Le equazioni di Maxwell

LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Le Equazioni di Maxwell son un insieme di quattro equazioni abbastanza complicate che descrivono
in modo completo la Teoria dell’Elettromagnetismo, ovvero ci dicono come il campo elettrico ed il
campo magnetico sono legati alle loro sorgenti, interagiscono tra di loro e con la materia.
Per prima cosa possiamo dire che se abbiamo un campo vettoriale, esso è completamente
determinato una volta che ne abbiamo specificato le espressioni:
Ф: Flusso
Г: Circuitazione
Il Flusso indica “come questo campo varia nell’intorno di un punto”e quindi è collegato alle sorgenti
ed alle linee di forza di questo campo. La Circuitazione, invece, da una informazione su “come il
campo si avvolge intorno ad un punto”.
Specificando queste informazioni per il campo elettrico ed il campo magnetico possiamo studiarne
tutte le caratteristiche.
ρ QTOT
Cominciamo con il Teorema di Gauss per il campo elettrico: Φ s E =
( )
ε0
questa equazione mi dice che il flusso, attraverso una superficie chiusa S, del campo elettrico E è
uguale alla carica contenuta all’interno della superficie chiusa diviso ε0, costante dielettrica del
vuoto.
Il significato è che le cariche generano il campo elettrico e il campo elettrico esce dalla regione in cui
sono presenti le cariche (se positive) o entra nella regione in cui sono presenti le cariche (se
negative).
ρ
Il Teorema di Gauss per il campo magnetico: Φ S B = 0
()
questa equazione indica che il flusso, attraverso una superficie chiusa S, del campo magnetico è
uguale a zero.
Il significato di questa equazione è che in natura non è possibile isolare un monopolo magnetico, la
conseguenza di questo fatto è che il campo magnetico è solenoidale, ovvero le sue linee di forza
sono linee chiuse.
A questo punto possiamo ottenere l’equazione della circuitazione del campo elettrico:
ρ
ρ
d ΦS B
ΓL E = −
dt
( )
()
questa equazione ci che dice che la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa L, è
uguale a – la derivata prima rispetto al tempo del flusso, attraverso una superficie chiusa S, del
campo magnetico. Questa equazione indica che non solo le cariche sono sorgenti del campo
elettrico, ma anche i campi magnetici il cui flusso varia nel tempo. Quindi, è possibile generare un
campo elettrico anche in assenza di cariche elettriche laddove si trovi un campo magnetico B
variabile nel tempo che genera una variazione di flusso.
Un’equazione analoga possiamo scriverla per la circuitazione del campo magnetico lungo una linea
ρ
ρ
d ΦS E
chiusa L: ΓL B = µ 0 i + ε 0 µ 0
dt
()
( )
è uguale a μ0, permeabilità magnetica nel vuoto, per i, corrente elettrica concatenata al cammino
chiuso L, più un termine ε0 μ0 per la derivata prima rispetto al tempo del flusso, attraverso una
superficie chiusa S, del campo elettrico . Vediamo più nel dettaglio i termini di questa equazione:
il primo termine µ 0 i (Teorema di Ampère) ci dice che le sorgenti del campo magnetico sono le
ρ
d ΦS E
correnti , il secondo termine ε 0 µ 0
, che assume il nome di corrente di spostamento, non è
dt
in realtà una corrente ma un termine simmetrico rispetto a quello che abbiamo visto nel caso della
circuitazione del campo elettrico e che indica che per generare un campo magnetico è possibile
avere una variazione di flusso del campo elettrico nel tempo. Quindi, un campo elettrico che varia
nel tempo è in grado di generare un campo magnetico anche, eventualmente, in assenza di
corrente.
( )
Guardando queste quattro equazioni osserviamo che la natura ama la simmetria e che campo
magnetico e campo elettrico sono due aspetti della stessa entità: il campo elettromagnetico.
Una carica elettrica che si sposta in uno spazio è sorgente di un campo elettromagnetico.
Supponiamo di avere una carica che oscilla nello spazio, da una parte è sorgente di un campo
elettrico, dall’altra, poiché assimilabile ad una corrente elettrica, è sorgente di un campo magnetico.
Dalle Equazioni di Maxwell sappiamo che se abbiamo una variazione nel tempo del
campo elettrico questo darà un contributo di campo magnetico che a sua volta
varierà nel tempo rispecchiando la variazione di posizione della carica che si muove,
generando quindi una variazione nel tempo di flusso di campo magnetico che a sua
volta è sorgente del campo elettrico.
