DINAMICA RELATIVA
Cinematica relativa:
Teorema di Galileo:
Dimostrazione:
derivo:
utilizzando le formule di Poisson:
ricaviamo che:
dunque la nostra velocità assoluta risulta:
Teorema di Coriolis:
Dimostrazione:
derivando due volte rispetto al tempo:
Dinamica relativa:
SISTEMI RIGIDI
Atto di moto rigido: insieme di tutte le velocità dei punti di un sistema che istante per istante può essere considerato
rigido.
Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché l’atto di moto sia rigido è:
, cioè che i
due punti abbiano uguale componente della velocità lungo la loro congiungente.
-
condizione necessaria:
-
condizione sufficiente:
. Dimostrazione:
. Dimostrazione:
Teorema: in ogni istante esiste ed è unico un
dell’atto di moto rigido.
Dimostrazione [unicità]: se esistono
e
è la relazione fondamentale
Dimostrazione [esistenza]:
Derivo le tre relazioni:
Applico la proprietà:
è vera se e solo se
.
L’invariante scalare dell’atto di moto rigido è espresso da:
L’atto di moto si dice:
- Traslatorio: se tutti i punti hanno uguale velocità
-
Rotatorio: se esiste almeno un punto con velocità nulla
-
Elicoidale:
Teorema (asse di moto o di Mozzi):
esiste un asse diretto come
i cui punti
hanno
Dimostrazione:
. Moltiplico vettorialmente per
.
Applico la proprietà:
MOTO PIANO
Teorema di Eulero: nel caso piano, l’atto di moto è o traslatorio o rotatorio. Dimostrazione:
Dimostrazione:
-
atto di moto traslatorio
Dimostrazione:
-
atto di moto rotatorio
Dimostrazione: rotatorio:
Dimostrazione:
perché esista
.
ed
è definito il centro di istantanea rotazione.
bisogna verificare che abbia soluzione
esiste un asse
ammette soluzione e ci permette di calcolare un punto
.
l’atto di moto è rotatorio.
Teorema di Chasles: se conosco le direzioni delle velocità di due punti qualsiasi del c.r., allora il C.I.R. si troverà
nell’intersezione delle due perpendicolari alle velocità.
Dimostrazione:
disegno
Basta conoscere la direzione delle velecità.
C.I.R. :
Base: luogo dei punti tracciati dal C.I.R. rispetto ad un riferimento fisso.
Rulletta: luogo dei punti tracciati dal C.I.R. rispetto ad un riferimento solidale al corpo rigido.
Durante il moto sono a contatto e rotolano una sull’altra.
C.I.R.: punto che istante per istante ha velocità nulla. In generale, la sua accelerazione è diversa da 0.
Ca è il centro delle accelerazioni, definito istante per istante, in cui l’accelerazione è pari a 0:
Il C.I.R. non appartiene al corpo rigido.
DINAMICA DI SISTEMI DI PUNTI
Prima equazione cardinale o Teorema della quantità di moto:
Dimostrazione:
Oppure partendo da R: Dimostrazione:
Risultante delle forze interne:
dovuta a
la forza dovuta all’interazione tra due punti
non risente degli altri punti interni al sistema.
per il principio di azione e reazione:
Momento risultante delle forze interne:
Considero:
Sostituisco nella 1°:
Seconda equazione cardinale o Teorema del momento della quantità di moto:
dove
Dimostrazione:
Seconda equazione cardinale (con G): tesi:
Dimostrazione:
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
dove
Baricentro in un continuo:
Se il corpo è omogeneo, la densità
.
Per un corpo rigido,
condizione di rigidità. Sostituiamo
Sappiamo che :
.
Quindi
Momento di inerzia:
Teorema di Huyghens:
Dimostrazione:
.
Posso spostare il momento di inerzia da un asse baricentrale ad un qualsiasi asse parallelo.
Momento della quantità di moto rispetto ad un qualsiasi punto K:
Siccome
Applicando la proprietà:
.
