RETI IN REGIME SINUSOIDALE I° parte

(ultima modifica 28/04/2013)
RETI IN REGIME SINUSOIDALE
I° parte
Appunti di Elettrotecnica del prof. Mariangela Usai del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
1
Introduzione: definizioni
Funzioni periodiche
Grandezza alternata e sinusoidale
Metodo simbolico per lo studio dei circuiti in regime sinusoidale
Bipoli e circuiti semplici
Funzionamento dei bipoli clettrici R, L, C in corrente continua
Funzionamento dei bipoli elettrici r, l, c in regime sinusoidale permanente
Bipolo resistivo
Bipolo induttivo
Bipolo capacitivo
Equazioni costitutive dei componenti elementari: resistore, induttore e capacitore.
Componenti elementari: trasformatore e generatori dipendenti
Trasformatore ideale: potenza istantanea
Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione)
Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione)
Bipoli RLC
Ammettenza: conduttanza, suscettanza
Triangolo delle ammettenze
Impedenze in serie e in parallelo
Potenza istantanea in un bipolo
Potenza attiva, reattiva, apparente e complessa
Triangolo delle potenze
Potenza in un bipolo puramente resistivo
Potenza in un bipolo puramente induttivo
Potenza in un bipolo puramente capacitivo
Generatori reali di tensione e di corrente
Condizioni di massimo trasferimento di potenza: rendimento.
Teorema di Tellegen e di Boucherot
Applicazione del teorema di Boucherot
Analogie fra i metodi di risoluzione delle reti in regime continuo e sinusoidale
Metodi di risoluzione delle reti in regime sinusoidale
Metodo delle correnti maglia
Metodo dei potenziali di modo
Rifasamento
Modalità di rifasamento di un impianto
Risoluzione delle reti lineari in presenza di generatori con frequenza diversa
Risonanza
Risonanza serie
Risonanza parallelo
Reti due porte o bi-porta
Bi-porta attivo: teorema generalizzato di Thevenin
Definizione del bi-porta attraverso la matrice Z
Definizione del bi-porta attraverso la matrice Y
Definizione del bi-porta attraverso la matrice T
Definizione del bi-porta attraverso la matrice inversa Ti
Potenza assorbita da un bi-porta
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pag. 3
pag. 5
pag. 6
pag. 13
pag. 19
pag. 20
pag. 21
pag. 21
pag. 23
pag. 25
pag. 27
pag. 29
pag. 30
pag. 31
pag. 32
pag. 33
pag. 34
pag. 35
pag. 36
pag. 38
pag. 39
pag. 41
pag. 42
pag. 42
pag. 43
pag. 45
pag. 46
pag. 48
pag. 48
pag. 50
pag. 51
pag. 51
pag. 54
pag. 58
pag. 59
pag. 63
pag. 66
pag. 68
pag. 79
pag. 88
pag. 90
pag. 94
pag. 95
pag. 96
pag. 97
pag. 99
2
RETI IN REGIME SINUSOIDALE
INTRODUZIONE
Sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al
variare del tempo con legge sinusoidale.
Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con
tensione sinusoidale con frequenza di:
9 50 Hz in Europa
9 60 Hz in USA.
Le tensioni sinusoidali sono molto importanti nelle
applicazioni pratiche.
DEFINIZIONI
Funzione periodica nel tempo t, u(t): è una funzione che
rappresenta una grandezza che assume valori uguali ad
intervalli di tempo pari al suo periodo T
u( t ) = u( t + nT )
∀n ∈ Interi
(1)
u1(t)
t
T
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3
Si definiscono:
9 Valore medio u(t) nel periodo T:
T
UmT =
1
u( t )dt
T
∫
(2)
0
9 Valore medio u(t) in un qualunque intervallo di tempo τ:
Umτ =
1
τ
u( t )dt
∫
τ
(3)
0
9 Valore efficace o valore quadratico medio:
T
U=
1
u 2 ( t )dt
T
∫
(4)
0
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4
FUNZIONI PERIODICHE
Una qualsiasi funzione tale che soddisfi la relazione (1) e
cioè: u( t ) = u( t + nT ) ∀n ∈ Interi
può essere espressa mediante la serie di Fourier a
condizione che siano verificate le condizioni di Dirichelet:
1. se è discontinua presenti un numero finito di
discontinuità nel periodo T
2. abbia un valor medio finito nel periodo T :
T
1
UmT =
u( t )dt < ∞
T
∫
0
3. presenti un numero finito di massimi positivi e
negativi.
Lo sviluppo di u(t) nella serie di Fourier in forma reale è:
∞
∞
a0
u( t ) = +
an cos( nωt ) +
bn sin( nωt )
(5)
2 n=1
n=1
∑
∑
con:
an =
bn =
2
T
2
T
T
2
∫ u( t ) cos( nωt )dt
n=0,1,2,3…..
