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Lezioni di Fisica
Ettore Limoli
Prof. Ettore Limoli
Sommario
Dinamica dei liquidi .......................................................................................................................................................1
Conservazione dell'energia nei liquidi. ........................................................................................................................1
1.
Moto di un liquido. ........................................................................................................................................1
2.
Teorema di Bernoulli. ....................................................................................................................................2
3.
Conseguenze del teorema di Bernoulli. ..........................................................................................................3
Dinamica dei liquidi
Conservazione dell'energia nei liquidi.
1. Moto di un liquido.
Si dice che un liquido si muove in un condotto con moto stazionario se le particelle del liquido,
che transitano attraverso una qualsiasi sezione normale del condotto, hanno tutte la stessa velocità
che si mantiene costante nel tempo.
Per un liquido in moto stazionario si definisce flusso del vettore velocità il prodotto:
=S·v
dove S è l'area di una sezione normale del tubo e v è la velocità comune a tutte le particelle che
attraversano detta sezione.
Il flusso del vettore velocità rappresenta la portata del condotto, cioè il volume del liquido che
attraversa la sezione nell'unità di tempo. Infatti, se l è il tratto percorso nel tempo t, si ha:
S v S
l
V
t
t
dove V è il volume che transita nel tempo t.
v1
v2
S2
S1
Figura 1
Se consideriamo un condotto che presenta una strozzatura (Figura 1), dette S1 e S2 due sezioni
diverse, poiché la portata è costante possiamo scrivere:
1
S1 · v1 = S2 · v2
da cui:
v1 : v2 = S2 : S1
cioè le velocità sono inversamente proporzionali alle sezioni.
Questa legge è nota come legge della portata o di Leonardo ed è talvolta applicabile anche ai gas.
Poiché i gas sono comprimibili e quindi non mantengono costante la loro densità, non è detto che
volumi uguali contengano la stessa massa di gas per cui la legge della portata può non essere valida.
2. Teorema di Bernoulli.
Consideriamo un liquido che scorre in un condotto (Figura 2) muovendosi da sinistra verso destra, e
fissiamo la nostra attenzione sul tratto compreso fra le posizioni A e B (vedi figura).
Su tale sistema (parte in bianco nella figura) agiscono le forze F1 ed F2 determinate dalle pressioni
p1 e p2 esistenti nel condotto nei due punti A e B.
B
F2
A
(a)
F1
l 2
l 1
F2
(b)
F1
Figura 2
Dopo un intervallo di tempo t il sistema passa dalla posizione di Figura 2(a) a quella di Figura
2(b). La sezione su cui agisce la forza F1 avanza di un tratto l1 e quella su cui agisce F2 retrocede
di un tratto l2.
Il lavoro fatto dalle due forze, notando che F2 compie un lavoro resistente, è dato da:
L = F1 · l 1 - F2 · l 2
Ed essendo, per la definizione di pressione, F1 = p 1 · S 1, F2 = p 2 · S 2, ed osservando che S 1 · l 1
è il volume V della porzione di liquido ombreggiata in figura (zona A) che è uguale a S 2 · l 2 (zona
B), si può scrivere:
L = p1· V - p2· V
Osservando le Figura 2 (a) e (b) si può considerare come se la porzione di liquido colorata in scuro
si sia spostata da A in B, mentre la parte in bianco sia rimasta inalterata.
Le variazioni di energia cinetica e potenziale sono date da:
2
1
m (v 22 v12 )
2
U m g (h2 h1 )
T
Essendo L = T + U (cap. II pag. 20), si ha:
1
m (v 22 v12 ) m g (h2 h1 )
2
Portando a primo membro tutti i termini con indice 1 e a secondo quelli con indice 2, dividendo
tutto per V, posto d = m / V (densità del liquido), si ha:
p1 V p2 V
p1
1
1
d v12 d g h1 p2 d v 22 d g h2
2
2
o anche:
1
p d v 2 d g h cos tan te
2
Il teorema di Bernoulli è un teorema di conservazione dell'energia ed è alla base di tutti i problemi
di idraulica.
3. Conseguenze del teorema di Bernoulli.
Nel caso di un condotto orizzontale, in cui non si hanno variazioni dell'altezza (h = 0), il teorema di
Bernoulli assume la forma:
1
p d v 2 cos tan te
2
da cui si evince che, dovendo la somma a primo membro mantenersi costante, ad un aumento della
velocità deve corrispondere una diminuzione della pressione.
