I principi della dinamica
Analizziamo ora la dinamica, cioè quella parte della fisica che studia il moto dei corpi prendendo in
considerazione le cause che lo generano.
Ricordiamo che la parte appena studiata è la cinematica cioè la parte della fisica che studia il moto
dei corpi indipendentemente dalle cause che lo generano.
Riprendiamo alcune considerazioni già affrontate.
Le forze rappresentano l’aspetto della fisica con cui ci troviamo a dover interagire in ogni istante
durante le nostre azioni quotidiane. Un semplice gesto può essere spiegato come l’attivazione di
interazioni tra il soggetto e l’oggetto dell’azione.
L’accelerazione di un corpo è definita come la capacità che esso ha di far variare la propria velocità,
oppure rapporta tra la variazione di velocità in un determinato intervallo di tempo.
Osservazione
Se l’accelerazione è nulla deve risultare che la velocità finale deve essere uguale alla
velocità iniziale.
Nel caso che l’accelerazione sia costante (cioè non vari nel tempo) questo porta a concludere
che la velocità vari nel tempo.
Torniamo a considerare il legame tra accelerazione e velocità.
Osservazione importante: se non c’è accelerazione la velocità di un corpo non varia.
Consideriamo quindi un corpo in quiete, cioè con velocità iniziale nulla. Se ad un certo punto
esercitiamo su di esso un’azione, possiamo ottenere due risultati
il corpo si deforma;
il corpo si muove;
nell’ultimo caso se consideriamo l’intervallo di tempo in cui il corpo dalla velocità nulla passa alla
velocità finale (che corrisponde all’istante in cui la forza smette di esercitare la sua azione),
abbiamo una variazione di velocità quindi la presenza di un’accelerazione.
La causa genera l’accelerazione è l’azione compiuta sul corpo.
Pertanto la presenza di una forza è legata alla presenza di un’accelerazione.
Viceversa, se consideriamo un corpo fermo che inizia ad accelerare necessariamente ci deve essere
la presenza di un’azione che esercita una forza sul corpo.
Quindi la presenza di un a forza è legata ad un’accelerazione.
Forza “” Accelerazione
Viceversa la presenza di un’accelerazione è legata ad una forza.
Accelerazione “” Forza
Si deduce quindi che queste due grandezze sono legate tra loro, anzi sono direttamente
proporzionali, poiché l’esperienza mostra che all’aumentare della forza esercitata su un corpo
aumenta anche la sua accelerazione.
Inoltre è possibile osservare che se imprimiamo la medesima forza su due corpi di massa diversa,
l’accelerazione dipende anche dalle masse, in particolare all’aumentare della massa a parità di
forza, l’accelerazione diminuisce.
Quindi la forza è:
direttamente proporzionale all’accelerazione;
inversamente proporzionale alla massa.
Possiamo quindi enunciare alcuni risultati.
Iniziamo con il caso in cui su un corpo non agisca nessuna forza.
Primo principio della dinamica o principio d’inerzia
Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga
una forza esterna a modificarne il suo stato.
Osservazione
Le possibilità per il moto di un corpo in assenza di forze sono due:
la quiete;
moto rettilineo uniforme.
Poiché nel primo principio della dinamica non compare la forza, che è la causa in grado di
modificare la velocità di un corpo, il corpo non subisce un’accelerazione, pertanto le alternative
possibili in assenza di accelerazione sono moto rettilineo uniforme o la quiete.
Deve essere precisato che in assenza di forze nel moto rettilineo uniforme anche la direzione non
subisce variazioni quindi la traiettoria è data sempre dalla stessa direzione. Pertanto senza la
presenza di una forza un corpo non può nemmeno cambiare la propria traiettoria.
Osservazione
Il moto possibile per un corpo posto in un luogo in cui non subisca l’influenza di alcuna forza è la
quiete o il moto rettilineo uniforme, cioè:
se un corpo è fermo e non subisce alcuna forza esso non è in grado di mettersi in moto
se un corpo si muove si moto rettilineo uniforme esso non è in grado di modificare né la
velocità ne la traiettoria.
Ricordiamo che l’enunciato si chiama anche principio di inerzia poiché come vedremo tra breve la
definizione di sistema di riferimento inerziale è legata a questi due tipi di moto.