(6)
∫ u( t ) sin( nωt )dt
n=0,1,2,3…..
(7)
−T
2
T
2
−T
2
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5
Si definisce:
• Alternata o alternativa una grandezza periodica il cui
valor medio nel periodo è uguale a zero:
T
U mT =
1
u( t )dt = 0
T
∫
(8)
0
• Fattore di forma Kf di una grandezza alternativa il
rapporto fra il suo valore efficace e il suo valore medio
U
(9)
nel semiperiodo: K f =
U mT
2
u
t
Una grandezza alternativa è sinusoidale se varia nel tempo
con legge sinusoidale:
(10)
u( t ) = U M sin( ωt + α )
Essa è caratterizzata da tre parametri, ossia per definirla in
maniera univoca sono necessari tre parametri:
1. AM ampiezza o valore massimo di picco di a(t) con le
stesse dimensioni di a(t); cioè se a(t) è una corrente
AM si misurerà in Ampere, se a(t) è una tensione AM si
misurerà in Volt, e così via.
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6
2π ⎡ rad ⎤
pulsazione, legata alla frequenza
⎢
⎥
T ⎣ s ⎦
1⎡ 1 ⎤
f e al periodo T = ⎢ ⎥ = [s ]
f ⎣ Hz ⎦
⎡
⎤
α ⎢ rad ⎥
= [s ]
3. α [rad ] fase iniziale e tα = ⎢
⎥
ω ⎢ rad ⎥
⎣ s ⎦
intervallo di tempo corrispondente alla fase α.
2. ω = 2πf =
N.B. (ωt+α) [rad ] rappresenta la fase istantanea della
grandezza sinusoidale. Per t=0 risulterà (ωt+α) = α.
Si definisce:
9 Periodo T l’intervallo di tempo che intercorre fra due
istanti successivi aventi la stessa fase istantanea
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7
Osservazione
tα =
α
; in funzione del valore dell’angolo α avremo i
ω
seguenti casi:
9 α=0
9
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per
0
tα = = 0
u(0)=UMsin(ωt+α)=0
ω
U
Sinusoide con fase iniziale nulla
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
Tempo
9 α<0
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per
−α
−α ⎞
tα =
<0
u(0)=UMsin ⎜⎛
⎟ <0
ω
⎝ ω ⎠
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8
tα =
α
[sec ondi ]
ω
9 α>0
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per:
α
α
tα = > 0
u(0)=UMsin ⎜⎛ ⎞⎟ >0
ω
⎝ω ⎠
tα =
α
[sec ondi ]
ω
Se la fase iniziale è positiva la sinusoide è in anticipo, in
caso contrario la fase iniziale è negativa e la sinusoide
risulta in ritardo.
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9
DETERMINAZIONE DEL VALORE EFFICACE DI
UNA GRANDEZZA SINUSOIDALE u(t)
9 Definizione di valore efficace
T
1
2
U=
U M sin 2 ( ωt )dt
T
∫
(11.a)
0
Dalle formule trigonometriche per la duplicazione degli
archi:
cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x da cui sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
T
U=
1
2 ⎛ 1 − cos 2ωt ⎞
UM ⎜
⎟dt
T
2
⎝
⎠
∫
(11.b)
0
Inoltre:
1 − cos 2ωt
2π
⎡ t sin 2ωt ⎤
=
−
dt
e
ricordando
che
ω
=
si
π
f
2
=
∫
⎢⎣ 2
0
2
4ω ⎥⎦ 0
T
T
T
ha che la soluzione del precedente integrale risulta essere:
2π
2π ⎤
⎡
T
sin
2
sin
2
⎢T
T −0+
T ⎥ =T
−
⎢2
2π
2π ⎥
2
2
⎥
⎢
4
4
⎣
T
T ⎦
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10
La (11.b) diventerà:
U=
1 2 T UM
UM =
2
T
2
(12)
Il valore medio UT di una grandezza sinusoidale u(t) nel
semiperiodo sarà:
T
2
U mT =
2
2
U M sin( ωt + α )dt
T
∫
(13)
0
Cambiando il riferimento per annullare α:
T
2
U mT =
2
2
2
⎡
U M sin( ωt )dt = U M ⎢ −
T
T
⎣
∫
0
T
cos ωt ⎤ 2
ω ⎥⎦ 0
T
⎡
⎞⎤
⎛
ω
cos
⎟⎥
⎜
cos
0
ω
2⎢
2+
⎟⎥ =
U m T = ⎢U M ⎜ −
ω
ω ⎟⎥
T⎢
⎜⎜
2
⎟
⎠⎦
⎝
⎣
2π T
⎡
⎛
⎞⎤
cos
⎜
⎟⎥ 2
2⎢
1
T 2 + ⎟ = U ⎡ cos π + 1 ⎤ =
U mT = ⎢U M ⎜ −
⎥
M⎢
T
T
ω
ω
ω
ω ⎥⎦
⎣
⎜
⎟
2
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎦
⎣
2
⎡1 1⎤
= UM ⎢ + ⎥ =
T
⎣ω ω ⎦
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11
=
2
2
2 2
2
UM = UM
= U M = 0.636U M
2π π
T
ω T
T
Il fattore di forma di una grandezza sinusoidale sarà:
UM
U
2 = 1.11
Kf =
=
2
U mT
UM
2
(14)
π
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12
METODO SIMBOLICO PER LO STUDIO DEI
CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE
Se una rete lineare è alimentata da un generatore
sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α), risulteranno sinusoidali
tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei
diversi rami del circuito.
