello z nel pozzo piezometrico (si assuma come origine per i livelli z la quota del
serbatoio di valle). Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione.
Per il caso particolare in cui a partire da condizioni iniziali di quiete per il sistema la
portata sollevata dalla pompa passi istantaneamente da Qp=0.0 a Qp=Qp0=2.5 m3/s si
valutino il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si
commenti il risultato ottenuto.
Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico
assumendo che all’istante t0=3.5 T, la portata pompata sia incrementata al valore
Qp1=5.0 m3/s. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo
della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.
Si rappresenti infine in un grafico l’andamento z(t) per 0<t<6T.
N.B. Nel derivare la soluzione generale và precisato l’orientamento scelto per
l’ascissa curvilinea (s) lungo la quale si effettua l’integrazione nello spazio e vanno
evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo
schema illustrato in Fig. 1, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra i
punti 1 (superficie libera nel pozzo piezometrico) e 4 (superficie libera del serbatoio
di valle
2
E 4 − E1 = −
3
4
2
3
4
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫
ds − ∫
ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
∫
g 1 ∂t
g 2 ∂t
g 3 ∂t
1
2
3
-1-
(1)
moto vario in pressione
Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio
siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia
il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali
possono essere trascurati. Lungo il tratto 2-3, inoltre, sia l’accelerazione temporale
∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio
e possono essere portate fuori dall’integrale.
Fig. 1
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E 4 − E1 = −
L dv
− jL
g dt
(2)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 2 e 3, v e j sono rispettivamente la
velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
L’energia E1 vale E1=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto 4
si ha E4=0 (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia
trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera).
Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (2)
diventa
−z = −
L dv
g dt
(3)
A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità
che, per il nodo 2 si scrive
Q p (t ) − Ω
dz
=v A
dt
(4)
essendo Ω(dz/dt) la portata che dal nodo 2 entra nel pozzo e A=πD2/4=1.767 m2
l’area della condotta.
Esplicitata la velocità v dalla (4), ricordando che essendo la variazione di portata
pompata istantanea è dQp/dt=0 per t>0, si ha
dv
Ω d 2 z 1 dQ p (t )
Ω d 2z
=−
+
=
−
dt
A dt 2 A dt
A dt 2
la quale, sostituita nella (3) fornisce
−z =
L Ω d 2z
g A dt 2
(5)
Posto
-2-
moto vario in pressione
ω2 =
gA
LΩ
(6)
l'equazione (5) si scrive
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(7)
La soluzione generale dell’equazione (7) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(8)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
⎧z = 0
⎪
⎨ dz = 1 (Q − v A )
0
⎪⎩ dt Ω p 0
t =0
in cui v0=0 e Qp0=2.5 m3/s sono la velocità in condotta e la portata pompata all’istante
t=0. Si trova
C1 =
Qp0 − A v 0
ωΩ
C2 = 0
Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (6)) vale 0.0368 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=170.73 s. Si ha inoltre C1=8.49 m.
Se si considera, per le quote, il riferimento originario, il massimo e il minimo livello nel
pozzo valgono hMAX=66.49 m e hMIN=49.51 m, pertanto le oscillazioni risultano
contenute all’interno del pozzo piezometrico.
In particolare, all’istante t0=3.5T, il livello nel pozzo (dalla (8)) vale z0=0 m mentre la
velocità in condotta si trova combinando le equazioni (4) e (8)
v (t 0 ) =
⎤ 1
1⎡
dz
⎥ = [Q p 0 − Ωω C1 cos (ω t 0 )] =
⎢Q p 0 − Ω
A ⎢⎣
dt t =t0 ⎥⎦ A
1
= [Q p 0 − (Q p 0 − A v 0 ) cos (ω t 0 )]
A
(9)
Sostituendo i dati del problema nella (9) si trova v0=2.829 m/s.
All’istante t0 la portata pompata passa istantaneamente da Qp0 a Qp1=5 m3/s. A
seguito di questa manovra si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo
piezometrico.
E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla
(8). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le
costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni
t = t0
⎧z = z 0
⎪
⎨ dz 1 (
⎪⎩ dt = Ω Q p1 − v (t 0 ) A )
Si trova
-3-
moto vario in pressione
C1 = C 2 = 0
per cui, a partire dall’istante t0, il livello nel pozzo resta costante (z=0) come pure la
velocità in condotta, che dalla continuità
dz 1
= (Q p1 − v (t ) A ) = 0
dt Ω
risulta valere v(t)=Qp1/A=2.829 m/s.
L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 2 mentre
nella successiva Fig. 3 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella
condotta.
Fig. 2
Fig. 3
-4-
moto vario in pressione
Esercizio 2 (Vedi anche Esercizio 8). La condotta di scarico illustrata in figura, lunga
complessivamente 500 m è divisa in due tratti (le cui caratteristiche sono indicate
nella stessa figura) per i quali si può assumere lo stesso valore della funzione di
resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.
Si valutino preliminarmente la portata scaricata e le velocità dell’acqua nei due tratti
di condotta in condizioni di regime quando la saracinesca R è completamente aperta
e non dà luogo a dissipazioni localizzate di energia.
Assumendo che per t<0 la saracinesca R sia chiusa e venga aperta istantaneamente
all’istante t=0, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la
conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale
che descrive l’avviamento della condotta. Individuata la legge con cui la velocità in
uno dei due tratti di condotta (oppure la portata) cresce nel tempo fino a raggiungere
le condizioni di regime si valuti (analiticamente) l’andamento nel tempo dell’energia in
corrispondenza della sezione N.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Le caratteristiche del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si
possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo
sbocco R. Indicati, per comodità, con i pedici 1 e 2 rispettivamente i tratti A-N e N-R
di condotta, si ha
E A − j 1L1 − j 2 L2 = E R
Utilizzando l’equazione di continuità per una corrente unidimensionale e la legge di
Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia si ha
Q0 = A1v 10 = A2v 20
2
2
2
v 20
f L1 v 10
f L2 v 20
hA −
−
= hR +
d 1 2g d 2 2g
2g
(10)
ovvero
⎡f L ⎛ A ⎞2 f L
⎤v2
h A − hR = ⎢ 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2 + 1⎥ 20
d2
⎢⎣ d 1 ⎝ A1 ⎠
⎥⎦ 2g
(11)
-5-
moto vario in pressione
Con i dati del problema, si trova v20=7.60 m/s, v10=1.90 m/s e Q0=2.15 m3/s.
Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il
serbatoio A e lo sbocco R. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel
serbatoio si trova
N
ER − E A = −
R
N
R
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds
∫
g A ∂t
g N ∂t
A
N
(12)
Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo le condotte sono costanti nello spazio
sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di
lunghezza j, l’equazione (12) può essere riscritta come segue
hR +
L ∂v
L ∂v 2 f L1 v 12 f L2 v 22
v 22
−
−
− hA = − 1 1 − 2
2g
g ∂t
g ∂t
d 1 2g d 2 2g
Utilizzando l’equazione di continuità (10) per sostituire la velocità v2 alla velocità v1, si
ottiene
2
⎤ v2
⎤ ∂v 2 ⎡ f L1 ⎛ A2 ⎞
f L2
1 ⎡ ⎛ A2 ⎞
⎟ + L2 ⎥
⎜⎜
⎟⎟ +
hR − hA = − ⎢L1 ⎜⎜
−⎢
+ 1⎥ 2
g ⎣ ⎝ A1 ⎟⎠
t
d
A
d
∂
⎢⎣ 1 ⎝ 1 ⎠
⎥⎦ 2g
2
⎦
(13)
Posto
h0 = hA − hR
⎛A ⎞
L = L1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + L2
⎝ A1 ⎠
2
fL ⎛A ⎞
fL
r = 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2
d 1 ⎝ A1 ⎠
d2
l’equazione (13) si semplifica nella seguente
h0 =
v2
L ∂v 2
+ (r + 1) 2
g ∂t
2g
(14)
Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una
condotta. Con i dati del problema, si trova A2/A1=0.25, L=200 m, r=3.75.
Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta,
consideriamo la condizione di regime, data dall’equazione (11) che può essere
riscritta come segue
h0 = (r + 1)
2
v 20
2g
Esplicitata la precedente relazione rispetto a (1+r) e sostituita l’espressione così
ottenuta per (1+r) nell’equazione (14) si trova
v 22
L ∂v 2
= 1− 2
g h0 ∂t
v 20
(15)
Posto Ta=Lv20/gh0=11.07 s, la precedente relazione diventa
∂ ( t / Ta ) =
∂ v 2 / v 20
2
1 − v 22 / v 20
la quale, risolta con la condizione al contorno: v2=0 per t=0, fornisce
-6-
moto vario in pressione
⎛v
t
= arctanh ⎜⎜ 2
Ta
⎝ v 20
⎞
⎟⎟
⎠
ovvero
⎛ t ⎞
v2
=tanh ⎜⎜ ⎟⎟
v 20
⎝ Ta ⎠
(16)
Per valutare l’andamento nel tempo dell’energia nel nodo N, si può,
indifferentemente considerare l’equazione dinamica integrata tra il serbatoio A e la
sezione N, oppure tra la sezione N e lo sbocco R. In questo secondo caso si ha
R
R
1 ∂v
E R − E N = − ∫ ds − ∫ j ds
g N ∂t
N
che può essere riscritta come segue
v 22 L2 ∂v 2 f L2 v 22
+
E N = hR +
+
2g g ∂t
d 2 2g
(17)
Essendo nota v2(t), la precedente relazione fornisce l’andamento nel tempo
dell’energia nella sezione N.
Si osservi, per altro, che dalla (15) si può scrivere
v2
∂v 2 g h0 ⎛
⎜1 − 22
=
L ⎜⎝ v 20
∂t
⎞
⎟
⎟
⎠
La quale, sostituita nella (17) fornisce
E N = hR + h0
L2 ⎡ L2
f L ⎤ v2
+ ⎢1 − (1 + r ) + 2 ⎥ 2
L ⎣
L
d 2 ⎦ 2g
L’andamento nel tempo della velocità nel tratto N-R (v2) e dell’energia EN nella
sezione N sono illustrati in Fig. 4.
Fig. 4
-7-
moto vario in pressione
Esercizio 3. La condotta di scarico illustrata in figura, di diametro d=0.8 m, è lunga
complessivamente 450 m ed è munita di una saracinesca R che, se completamente
aperta, non dà luogo ad alcuna dissipazione localizzata di energia. Per la valutazione
delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore
della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.
Inizialmente (t<0), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è
parzialmente chiusa e determina una dissipazione localizzata di energia pari a
ΔER=37.v02/2g. Si valuti, in queste condizioni la velocità v0 nella condotta.
All’istante t=0 la saracinesca R viene (istantaneamente) aperta. Si valuti la velocità v1
di regime nelle nuove condizioni, la legge con cui la velocità in condotta varia da v0 a
v1 e l’istante in cui la velocità in condotta raggiunge il valore 0.99 v1.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Le caratteristiche iniziali del moto quando la saracinesca R è parzialmente chiusa si
possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo
sbocco U
E A − j L − ΔE R = EU
Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia, e le
altre indicazioni riportate in figura, si ha
2
⎡f L
⎤v
h A − hU = ⎢ + 37 + 1⎥ 0
⎣d
⎦ 2g
(18)
Con i dati del problema, si trova v0=2.36 m/s e Q0=1.187 m3/s.
Per valutare le condizioni di regime una volta che la saracinesca R venga
completamente aperta si utilizza ancora l’equazione (18) nella quale, però, è omesso
il contributo della dissipazione localizzata. Con i dati del problema, si trova v1=4.735
m/s e Q1=2.38 m3/s.
Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il
serbatoio A e lo sbocco U. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel
serbatoio si trova
-8-
moto vario in pressione
U
EU − E A = −
U
1 ∂v
ds − ∫ j ds
g ∫A ∂t
A
(19)
Si osservi, nella (19), che non è presente la dissipazione localizzata di energia.
Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo la condotta è costante nello spazio sia
l’accelerazione temporale ∂v/∂t che la dissipazione di energia per unità di lunghezza
j, l’equazione (19) può essere riscritta come segue
v2
L ∂v f L v 2
hU +
− hA = −
−
2g
g ∂t
d 2g
(20)
Posto
h0 = hA − hR
r = f L/d
l’equazione (20) si semplifica nella seguente
L ∂v
v2
h0 =
+ (r + 1)
g ∂t
2g
(21)
Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una
condotta. Con i dati del problema, si trova r=11.25.
Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta,
consideriamo la condizione di regime, che può essere riscritta come segue
h0 = (r + 1)
v 12
2g
Esplicitata la precedente relazione rispetto a (1+r) e sostituita l’espressione così
ottenuta per (1+r) nell’equazione (21) si trova
L ∂v
v2
= 1− 2
g h0 ∂t
v1
(22)
Posto Ta=Lv1/gh0=15.52 s, la precedente relazione diventa
∂ ( t / Ta ) =
∂ v / v1
1 − v 2 / v 12
la quale, integrata, si scrive
⎛v ⎞
t
= arctanh ⎜⎜ ⎟⎟ +cost.
Ta
⎝ v1 ⎠
(23)
La costante di integrazione si determina sapendo che per t=0 la velocità in condotta
vale v0. Sostituita questa condizione nella (23) si trova
⎛v ⎞
cost=-arctanh ⎜⎜ 0 ⎟⎟ =-0.5476
⎝ v1 ⎠
e quindi
-9-
moto vario in pressione
⎛v ⎞
⎛v ⎞
t
= arctanh ⎜⎜ ⎟⎟ -arctanh ⎜⎜ 0 ⎟⎟
Ta
⎝ v1 ⎠
⎝ v1 ⎠
(24)
ovvero
⎡t
⎛ v ⎞⎤
v=v1.tanh ⎢ + arctanh ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎥
⎝ v 1 ⎠⎦
⎣Ta
(25)
L’andamento nel tempo della velocità espressa dalla (25) è illustrato in Fig. 5.
Fig. 5
Per valutare a che istante la velocità raggiunge il valore v=0.99.v1=4.688 m/s, basta
sostituire questo valore nell’equazione (24). Si trova t=40.5 s.
-10-
moto vario in pressione
Esercizio 4 (Vedi anche Esercizio 9). Nel sistema illustrato in figura, la galleria AB è
lunga L=1800 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=2.0 m. Il pozzo
piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione
orizzontale Ω=12.0 m2.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è a regime e lungo la galleria fluisce la portata
Q0=Qf=1.5 m3/s e, nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di
energia, il livello z nel pozzo coincide con quello nel serbatio di monte.
A partire dall’istante t=0 viene immessa nel pozzo piezometrico la portata ΔQ=3.0
m3/s, costante nel tempo (vedi figura).
Si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione
dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive
l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Si valuti inoltre il periodo
T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità in condotta, e si commenti il
risultato ottenuto.
Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico
assumendo che all’istante t1=2.5 T, la portata immessa ΔQ si riduca istantaneamente
a zero. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della
quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.
Si rappresenti infine in un grafico l’andamento z(t) per 0<t<6T.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del
moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato
come punto 1) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come
punto 2)
A
B
2
A
B
2
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E 2 − E1 = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
g 1 ∂t
g A ∂t
g B ∂t
1
A
B
Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio
siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia
-11-
moto vario in pressione
il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali
possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, sia l’accelerazione temporale
∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio
e possono essere portate fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E 2 − E1 = −
L dv
− jL
g dt
(26)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni A e B, v e j sono rispettivamente
la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
Si assume, per comodità, il livello del serbatoio di monte come riferimento. In tal caso
l’energia E2 vale E2=z (avendo indicato con z il livello nel pozzo piezometrico e
nell’ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo), mentre nel punto 1 si ha
E1=0.0 m (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia
trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di
energia, come suggerito nel testo, l’equazione (26) diventa
z=−
L dv
g dt
(27)
A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità.
Per il nodo B si può scrivere
v A = Q p ( t ) + Qf
in cui A=3.14 m2 è l’area della condotta e Qp(t) è la portata che dal nodo B entra nel
pozzo piezometrico (Qf è indicato in figura e resta costante nel tempo). A questa
relazione si può associare l’equazione di continuità per un serbatoio
Q p (t ) + ΔQ = Ω
dz
dt
Combinando le due precedenti relazioni si trova
v=
1 ⎡ dz
⎤
Ω
− ΔQ + Qf ⎥
⎢
A ⎣ dt
⎦
(28)
da cui, essendo ΔQ=3.0 m3/s costante nel tempo a partire da t=0, si ha
dv Ω d 2 z
=
dt
A dt 2
Sostituita questa espressione per dv/dt nella (27) e posto
ω2 =
gA
LΩ
(29)
si trova
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(30)
-12-
moto vario in pressione
La soluzione generale dell’equazione (30) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(31)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
⎧z = 0
⎪
⎨ dz = 1 (v A + ΔQ − Q )
f
⎪⎩ dt Ω 0
t =0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (28) esplicitata rispetto a dz/dt e
calcolata per t=0.
Essendo Qf=Q0=1.5 m3/s, v0=Q0/A=0.477 m/s e ΔQ=3.0 m3/s, si trova
C1 =
v 0 A + ΔQ − Qf
ΔQ
=
= 6.618 m
ωΩ
ωΩ
C2 = 0
Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (29)) vale 0.0378 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=166.34 s.
L’andamento nel tempo dei livelli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla
seguente relazione
z=
ΔQ
sen (ω t )
ωΩ
(32)
Considerando le quote originali, i valori massimo e minimo del livello nel pozzo
valgono quindi hMAX=26.62 m e hMIN=13.38 m. L’oscillazione, quindi, resta contenuta
all’interno del pozzo.
Con riferimento alla soluzione ottenuta è da osservare che il risultato, in termini di
livello nel pozzo piezometrico, è indipendente dal valore assunto dalla portata Qf.
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (28) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità
v=
1
[Qf + ΔQ (cos (ω t ) − 1)]
A
(33)
In particolare, all’istante t1=2.5T=415.85 s, il livello nel pozzo (dalla (32)) vale z1=0 m
mentre la velocità in condotta dalla (33) vale v1=-1.432 m/s.
All’istante t1 la portata immessa si riduce istantaneamente a zero e, a seguito di
questa manovra, si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico.
E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla
(31). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le
costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni
t = t1
⎧z = z1
⎪
⎨ dz = 1 (v A − Q )
f
⎪⎩ dt Ω 1
Si trova
-13-
moto vario in pressione
C1 = 13.237
C2 = 0
per cui, a partire dall’istante t1, il livello nel pozzo oscilla con un’ampiezza doppia
rispetto alla precedente. Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo
può essere valutato utilizzando l’equazione di continuità (28) con ΔQ=0
v=
1
[Ω C1 ω cos(ω t ) + Qf ]
A
risulta caratterizzata da oscillazioni di ampiezza doppia rispetto alla precedente pur
restando invariato il valore minimo. L’andamento nel tempo del livello nel pozzo
piezometrico è illustrato in Fig. 6 mentre nella successiva Fig. 7 è riportato
l’andamento nel tempo della velocità nella condotta.
A seguito di questa seconda manovra i valori massimo e minimo del livello nel pozzo
valgono hMAX=33.24 m e hMIN=6.76 m. L’oscillazione, quindi, non è contenuta
all’interno del pozzo.
Fig. 6
Fig. 7
-14-
moto vario in pressione
Esercizio 5. Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=22 m ed è a
sezione circolare con diametro interno d=0.3 m. Il serbatoio A è cilindrico con una
sezione orizzontale Ω=0.6 m2.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete con il livello nel serbatoio A coincidente
con la quota di sbocco B.
A partire dall’istante t=0 viene immessa nel serbatoio A la portata ΔQ0=0.1 m3/s,
costante nel tempo.
Assumendo per ipotesi che il livello dell’acqua in corrispondenza dello sbocco B non
scenda mai al di sotto del livello di riferimento e assumendo trascurabili le
dissipazioni di energia e i termini cinetici, si ricavi, a partire dall’equazione
differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente
unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del
livello z nel serbatoio. Si verifichi quindi la correttezza dell’ipotesi fatta. Si valuti
inoltre il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità in
condotta.
Si determini poi l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio e della velocità v in
condotta assumendo che all’istante t1=1.5.T, la portata immessa sia istantaneamente
incrementata al valore ΔQ1=0.15 m3/s. Si verifichi anche in questo caso che il livello
dell’acqua in corrispondenza dello sbocco B non scenda mai al di sotto del livello di
riferimento.
Si rappresenti infine in un grafico l’andamento z(t) per 0<t<3T.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del
moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (punto 1) e lo
sbocco B
2
E B − E1 = −
B
2
B
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds
∫
g 1 ∂t
g 2 ∂t
1
2
-15-
moto vario in pressione
Immaginando che le dimensioni trasversali del serbatoio siano grandi rispetto a
quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono
piccoli lungo il tratto 1-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati.
Lungo il tratto 2-B, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di
energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate
fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E B − E1 = −
L dv
− jL
g dt
(34)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 2 e B, v e j sono rispettivamente
la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
Nell’ipotesi di trascurare i termini cinetici (vedi testo), l’energia E2 vale E2=z mentre
nel punto B si ha EB=0.0 m (immaginando che il livello dell’acqua nella condotta non
scenda mai sotto la quota di sbocco). Trascurando le dissipazioni di energia, come
suggerito nel testo, l’equazione (34) diventa
−z = −
L dv
g dt
(35)
A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità
Per il nodo 1 si può scrivere
v A = −Q p (t )
in cui A=0.0707 m2 è l’area della condotta e Qp(t) è la portata che dal nodo 1 entra
nel pozzo piezometrico. A questa relazione si può associare l’equazione di continuità
per un serbatoio
Q p (t ) + ΔQ0 = Ω
dz
dt
Combinando le due precedenti relazioni si trova
v=
1⎡
dz ⎤
ΔQ0 − Ω ⎥
⎢
A⎣
dt ⎦
(36)
da cui, essendo ΔQ0=0.1 m3/s costante nel tempo a partire da t=0, si ha
dv
Ω d 2z
=−
dt
A dt 2
Sostituita questa espressione per dv/dt nella (35) e posto
ω2 =
gA
LΩ
(37)
si trova
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(38)
-16-
moto vario in pressione
La soluzione generale dell’equazione (38) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(39)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
⎧z = 0
⎪
⎨ dz = 1 (ΔQ − v A )
0
0
⎪⎩ dt Ω
t =0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (36) esplicitata rispetto a dz/dt e
calcolata per t=0.
Essendo v0=0 m/s e ΔQ0=0.1 m3/s, si trova
C1 =
ΔQ0 − v 0 A ΔQ0
=
= 0.727 m
ωΩ
ωΩ
C2 = 0
Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (37)) vale 0.229 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=27.41 s.
L’andamento nel tempo dei livelli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla
seguente relazione
z=
ΔQ0
sen (ω t )
ωΩ
(40)
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (36) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità
v=
ΔQ0
[1 − cos (ω t )]
A
(41)
La velocità risulta sempre positiva o al più nulla e questo garantisce un livello nella
parte terminale della condotta sempre coincidente con la quota dello sbocco.
L’ipotesi di lavoro è quindi verificata.
In particolare, all’istante t1=1.5T=41.12 s, il livello nel pozzo (dalla (40)) vale z1=0 m
mentre la velocità in condotta dalla (41) vale v1=2.829 m/s.
All’istante t1 la portata immessa si incrementa istantaneamente al valore ΔQ1=0.15
m3/s e, a seguito di questa manovra, si modificheranno le oscillazioni di livello nel
pozzo piezometrico.
E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla
(39). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le
costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni
t = t1
⎧z = z1
⎪
⎨ dz = 1 (ΔQ − v A )
1
1
⎪⎩ dt Ω
Si trova
-17-
moto vario in pressione
C1 = −
1
(ΔQ1 − v 1 A) = − 1 (ΔQ1 − 2ΔQ0 ) = 0.3636 m
Ωω
Ωω
C2 = 0
per cui, a partire dall’istante t1, il livello nel serbatoio oscilla con un’ampiezza ridotta.
Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere valutato
utilizzando l’equazione di continuità (36) nella quale sia sostituito ΔQ1 a ΔQ0,
continua ad oscillare con un’ampiezza ridotta restando però invariato il suo valore
massimo
v=
ΔQ1 ΔQ1 − 2ΔQ0
+
cos (ω t )
A
A
(42)
L’andamento nel tempo del livello nel serbatoio è illustrato in Fig. 8 mentre nella
successiva Fig. 9 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella condotta.
Fig. 8
Fig. 9
-18-
moto vario in pressione
Esercizio 6. Nel sistema illustrato in figura, la condotta che collega i serbatoi A e B è
lunga L=100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.20 m. I serbatoi A
e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=0.3 m2 e ΩB=0.5 m2, rispettivamente
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete con le superfici libere nei due serbatoi alla
stessa quota, che può essere assunta come quota di riferimento.
A partire dall’istante t=0 viene immessa nel serbatoio A la portata Q=0.1 m3/s e la
stessa portata viene sottratta dal serbatoio B.
Si valuti, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio A e y nel serbatoio B.
Successivamente, assumendo, per ipotesi, trascurabili le dissipazioni di energia e i
termini cinetici, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la
conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale
che descrive l’andamento nel tempo dei livelli z e y. Si valuti inoltre il periodo T
dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità nella condotta.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Per la conservazione dei volumi è evidente che, in ogni istante, il volume presente
nel sistema resta invariato. Pertanto, ad un incremento di volume immagazzinato nel
serbatoio A pari a ΩA.Δz; deve corrispondere un volume sottratto al serbatoio B pari
ΩB.Δy. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà
y =−
ΩA
z
ΩB
(43)
Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra
l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A
(punto 1) e la superficie libera nel serbatoio B (punto 4) nell’ipotesi, suggerita dal
testo, di trascurare le dissipazioni di energia
2
E 4 − E1 = −
3
4
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫ ds − ∫ ds
∫
g 1 ∂t
g 2 ∂t
g 3 ∂t
Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a
quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono
-19-
moto vario in pressione
piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali possono essere
trascurati. Lungo il tratto 2 -3, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello
spazio e può essere portata fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E 4 − E1 = −
L dv
g dt
in cui L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido.
Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre
il legame espresso dalla (43), la precedente relazione può essere scritta come segue
⎛ ΩA
⎞
L dv
⎜⎜
+ 1⎟⎟ z =
g dt
⎝ ΩB
⎠
(44)
Indicata con A l’area della sezione della condotta, per continuità si può scrivere
Q − vA = Ω A
dz
dt
ovvero
v=
1⎛
dz ⎞
⎜Q − Ω A
⎟
A⎝
dt ⎠
(45)
Sostituita questa espressione per v nella (44) si ottiene
⎛ ΩA
⎞
L Ω A d 2z
⎜⎜
+ 1⎟⎟ z = −
g A dt 2
⎝ ΩB
⎠
(46)
Posto infine
⎛Ω
⎞ gA
ω 2 = ⎜⎜ A + 1⎟⎟
⎝ ΩB
⎠ L ΩA
(47)
si trova
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(48)
La soluzione generale dell’equazione (48) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(49)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t =0
⎧z = 0
⎪
⎨ dz = Q − v 0 A = 0
⎪⎩ dt
ΩA
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (45) calcolata per t=0. Con i dati del
problema, essendo v0=0, si trova
C1 =
Q
=2.6 m
ω ΩA
C2 = 0
-20-
moto vario in pressione
Inoltre, la pulsazione ω (equazione (47)) vale 0.128 s-1, a cui corrisponde il periodo
T=2π/ω=49.0 s.
Gli andamenti nel tempo dei livelli z e y nei due serbatoi sono quindi forniti dalle
seguenti relazioni (Fig. 10)
z=
Q
sen (ω t )
ω ΩA
y =−
ΩA
Q
z=−
sen (ω t )
ΩB
ω ΩB
(50)
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (45) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità v (Fig. 11)
v=
Q
[1 − cos (ω t )]
A
(51)
Fig. 10
Fig. 11
-21-
moto vario in pressione
Esercizio 7 (Vedi anche Esercizio 1). Nell’impianto di sollevamento illustrato in
figura, la galleria di mandata è lunga L=1800 m ed è a sezione circolare con diametro
interno D=2.0 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico
con una sezione orizzontale Ω=12.0 m2.
Nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di energia si ricavi, a
partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
del livello z nel pozzo piezometrico (si assuma come origine per i livelli z la quota del
serbatoio di valle). Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione.
Per il caso particolare in cui a partire da condizioni iniziali di quiete per il sistema la
portata sollevata dalla pompa passi istantaneamente da Qp=0.0 a Qp=Qp0=5.0 m3/s si
valutino il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si
commenti il risultato ottenuto.
Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico
assumendo che all’istante t0=3.5 T, la portata pompata si riduca al valore Qp1=2.5
m3/s. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della
quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.
Si rappresenti infine in un grafico l’andamento z(t) per 0<t<6T.
N.B. Nel derivare la soluzione generale và precisato l’orientamento scelto per
l’ascissa curvilinea (s) lungo la quale si effettua l’integrazione nello spazio e vanno
evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo
schema illustrato in Fig. 12, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra
i punti 1 (superficie libera nel pozzo piezometrico) e 4 (superficie libera del serbatoio
di valle
2
E 4 − E1 = −
3
4
2
3
4
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫
ds − ∫
ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
∫
g 1 ∂t
g 2 ∂t
g 3 ∂t
1
2
3
-22-
(52)
moto vario in pressione
Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio
siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia
il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali
possono essere trascurati. Lungo il tratto 2-3, inoltre, sia l’accelerazione temporale
∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio
e possono essere portate fuori dall’integrale.
Fig. 12
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E 4 − E1 = −
L dv
− jL
g dt
(53)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 2 e 3, v e j sono rispettivamente la
velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
L’energia E1 vale E1=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto 4
si ha E4=0 (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia
trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera).
Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (53)
diventa
−z = −
L dv
g dt
(54)
A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità
che, per il nodo 2 si scrive
Q p (t ) − Ω
dz
=v A
dt
(55)
essendo Ω(dz/dt) la portata che dal nodo 2 entra nel pozzo e A=πD2/4=3.14 m2 l’area
della condotta.
Esplicitata la velocità v dalla (55), ricordando che essendo la variazione di portata
pompata istantanea è dQp/dt=0 per t>0, si ha
dv
Ω d 2 z 1 dQ p (t )
Ω d 2z
=−
+
=
−
dt
A dt 2 A dt
A dt 2
la quale, sostituita nella (54) fornisce
−z =
L Ω d 2z
g A dt 2
(56)
Posto
-23-
moto vario in pressione
ω2 =
gA
LΩ
(57)
l'equazione (56) si scrive
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(58)
La soluzione generale dell’equazione (58) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(59)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
⎧z = 0
⎪
⎨ dz = 1 (Q − v A )
0
⎪⎩ dt Ω p 0
t =0
in cui v0=0 e Qp0=5.0 m3/s sono la velocità in condotta e la portata pompata all’istante
t=0. Si trova
C1 =
Qp0 − A v 0
ωΩ
C2 = 0
Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (57)) vale 0.0378 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=166.34 s. Si ha inoltre C1=11.03 m.
Se si considera, per le quote, il riferimento originario, il massimo e il minimo livello nel
pozzo valgono hMAX=69.03 m e hMIN=46.97 m, pertanto le oscillazioni risultano
contenute all’interno del pozzo piezometrico.