Nel caso in cui su un corpo agisca una forza abbiamo visto che per esso è possibile modificare la
velocità e la traiettoria (vedi moto circolare uniforme)
Secondo principio della dinamica
La forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale all’accelerazione e alla massa.
r
r
F = ma
L’unità di misura della forza è il Newton:
[F ] = [ma] = kg m2 = 1N
s
Definizione: una forza ha l’intensità di un newton se imprime ad un corpo di massa 1 kg
un’accelerazione di 1 m
s2
.
La relazione precedente può essere scritta in due modi:
r
r
F = ma
notazione vettoriale
notazione scalare
F = ma
Che relazione c’è tra le due?
La prima si occupa di fare un bilancio tra le forze agenti e l’accelerazione risultante considerando
direzione e verso delle forze.
La seconda si occupa di fare un bilancio tra le forze agenti e l’accelerazione risultante dal punto di
vista delle intensità.
Per impostare i problemi sulle forze la prima è necessaria per impostare l’equazione scalare da
risolvere.
Dalla prima infatti è possibile ricavare la scomposizione della forze per utilizzare le componenti
ottenute per impostare l‘equazione scalare.
Il diagramma della forze
Supponiamo di avere un sistema di più forze vogliamo stabilire un criterio per impostare
l’equazione scalare da poter risolvere per il sistema di forze assegnato.
Definizione: dati più valori g1 , g 2 ,...g n di una stessa grandezza si definisce somma di tali valori e la
si indica con
∑g = g
1
+ g 2 + ... + g n .
Osservazione
La sommatoria di valori si indica con il simbolo
∑
La sommatoria di un certo numero di forze agente su un corpo si indica con
anche risultante delle forze agenti su un corpo.
Consideriamo un sistema di vettori.
v2
v1
v3
∑f
e viene detta
Rappresentiamo i vettori in un piano cartesiano.
y
v2
v1
x
v3
Applichiamo i vettori nell’origine
y
v2
v1
x
v3
Scomponiamo i vettori secondo componente orizzontale e componente verticale
y
Diagramma delle forze
v2 y
v1 y
v3 x
v2 x
v1x
v3 y
x
Le componenti orizzontali appartengono tutte all’asse x mentre le componenti verticali
appartengono tutte all’asse y, possiamo quindi sommare tra loro le componenti corrispondenti.
La componente risultante lungo l’asse x è data da:
∑v
x
= v1x + v2 x + v3 x
La componente risultante lungo l’asse y è data da:
∑v
y
= v1 y + v2 y + v3 y
La risultante dell’intensità è da
Mentre il vettore risultante
∑ v = (∑ v ) + (∑ v )
2
x
r
∑v
2
y
si ottiene tramite la regola del parallelogramma applicata al
sistema di vettori.
Per calcolare le componenti dobbiamo considerare l’angolo formato dal vettore con l’asse delle x
adottando la convenzione già vista per il moto circolare uniforme per cui gli angoli si misurano a
partire dal semiasse positivo delle ascisse sino a giungere al vettore considerato descrivendo archi di
circonferenza in senso antiorario.
Per cui detti α1 , α 2 , α 3 gli angoli formati con il semiasse positivo dai vettori v1 , v2 , v3 si ha:
v1x = v1 cos(α1 )
v1 y = v1 sin (α1 )
v2 x = v2 cos(α 2 )
v2 y = v2 sin (α 2 )
v3 x = v3 cos(α 3 )
v3 y = v3 sin (α 3 )
Osservazione
L’orientamento degli assi (semiasse positivo e semiasse negativo) permette di determinare
l’orientamento (e quindi il segno) per le componenti verticali e orizzontali quindi permette di
stabilire se esse vanno sommate o sottratte tra loro.