L’importanza delle eccitazioni di tipo sinusoidale è legata
al fatto che:
• qualsiasi funzione periodica nel tempo o alternativa è
sviluppabile in una serie di funzioni del tipo:
2π
con pulsazione
ei(t)=EMisin(ωit+αi) con ω i = 2πf i =
Ti
ωi=iω per i=0, 1 ,2 ,….(sviluppo in serie di Fourier) e
che
• per circuiti lineari vale il principio di sovrapposizione
degli effetti.
Per tali motivi lo studio di questi circuiti si riconduce allo
studio di circuiti alimentati da un solo segnale sinusoidale
(tanti circuiti quante sono le componenti dello sviluppo di
Fourier), per poi applicare il principio di sovrapposizione
degli effetti per tutti i contributi delle cause, o eccitazioni,
alle diverse frequenze.
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13
In base delle considerazioni già fatte, poiché una funzione
sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α) è definita da tre parametri
(ampiezza EM, pulsazione ω, fase α) è possibile
semplificare notevolmente i calcoli trasformando:
l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di
funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.
Insieme delle funzioni sinusoidali S
u(t)=UMsin(ωt+α)
(15)
Insieme delle funzioni complesse C
U(jωt)=UM e j(ωt+α)
(16)
Le operazioni tra grandezze sinusoidali, che richiedono
l’applicazione di tutte le formule relative alla trigonometria,
vengono così semplificate in operazioni più semplici da
eseguire fra grandezze simboliche complesse.
La corrispondenza risulta anche isomorfa, cioè conserva le
operazioni fondamentali.
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14
Relazioni tra le grandezze sinusoidali, i
corrispondenti
vettori
rotanti
nella
rappresentazione complessa e i fasori della
rappresentazione fasoriale
Rappresentazione sinusoidale
Rappresentazione complessa
e( t ) = E M cos( ωt + α )
j ( ωt +α )
E ( jω t ) = E M e
e jα + e − jα
Ricordando che cos α =
avremo:
2
e( t ) = E M cos( ωt + α ) = E M
e j ( ωt +α ) + e − j ( ωt +α )
=
2
e j ω t e jα + e − j ω t e − j α
= EM
=
2
( E M e jα )e jωt + ( E M e − jα )e − jωt
=
2
__
Ponendo: E = E M e e
e( t ) = E M
jα
__
*
E
= E M e − jα , si ricava:
⎡ __ jωt ⎤
E e jω t + E * e − jω t
cos( ωt + α ) =
= Re ⎢ E e ⎥
2
⎣
⎦
(17)
__
Ricordando che se I = I R + jI I si ha:
9 I + I = I R + jI I + I R − jI I = 2 I R = 2 Re ⎡ I ⎤
(18)
⎢⎣ ⎥⎦
__
__
__
*
⎡
9 I − I = I R + jI I − I R + jI I = 2 jI I = 2 j Im I ⎤ (19)
⎢⎣ ⎥⎦
__
__
*
__
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15
⎡ __⎤
__
*
__
Quindi: Re ⎢ I ⎥ = I + I
2
⎣ ⎦
⎡ __⎤
Im ⎢ I ⎥ =
⎣ ⎦
__
(20)
__
*
I−I
2j
(21)
Dall’espressione della rappresentazione complessa si
ottengono le seguenti relazioni:
__
e( t ) = E M
__
⎡ __jωt ⎤
E jω t E − j ω t
= Re ⎢ Ee ⎥
cos( ωt + α ) = e + e
2
2
⎢⎣
⎥⎦
__
e' ( t ) = E M
(22)
__
⎡ __jωt ⎤
E jω t E − jω t
= Im ⎢ Ee ⎥
sin( ωt + α ) =
e − e
2j
2j
⎥⎦
⎣⎢
che possono essere visualizzate attraverso la seguente
rappresentazione grafica:
__
e(t)’= EMsin(ωt+α)
E e j ωt
__
E jωt
e
2
(ωt+α)
__
E − j ωt
e
2
e(t)=EMcos(ωt+α)
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16
Si vede come e(t) risulta essere:
9 la proiezione sull’asse reale del vettore rotante e
9 uguale in ogni istante alla somma di due vettori
rotanti con velocità angolare opposta jωt e
E
-jωt, di modulo M pari alla metà dell’ampiezza del
2
vettore rotante associato E ( jωt ) .