In particolare, all’istante t0=3.5T, il livello nel pozzo (dalla (59)) vale z0=0 m mentre la
velocità in condotta si trova combinando le equazioni (55) e (59)
v (t 0 ) =
⎤ 1
1⎡
dz
⎢Q p 0 − Ω
⎥ = [Q p 0 − Ωω C1 cos (ω t 0 )] =
A ⎢⎣
dt t =t0 ⎥⎦ A
1
= [Q p 0 − (Q p 0 − A v 0 ) cos (ω t 0 )]
A
(60)
Sostituendo i dati del problema nella (60) si trova v0=3.183 m/s.
All’istante t0 la portata pompata passa istantaneamente da Qp0 a Qp1=2.5 m3/s. A
seguito di questa manovra si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo
piezometrico.
E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla
(59). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le
costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni
t = t0
⎧z = z 0
⎪
⎨ dz 1 (
⎪⎩ dt = Ω Q p1 − v (t 0 ) A )
Si trova
-24-
moto vario in pressione
C1 = 16.546
C2 = 0
per cui, a partire dall’istante t0, il livello nel pozzo oscilla con un’ampiezza superiore
del 50% rispetto alla precedente. Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel
tempo può essere valutato utilizzando l’equazione di continuità (55)
v=
1⎡
dz ⎤ 1
Q p1 − Ω ⎥ = [Q p1 − Ω C1 ω cos(ω t )]
⎢
A⎣
dt ⎦ A
risulta caratterizzata da oscillazioni più ampie pur restando invariato il valore
massimo. L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig.
13 mentre nella successiva Fig. 14 è riportato l’andamento nel tempo della velocità
nella condotta.
Fig. 13
Fig. 14
-25-
moto vario in pressione
Esercizio 8 (Vedi anche Esercizio 2). La condotta di scarico illustrata in figura, lunga
complessivamente 500 m è divisa in tre tratti (le cui caratteristiche sono indicate nella
stessa figura) per i quali si può assumere lo stesso valore della funzione di
resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.
Si valutino preliminarmente la portata scaricata e le velocità dell’acqua nei tre tratti di
condotta in condizioni di regime quando la saracinesca R è completamente aperta e
non dà luogo a dissipazioni localizzate di energia.
Assumendo che per t<0 la saracinesca R sia chiusa e venga aperta istantaneamente
all’istante t=0, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la
conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale
che descrive l’avviamento della condotta. Individuata la legge con cui la velocità in
uno dei tre tratti di condotta (oppure la portata) cresce nel tempo fino a raggiungere
le condizioni di regime si valuti (analiticamente) l’andamento nel tempo dell’energia in
corrispondenza della sezione M.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Le caratteristiche del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si
possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo
sbocco R. Indicati, per comodità, con i pedici 1, 2 e 3 rispettivamente i tratti A-M, M-N
e N-R di condotta, si ha
E A − j 1L1 − j 2 L2 − j 3 L3 = E R
Utilizzando l’equazione di continuità per una corrente unidimensionale e la legge di
Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia si ha
Q0 = A1v 10 = A2v 20 = A3v 30
hA −
2
v2
f L1 v 10
f L v2 f L v2
− 2 20 − 3 30 = hR + 30
d 1 2g d 2 2g d 3 2g
2g
ovvero
-26-
(61)
moto vario in pressione
⎡f L ⎛ A ⎞2 f L ⎛ A
hA − hR = ⎢ 1 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ 3
d 2 ⎝ A2
⎢⎣ d 1 ⎝ A1 ⎠
2
⎤v2
⎞
f L3
⎟⎟ +
+ 1⎥ 30
d3
⎥⎦ 2g
⎠
(62)
Con i dati del problema, si trova v30=v10=2.12 m/s, v20=8.49 m/s e Q0=2.40 m3/s.
Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il
serbatoio A e lo sbocco R. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel
serbatoio si trova
M
N
R
M
N
R
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E R − E A = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
g A ∂t
g M ∂t
g N ∂t
A
M
N
(63)
Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo le condotte sono costanti nello spazio
sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di
lunghezza j, l’equazione (63) può essere riscritta come segue
hR +
v 32
L ∂v
L ∂v 2 L3 ∂v 3 f L1 v 12 f L2 v 22 f L3 v 32
− hA = − 1 1 − 2
−
−
−
−
2g
g ∂t
g ∂t
g ∂t
d 1 2g d 2 2g d 3 2g
Utilizzando l’equazione di continuità (61) per sostituire la velocità v3 alle velocità v1 e
v2, si ottiene
⎛A
1⎡ ⎛A ⎞
hR − h A = − ⎢L1 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + L2 ⎜⎜ 3
g ⎣ ⎝ A1 ⎠
⎝ A2
2
⎤ ∂v 3 ⎡ f L1 ⎛ A3 ⎞
⎞
fL ⎛A
⎟⎟ + L3 ⎥
⎜⎜
⎟⎟ + 2 ⎜⎜ 3
−⎢
d 2 ⎝ A2
⎢⎣ d 1 ⎝ A1 ⎠
⎠
⎦ ∂t
2
⎤ v2
⎞
fL
⎟⎟ + 3 + 1⎥ 3
d3
⎥⎦ 2g
⎠
(64)
Posto
h0 = hA − hR
⎛A ⎞
⎛A
L = L1 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + L2 ⎜⎜ 3
⎝ A1 ⎠
⎝ A2
2
2
fL
fL ⎛A ⎞
fL ⎛A ⎞
r = 1 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + 3
d 1 ⎝ A1 ⎠
d 2 ⎝ A2 ⎠
d3
⎞
⎟⎟ + L3
⎠
l’equazione (64) si semplifica nella seguente
h0 =
v2
L ∂v 3
+ (r + 1) 3
g ∂t
2g
(65)
Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una
condotta. Con i dati del problema, si trova A3/A1=1.0, A3/A2=4.0, L=800 m, r=60.
Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta,
consideriamo la condizione di regime, data dall’equazione (62) che può essere
riscritta come segue
h0 = (r + 1)
2
v 30
2g
Esplicitata la precedente relazione rispetto a (1+r) e sostituita l’espressione così
ottenuta per (1+r) nell’equazione (65) si trova
v 32
L ∂v 3
= 1− 2
g h0 ∂t
v 30
(66)
Posto Ta=Lv30/gh0=12.36 s, la precedente relazione diventa
-27-
moto vario in pressione
∂ ( t / Ta ) =
∂ v 3 / v 30
2
1 − v 32 / v 30
la quale, risolta con la condizione al contorno: v30=0 per t=0, fornisce
⎛v
t
= arctanh ⎜⎜ 3
Ta
⎝ v 30
⎞
⎟⎟
⎠
ovvero
⎛ t ⎞
v3
=tanh ⎜⎜ ⎟⎟
v 30
⎝ Ta ⎠
(67)
Per valutare l’andamento nel tempo dell’energia nel nodo M, si può,
indifferentemente considerare l’equazione dinamica integrata tra il serbatoio A e la
sezione M, oppure tra la sezione M e lo sbocco R. Nel primo caso si ha
M
M
1 ∂v
E M − E A = − ∫ ds − ∫ j ds
g A ∂t
A
che può essere riscritta come segue
L1 ∂v 1 f L1 v 12
−
E M = hA −
g ∂t
d 1 2g
(68)
Essendo, dalla continuità, v1(t)=v3(t), l’andamento v1(t) è noto essendo di fatto
espresso dalla (67), e la precedente relazione fornisce l’andamento nel tempo
dell’energia nella sezione M.
Si osservi, per altro, che dalla (66), ricordando che v1=v3, si può scrivere
v 12
∂v 1 g h0 ⎛
⎜1 − 2
=
L ⎜⎝ v 10
∂t
⎞
⎟
⎟
⎠
La quale, sostituita nella (68) fornisce
E M = hA − h0
L1 ⎡ L1
f L ⎤ v2
+ ⎢ (1 + r ) − 1 ⎥ 1
L ⎣L
d 1 ⎦ 2g
L’andamento nel tempo della velocità nei tratti A-M e N-R (v1=v3) e dell’energia EM
nella sezione M sono illustrati in Fig. 15.
Fig. 15
-28-
moto vario in pressione
Esercizio 9 (Vedi anche Esercizio 4). Nel sistema illustrato in figura, la galleria AB è
lunga L=1100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.5 m. Il pozzo
piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione
orizzontale Ω=12.0 m2.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è a regime e lungo la galleria fluisce la portata
Q0=Qf=1.5 m3/s e, nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di
energia, il livello z nel pozzo coincide con quello nel serbatio di monte.
A partire dall’istante t=0 viene immessa nel pozzo piezometrico la portata ΔQ=4.0
m3/s, costante nel tempo (vedi figura).
Si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione
dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive
l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Si valuti inoltre il periodo
T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità in condotta, e si commenti il
risultato ottenuto.
Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico
assumendo che all’istante t1=2.0 T, la portata immessa ΔQ si riduca istantaneamente
a zero. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della
quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.
Si rappresenti infine in un grafico l’andamento z(t) per 0<t<6T.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del
moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato
come punto 1) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come
punto 2)
A
B
2
A
B
2
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E 2 − E1 = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
g 1 ∂t
g A ∂t
g B ∂t
1
A
B
Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio
siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia
-29-
moto vario in pressione
il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali
possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, sia l’accelerazione temporale
∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio
e possono essere portate fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E 2 − E1 = −
L dv
− jL
g dt
(69)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni A e B, v e j sono rispettivamente
la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
Si assume, per comodità, il livello del serbatoio di monte come riferimento. In tal caso
l’energia E2 vale E2=z (avendo indicato con z il livello nel pozzo piezometrico e
nell’ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo), mentre nel punto 1 si ha
E1=0.0 m (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia
trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di
energia, come suggerito nel testo, l’equazione (69) diventa
z=−
L dv
g dt
(70)
A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità.
Per il nodo B si può scrivere
v A = Q p ( t ) + Qf
in cui A=1.767 m2 è l’area della condotta e Qp(t) è la portata che dal nodo B entra nel
pozzo piezometrico (Qf è indicato in figura e resta costante nel tempo). A questa
relazione si può associare l’equazione di continuità per un serbatoio
Q p (t ) + ΔQ = Ω
dz
dt
Combinando le due precedenti relazioni si trova
v=
1 ⎡ dz
⎤
Ω
− ΔQ + Qf ⎥
⎢
A ⎣ dt
⎦
(71)
da cui, essendo ΔQ=4.0 m3/s costante nel tempo a partire da t=0, si ha
dv Ω d 2 z
=
dt
A dt 2
Sostituita questa espressione per dv/dt nella (70) e posto
ω2 =
gA
LΩ
(72)
si trova
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(73)
-30-
moto vario in pressione
La soluzione generale dell’equazione (73) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(74)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
⎧z = 0
⎪
⎨ dz = 1 (v A + ΔQ − Q )
f
⎪⎩ dt Ω 0
t =0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (71) esplicitata rispetto a dz/dt e
calcolata per t=0.
Essendo Qf=Q0=1.5 m3/s, v0=Q0/A=0.849 m/s e ΔQ=4.0 m3/s, si trova
C1 =
v 0 A + ΔQ − Qf
ΔQ
=
= 9.198 m
ωΩ
ωΩ
C2 = 0
Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (72)) vale 0.0362 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=173.38 s.
L’andamento nel tempo dei livelli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla
seguente relazione
z=
ΔQ
sen (ω t )
ωΩ
(75)
Considerando le quote originali, i valori massimo e minimo del livello nel pozzo
valgono quindi hMAX=27.2 m e hMIN=8.8 m. L’oscillazione, quindi, resta contenuta
all’interno del pozzo.
Con riferimento alla soluzione ottenuta è da osservare che il risultato, in termini di
livello nel pozzo piezometrico, è indipendente dal valore assunto dalla portata Qf.
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (71) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità
v=
1
[Qf + ΔQ (cos (ω t ) − 1)]
A
(76)
In particolare, all’istante t1=2.0T=346.76 s, il livello nel pozzo (dalla (75)) vale z1=0 m
mentre la velocità in condotta dalla (76) vale v1=0.849 m/s.
All’istante t1 la portata immessa si riduce istantaneamente a zero e, a seguito di
questa manovra, si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico.
E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla
(74). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le
costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni
t = t1
⎧z = z1
⎪
⎨ dz = 1 (v A − Q )
f
⎪⎩ dt Ω 1
Si trova
-31-
moto vario in pressione
C1 = 0
C2 = 0
per cui, a partire dall’istante t1, il livello nel pozzo si mantiene costante e pari a zero.
Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere valutato
utilizzando l’equazione di continuità (71) con ΔQ=0, si mantiene costante e pari al
valore massimo che caratterizzava le oscillazioni per t<t1
v=
Qf
= 0.849 m/s
A
L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 16
mentre nella successiva Fig. 17 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella
condotta.
Fig. 16
Fig. 17
-32-
moto vario in pressione
Esercizio 10. Nel sistema illustrato in figura, la galleria AB è lunga L=1300 m ed è a
sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il pozzo piezometrico inserito a
protezione della galleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=12.0 m2.
In un punto intermedio, lungo la condotta (nodo N), è presente una sottrazione
localizzata di portata, costante, pari a Qu=0.5 m3/s. A causa di una serie di manovre il
livello nel pozzo sta oscillando. In particolare, ad un certo istante che assumiamo
come istante iniziale (t=0) si sa che il livello nel pozzo vale z0=1.0 m e che la velocità
lungo il tratto N-B della condotta vale v0=0.5 m/s diretta verso il pozzo piezometrico.
Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire
dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
del livello z nel pozzo piezometrico. Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione e
l’andamento nel tempo delle velocità nei due tratti di condotta. Si valutino infine i
valori massimo e minimo del livello nel pozzo piezometrico.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del
moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato
come punto 1) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come
punto 2)
A
N
B
2
2
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E 2 − E1 = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds
g 1 ∂t
g A ∂t
g N ∂t
g B ∂t
1
Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio
siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia
il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali
possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t
è costante nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Trascurate inoltre le
dissipazioni di energia e ricordando che la velocità, lungo ciascuno dei due tratti di
condotta, non dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si trova
E 2 − E1 = −
LAN dv 1 LNB dv 2
−
g dt
g dt
(77)
in cui v1 e v2 sono le velocità lungo i tratti AN e NB di condotta, rispettivamente.
-33-
moto vario in pressione
Si assume, come indicato in figura, il livello del serbatoio di monte come riferimento
rispetto al quale il livello nel pozzo piezometrico è rappresentato dalla quota z. Nelle
ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo l’energia E2 vale E2=z mentre nel
punto 1 si ha E1=0.0 m. L’equazione (26) si scrive pertanto
z=−
LAN dv 1 LNB dv 2
−
g dt
g dt
(78)
A questa relazione, nelle variabili z(t), v1(t) e v2(t) vanno associate le equazioni di
continuità per i nodi N e B
v 1 A = Qu + v 2 A
v2 A = Ω
dz
dt
in cui A=0.785 m2 è l’area della condotta. Combinando le due precedenti relazioni si
trova
v1 =
Qu Ω dz
+
A A dt
v2 =
Ω dz
A dt
(79)
Sostituita questa espressione per dv/dt nella (27), ricordando che la portata Qu è
costante nel tempo si trova
z=−
LAN Ω d 2 z LNB Ω d 2 z
LAN + LNB Ω d 2 z
LΩ d 2 z
−
=
−
=
−
g A dt 2
g A dt 2
g
A dt 2
gA dt 2
(80)
in cui L è la lunghezza complessiva della condotta. Posto infine
ω2 =
gA
LΩ
(81)
L’equazione (80) si scrive
d 2z
+ω2 z = 0
2
dt
(82)
La soluzione generale dell’equazione (30) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(83)
in cui la pulsazione ω (equazione (29)), con i dati del problema, vale 0.0222 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=282.72 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le condizioni al
contorno proposte nel testo
t =0
⎧ z = z 0 = 1 .0 m
⎪
Ω dz
⎨
⎪⎩v 2 = A dt = v 0 = 0.5 m / s
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (28). Si trova
C1 =
v0 A
= 1.4725 m
ωΩ
C 2 = z0 = 1.0 m
-34-
moto vario in pressione
L’andamento nel tempo dei livelli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla
seguente relazione
z=
v0 A
sen (ω t ) + z0 cos (ω t )
ωΩ
(84)
Noto l’andamento z(t), utilizzando le equazioni (28) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità
v1 =
Ωz0ω
Qu
+ v 0 cos (ω t ) −
sen (ω t )
A
A
v 2 = v 0 cos (ω t ) −
Ωz 0 ω
sen (ω t )
A
(85)
Gli istanti in cui si realizzano i valori massimi e minimi dei livelli si determinano
annullando la derivata temporale del livello z
dz v 0 A
=
cos (ω t ) − z0ωsen (ω t ) = 0 per
dt
Ω
t MAX =
1
ω
arctan(
v0 A
T
)+k
2
Ω z0ω
con k=0, 1, 2, 3, …..Sostituiti questi valori del tempo nell’equazione (32) si trova
zMAX=1.78 m e zMIN=-1.78 m.
Gli andamenti nel tempo del livello nel pozzo e delle velocità lungo i due tratti di
condotta sono illustrati in Fig. 18.
z (m)
v1 (m/s)
2.0
z (m)
1.50
v2 (m/s)
1.25
1.5
1.00
1.0
0.75
0.5
0.50
0.0
0.25
-0.5
0.00
-1.0
-0.25
-1.5
-0.50
-2.0
-0.75
0
100
200
300
400
500
600
700
tempo (s)
Fig. 18
-35-
800
v (m/s)
2.5
moto vario in pressione
Esercizio 11. Nel sistema illustrato in figura, la condotta che collega il serbatoio B al
nodo N è lunga L1=5 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.1 m,
mentre la condotta che collega il serbatoio A al nodo N è lunga L2=12 m ed è
anch’essa a sezione circolare con diametro interno d=0.08 m. I serbatoi A e B sono
cilindrici con sezione orizzontale ΩA=0.3 m2 e ΩB=0.5 m2, rispettivamente. Il
riferimento per le quote, illustrato in figura, coincide con la quota delle superfici libere
nei due serbatoi quando su queste, in condizioni di quiete, vigesse pressione
atmosferica.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete e al di sopra della superficie libera del
serbatoio B, a tenuta, l’aria presente è caratterizzata da una pressione relativa
negativa p=-12.0 kPa.
All’istante t=0 viene rimosso il coperchio C che chiude superiormente il serbatoio B
ripristinando così pressione atmosferica sulla superficie libera del serbatoio. Dopo
aver stabilito il legame esistente tra il generico livello z nel serbatoio B e il
corrispondente livello y nel serbatoio A si ricavi, a partire dall’equazione differenziale
che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la
soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B.
Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate e si assuma un valore costante
(f=0.02) del coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach. Si assuma,
inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica
vM=0.75 m/s per il tratto BN di condotta. Si rappresenti graficamente la soluzione
dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Per la conservazione dei volumi è evidente che ad un incremento di quota Δz
corrisponde un volume immagazzinato nel serbatoio B pari a ΩB.Δz; questo volume
viene sottratto al serbatoio A e corrisponde alla quantità ΩA.Δy. Essendo y=0 quando
z=0 per il riferimento assunto, si avrà
y =−
ΩB
z
ΩA
(86)
-36-
moto vario in pressione
Inoltre, per t<0, essendo la pressione p=-12.0 kPa sarà
z0 − y 0 = − p / γ
ovvero
z0 (1 +
ΩB
) = −p / γ
ΩA
(87)
Con i dati del problema si trova z0=0.459 m e, dalla (87), y0=-0.765 m.
Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra
l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio B
(punto 1) e la superficie libera nel serbatoio A (punto 4)
2
E 4 − E1 = −
N
3
4
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds +
∫
g 1 ∂t
g 2 ∂t
g N ∂t
g 3 ∂t
2
N
3
4
1
2
N
3
− ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a
quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono
piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali possono essere
trascurati. Lungo i tratti 2-N e N-3, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante
nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
E 4 − E1 = −
L1 dv 1 L2 dv 2 fL1 v M1 v 1 fL2 v M 2 v 2
−
−
−
g dt
g dt
D1 2 g
D2 2 g
in cui, con i pedici 1 e 2 sono indicate, rispettivamente, le grandezze caratteristiche
dei tronchi 2-N e N-3 di condotta, L e v sono rispettivamente la lunghezza della
condotta e la velocità del fluido, vM1 e vM2 sono le velocità caratteristiche nei due tratti
mediante le quali vengono linea rizzate le dissipazioni di energia.
Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile; sfruttando inoltre
l’equazione di continuità v1A1=v2A2, essendo A1 e A2 le aree delle sezioni trasversali
dei due tronchi di condotta, e assumendo che la stessa relazione leghi tra loro le
velocità caratteristiche vM1 e vM2, la precedente relazione può essere scritta come
segue
1
y −z =−
g
⎡L
⎡
A1 ⎤ dv 1
L ⎛A
⎢ 1 + 2 ⎜⎜ 1
+
−
L
L
f
1
2
⎢
⎥
A2 ⎦ dt
⎢⎣ D1 D2 ⎝ A2
⎣
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤v v
⎥ M1 1
⎥⎦ 2 g
(88)
Ricordando la (86) e posto
Ω
Ω = B + 1 =2.667
ΩA
A
L = L1 + L2 1 =23.75 m
A2
L
L ⎛A
λ = 1 + 2 ⎜⎜ 1
D1 D2 ⎝ A2
2
⎞
⎟⎟ =416.21
⎠
(89)
l’equazione (88) si riduce alla seguente
−z =−
L dv 1 fλ v M1 v 1
−
g Ω dt
Ω 2g
(90)
Per continuità si può scrivere
-37-
moto vario in pressione
v 1 A1 = −Ω B
dz
dt
ovvero
v1 = −
Ω B dz
A1 dt
(91)
Sostituita questa espressione per v1 nella (90) si ottiene
L Ω B d 2 z fλ v M1 Ω B dz
−z =
+
2 gΩ A1 dt
g Ω A1 dt 2
(92)
Posto infine
ω2 =
g Ω A1
L ΩB
ψ =
fλ v M 1
4L
(93)
si trova
d2z
dz
+ 2ψ
+ ω2z = 0
2
dt
dt
(94)
Per stabilire se la soluzione della (94) descrive un moto asintotico o periodico
smorzato è a questo punto necessario stabilire il valore da assegnare alla velocità
caratteristica. Nel testo si suggerisce di porre vM1=0.75 m/s, che sostituito nella (93)
fornisce ψ = 0.0657 s-1.
Essendo la pulsazione ω (equazione (93)) pari a ω=0.132 s-1 si ha ψ<ω e la
condizione di quiete sarà raggiunta attraverso un’oscillazione smorzata. Per altro,
non essendo ψ trascurabilmente piccolo rispetto ad ω, l’oscillazione si smorzerà
molto rapidamente.
Posto
ω D = ω 2 − ψ 2 = 0.114 s-1
(95)
si avrà
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )]
(96)
Nella quale le costanti le costanti C1 e C2 vanno determinate sulla base delle
condizioni al contorno.
t =0
⎧z = z 0
⎪
v 10 A1
⎨ dz
⎪⎩ dt = − Ω = 0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (91) esplicitata rispetto a dz/dt e
calcolata per t=0. Si trova
C1=0.265 m
C2=0.459 m
Per quanto riguarda il periodo dell’oscillazione, questo vale T=2π/ωD=55.14 s.
Una volta determinato l’andamento nel tempo del livello z, è agevole valutare gli
andamenti nel tempo del livello y (mediante la (86)), e delle velocità v1 e v2, mediante
l’equazione (91) e la condizione v1A1=v2A2. Le rappresentazioni grafiche
dell’andamento del livello z e di quello della velocità v1 sono illustrati in Fig. 19 e in
Fig. 20, rispettivamente.
-38-
moto vario in pressione
Fig. 19
Fig. 20
-39-
moto vario in pressione
Esercizio 12. Nel circuito chiuso illustrato in figura la condotta è lunga L=22 m ed è a
sezione circolare con diametro interno d=0.04 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con
sezione orizzontale ΩA=ΩB=0.02 m2. Il riferimento per le quote corrisponde al livello
che si stabilisce nei due serbatoi quando il sistema è in quiete.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e la pompa P è in
grado di far scorrere nel circuito una portata Qp=0.001 m3/s. Valutato,
preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio B e y nel serbatoio A si valutino,
in queste condizioni di moto stazionario, i livelli che si stabiliscono nei due serbatoi
assumendo, per la valutazione delle dissipazioni di energia continue, un valore
costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.
All’istante t=0 la pompa viene spenta (interrompendo istantaneamente il flusso lungo
il breve tratto tra i nodi 2 e 1, di lunghezza trascurabile).
Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate, i termini cinetici e la
lunghezza dei brevi tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito, si ricavi, a
partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
dei livelli z e y utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una
velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente. Si
rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato i livelli z e y in alcuni istanti
caratteristici. Si valuti infine il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo
delle velocità nella condotta.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti
d 2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2z = ξ ω 2
2
dt
dt
la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
con
ωD = ω 2 − ψ 2
mentre, quando è ψ>ω, è del tipo
z = C1 e −(ψ −ωD ) t + C 2 e −(ψ +ωD ) t + ξ
-40-
con
ωD = ψ 2 − ω 2
moto vario in pressione
Per la conservazione dei volumi è evidente che, in ogni istante, il volume presente
nel sistema resta invariato. Pertanto, ad un incremento di volume immagazzinato nel
serbatoio A pari a ΩA.Δy; deve corrispondere un volume sottratto al serbatoio B pari
ΩB.Δz. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà
z=−
ΩA
y
ΩB
(97)
Per quanto riguarda la valutazione dei livelli iniziali in condizione di moto stazionario
un semplice bilancio di energia tra i punti 1 e 2 nelle ipotesi di trascurare i carichi
cinetici fornisce
f L v 02
y0 −
= z0
d 2g
Combinando la precedente relazione con la condizione (97), si trova
ΩB
f L v 02
z −
−
= z0
Ω A 0 d 2g
ovvero
z0 = −
f L v 02
= -0.1775 m
d 4g
e quindi
y0 = −
ΩB
z0 = −z 0 = 0.1775 m
ΩA
Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando
l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra i serbatoi A e B (si ricorda
che a partire da t=0 il flusso lungo il breve tratto di condotta tra le sezioni 1 e 2 è
interrotto)
1
2
B
1
2
B
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E B − E A = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
g A ∂t
g 1 ∂t
g 2 ∂t
A
1
2
Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a
quelle della condotta e ricordando che i tratti di condotta che collegano i serbatoi al
circuito sono di lunghezza trascurabile, è facile mostrare che gli integrali estesi ai
tratti A-1 e 2-B possono essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, la velocità e
l’accelerazione temporale ∂v/∂t sono costanti nello spazio e possono essere portate
fuori dall’integrale. Infine, non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo,
la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale,
ottenendo
EB − E A = −
L dv
− jL
g dt
in cui L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido.
Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre
il legame espresso dalla (97) e le indicazioni fornite nel testo relativamente alla stima
delle dissipazioni continue, la precedente relazione può essere scritta come segue1
1
La velocità caratteristica vM dovrebbe essere sensibilmente inferiore a quella di regime se si vuole
riprodurre con buona approssimazione la velocità di smorzamento delle oscillazioni. Tuttavia, essendo
necessario calcolare la condizione iniziale (z0, y0) valutando le dissipazioni con l’approssimazione
determinata dall’introduzione di vM, questo comporterebbe una sottostima dei livelli
-41-
moto vario in pressione
⎛ Ω
z − y = z − ⎜⎜ − B
⎝ ΩA
⎞
L dv f L v M v
−
z ⎟⎟ = −
g dt
d 2g
⎠
ovvero, essendo ΩA=ΩB
2z = −
L dv f L v M v
−
g dt
d 2g
(98)
Indicata con A l’area della sezione della condotta, per continuità si può scrivere
vA = Ω B
dz
dt
ovvero
v=
Ω B dz
A dt
(99)
Sostituita questa espressione per v nella (98) si ottiene
L Ω B d 2 z f L v M Ω B dz
−
2z = −
g A dt 2
d 2g A dt
(100)
Posto infine
ω2 =
2g A
L ΩA
ψ =
f vM
4d
si trova
d 2z
dz
+ 2ψ
+ω2 z = 0
2
dt
dt
(101)
Con i dati del problema si ha vM=v0=Qp/A=0.796 m/s, ω=0.237 s-1 e ψ=0.099 s-1.
Essendo ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione (101) sarà del tipo
z = e −ψt [C1 sen( ω D t ) + C 2 cos( ω D t )]
(102)
in cui ω D = ω 2 − ψ 2 =0.215 s-1 a cui corrisponde il periodo T=29.3 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t =0
⎧z = z 0
⎪
⎨ dz v 0 A
⎪ dt = Ω
B
⎩
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (99) calcolata per t=0.
Imponendo le condizioni al contorno si trova
C1 =
v 0 A ψ z0
= 0.151 m
+
ωD Ω B ωD
C 2 = z0 = -0.1775 m
Gli andamenti nel tempo dei livelli z e y nei due serbatoi sono illustrati in Fig. 21.
-42-
moto vario in pressione
0.2
livelli (m)
z (m)
y (m)
0.1
0
-0.1
-0.2
0
20
40
60
tempo (s)
Fig. 21
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (99) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità v
v =−
Ω B −ψt
e [(ψC1 + C 2ω D )sen(ω D t ) + (ψC 2 − C1ω D )cos(ω D t )]
A
L’andamento nel tempo della velocità è illustrato in Fig. 22.
velocità (m/s)
1
0.5
0
-0.5
0
20
40
Fig. 22
-43-
60
tempo (s)
moto vario in pressione
Esercizio 13. Nel circuito chiuso illustrato in figura la condotta è lunga L=22 m ed è a
sezione circolare con diametro interno d=0.04 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con
sezione orizzontale ΩA=ΩB=0.02 m2, rispettivamente. Il riferimento per le quote
corrisponde al livello che si stabilisce nei due serbatoi quando il sistema è in quiete.
In condizioni di moto stazionario la pompa P è in grado di far scorrere nel circuito una
portata Qp=0.001 m3/s. Si valuti, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio
B e y nel serbatoio A.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete. All’istante t=0 la pompa viene accesa
(attivando istantaneamente il flusso lungo il breve tratto tra i nodi 2 e 1, di lunghezza
trascurabile).
Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate, i termini cinetici e la
lunghezza dei brevi tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito, si ricavi, a
partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
dei livelli z e y utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una
velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente. si assuma
inoltre, per la valutazione delle dissipazioni di energia continue, un valore costante
della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.
Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato i livelli z e y in alcuni
istanti caratteristici e per t→∞. Si valuti infine l’andamento nel tempo delle velocità
nella condotta.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti
d 2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2z = ξ ω 2
2
dt
dt
la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
mentre, quando è ψ>ω, è del tipo
z = C1 e −(ψ −ωD ) t + C 2 e −(ψ +ωD ) t + ξ
-44-
con
con
ωD = ω 2 − ψ 2
ωD = ψ 2 − ω 2
moto vario in pressione
Per la conservazione dei volumi è evidente che, in ogni istante, il volume presente
nel sistema resta invariato. Pertanto, ad un incremento di volume immagazzinato nel
serbatoio A pari a ΩA.Δy; deve corrispondere un volume sottratto al serbatoio B pari
ΩB.Δz. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà
z=−
ΩA
y
ΩB
(103)
Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando
l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra i serbatoi A e B lungo il
percorso A-1-2-B.