Se
Prima equazione cardinale:
Seconda equazione cardinale:
Energia Cinetica: per il c.r.:
Dimostrazione:
Applico la proprietà:
. Applichiamo la proprietà:
Nel caso piano: Teorema di König:
Lavoro:
non è un differenziale esatto:
.
il lavoro dipende dal percorso nel caso non conservativo.
è conservativa e quindi differenziale esatto.
. Sappiamo che le derivate seconde miste
sono uguali:
è conservativa.
differenziale del potenziale
questo risultato vale per forze conservative in
cui il lavoro dipende solo dalla posizione finale e da quella iniziale e non dal percorso:
Caso particolare: per vincoli ideali fissi e forze conservative:
dice che l’energia meccanica si conserva
durante il moto.
Teorema dell’energia cinetica:
moltiplico scalarmente:
Se il punto è isolato:
Legame energia cinetica con potenza delle forze attive:
Dimostrazione: per vincoli ideali fissi:
S equipollente S’:
se uno può essere trasformato nell’altro con una successione di operazioni invariantive
(traslazione e scorrimento). Ad ogni sistema possiamo associare un vettore risultante rispetto ad un polo O qualsiasi. Il
momento risultante è la somma dei singoli momenti, che di solito è diverso dal momento della risultante.
se le rispettive risultanti sono uguali ed anche i loro momenti rispetto ad un polo qualsiasi:
Sistemi di forze equipollenti: due sistemi di forze sono equipollenti se e solo se
stesso polo.
Teorema: siano
i vettori caratteristico del sistema S, e sia
scalare
a)
rispetto ad uno
l’invariante
equivale al sistema nullo. Dimostrazione:
equilibrio o moto rettilineo uniforme
b)
equivale ad una coppia, come se avessimo due forze uguali e contrarie applicate a due
punti diversi.
Dimostrazione:
il momento non dipende dal polo:
c)
equivale ad un sistema composto da un solo vettore, pari a R, applicato in un
punto della retta di applicazione della risultante.
Dimostrazione:
d)
Dimostrazione:
moltiplico vettorialmente per
equivale ad un sistema composto da un vettore R più una coppia.
moltiplico vettorialmente per
Questa retta non è quella di applicazione della risultante ma quella per cui i momenti sono minimi.
MECCANICA ANALITICA
Spostamento virtuale: è uno spostamento infinitesimo compatibile con i vincoli del sistema [vincolo bilatero:
spostamento reversibile; vincolo unilatero: spostamento irreversibile]:
Velocità virtuale: qualsiasi velocità del punto compatibile con il vincolo:
Lavoro virtuale:
Potenza virtuale:
Equazione fondamentale della dinamica:
virtuale:
moltiplico scalarmente per la velocità
relazioni simboliche pure della dinamica
Equilibrio: (condizione necessaria e sufficiente)
- Vincoli unilateri:
- Vincoli bilateri:
Per il corpo rigido:
Equazione fondamentale della dinamica: vincoli olonomi,
dinamica:
. Dalla relazione simbolica della
. Lo spostamento effettivo:
. Sostituendo:
. Svolgiamo le
due sommatorie separatamente:
dove
Ricomponendo le due sommatorie:
equazione pura di moto
Equazioni di Lagrange: forma non conservativa
Utilizziamo due proprietà:
. Sapendo che
equazione di Lagrange
Equazioni di Lagrange: forma conservativa
dove
Sappiamo che
. Eguaglio:
Sostituiamo nell’equazione di Lagrange:
Essendo:
.
poiché se deriviamo
quindi scriviamo cmq
.
Principio dei lavori virtuali:
Per l’equilibrio,
Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema è che il lavoro delle sollecitazioni virtuali sia nullo.
MOTI CENTRALI
il moto si dice centrale e O è il centro del moto. Da Newton possiamo dire che
. Sviluppiamo:
. Chiamiamo
vettore costante in modulo, direzione e verso.
Sappiamo che
e che
Il vettore
è sempre
, quindi P si muove in un piano che contiene il centro del moto e sempre
possiamo dire che il moto del punto è un moto piano e in quanto tale possiamo usare le coordinate polari.