Esempio
Calcolare al risultante delle seguenti forze
y
v2
v1
x
v1 = 10 N , α1 = 50°
v2 = 4 N , α 2 = 165°
Scomponiamo i vettori secondo componente orizzontale e componente verticale
y
r
v1
v1 y
r
v2
v2 y
v2 x
v1x = 10 cos(50 ) = 6,43
v1 y = 10 sin (50 ) = 7,67
v2 x = 4 cos(165) = −3,86
v2 y = 4 sin (165) = 1,04
v1x
x
Da cui si ottiene
vx = 6,43 − 3,86 = 2,57 le componenti vanno sottratte poiché hanno versi opposti
v y = 7,67 + 1,04 = 8,71 le componenti vanno sommate poiché hanno stesso verso
v = vx2 + v y2 = 2,57 2 + 8,712 = 82,469 = 9,08
Osservazione
Un sistema isolato tende sempre ad una situazione di equilibrio in cui le variabili che lo descrivono
assumono nel tempo valori costanti. Inoltre ad ogni sollecitazione il sistema oppone resistenza e
tende a tornare alla situazione d equilibrio predente. La prima legge della dinamica afferma che in
assenza di forze un corpo rimane in quiete oppure si muove di moto rettilineo uniforme.
Nella formula F = ma a parità di forza impressa la massa determina l’accelerazione. Al crescere
del valore della massa l’accelerazione impressa diminuisce si descrive questo fatto affermando che
la massa costituisce una misura di una proprietà dei corpi detta inerzia che descrive la resistenza
che i corpi oppongono alla variazione del proprio stato di moto.
L’attrito
Il diagramma delle forze introdotto in precedenza descrive le forze agenti su un corpo in assenza di
attrito.
Definizione: si definisce attrito (o forza d'attrito) una dissipativa che si esercita tra due superfici a
contatto tra loro e si oppone al loro moto.
La forza d'attrito che si manifesta tra superfici in quiete tra loro è detta di attrito statico, tra superfici
in moto si parla invece di attrito dinamico.
Esistono tre diversi tipi di attrito:
attrito radente: dovuto allo strisciamento (due superfici piane a contatto tra loro);
attrito volvente: dovuto al rotolamento (un oggetto sferico che rotola su una superficie
piana);
attrito viscoso: relativo a un corpo immerso in un fluido (oppure una parte di fluido in
movimento con velocità diversa considerata all’interno di un fluido che al contiene).
L'attrito è dovuto soprattutto a fenomeni di adesione tra le molecole che compongono le superfici a
contatto.
Osservazione
Gli effetti dell'attrito volvente sono in generale molto minori rispetto a quelli dovuti all'attrito
radente.
Consideriamo un corpo appoggiato su una superficie. Poiché l’attrito manifesta la sua azione grazie
al contatto del corpo con la superficie la forza che determina la forza di attrito è la forza peso,
poiché essa determina lo schiacciamento del corpo sul piano del moto e come osservato in
precedenza dal momento che l'attrito è dovuto a fenomeni di adesione tra le molecole che
compongono le superfici a contatto maggiore sarà l’aderenza tra le superfici, maggiore è l’attrito
risultante.
Per descrivere l’attrito risultate tra materiali diversi posti a contatto si utilizza un coefficiente di
attrito statico per i corpi fermi (per essere messi in movimento si deve vincere la forza di attrito
statico) e dinamico per i corpi in movimento (in questo caso l’attrito rappresenta l’opposizione al
moto).
Osservazione
Nel caso di un oggetto appoggiato su
1) Piano orizzontale
un piano orizzontale lo schiacciamento
del corpo è determinato dalla totalità
F1
dell’intensità della forza peso, la forza
di attrito sarà data allora dalla relazione
Fa = µFp
Fp
Dove µ rappresenta il coefficiente di attrito statico o dinamico tra i materiali posti a contatto.
L’equazione del moto per un corpo trascinato da una forza orizzontale F1 in presenza di attrito è:
F = ma
F1 − µFp = ma
2) Piano inclinato
Nel caso di un oggetto appoggiato su un piano
inclinato
lo schiacciamento del corpo è
determinato dalla componente della forza peso
F//
che determina lo schiacciamento sul piano del
moto. La forza peso determina in questo caso
F⊥
Fp
il moto con la componente parallela al piano di
scorrimento e lo schiacciamento con la
componente perpendicolare al piano del moto.
L’equazione del moto diventa
La forza di attrito sarà dalla allora dalla
relazione Fa = µF⊥ .
F = ma
F// − µF⊥ = ma
In un piano inclinato quindi la forza peso si scompone in:
F// , componente parallela al piano del moto: ha la stessa direzione dello spostamento, quindi
è la forza attiva responsabile del moto;
F⊥ , componente perpendicolare al piano del moto: ha direzione perpendicolare allo
spostamento quindi non modifica la velocità del corpo, nel caso di attrito tra il piano e il
corpo determina la forza di attrito (è responsabile dell’aderenza dei due corpi).