1
EB − E A = −
2
1
B
2
B
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds − ∫ j ds − ∫ j ds
∫
g A ∂t
g 1 ∂t
g 2 ∂t
A
1
2
Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a
quelle della condotta e ricordando che i tratti di condotta che collegano i serbatoi al
circuito sono di lunghezza trascurabile, è facile mostrare che gli integrali estesi ai
tratti A-1 e 2-B possono essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, la velocità e
l’accelerazione temporale ∂v/∂t sono costanti nello spazio e possono essere portate
fuori dall’integrale. Infine, non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo,
la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale,
ottenendo
EB − E A = −
L dv
− jL
g dt
in cui L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido.
Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre
il legame espresso dalla (103) e le indicazioni fornite nel testo relativamente alla
stima delle dissipazioni continue, la precedente relazione può essere scritta come
segue
⎛ Ω
z − y = z − ⎜⎜ − B
⎝ ΩA
⎞
L dv f L v M v
−
z ⎟⎟ = −
g dt
d 2g
⎠
ovvero, essendo ΩA=ΩB
2z = −
L dv f L v M v
−
g dt
d 2g
(104)
Indicata con A l’area della sezione della condotta, l’equazione di continuità per il
nodo 2 fornisce
vA = Q p + Ω B
dz
dt
ovvero
v=
Qp
A
+
Ω B dz
A dt
(105)
Si osservi, per inciso, che combinando la precedente relazione con l’equazione (103)
si trova
vA = Q p − Ω A
dy
dt
che corrisponde all’equazione di continuità per il nodo 1.
-45-
moto vario in pressione
Sostituita l’espressione (105) per v nella (104) si ottiene
2z = −
L Ω B d 2 z f L v M ⎛ Q p Ω B dz ⎞
⎜
⎟
−
+
g A dt 2
d 2 g ⎜⎝ A
A dt ⎟⎠
(106)
Posto infine
ω2 =
2g A
L ΩB
ψ =
f vM
4d
ξ =−
f Qpv M
2 dω 2 Ω B
si trova
d2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2 z = ξω 2
2
dt
dt
(107)
Con i dati del problema si ha vM=v0=Qp/A=0.796 m/s, ω=0.237 s-1, ψ=0.099 s-1 e ξ=0.1775 m. Essendo ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione (101) sarà del tipo
z = e −ψt [C1 sen( ω D t ) + C 2 cos( ω D t )] + ξ
(108)
in cui ω D = ω 2 − ψ 2 =0.215 s-1 a cui corrisponde il periodo T=29.3 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t =0
⎧z = z 0 = 0
⎪
Qp
⎨ dz v 0 A Q p
=
−
=
−
⎪ dt
ΩB ΩB
ΩB
⎩
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (105) calcolata per t=0.
Imponendo le condizioni al contorno si trova
C1 = −
⎞
1 ⎛ Qp
⎜⎜
+ ψξ ⎟⎟ = -0.151 m
ωD ⎝ Ω B
⎠
C 2 = −ξ = 0.1775 m
Gli andamenti nel tempo dei livelli z e y nei due serbatoi sono illustrati in Fig. 23.
-46-
moto vario in pressione
livelli (m)
0.3
0.2
0.1
0
z (m)
-0.1
y(m)
-0.2
-0.3
0
20
40
60
tempo (s)
Fig. 23
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (105) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità v
v=
Qp
A
+−
Ω B −ψt
e [(ψC1 + C 2ω D )sen(ω D t ) + (ψC 2 − C1ω D )cos(ω D t )]
A
L’andamento nel tempo della velocità è illustrato in Fig. 24.
velocità (m/s)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
Fig. 24
-47-
60
tempo (s)
moto vario in pressione
Esercizio 14. La condotta di scarico illustrata in figura, di diametro d=0.8 m, è lunga
complessivamente 450 m ed è munita di una saracinesca R che, se completamente
aperta, non dà luogo ad alcuna dissipazione localizzata di energia. Per la valutazione
delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore
della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.
Inizialmente (t<0), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è
completamente aperta e non determina alcuna dissipazione localizzata di energia. Si
valuti, in queste condizioni la velocità v0 nella condotta.
All’istante t=0 la saracinesca R viene (istantaneamente) parzialmente chiusa e
determina una dissipazione localizzata di energia pari a ΔER=37.v2/2g. Si valuti la
velocità v1 di regime nelle nuove condizioni, la legge con cui la velocità in condotta
varia da v0 a v1.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte. Si ricordano inoltre i seguenti integrali notevoli
dx
∫ 1− x
2
=arctanh(x)+cost.
per x<1 e
dx
∫ 1− x
2
=arctanh(1/x)+cost. per x>1
Le caratteristiche iniziali del moto quando la saracinesca R è completamente aperta
si possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo
sbocco U
E A − j L = EU
Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia, e le
altre indicazioni riportate in figura, si ha
2
⎡f L ⎤ v
hA − hU = ⎢ + 1⎥ 0
⎦ 2g
⎣d
Con i dati del problema, si trova v0=4.735 m/s e Q0=2.38 m3/s.
Per valutare le condizioni di regime una volta che la saracinesca R viene
parzialmente chiusa si utilizza ancora un bilancio di energia nel quale è considerata
la dissipazione localizzata
-48-
moto vario in pressione
2
⎡f L
⎤ v1
ovvero………. hA − hU = ⎢ + 37 + 1⎥
⎣d
⎦ 2g
E A − j L − ΔE R = EU
Con i dati del problema, si trova v1=2.36 m/s e Q1=1.187 m3/s.
Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il
serbatoio A e lo sbocco U. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel
serbatoio si trova
U
U
1 ∂v
EU − E A = − ∫ ds − ∫ j ds − ΔE R
g A ∂t
A
(109)
Si osservi, nella (109), che è presente la dissipazione localizzata di energia.
Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo la condotta è costante nello spazio sia
l’accelerazione temporale ∂v/∂t che la dissipazione di energia per unità di lunghezza
j, l’equazione (109) può essere riscritta come segue
hU +
v2
L ∂v f L v 2
v2
− hA = −
−
− 37
2g
g ∂t
d 2g
2g
(110)
Posto
h0 = hA − hR
r = f L / d + 37
l’equazione (110) si semplifica nella seguente
h0 =
L ∂v
v2
+ (r + 1)
g ∂t
2g
(111)
Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una
condotta. Con i dati del problema, si trova r=48.25.
Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta,
consideriamo la condizione di regime, che può essere riscritta come segue
v 12
h0 = (r + 1)
2g
Esplicitata la precedente relazione rispetto a (1+r) e sostituita l’espressione così
ottenuta per (1+r) nell’equazione (111) si trova
L ∂v
v2
= 1− 2
g h0 ∂t
v1
(112)
Posto Ta=Lv1/gh0=7.738 s, la precedente relazione diventa
∂ ( t / Ta ) =
∂ v / v1
1 − v 2 / v 12
(113)
E’ da osservare, a questo punto, che mentre nel problema di avviamento la velocità v
risulta sempre compresa tra zero e v1 e il denominatore della (113) risulta quindi
sempre positivo, nel caso in esame la velocità v varia da v0 a v1<v0 e il denominatore
della (113) rimane sempre negativo. In questo caso la soluzione generale della (113)
è
-49-
moto vario in pressione
t
=arctanh(v1/v)+cost
Ta
(114)
La costante di integrazione si determina sapendo che per t=0 la velocità in condotta
vale v0. Sostituita questa condizione nella (114) si trova
cost=-arctanh(v1/v0)=-0.5472
e quindi
v
t
=1/tanh( +0.5472)
v1
Ta
(115)
L’andamento nel tempo della velocità espressa dalla (115) è illustrato in Fig. 25.
Fig. 25
-50-
moto vario in pressione
Esercizio 15 Nel sistema illustrato in figura, la condotta di mandata è lunga L=100 m
ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito
a protezione della condotta è cilindrico con una sezione orizzontale ΩA=3.0 m2. Il
serbatoio B è anch’esso cilindrico, caratterizzato da una superficie orizzontale di area
ΩB=30.0 m2. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la
condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di
Darcy-Weisbach, f=0.02.
Inizialmente (t<0), il sistema è in quiete, la pompa P è spenta (ed è impedito il flusso
attraverso la pompa stessa) e la saracinesca S è completamente chiusa.
All’istante t=0 la pompa P viene accesa e comincia, istantaneamente, a sollevare una
portata costante pari a Qp=0.5 m3/s, mentre la saracinesca S rimane sempre chiusa.
Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate si ricavi, a partire
dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
della velocità in condotta utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di
energia, una velocità caratteristica vM=2.0 m/s. Si rappresenti quindi graficamente la
soluzione.
Si valuti, raggiunte le condizioni di regime, la portata che entra nel serbatoio B.
Facoltativamente, si ricavino infine gli andamenti nel tempo dei livelli z e h.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti
d 2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2z = ξ ω 2
2
dt
dt
la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
mentre, quando è ψ>ω, è del tipo
z = C1 e −(ψ −ωD ) t + C 2 e −(ψ +ωD ) t + ξ
con
con
ωD = ω 2 − ψ 2
ωD = ψ 2 − ω 2
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo
schema illustrato di figura, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra
la superficie libera nel pozzo piezometrico (punto A) e la superficie libera del
serbatoio (punto B)
-51-
moto vario in pressione
B
EB − E A = −
B
1 ∂v
ds − ∫ j ds
g ∫A ∂t
A
(116)
Essendo le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio grandi
rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine
∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti A-1 e 2-B cosicché i corrispondenti integrali possono
essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le
dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono
essere portate fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
Eb − E A = −
L dv
− jL
g dt
(117)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 1 e 2, v e j sono rispettivamente la
velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
L’energia EA vale EA=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto B
si ha, analogamente, EB=h.
Esprimendo inoltre le dissipazioni di energia con la legge di Darcy-Weisbach
l’equazione (2) diventa
L dv fL v v
−
g dt d 2g
h−z =−
(118)
A questa relazione, nelle variabili h(t), z(t) e v(t) vanno associate l’equazione di
continuità per il nodo 1 e quella per il serbatoio di valle
Qp − Ω A
dz
=v A
dt
(119)
v A = ΩB
dh
dt
(120)
essendo ΩA(dz/dt) la portata che dal nodo 1 entra nel pozzo e A=πD2/4=0.196 m2
l’area della condotta.
Possiamo linearizzare le dissipazioni di energia introducendo la velocità caratteristica
vM al posto del modulo della velocità nell’equazione (118). Derivando quindi
l’equazione (118) rispetto al tempo si trova
dh dz
L d 2v fL v M dv
−
=−
−
dt dt
g dt 2 d 2g dt
(121)
nella quale i termini dh/dt e dz/dt possono essere esplicitati dalle equazioni (120) e
(119), rispettivamente
dh v A
=
dt Ω B
(122)
dz Q p − v A
=
dt
ΩA
(123)
-52-
moto vario in pressione
Combinando in questo modo le equazioni (121), (122) e (123) si trova
v A Qp − v A
L d 2v fL v M dv
−
=−
−
g dt 2 d 2g dt
ΩB
ΩA
(124)
ovvero
1
d 2v f v M dv gA ⎛ 1
⎜⎜
+
+
+
2
d 2 dt
L ⎝ ΩB Ω A
dt
⎞
g Qp
⎟⎟v =
L ΩA
⎠
(125)
Posto
ω2 =
1 ⎞
gA ⎛ 1
⎜⎜
⎟
+
L ⎝ Ω B Ω A ⎟⎠
ψ =
f vM
4d
ξ=
Qp
ΩB
A Ω A + ΩB
(126)
l'equazione (125) si scrive
d 2v
dv
+ 2ψ
+ ω 2 v = ξω 2
2
dt
dt
(127)
Nel caso in esame si trova ω=0.084 s-1, ψ=0.020 s-1 e ξ=2.315 m/s.
Posto allora
ω D = ω 2 − ψ 2 =0.082 s-1
(128)
la soluzione generale dell’equazione (127) è del tipo
v = e −ψt [C1 sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
(129)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti,
generiche, condizioni al contorno
t =0
⎧v = 0
⎪
⎨ dv = 0
⎪⎩ dt
(130)
Con la prima condizione si ha
C 2 = −ξ
mentre dalla seconda condizione si ha
C1 = −
ψξ
ωD
Si trova quindi
⎤
⎡ψ
v = −ξe −ψt ⎢
sen(ω D t ) + cos(ω D t )⎥ + ξ
⎦
⎣ωD
(131)
il cui andamento è illustrato in Fig. 26.
-53-
moto vario in pressione
Fig. 26
In condizioni di regime, dalla (131), si trova v∞=ξ e la portata che entra nel serbatoio
B vale dunque QB∞=0.455 m3/s.
Calcolata la legge con cui varia la velocità, l’andamento del livello h si determina
integrando la (122)
⎤ ξA
dh
ξ A −ψt ⎡ ψ
e ⎢
sen(ω D t ) + cos(ω D t )⎥ +
=−
dt
ΩB
⎦ ΩB
⎣ωD
(132)
Si trova (dopo qualche passaggio)
h=−
ξA
ΩB
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] +
con
ξA
ΩB
t + cost.
ω D2 − ψ 2
K1 =
=10.86 s
ωD (ω D2 + ψ 2 )
2ψ
K2 = − 2
= -5.66 s
ωD + ψ 2
(133)
Con la condizione al contorno: t=0, h=0, si ha
cost.= K 2
ξA
(134)
ΩB
e quindi
h=−
ξA
ΩB
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] +
ξA
ΩB
(t + K 2 )
(135)
Per determinare l’andamento nel tempo del livello z, conviene fare riferimento
all’equazione (123)
⎤ ⎛ Qp
dz ξA −ψt ⎡ ψ
ξA ⎞
⎟⎟
−
e ⎢
sen(ω D t ) + cos(ω D t )⎥ + ⎜⎜
=
dt Ω A
⎦ ⎝ ΩA ΩA ⎠
⎣ωD
(136)
la quale, risolta in modo analogo all’equazione per h, fornisce
z=
⎛ Qp
ξA ⎞
⎟⎟t + cost.
−
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] + ⎜⎜
ΩA
⎝ ΩA ΩA ⎠
ξA
-54-
(137)
moto vario in pressione
Con la condizione al contorno: t=0, z=0, si ha
cost.= − K 2
ξA
(138)
ΩA
e quindi
z=
⎛ Qp
ξA ⎞
ξA
⎟⎟t − K 2
−
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] + ⎜⎜
ΩA
ΩA
⎝ ΩA ΩA ⎠
ξA
L’andamento nel tempo dei livelli h e z è illustrato in Fig. 27.
Fig. 27
-55-
(139)
moto vario in pressione
Esercizio 16 Nel sistema illustrato in figura, la condotta di mandata è lunga L=100 m
ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito
a protezione della condotta è cilindrico con una sezione orizzontale ΩA=3.0 m2. Il
serbatoio B è anch’esso cilindrico, caratterizzato da una superficie orizzontale di area
ΩB=30.0 m2. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la
condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di
Darcy-Weisbach, f=0.02.
Inizialmente (t<0), il sistema è in quiete, la pompa P è spenta (ed è impedito il flusso
attraverso la pompa stessa) e la saracinesca S è completamente chiusa.
All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente aperta e dal serbatoio B viene
scaricata portata costante pari a Qu=0.5 m3/s, mentre la pompa P rimane sempre
spenta (econtinua ad essere impedito il flusso attraverso la pompa stessa).
Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate si ricavi, a partire
dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
della velocità in condotta utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di
energia, una velocità caratteristica vM=0.25 m/s. Si rappresenti quindi graficamente la
soluzione.
Si valuti, raggiunte le condizioni di regime, la portata che entra nel serbatoio B
attraverso la condotta di mandata.
Facoltativamente, si ricavino infine gli andamenti nel tempo dei livelli z e h.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti
d 2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2z = ξ ω 2
2
dt
dt
la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
mentre, quando è ψ>ω, è del tipo
z = C1 e −(ψ −ωD ) t + C 2 e −(ψ +ωD ) t + ξ
con
con
ωD = ω 2 − ψ 2
ωD = ψ 2 − ω 2
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo
schema illustrato di figura, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra
-56-
moto vario in pressione
la superficie libera nel pozzo piezometrico (punto A) e la superficie libera del
serbatoio (punto B)
B
B
1 ∂v
E B − E A = − ∫ ds − ∫ j ds
g A ∂t
A
(140)
Essendo le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio grandi
rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine
∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti A-1 e 2-B cosicché i corrispondenti integrali possono
essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le
dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono
essere portate fuori dall’integrale.
Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale
rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo
Eb − E A = −
L dv
− jL
g dt
(141)
in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 1 e 2, v e j sono rispettivamente la
velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta.
L’energia EA vale EA=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto B
si ha, analogamente, EB=h.
Esprimendo inoltre le dissipazioni di energia con la legge di Darcy-Weisbach
l’equazione (141) diventa
h−z =−
L dv fL v v
−
g dt d 2g
(142)
A questa relazione, nelle variabili h(t), z(t) e v(t) vanno associate l’equazione di
continuità per il nodo 1 e quella per il serbatoio di valle
− ΩA
dz
=v A
dt
v A − Qu = Ω B
(143)
dh
dt
(144)
essendo ΩA(dz/dt) la portata che dal nodo 1 entra nel pozzo e A=πD2/4=0.196 m2
l’area della condotta.
Possiamo linearizzare le dissipazioni di energia introducendo la velocità caratteristica
vM al posto del modulo della velocità nell’equazione (142). Derivando quindi
l’equazione (142) rispetto al tempo si trova
dh dz
L d 2v fL v M dv
−
=−
−
dt dt
g dt 2 d 2g dt
(145)
nella quale i termini dh/dt e dz/dt possono essere esplicitati dalle equazioni (144) e
(143), rispettivamente
dh v A − Qu
=
dt
ΩB
(146)
-57-
moto vario in pressione
dz
vA
=−
dt
ΩA
(147)
Combinando in questo modo le equazioni (145), (146) e (147) si trova
v A − Qu v A
L d 2v fL v M dv
+
=−
−
g dt 2 d 2g dt
ΩB
ΩA
(148)
Ovvero
d 2v f v M dv gA ⎛ 1
g Qu
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟v =
+
+
+
2
d 2 dt
L ⎝ ΩB Ω A ⎠
L ΩB
dt
(149)
Posto
ω2 =
1
gA ⎛ 1
⎜⎜
+
L ⎝ ΩB Ω A
⎞
⎟⎟
⎠
ψ =
f vM
4d
ξ=
Qu
ΩA
A Ω A + ΩB
(150)
l'equazione (149) si scrive
d 2v
dv
+ 2ψ
+ ω 2 v = ξω 2
2
dt
dt
(151)
Nel caso in esame si trova ω=0.084 s-1, ψ=0.0025 s-1 e ξ=0.231 m/s. Posto allora
ω D = ω 2 − ψ 2 =0.084 s-1
(152)
la soluzione generale dell’equazione (151) è del tipo
v = e −ψt [C1 sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
(153)
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti,
generiche, condizioni al contorno
t =0
⎧v = 0
⎪
⎨ dv = 0
⎪⎩ dt
(154)
Con la prima condizione si ha
C 2 = −ξ
mentre dalla seconda condizione si ha
C1 = −
ψξ
ωD
Si trova quindi
⎤
⎡ψ
v = −ξe −ψt ⎢
sen(ω D t ) + cos(ω D t )⎥ + ξ
⎦
⎣ ωD
(155)
il cui andamento è illustrato in Fig. 28.
-58-
moto vario in pressione
Fig. 28
In condizioni di regime, dalla (155), si trova v∞=ξ e la portata che entra nel serbatoio
B vale dunque QB∞=0.045 m3/s.
Calcolata la legge con cui varia la velocità, l’andamento del livello h si determina
integrando la (146)
⎤ ξA Qu
dh
ξA −ψt ⎡ ψ
e ⎢
sen(ω D t ) + cos(ω D t )⎥ +
−
=−
dt
ΩB
⎦ ΩB ΩB
⎣ωD
(156)
Si trova (dopo qualche passaggio)
h=−
⎛ ξA Qu ⎞
⎟⎟t + cost.
−
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] + ⎜⎜
ΩB
⎝ ΩB ΩB ⎠
ξA
con
K1 =
ω −ψ
=11.88 s
ωD (ω D2 + ψ 2 )
2
D
2
K2 = −
2ψ
= -0.708 s
ω +ψ 2
(157)
2
D
Con la condizione al contorno: t=0, h=0, si ha
cost.= K 2
ξA
(158)
ΩB
e quindi
h=−
⎛ ξA Qu ⎞
ξA
⎟⎟t + K 2
−
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] + ⎜⎜
ΩB
ΩB
⎝ ΩB ΩB ⎠
ξA
(159)
Per determinare l’andamento nel tempo del livello z, conviene fare riferimento
all’equazione (147)
⎤ ξA
dz ξA −ψt ⎡ ψ
e ⎢
sen(ω D t ) + cos(ω D t )⎥ −
=
dt Ω A
⎦ ΩA
⎣ωD
(160)
la quale, risolta in modo analogo all’equazione per h, fornisce
z=
ξA
ΩA
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] −
ξA
ΩA
t + cost.
-59-
(161)
moto vario in pressione
Con la condizione al contorno: t=0, z=0, si ha
cost.= − K 2
ξA
(162)
ΩA
e quindi
z=
ξA
ΩA
e −ψt [K 1 sen(ω D t ) + K 2 cos(ω D t )] −
ξA
ΩA
t − K2
ξA
ΩA
L’andamento nel tempo dei livelli h e z è illustrato in Fig. 29.
Fig. 29
-60-
(163)
moto vario in pressione
Esercizio 17. Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=60 m ed è a
sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio B è cilindrico con una
sezione orizzontale Ω=5.0 m2 mentre si può assumere che la sezione orizzontale del
serbatoio A sia infinitamente estesa.
In un punto intermedio lungo la condotta, alla distanza LAN=40 m dal serbatoio A, è
presente una sottrazione localizzata di portata pari a Qu=0.5 m3/s. A partire da un
certo istante, che assumiamo come istante iniziale (t=0), la portata sottratta Qu viene
ridotta a Qu=0 m3/s, linearmente nel tempo Tc=30 s.
Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire
dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
del livello z nel serbatoio B durante l’intervallo di tempo Tc. Si valuti inoltre,
nell’ipotesi di trascurare il carico cinetico nella condotta, l’andamento nel tempo della
quota piezometrica nel nodo N.
Si ricavi infine l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B per t>Tc, quando
ormai la sottrazione di portata Qu resta nulla.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del
moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato
come punto 1) e la superficie libera nel serbatoio B (che sarà indicato come punto 2)
A
N
B
2
2
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E 2 − E1 = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds
g 1 ∂t
g A ∂t
g N ∂t
g B ∂t
1
Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a
quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono
piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere
trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello
spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Trascurate inoltre le dissipazioni di
energia e ricordando che la velocità, lungo ciascuno dei due tratti di condotta, non
dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si trova
E 2 − E1 = −
LAN dv 1 LNB dv 2
−
g dt
g dt
(164)
in cui v1 e v2 sono le velocità lungo i tratti AN e NB di condotta, rispettivamente.
-61-
moto vario in pressione
Si assume, come indicato in figura, il livello del serbatoio di monte come riferimento
rispetto al quale il livello nel serbatoio B è rappresentato dalla quota z. Nelle ipotesi
di trascurare il termine cinetico nel serbatoio l’energia E2 vale E2=z mentre nel punto
1 si ha E1=0.0 m. L’equazione (164) si scrive pertanto
z=−
LAN dv 1 LNB dv 2
−
g dt
g dt
(165)
A questa relazione, nelle variabili z(t), v1(t) e v2(t) vanno associate le equazioni di
continuità per i nodi N e B
v2 A = Ω
v 1 A = Qu ( t ) + v 2 A
dz
dt
in cui A=0.785 m2 è l’area della condotta. Combinando le due precedenti relazioni si
trova
v1 =
Qu ( t ) Ω dz
+
A
A dt
v2 =
Ω dz
A dt
(166)
Nella prima delle equazioni (166), inoltre, la portata sottratta Qu(t) può essere
espressa come segue
⎛
t
Qu ( t ) = Qu 0 ⎜⎜1 −
⎝ Tc
⎞
⎟⎟
⎠
(167)
nella quale Qu0=0.5 m3/s. Sostituite le equazioni (166) e (167) nella (165) si trova
L AN Qu 0 LAN Ω d 2 z LNB Ω d 2 z LAN Qu 0 LAN + LNB Ω d 2 z
z=
−
−
=
−
=
gATc
g A dt 2
g A dt 2
gATc
g
A dt 2
LAN Qu 0 LΩ d 2 z
=
−
gATc
gA dt 2
(168)
in cui L è la lunghezza complessiva della condotta. Posto infine
ω2 =
gA
LΩ
(169)
L’equazione (168) si scrive
L Q
d2z
+ ω 2 z = ω 2 AN u 0
2
gATc
dt
(170)
La soluzione generale dell’equazione (170) è del tipo
z = C1 sen ( ω t ) + C 2 cos ( ω t ) +
L AN Qu 0
gATc
(171)
in cui la pulsazione ω (equazione (169)), con i dati del problema, vale 0.16 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=39.2 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
-62-
moto vario in pressione
⎧z = 0 m
⎪
Ω dz
⎨
⎪⎩v 2 = A dt = 0 m / s
t =0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (166) calcolata all’istante iniziale. Si
trova
C1 = 0.0 m
C2 = −
LAN Qu 0
= -0.0865 m
gATc
L’andamento nel tempo dei livelli z nel serbatoio B è quindi fornito dalla seguente
relazione
z=
LAN Qu 0
[1 − cos ( ω t )]
gATc
(172)
Noto l’andamento z(t), utilizzando le equazioni (166) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità
⎛
t
v 1 = v 0 ⎜⎜1 −
⎝ Tc
⎞
ωΩLAN
⎟⎟ + v 0
sen (ω t )
gATc
⎠
v2 = v0
ωΩLAN
gATc
sen ( ω t )
(173)
in cui v0=Qu0/A=0.637 m/s è la velocità iniziale lungo il tratto AN di condotta.
Per valutare l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N
consideriamo l’equazione del moto vario unidimensionale integrata tra il nodo N e la
superficie libera nel serbatoio B. Con le semplificazioni già discusse in precedenza e
potendo assumere EN=hN* (come suggerito nel testo) si trova
z − hN* = −
LNB dv 2
g dt
(174)
ovvero
2
LNB dv 2 LAN Qu 0
[1 − cos (ω t )] + LNB v 0 ω ΩLAN cos (ω t ) =
=
g dt
gATc
g
gATc
v L ⎡ L
⎤
= 0 AN ⎢1 − AN cos (ω t )⎥
gTc ⎣
L
⎦
hN* = z +
(175)
E’ da osservare che per una riduzione istantanea della portata sottratta (Tc=0 s) la
quota piezometrica cresce all’infinito.
A questo proposito potrebbe sorgere il sospetto che la soluzione in ipotesi
anelastiche sia poco aderente alla realtà. Facendo riferimento al tratto più lungo della
condotta (tratto AN) e immaginando che l’onda di pressione viaggi con una celerità
a≈1000 m/s, il ritmo di questo tratto di condotta vale τ=2LAN/a=0.08 s. La manovra ha
quindi una durata Tc=375τ sensibilmente superiore al ritmo e la stessa risulta quindi
decisamente lenta. Le ipotesi anelastiche, pertanto, possono essere considerate
corrette.
All’istante t=TC, le caratteristiche del moto risultano essere
-63-
moto vario in pressione
zTC =
LAN v 0
[1 − cos ( ω Tc )] = 0.0783 m
gTc
v 1TC = v 0
ωΩLAN
gATc
sen ( ω Tc ) = v 2TC = -0.0879 m/s
A partire da questo istante, essendo nulla la portata sottratta, l’equazione del moto
(165) combinata con le equazioni di continuità (166), nelle quali si è posto Qu(t)=0, e
con l’equazione (169), si riduce alla seguente
d2z
+ ω2 z = 0
2
dt
(176)
La soluzione generale dell’equazione (176) è del tipo
z = C1 sen ( ω t ) + C 2 cos ( ω t )
(177)
e le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t = Tc
⎧z = zTC = 0.0783 m
⎪
Ω dz
⎨
⎪⎩v 2TC = A dt = −0.0879 m / s
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (166) calcolata all’istante t=TC. Si
trova
C1 = zTC sen ( ω TC ) +
Av 2TC
Ωω
C 2 = zTC cos ( ω TC ) −
cos ( ω TC ) =-0.0861 m
Av 2TC
Ωω
sen ( ω TC ) =-0.0783 m
Utilizzando poi le equazioni (166) in cui si è posto Qu=0 si trova
v1 = v 2 =
Ω dz
A dt
=
Ωω
A
[C1 cos ( ω t ) − C2 sen ( ω t )]
(178)
Infine, utilizzando la (174) si ha
hN* =
LAN
[C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )]
L
(179)
Gli andamenti nel tempo del livello nel serbatoio B e della quota piezometrica nel
nodo N sono illustrati in Fig. 30 mentre gli andamenti nel tempo delle velocità lungo i
due tratti di condotta sono illustrati in Fig. 31.
-64-
moto vario in pressione
Fig. 30
Fig. 31
-65-
moto vario in pressione
Esercizio 18. Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=60 m ed è a
sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio B è cilindrico con una
sezione orizzontale Ω=5.0 m2 mentre si può assumere che la sezione orizzontale del
serbatoio A sia infinitamente estesa.
In un punto intermedio lungo la condotta, alla distanza LAN=40 m dal serbatoio A, è
presente una sottrazione localizzata di portata. Per t<0 la portata sottratta vale Qu=0
m3/s e i livelli nei serbatoi A e B sono entrambi nulli. A partire dall’istante t=0 la
portata sottratta cresce linearmente nel tempo Tc=30 s fino a raggiungere il valore
Qu=0.5 m3/s.
Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire
dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una
corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo
del livello z nel serbatoio B durante l’intervallo di tempo Tc. Si valuti inoltre,
nell’ipotesi di trascurare il carico cinetico nella condotta, l’andamento nel tempo della
quota piezometrica nel nodo N.
Si ricavi infine l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B per t>Tc, quando la
portata sottratta resta costante e pari a Qu=0.5 m3/s.
N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi
semplificative introdotte.
Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del
moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato
come punto 1) e la superficie libera nel serbatoio B (che sarà indicato come punto 2)
A
N
B
2
2
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
1 ∂v
E 2 − E1 = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ ds − ∫ j ds
g 1 ∂t
g A ∂t
g N ∂t
g B ∂t
1
Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a
quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono
piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere
trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello
spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Trascurate inoltre le dissipazioni di
energia e ricordando che la velocità, lungo ciascuno dei due tratti di condotta, non
dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si trova
E 2 − E1 = −
LAN dv 1 LNB dv 2
−
g dt
g dt
(180)
-66-
moto vario in pressione
in cui v1 e v2 sono le velocità lungo i tratti AN e NB di condotta, rispettivamente.