Come osservato al paragrafo 1, se il condotto presenta una strozzatura (Figura 1), dove il condotto
si restringe si ha un aumento della velocità e quindi una diminuzione della pressione.
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ESEMPIO
Quando l'acqua passa attraverso i forellini di una doccia subisce un aumento di velocità e
quindi una diminuzione della pressione. Questa diminuzione di pressione determina un
risucchio d'aria (effetto Venturi) che spinge all'interno le tendine della doccia (fenomeno assai
noto a chi ha la doccia con tendina).
h
Figura 3
3
Considerando un liquido in quiete (v = 0) posto in un recipiente (Figura 3) e determiniamo la
pressione in un punto posto a profondità h rispetto alla superficie libera.
Sulla superficie libera si ha:
pressione = p0 (pressione atmosferica);
altezza = h ;
velocità = 0 .
Nel punto a profondità h si ha:
pressione = p ;
altezza = 0 ;
velocità = 0 .
Applicando il teorema di Bernoulli, possiamo scrivere:
p = p0 + d g h
espressione nota come legge di Stevino.
Una conseguenza della legge di Stevino è che, se si immerge un corpo in un liquido, la differenza di
pressione fra la superficie inferiore e superiore del corpo immerso è data da:
p=dgh
dove h è l'altezza del corpo immerso.
Questa differenza di pressione determina una forza S (spinta di Archimede) diretta verso l'alto.
Essendo, per la definizione di pressione, S = p · A, dove A è l'area della superficie di base del
corpo immerso, si ha:
S=dghA
Poiché h · A è il volume del corpo immerso (supposto per semplicità che la base inferiore e
superiore siano uguali), d è la densità del liquido, d · g · h · A è il peso del liquido avente lo stesso
volume del corpo immerso. Possiamo quindi concludere affermando che:
un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del liquido spostato.
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ESERCIZIO
Un corpo del peso di 8000 N ed avente la forma di un tronco di cono è tenuto sospeso da una
funicella in un recipiente contenente un liquido di densità 1080 kg/m3 (Figura 4).
Determinare:
1. la forza di pressione sulla base superiore di area 0,16 m 2;
2. la forza di pressione sulla base inferiore di area 0,32 m 2;
3. la tensione della fune che sostiene il corpo.
60 cm
240 cm
Figura 4
4
Per la legge di Stevino la pressione sulla base superiore, trovandosi a profondità h = 0,6 m, è:
p = 101300 + 1080 · 9,8 · 0,6 = 107650,4 Pa
dove la pressione atmosferica è 101300 Pa.
Pertanto la forza risulta:
F = 107650,4 · 0,16 17224 N
ed è diretta verso il basso.
La pressione sulla base inferiore, essendo l'altezza del tronco di cono 2,4 m, è:
p = 101300 + 1080 · 9,8 · (0,6 + 2,4) = 133052 Pa
e quindi la forza, diretta verso l'alto, risulta:
F = 133052 · 0,32 42577 N
Per calcolare la tensione della fune occorre calcolare la spinta di Archimede.
Il volume del tronco di cono è dato da:
2,4 (0,32 0,32 0,16 0,16)
1
h ( A A a a)
0,565 m3
3
3
Pertanto la spinta di Archimede vale:
V
S = 1080 · 9,8 · 0,565 5980 N
e la tensione del filo, essendo il peso del corpo di 8000 N, è:
T = 8000 - 5980 = 2020 N.
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Si consideri un recipiente contenente un liquido ed avente un foro a profondità h rispetto alla
superficie libera del liquido (Figura 5). Determiniamo la velocità con cui il liquido esce dal foro
(teorema di Torricelli), supposto che la sezione del recipiente sia molto grande, rispetto a quella del
foro, per cui si possa considerare che sulla superficie libera il liquido sia in quiete.
h
Figura 5
Applichiamo il teorema di Bernoulli considerando:
Superficie libera:
p = pressione atmosferica;
h = altezza rispetto al foro;
v = 0.
foro:
p = pressione atmosferica;
h = 0;
v = velocità di uscita dal foro.
5
Essendo quindi:
pd gh p
1
d v2
2
si ha che
v
2 g h.
Prof. Ettore Limoli
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