Possiamo descrivere il piano inclinato utilizzando grandezze geometriche (altezza, base,
lunghezza):
l
h
b
Ricordando che la forza peso è data dalla formula Fp = mg
Possiamo scrivere F// e F⊥ utilizzando l’langolo di inclinazione del piano oppure le grandezze
geometriche:
Angolo di inclinazione
Forza parallela
F// = Fp sin (α )
Forza perpendicolare
F⊥ = Fp cos(α )
Grandezze geometriche
F// =
h
Fp
l
F⊥ =
b
Fp
l
Sistemi di riferimento inerziali
Come abbiamo già visto non esiste il moto assoluto, c’è sempre bisogno di un sistema di
riferimento per individuare il tipo di moto di un corpo.
È possibile infatti che un corpo sia in moto rispetto un riferimento e che lo stesso corpo sia in quiete
rispetto un altro riferimento.
Esempio
Dato un treno su cui si considero un passeggero seduto ed una valigia.
Allora si ha:
la valigia è in quiete rispetto al passeggero;
la valigia è in moto rispetto un passaggio a livello in cui transita il treno.
Definizione: un sistema di riferimento si definisce inerziale se per tale riferimento è valido il primo
principio della dinamica.
Il fine che abbiamo è di individuare in quale condizioni le leggi della dinamica che governano il
moto dei corpi sono valide per un sistema di riferimento. Si può dimostrare che i principi della
dinamica valgono soltanto rispetto ai sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo
uniforme.
Osservazione
Con un’accettabile approssimazione possiamo considerare le stelle lontanissime dal sole come stelle
fisse rispetto al moto del sistema solare. Allora possiamo considerare il sistema di riferimento delle
stelle fisse la cui origine è in una di queste stelle e i cui assi sono orientati utilizzando le sempre le
stelle fisse.
Tale sistema di riferimento viene considerato inerziale quindi ogni altro sistema di riferimento che
si muova di moto rettilineo uniforme o che sia in quiete rispetto ad esso è inerziale.
Un sistema di riferimento per essere inerziale non deve né accelerare né ruotare rispetto ad un
sistema di riferimento inerziale.
Dunque, le leggi fondamentali della dinamica sono valide in un sistema di riferimento che si muove
di moto rettilineo uniforme (o che è in quiete) rispetto ad un sistema inerziale.
Un sistema non è inerziale quando ruota o varia di velocità in intensità e direzione rispetto un
sistema di riferimento inerziale. In questo caso infatti su un corpo, oltre alle accelerazioni impresse
dalle forze applicate all’interno del sistema, si manifestano delle accelerazioni dovute alle
variazioni di velocità in intensità e direzione del sistema rispetto ad un o inerziale. Queste
accelerazioni sono dovute all’esistenza di forze dette apparenti perché nessun ente fisico è
responsabile di tali forze.
Osservazione
Su un corpo in un sistema che ruota rispetto un sistema inerziale oltre alle accelerazioni impresse
dalle forze applicate all’interno del sistema si nota la presenza di forza centripeta.
Su un corpo in un sistema che accelera rispetto un sistema inerziale oltre alle accelerazioni impresse
dalle forze applicate all’interno del sistema si nota la presenza di un’ulteriore forza.
Definizione: si definisce forza apparente la forza che agisce su un corpo in moto in un sistema di
riferimento non inerziale dovuta proprio al moto del sistema di riferimento non
inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale.
Osservazione
La terra rispetto al sistema di riferimento delle stelle fisse è (con buona approssimazione) un
sistema di riferimento inerziale.
Terzo principio della dinamica (principio di azione e reazione)
Se un corpo A esercita una forza f su un corpo B, allora il corpo B esercita una forza –f (uguale e
contraria) sul corpo A.
Osservazione
Tale principio afferma che un sistema che subisce una sollecitazione esercita un’azione che tenta di
opporsi alla modifica che la forza esterna tenta di imprimere.
Approfondimento
1) Forza centripeta
Consideriamo un moto circolare. Abbiamo visto che è presente un’accelerazione centripeta, cioè
che fa incurvare la traiettoria verso l’interno della circonferenza.