Più grandezze sinusoidali di uguale frequenza possono
essere rappresentate con i fasori, ossia considerando i
vettori rotanti associati alla rappresentazione complessa
relativi all’istante t=0.
Ciò è possibile perché grandezze complesse della stessa
frequenza ruotano mantenendo fra loro lo stesso
sfasamento al variare del tempo.
Quindi:
1. Rappresentazione sinusoidale
e( t ) = E M sin( ωt + α )
2. Rappresentazione complessa
j ( ωt +α )
E ( jω t ) = E M e
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17
3. Rappresentazione fasoriale
__
E = E M e jα
In questo modo ad ogni grandezza sinusoidale
corrisponde una grandezza complessa con modulo pari al
valore massimo (o efficace) e fase pari alla fase iniziale.
• Con la rappresentazione fasoriale non viene espresso
il terzo parametro ω, perché è definito a priori per
tutte le grandezze aventi la stessa pulsazione e quindi
rappresentabili sullo stesso piano complesso.
• Grandezze di pulsazioni diverse non possono essere
rappresentate sullo stesso piano perché in ogni istante
varia lo sfasamento relativo fra loro.
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18
BIPOLI E CIRCUITI SEMPLICI
Ipotesi: circuito in regime sinusoidale permanente.
Se ad un bipolo si applica una tensione sinusoidale u(t),
esso assorbirà una corrente sinusoidale i(t) sfasata di un
certo angolo che dipende dalla natura stessa del bipolo.
i(t)
u(t)
⎧u( t ) = U M sin( ωt + αV )
⎨
⎩i ( t ) = I M sin( ωt + α I )
U = U∠αV
I = I∠ α I
UM
2
I
I= M
2
U=
Lo sfasamento fra le due grandezze può essere positivo o
negativo ed è espresso dalla relazione ϕ=αV-αI ossia dalla
differenza fra le fasi.
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19
FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI
R, L, C IN CORRENTE CONTINUA
Resistore o resistenza ideale
U=RI
(1)
Vale la legge di Ohm
U
Capacitore o condensatore ideale
U
U
R=∞⎯
⎯→ I =
U
=0
R
(2)
Induttore o induttanza ideale
U
U
R=0⎯
⎯→ U = 0 ; I = 0 (3)
Il condensatore ideale in corrente continua equivale ad un
interruttore aperto; non circola corrente (funzionamento a
vuoto).
L’induttore ideale in corrente continua equivale ad un
interruttore chiuso privo di resistenza; la tensione ai capi
del bipolo è nulla (funzionamento in corto circuito).
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20
FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI
R, L, C IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE
9 Bipolo resistivo
i(t)
u(t)
R(Ω)= Resistenza
i ( t ) = 2 I sin ωt = I M sin ωt
u( t ) = Ri ( t ) = RI M sin ωt = U M sin ωt
U M = RI M
U M = 2U ⎯
⎯→ u( t ) = 2U sin ωt
(1)
(2)
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21
Utilizzando la rappresentazione fasoriale:
_
_
U = U ∠0 (Volt)
_
_
I = I ∠0 (Ampere)
_
I
U
_
U = RI
con U =
(3)
UM
I
;I = M ;
2
2
Le due grandezze risultano in fase pur avendo dimensioni e
ampiezze diverse.