. Allora
Oppure studiando l’accelerazione:
L’area spazzata dal raggio vettore mentre P compie quell’arco di traiettoria viene approssimata con l’area del settore
circolare:
.
Velocità areolare:
, a meno di si vede che
E’ vero anche il contrario, cioè se il moto è piano e
quindi chiamiamo c costante delle aree.
allora si dimostra che il moto è centrale:
il moto è centrale.
Condizione necessaria e sufficiente perché un moto piano sia centrale è
Conoscendo
, possiamo usare
.
per descrivere la cinematica del sistema in funzione di
.
, sapendo che
MOTO DEI PIANETI DI KEPLERO
1) Ogni pianeta in moto intorno al Sole si muove lungo un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Ci dice,
quindi, che il moto è piano.
2) La congiungente del Sole con il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, quindi
e
. La
seconda insieme alla prima ci dice che il moto è centrale ed il Sole è il centro del moto.
Applichiamo Binet:
Quindi
3) Per ogni pianeta:
Nell’ellisse:
Forza di interazione Pianeta-Sole:
Così anche forza agente sul Sole:
Per azione-reazione:
attrazione universale. Sostituendo:
costante di
legge di gravitazione
universale.
Se un punto è molto vicino alla superficie terrestre si può approssimare la distanza al raggio della sfera quindi:
accelerazione gravitazionale.
PUNTI ISOLATI (PROBLEMA DEI DUE CORPI)
Derivo due volte:
quindi
quindi
o moto rettilineo uniforme.
Definiamo
chiamo
massa ridotta
Ricavo:
Vediamo
muoversi intorno a
come se avesse massa
. Quindi
è il centro di moto.
Equazioni di Eulero: O fisso e G=O . Se utilizziamo la terna solidale con il c.r., una terna tale per cui il tensore è
diagonalizzabile.
Ricaviamo così le equazioni di Eulero:
Energia cinetica per il corpo rigido tridimensionale (vedi anche teorema di König):
. Applico la proprietà:
in forma matriciale
MOTO DI UN CORPO RIGIDO CON PUNTO FISSO O ASSE FISSO
Per i moti di inerzia:
Vediamo se
è costante e dunque il moto è uniforme.
1) Simmetria sferica (corpo sferico)):
le equazioni di Eulero sono:
sono costanti
nel tempo
abbiamo un moto rotatorio uniforme, con rotazioni permanenti attorno all’asse
iniziale.
2) Simmetria assiale (struttura giroscopica): l’asse di simmetria assiale è asse principale di inerzia ed è chiamato “asse
giroscopico”.
le equazioni di Eulero sono:
costante:
Sostituiamo
. La componente secondo asse z è
chiamiamo
e
deriviamo:
sono equazioni dell’oscillatore armonico. Risolvo:
con le condizioni iniziali:
La componente di
lungo z è:
(perché rapporto tra quantità costanti).
Durante il moto l’asse di istantanea rotazione disegna un cono circolare di semiampiezza
con il nostro c.r. (cono mobile rispetto all’asse giroscopico).
dove
attorno all’asse z e si muove
è diretto lungo Z
descrive anche un cono circolare attorno all’asse Z fisso di semiampiezza . Questo cono è fisso perché l’asse Z è
fisso. Questi due cono si chiamano coni di Poinsot, di cui uno mobile e l’altro fisso. Sono sempre a contatto tra loro in
corrispondenza dell’asse di istantanea rotazione. Il cono mobile rotola senza strisciare sul cono fisso.
è il vettore
al piano contenente
e
, infatti:
non ha componenti lungo
questi vettori sono tutti complementari
che
contiene tutti e tre i vettori ( è tra l’asse giroscopico e asse fisso).
l’asse giroscopico compie un moto di precessione attorno all’asse fisso. Il moto non è rotatorio uniforme
perché
in modulo ma non in direzione, così il moto è di precessione.
Se prendiamo e diretti come degli assi principali di inerzia allora il moto sarebbe uniforme.