Dalla relazione
r
r
F = ma
Si deduce che nel moto circolare è presente una forza centripeta che, ricordando l’espressione
v2
a = , si può scrivere:
R
F = m⋅
v2
R
Per un’auto che affronta una curva la forza di coesione della macchina con l’asfalto è rappresentata
dalla forza di contatto tra il pneumatico e il fondo stradale, ma tale forza è l’attrito.
Quindi una macchina che affronta una curva la può superare senza uscire di strada se la sua velocità
è tale che la forza centripeta viene bilanciata dalla forza di attrito, cioè:
Fa = m ⋅
v2
R
La forza di attrito però non può crescere indefinitamente al crescere di velocità, infatti il suo valore
limite coincide con la forza di attrito massima che può essere sviluppata dalla massa dell’auto:
Fa ,max = µFp = µmg
Il valore massimo che può assumere la forza centripeta senza che il corpo esca dalla traiettoria
circolare coincide con il valore massimo possibile per la forza di attrito, quindi:
Fc = Fa ,max
m⋅
v2
= µmg
R
Da cui si ricava
vmax = Rµg
Che rappresenta il valore massimo con cui si può percorrere la curva, oltre tale valore l’attrito non
bilancia più la forza centripeta e il corpo non è più vincolato al centro dalla forza centripeta e viene
spinto oltre la propria traiettoria all’esterno.
2) Il pendolo semplice
Definizione: si definisce pendolo semplice un sistema costituito da un filo inestensibile e da una
massa m fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale.
Consideriamo un pendolo semplice e scomponiamo la forza peso agente sulla massa m.
ϑ
l
F⊥ = mg sin ϑ
ϑ
F|| = mg cos ϑ
F p = mg
Lungo il filo l è presente una tensione T , la reazione alla componente F|| = mg cos ϑ che tenderebbe
a far allontanare la massa cha in questo modo risulta vincolata a muoversi lungo una traiettoria
circolare ben precisa determinata appunto dalla lunghezza l del filo.
Osserviamo che:
F|| = mg cos ϑ è perpendicolare alla traiettoria, quindi non modifica la velocità
F⊥ = mg sin ϑ è tangente alla traiettoria pertanto modifica la velocità ed è l’unica causa del
moto.
F⊥ inoltre in ogni istante è diretta verso la normale al piano cui è vincolato il filo, pertanto
l’accelerazione tende sempre a far tornare il corpo al centro.
È possibile esprimere il periodo del pendolo tramite l’espressione
T = 2π
l
g
Osservazione: il periodo di oscillazione del pendolo non dipende dalla massa ma soltanto dalla
lunghezza del filo e dall’accelerazione di gravità
Inoltre poiché la frequenza è definita come il reciproco del periodo f =
f =
1
2π
g
l
1
, si ricava
T
3) Il sistema massa molla
La legge di Hooke che esprime la forza elastica è
r
r
F = − kx
dove k = costante elastica, x = spostamento
Vediamo di illustrare con un disegno il moto di una massa attaccata ad una molla.
Molla a riposo
Situazione
intermedia
Molla con estensione
massima
Situazione
intermedia
Molla a riposo
Pertanto se consideriamo positivo il verso per accelerazione e velocità il verso della retta reale,
abbiamo che
2)
v>0
a<0
3)
v=0
a max < 0,
4)
v<0
a>0
5)
v max < 0
a=0
Quindi non verificandosi mai contemporaneamente a=0, v=0 (tralasciando il momento iniziale del
moto), il corpo non si arresta mai nel suo moto oscillatorio (nel vuoto).
Ricordando che la seconda legge della dinamica afferma:
F = ma
dove m = massa, a = accelerazione
r
r
Il segno meno dell’equazione F = − kx si riferisce all’equazione vettoriale, quindi possiamo non
considerarlo quando passiamo all’equazione scalare.
Poiché le due equazioni esprimono entrambe una forza, significa che descrivono lo stessa azione
utilizzando grandezza diverse, pertanto i rispettivi secondi membri dovranno essere uguali tra loro:
ma = kx
da cui si ricava l’accelerazione per un corpo sottoposto all’azione di una forza elastica
a=
k
x
m
Inoltre si ricava che il periodo del sistema massa-molla è dato dall’espressione:
T = 2π
m
k
Inoltre poiché la frequenza è definita come il reciproco del periodo f =
f =
1
2π
k
m
1
, si ricava
T