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22
9 Bipolo induttivo
i(t)
u(t)
L(Henry) = Induttanza
Per la legge di Lenz: u L ( t ) = L
di
dt
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(4)
23
Poiché i ( t ) = I M sin ωt , avremo:
π⎞
π⎞
⎛
⎛
uL ( t ) = ωLI M cos ωt = ωLI M sin⎜ ωt + ⎟ = U M sin⎜ ωt + ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
(5)
con U M = ωLI M
(6)
Si definiscono:
Reattanza induttiva:
Suscettanza induttiva:
X L = ωL = 2πfL (Ω)
1
1
(S)
BL =
=
ωL 2πfL
(7)
(8)
Utilizzando la rappresentazione fasoriale:
_
U = U∠
_
π
2
(Volt)
U
I = I∠0 (Ampere)
I
UM
IM
UL =
;I =
2
2
_
Inoltre:U L = (ωLI ) ∠
π
2
_
= jω L I
(9)
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24
Bipolo capacitivo
i(t)
u(t)
C (Farad) = Capacità o capacitore
La relazione che lega tensione e corrente in un bipolo
capacitivo è duale a quella trovata per il bipolo induttivo:
du
(10)
i( t ) = C
dt
Quindi se u( t ) = U M sin ωt
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25
π⎞
⎛
i ( t ) = ωCU M cos ωt = (ωCU M ) sin⎜ ωt + ⎟ =
2⎠
⎝
π⎞
⎛
= I M sin⎜ ωt + ⎟
2⎠
⎝
con I M = ωCU M
UM =
(11)
(12)
1
IM
ωC
(13)
Si definiscono:
1
(Ω)
ωC
Suscettanza capacitiva: BC = ωC (S)
Reattanza capacitiva:
XC =
(14)
(15)
1
I = XC I
Con i valori efficaci: U =
ωC
utilizzando la rappresentazione fasoriale:
_
_
U = U ∠0 (Volt)
_
(16)
_
I = I∠
π
I
(Ampere)
2
U
_
_
I = jω C U
_
1 _
I
U =−j
ωC
(17)
(18)
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26
EQUAZIONI COSTITUTIVE DEI COMPONENTI
ELEMENTARI
1. Resistore:
9 equazione costitutiva in c.a.: u( t ) = Ri ( t )
9 equazione costitutiva in c.c. : U = RI
i(t)
u(t)
2. Induttore
di ( t ) dΦ ( t )
=
dt
dt
9 equazione costitutiva in c.c. La corrente I non varia e
la tensione U=0.
L’induttore equivale ad un interruttore chiuso o ad una
resistenza di valore nullo.
9 equazione costitutiva in c.a. u( t ) = L
i(t)
u(t)
N.B. Φ=LI (Weber)
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27
3. Capacitore
du( t ) dq( t )
=
dt
dt
9 equazione costitutiva in c.c.: La tensione non varia
nel tempo e la corrente è sempre nulla. Il capacitore
equivale ad un interruttore aperto o ad una resistenza di
valore infinito.
9 equazione costitutiva in c.a.: i ( t ) = C
i(t)
u(t)
N.B. Q=CV:quantità di carica (Coulomb)
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28
Fra i componenti elementari principali esistono altre tre
categorie:
1. Trasformatore ideale
2. Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in
tensione)
3. Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in
tensione)
Trasformatore ideale
U1
⎧u1 = nu 2
⎪
⎨
1
i
i2
=
−
⎪⎩ 1
n
U2
(4) 1-1’ = morsetti primari; 2-2’ = morsetti secondari
n = rapporto di trasformazione (è un numero reale)
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29
La potenza istantanea p1(t) è data dalla seguente relazione:
1
p1 (t ) = u1i1 = − nu 2 i2 = −u 2 i2 = − p 2 (t )
(5)
n
essendo :
p2 (t ) = u 2 i2
La relazione (5) indica che:
9 il trasformatore è trasparente alle potenze (potenza in
ingresso pari alla potenza in uscita), mentre
9 variano tensioni e correnti, che hanno valori in
ingresso e in uscita in proporzione mutuamente
inversa.
⎯→ u1 > u 2 : trasformat ore − abbassator e
Se n > 1 ⎯
Se n < 1 ⎯
⎯→ u 1 < u 2 : trasformat ore − elevatore
Se n = 1 ⎯
⎯→ u1 = u2 : trasformat ore di isolamento
Il trasformatore di isolamento (n=1) viene utilizzato per
separare una parte del circuito da un’altra per motivi
principalmente dovuti alla sicurezza elettrica.
Essendo p1 (t ) = u1i1 = −u 2 i2 = − p2 (t ) la potenza assorbita
dal doppio bipolo è p (t ) = u1i1 − u 2 i2 = 0 , ossia la potenza
entrante è uguale a quella uscente. In base a queste
considerazioni risulta che: il trasformatore ideale è un
elemento passivo e non dissipativo, non è dotato di stato,
in quanto sia le tensioni che le correnti primarie e
secondarie sono legate da relazioni algebriche e non
differenziali (non ci sono derivate temporali, quindi non si
può parlare né di condizioni iniziali, né di variabili di stato).
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30
La base di definizione è mista: (u1;i2) o (u2;i1). Questo
quadripolo ideale è utile per modellare componenti reali.