3)
Ricaviamo:
dipendono da r.
Intorno a z ci sarà ancora un cono ma non più a sezione circolare ma irregolare, lo stesso attorno a Z e z attorno a Z.
Avremo moto proprio attorno a z, moto di precessione attorno a Z e di nutazione dovuto a , dove
.
Si può avere moto rotatorio uniforme se all’istante iniziale è diretto come uno degli assi principali di inerzia.
STABILITA’:
Stabilità di Lyapunov: Consideriamo un sistema:
dato un
Se
con soluzione
la soluzione è stabile se
tale che data un’altra soluzione all’istante
esiste allora l’unica soluzione è stabile, se non esiste è instabile.
Se
1° metodo di Lyapunov:
Generica soluzione perturbata:
esiste allora l’unica soluzione è stabile.
. La soluzione sarà:
perturbazione abbastanza piccola
è stabile?
è una linearizzazione (approssimo f con la tangente)
Piano tangente (per n gradi di libertà):
matrice dei coefficienti
trovo la
soluzione, cioè studio gli autovalori di
Teorema: se la soluzione del sistema linearizzato è asintoticamente stabile, allora lo è anche quella del sistema
originario. Se la soluzione del sistema linearizzato è instabile, allora lo è anche quella del sistema originario.
Piccole oscillazioni attorno all’equilibro stabile usando la Lagrangiana ridotta:
La Lagrangiana ci fornisce N equazioni pure di moto.
Per un sistema olonomo, non dissipativo e conservativo, all’equilibrio
Applichiamo alla posizione di equilibrio:
Linearizziamo:
tante equazioni per ogni indice i, che è sistema linearizzato.
Poniamo:
reali perché A,B simmetriche e A definita positiva.
INSTABILE: se
instabile.
instabile e cresce . U ha un minimo quindi la soluzione di equilibrio è
STABILE: se
immaginari: le perturbazioni sono periodiche e rimangono piccole nel tempo ed
attorno all’equilibrio abbiamo un moto oscillatorio, dato dalle combinazioni di più moti oscillatori, con pulsazione:
. Anche gli autovalori di B sono
negativi quindi U ha un massimo. Non si tratta di equilibrio asintoticamente stabile perché decresce ma mai 0.
INSTABILE: se
, U ha una sella in corrispondenza di questo , le perturbazioni non è detto che rimangano
piccole e non è detto che sia stabile, allora secondo Lyapunov è instabile.
Teorema di Dirichlet: Un sistema olonomo, soggetto a forze attive e conservative e vincoli fissi non dissipativi, ha una
configurazione di equilibrio stabile se in corrispondenza di questa configurazione la funzione potenziale ha un massimo.
Teorema di Lyapunov: Un sistema olonomo, soggetto a forze attive e conservative e vincoli fissi non dissipativi, è
instabile se nella configurazione di equilibrio non ha un massimo stretto nel potenziale.
2° metodo di Lyapunov:
MECCANICA DEI CONTINUI DEFORMABILI: infiniti gradi di libertà perché ciascun punto si muove in maniera autonoma
rispetto agli altri. Condizione di incomprimibilità:
Sia
un campo vettoriale in un volume , con
, e sia
in ogni punto
del volume.
Teorema di Green:
,
Teorema di Gauss o del flusso:
è il flusso uscente
Teorema di Reynolds o del trasporto:
Dimostrazione: nozioni da sapere:
Postulato di conservazione della massa: data una porzione di fluido associato ad un volume qualsiasi, la massa di
quella porzione è costante nel tempo:
Dimostrazione:
applico il teorema del trasporto:
equazione di conservazione della massa o di continuità.
Incomprimibilità:
Postulato delle equazioni cardinali: per ogni volume di continuo deformabile, valgono le equazioni cardinali nelle quali
prendono parte tutte le forze considerate, sia quelle esterne che quelle esercitate sul volume considerato dai volumi
adiacenti (forze di volume).
I equazione:
Dimostrazione:
II equazione:
