INSIEME INSIEME STRUTTURATO RELAZIONI OPERAZIONI ORDINE EQUIVALENZA INTERNE ESTERNE Angela Donatiello 1 Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali. N ={0,1,2,3,4,…} E’ naturale definire in N una somma tra i suoi numeri. Esiste una corrispondenza tra l’insieme delle coppie di numeri naturali e l’insieme dei numeri naturali che fa corrispondere alla coppia (3,6) il numero 9 e alla coppia (7,5) il numero 12. Una tale operazione è detta OPERAZIONE INTERNA all’insieme N + : (a , b ) ∈ N × N → a + b ∈ N N ( + ) è una STRUTTURA ALGEBRICA Proprietà: ∀x , y ∈ N ⇒ x + y ∈ N Legge interna: Proprietà associativa: ∀x , y , z ∈ N ⇒ x + ( y + z ) = ( x + y ) + z Esistenza dell’elemento neutro: Angela Donatiello ∀x ∈ N , ∃0 ∈ N | x + 0 = 0 + x = x 2 In N viene però a cadere una proprietà: Esistenza del simmetrico: ∀x ∈ N, ∃x '∈ N | x + x ' = x '+ x = 0 ? Tale proprietà viene a cadere in quanto in N nessun elemento è dotato di simmetrico, eccetto lo zero. Risulta pertanto necessario ampliare l’insieme N con un nuovo insieme Z. L’insieme Z è l’insieme dei numeri interi relativi in cui è possibile definire una somma usuale tra numeri come in N. + : (a , b ) ∈ Z × Z → a + b ∈ Z Z(+) è una STRUTTURA ALGEBRICA ∀x , y ∈ Z ⇒ x + y ∈ Z Legge interna: Proprietà associativa: ∀x , y, z ∈ Z ⇒ x + ( y + z ) = ( x + y) + z Angela Donatiello 3 Esistenza dell’elemento neutro: Esistenza del simmetrico: ∀x ∈ Z, ∃0 ∈ Z | x + 0 = 0 + x = x ∀x ∈ Z, ∃x '∈ Z | x + x ' = x '+ x = 0 Inoltre: Se considero due numeri interi relativi qualsiasi a e b, si sa che a + b = b + a e ciò equivale a dire che la somma tra numeri gode della proprietà COMMUTATIVA Angela Donatiello 4 Osserviamo: • il risultato della composizione di due elementi di Z è ancora un elemento di Z per cui + è una LEGGE INTERNA a Z • vale la proprietà ASSOCIATIVA • esiste l’ELEMENTO NEUTRO • Ogni elemento di Z ha il SIMMETRICO • • • Sia G un insieme di natura qualsiasi in cui sia presente una legge di composizione interna * di natura qualsiasi. Diremo che G( * ) è un GRUPPO se valgono le tre proprietà evidenziate in precedenza: Associatività Esistenza dell’elemento neutro Esistenza, per tutti gli elementi, dell’elemento simmetrico Angela Donatiello 5 Valutiamo Z (•) ∀x , y ∈ Z ⇒ x • y ∈ Z ∀x , y, z ∈ Z ⇒ x • ( y • z ) = ( x • y) • z Esistenza dell’elemento neutro: ∀x ∈ Z, ∃1 ∈ Z | x • 1 = 1 • x = x Legge interna: Proprietà associativa: In Z viene a cadere una proprietà: Esistenza del simmetrico: ∀x ∈ Z, ∃/x '∈ Z | x • x ' = x '• x = 1 E’ vero solo se sia x che x’ sono uguali a 1. Angela Donatiello 6 A tale scopo risulta necessario definire m Q = | m, n ∈ Z ∧ n ≠ 0 n Q(+ ) è un gruppo abeliano Q − {0}(•) è un gruppo abeliano e in più vale anche la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ⇒ Q( +,•) è un CAMPO Angela Donatiello 7 A(+,⋅) anello ⇔ 1) A( + ) gruppo commutativo 2) ⋅ associativa 3) ⋅ distributiva rispetto a + A(+,⋅) anello commutativo ⇔ 1) A( +,⋅ ) è anello 2) ⋅ commutativa A( + ,⋅ ) anello unitario ⇔ 1) A( + , ⋅ ) anello 2) ∃ 1 elemento neutro per ⋅ A(+,⋅ ) campo ⇔ 1) A( + ) gruppo abeliano 2) A - {1}(⋅) gruppo abeliano 3) ⋅ distributiva rispetto a + Angela Donatiello 8 Q è denso: tra due numeri razionali c’è ancora un numero razionale, ciò nonostante presenta ancora dei “buchi”, ovvero non è possibile associare ad ogni punto della retta un numero razionale. Ad esempio 2 è un numero non razionale, ossia non è possibile scriverlo sotto forma di frazione. (dimostrazione) 2∉Q Si considera un insieme R che rispetto alle operazioni di somma e prodotto è ancora un campo. R ( +,•) R è denso R è continuo (la retta reale non presenta “buchi”, ossia è sempre possibile mettere in relazione biunivoca un punto della retta con un numero reale) Angela Donatiello 9 N N⊂Z⊂Q⊂R Z Q R INTERVALLI DI R [a ,+∞[ = {x ∈ R | x ≥ a} ]a ,+∞[ = {x ∈ R | x > a} ]− ∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b} ]− ∞, b[ = {x ∈ R | x < b} [a , b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} [a , b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} ]a , b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} ]a , b[ = {x ∈ R | a < x < b} Angela Donatiello 10 Le slides sono reperibili all’indirizzo web: http://digilander.libero.it/angeladonatiello/uninsubria.html Il programma GRAPH con cui sono stati realizzati i grafici è scaricabile all’indirizzo: www.padowan.dk Il programma Maxima (che utilizza Gnuplot per i grafici) è scaricabile all’indirizzo: http://maxima.sourceforge.net/ Angela Donatiello 11