Generatore ideale di tensione controllato
9 Generatore di tensione pilotato in corrente
(CCVS: Current Controlled Voltage Source)
k [Ω ]
I
transimpedenza
kI
9 Generatore di tensione pilotato in tensione
(VCVS: Voltage Controlled Voltage Source)
β [ad ]
U
βU
Altro simbolo previsto dalle norme:
+
-
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31
Generatore ideale di corrente controllato
9 Generatore di corrente pilotato in corrente
(CCCS:Current Controlled Current Source)
α [ad ]
I
αI
9 Generatore di corrente pilotato in tensione
(VCCS: Voltage Controlled Current Source)
g [Siemens
U
]
transammettenza
gU
Altro simbolo previsto dalle norme:
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32
BIPOLO RLC
UR
UL
UC
U
U AB = U R + U L + U C
(1)
U AB = R I + jX L I − jX C I = [R + j ( X L − X C )] I
Introducendo il concetto di impedenza avremo:
(2)
U AB = Z& I (N.B. Z& è un operatore complesso)
(3)
2
Z& = Z∠ϕ ⎯
⎯→ Z = R 2 + ( X L − X C ) modulo di Z& (4)
X − XC
ϕ Z = arctan L
argomento di Z& (5)
R
R = Z cosϕz
(6)
X = Z sinϕz= R tanϕz (7)
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33
• Se XL-XC >0 prevale il fenomeno induttivo e la
corrente è in ritardo rispetto alla tensione
• Se XL-XC <0 prevale il fenomeno capacitivo e la
corrente è in anticipo rispetto alla tensione
U
Ammettenza
1
Y& = = G + jB ; (8)
Z&
Y& = Y∠ϕ Y
G = conduttanza (Siemens)
B = suscettanza (Siemens)
(con notazione fasoriale)
ATTENZIONE:
Y& =
Y=
1
R − jX
R
X
j
= 2
=
−
≠
2
R + jX R + X 2 Z 2
Z
R2
Z
4
+
X2
Z
4
=
Z2
Z
4
=
1
Z
2
=
1
1
+j
R
X
1
Z
(9)
(10)
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34
X
2
X
X
Z
ϕY = arctan
= arctan− = − arctan = −ϕ
R
R
R
+ 2
Z
−
Quindi:
Y=
1
;
Z
ϕY = − ϕ Z
(11)
(12)
Analogamente a quanto fatto per le impedenze, si definisce
un triangolo delle ammettenze:
In regime sinusoidale due bipoli si dicono equivalenti se
presentano ai loro morsetti la stessa impedenza equivalente,
ossia il rapporto fra il fasore della tensione e quello della
corrente é lo stesso.
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35
_
U1
Z& 1 = _
I1
U1
U2
_
U2
Z& 2 = _
I2
_
_
_
_
_
_
Se U 1 = U 2 = U ⎯
⎯→ I 1 = I 2 = I ⎯
⎯→ Z& 1 = Z& 2
IMPEDENZE IN SERIE E IN PARALLELO
Come in corrente continua, valgono relazioni analoghe a
quelle viste per il partitore di tensione e di corrente
realizzati in regime permanente con i resistori.
•
•
•
•
•
9 Serie: Z eq = Z 1 + Z 2 + Z 3 + .... + Z n =
n
•
∑Z
(1)
i
i =1
U1
U2
_
Ui =
U3
•
_
Zi
n
Un
U
•
∑Z
(2)
i
i =1
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36
9 Parallelo:
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
Z& eq Z& 1 Z& 2 Z& 3
Z& n
(3)
Y&eq = Y&1 + Y&2 + Y&3 + ... + Y&n
(4)
_
_
_
_
_
I = I 1 + I 2 + I 3 + ... + I n
Y&i
_
Ii =
(5)
_
I
n
∑ Y&
(6)
i
i =1
Nel caso particolare di due sole impedenze in parallelo
avremo:
(7)
•
I1 =
•
Z2
_
•
Y1
_
•
Z1 + Z 2
I=
•
U
•
•
Z eq =
•
Z1
•
I
Y2
_
•
Z1 + Z 2
I=
•
_
•
Y1 + Y2
I
•
Z1 * Z 2
•
I2 =
•
Y1 + Y2
•
_
_
•
Z1 + Z 2
(8)
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37
POTENZA ISTANTANEA IN UN BIPOLO
Se si alimenta un bipolo passivo in
regime sinusoidale le tensioni e le
correnti relative saranno:
u( t ) = U M sin ωt
i ( t ) = I M sin(ωt − ϕ )
i(t)
u(t)
I
ϕ
U
Si definisce potenza istantanea p(t):
p( t ) = u( t )i ( t ) = U M I M sin ωt sin(ωt − ϕ )
essendo sinα sin β = −
=
(1)
1
[cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
1
[cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
UM IM
U I
cos ϕ − M M cos(2ωt − ϕ ) =
2
2
U I
U I
= M M cos ϕ − M M cos(2ωt − ϕ ) =
2 2
2 2
π⎞
⎛
= UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟
2⎠
⎝
π⎞
⎛
essendo: − cos α = sin⎜ α − ⎟
2⎠
⎝
(2)
p( t ) =
(3)
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(4)
38
•
UI cos ϕ : é costante e coincide con il valor medio
della potenza istantanea p(t) nel semiperiodo, essa é
la potenza attiva o reale e cos ϕ è il fattore di potenza.
La potenza attiva si indica con P. Si ha:
P ≥ 0 per
P < 0 per
•
−
π
π
2
2
≤ϕ ≤
<ϕ <
π
2
3π
2
π⎞
⎛
UI sin⎜ 2πt − ϕ − ⎟ è la potenza fluttuante di
2⎠
⎝
pulsazione doppia 2ω rispetto alla potenza attiva.
Questo termine non da contributo di potenza attiva.
POTENZA ATTIVA, REATTIVA, APPARENTE E
COMPLESSA
Potenza attiva
P = UI cos ϕ
[Watt ] [W ]
(1)
Potenza reattiva Q = UI sin ϕ [VAR] o
[VoltAmpereReattivi]
(2)
Potenza apparente S = UI [VoltAmpere] [VA]
(3)
_ _∗
Potenza complessa S& = P + jQ = U I
[VA]
(4)
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39
Dimostrazione:
i(t)
Z& = R + jX = Z& e jϕ
_∗
_
⎯→ I = Ie − jϕ
Se I = Ie jϕ ⎯
I
u(t)
_
I
_
allora U = Z& I = ( ZI )e jϕ e jϕ I
S& = P + jQ = UI ∗ = ( Ue jϕ e jϕ I )Ie − jϕ = UIe jϕ
=UI cos ϕ + jUI sin ϕ
Altre relazioni utili:
S = P 2 + Q 2 = U 2 I 2 cos 2 ϕ + U 2 I 2 sin 2 ϕ = UI
P
P = UI cos ϕ = S cos ϕ ⎯
⎯→ S =
cos ϕ
Q
Q = UI sin ϕ = S sin ϕ ⎯
⎯→ S =
sin ϕ
Q = P tan ϕ
_
(5)
(6)
(7)
(8)
_
I cos ϕ
U
ϕ
_
I
_
I sin ϕ
Il grafico si riferisce alla ipotesi
di carico ohmico-induttivo
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40
La potenza attiva P = VI cos ϕ sarà il prodotto della
tensione per la componente della corrente nella direzione
_
della tensione: I cos ϕ
La potenza reattiva Q = VI sin ϕ sarà il prodotto della
tensione per la componente della corrente nella direzione
_
perpendicolare (o in quadratura) alla tensione: I sin ϕ
Analogamente a quanto fatto per impedenze e ammettenze
si definisce un triangolo delle potenze:
S
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41
Potenze istantanea, attiva, reattiva e apparente nel caso si
bipoli puramente resistivi, induttivi o capacitivi.
1. Potenze in un bipolo puramente resistivo
Se il bipolo è resistivo non c’è sfasamento fra tensione e
corrente:ϕ=0
(9)
π⎞
π⎞
⎛
⎛
p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI + UI sin⎜ 2ωt − ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
T
P=
∫
0
U2
p( t )dt = UI cos ϕ = RI =
R
2
Q = UI sin ϕ = UI sin 0 = 0 ⎯
⎯→ S = P
(10)
(11)
2. Potenze in un bipolo puramente induttivo
Se il bipolo è induttivo lo sfasamento fra tensione e
corrente: ϕ =
π
(12)
2
π⎞
⎛
p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI ⋅ 0 + UI sin(2ωt − π )
2⎠
⎝
T
P=
∫ p( t )dt = UI cos ϕ = 0
(13)
0
U2
Q = UI sin ϕ = UI sin = UI = ωLI =
→ S = Q L (14)
ωL
2
π
2
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42
3. Potenze in un bipolo puramente capacitivo
Se il bipolo è capacitivo lo sfasamento fra tensione e
corrente: ϕ = −
π
(15)
2
π⎞
⎛
p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI ⋅ 0 + UI sin(2ωt )
2⎠
⎝
T
P=
∫ p( t )dt = UI cos ϕ = 0
0
Q = UI sin ϕ = UI sin−
π
2
= −UI = −
(16)
1 2
I = ωCU 2 → S = QC
ωC
(17)
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43
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44
GENERATORI REALI
Generatore reale di tensione.