Si assume, come indicato in figura, il livello del serbatoio di monte come riferimento
rispetto al quale il livello nel serbatoio B è rappresentato dalla quota z. Nelle ipotesi
di trascurare il termine cinetico nel serbatoio l’energia E2 vale E2=z mentre nel punto
1 si ha E1=0.0 m. L’equazione (180) si scrive pertanto
z=−
LAN dv 1 LNB dv 2
−
g dt
g dt
(181)
A questa relazione, nelle variabili z(t), v1(t) e v2(t) vanno associate le equazioni di
continuità per i nodi N e B
v 1 A = Qu ( t ) + v 2 A
v2 A = Ω
dz
dt
in cui A=0.785 m2 è l’area della condotta. Combinando le due precedenti relazioni si
trova
v1 =
Qu ( t ) Ω dz
+
A
A dt
v2 =
Ω dz
A dt
(182)
Nella prima delle equazioni (182), inoltre, la portata sottratta Qu(t) può essere
espressa come segue
Qu (t ) = QuF
t
Tc
(183)
nella quale QuF=0.5 m3/s. Sostituite le equazioni (182) e (183) nella (181) si trova
z=−
LAN QuF LAN Ω d 2 z LNB Ω d 2 z
LAN QuF LAN + LNB Ω d 2 z
−
−
=
−
−
=
gATc
g A dt 2
g A dt 2
gATc
g
A dt 2
L Q
LΩ d 2 z
= − AN uF −
gATc
gA dt 2
(184)
in cui L è la lunghezza complessiva della condotta. Posto infine
ω2 =
gA
LΩ
(185)
L’equazione (184) si scrive
d 2z
2
2 L AN QuF
z
+
ω
=
−
ω
gATc
dt 2
(186)
La soluzione generale dell’equazione (186) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t ) −
LAN QuF
gATc
(187)
in cui la pulsazione ω (equazione (185)), con i dati del problema, vale 0.16 s-1, a cui
corrisponde il periodo T=2π/ω=39.2 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
-67-
moto vario in pressione
⎧z = 0 m
⎪
Ω dz
⎨
⎪⎩v 2 = A dt = 0 m / s
t =0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (182) calcolata all’istante iniziale. Si
trova
C1 = 0.0 m
C2 =
LAN QuF
= 0.0865 m
gATc
L’andamento nel tempo dei livelli z nel serbatoio B è quindi fornito dalla seguente
relazione
z=
LAN QuF
[ cos (ω t ) − 1]
gATc
(188)
Noto l’andamento z(t), utilizzando le equazioni (182) si ottiene anche l’andamento nel
tempo della velocità
v1 = v F
ωΩLAN
t
− vF
sen (ω t )
Tc
gATc
v 2 = −v F
ωΩLAN
gATc
sen (ω t )
(189)
in cui vF=QuF/A=0.637 m/s è la velocità di regime lungo il tratto AN di condotta.
Per valutare l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N
consideriamo l’equazione del moto vario unidimensionale integrata tra il nodo N e la
superficie libera nel serbatoio B. Con le semplificazioni già discusse in precedenza e
potendo assumere EN=hN* (come suggerito nel testo) si trova
z − hN* = −
LNB dv 2
g dt
(190)
ovvero
2
LNB dv 2 LAN QuF
[ cos (ω t ) − 1] − v F LNB ω ΩLAN cos (ω t ) =
=
g dt
gATc
g gATc
L v ⎡L
⎤
= AN F ⎢ AN cos (ω t ) − 1⎥
gTc ⎣ L
⎦
hN* = z +
(191)
E’ da osservare che per una riduzione istantanea della portata sottratta (Tc=0 s) la
quota piezometrica cresce all’infinito.
A questo proposito potrebbe sorgere il sospetto che la soluzione in ipotesi
anelastiche sia poco aderente alla realtà. Facendo riferimento al tratto più lungo della
condotta (tratto AN) e immaginando che l’onda di pressione viaggi con una celerità
a≈1000 m/s, il ritmo di questo tratto di condotta vale τ=2LAN/a=0.08 s. La manovra ha
quindi una durata Tc=375τ sensibilmente superiore al ritmo e la stessa risulta quindi
decisamente lenta. Le ipotesi anelastiche, pertanto, possono essere considerate
corrette.
All’istante t=TC, le caratteristiche del moto risultano essere
-68-
moto vario in pressione
zTC =
LAN QuF
[ cos (ω Tc ) − 1] = -0.0783 m
gATc
v 1TC = v F − v F
v 2TC = −v F
ωΩLAN
gATc
ωΩLAN
gATc
sen (ω Tc ) =0.637 m/s
sen (ω Tc ) =0.088 m/s
A partire da questo istante, essendo costante e pari a QuF la portata sottratta,
l’equazione del moto (181) combinata con le equazioni di continuità (182), nelle quali
si è posto Qu(t)=QuF, e con l’equazione (185), si riduce alla seguente
d2z
+ ω2 z = 0
dt 2
(192)
La soluzione generale dell’equazione (192) è del tipo
z = C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )
(193)
e le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t = Tc
⎧z = zTC = −0.0783 m
⎪
Ω dz
⎨
⎪⎩v 2TC = A dt = 0.088 m / s
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (182) calcolata all’istante t=TC. Si
trova
C1 = zTC sen (ω TC ) +
Av 2TC
cos (ω TC ) =0.0861 m
Ωω
C 2 = zTC cos ( ω TC ) −
Av 2TC
Ωω
sen ( ω TC ) =0.0783 m
Utilizzando poi le equazioni (182) in cui si è posto Qu(t)=QuF si trova
v1 =
QuF Ω dz
Ωω
[C1 cos (ω t ) − C 2 sen (ω t )]
+
= vF +
A
A dt
A
Ω dz Ωω
[C1 cos (ω t ) − C 2 sen (ω t )]
v2 =
=
A dt
A
(194)
Infine, utilizzando la (190) si ha
hN* =
LAN
[C1 sen (ω t ) + C 2 cos (ω t )]
L
(195)
Gli andamenti nel tempo del livello nel serbatoio B e della quota piezometrica nel
nodo N sono illustrati in Fig. 32 mentre gli andamenti nel tempo delle velocità lungo i
due tratti di condotta sono illustrati in Fig. 33.
-69-
moto vario in pressione
Fig. 32
Fig. 33
-70-
moto vario in pressione
Esercizio 19. La condotta di scarico principale ANB illustrata in figura, di diametro
d=0.5 m e lunga complessivamente 800 m è divisa nei due tratti AN e NB di uguale
lunghezza. In corrispondenza del nodo N è innestato un pozzo piezometrico
cilindrico, di sezione orizzontale Ω=2.0 m2. Dallo stesso nodo N, inoltre, si diparte la
diramazione NC.
Per t<0 il rubinetto R è completamente aperto e il sistema è in condizioni di moto
stazionario con una portata complessivamente scaricata dal serbatoio A verso il
serbatoio B pari a Q0=0.55 m3/s.
All’istante t=0 il rubinetto R viene istantaneamente chiuso.
Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni localizzate di energia, si ricavi,
preliminarmente la velocità v10 lungo il tratto AN di condotta, il livello z nel pozzo
piezometrico e la velocità v20 lungo il tratto NB di condotta. Si valuti inoltre,
preliminarmente, la velocità v∞ lungo la condotta ANB quando, esaurito il fenomeno
di moto vario prodotto dalla chiusura del rubinetto R, il sistema raggiunge le nuove
condizioni di moto stazionario. Per la stima delle dissipazioni di energia continue si
può assumere un valore costante della funzione di resistenza nella formula di DarcyWeisbach, f=0.025, uguale per tutti i tronchi di condotta.
Si determini quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la
conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che
descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico a partire
dall’istante t=0 utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una
velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente finale v∞. Si
rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti
caratteristici e si valuti il periodo T dell’oscillazione.
Per t<0 il sistema è in condizioni di moto stazionario. La portata fluente lungo la
condotta AN coincide con quella complessivamente scaricata dal serbatoio A al
serbatoio B. Si avrà pertanto
v 10 = Q0 / A =2.801 m/s
in cui A=0.196 m2 è l’area della condotta principale.
Il bilancio di energia tra il serbatoio A e il pozzo piezometrico, nell’ipotesi di
trascurare tutte le perdite localizzate, si scrive
-71-
moto vario in pressione
2
fL AN v 10
hA −
= z0
d 2g
La precedente relazione consente di ricavare z0=22.0 m.
Infine, dal bilancio di energia tra il pozzo piezometrico e il serbatoio B scritto lungo la
condotta NB
2
fLNB v 20
z−
= hB
d 2g
si determina la velocità v20 che vale v20=1.40 m/s.
Nelle condizioni di regime finali, che si raggiungono quando si esaurisce la fase di
moto vario prodotta dalla chiusura del rubinetto R, la portata fluente lungo la
condotta ANB e quindi la velocità v∞, possono essere determinate risolvendo il
seguente bilancio di energia
hA −
f (L AN + LNB ) v ∞2
= hB
2g
d
Si trova v∞=2.215 m/s.
Consideriamo ora il fenomeno di moto vario che si determina a causa della chiusura
del rubinetto R. Le due equazioni dinamiche, relative ai tratti AN e NB della condotta
principale, e l’equazione di continuità per il nodo N si scrivono come segue
fLAN
d
fL
hB − E N = − NB
d
Ω dz
v1 − v 2 =
A dt
E N − hA = −
v1 v1
LAN
2g
g
v 2 v 2 LNB
−
2g
g
−
dv 1
dt
dv 2
dt
Nelle precedenti relazioni, oltre alle dissipazioni di energia localizzate, sono state
trascurate le dissipazioni e l’inerzia nei due serbatoi. Nel testo si suggerisce di
linearizzare le equazioni introducendo una velocità di riferimento vM coincidente con
la velocità di regime finale v∞2. In queste ipotesi, e ricordando che con buona
approssimazione si può scrivere EN=z, le precedenti equazioni si scrivono
fL AN v M v 1 LAN dv 1
−
2g
d
g dt
fL v v
L dv 2
z − hB = NB M 2 + NB
2g
d
g dt
Ω dz
v1 − v 2 =
A dt
z − hA = −
(196)
La scelta di vM=v∞ è compatibile con la condizione di regime finale ma non con quella di regime
iniziale (è facile verificare, infatti, che le equazioni dinamiche (196), per t<0, quando l’accelerazione
temporale è nulla, non sono verificate). D’altra parte, in questo problema, non è possibile stabilire una
velocità di riferimento unica, compatibile con le due condizioni di moto permanente, iniziale e finale.
Questo problema è discusso nella parte finale dello svolgimento dell’esercizio
2
-72-
moto vario in pressione
Dividendo la prima equazione dinamica per LAN/g, la seconda per LNB/g e
sommando le due equazioni si trova
⎛ 1
1
g ⎜⎜
+
⎝ LAN LNB
⎞
⎛ h
h
⎟⎟z − g ⎜⎜ A + B
⎠
⎝ LAN LNB
⎞
fv
d
⎟⎟ = − M (v 1 − v 2 ) − (v 1 − v 2 )
2d
dt
⎠
Sostituendo nella precedente l’espressione per la differenza v1-v2 fornita
dall’equazione di continuità, si arriva a scrivere
1
d 2 z fv M dz
A⎛ 1
+
+ g ⎜⎜
+
2
2d dt
Ω ⎝ LAN LNB
dt
⎞
h
A⎛ h
⎟⎟z = g ⎜⎜ A + B
Ω ⎝ LAN LNB
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
(197)
Posto, infine
fv
ψ = M
4d
A⎛ 1
1
+
ω = g ⎜⎜
Ω ⎝ L AN LNB
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ h
h
ξ = ⎜⎜ A + B
⎝ LAN LNB
⎞⎛ 1
1
⎟⎟⎜⎜
+
⎠⎝ L AN LNB
⎞
⎟⎟
⎠
−1
(198)
L’equazione (197) può essere scritta nella seguente forma
d 2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2z = ξ ω 2
2
dt
dt
(199)
la cui soluzione generale è
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ξ
con
ωD = ω 2 − ψ 2
(200)
Si osservi che, nel caso in esame, essendo LAN=LNB le espressioni per ω e ξ fornite
dalla (198) si semplificano sensibilmente. Con i dati del problema si trova ω=0.069 s1
, ψ=0.028 s-1 e ξ=25.0 m, e quindi ωD=0.064 s-1. Il periodo dell’oscillazione vale
dunque T=98.7 s.
Le condizioni al contorno per determinare le costanti di integrazione C1 e C2 sono
fornite dalle condizioni di moto stazionario iniziali e sono
⎧z = z 0
⎪
⎨ dz A (
⎪⎩ dt = Ω v 10 − v 20 )
t =0
(201)
la seconda delle quali è l’equazione di continuità valutata a t=0.
Con la prima condizione si ha
C 2 = z0 − ξ = -2.998 m
mentre dalla seconda condizione si ha
A
(v10 − v 20 ) = −ψC2 + ωDC1
Ω
ovvero
C1 =
A
(v 10 − v 20 ) + ψ (z0 − ξ ) =0.855 m
Ωω D
ωD
L’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 34.
-73-
moto vario in pressione
livello (m)
27.0
26.0
25.0
24.0
23.0
22.0
21.0
0
50
100
150
200
250
tempo (s)
Fig. 34
Nel testo non si richiede di determinare l’andamento nel tempo delle velocità lungo i
due tratti di condotta. Questo perché lo sviluppo formale è un po’ laborioso.
Dalla prima delle due equazioni dinamiche, si può scrivere
dv 1 fv M
g
(z − hA )
+
v1 = −
2d
LAN
dt
(202)
Si tratta di un’equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, la cui
soluzione è
v 1 = B0 e
−
fv M
t
2d
+ v P1
(203)
in cui vP1 è un integrale particolare e B0 è la costante di integrazione il cui valore
viene determinato imponendo la condizione al contorno (per t=0, v1=v10). L’integrale
particolare avrà una struttura del tutto analoga alla soluzione per z(t). Si può quindi
scrivere
v P 1 = e −ψt [B1sen(ω D t ) + B2 cos(ω D t )] + B3
(204)
in cui le costanti B1, B2 e B3 vanno determinate imponendo che la (204) sia
effettivamente soluzione della (202). Sostituita questa espressione nell’equazione
differenziale (202), e imposti nulli e termini costanti e i coefficienti delle funzioni seno
e coseno, si ottengono le tre seguenti condizioni che consentono di valutare le
costanti B1, B2 e B3. Dopo non pochi passaggi si trova
B1 = −
g ω D C 2 + ψ C1
=0.851 m/s
L AN
ω2
B2 =
g ω D C1 − ψ C 2
=0.700 m/s
L AN
ω2
B3 =
g
(hA − ξ ) =2.215 m/s
2ψL AN
(205)
-74-
moto vario in pressione
Imponendo la condizione al contorno, si trova infine
v 10 = B0 + B2 + B3
e quindi
B0= -0.1135 m/s
La velocità v2 può essere determinata operando, nello stesso modo, sulla seconda
equazione dinamica o, in alternativa, sfruttando l’equazione di continuità. Si trova
v 2 = D0 e
−
fv M
t
2d
+ e −ψt [D1sen(ω D t ) + D2 cos(ω D t )] + D3
(206)
con
D0 = v 20 − D2 − D3 = -0.1135 m/s
D1 =
g ω DC 2 + ψC1
= -0.851 m/s
LNB
ω2
D2 =
g ψC 2 − ω DC1
= -0.700 m/s
LNB
ω2
D3 =
g
(ξ − hB ) = 2.215 m/s
2ψ LNB
(207)
velocità (m/s)
L’andamento nel tempo delle velocità v1 e v2 lungo i due tratti della condotta
principale sono illustrati in Fig. 35.
3.0
2.0
v1 (m/s)
v2 (m/s)
1.0
0
50
100
150
200
250
tempo (s)
Fig. 35
La soluzione illustrata mostra, nei primi istanti, un incremento della velocità v1 e un
decremento della velocità v2. Tale comportamento è fisicamente inaccettabile ed è
determinato dalla linearizzazione delle equazioni dinamiche e dalla scelta della
velocità caratteristica. Utilizzando il valore di vM suggerito, ovviamente la condizione
di moto stazionario finale è ben riprodotta ma non è riprodotta correttamente la
condizione iniziale.
-75-
moto vario in pressione
Esercizio 20. Nel sistema di figura, le condotte BC e BD, caratterizzate dalla stessa
lunghezza e dallo stesso diametro, sono munite al termine di un ugello regolabile
posto per entrambe le condotte alla quota hC=hD=0.0 m (non farsi ingannare dal
disegno), e lo sbocco è libero. Quando entrambi gli ugelli terminali sono aperti al
massimo, la portata complessivamente scaricata vale Q0=0.5 m3/s, equamente
ripartita tra le condotte BC e BD.
Utilizzando queste indicazioni si valuti l’area di massima apertura degli ugelli (Nei
calcoli, per semplicità, si può assumere un valore costante del coefficiente di
resistenza della formula di Darcy-Weisbach, f=0.02 per tutte e tre le condotte).
Immaginando che all’istante iniziale (t=0) l’impianto sia fermo con entrambi gli ugelli
chiusi e le portate nulle lungo le condotte, si valuti il tempo necessario all’avviamento
del sistema assumendo che l’ugello in corrispondenza della sezione C venga
istantaneamente aperto al massimo (mentre resta chiuso l’ugello in corrispondenza
della sezione D), e si rappresenti l’andamento nel tempo della velocità lungo la
condotta AB.
In condizioni di moto stazionario (con entrambi gli ugelli aperti), si può scrivere
E B − hA = −
fL1 v 12
d 1 2g
fL2 v 22
EC − E B = −
d 2 2g
(208)
fL3 v 32
ED − EB = −
d 3 2g
e, per continuità
Q0 = v 10 A1 = v 20 A2 + v 3 A30
(209)
Essendo, come suggerito nel testo, Q02=Q03=Q0/2=0.25 m3/s, ovvero v20A2=v30A3, ed
essendo inoltre A2=A3=0.126 m2, si ha v20=v30=1.989 m/s.
-76-
moto vario in pressione
L’energia in corrispondenza degli sbocchi C e D vale
2
2
⎛ A ⎞ v2
⎛ A ⎞ v2
v2
v2
(210)
E D = uD 0 = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 30
E c = uC 0 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ 20
2g
2g
⎝ AuC ⎠ 2g
⎝ AuD ⎠ 2g
in cui AuC e AuD sono la massima apertura degli ugelli in corrispondenza delle sezioni
di sbocco C e D rispettivamente. Combinando le relazioni (210) con le ultime due
equazioni (208) si può scrivere
⎛ A2
⎜⎜
⎝ AuC
⎛ A3
⎜⎜
⎝ AuD
2
2
2
⎞ v 20
fL2 v 20
⎟⎟
− EB = −
d 2 2g
⎠ 2g
2
(211)
⎞ v
fL v
⎟⎟
− EB = − 3
d 3 2g
⎠ 2g
2
30
2
30
Essendo infine A2=A3, d2=d3, L2=L3 e v20=v30, il confronto tra le precedenti relazioni
fornisce AuC=AuD.
Dalla prima delle equazioni (208) si trova EB=30.746 m, quindi, indifferentemente
dalla prima o dalla seconda delle (211) si ha AuC=AuD=0.0124 m2.
Consideriamo ora il fenomeno di moto vario determinato dall’apertura istantanea
dell’ugello in corrispondenza della sezione C. Le equazioni del moto si scrivono
L1 dv 1 fL1 v 12
E B − hA = −
−
g dt
d 1 2g
⎛ A2
⎜⎜
⎝ AuC
2
⎞ v 22
L dv 2 fL2 v 22
⎟⎟
− EB = − 2
−
g dt
d 2 2g
⎠ 2g
(212)
v 1 A1 = v 2 A2
v3 = 0
Esplicitando EB dalla prima delle (212) e sostituendo nella seconda, si trova
⎛ A2
⎜⎜
⎝ AuC
2
⎞ v 22
L dv
fL v 2
L dv 2 fL2 v 22
⎟⎟
− hA + 1 1 − 1 1 = − 2
−
2
g
g
dt
d
2
g
g
dt
d 2 2g
1
⎠
(213)
Essendo inoltre, per la terza delle (212), v2=v1A1/A2, la (213) diventa
L + L2 (A1 / A2 ) dv 1 ⎡ fL1 fL2
+⎢ +
hA = 1
g
dt ⎢ d 1 d 2
⎣
2
⎛ A1 ⎞ ⎛ A2
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎝ A2 ⎠ ⎝ AuC
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎛ A1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ A2 ⎠
2
⎤ v2
⎥ 1
⎥⎦ 2g
(214)
Posto
L0 = L1 + L2 (A1 / A2 ) =2262.5 m
2
2
fL fL ⎛ A ⎞ ⎛ A ⎞
r = 1 + 2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ =400.1
d 1 d 2 ⎝ A2 ⎠ ⎝ AuC ⎠
l’equazione (214) si riscrive
hA =
L0 dv 1
v2
+r 1
g dt
2g
(215)
In condizioni di moto permanente la (215) diventa
-77-
moto vario in pressione
v 12∞
hA = r
2g
(216)
in cui v1∞ è la velocità di regime con un solo ugello aperto che, utilizzando la (216)
risulta valere 1.4 m/s.
Esplicitando r dalla precedente relazione e inserendolo nella (215) si trova
⎛
v 12
⎜
h A ⎜1 − 2
⎝ v 1∞
⎞ L0 dv 1
⎟=
⎟ g dt
⎠
la quale può essere riscritta come segue
⎛
v2
⎜1 − 21
⎜ v
1∞
⎝
⎞ L0 v 1∞ dv 1 / v 1∞
⎟=
⎟
gh A
dt
⎠
(217)
Definito il tempo di avviamento come
Ta =
L0 v 1∞
=8.075 s
gh A
l’equazione (217) può infine essere riscritta nella forma
d (t / Ta ) =
d (v 1 / v 1∞ )
⎛
v2
⎜1 − 21
⎜ v
1∞
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(218)
la cui soluzione, illustrata in Fig. 36, è
⎛ t ⎞
v1
= tanh⎜⎜ ⎟⎟
v 1∞
⎝ Ta ⎠
(219)
velocità (m/s)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
tempo (s)
Fig. 36
-78-
moto vario in pressione
Esercizio 21. Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo
N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m.
Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il
pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale
Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote
hA=10.0 m e hB=6.0 m.
Si valuti inizialmente la velocità v0 di regime lungo l’intera condotta AB quando la
saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di
energia. Nel calcolo si assuma, per semplicità, un valore costante della funzione di
resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025.
Per t<0 (t è il tempo) la saracinesca S è chiusa e il sistema è in quiete.
All’istante t=0 la saracinesca S viene completamente ed istantaneamente aperta.
Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si
ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione
dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento
nel tempo del livello z nel pozzo C assumendo, per linearizzare le dissipazioni
continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di
moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente
la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici.
Per la valutazione delle condizioni di moto stazionario, indicate con il pedice “0” un
semplice bilancio di energia tra i serbatoi A e B nelle ipotesi di trascurare le
dissipazioni localizzate e i carichi cinetici fornisce
hA −
f (L1 + L2 ) v 02
= hB
d
2g
da cui risulta v0=1.617 m/s. Considerando quindi il bilancio tra il serbatoio A e il nodo
N
f L1 v 02
= E B ≅ z0
hA −
d 2g
si trova z0=7.333 m.
Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando
l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra il serbatoio A e il nodo N e
-79-
moto vario in pressione
tra questo e il serbatoio B. Nelle consuete ipotesi di trascurare dissipazioni e
accelerazioni nei due serbatoi si trova
N
N
L dv
fL v 1 v 1
1 ∂v
EN − E A = − ∫
ds − ∫ j ds = − 1 1 − 1
g A ∂t
g dt
d 2g
A
(220)
B
B
L dv 2 fL2 v 2 v 2
1 ∂v
−
EB − EN = − ∫
ds − ∫ j ds = − 2
g N ∂t
g dt
d 2g
N
(221)
Nelle due precedenti relazioni si può assumere EA=hA, EB=hB, EN=z. Introdotta inoltre
la velocità di riferimento vM nel termine dissipativo, le equazioni (220) e (221)
possono essere scritte come segue
z − hA
1 dv 1 fv M
v1
=−
−
L1
g dt
2gd
(222)
hB − z
1 dv 2 fv M
=−
−
v2
2gd
L2
g dt
(223)
Sottraendo tra loro le equazioni (222) e (223) si trova
⎛1
1
z⎜⎜ +
⎝ L1 L2
⎞ ⎛ h A hB
⎟⎟ − ⎜⎜
+
⎠ ⎝ L1 L2
⎞
1 d
⎟⎟ = −
(v 1 − v 2 ) − fv M (v 1 − v 2 )
2gd
g dt
⎠
(224)
A questa equazione è possibile associare l’equazioni di continuità per il nodo N che,
considerata anche l’equazione dei serbatoi per il pozzo C, si scrive
v 1A = v 2 A + Ω
dz
dt
in cui A è l’area della condotta. La precedente relazione, esplicitata rispetto alla
differenza v1-v2, diventa
v1 − v 2 =
Ω dz
A dt
(225)
Sostituendo l’equazione (225) nella (224) si trova infine
⎛1
h ⎞
1 ⎞ ⎛h
Ω d 2 z fv M Ω dz
z⎜⎜ + ⎟⎟ − ⎜⎜ A + B ⎟⎟ = −
−
gA dt 2 2gd A dt
⎝ L1 L2 ⎠ ⎝ L1 L2 ⎠
la quale può essere organizzata come segue
d 2 z fv M dz
gA ⎛ 1 1 ⎞ gA ⎛ hA hB ⎞
⎜ + ⎟=
⎜
⎟
+
+z
+
2
Ω ⎜⎝ L1 L2 ⎟⎠ Ω ⎜⎝ L1 L2 ⎟⎠
2d dt
dt
Posto
ω2 =
gA ⎛ 1
1
⎜⎜ +
Ω ⎝ L1 L2
⎞
⎟⎟
⎠
ψ =
f vM
4d
ε=
L2 hA + L1hB
L1 + L2
si trova
-80-
(226)
moto vario in pressione
d 2z
dz
+ 2ψ
+ ω 2 z = εω 2
2
dt
dt
(227)
Con i dati del problema, ed essendo vM=v0=Qp/A=1.617 m/s, si trova ω=0.076 s-1,
ψ=0.010 s-1 e ε=7.333 m. Essendo inoltre ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione
(227) sarà del tipo
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ε
(228)
in cui ω D = ω 2 − ψ 2 =0.075 s-1 a cui corrisponde il periodo T=82.66 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t =0
⎧z = h A
⎪
⎨ dz = 0
⎪⎩ dt
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (225), calcolata per t=0, quando
v1=v2=0. Imponendo le condizioni al contorno si trova
C1 =
ψ
(hA − ε ) = 0.358 m
ωD
C 2 = h A − ε = 2.667 m
L’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C è illustrato in Fig. 37.
z (m)
11.00
10.00
9.00
8.00
7.00
6.00
5.00
0
100
200
300
tempo (s)
400
Fig. 37
Anche se non richiesto nel testo, è possibile valutare l’andamento nel tempo delle
velocità nei due tronchi di condotta.
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (222) e ricordando l’espressione per ψ,
si ottiene la seguente equazione differenziale per la velocità v1
-81-
moto vario in pressione
dv 1
g
g
+ 2ψv 1 = − e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + (hA − ε )
dt
L1
L1
(229)
Si tratta di un’equazione differenziale lineare, del primo ordine, a coefficienti costanti,
non omogenea la cui soluzione generale è
v 1 = C0 e −2ψt + v 1p
(230)
in cui v1p è un integrale particolare che avrà la seguente struttura algebrica
v 1p = B0 + B1 e −ψt sen(ω D t ) + B2 e −ψt cos(ω D t )
Nella precedente relazione, le costanti B0, B1 e B2 vanno determinate imponendo che
v1p verifichi l’equazione differenziale (229). Si trova
B0 =
g ha − h b
=1.617 m/s
2ψ L2 + L1
B1 = −
g ha − hb
= -0.434 m/s
ω D L2 + L1
B2 = 0
L’espressione per la velocità v1 è dunque
v 1 = C0 e −2ψt + B0 + B1 e −ψt sen(ω D t )
(231)
La costante C0 che compare nella precedente equazione si determina imponendo la
condizione al contorno: v1=0 per t=0. Si trova C0= -B0= -1.617 m/s.
L’espressione per la velocità v2 può essere determinata, a questo punto, a partire
dalla (225)
v 2 = v1 −
Ω dz
A dt
Dopo…. qualche passaggio si trova
⎛L ⎞
v 2 = C0 e −2ψt + B0 − B1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ e −ψt sen(ω D t )
⎝ L2 ⎠
(232)
L’andamento nel tempo delle velocità è illustrato in Fig. 38.
-82-
moto vario in pressione
velocità (m/s)
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
v2 (m/s)
0.2
v1 (m/s)
0
0
50
100
150
200
Fig. 38
-83-
250
300
350
tempo (s)
400
moto vario in pressione
Esercizio 22. Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo
N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m.
Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il
serbatoio C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico, a tenuta, con sezione
orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente
alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m mentre la superficie libera nel serbatoio C si trova
alla quota hc=6.0 m con al di sopra aria a pressione superiore a quella atmosferica.
Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario. Si valuti, in queste
condizioni, la velocità v0 lungo l’intera condotta AB assumendo, nel calcolo, un valore
costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025.
All’istante t=0 la copertura del serbatoio C viene istantaneamente rimossa
determinando, sulla superficie libera del serbatoio, condizioni di pressione
atmosferica.
Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si
ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione
dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento
nel tempo del livello z nel serbatoio C assumendo, per linearizzare le dissipazioni
continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di
moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente
la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici.
Per la valutazione delle condizioni di moto stazionario, indicate con il pedice “0” un
semplice bilancio di energia tra i serbatoi A e B nelle ipotesi di trascurare le
dissipazioni localizzate e i carichi cinetici fornisce
hA −
f (L1 + L2 ) v 02
= hB
d
2g
da cui risulta v0=1.144 m/s. Considerando quindi il bilancio tra il serbatoio A e il nodo
N
hA −
p
f L1 v 02
= E B ≅ z0 + 0
d 2g
γ
Essendo z0=6.0 m, si trova p0/γ=1.333 m.
-84-
moto vario in pressione
Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando
l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra il serbatoio A e il nodo N e
tra questo e il serbatoio B. Nelle consuete ipotesi di trascurare dissipazioni e
accelerazioni nei due serbatoi si trova
N
N
L dv
fL v 1 v 1
1 ∂v
EN − E A = − ∫
ds − ∫ j ds = − 1 1 − 1
g A ∂t
g dt
d 2g
A
(233)
B
B
L dv 2 fL2 v 2 v 2
1 ∂v
−
EB − EN = − ∫
ds − ∫ j ds = − 2
g N ∂t
g dt
d 2g
N
(234)
Nelle due precedenti relazioni si può assumere EA=hA, EB=hB, EN=EC=z. Introdotta
inoltre la velocità di riferimento vM nel termine dissipativo, le equazioni (233) e (234)
possono essere scritte come segue
z − hA
1 dv 1 fv M
v1
=−
−
L1
g dt
2gd
(235)
hB − z
1 dv 2 fv M
v2
=−
−
L2
g dt
2gd
(236)
Sottraendo tra loro le equazioni (235) e (236) si trova
⎛1
1
z⎜⎜ +
⎝ L1 L2
⎞ ⎛ h A hB
⎟⎟ − ⎜⎜
+
⎠ ⎝ L1 L2
⎞
1 d
⎟⎟ = −
(v 1 − v 2 ) − fv M (v 1 − v 2 )
g dt
2gd
⎠
(237)
A questa equazione è possibile associare l’equazioni di continuità per il nodo N che,
considerata anche l’equazione dei serbatoi per il pozzo C, si scrive
v 1A = v 2 A + Ω
dz
dt
in cui A è l’area della condotta. La precedente relazione, esplicitata rispetto alla
differenza v1-v2, diventa
v1 − v 2 =
Ω dz
A dt
(238)
Sostituendo l’equazione (238) nella (237) si trova infine
⎛1
h ⎞
1 ⎞ ⎛h
Ω d 2 z fv M Ω dz
−
z⎜⎜ + ⎟⎟ − ⎜⎜ A + B ⎟⎟ = −
gA dt 2 2gd A dt
⎝ L1 L2 ⎠ ⎝ L1 L2 ⎠
la quale può essere organizzata come segue
d 2 z fv M dz
gA ⎛ 1 1 ⎞ gA ⎛ hA hB ⎞
⎜ + ⎟=
⎜
⎟
z
+
+
+
Ω ⎜⎝ L1 L2 ⎟⎠ Ω ⎜⎝ L1 L2 ⎟⎠
2d dt
dt 2
Posto
ω2 =
gA ⎛ 1
1
⎜⎜ +
Ω ⎝ L1 L2
⎞
⎟⎟
⎠
ψ =
f vM
4d
ε=
L2 hA + L1hB
L1 + L2
-85-
(239)
moto vario in pressione
si trova
dz
d 2z
+ 2ψ
+ ω 2 z = εω 2
2
dt
dt
(240)
Con i dati del problema, ed essendo vM=v0=Qp/A=1.144 m/s, si trova ω=0.038 s-1,
ψ=0.014 s-1 e ε=7.333 m. Essendo inoltre ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione
(240) sarà del tipo
z = e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + ε
(241)
in cui ω D = ω 2 − ψ 2 =0.035 s-1 a cui corrisponde il periodo T=178.4 s.
Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti
condizioni al contorno
t =0
⎧z = hC
⎪
⎨ dz
⎪⎩ dt = 0
la seconda delle quali è l’equazione di continuità (238), calcolata per t=0, quando
v1=v2=0. Imponendo le condizioni al contorno si trova
C1 =
ψ
(hC − ε ) = -0.541 m
ωD
C 2 = hC − ε = -1.333 m
L’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio C è illustrato in Fig. 39.
z (m)
8.00
7.50
7.00
6.50
6.00
5.50
0
100
200
300
tempo (s)
400
Fig. 39
Anche se non richiesto nel testo, è possibile valutare l’andamento nel tempo delle
velocità nei due tronchi di condotta.
Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (235) e ricordando l’espressione per ψ,
si ottiene la seguente equazione differenziale per la velocità v1
-86-
moto vario in pressione
dv 1
g
g
+ 2ψv 1 = − e −ψt [C1sen(ω D t ) + C 2 cos(ω D t )] + (hA − ε )
dt
L1
L1
(242)
Si tratta di un’equazione differenziale lineare, del primo ordine, a coefficienti costanti,
non omogenea la cui soluzione generale è
v 1 = C0 e −2ψt + v 1p
in cui v1p è un integrale particolare che avrà la seguente struttura algebrica
v 1p = B0 + B1 e −ψt sen(ω D t ) + B2 e −ψt cos(ω D t )
Nella precedente relazione, le costanti B0, B1 e B2 vanno determinate imponendo che
v1p verifichi l’equazione differenziale (242). Si trova
B0 =
g
(hA − ε ) =1.144 m/s
2ψL1
B1 = −
g
(hC − ε ) = 0.464 m/s
ω D L1
B2 = 0
L’espressione per la velocità v1 è dunque
v 1 = C0 e −2ψt + B0 + B1 e −ψt sen(ω D t )
(243)
La costante C0 che compare nella precedente equazione si determina imponendo la
condizione al contorno: v1=v0 per t=0. Si trova C0=v0-B0= 0 m/s.
L’espressione per la velocità v2 può essere determinata, a questo punto, a partire
dalla (238)
v 2 = v1 −
Ω dz
A dt
Dopo…. qualche passaggio si trova
⎛L ⎞
v 2 = C0 e −2ψt + B0 − B1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ e −ψt sen(ω D t )
⎝ L2 ⎠
(244)
L’andamento nel tempo delle velocità è illustrato in Fig. 40.
-87-
moto vario in pressione
velocità (m/s)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
v2 (m/s)
0.2
v1(m/s)
0
0
50
100
150
200
Fig. 40
-88-
250
300
350
tempo (s)
400
moto permanente nei canali
Esercizio 23. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso
in due tratti: il tratto di monte è largo B=30 m mentre il tratto di valle è largo b=20 m.
La pendenza del fondo vale if=0.01 e il coefficiente di scabrezza nella formula di
Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s.
In corrispondenza del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di
portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=10 m3/s, si
ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di
profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della
variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di
sezione molto larga per la quale RH≈y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di monte
y0m e l’altezza critica ycm. Con i dati del problema si trova
y0m=0.177 m
ycm=0.225 m
Nel tratto di monte, pertanto, la pendenza risulta superiore a quella critica e,
presumibilmente la stessa condizione si avrà anche per il tratto di valle in quanto la
pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile.
E’ comunque possibile verificare questa assunzione. Per il tratto di valle l’altezza di
moto uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni
y 0v
⎛ Qv ⎞
⎟
=⎜
⎜k b i ⎟
f ⎠
⎝ S
3/5
y cv
⎛ Q
=⎜ v
⎜b g
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2/3
Imponendo la condizione y0v>ycv si trova Qv<0.18 m3/s. Si tratta di una situazione un
po’ particolare che verrà comunque presa in considerazione. Indichiamo con il pedice
1 la corrispondente sottrazione, si avrà ΔQ1=9.82 m3/s.
Considerando una sottrazione tale per cui la pendenza del fondo rimane ovunque
superiore a quella critica (ΔQ<ΔQ1). Infinitamente a monte e a valle avremo quindi
condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la ricostruzione del profilo parte da
monte (sezione 1).
Conviene a questo punto valutare la posizione relativa delle due curve H-y a monte e
a valle della sottrazione. Consideriamo pertanto le espressioni per queste due curve
-89-
moto permanente nei canali
Qm2
Hm = y m +
2g B 2 y m2
Hv = y v
2
(
Qm − ΔQ )
+
2g b 2 y v2
Si osserva che la sottrazione di portata tende a posizionare la curva di valle al di
sotto di quella di monte mentre la riduzione della larghezza produce un
comportamento opposto. E’ evidente che quando fosse (Qm/B)=(Qm-ΔQ)/b, le due
curve coinciderebbero. Con i dati del problema, questa situazione si verifica per
ΔQ=3.333 m3/s. Indichiamo con il pedice 2 questo valore caratteristico (ΔQ2=3.333
m3/s).
Quando la sottrazione di portata coincide con ΔQ2, le curve H-y di monte e di valle
coincidono come pure le altezze di moto uniforme. Lungo il canale, quindi, si
svilupperà un unico profilo di moto uniforme con profondità costante y=y0m.
Consideriamo dapprima il caso in cui ΔQ>ΔQ2 (ma ΔQ<ΔQ1) e la curva H-y di monte
si posiziona pertanto al di sopra di quella di valle (Fig. 41). Partiamo dalle condizioni
di moto uniforme di monte (y1=y0m) e, integrando verso valle, la corrente si manterrà
in moto uniforme fino alla sezione 2. Per stabilire le caratteristiche del moto nella
sezione 3 si opera un bilancio di energia
Z2+H2-ΔE23=z3+H3 ⇒ H3=H2=H0m
E’ evidente dalla curva H-y di Fig. 41 che, nella sezione 3, l’energia H3=0.183 m
risulterà sempre superiore all’energia minima Hcv necessaria per superare il
restringimento. L’altezza y3, sul ramo delle correnti rapide, sarà inoltre
necessariamente inferiore all’altezza di moto uniforme di valle pertanto, a partire
dalla sezione 3 si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino alle
condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4).
Fig. 41
Consideriamo ora il caso in cui ΔQ<ΔQ2 per il quale la curva H-y di monte si
posizionerà al di sotto di quella di valle (Fig. 42). Come prima, partiamo dalle
condizioni di moto uniforme di monte (y1=y0m). Proseguendo verso valle la corrente si
manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2 posta immediatamente a monte della
sottrazione. Per stabilire le caratteristiche del moto nella sezione 3 si opera il
bilancio di energia visto in precedenza che fornisce H3=H2=H0m. E’ evidente, dal
diagramma H-y di Fig. 42, che l’energia H3 può risultare inferiore o superiore
all’energia minima necessaria alla corrente per superare la sottrazione di portata.
-90-
moto permanente nei canali
Una ulteriore condizione limite è quindi rappresentata da H3=H0m=Hcv=0.358 m che
fornisce
H cv
3
3 ⎛ Qv2
= y cv = ⎜⎜
2
2 ⎝ g b2
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 3
=0.358 m
⇒
Qv=7.31 m3/s
e quindi un ulteriore valore limite per la portata sottratta ΔQ3=2.69 m3/s.
Quando la portata sottratta ricade nell’intervallo ΔQ3<ΔQ<ΔQ2 l’energia H3 è
superiore quella minima Hcv e nella sezione 3 si avrà un’altezza y3 superiore a y0v. A
partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà pertanto un profilo di corrente rapida
accelerata, S2, fino alle condizioni di moto uniforme (Fig. 42).
Fig. 42
Quando invece la portata sottratta è inferiore a ΔQ3 l’energia H3 è inferiore a quella
minima necessaria alla corrente per superare la sottrazione di portata e nella sezione
3 si stabiliranno le condizioni critiche (Fig. 43). A partire dalla sezione 3, verso valle,
si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata, S2, fino alle condizioni di moto
uniforme. Verso monte, dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha H2=Hcv a cui
corrisponde l’altezza y2 sul ramo delle correnti lente. A partire da quest’altezza, verso
monte, si svilupperà un profilo di corrente lenta decelerata S1 lungo il quale la spinta
si ridurrà fino a bilanciare quella della corrente rapida di monte in moto uniforme.
Utilizzando la relazione per le altezze coniugate si trova, a monte del risalto, l’altezza
y6=0.281 m.
Fig. 43
-91-
moto permanente nei canali
Nel complesso, quindi, per valori ΔQ<ΔQ3 si ha la configurazione di Fig. 43, quando
invece ΔQ3<ΔQ<ΔQ2 la corrente si mantiene ovunque rapida come illustrato in Fig.
42, quando infine ΔQ2<ΔQ<ΔQ1 lungo il canale si sviluppa il profilo di Fig. 41.
Per completare l’analisi ci sono ancora due aspetti che vanno precisati. Il primo
riguarda il profilo che si instaura lungo il canale quando la portata sottratta supera il
valore limite ΔQ1 e la pendenza del fondo del tratto di valle risulta inferiore a quella
critica.
In queste condizioni le caratteristiche del moto sono illustrate in Fig. 44. Lungo il
tratto di monte la corrente si mantiene in moto uniforme. Nel superare la sottrazione
a energia costante il livello subisce un brusco abbassamento e, a partire dalla
sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo M3 lungo il quale la corrente rapida
riduce la sua spinta fino ad eguagliare quella della corrente lenta di valle in moto
uniforme.
Fig. 44
L’ultimo aspetto riguarda la possibilità di avere due soluzioni per uno stesso valore di
portata sottratta (isteresi).
Consideriamo la situazione illustrata in Fig. 43 e, a partire da questa, immaginiamo di
incrementare la portata sottratta. In questo modo la curva H-y di valle si abbassa
verso quella di monte e il profilo S1 riduce gradualmente la sua lunghezza e le
sezioni 6 e 2 si avvicinano fino a coincidere. In quest’ultima situazione limite, con le
sezioni 6 e 2 coincidenti e un profilo S1 di lunghezza nulla, si ha y2=y6=y0mR=0.281 m
a cui corrisponde l’energia H2=0.353 m la quale, come visto in precedenza, deve
corrispondere all’energia minima di valle, ovvero
H cv
3
3 ⎛ Q2
= y cv = ⎜⎜ v 2
2
2⎝gb
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 3
= 0.353 m
⇒ Qv=7.14 m3/s ⇒ ΔQ4=2.86 m3/s
Quando la portata sottratta è nell’intervallo ΔQ3<ΔQ<ΔQ4 si potranno avere pertanto
sia la configurazione di Fig. 42 che una configurazione con transizione analoga a
quella di Fig. 43.
-92-
moto permanente nei canali
Esercizio 24. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso
in due tratti: il tratto di monte è largo B=30 m mentre il tratto di valle è largo b=20 m.
La pendenza del fondo vale if=0.0004 e il coefficiente di scabrezza nella formula di
Gauckler-Strickler vale kS=30 m1/3/s.
In corrispondenza del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di
portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=10 m3/s, si
ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di
profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della
variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di
sezione molto larga per la quale RH≈y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di monte
y0m e l’altezza critica ycm. Con i dati del problema si trova
y0m=0.703 m
ycm=0.225 m
Nel tratto di monte, pertanto, la pendenza risulta inferiore a quella critica e,
presumibilmente la stessa condizione si avrà anche per il tratto di valle in quanto la
pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile.
E’ comunque possibile verificare questa assunzione. Per il tratto di valle l’altezza di
moto uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni
y 0v
⎛ Qv ⎞
⎟
=⎜
⎜k b i ⎟
f ⎠
⎝ S
3/5
y cv
⎛ Q
=⎜ v
⎜b g
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2/3
Imponendo la condizione y0v<ycv si trova Qv>1.8.108 m3/s che, evidentemente, è
impossibile dovendo essere Qv<10 m3/s.
Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente
lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 1).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 45, il moto si mantiene
uniforme fino alla sezione 2 (cambio di sezione e portata). Per stabilire le
caratteristiche del moto nella sezione 3 si opera un bilancio di energia
z3+H3-ΔE32=z2+H2 ⇒ H3=H2
-93-
moto permanente nei canali
Nella sezione 3 l’energia H3 può risultare inferiore o superiore all’energia minima
necessaria alla corrente Hcm=0.337 m. La condizione limite è quindi rappresentata da
H2=H0v=Hcm=0.337 m. Da questa condizione, combinando tra loro l’espressione
dell’energia specifica rispetto al fondo e la relazione del moto uniforme, è possibile
stabilire le corrispondenti caratteristiche del moto di valle
H 0v = y 0 v +
k S2 y 04v/ 3 i f
2g
⇒
y0v=0.333 m
e quindi Qv=1.916 m3/s e ΔQ1=8.084 m3/s.
Per valori ΔQ<ΔQ1 la corrente riesce a raggiungere la sezione 3 senza transizione, al
contrario per ΔQ>ΔQ1, nel passaggio tra la sezione 3 e la sezione 2 si ha transizione.
Analizziamo dapprima le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ<ΔQ1.
Nota l’energia H3=H2, dal bilancio visto in precedenza, possiamo determinare la
corrispondente altezza y3 sul ramo delle correnti lente della curva H-y relativa al
tratto di monte. In relazione al valore assunto da ΔQ, l’altezza y3 può risultare
inferiore o superiore all’altezza y2. Consideriamo infatti le espressioni per le curve Hy di monte e di valle
Qm2
Hm = y m +
2g B 2 y m2
Hv = y v
2
(
Qm − ΔQ )
+
2g b 2 y v2
E’ evidente che quando fosse (Qm/B)=(Qm-ΔQ)/b, le due curve coinciderebbero. Con i
dati del problema, questa situazione si verifica per ΔQ=3.333 m3/s. Indichiamo con il
pedice 2 questo valore caratteristico (ΔQ2=3.333 m3/s).
Quando ΔQ<ΔQ2 la curva H-y di monte si posizionerà al di sotto di quella di valle
(Fig. 45), si avrà, pertanto, y3>y2. Essendo, inoltre, y3>y0m, a monte della sezione 3 si
svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente
a monte.
Fig. 45
Quando invece ΔQ>ΔQ2 (ma ancora ΔQ<ΔQ1) la curva H-y di monte si posizionerà al
di sopra di quella di valle (Fig. 46), si avrà, pertanto, y3<y2. Essendo, inoltre, y3<y0m,
a monte della sezione 3 si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di
moto uniforme infinitamente a monte.
-94-
moto permanente nei canali
Fig. 46
Analizziamo ora le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ>ΔQ1. In tal
caso, in corrispondenza della sezione 3 si instaurano condizioni critiche, e quindi
sarà y3=ycm=0.225 m. Dalla relazione di bilancio vista in precedenza si ha inoltre
H2=Hcm=0.337 m.
Nota l’energia in 2, al variare della portata sottratta ΔQ (ΔQ>ΔQ1) possiamo calcolare
da una parte l’altezza y2, dall’altra, la portata di valle Qv (per continuità), l’altezza y0v
(con la formula di moto uniforme) e la sua coniugata y0vR.
Se dovesse risultare y2<y0vR, a valle della sezione 2 si svilupperà un breve tratto di
corrente rapida decelerata (profilo M3) fino a raggiungere l’altezza y0vR dove si
localizzerà la transizione rapida→lenta con la formazione del risalto (Fig. 47).
Fig. 47
Se invece dovesse essere y2>y0vR, il risalto si porterà immediatamente a monte della
sezione 2 e avremo una doppia transizione lenta→rapida→lenta tra le sezioni 3 e 2
(Fig. 48).
Fig. 48
-95-
moto permanente nei canali
La condizione limite, a cui corrisponde la sottrazione ΔQ3, si ha quando y2=y0vR.
Volendo, è possibile valutare ΔQ3 considerando, come detto poc’anzi, l’espressione
per l’energia H2 e le formule di moto uniforme e delle altezze coniugate, alle quali va
aggiunta la condizione y2=y0vR
Qv2
2g b 2 y 22
H2 = y 2 +
Qv = k S b y 05v/ 3 i f
y 2 = y 0vR
y
= 0v
2
⎡
Qv2
⎢− 1 + 1 + 8
g b 2 y 03v
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
Il sistema delle quattro precedenti equazioni contiene le quattro incognite y0v, yovR, Qv
e y2. La soluzione di questo sistema, tutt’altro che agevole. Nel seguito si suggerisce,
giustificandolo, un possibile modo di procedere iterativamente.
Sostituita l’espressione per Qv nella prima e nell’ultima equazione si ha
k S2 y 010v / 3 i f
H2 = y 2 +
2g y 22
y
y 2 = 0v
2
⎡
k S2 y 01v/ 3 i f
⎢− 1 + 1 + 8
g
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
La prima di queste due relazioni viene esplicitata rispetto all’altezza y0v
y 0v = Φ y 23 / 5 =
con
⎡ 2g (H 2 − y 2 ) ⎤ 3 / 10
Φ =⎢
⎥
k S2 i f
⎣
⎦
nella quale, essendo la corrente rapida in corrispondenza della sezione 2, l’altezza y2
contenuta nell’espressione di Φ è piccola rispetto a H2 e può essere trascurata al
primo tentativo.
Sostituita l’espressione per y0v così trovata nella seconda delle precedenti relazioni,
dopo pochi passaggi, si ottiene
⎛Φ⎞
y2 = ⎜ ⎟
⎝2⎠
5/2
⎡
k S2 Φ 1/ 3 i f 1/ 5 ⎤
−
1
+
1
+
8
y2 ⎥
⎢
g
⎢⎣
⎥⎦
5/2
Scelto un valore per y2 di primo tentativo, molto piccolo ma non nullo, e procedendo
nelle iterazioni, si trova y2=yovR=0.000641 m, y0v=0.029 m, Qv=0.0329 m3/s. Risulta
pertanto ΔQ3=Qm-Qv=9.967 m3/s. In pratica, quindi, per ΔQ>ΔQ1 si assisterà sempre
ad una doppia transizione.
-96-
moto permanente nei canali
Esercizio 25. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto
larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L molto scabro. La pendenza del
fondo vale if=0.006 e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q =1.0 m3/sm. Si
ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della
lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai
diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del
problema, ricordando che è possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza
d’acqua (RH≈y), si trova
y01=0.363 m
y02=0.673 m
yc=0.467 m
avendo indicato con il pedice 1 il tratto di canale meno scabro e con il pedice 2 il
tratto centrale di canale. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza
critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica per il tratto più scabro
(if<ic2) e superiore a quella critica altrove (if>ic1). Infinitamente a monte e a valle
avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la ricostruzione del
profilo parte da monte (sezione 1).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 49, il moto si mantiene
uniforme fino alla sezione 2 (cambio di scabrezza) a partire dalla quale si svilupperà
un profilo di corrente rapida decelerata M3. Se la lunghezza L è sufficientemente
piccola, la corrente rapida si mantiene tale fino alla sezione 3 (cambio di scabrezza).
Verso valle si svilupperà quindi un profilo S2 che porterà la corrente nuovamente
verso le condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4).
Fig. 49
Al limite, per L=0, la corrente rapida resta ovunque in moto uniforme (Fig. 50A).
L’altra condizione limite è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui esattamente
-97-
moto permanente nei canali
al termine del profilo M3 (sezione 3) il livello raggiunge le condizioni critiche (y3=yc)
come illustrato in Fig. 50B.
Fig. 50
Se la lunghezza L è sufficientemente grande (L>L1), il profilo M3 che si sviluppa a
valle della sezione 2 porta il livello y a raggiungere le condizioni critiche prima del
termine del tratto più scabro (vedi Fig. 51 e Fig. 52). Non potendo proseguire verso
valle si fissano in corrispondenza della sezione 3 le condizioni critiche (y3=yc) e si
procede all’integrazione della corrente rapida verso valle, che svilupperà un profilo S2
fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4), e all’integrazione della corrente
lenta verso monte che svilupperà un profilo M2.
Per stabilire se il risalto si stabilisce a monte o a valle della sezione 2 è necessario
confrontare la spinta della corrente rapida in moto uniforme di monte con quella della
corrente lenta in corrispondenza della sezione 2. In modo equivalente possiamo
confrontare l’altezza coniugata y01R della corrente con l’altezza di lenta nella sezione
2. Con i dati del problema risulta y01R=0.59 m. Al tempo stesso l’altezza di corrente
lenta y2 assumerà valori compresi tra l’altezza critica yc=0.467 m e l’altezza di moto
uniforme y02=0.673 m, in relazione alla lunghezza L. Esisterà quindi una lunghezza
limite L2 tale per cui si ha y2=y01R.
Se L<L2, il risalto si formerà nel tratto centrale più scabro (Fig. 51), se invece è L>L2
la corrente lenta del tratto centrale spingerà il risalto a monte della sezione 2. In tal
caso, a monte della sezione 2 si avrà un tratto di corrente lenta decelerata S1 (Fig.
52). Ovviamente, per L=L2 il risalto si formerà esattamente in corrispondenza della
sezione 2.
Fig. 51
Nel complesso, quindi, per L<L1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 49, per L1<L<L2
quella illustrata in Fig. 51 e per L>L2 quella di Fig. 52.
-98-
moto permanente nei canali
Fig. 52
Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare della lunghezza L
consente di determinare i valori limite che risultano L1=1.73 m e L2=6.4 m.
-99-
moto permanente nei canali
Esercizio 26. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto
larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L sensibilmente meno scabro. La
pendenza del fondo vale if=0.008 e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q
=1.0 m3/sm. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al
variare della lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel
diagramma H-Y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai
diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del
problema, ricordando che è possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza
d’acqua (RH≈y), si trova
y01=0.553 m
y02=0.333 m
yc=0.467 m
avendo indicato con il pedice 1 il tratto di canale più scabro e con il pedice 2 il tratto
centrale di canale. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza critica si
deduce che la pendenza è inferiore a quella critica per il tratto più scabro (if<ic1) e
superiore a quella critica altrove (if>ic2). Infinitamente a monte e a valle avremo quindi
condizioni di moto uniforme di corrente lenta e la ricostruzione del profilo parte da
valle (sezione 1).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 53, il moto si mantiene
uniforme fino alla sezione 2 (cambio di scabrezza) a partire dalla quale si svilupperà
un profilo di corrente lenta decelerata S1. Se la lunghezza L è sufficientemente
piccola, la corrente lenta si mantiene tale fino alla sezione 3 (cambio di scabrezza).
Verso monte si svilupperà quindi un profilo M2 che porterà la corrente nuovamente
verso le condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 4).
Fig. 53
Al limite, per L=0, la corrente lenta resta ovunque in moto uniforme (Fig. 54A). L’altra
condizione limite è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui esattamente al
-100-
moto permanente nei canali
termine del profilo S1 (sezione 3) il livello raggiunge le condizioni critiche (y3=yc)
come illustrato in Fig. 54B.
Fig. 54
Se la lunghezza L è sufficientemente grande (L>L1), il profilo S1 che si sviluppa a
monte della sezione 2 porta il livello y a raggiungere le condizioni critiche prima del
termine del tratto meno scabro (vedi Fig. 55 e Fig. 56). Non potendo proseguire
verso monte si fissano in corrispondenza della sezione 3 le condizioni critiche (y3=yc)
e si procede all’integrazione della corrente lenta verso monte, che svilupperà un
profilo M2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4), e all’integrazione della
corrente rapida verso valle che svilupperà un profilo S2.
Per determinare se il risalto si stabilisce a monte o a valle della sezione 2 è
necessario confrontare la spinta della corrente lenta in moto uniforme di valle con
quella della corrente rapida in corrispondenza della sezione 2. In modo equivalente
possiamo confrontare l’altezza coniugata y01R della corrente con l’altezza di rapida
nella sezione 2. Con i dati del problema risulta y01R=0.391 m. Al tempo stesso
l’altezza di corrente rapida y2 assumerà valori compresi tra l’altezza di moto uniforme
y02=0.333 m e l’altezza critica yc=0.467 m, in relazione alla lunghezza L. Esisterà
quindi una lunghezza limite L2 tale per cui si ha y2=y01R.
Se L<L2, il risalto si formerà nel tratto centrale meno scabro (Fig. 55), se invece è
L>L2 la corrente rapida del tratto centrale spingerà il risalto a valle della sezione 2. In
tal caso, a valle della sezione 2 si avrà un tratto di corrente rapida decelerata M3 (Fig.
56). Ovviamente, per L=L2 il risalto si formerà esattamente in corrispondenza della
sezione 2.
Fig. 55
Nel complesso, quindi, per L<L1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 53, per L1<L<L2
quella illustrata in Fig. 55 e per L>L2 quella di Fig. 56.
-101-
moto permanente nei canali
Fig. 56
Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare della lunghezza L
consente di determinare i valori limite che risultano L1=3.09 m e L2=5.85 m.
-102-
moto permanente nei canali
Esercizio 27. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga
B=10 m, scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello rispetto al fondo della
sezione iniziale vale H=1.0m. Il primo tratto di canale, lungo L, è caratterizzato da
una pendenza del fondo if=0.02, il tratto successivo, infinitamente lungo, è
caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.002. Si ricostruiscano i possibili profili
di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L del tratto iniziale e si
valuti, nei casi in cui questo è agevole, la portata scaricata. Si rappresentino inoltre le
diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.
La pendenza del primo tratto di canale è relativamente elevata e, presumibilmente,
sarà superiore alla pendenza critica. In questo caso, per L sufficientemente grande,
la corrente nel tratto iniziale di canale non sarà influenzata dalle condizioni di valle.
Se assumiamo valida questa ipotesi , in corrispondenza della sezione di imbocco
(sezione 1, vedi Fig. 57) si stabiliranno le condizioni critiche. Da un bilancio tra il
serbatoio e la sezione 1 si trova inoltre
H = H1 = H c =
3
yc
2
Dalla precedente relazione, ricordando l’espressione per l’altezza critica in un canale
di sezione rettangolare, si trova Q=17.05 m3/s e y1=yc=0.667 m.
Con questa portata, le altezze di moto uniforme nei due tratti di canale valgono
y0m=0.394 m e y0v=0.809 m (avendo indicato con il pedice m il tratto iniziale di monte
lungo L e con il pedice v il tratto di valle, infinitamente lungo.
Essendo y0m<yc è verificata l’ipotesi assunta di pendenza del primo tratto superiore a
quella critica. Al tempo stesso il tratto di canale di valle è caratterizzato da una
pendenza inferiore a quella critica e la corrente, in condizioni di moto uniforme, è
lenta. Se la lunghezza L è sufficientemente grande, lungo il tratto di monte del
canale, a partire dalla sezione 1, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata
S2 (Fig. 57 e Fig. 58).
In corrispondenza della sezione 2, al termine del tratto di monte, la corrente
assumerà altezze d’acqua comprese tra l’altezza di moto uniforme y0m e l’altezza
critica yc in relazione alla lunghezza L. D’altra parte l’altezza coniugata della corrente
lenta di valle in moto uniforme vale y0vR=0.542 m, compresa tra y0m e yc. Esiste
quindi una lunghezza limite L1 a cui corrisponde la condizione y2=y0vR.
-103-
moto permanente nei canali
Per L>L1, l’altezza y2 di corrente rapida sarà inferiore a y0vR e il risalto si localizzerà a
valle della sezione 2 dopo un breve tratto di corrente rapida decelerata che segue un
profilo M3 (Fig. 57)
Fig. 57
Se, al contrario, la lunghezza L è (di poco) inferiore a L1, la corrente lenta sospingerà
il risalto verso monte e si avrà quindi la soluzione illustrata in Fig. 58.
Fig. 58
Se, infine, la lunghezza L dovesse essere molto piccola, il profilo S1 di corrente lenta
che si sviluppa verso monte a partire dalla sezione 2 potrebbe arrivare alla sezione 1
prima di raggiungere le condizioni critiche. In tal caso il profilo che si determina lungo
il canale è quello illustrato in Fig. 59.
E’ possibile individuare una seconda lunghezza limite L2 tale per cui il profilo
raggiunge le condizioni critiche esattamente in corrispondenza della sezione 1, e la
situazione appena illustrata si determina quindi quando L<L2.
Fig. 59
-104-
moto permanente nei canali
Nel complesso, quindi, per L>L1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 57, per L2<L<L1
quella illustrata in Fig. 58 e per L<L2 quella di Fig. 59.
Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare della lunghezza L
consente di determinare i valori limite che risultano L1=3.05 m e L2=1.976 m.
-105-
moto permanente nei canali
Esercizio 28. Lungo il tratto terminale del canale di figura, infinitamente lungo e di
sezione rettangolare larga è presente una sottrazione localizzata di portata, ΔQ a
causa della quale la portata per unità di largezza passa dal valore qm=1.2 m3/sm al
valore qv=0.8 m3/sm. Ad una distanza L a valle della sottrazione è posta una paratoia
sollevata a battente che fissa il livello nella sezione terminale al valore yv. Si
ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare dell’altezza yv, indicando i tipi
di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si rappresentino inoltre le
diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. Si valutino infine i livelli che si
instaurano nelle immediate vicinanze della sottrazione nelle condizioni limite che
separano le diverse possibili configurazioni.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della
variazione di portata..
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme e
quelle critiche per i due tratti di canale a monte e a valle della sottrazione, si trova
Y0m=0.345 m
y0v=0.270 m
ycm=0.528 m
ycv=0.403 m
Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e le altezze critiche si evince che tutto il
canale è caratterizzato da una pendenza del fondo superiore a quella critica.
Infinitamente a monte si avranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Al
tempo stesso, essendo l’altezza yv di valle fissata dalla paratoia sollevata a battente,
necessariamente l’altezza yv è associata ad una corrente lenta. Lungo il canale si
assisterà quindi, necessariamente, ad una transizione lenta→rapida.
Cominciamo con ricostruire il profilo di corrente rapida al partire da monte (sezione 1
di Fig. 60). La corrente si manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2,
immediatamente a monte della sottrazione. Il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3,
quest’ultima posta immediatamente a valle della sottrazione, fornisce
H3=H2=H0m=0.962 m. A questa energia, che risulta necessariamente (vedi
diagramma H-y di Fig. 60) superiore all’energia minima per la sezione 3
(Hcv=1.5.ycv=0.604 m) corrisponde l’altezza y3=0.208 m sul ramo delle correnti rapide.
Essendo y3<y0v, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di
corrente rapida decelerata S3 che, se il canale fosse infinitamente lungo, porterebbe
la corrente a raggiungere condizioni di moto uniforme.
Si osservi che, detta yL l’altezza che avrebbe la corrente rapida se si mantenesse
tale fino alla paratoia (yL<y0v), e immaginando, come condizione limite, che il risalto si
formi a ridosso della paratoia stessa, l’altezza yv=yv0 deve corrispondere alla
coniugata di yL e non può essere inferiore.
-106-
moto permanente nei canali
Per stabilire la posizione del risalto ricostruiamo i profili di corrente lenta (S1) a partire
dal livello yv assegnato a valle. Come al solito, il risalto si formerà laddove le spinte
della corrente rapida di monte e della corrente lenta di valle si bilanciano.
Se l’altezza di valle è relativamente modesta, si avrà la situazione illustrata in Fig. 60,
nella quale il risalto si forma a valle della sottrazione.
Fig. 60
Aumentando l’altezza yv e quindi la spinta della corrente lenta di valle, il risalto
risalirà fino a formarsi immediatamente a valle della sottrazione (Fig. 61A). In queste
condizioni l’altezza immediatamente a valle del risalto, y6 corrisponde all’altezza
coniugata di y3, ovvero y6=y3R=0.695 m, e le sezioni 3 e 5 saranno coincidenti. E’
questa una condizione limite a cui corrisponderà, immediatamente a monte della
paratoia, un’altezza yv1.
Fig. 61
Incrementando ulteriormente il livello di valle (e quindi la spinta della corrente lenta) il
risalto è forzato a spostarsi verso monte. Però, prima di superare la sezione 2 la
-107-
moto permanente nei canali
spinta di valle deve essere incrementata in misura relativamente consistente.
Un’altra condizione limite, infatti, è quella illustrata in Fig. 61B nella quale il risalto si
situa immediatamente a monte della sezione 2. In questo caso l’altezza y2
corrisponde alla coniugata dell’altezza y5=y0m. Con i dati del problema si trova
y2=y5R=0.766 m a cui corrisponde l’energia H2=0.891 m. Dal bilancio tra le sezioni 2
e 3 si ha H3=H2=0.891 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza
y3=0.845 m. A questo valore dell’altezza y3 corrisponderà, immediatamente a monte
della paratoia, un’altezza limite yv2.
Si osservi che nella situazione di Fig. 61A l’altezza di corrente lenta immediatamente
a valle della sottrazione era y6= 0.695 m, mentre nella situazione di Fig. 61B,
l’altezza di corrente lenta immediatamente a valle della sottrazione vale y3=0.845 m.
Si deduce che l’altezza limite yv2 sarà (sensibilmente) superiore a quella yv1.
Per altezze di valle nell’intervallo yv1<yv<yv2 si avrà la situazione illustrata in Fig. 62
con il risalto bloccato tra le sezioni 2 e 3, in corrispondenza della sottrazione.
Fig. 62
Infine, per altezze di valle yv>yv2 si avrà la situazione illustrata in Fig. 63 nella quale il
risalto si forma a monte della sottrazione di portata.
Fig. 63
Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare dell’altezza yv
consente di determinare i valori limite una volta fissata la lunghezza L. Ad esempio,
per L=50 m, si trova yL=0.264 m (ancora inferiore a y0v). A questo valore corrisponde
l’altezza limite yv0=0.584 m. La condizione limite di Fig. 61A si ha quando l’altezza di
valle vale yv1=1.23 m mentre la condizione limite di Fig. 61B si ha quando l’altezza di
valle vale yv2=1.366 m.
-108-
moto permanente nei canali
Esercizio 29. Lungo il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare
larga è presente una sottrazione localizzata di portata, ΔQ a causa della quale la
portata per unità di largezza passa dal valore qm=1.2 m3/sm al valore qv=0.8 m3/sm.
In corrispondenza della sottrazione localizzata, inoltre, vi è anche un cambio di
pendenza dal valore ifm=0.02 al valore ifv. Si ricostruiscano i possibili profili lungo il
canale al variare della pendenza ifv, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente
vario che si sviluppano. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel
diagramma H-Y. Si valutino infine i valori delle pendenze ifv nelle condizioni limite che
separano le diverse possibili configurazioni.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della
variazione di portata..
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme per il
tratto di monte del canale e quelle critiche per i due tratti a monte e a valle della
sottrazione, si trova
Y0m=0.345 m
ycm=0.528 m
ycv=0.403 m
Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme Y0m e l’altezza critica ycm si evince che il
tratto di monte del canale è caratterizzato da una pendenza del fondo superiore a
quella critica. Infinitamente a monte si avranno dunque condizioni di moto uniforme di
corrente rapida.
Conviene, preliminarmente, valutare la pendenza critica per il tratto di valle (che
rappresenta evidentemente una condizione limite di interesse). Con i dati del
problema si trova
i cv =
qv2
=0.0053
10 / 3
k S2 y cv
Nel caso in cui la pendenza del fondo di valle sia superiore a quella critica, essendo
la curva H-y della corrente di monte superiore a quella della corrente di valle, la
corrente si manterrà rapida ovunque lungo il canale (vedi Fig. 64 e Fig. 65).
Cominciamo con ricostruire il profilo di corrente rapida al partire da monte (sezione 1
di Fig. 64). La corrente si manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2,
immediatamente a monte della sottrazione. Il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3,
quest’ultima posta immediatamente a valle della sottrazione, fornisce
H3=H2=H0m=0.962 m. A questa energia, che risulta necessariamente (vedi
diagramma H-y di Fig. 64) superiore all’energia minima per la sezione 3
(Hcv=1.5.ycv=0.604 m) corrisponde l’altezza y3=0.208 m sul ramo delle correnti rapide.
-109-
moto permanente nei canali
A questo punto dobbiamo distinguere il caso y3<y0v da quella y3>y0v. Si individua
quindi una nuova condizione limite per la pendenza di valle ovvero quella per la
quale si ha y3=y0v. Tale pendenza limite vale
iv1 =
qv2
=0.048
k S2 y 310 / 3
Nel caso in cui sia ifv<iv1 si avrà y3<y0v, e a partire dalla sezione 3, verso valle, si
svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 che porta gradualmente la
corrente verso condizioni di moto uniforme (Fig. 64).
Fig. 64
Nel caso opposto in cui sia ifv>iv1 si avrà y3>y0v, e a partire dalla sezione 3, verso
valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S2 fino a raggiungere le
condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (Fig. 65).
Fig. 65
Consideriamo ora il caso in cui la pendenza del fondo del tratto di valle sia inferiore a
quella critica. La condizione di moto uniforme y0v sarà dunque di corrente lenta e,
necessariamente lungo il canale si assisterà ad una transizione rapida→lenta.
Per quanto visto in precedenza, a partire da monte (sezione 1 di Fig. 64 e Fig. 66) si
ha un profilo di moto uniforme fino alla sezione 2, immediatamente prima della
sottrazione. Il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 fornisce H3=H2=H0m=0.962 m e a
questa energia corrisponde l’altezza y3=0.208 m sul ramo delle correnti rapide.
Essendo, necessariamente, y3<y0v, a partire dalla sezione 3, verso valle, si
svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino, eventualmente alle
condizioni critiche ycv.
-110-
moto permanente nei canali
Per stabilire la posizione del risalto ricostruiamo i profili di corrente lenta a partire dal
livello di monto uniforme infinitamente a valle, y4=y0v.
Se l’altezza di valle è relativamente modesta (ovvero la pendenza ifv poco inferiore a
quella critica), si avrà la situazione illustrata in Fig. 66, nella quale il risalto si forma a
valle della sottrazione.
Fig. 66
Riducendo via via la pendenza del fondo del tratto di valle, incrementando così
l’altezza di moto uniforme y0v, cresce la spinta della corrente lenta di valle e il risalto
risale fino a formarsi immediatamente a valle della sottrazione (Fig. 67A). In queste
condizioni l’altezza immediatamente a valle del risalto y6, che coincide con l’altezza
di moto uniforme y0v, corrisponde all’altezza coniugata di y3, ovvero y6=y3R=0.695 m,
e le sezioni 3 e 5 saranno coincidenti. E’ questa una condizione limite a cui
corrisponde la pendenza del fondo iv2=0.000862.
Fig. 67
-111-
moto permanente nei canali
Riducendo ulteriormente la pendenza del fondo (e quindi incrementando l’altezza di
moto uniforme e la spinta della corrente lenta) il risalto è forzato a spostarsi verso
monte. Però, prima di superare la sezione 2 la spinta di valle deve essere
incrementata in misura relativamente consistente. Un’altra condizione limite, infatti, è
quella illustrata in Fig. 67B nella quale il risalto si situa immediatamente a monte
della sezione 2. In questo caso l’altezza y2 corrisponde alla coniugata dell’altezza
y5=y0m. Con i dati del problema si trova y2=y5R=0.766 m a cui corrisponde l’energia
H2=0.891 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3 si ha H3=H2=0.891 m a cui corrisponde,
sul ramo delle correnti lente, l’altezza y3=0.845 m. A questo valore dell’altezza y3 che
coincide con l’altezza di moto uniforme di valle, corrisponde una pendenza del fondo
pari a iv3=0.000448.
Per pendenze del fondo di valle nell’intervallo iv3<ifv<iv2 si avrà la situazione illustrata
in Fig. 68 con il risalto bloccato tra le sezioni 2 e 3, in corrispondenza della
sottrazione.
Fig. 68
Infine, per pendenze del fondo del tratto di valle ifv<iv3 si avrà la situazione illustrata in
Fig. 69 nella quale il risalto si forma a monte della sottrazione di portata.
Fig. 69
Riassumendo, per pendenze del fondo molto piccole, ifv<iv3=0.000448, nel canale si
sviluppa il profilo illustrato in Fig. 69. Per pendenze iv3=0.000448<ifv<iv2=0.000862 il
profilo che si determina è quello di in Fig. 68 mentre per pendenze
iv2=0.000862<ifv<icv=0.0053 il risalto viene ricacciato a valle della sottrazione e il
profilo che si determina lungo il canale è quello di Fig. 66. In tutti questi casi,
essendo la corrente, infinitamente a valle, lenta, si osserva la presenza di un risalto.
Per pendenze del fondo icv=0.0053<ifv<iv1=0.048 il profilo che si determina è quello di
-112-
moto permanente nei canali
Fig. 64 mentre per pendenze ifv>iv1=0.048 si determina la situazione illustrata in Fig.
65.
-113-
moto permanente nei canali
Esercizio 30. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga,
termina a valle in un bacino di grandi dimensioni la cui superificie libera si trova a
quota YL=2.0 m rispetto alla quota del fondo del canale allo sbocco. Ad una distanza
L a monte dello sbocco è presente un gradino di altezza a. La portata fluente, per
unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm.
Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano
i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza
L del tratto a valle del gradino, indicando il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3).
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-Y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme e
quelle critiche per i due tratti di canale a monte e a valle della sottrazione, si trova
y0=0.617 m
yc=0.403 m
H0=0.703 m
Hc=0.604 m
Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e le altezze critiche si evince che tutto il
canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica.
Se la lunghezza L fosse nulla, considerando il bilancio di energia tra monte (sezione
2) e valle del gradino si avrebbe
H2 = y L +
q2
− a = 1.608 m>Hc
2g y L2
Si deduce quindi che se il tratto di valle è sufficientemente corto, la corrente è in
grado di superare il gradino senza transizione.
E’ da osservare inoltre che la soluzione della precedente relazione fornisce l’altezza
y2=1.583 m. Essendo questa superiore all’altezza di moto uniforme, lungo tutto il
canale si stabilirà un profilo di rigurgito M1.
Al contrario, se la lunghezza L fosse infinita e si determinassero quindi le condizioni
di moto uniforme immediatamente a valle del gradino, considerando il bilancio di
energia tra monte e valle del gradino si avrebbe
H2 = y 0 +
q2
− a = 0.303 m<Hc
2g y 02
-114-
moto permanente nei canali
In questo caso, dunque, la corrente non è in grado di superare il gradino senza
transizione.
La condizione limite tra queste due situazioni è rappresentata dalla lunghezza L1 tale
per cui è verificata la seguente uguaglianza
Hc = y 3 +
q2
−a
2g y 32
nella quale il pedice 3 individua la sezione immediatamente a valle del gradino. La
soluzione della precedente relazione fornisce y3=0.971 m (Fig. 71a).
La lunghezza L1, determinata per integrazione numerica delle equazioni del moto,
risulta prossima a L1=542 m.
Dunque per L<L1 la corrente si mantiene lenta ovunque. In questo caso, comunque,
è possibile individuare una seconda lunghezza limite. Si è visto infatti che per una
lunghezza molto piccola (al limite nulla) a monte del gradino si sviluppa un profilo M1
mentre quando ci si avvicina alla lunghezza L=L1, sul gradino si stabiliscono
condizioni prossime a quelle critiche e a monte si svilupperà quindi un profilo di
chiamata M2. Esiste dunque una lunghezza L2 tale per cui immediatamente a monte
del gradino (sezione 2) si avrà un’altezza coincidente con quella del moto uniforme.
Tale lunghezza corrisponde a quella necessaria affinchè nella sezione 3 si determini
l’altezza y3 che verifica la seguente equazione di bilancio
q2
H0 = y 3 +
−a
2g y 32
Si trova y3=1.071 m (Fig. 70b).
La lunghezza L2, determinata per integrazione numerica delle equazioni del moto,
risulta prossima a L2=484 m.
Dunque, per L<L2, si sviluppa il profilo illustrato in Fig. 70a mentre per L2<L<L1, si
sviluppa il profilo illustrato in Fig. 70c.
Quando la lunghezza del tratto di valle supera il valore L1, in corrispondenza della
sezione 2 si stabiliscono le condizioni critiche e a valle del gradino si formerà un
risalto. Possiamo ancora distinguere il caso in cui il risalto è libero o compresso
contro il paramento di valle del gradino. Le condizioni limite (L3) si determinano
imponendo che l’altezza di corrente rapida y3R, nella sezione 3, corrisponda
esattamente alla coniugata dell’altezza della corrente lenta di valle che, nella sezione
3, è indicata con y3L.
Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3
3
q2
y c + a = y 3R +
2
2g y 32R
si trova y3R=0.202 m e quindi F3R=2.82. Si ha inoltre
y 3L =
(
)
y 3R
− 1 + 1 + 8F32R =0.701 m
2
-115-
moto permanente nei canali
Fig. 70
La lunghezza limite L3 è dunque quella distanza dallo sbocco a cui corrisponde, per
integrazione del profilo di corrente lenta a partire dalla sezione 4 (sbocco nel bacino),
l’altezza y3L appena calcolata (Fig. 71c).
La lunghezza L3, determinata per integrazione numerica delle equazioni del moto,
risulta prossima a L3=743 m.
Per una lunghezza L1<L<L3, si ha transizione con la formazione di un risalto che
resta incollato al gradino (vedi Fig. 71b). Per una lunghezza L>L3 il risalto si stacca
dal gradino spostandosi verso valle (vedi Fig. 71d).
-116-
moto permanente nei canali
Fig. 71
-117-
moto permanente nei canali
Esercizio 31. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è
presidiato a monte da una paratoia sollevata a battente larga quanto il canale. Alla
distanza L (relativamente modesta) a valle della paratoia c’è una gradino di fondo
alto s=0.1 m. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Si assuma
inoltre, per semplicità, un coefficiente di contrazione costante pari a cc=0.6.
Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano
i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare dell’apertura a
della paratoia, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1,
M2, M3, S1, S2, S3).
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-Y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme e
quelle critiche per i due tratti di canale a monte e a valle della sottrazione, si trova
y0=0.540 m
yc=0.403 m
Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e le altezze critiche si evince che tutto il
canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica. Se,
come suggerito nel testo, la distanza L è relativamente modesta, per un’altezza a
della luce sufficientemente piccola, la corrente rapida sarà in gradi di superare il
gradino e sospingere la lenta a valle dello stesso.
Una condizione limite è rappresentata dall’apertura a1 tale per cui il risalto si forma
immediatamente a valle del gradino (Fig. 72f). In queste condizioni l’altezza y2R di
corrente rapida in corrispondenza della sezione 2 coincide con la coniugata
dell’altezza di moto uniforme della corrente lenta di valle y2L=y0. Essendo F0=0.644,
si avrà
y 2R =
1
y 0 ( −1 + 1 + 8F02 ) =0.291 m
2
cui corrisponde l’energia H2=0.676 m.
Dal bilancio tra le sezioni 1 e 2, nell’ipotesi di trascurare qualsiasi dissipazione di
energia, si trova H1=0.776 m cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, il livello
y1=0.249 m.
-118-
moto permanente nei canali
L’apertura limite a1 è dunque quella che produce, in corrispondenza della sezione 1,
l’altezza y1=0.249 m.
Una seconda condizione limite è quella associata alla formazione del risalto
immediatamente a monte del gradino, cioè in corrispondenza della sezione 1 (Fig.
72e). In queste condizioni sarà H2=H0=0.652 m.
Dal bilancio tra le sezioni 1 e 2, nell’ipotesi di trascurare qualsiasi dissipazione di
energia, si trova H1=0.752 m cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, il livello
y1L=0.682 m. A monte del risalto si avrà
y 1R =
1
y 1L ( −1 + 1 + 8F12L ) =0.214 m
2
Questa altezza di corrente rapida risulta inferiore a quella (y1=0.249 m) individuata
precedentemente, cioè corrisponde ad un’apertura della paratoia a2, inferiore ad a1.
Ciò fa pensare che il processo sia caratterizzato da isteresi, come verrà chiarito più
avanti.
Una terza condizione limite è quella per cui il risalto si forma immediatamente a valle
della sezione di vena contratta. In queste condizioni, indicata yvL l’altezza di corrente
lenta a valle del risalto3, dovrà essere
1
q2
a3 =
y vL ( −1 + 1 + 8 3 )
2 cc
gy vL
Per aperture superiori ad a3, si avrà una condizione di efflusso rigurgitato con
un’altezza, poco a valle della paratoia, che continua ad essere yvL.
Infine, una quarta condizione limite si ha quando l’apertura della paratoia è tale da
non intercettare la corrente. Anche in questo caso è presente un fenomeno di isteresi
in quanto per valori dell’apertura poco superiori a yVL è possibile sia la soluzione con
deflusso rigurgitato sia quella per la quale la corrente passa sotto la paratoia senza
intercettarla. In particolare, se si parte da una condizione come quella illustrata in
Fig. 72a e si abbassa gradualmente la paratoia, la condizione limite è a4=yvL, ovvero
l’efflusso rigurgitato si innesca non appena la paratoia tocca la superficie libera. Se
invece si parte dalla configurazione illustrata in Fig. 72b e si procede ad alzare
gradualmente la paratoia, l’efflusso si manterrà rigurgitato anche per valori di
apertura superiori ad a4 e solo quando sarà superata l’apertura a5>a4 la corrente
tornerà a fluire liberamente sotto la paratoia senza intercettarla. L’inquadramento
matematico di questo comportamento è però complesso e per questo non viene qui
illustrato.
Immaginiamo di partire con una paratoia il cui grado di apertura sia sufficientemente
elevato (a>a5) per cui la corrente non interagisce con la paratoia (Fig. 72a). Se a
partire da questa condizione riduciamo l’apertura a, non appena risulti a<a4=yvL si
instaura un efflusso rigurgitato (Fig. 72b). Riducendo progressivamente l’apertura si
arriva alla condizione limite a=a3<a4 in cui l’efflusso comincia ad essere libero (Fig.
72c).
L’altezza yvL corrisponde al livello che si determina in corrispondenza della sezione dov’è posta la
paratoia integrando il profilo di corrente lenta M1 a partire dalla sezione 1 verso monte (vedi Fig. 72a).
3
-119-
moto permanente nei canali
Fig. 72
-120-
moto permanente nei canali
Via via che si riduce l’apertura cresce la spinta della corrente rapida di monte e il
risalto si sposta verso valle (Fig. 72d) fino a raggiungere la condizione limite a=a2 per
la quale il risalto si forma immediatamente a monte del gradino (Fig. 72e). A partire
da questa condizione, una riduzione infinitesima dell’apertura della paratoia fa si che,
nella configurazione illustrata in Fig. 72e, la corrente lenta a valle del risalto sia
caratterizzata da una spinta insufficiente a sostenere lo stesso e la corrente rapida
sale sul gradino spostando il risalto sensibilmente verso valle (Fig. 72g). Si è visto
infatti che per mantenere il risalto subito a valle del gradino è sufficiente una corrente
rapida sensibilmente più debole e quindi un’apertura della paratoia maggiore (a1).
In questo caso il risalto si forma laddove l’altezza della corrente rapida coincide con
la coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme, cioè y=0.291 m (Fig. 72g).
Accade così che la configurazione di Fig. 72f viene… saltata.
Partendo invece da condizioni analoghe a quelle illustrate in Fig. 72g e
incrementando gradualmente l’apertura della paratoia (e quindi riducendo l’energia e
la spinta della corrente rapida), il risalto si sposta con continuità verso monte fino a
raggiungere, per a=a1, la configurazione illustrata in Fig. 72f. Un ulteriore,
piccolissimo aumento dell’apertura fa si che la corrente lenta spinga il risalto a monte
del gradino. E’ da osservare che la configurazione illustrata in Fig. 72e corrisponde
ad un’apertura della paratoia a2<a1. Di conseguenza, per un’apertura anche solo
leggermente superiore ad a1, il risalto risale bruscamente verso monte collocandosi
in una posizione intermedia tra paratoia e gradino come illustrato in Fig. 72d (in
questo caso viene saltata la configurazione di Fig. 72e). Continuando ad alzare la
paratoia si raggiungeranno in successione le configurazioni illustrate in Fig. 72c e in
Fig. 72b. In questo caso l’efflusso si manterrà rigurgitato anche per valori
dell’apertura leggermente superiori ad a4 e solo quando sarà superata l’apertura
limite a5, poco maggiore di a4, la corrente non interagirà più con la paratoia come
illustrato in Fig. 72a.
Il valore dell’apertura a5 dipende dall’altezza yvL. Ad esempio per yvL=0.6 m
(y0<yvL<y1L) e assumendo un coefficiente di contrazione cc=0.6 si trova a5=0.628 m,
poco superiore ad a4=yvL=0.6 m.
-121-
moto permanente nei canali
Esercizio 32. Nel canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare
larga, è presente un’immissione localizzata di portata ΔQ in corrispondenza della
quale si ha una variazione sia della scabrezza, sia della pendenza del fondo, che
passa da ifm a ifv=0.01.
Le portate fluenti, per unità di larghezza, valgono qm=1.0 m3/sm e qv=1.2 m3/sm,
rispettivamente a monte e a valle dell’immissione.
Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di
monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il
canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto
gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3).
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma M-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme del
tratto di canale a valle dell’immissione e quelle critiche per i due tratti di canale di
monte e di valle, si trova
y0v=0.577 m
ycm=0.467 m
ycv=0.528 m
Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica del tratto di valle si evince
che questo tratto di canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a
quella critica.
Se la pendenza del fondo del tratto di monte è relativamente modesta, è possibile
che la corrente si mantenga lenta lungo tutto il canale.
Una prima condizione limite è rappresentata dalla pendenza ifm tale per cui in
corrispondenza della sezione 2 si determina un tirante coincidente con quello di moto
uniforme del tratto di monte. In questo caso, integrando il profilo di lenta da valle, si
mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 3 dove si avrà
y3=y0v=0.577 m. Per passare dalla sezione 3 alla sezione 2 si considera un bilancio
di spinte. Nella sezione 3 la spinta per unità di peso e di larghezza vale
M 3 = M 0v =
y 02v
q2
+ v =0.421 m2
2
g y 0v
Dalla condizione M3=M2 si determina l’altezza di corrente lenta a monte
dell’immissione che vale y2=0.756 m.
-122-
moto permanente nei canali
Utilizzando quindi la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, si trova il valore
di pendenza del fondo del tratto di monte per cui risulta y0m=y2. Tale valore limite
della pendenza vale ifm1=0.00052 (vedi Fig. 73b).
Per pendenze inferiori a ifm1, essendo il moto uniforme caratterizzato da un livello
superiore a y2 si svilupperà un profilo M2 di chiamata (Fig. 73a).
Per valori superiori a ifm1, e fintantochè la pendenza del tratto di monte si manterrà
inferiore alla pendenza critica, si svilupperà invece un profilo M1 di rigurgito (Fig.
73c).
La pendenza critica rappresenta dunque una seconda condizione limite (ifm2=ic). Noto
ycm, si trova ic=ifm2=0.00258. In queste condizioni, il profilo che si sviluppa a monte
dell’immissione è un profilo C1 (Fig. 73d) che teoricamente si raccorda con la
condizione di moto uniforme attraverso una discontinuità nella derivata prima del
livello y che, stante il carattere instabile delle condizioni critiche, determina una serie
di ondulazioni sulla superficie libera4.
Per pendenze del fondo superiori a ifm2, la corrente di monte, in moto uniforme,
risulta essere rapida, pertanto, lungo il canale si assisterà alla transizione tra
corrente rapida e lenta attraverso la formazione di un risalto. Per pendenze poco
superiori a ifm2, essendo la spinta della corrente rapida modesta in quanto i livelli
saranno poco inferiori all’altezza critica, il risalto si formerà a monte dell’immissione
come illustrato in Fig. 73e. Al crescere della pendenza di monte il risalto sarà
ricacciato sempre più a valle fino a posizionarsi immediatamente a monte
dell’immissione (Fig. 73f). Questa condizione limite (ifm=ifm3) si determina quando
l’altezza di moto uniforme di monte coincide con l’altezza coniugata del livello y2 che
si determina immediatamente a monte dell’immissione per integrazione della
corrente lenta di valle. Essendo, come già visto, y2=0.756 m, si trova F2=0.485 e la
coniugata di y2 risulta valere y5=0.264 m. Questo livello corrisponde all’altezza di
moto uniforme del tratto di monte quando la pendenza del fondo è ifm=ifm3=0.0173.
Un’ulteriore condizione limite potrebbe essere quella per la quale il risalto si forma
immediatamente a valle dell’immissione (ifm=ifm4). In questo caso in corrispondenza
della sezione 3 il livello corrisponde all’altezza coniugata della corrente lenta di valle
in moto uniforme. Essendo F0v=0.874, si trova y3=0.481 m. a cui corrisponde una
spinta, per unità di larghezza M3=0.421 m2, ovviamente coincidente con la spinta
Mov, già calcolata in precedenza. Dal bilancio delle spinte tra le sezioni 2 e 3 si ha
M2=M3=0.421 m2 da cui si trova y2=0.264 m che coincide con l’altezza y5 trovata con
riferimento alla precedente condizione limite ifm=ifm3.
Accade quindi che la condizione limite ifm4 coincida con ifm3, ovvero per una
pendenza del fondo ifm=ifm3, il risalto può formarsi, indifferentemente,
immediatamente a monte dell’immissione (Fig. 73f), immediatamente a valle
dell’immissione (Fig. 73h), o nel tratto compreso tra le sezioni 2 e 3 lungo il quale
avviene l’immissione (Fig. 73g).
Per una pendenza del fondo superiore a ifm3, il tratto di canale a monte
dell’immissione è interessato da una corrente rapida in moto uniforme. Nel tratto in
cui avviene l’immissione la corrente si mantiene rapida ed incrementa il suo livello. A
4
E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo
coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale
dy 10 ⎛ g 5 ⎞
⎜
⎟
=
dx
9 ⎜⎝ k S9 q ⎟⎠
Nel caso in esame risulta dy/dx=0.00287.
-123-
2/9
moto permanente nei canali
valle della sezione 3 si sviluppa un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino a
raggiungere l’altezza y5=0.481 m, coniugata della corrente lenta di valle in moto
uniforme. Qui si forma il risalto a valle del quale la corrente prosegue in moto
uniforme come illustrato in Fig. 73i.
Fig. 73
-124-
moto permanente nei canali
Fig. 73
-125-
moto permanente nei canali
Fig. 73
-126-
moto permanente nei canali
Esercizio 33. Nel canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare
larga, è presente un’immissione localizzata di portata ΔQ in corrispondenza della
quale si ha una variazione sia della scabrezza, sia della pendenza del fondo, che
passa da ifm a ifv=0.008.
Le portate fluenti, per unità di larghezza, valgono qm=1.2 m3/sm e qv=1.4 m3/sm,
rispettivamente a monte e a valle dell’immissione.
Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di
monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il
canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto
gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3).
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma M-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme del
tratto di canale a valle dell’immissione e quelle critiche per i due tratti di canale di
monte e di valle, si trova
y0v=0.570 m
ycm=0.528 m
ycv=0.585 m
Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica del tratto di valle si evince
che questo tratto di canale è caratterizzato da una pendenza del fondo superiore a
quella critica.
Se la pendenza del fondo del tratto di monte è inferiore a quella critica, il moto
uniforme, che si realizza infinitamente a monte, sarà di corrente lenta. In questa
situazione, dunque, avremo necessariamente una transizione lenta→rapida che
potrà instaurarsi laddove è presente una qualche variazione, di geometria o di
portata. Ciò avviene tra le sezioni 2 e 3. Tuttavia, osservando le curve M-y (Fig. 74) è
evidente che la condizione critica non può essere imposta nella sezione 2 e deve,
necessariamente, essere imposta in corrispondenza della sezione 3. In qeusta
sezione la spinta vale M3=Mcv=0.513 m2. Da un bilancio delle spinte (per unità di
larghezza) tra le sezioni 2 e 3 si trova M2=M3=0.513 m2 a cui corrisponde un’altezza
di corrente lenta y2=0.816 m.
Possiamo, a questo punto, introdurre una prima pendenza limite associata ad
un’altezza di moto uniforme di monte y0m coincidente con l’altezza y2 appena
-127-
moto permanente nei canali
individuata. Assunto dunque y0m=0.816 m e utilizzando la formula di moto uniforme di
Gauckler-Strickler, si trova ifm1=0.00044.
A valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S2 di corrente rapida accelerata fino
alle condizioni di moto uniforme. Il profilo che si realizza lungo il canale in queste
condizioni è illustrato in Fig. 74b.
Per pendenze del fondo inferiori a ifm1, essendo l’altezza di moto uniforme y0m
superiore a quella limite appena individuata, lungo il tratto di monte si svilupperà un
profilo di chiamata M2 (Fig. 74a). Al contrario per pendenze del fondo comprese tra
ifm1 e la pendenza critica, nel tratto di monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1
(Fig. 74c).