Può essere simulato con un generatore ideale di tensione
con in serie l’impedenza interna.
Generatore reale di corrente.
Può essere simulato con un generatore ideale di corrente
con in parallelo l’ammettenza interna.
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45
_
_
_
•
J = E Yi =
E
•
Zi
è la relazione che consente di passare da un generatore di
tensione a un generatore di corrente equivalente o
viceversa, in base ai teoremi di Thevenin e Norton.
CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI
POTENZA
U
•
Z i = Ri + jX i
(1)
Z = R + jX
(2)
•
_
_
I=
E
•
•
(3)
Zi + Z
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46
La potenza trasferita dalla resistenza al carico sarà:
E2
2
Pu = RI = R
( R + Ri )2 + ( X + X i )2
(4)
Tale potenza sarà massima per:
•
•
∗
R = Ri
e per X = − X i ossia per Z = Z i
Per dimostrarlo basta esprimere Pu in funzione di R
considerando costante X, e poi in funzione di X
considerando costante R, derivare le due espressioni e
quindi uguagliarle a zero.
dPu
con X = cost
=0⎯
⎯→ R = Ri
dR
dPu
=0⎯
⎯→ X = − X i con R = cost
dX
Il rendimento complessivo η sarà ridotto del 50%:
potenza utilizzata Pu
RI 2
=
=
η=
potenza erogata
Pe 2 RI 2
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47
TEOREMA DI TELLEGEN
•
_ _
S = P + jQ = U I* è la potenza complessa.
Per una rete lineare in regime sinusoidale vale il teorema di
Tellegen secondo il quale:
l
_ _∗
l
l
_
∑ U I =∑ (P + jQ ) = 0 ⎯⎯→ ∑ S
i
i =1
i
i =1
i
=0
(1)
i =1
Poiché deve essere valida la (1) sarà:
l
∑P =0
i
i =1
l
∑Q
i
=0
(2)
i =1
Le relazioni (2) esprimono il teorema di conservazione
della potenza attiva e reattiva, chiamato Teorema di
Boucherot.
Separando i generatori dagli altri bipoli elementari passivi,
il teorema di Tellegen può essere così enunciato:
la somma delle potenze attive (o reattive) generate deve
essere uguale alla somma delle potenze attive (o reattive)
assorbite.
Con l sono stati indicati i lati della rete a cui è associato un
grafo con l lati orientati.
In altre parole il teorema mostra come il vettore delle
tensioni e delle correnti sono fra loro ortogonali, infatti se
_ _
_
_
U I * = 0 , allora i vettori U e I* sono ortogonali.
Il teorema di Tellegen è una delle espressioni del principio
di conservazione dell’energia, da esso discende che la
somma delle potenze attive (reattive) erogate è uguale alla
somma delle potenze attive (reattive) assorbite.
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48
Applicazione del TEOREMA DI BOUCHEROT
U1
U2
U 1 = tensione ai morsetti dell’alimentazione
U 2 = tensione ai morsetti dell’utilizzatore
P1 = potenza attiva erogata
Q1= potenza reattiva erogata
P2 = potenza attiva assorbita dall’utilizzatore
Q2= potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore
PR = potenza attiva assorbita dalla linea
QX= potenza reattiva assorbita dalla linea
P1 = PR + P2 = RI 2 + P2
Q1 = Q X + Q2 = X L I 2 + Q2
S2
=I
U2
S
2
2
⎯→ U 1 = 1
Da cui S 1 = P1 + Q1 = U 1 I 1 ⎯
I
Lo sfasamento fra U1 e I1 è dato da :
Q
ϕ 1 = arctan 1
P1
2
2
⎯→ I 2 =
Poiché S 2 = P2 + Q2 = U 2 I 2 ⎯
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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49
ANALOGIE FRA I METODI DI RISOLUZIONE DELLE
RETI IN REGIME CONTINUO E SINUSOIDALE
La risoluzione delle reti sinusoidali è basata sui teoremi
visti per le reti in corrente continua, valgono quindi:
9 La legge di Ohm
9 Il principio di sovrapposizione degli effetti
9 I teoremi di Thevenin e Norton
9 Il metodo di risoluzione delle correnti di maglia
9 Il metodo di risoluzione dei potenziali di nodo
9 Il teorema di Millman.
Quindi le espressioni analitiche delle leggi, teoremi e
principi sono generalmente analoghe a quelle valide per il
regime permanente, basta far corrispondere le grandezze
corrispondenti secondo il seguente schema:
grandezze in
corrente continua
corrente alternata
U tensione
I corrente
R resistenza
G conduttanza
U tensione
I corrente
•
Z impedenza
•
Y ammettenza
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