Una seconda condizione limite è rappresentata dunque dalla pendenza ifm2=ic.
Utilizzando la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, noto ycm, si trova
ic=ifm2=0.00190.
In queste condizioni, a partire da y1=ycm, la corrente si mantiene in moto uniforme
critico fino alla sezione 2. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3,
immediatamente a valle dell’immissione, si opera un bilancio di spinte M2=M3.
Essendo
M 2 = M 0 m = M cm =
2
y cm
q2
+ m =0.417 m2
2
g y cm
la spinta di monte è inferiore alla minima spinta possibile per la corrente di valle
(Mcv=0.513 m2) e il bilancio non ammette soluzioni. Nella sezione 3 si pongono
dunque ancora le condizioni critiche y3=ycv=0.585 m. A valle della sezione 3 si
svilupperà un profilo S2 di corrente rapida accelerata fino alle condizioni di moto
uniforme (Fig. 74d). Dal bilancio di spinte tra le sezioni 2 e 3 si trova
M2=M3=Mcv=0.513 m2. Nella sezione 3 si avrà dunque un’altezza y2=0.816 m, di
corrente lenta.
In queste condizioni, il profilo che si sviluppa a monte della sezione 2 è un profilo C1
(Fig. 74d) che teoricamente si raccorda con la condizione di moto uniforme
attraverso una discontinuità nella derivata prima del livello y che, stante il carattere
instabile delle condizioni critiche, determina una serie di ondulazioni sulla superficie
libera5 (Fig. 74d).
Per pendenze superiori a questa pendenza limite, infinitamente a monte, si avrà una
corrente rapida in moto uniforme e, da qualche parte lungo il canale, si assisterà alla
transizione da corrente rapida a corrente lenta attraverso la formazione del risalto.
Ripercorrendo quanto fatto per il caso precedente, si parte da monte con un altezza
y1=y0m<ycm e tale altezza si mantiene fino alla sezione 2. Per passare dalla sezione 2
alla sezione 3 si opera, come visto in precedenza, un bilancio di spinte. Se la
pendenza di monte è di poco superiore alla pendenza ic=ifm2 la corrente rapida sarà
caratterizzata da una spinta poco superiore a quella M0m=0. 417 m2 determinata in
precedenza e risulterà pertanto inferiore minima spinta ammissibile per la corrente di
valle Mcv=0.513 m2. In queste condizioni il risalto si stabilirà nel tratto di monte
5
E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo
coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale
dy 10 ⎛ g 5 ⎞
⎜
⎟
=
dx
9 ⎜⎝ k S9 q ⎟⎠
Nel caso in esame risulta dy/dx=0.00211.
-128-
2/9
moto permanente nei canali
mentre si avranno ancora condizioni critiche in corrispondenza della sezione 3. Il
profilo, lungo il canale, sarà dunque quello illustrato in Fig. 74e.
Al crescere della pendenza del fondo del tratto di monte aumenterà la spinta della
corrente rapida e il risalto si sposterà sempre più verso valle fino a formarsi in
corrispondenza della sezione 2 (Fig. 74f). E’ questa una terza condizione limite. In tal
caso l’altezza y2 continua a valere y2=0.816 m mentre nella sezione 5,
immediatamente a monte del risalto, essendo F2=0.520, si avrà y5=0.318 m. Posto
y0m=y5=0.318 m si trova ifm3=0.01030.
In queste condizioni sono peraltro possibili altre soluzioni. E’ possibile che la corrente
si mantenga rapida ovunque, tranne che nella sezione 3 dove tocca le condizioni
critiche (Fig. 74h) o, in alternativa, è possibile che si realizzi una transizione rapidalenta con la formazione di un risalto tra le sezioni 2 e 3 (Fig. 74g).
Per pendenze superiori, la corrente si mantiene rapida in moto uniforme fino alla
sezione 2. Essendo caratterizzata da una spinta M0m>Mcv il bilancio delle spinte tra le
sezioni 2 e 3 (M0m=M2=M3) ammette soluzione e, nella sezione 3, avremo ancora
una corrente rapida. Il livello y3 potrebbe essere però maggiore o minore dell’altezza
y0v della corrente rapida di valle in moto uniforme. Un’ultima condizione limite è
rappresentata dunque da quella pendenza del fondo ifm4 tale per cui, nella sezione 3,
si realizza esattamente l’altezza y0v=0.570 m (Fig. 74l).
Procedendo nel calcolo a ritroso, si ha che al livello y3=y0v=0.570 m corrisponde una
spinta M3=M0v=0.513 m2. Avremo quindi M2=0.513 m2 a cui corrisponde, sul ramo
delle correnti rapide, l’altezza y2=0.317 m. Utilizzando la formula di moto uniforme di
Gauckler-Strickler, si trova ifm4=0.01033, appena superiore a ifm3.
Dunque, per pendenze del fondo comprese tra ifm3 e ifm4, si avrà la configurazione
illustrata in Fig. 74i, dove a valle della sezione 3 si sviluppa un profilo S2, mentre per
pendenze del fondo superiori a ifm4, a valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S3
(Fig. 74m).
-129-
moto permanente nei canali
Fig. 74
-130-
moto permanente nei canali
Fig. 74
-131-
moto permanente nei canali
Fig. 74
-132-
moto permanente nei canali
Fig. 74
-133-
moto permanente nei canali
Esercizio 34. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare,
presenta un tratto di valle di larghezza b=5 m e pendenza del fondo ifv=0.005, e un
tratto di monte di larghezza B=8 m. La portata fluente è Q=5 m3/s e il coefficiente di
resistenza della formula di Gauckler-Strickler vale kS=40 m1/3/s.
Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di
monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il
canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto
gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si trascurino le
dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del restringimento.
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme del
tratto di canale a valle dell’immissione e quelle critiche per i due tratti di canale di
monte e di valle, si trova
y0v=0.583 m
ycm=0.341 m
ycv=0.467 m
Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica del tratto di valle si evince
che questo tratto di canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a
quella critica.
Se la pendenza del fondo del tratto di monte è relativamente modesta, è dunque
possibile che la corrente si mantenga lenta lungo tutto il canale.
Una prima condizione limite è rappresentata dalla pendenza ifm tale per cui in
corrispondenza della sezione 2 si determina un tirante coincidente con quello di moto
uniforme del tratto di monte. In questo caso, integrando il profilo di lenta da valle, si
mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 3 dove si avrà
y3=y0v=0.583 m. Per passare dalla sezione 3 alla sezione 2 si considera un bilancio
di energia. Nella sezione 3 l’energia rispetto al fondo vale
H 3 = H 0v = y 0v +
Q2
=0.733 m
gb 2 y 02v
-134-
moto permanente nei canali
Dalla condizione H3=H2 si determina l’altezza di corrente lenta a monte del
restringimento che vale y2=0.691 m.
Utilizzando quindi la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, si trova il valore
di pendenza del fondo del tratto di monte per cui risulta y0m=y2. Tale valore limite
della pendenza vale ifm1=0.00103 (vedi Fig. 75b).
Per pendenze inferiori a ifm1, essendo il moto uniforme caratterizzato da un livello
superiore a y2 si svilupperà un profilo M2 di chiamata (Fig. 75a).
Per valori superiori a ifm1, e fintantochè la pendenza del tratto di monte si manterrà
inferiore alla pendenza critica, si svilupperà invece un profilo M1 di rigurgito (Fig.
75c).
La pendenza critica rappresenta dunque una seconda condizione limite (ifm2=ic). Noto
ycm, si trova ic=ifm2=0.00978. In queste condizioni, il profilo che si sviluppa a monte
dell’immissione è un profilo C1 (Fig. 75d) che teoricamente si raccorda con la
condizione di moto uniforme attraverso una discontinuità nella derivata prima del
livello y che, stante il carattere instabile delle condizioni critiche, determina una serie
di ondulazioni sulla superficie libera6.
Per pendenze del fondo superiori a ifm2, la corrente di monte, in moto uniforme,
risulta essere rapida, pertanto, lungo il canale si assisterà alla transizione tra
corrente rapida e lenta attraverso la formazione di un risalto. Per pendenze poco
superiori a ifm2, essendo la spinta della corrente rapida modesta in quanto i livelli
saranno poco inferiori all’altezza critica, il risalto si formerà a monte dell’immissione
come illustrato in Fig. 75e. Al crescere della pendenza di monte il risalto sarà
ricacciato sempre più a valle fino a posizionarsi immediatamente a monte
dell’immissione (Fig. 75f). Questa condizione limite (ifm=ifm3) si determina quando
l’altezza di moto uniforme di monte coincide con l’altezza coniugata del livello y2 che
si determina immediatamente a monte dell’immissione per integrazione della
corrente lenta di valle. Essendo, come già visto, y2=0.691 m, si trova F2=0.347 e la
coniugata di y2 risulta valere y5=0.139 m. Questo livello corrisponde all’altezza di
moto uniforme del tratto di monte quando la pendenza del fondo è ifm=ifm3=0.1844.
Un’ulteriore condizione limite è quella per la quale il risalto si forma immediatamente
a valle del restringimento (ifm=ifm4). In questo caso in corrispondenza della sezione 3
il livello corrisponde all’altezza coniugata della corrente lenta di valle in moto
uniforme. Essendo F0v=0.718, si trova y3=0.368 m. a cui corrisponde un’energia
H3=0.744 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha H2=H3=0.744 m da cui,
scegliendo la soluzione di corrente rapida, si trova y2=0.189 m. A questa altezza, in
moto uniforme, corrisponde un valore limite per la pendenza del fondo di monte
ifm4=0.0665 (Fig. 75g).
Questa pendenza del fondo risulta inferiore a quella (ifm3=0.1844) individuata
precedentemente. Ciò fa pensare che il processo sia caratterizzato da una sorta di
isteresi, come verrà chiarito più avanti.
Immaginiamo di partire con una pendenza di monte molto piccola (ifm<ifm1) a cui
corrisponde il profilo di Fig. 75a. Se a partire da questa condizione incrementiamo
gradualmente la pendenza, si instaureranno successivamente i profili di Fig. 75b
6
E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo
coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale
dy 10 ⎛ g 5B ⎞
⎜
⎟
=
dx
9 ⎜⎝ kS9 Q ⎟⎠
Nel caso in esame risulta dy/dx=0.00975.
-135-
2/9
moto permanente nei canali
(ifm=ifm1), Fig. 75c (ifm1<ifm<ifm2), Fig. 75d (ifm=ifm2), Fig. 75e, e Fig. 75f (ifm=ifm3).
Incrementando ancora di poco la pendenza del fondo il risalto supera bruscamente il
restringimento e si sposta considerevolmente verso valle fino a raggiungere una
configurazione analoga a quella illustrata in Fig. 75h.
Immaginiamo invece di partire da una pendenza del fondo, per il tratto di monte,
elevata (ifm>ifm3), e quindi da una configurazione come quella illustrata in Fig. 75h.
Riducendo gradualmente la pendenza il risalto migra verso monte fino a raggiungere
la configurazione di Fig. 75g per ifm=ifm4. Riducendo ancora di poco la pendenza del
fondo il risalto si sposta bruscamente a monte del restringimento fino a raggiungere
una configurazione analoga a quella illustrata in Fig. 75e.
A partire da questa configurazione, la graduale riduzione di pendenza produce, in
successione, le configurazioni illustrate in di Fig. 75d (ifm=ifm2), Fig. 75c (ifm1<ifm<ifm2),
Fig. 75b (ifm=ifm1) e Fig. 75a (ifm<ifm1).
Fig. 75
-136-
moto permanente nei canali
Fig. 75
-137-
moto permanente nei canali
Fig. 75
-138-
moto permanente nei canali
Esercizio 35. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga
(RH≈y), scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello, rispetto alla sommità
del gradino posto all’incile del canale, è H=1.0m.
Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=40 m1/3/s,
si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente al variare della pendenza if del
fondo del canale. Il gradino è alto a=0.4 m e si possono trascurare le dissipazioni di
energia localizzate in corrispondenza dello stesso.
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
E’ evidente che per pendenze del fondo molto elevate, lungo il canale si instaurerà
una corrente rapida che tenderà verso le condizioni di moto uniforme. In queste
condizioni si assisterà, necessariamente, alla transizione tra corrente lenta (nel
serbatoio) a corrente rapida con il passaggio attraverso le condizioni critiche.
L’altezza critica, in questo caso, si stabilirà sul gradino dove avremo
y1 = y c =
2
2
H c = h0 =0.667 m
3
3
e la portata fluente, per unità di larghezza sarà
q = gy c3 =1.705 m3/sm
Dalla bilancio di energia tra le sezioni 1 e 2 si trova H2=H1+a=Hc+a=1.4 m. Nota
l’energia H2, è immediato calcolare l’altezza di corrente rapida a valle del gradino che
vale y2=0.381 m.
Possiamo, a questo punto considerare una prima pendenza limite, if1, corrispondente
alla pendenza per la quale l’altezza di moto uniforme nel canale sia proprio y2 e il
profilo sarà dunque quello illustrato in Fig. 76b. Tale pendenza vale if1=0.045.
Per pendenze if>if1, l’altezza di moto uniforme sarà inferiore a y2 e, a valle del
gradino, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 (Fig. 76a).
Per pendenze del fondo inferiori a if1 ma, evidentemente, superiori alla pendenza
critica, a valle del gradino, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3
fino a raggiungere, sufficientemente a valle, le condizioni di moto uniforme (Fig. 76c).
-139-
moto permanente nei canali
Fig. 76
Una seconda pendenza limite è dunque rappresentata dalla pendenza critica. In
questo caso, sul gradino, permangono le condizioni critiche e dunque la portata
scaricata sarà ancora q=1.705 m3/sm e l’altezza critica continua a valere yc=0.667 m.
Possiamo quindi calcolare la seconda pendenza limite che vale
if 2 =
q2
=0.0070
k S2 y c10 / 3
In queste condizioni il profilo che si sviluppa è illustrato in Fig. 76d 7.
Riducendo ulteriormente la pendenza, molto a valle, lungo il canale, si stabiliranno
condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si assisterà quindi alla transizione
rapida→lenta con la formazione di un risalto come illustrato in Fig. 76e.
7
E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo
coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale
dy 10 ⎛ g 5 ⎞
⎟
⎜
=
9 ⎜⎝ kS9 q ⎟⎠
dx
Nel caso in esame risulta dy/dx=0.0078.
-140-
2/9
moto permanente nei canali
Riducendo sempre più la pendenza, a partire dalla situazione appena illustrata, il
risalto si localizzerà sempre più a monte fino a raggiungere il gradino. In queste
condizioni limite l’altezza di moto uniforme corrisponde alla coniugata dell’altezza y2.
Essendo la portata ancora q=1.705 m3/sm, il numero di Froude nella sezione 2 vale
F2=2.31 e l’altezza coniugata y2R=1.070 m. A questa altezza, assunta di moto
uniforme, corrisponde la terza pendenza limite if3=0.00145. In questa condizione
limite il profilo è quello illustrato in Fig. 76f.
Questo profilo di moto è quello che, sostanzialmente, si instaura anche per pendenze
inferiori a if3. Il risalto, infatti, resta schiacciato contro il gradino fino a che la corrente
lenta di valle non avrà energia sufficiente a superare il gradino (figura Fig. 76g). In
queste ultime condizioni limite, l’altezza d’acqua sul gradino sarà appena (di una
quantità infinitesima) superiore a yc. Possiamo dunque pensare che l’altezza sul
gradino sia y1=yc=0.667 m, che la portata scaricata sia quindi ancora q=1.705 m3/sm
e che l’energia nella sezione 2 sia ancora H2=H1+a=Hc+a=1.4 m. In questo caso,
però, il livello nella sezione 2 è quello relativo alla soluzione di corrente lenta,
y2=1.314 m.
A questo livello, assunto di moto uniforme, corrisponde la quarta pendenza limite
if4=0.00073. In questa condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 76h.
Per pendenze inferiori a if4 avremo il profilo illustrato in Fig. 76i con portate scaricate
inferiori a quella massima q=1.705 m3/sm riscontrata nei casi precedenti.
Fig. 76 - continua
-141-
moto permanente nei canali
Fig. 76 - continua
-142-
moto permanente nei canali
Esercizio 36. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo
B=14 m, scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello, rispetto alla quota del
fondo del canale all’imbocco è H=1.4 m. L’imbocco del canale è caratterizzato da
una sezione ristretta larga b=8.5 m.
Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=40 m1/3/s,
si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente al variare della pendenza if del
fondo del canale. Nei calcoli si può assumere l’ipotesi di sezione larga: RH≈y e si
possono trascurare le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del
restringimento.
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
E’ evidente che per pendenze del fondo molto elevate, lungo il canale si instaurerà
una corrente rapida che tenderà verso le condizioni di moto uniforme. In queste
condizioni si assisterà, necessariamente, alla transizione tra corrente lenta (nel
serbatoio) a corrente rapida con il passaggio attraverso le condizioni critiche.
L’altezza critica, in questo caso, si stabilirà in corrispondenza del restringimento dove
avremo
y 1 = y cb =
2
2
H cb = h0 =0.933 m
3
3
e la portata fluente, per unità di larghezza sarà
3
=2.824 m3/sm
q b = gy cb
La portata scaricata in queste condizioni sarà dunque Q=24.0 m3/s. Dalla bilancio di
energia tra le sezioni 1 e 2 si trova H2=H1=Hcb=1.4 m. Nota l’energia H2, è immediato
calcolare l’altezza di corrente rapida a valle del restringimento che vale y2=0.384 m.
Possiamo, a questo punto considerare una prima pendenza limite, if1, corrispondente
alla pendenza per la quale l’altezza di moto uniforme nel canale sia proprio y2 e il
profilo sarà dunque quello illustrato in Fig. 77b. Tale pendenza vale if1=0.0446.
Per pendenze if>if1, l’altezza di moto uniforme sarà inferiore a y2 e, a valle del
restringimento, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 (Fig. 77a).
-143-
moto permanente nei canali
Per pendenze del fondo inferiori a if1 ma, evidentemente, superiori alla pendenza
critica, a valle del restringimento, si svilupperà un profilo di corrente rapida
decelerata S3 fino a raggiungere, sufficientemente a valle, le condizioni di moto
uniforme (Fig. 77c).
Fig. 77
Una seconda pendenza limite è dunque rappresentata dalla pendenza critica. In
questo caso, in corrispondenza del restringimento, permangono le condizioni critiche
e dunque la portata scaricata sarà ancora Q=24.0 m3/s e l’altezza critica, per il
canale, vale y cB = 3 Q 2 /(gB 2 ) =0.669 m.
Possiamo quindi calcolare la seconda pendenza limite che vale
if 2 =
(Q / B ) 2
=0.0070
10 / 3
k S2 y cB
In queste condizioni il profilo che si sviluppa è illustrato in Fig. 77d 8.
8
E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo
coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale
dy 10 ⎛ g 5 ⎞
⎟
⎜
=
9 ⎜⎝ kS9 q ⎟⎠
dx
Nel caso in esame risulta dy/dx=0.0078.
-144-
2/9
moto permanente nei canali
Riducendo ulteriormente la pendenza, molto a valle, lungo il canale, si stabiliranno
condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si assisterà quindi alla transizione
rapida→lenta con la formazione di un risalto come illustrato in Fig. 77e.
Riducendo sempre più la pendenza, a partire dalla situazione appena illustrata, il
risalto si localizzerà sempre più a monte fino a raggiungere il restringimento. In
queste condizioni limite l’altezza di moto uniforme corrisponde alla coniugata
dell’altezza y2. Essendo la portata ancora Q=24.0 m3/s, il numero di Froude nella
sezione 2 vale F2=2.30 e l’altezza coniugata y2R=1.072 m. A questa altezza, assunta
di moto uniforme, corrisponde la terza pendenza limite if3=0.00146. In questa
condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 77f.
Questo profilo di moto è quello che, sostanzialmente, si instaura anche per pendenze
inferiori a if3. Il risalto, infatti, resta schiacciato contro il restringimento fino a che la
corrente lenta di valle non avrà energia sufficiente a superare il restringimento stesso
(figura Fig. 77g). In queste ultime condizioni limite, l’altezza d’acqua nel
restringimento sarà appena (di una quantità infinitesima) superiore a ycb. Possiamo
dunque pensare che l’altezza sul gradino sia y1=ycb=0.933 m, che la portata scaricata
sia quindi ancora Q=24.0 m3/s e che l’energia nella sezione 2 sia ancora
H2=H1=Hcb=1.4 m. In questo caso, però, il livello nella sezione 2 è quello relativo alla
soluzione di corrente lenta, y2=1.313 m.
A questo livello, assunto di moto uniforme, corrisponde la quarta pendenza limite
if4=0.00074. In questa condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 77h.
Per pendenze inferiori a if4 avremo il profilo illustrato in Fig. 77i con portate scaricate
inferiori a quella massima Q=24.0 m3/s riscontrata nei casi precedenti.
Fig. 77 - continua
-145-
moto permanente nei canali
Fig. 77 - continua
-146-
moto permanente nei canali
Esercizio 37. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare di
larghezza B=5 m, presenta un tratto centrale, largo b, caratterizzato da una
lunghezza L non trascurabile (non si tratta di un restingimento localizzato) ma al
tempo stesso non sufficiente affichè si instaurino condizioni di moto uniforme.
Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=60 m1/3/s,
che la pendenza del fondo è if=0.008 e che la portata fluente vale Q=5 m3/s, si
ricostruiscano i profili di moto permanente al variare della lunghezza L, quando il
tratto centrale è largo b=1 m e b=3 m.
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
N.B. Non è corretto assumere l’ipotesi di sezione rettangolare larga. Nelle
valutazioni, inoltre, si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai
diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del
problema, ricordando che è non possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza
d’acqua, si trova
y0B=0.387 m
y0b=1.749 m
ycB=0.467 m ycb=1.366 m
avendo indicato con il pedice B il tratto di canale più largo e con il pedice b il tratto
centrale di canale più stretto quando b=1 m (caso 1). Dal confronto tra le altezze di
moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica
per il tratto più stretto (if<icb) e superiore a quella critica altrove (if>icB).
Si ha inoltre
H0B=0.728 m
H0b=2.165 m
HcB=0.701 m Hcb=2.049 m
Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente
rapida e la ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 1).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 78, il moto potrebbe
mantenersi uniforme fino alla sezione 2 (cambio di larghezza). Dal bilancio di energia
tra le sezioni 2 e 3 si evince però che ciò non è possibile. L’energia della corrente a
moto uniforme H0B risulta infatti inferiore alla minima energia possibile Hcb lungo il
tratto centrale. Di regola quindi si impongono le condizioni critiche nella sezione 3 a
partire dalla quale, verso monte, si svilupperà una corrente lenta mentre verso valle
dovrebbe svilupparsi una corrente rapida. E’ evidente che, essendo if<ifb lungo il
tratto centrale, non esiste un profilo di moto gradualmente vario che, a partire dalle
condizioni critiche, si sviluppi verso valle. Pertanto nella sezione 3 non possono
instaurarsi le condizioni critiche. Si assume quindi che le condizioni critiche si
instaurino nella sezione 4, immediatamente a monte dell’allargamento.
-147-
moto permanente nei canali
A partire dalla sezione 4, procedendo verso valle, si incontra immediatamente
l’allargamento. Mediante un bilancio di energia Hcb=H4=H5 si determina l’energia H5 e
quindi l’altezza di corrente rapida y5=0.164 m. Essendo y5<y0B, a partire dalla
sezione 5, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino
alle condizioni di moto uniforme (sezione 6).
A partire dalla sezione 4, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino
alla sezione 3. Dal bilancio di energia H2=H3 è possibile determinare l’energia H2 e
quindi l’altezza y2 di corrente lenta. Proseguendo verso monte si svilupperà un profilo
S1 di corrente lenta decelerata fino a quando la corrente non avrà ridotto la sua
spinta al valore che caratterizza la corrente rapida di monte in moto uniforme. Qui si
assisterà alla formazione di un risalto.
Resta da verificare se la corrente rapida di monte è in grado di sospingere il risalto
fino alla sezione 2. L’altezza d’acqua a valle del risalto è l’altezza coniugata di quella
di moto uniforme. Essendo F0B=1.329, si trova y0BR=0.558 m (questa altezza è
indicata con y8 in Fig. 78) a cui corrisponde un’energia H0BR=0.722 m. Essendo
H0BR<Hcb, necessariamente, il risalto si localizzerà a monte della sezione 2.
Nel complesso quindi il profilo, indipendentemente dalla lunghezza L del tratto
centrale, è quello illustrato in Fig. 78.
Fig. 78
Consideriamo ora il caso in cui la larghezza del tratto intermedio sia b=3 m. In tal
caso si ha
y0b=0.563 m
ycb=0.657 m
H0b=1.010 m
Hcb=0.985 m
Tutto il canale risulta caratterizzato da pendenza superiore a quella critica.
Procediamo a partire da monte, in condizioni di moto uniforme che si manterranno
fino alla sezione 2. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si evince però che ciò
non è possibile. L’energia della corrente a moto uniforme H0B risulta infatti, come nel
caso precedente, inferiore alla minima energia possibile Hcb lungo il tratto centrale. Di
regola quindi si impongono le condizioni critiche nella sezione 3 a partire dalla quale,
verso monte, si svilupperà una corrente lenta mentre verso valle si svilupperà,
essendo in questo caso possibile, una corrente rapida.
A partire dalla sezione 3, procedendo verso monte, si incontra immediatamente il
restringimento. Mediante un bilancio di energia Hcb=H3=H2 si determina l’energia H2 e
quindi l’altezza di corrente lenta y2=0.925 m, ovviamente superiore all’altezza
coniugata della corrente rapida di monte (y0BR=0.558 m). Proseguendo verso monte,
dunque, si svilupperà un profilo S1 di corrente lenta decelerata fino a quando la
corrente non avrà ridotto la sua spinta al valore che caratterizza la corrente rapida di
monte in moto uniforme. Qui si assisterà alla formazione di un risalto.
-148-
moto permanente nei canali
A partire dalla sezione 3, procedendo verso valle, si svilupperà un profilo di corrente
rapida accelerata S2 verso le condizioni di moto uniforme. Giunti alla sezione 4,
mediante un bilancio di energia H4=H5 si determina l’energia H5 e quindi l’altezza di
corrente rapida y5 che sarà, necessariamente, inferiore a y0B. Pertanto, a partire dalla
sezione 5, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 verso
le condizioni di moto uniforme (sezione 6).
Nel complesso quindi il profilo, indipendentemente dalla lunghezza L del tratto
centrale, è quello illustrato in Fig. 79.
Fig. 79
-149-
moto permanente nei canali
Esercizio 38. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare di
larghezza b=2 m, presenta un tratto centrale, largo B, caratterizzato da una
lunghezza L non trascurabile (non si tratta di un allargamento localizzato) ma al
tempo stesso non sufficiente affichè si instaurino condizioni di moto uniforme.
Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=70 m1/3/s,
che la pendenza del fondo è if=0.005 e che la portata fluente vale Q=40 m3/s, si
ricostruiscano i profili di moto permanente al variare della lunghezza L, quando il
tratto centrale è largo B=2.5 m.
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
N.B. Non è corretto assumere l’ipotesi di sezione rettangolare larga. Nelle
valutazioni, inoltre, si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai
diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del
problema, ricordando che è non possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza
d’acqua, si trova
y0b=4.606 m
y0B=3.427 m
ycb=3.442 m ycB=2.966 m
avendo indicato con il pedice b il tratto di canale più stretto e con il pedice B il tratto
centrale di canale, più largo. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza
critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica lungo tutto il canale. Si
ha inoltre
H0b=5.567 m
H0B=4.538 m
Hcb=5.163 m HcB=4.449 m
Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente
lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 1).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 80, il moto si mantiene
uniforme fino alla sezione 2 (cambio di larghezza). Dal bilancio di energia tra le
sezioni 2 e 3 si trova H3=H2=H0b=5.567 m e quindi l’altezza y3=5.057 m di corrente
lenta. Essendo y3 inferiore all’altezza di moto uniforme del tratto centrale, a partire
dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alla sezione
4. Le caratteristiche energetiche della corrente in corrispondenza della sezione 4
dipenderanno dalla lunghezza L del tratto. Inoltre, essendo H0B<Hcb, in relazione al
valore di L potranno instaurarsi profili sensibilmente diversi. Esisterà, in particolare,
una lunghezza limite L1 tale per cui la corrente potrà mantenersi lenta lungo tutto il
canale. In questa condizione limite il profilo M1 terminerà nella sezione 4 con
un’energia H4=Hcb pari alla minima necessaria alla corrente per giungere, senza
transizione, nella sezione 5.
-150-
moto permanente nei canali
In queste condizioni limite, dunque, si avrà H4=5.163 m a cui corrisponde l’altezza
y4=3.580 m di corrente lenta. Nella sezione 5 si instaureranno condizioni critiche
(y5=ycb=3.442 m) e la corrente si svilupperà verso monte seguendo un profilo di
chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme (Fig. 81).
Quando la lunghezza del tratto centrale è inferiore a L1, il profilo che si sviluppa sarà
quello illustrato in Fig. 80 nel quale la corrente si mantiene ovunque lenta.
Fig. 80
Fig. 81
Per lunghezze superiori a L1 si determina quindi una transizione lenta→rapida in
corrispondenza della sezione 5 seguita, necessariamente, da una transizione
rapida→lenta con la formazione di un risalto. Il risalto potrà formarsi a valle della
sezione 4, lungo il tratto centrale o potrà essere sospinto dalla corrente lenta di valle
a ridosso dell’allargamento localizzandosi tra le sezioni 5 e 4.
Dal bilancio di energia H5=Hcb=H4 si trova H4=5.163 m e quindi l’altezza y4=2.046 m
di corrente rapida. La prima situazione, con un risalto a valle della sezione 4, può
realizzarsi solo se l’altezza coniugata di y4 assume valori compresi tra y0B=3.427 m e
y3=5.057 m, solo in questo caso, infatti, la curva delle altezze coniugate associata al
profilo M3 che si sviluppa a partire dalla sezione 4, interseca da qualche parte il
profilo M1. Nel caso in esame, essendo F4=1.745, si trova y4R=4.13 m.
Esisterà dunque una seconda lunghezza caratteristica, L2, tale per cui il risalto si
localizza in corrispondenza della sezione 4 con un’altezza, immediatamente a valle
del risalto, pari a y7=y4R=4.13 m (Fig. 83).
Quando la lunghezza del tratto centrale è compresa tra L1 e L2, il profilo che si
sviluppa sarà quello illustrato in Fig. 82 nel quale il risalto si localizza in
corrispondenza dell’allargamento tra le sezioni 5 e 4.
-151-
moto permanente nei canali
Fig. 82
Fig. 83
Per L>L2, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata
M3 fino alle sezioni 7 e 8, idealmente coincidenti, dove si ha equilibrio delle spinte. Il
profilo, in questo caso, è quello illustrato in Fig. 84.
Fig. 84
-152-
moto permanente nei canali
Esercizio 39. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto
larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L caratterizzato da una pendenza
relativamente modesta. il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler
vale kS=50 m1/3/s e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q=1.0 m3/sm. Si
ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della
lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai
diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del
problema, ricordando che è possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza
d’acqua (RH≈y), si trova
y01=0.381 m
y02=0.617 m
yc=0.467 m
avendo indicato con il pedice 1 il tratto di canale caratterizzato dalla pendenza
maggiore e con il pedice 2 il tratto centrale di canale. Dal confronto tra le altezze di
moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica
per il tratto centrale (if<ic2) e superiore a quella critica altrove (if>ic1). Infinitamente a
monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la
ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 1).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 85, il moto si mantiene
uniforme fino alla sezione 2 (cambio di pendenza) a partire dalla quale si svilupperà
un profilo di corrente rapida decelerata M3. Se la lunghezza L è sufficientemente
piccola, la corrente rapida si mantiene tale fino alla sezione 3 (cambio di pendenza).
Verso valle si svilupperà quindi un profilo S2 che porterà la corrente nuovamente
verso le condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4).
Fig. 85
Al limite, per L=0, la corrente rapida resta ovunque in moto uniforme (Fig. 86A).
L’altra condizione limite è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui esattamente
-153-
moto permanente nei canali
al termine del profilo M3 (sezione 3) il livello raggiunge le condizioni critiche (y3=yc)
come illustrato in Fig. 86B.
Fig. 86
Se la lunghezza L è sufficientemente grande (L>L1), il profilo M3 che si sviluppa a
valle della sezione 2 porta il livello y a raggiungere le condizioni critiche prima del
termine del tratto centrale (vedi Fig. 87 e Fig. 88). Non potendo proseguire verso
valle si fissano in corrispondenza della sezione 3 le condizioni critiche (y3=yc) e si
procede all’integrazione della corrente rapida verso valle, che svilupperà un profilo S2
fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4), e all’integrazione della corrente
lenta verso monte che svilupperà un profilo M2.
Per stabilire se il risalto si instaura a monte o a valle della sezione 2 è necessario
confrontare la spinta della corrente rapida in moto uniforme di monte con quella della
corrente lenta in corrispondenza della sezione 2. In modo equivalente possiamo
confrontare l’altezza coniugata y01R della corrente rapida di monte in moto uniforme
con l’altezza di lenta nella sezione 2. Con i dati del problema risulta y01R=0.566 m. Al
tempo stesso l’altezza di corrente lenta y2 assumerà valori compresi tra l’altezza
critica yc=0.467 m e l’altezza di moto uniforme y02=0.617 m, in relazione alla
lunghezza L. Esisterà quindi una lunghezza limite L2 tale per cui si ha y2=y01R.
Se L<L2, il risalto si formerà nel tratto centrale (Fig. 87), se invece è L>L2 la corrente
lenta del tratto centrale spingerà il risalto a monte della sezione 2. In tal caso, a
monte della sezione 2 si avrà un tratto di corrente lenta decelerata S1 (Fig. 88).
Ovviamente, per L=L2 il risalto si formerà esattamente in corrispondenza della
sezione 2.
Fig. 87
Nel complesso, quindi, per L<L1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 85, per L1<L<L2
quella illustrata in Fig. 87 e per L>L2 quella di Fig. 88.
-154-
moto permanente nei canali
Fig. 88
Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare della lunghezza L
consente di determinare i valori limite che risultano L1=5.46 m e L2=20.5 m.
-155-
moto permanente nei canali
Esercizio 40. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo
B=5 m, sfocia in un bacino la cui superficie libera è posta a quota h rispetto al fondo
del canale alla sezione di sbocco. La portata fluente nel canale vale Q=5 m3/s.
Ad una distanza L a monte della sezione di sbocco è posta una paratoia piana
sollevata a battente la cui luce vale a=0.3 m (e coefficiente di contrazione cc=0.6). La
lunghezza L del tratto terminale è relativamente piccola e tale per cui, quando in
questo tratto la corrente non è influenzata da valle (come ad esempio accade nella
situazione illustrata in figura), la corrente riesce a mantenersi rapida fino allo sbocco,
in corrispondenza del quale raggiunge il tirante yL=a.
Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano
i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della quota h
della superficie libera nel bacino, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il
tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3).
Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di
ciascun profilo.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle
relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova
y0=0.372 m
yc=0.467 m
Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la
pendenza del fondo è superiore a quella critica (if>ic) avremo quindi condizioni di
moto uniforme di corrente rapida.
Possiamo inoltre valutare le caratteristiche del moto in corrispondenza della paratoia
quando l’efflusso è libero. In questo caso il coefficiente di portata vale
Cq =
cc
1+
a cc
y4
in cui y4 è l’altezza d’acqua a monte della paratoia (vedi Fig. 89), mentre la portata
effluente vale
Q = C q aB 2g y 4
-156-
moto permanente nei canali
Risolvendo il sistema composto dalle due precedenti relazioni si trova Cq=0.571 e
y4=1.736 m, in condizioni di corrente lenta.
A monte della paratoia si svilupperà un profilo S1 fino alla sezione 3 dove la spinta
della corrente lenta corrisponde a quella della corrente rapida in moto uniforme: qui
si forma il risalto. L’altezza y3 immediatamente a valle del risalto vale y3=0.577 m.
Fintantoché il livello nel serbatoio si mantiene sufficientemente basso, il profilo che si
svilupperà lungo il canale sarà dunque quello illustrato in Fig. 89.
Fig. 89
Tale profilo si manterrà finché il livello nel serbatoio non raggiungerà il valor limite h1
tale per cui si potrà realizzare la transizione rapida-lenta in corrispondenza della
sezione di sbocco. Essendo, in questo caso, y6=yL=a il tirante della corrente rapida di
monte in corrispondenza della sezione di sbocco, il tirante immediatamente a valle
del risalto, y7, sarà fornito dall’espressione
y7 =
(
y6
− 1 + 1 + 8F62
2
)
in cui F6=1.943 è il numero di Froude della corrente rapida immediatamente a monte
del risalto. La precedente relazione fornisce y7=0.688 m. Considerata la dissipazione
localizzata di sbocco e l’origine dell’asse delle quote della superficie libera nel
bacino, risulta h1=y7=0.688 m. Il profilo, in queste condizioni limite, è illustrato in Fig.
90.
Fig. 90
Per quote superiori al limite h1, il risalto sarà sospinto sempre più a monte come
illustrato in Fig. 91.
-157-
moto permanente nei canali
Fig. 91
Una seconda condizione limite è rappresentata dalla quota h2 tale per cui il risalto si
spinge fino alla sezione di vena contratta. In tal caso il livello immediatamente a valle
del risalto è fornito dalla
y6 =
(
y5
− 1 + 1 + 8F52
2
)
Essendo F5=4.181, si trova y6=0.978 m. In queste condizioni limite, il profilo è quello
illustrato in Fig. 92
Fig. 92
Per livelli nel bacino superiori a h2, l’efflusso al di sotto della paratoia risulta essere
rigurgitato. In questo caso, qualitativamente, il profilo che si sviluppa è quello
illustrato in Fig. 93.
Fig. 93
Nel complesso, quindi, per h<h1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 89, per h1<h<h2
quella illustrata in Fig. 91 e per h>h2 quella di Fig. 93.
-158-
moto permanente nei canali
Esercizio 41. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso
in due tratti: il tratto di monte è largo B=20 m mentre il tratto di valle è largo b=12 m.
La pendenza del fondo vale if=0.001 e il coefficiente di scabrezza nella formula di
Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s.
Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione
localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di valle vale Qv=20
m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi
di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della
variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di
sezione molto larga per la quale RH≈y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di valle e
l’altezza critica ycv. Con i dati del problema si trova
y0v=1.032 m
H0v=1.165 m
ycv=0.657 m
Nel tratto di valle, pertanto, la pendenza risulta inferiore a quella critica e,
presumibilmente, la stessa condizione si avrà anche per il tratto di monte in quanto la
pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile.
E’ comunque possibile valutare in quali condizioni la pendenza del fondo per il tratto
di monte risulta superiore a quella critica. Per il tratto di monte l’altezza di moto
uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni
y 0m
⎛ Qm ⎞
⎟
=⎜
⎜k B i ⎟
f ⎠
⎝ S
3/5
y cm
⎛ Q
=⎜ m
⎜B g
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2/3
Imponendo la condizione y0m<ycm si trova
Qm >
Bg5
=29420 m3/s
k S9 i f9 / 2
Si tratta, evidentemente, di una portata inverosimile e questa situazione non viene
esaminata nel seguito.
Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente
lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 4).
-159-
moto permanente nei canali
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 94, il moto si mantiene
uniforme fino alla sezione 3 (cambio di sezione). Per stabilire le caratteristiche del
moto nella sezione 2 si opera un bilancio di energia nel quale, come riportato nel
testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE23
z2+H2-ΔE23=z3+H3 ⇒ H2=H3=H0v=1.165 m
Data la posizione relativa delle curve H-y relative alle sezioni 2 e 3, è evidente che
l’energia H2 determinata mediante il precedente bilancio è sempre superiore
all’energia minima per la sezione 2.
Il livello di corrente lenta associato all’energia H2 vale y2=1.125 m.
Per passare dalla sezione 2 alla sezione 1 si opera un bilancio di energia nel quale,
come specificato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE12
Z1+H1-ΔE12=z2+H2 ⇒ H1=H2= 1.165 m
Nella sezione 1 l’energia H1 può risultare inferiore o superiore all’energia minima
necessaria alla corrente Hc1 in relazione all’entità della portata sottratta ΔQ. La
condizione limite è quindi rappresentata da H1= Hc1=1.165 m. Questa condizione è
espressa dalla seguente relazione
H c1 =
3
3 (Q + ΔQ ) 2
= 1.165 m
y c1 = 3 v
2
2
g B2
la quale, risolta rispetto a ΔQ fornisce il valore limite ΔQ1=22.88 m3/s a cui
corrisponde una portata di monte Qm=42.88 m3/s. Per valori ΔQ<ΔQ1 la corrente
riesce a raggiungere la sezione 1 senza transizione, al contrario per ΔQ>ΔQ1, nel
passaggio tra la sezione 1 e la sezione 2 si ha transizione.
Analizziamo dapprima le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ<ΔQ1.
Nota l’energia H1=H2, dal bilancio visto in precedenza, possiamo determinare la
corrispondente altezza y1 sul ramo delle correnti lente della curva H-y relativa al
tratto di monte e confrontarla con la corrispondente altezza di moto uniforme di
monte.
Si osserva in particolare che quando ΔQ è prossimo al valore ΔQ1, l’altezza del moto
uniforme di monte assumerà valori prossimi a y0m=1.200 m, superiori all’altezza y1 ≅
yc1=0.777 m. Nel tratto di monte si svilupperà dunque un profilo di chiamata M2.
Quando invece ΔQ è nullo si ha Qm=Qv=20.0 m3/s e y0m=0.760 m. Al tempo stesso
l’altezza in corrispondenza della sezione 1 coinciderà con quella della sezione 2
precedentemente calcolata: y1=y2=1.125 m. A monte della sezione 1 si svilupperà
pertanto un profilo di rigurgito M1.
Esiste dunque un secondo valore limite ΔQ2 per il quale, a monte della sezione 1, il
moto sarà uniforme. Essendo, per ΔQ<ΔQ1, H1=H2=1.165 m, si possono combinare
l’espressione per l’energia H1 con l’equazione per il moto uniforme di monte
Qv + ΔQ2 = k S A( y 1 ) R H2 / 3 ( y 1 ) i f
H1 = y 1 +
-160-
(Qv
+ ΔQ2 )
2g B 2 y 12
2
moto permanente nei canali
per determinare le due quantità incognite ΔQ2 e y1. Si trova ΔQ2=13.33 m3/s e
y1=y0m=1.032 m, coincidente con y0v.
Quando ΔQ<ΔQ2 la posizione relativa delle tre curve H-y sarà quella indicata in Fig.
94 e il profilo complessivo sarà quello illustrato nella stessa figura.
Fig. 94
La condizione limite ΔQ=ΔQ2 è illustrata nella successiva Fig. 95 in cui le curve H-y
per le sezioni 1 e 3 si sovrappongono.
Fig. 95
Quando invece è ΔQ2<ΔQ<ΔQ1 la curva H-y della sezione 3 si posizionerà al di sopra
di quella relativa alla sezione 1 (Fig. 96), si avrà, pertanto, y1<y3. Essendo, inoltre,
y1<y0m, a monte della sezione 1 si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle
condizioni di moto uniforme infinitamente a monte.
Fig. 96
-161-
moto permanente nei canali
Nelle condizioni limite ΔQ=ΔQ1, possono verificarsi due diverse configurazioni. Può
accadere che la corrente sfiori le condizioni critiche mantenendosi però lenta
ovunque. In tal caso, in corrispondenza della sezione 1 si avrà l’altezza y1=ycm=0.777
m e la situazione sarà del tutto simile a quella illustrata nella precedente Fig. 96 in
cui il punto 1, sul diagramma H-y si posizionerà in corrispondenza delle condizioni
critiche.
In alternativa, la teoria prevede la possibilità che in corrispondenza della sezione 1 si
instaurano condizioni critiche, e quindi sarà y1=ycm=0.777 e che a valle della sezione
1 la corrente sia rapida. In questo caso dal bilancio tra le sezioni 1 e 2 si ha H2=Hc1
=1.165 m e l’altezza di corrente rapida nella sezione 2 risulta valere y2=0.234 m.
Possiamo a questo punto valutare se, in queste condizioni, la successiva transizione
tra corrente rapida e corrente lenta avvenga effettivamente a valle della sezione 2. Si
ricorda, a questo proposito, che l’altezza y2 determinata per integrazione della
corrente lenta a partire dalla sezione 4 di valle era stata valutata in y2=1.125 m. Si
tratta quindi di valutare se la spinta della rapida con y2=0.234 m è superiore o
inferiore alla spinta della lenta con y2=1.125 m. Il numero di Froude associato alla
corrente rapida vale F2=2.821. L’altezza coniugata della corrente rapida vale quindi
y2R=0.824 m, inferiore all’altezza della corrente lenta y2=1.125 m. Il risalto, pertanto,
si formerà tra le sezioni 2 e 3 e il profilo, nel suo complesso, è sostanzialmente
quello illustrato in Fig. 97 (dove però è illustrato il caso in cui ΔQ sia non coincidente
ma poco superiore a ΔQ1).
Per valori ΔQ>ΔQ1 la corrente lenta di valle non riesce a raggiungere la sezione 1 in
corrispondenza della quale, quindi, si instaureranno sempre le condizioni critiche.
Al crescere della portata sottratta, e quindi della portata di monte, cresce l’energia
della corrente nella sezione 3 e quindi anche nella sezione 2; conseguentemente
cresce anche la spinta della corrente rapida che si determina nella sezione 2.
Esisterà dunque un valore limite ΔQ3 in corrispondenza del quale il risalto si
collocherà proprio in corrispondenza della sezione 2.
Fig. 97
Questa condizione limite si determina quando l’altezza di corrente rapida nella
sezione 2 corrisponde all’altezza coniugata, indicata con y2m in Fig. 98, dell’altezza
y2=1.125 m di corrente lenta (indicata con y2v in Fig. 98). Essendo, per la corrente
lenta F2=0.268, si trova y2m=0.143 m a cui corrisponde un energia H2=2.636 m nella
sezione 2 immediatamente a monte del risalto. Dal bilancio di energia tra le sezioni 1
e 2 si ha H2=H1c=2.636 m. Si trova dunque y1=yc1=1.757 m e Qm=145.9 m3/s ovvero
ΔQ3=125.9 m3/s. Le caratteristiche del moto, in queste condizioni limite, sono
-162-
moto permanente nei canali
illustrate in Fig. 98, mentre le situazioni corrispondenti ad una portata sottratta
compresa tra ΔQ1 e ΔQ3 sono illustrate in Fig. 97.
Fig. 98
A questo punto si potrebbe essere indotti a pensare che incrementando
ulteriormente la portata sottratta (e quindi la portata di monte) il risalto si sposti
gradualmente verso valle fino a raggiungere la sezione 3 per poi superarla.
Valutiamo quindi le caratteristiche del moto quando il risalto si localizza nella sezione
3. In tal caso la corrente lenta di valle è caratterizzata dall’altezza y3v=y0v=1.032 m a
cui corrisponde F3v=F0v=0.507. L’altezza di corrente rapida, coniugata di y3v, vale
dunque y3m=0.387 m a cui corrisponde l’energia H3m=1.333 m. Questo valore di
energia è lo stesso che si avrà nelle sezioni 2 e 1. Si può pertanto porre
H3=H2=H1c=1.333 m a cui corrisponde y1=yc1=0.889 m e Qm=52.5 m3/s ovvero
ΔQ4=32.5 m3/s.
Le caratteristiche del moto in queste condizioni limite sono illustrate in Fig. 99.
Fig. 99
E’ interessante osservare che risulta ΔQ4<ΔQ3. Al variare della portata sottratta,
dunque, la corrente evidenzia un comportamento isteretico. Al crescere della portata
sottratta, a partire da ΔQ=0, si realizzano le condizioni illustrate in Fig. 94 per
ΔQ<ΔQ2, quindi le condizioni di Fig. 96 per ΔQ2<ΔQ<ΔQ1. Per valori della portata
sottratta nell’intervallo ΔQ1<ΔQ<ΔQ3 si realizzerà la configurazione illustrata in Fig.
97. Superato il valore limite ΔQ4 le caratteristiche del moto saranno quelle indicate in
Fig. 100 con il risalto che si localizza decisamente a valle della sezione 3.
Partendo invece da condizioni in cui il risalto si forma a valle della sezione 3 e
riducendo gradualmente la portata sottratta (e quindi la portata di monte), il risalto si
sposterà verso monte fino a raggiungere, per ΔQ<ΔQ4, la sezione 3 (Fig. 99).
-163-
moto permanente nei canali
Riducendo ulteriormente la portata sottratta il risalto si sposterà bruscamente tra le
sezioni 1 e 2 come illustrato in Fig. 97. La progressiva riduzione della portata
sottratta determinerà, nell’ordine, le configurazioni illustrate in Fig. 96, Fig. 95 e Fig.
94.
Fig. 100
E’ interessante osservare che in nessun caso il risalto si localizza tra le sezioni 2 e 3.
Per valori di portata sottratta compresi tra i limiti ΔQ4 e ΔQ3, la teoria ammette
l’esistenza di una condizione di equilibrio delle spinte con il risalto posizionato tra le
sezioni 2 e 3. Ad esempio, per ΔQ=70 m3/s il risalto potrebbe collocarsi tra le sezioni
2 e 3 laddove la larghezza del canale assume il valore β=16.247 m. Infatti, dovendo
essere Hβ=H0v=1.165 m, si trova, come soluzione di corrente lenta, il livello yβv=1.101
m cui corrisponde un numero di Froude pari a Fβv=0.34. L’altezza yβm, coniugata
dell’altezza yβv vale dunque yβm=0.213 m, a cui corrisponde l’energia Hβm=1.910 m.
Da un bilancio tra le sezioni 1 e β, si ha H1c=Hβm=1.910 m a cui corrisponde
y1=yc1=1.273 m e Qm=90.0 m3/s ovvero ΔQ=70.0 m3/s. Dunque, pur essendo
possibile (ed equilibrata) una configurazione del campo di moto con il risalto
localizzato tra le sezioni 2 e 3 questa configurazione, come si è visto, non si realizza
mai. Ciò è determinato dal fatto che in un tratto di canale convergente (al pari di
quanto accade per un tratto di canale in contropendenza), la condizione di equilibrio
associata all’esistenza di un risalto, è instabile.
-164-
moto permanente nei canali
Esercizio 42. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso
in due tratti: il tratto di monte è largo B=25 m mentre il tratto di valle è largo b=14 m.
La pendenza del fondo vale if=0.02 e il coefficiente di scabrezza nella formula di
Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s.
Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione
localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale
Qm=25 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ,
indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano.
N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della
variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di
sezione molto larga per la quale RH≈y.
Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di monte
e l’altezza critica ycm. Con i dati del problema si trova
y0m=0.277 m
H0m=0.940 m
ycm=0.467 m
Nel tratto di monte, pertanto, la pendenza risulta superiore a quella critica e,
presumibilmente, la stessa condizione si avrà anche per il tratto di valle in quanto la
pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile.
E’ comunque possibile valutare in quali condizioni la pendenza del fondo per il tratto
di valle risulta inferiore a quella critica. Per il tratto di valle l’altezza di moto uniforme
e quella critica sono espresse dalle relazioni
y 0v
⎛ Qv ⎞
⎟
=⎜
⎜k b i ⎟
f ⎠
⎝ S
3/5
y cv
⎛ Q
=⎜ v
⎜b g
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2/3
Imponendo la condizione y0v>ycv si trova
Qv <
bg5
= 0.006 m3/s
k S9 i f9 / 2
Si tratta, evidentemente, di una portata inverosimile e questa situazione non viene
esaminata nel seguito.
Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente
rapida.
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moto permanente nei canali
Conviene, preliminarmente, ragionare sulla posizione relativa delle tre curve H-y
associate alle sezioni 1, 2 e 3. Con i dati del problema, la curva H-y relativa alla
sezione 1 è fissa mentre le altre due dipendono dall’entità della sottrazione. Per altro,
la curva H-y della sezione 2 deve trovarsi sotto quella della sezione 1 (o al limite
coincidente), e sotto anche a quella della sezione 3.
Una prima condizione limite si ha dunque quando ΔQ=ΔQ0=0 e le curve H-y per le
sezioni 1 e 2 coincidono. Una seconda condizione limite, ΔQ1, si determina quando
coincidono le curve H-y per le sezioni 1 e 3. Questa condizione si ha quando, per
ogni y, è verificata la relazione
(Q − ΔQ )
Qm2
y+
= y + m 2 21
2 2
2gB y
2gb y
2
ovvero Qm/B=(Qm-ΔQ1)/b che fornisce ΔQ1=11.0 m3/s. Le posizioni relative delle
curve H-y al variare di ΔQ sono illustrate in Fig. 101.
Fig. 101
Come si è detto, infinitamente a monte e a valle si stabiliscono condizioni di moto
uniforme di corrente rapida, dunque la ricostruzione del profilo parte da monte
(sezione 4).
Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 103, il moto si
mantiene uniforme fino alla sezione 1 (sottrazione localizzata). Per stabilire le
caratteristiche del moto nella sezione 2 si opera un bilancio di energia nel quale,
come riportato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE12
z1+H1-ΔE12=z2+H2 ⇒ H2=H1=H0m=0.940 m
Data la posizione relativa delle curve H-y associate alle sezioni 1 e 2 (vedi, ad
esempio, Fig. 101), è evidente che l’energia H2 determinata mediante il precedente
bilancio è sempre superiore all’energia minima per la sezione 2, mentre il livello di
corrente rapida associato all’energia H2 dipenderà dall’entità della sottrazione.
Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si opera ancora un bilancio di energia nel
quale, come specificato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata
ΔE23
z2+H2-ΔE23=z3+H3 ⇒ H3=H2= 0.940 m
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moto permanente nei canali
Nella sezione 3 l’energia H3 può risultare inferiore o superiore all’energia minima
necessaria alla corrente Hc3 in relazione all’entità della portata sottratta ΔQ. La
condizione limite è quindi rappresentata da H3=Hc3. Questa condizione è espressa
dalla seguente relazione
H c3 =
3
3 (Qm − ΔQ ) 2
y c3 = 3
= 0.940 m
2
2
g b2
la quale, risolta rispetto a ΔQ fornisce il valore limite ΔQ2=3.23 m3/s a cui corrisponde
una portata di valle Qv=21.77 m3/s. Per valori ΔQ>ΔQ2 risulta Hc3<0.940 m e la
corrente è in grado di raggiungere la sezione 3 senza transizione, al contrario per
ΔQ<ΔQ2, nel passaggio tra la sezione 2 e la sezione 3 si ha necessariamente
transizione.
Analizziamo dapprima le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ<ΔQ2 e,
al limite, il caso ΔQ=ΔQ0=0. Per questi casi, la teoria prevede che in corrispondenza
della sezione 3 si instaurino condizioni critiche.
Nel caso limite ΔQ=ΔQ0=0, e quindi Qv=25.0 m3/s sarà y3=ycv=0.688 m a cui
corrisponde l’energia H3=1.031 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3 si trova
H2=H3=1.031 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, il livello y2=0.978 m.
Proseguendo verso monte si svilupperà un profilo S1 fino alla sezione 6 in
corrispondenza della quale il livello si sarà ridotto al valore dell’altezza coniugata
della corrente rapida di monte.
Essendo y6=y0m e F6=2.188, risulta y7=0.730 m. A partire dalla sezione 3, verso valle,
si svilupperà invece un profilo S2 essendo, in questo caso, y0v=0.393 m. La
condizione limite ΔQ=ΔQ0 è illustrata in Fig. 103 in cui le curve H-y per le sezioni 1 e
2 si sovrappongono (vedi anche Fig. 101.
Al crescere della portata sottratta si ridurrà l’energia, e quindi la spinta, della corrente
di valle. Si osserverà dunque un progressivo arretramento del risalto verso la sezione
3. Abbiamo visto che la condizione necessaria affinchè non ci sia transizione è che la
portata sottratta superi il valore limite ΔQ=ΔQ2. Avendo a che fare con una corrente
rapida che affronta un ostacolo, questa condizione, però, non è sufficiente e,
presumibilmente, il comportamento della corrente sarà caratterizzato da isteresi.
Consideriamo quindi altre condizioni limite.
A partire dalla situazione illustrata in Fig. 103 e immaginando di incrementare la
portata sottratta valutiamo se, e in quali condizioni, il risalto si stabilisce
immediatamente a monte della sezione 1.
In questo caso dovrà essere y4=y0m=y6=0.277 m e y7=y1=0.730 m essendo,
quest’ultima, l’altezza coniugata della corrente rapida di monte in moto uniforme.
L’energia in corrispondenza della sezione 1 vale dunque H1=0.826 m. Il bilancio di
energia tra le sezioni 1, 2 e 3 fornisce H3=H2=H1=0.826 m. D’altra parte nella sezione
3 si devono instaurare condizioni critiche e si avrà y3=ycv=(2/3)Hcv=(2/3)H3=0.550 m.
Nota l’altezza critica ycv si determina immediatamente la portata di valle Qv=17.91
m3/s e quindi la condizione limite associata ΔQ3=7.09 m3/s. A partire dalla sezione 3,
verso valle, si svilupperà invece un profilo S2 essendo, in questo caso, y0v=0.321 m.
Questa condizione limite è illustrata in Fig. 107
Un’ulteriore condizione limite si determina quando il risalto si colloca a ridosso della
sezione 2. In tal caso, la corrente si mantiene in moto uniforme fino alla sezione 1 e,
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moto permanente nei canali
in corrispondenza della sezione 2, a monte del risalto (indicata come sezione 6, vedi
Fig. 111), sarà caratterizzata dall’energia H6=H1=H0m.
Le equazioni che si possono scrivere per individuare questa condizione limite sono le
seguenti
H 6 = y6 +
(Qm − ΔQ4 )2
2 gB 2 y 62
= 0.940 m, nelle incognite y6 e ΔQ4,
(
)
y 7 = 0.5 y 6 ( −1 + 1 + 8(Qm − ΔQ4 ) / gB 2 y 63 , nelle incognite y6, y7 e ΔQ4,
2
y7 +
(Qm − ΔQ4 )2
2 gB 2 y 72
=
3 (Qm − ΔQ4 )
3
2
gb 2
2
, nelle incognite y7 e ΔQ4,
l’ultima delle quali esprime la conservazione dell’energia tra le sezioni 2≡7 (a valle
del risalto) e 3, laddove si instaurano condizioni critiche.
Risolto il sistema costituito dalle tre precedenti relazioni, si trova y6=0.085 m,
y2=y7=0.498 m ΔQ4=16.33 m3/s, e quindi Qv=8.67 m3/s. L’energia nella sezione 2
vale H2=0.509 m. Questa energia coincide con quella della sezione 3 in cui si
verificano condizioni critiche per cui si ha H3=Hcv=H2=0.509 m e
y3=ycv=(2/3)Hcv=0.339 m. A valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S2 fino a
raggiungere l’altezza di moto uniforme di valle che vale y0v=0.208 m.
Questa condizione limite è illustrata in Fig. 111.
Per valori ΔQ superiori a ΔQ4 (e quindi per portate di valle inferiori a Qv=8.67 m3/s)
non si ha transizione ed il profilo è quello illustrato in Fig. 114 che può essere
agevolmente calcolato come segue. La corrente si mantiene in moto uniforme fino
alla sezione 1. Mediante il bilancio H2=H1=H0m=0.940 m si determina l’energia nella
sezione 2 quindi il livello y2. Mediante il bilancio H3=H2= 0.940 m si determina poi
l’energia nella sezione 3 quindi il livello y3. Quest’ultimo risulta necessariamente
inferiore all’altezza di moto uniforme di valle che viene pertanto raggiunta seguendo
un profilo S3.
Nel complesso quindi, quando ΔQ<ΔQ2=3.23 m3/s, necessariamente si assiste alla
transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto che si colloca a monte della
sezione 1 e il passaggio attraverso le condizioni critiche in corrispondenza della
sezione 3. Quando invece è ΔQ>ΔQ4=16.33 m3/s, la corrente si mantiene ovunque
rapida. Per valori di portata sottratta nell’intervallo ΔQ1<ΔQ<ΔQ4, entrambe le
configurazioni sono possibili (Fig. 102).
Fig. 102
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moto permanente nei canali
Più in particolare, se partiamo dalla condizione ΔQ=ΔQ0=0 (illustrata in Fig. 103) e
incrementiamo progressivamente la portata i profili che si svilupperanno saranno
quelli di Fig. 104, Fig. 105 e Fig. 106 per ΔQ0<ΔQ<ΔQ3, con il risalto che si sposta via
via verso valle, quindi quello di Fig. 107 per ΔQ=ΔQ3=7.09 m3/s.
Per valori di portata sottratta nell’intervallo ΔQ3<ΔQ<ΔQ4=16.33 m3/s il risalto si
collocherà tra le sezioni 1 e 2. La condizione limite ΔQ=ΔQ1=11.0 m3/s ricade
all’interno di questo intervallo che va pertanto ulteriormente frazionato anche se i
profili che si determinano sono sostanzialmente analoghi e le differenze sono
riscontrabili soprattutto nella rappresentazione attraverso il diagramma H-y (vedi Fig.
108, Fig. 109, Fig. 110 e Fig. 111).
Incrementando ulteriormente la portata sottratta, il risalto viene spazzato e tutto il
canale risulta percorso da una corrente rapida come illustrato in Fig. 114
Se a partire da questa condizione riduciamo progressivamente la portata sottratta si
stabiliranno, in successione, le configurazioni illustrate in Fig. 114 (con un profilo di
corrente rapida decelerata S3 a valle della sezione 3), Fig. 113 (con condizioni di
moto uniforme sia lungo il tratto di monte che lungo il tratto di valle) e Fig. 112 (con
un profilo di corrente rapida accelerata S2 a valle della sezione 3). Riducendo la
portata sottratta al di sotto del valore limite ΔQ=ΔQ2 si assisterà, come già detto, alla
transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto che si collocherà a monte
della sezione 1 e il passaggio attraverso le condizioni critiche in corrispondenza della
sezione 3.
Fig. 103
Fig. 104
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moto permanente nei canali
Fig. 105
Fig. 106
Fig. 107
Fig. 108
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moto permanente nei canali
Fig. 109
Fig. 110
Fig. 111
Fig. 112
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moto permanente nei canali
Fig. 113
Fig. 114
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