ρ
ρ
∆E → B
ρ ρ
∆B → E
Quindi, come in un processo a cascata, dalla sorgente si diparte un’onda elettromagnetica come
una bolla che trasporta l’informazione sulla variazione della posizione della carica nel tempo e nello
spazio e trasporta l’energia associata al campo elettromagnetico.
Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali, ovvero se indichiamo con un
vettore, come in figura, la direzione di propagazione dell’onda abbiamo che il campo
elettrico ed il campo magnetico sono perpendicolari tra di loro e alla direzione di
propagazione dell’onda. Questi tre vettori formano una terna cartesiana.
Inoltre, il modulo del campo elettrico e del campo magnetico sono legati. L’onda si propaga con una
velocità che è la velocità della luce nel vuoto: c = 3x108 m/s. E si ha: E = c x B.
A grande distanza dalla sorgente che ha generato l’onda elettromagnetica, l’onda si può
rappresentare come un’onda piana. Vediamo quali sono le caratteristiche di questa particolare
onda elettromagnetica.
Possiamo immaginare di congelare ad un certo istante di tempo la
forma dei campi elettrico e magnetico nello spazio. Possiamo vedere a
lato un diagramma del profilo spaziale dell’onda ad un certo istante di
tempo in cui nello spazio abbiamo rappresentato l’oscillazione del
campo elettrico (oscillazione sinusoidale) e l’oscillazione del campo
magnetico nel piano perpendicolare (anch’essa oscillazione
sinusoidale).
La caratteristica tipica di questa onda piana è la sua lunghezza d’onda
λ, ovvero la periodicità della sinusoide.
Ora immaginiamo quello che succede ad un istante di tempo successivo t+Δt, l’onda si sarà spostata
di una quantità nello spazio pari a c x Δt. Quindi è come se il diagramma precedente fosse traslato
rigidamente lungo l’asse delle x.
Immaginiamo invece di fermarci in un punto e osservare come varia l’ampiezza
del campo elettrico e del campo magnetico in quel punto al variare del tempo,
ovvero andiamo ad osservare il profilo temporale dell’onda piana.
Possiamo vedere un diagramma sul quale abbiamo riportato solo il valore del
campo elettrico che oscilla nel tempo con un andamento sinusoidale, il campo
magnetico in funzione del tempo avrà un analogo andamento. La caratteristica di
quest’onda è il periodo T.
Se volessimo rappresentare con un’equazione questo andamento sinusoidale, avremmo:
E = E 0 cos(kx − ωt )
Il campo elettrico è uguale all’ampiezza E 0 per una funzione oscillante cos(kx − ωt ) , dove
l’argomento presenta una componente spaziale kx , con k numero d’onda k =
propagazione, e una componente temporale ωt , con ω pulsazione ω =
2π
λ
e x direzione di
2π
e t tempo.
T
L’ampiezza E 0 può essere riportata sia
nel diagramma del profilo spaziale che in
quello temporale.
Per il campo magnetico varrà un’analoga equazione.
Entrambi i vettori campo elettrico e campo magnetico variano continuamente con la stessa legge
del moto armonico: essi aumentano insieme fino ad una valore massimo, si annullano nello stesso
istante e giungono, contemporaneamente ai valori minimi. Entrambi i campi oscillano in modo
concorde.
All’inizio del diciannovesimo secolo l’esperimento di Young aveva messo in evidenza la natura
ondulatoria della LUCE, senza sapere però quale fosse la sua natura. L’esistenza delle onde
elettromagnetiche fu teorizzata successivamente da James Clerk Maxwell nel 1861 e provata
sperimentalmente da Heinrich Rudolph Hertz in una serie di esperimenti compiuti tra il 1886 e il
1889. Grazie alla teorizzazione del modello ondulatorio fu possibile spiegare i fenomeni ottici di
base come la riflessione, la rifrazione e la dispersione della luce e quelli più complessi
dell’interferenza e della diffrazione della luce.
PROPRIETA’ DELLA LUCE
LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO
Che cosa hanno in comune il forno a microonde, i raggi X e la luce del Sole? Ciascuno di questi
elementi si basa sulle onde elettromagnetiche. Le onde elettromagnetiche hanno la caratteristica di
avere uno spettro di lunghezze d’onda e frequenza estremamente vario che copre 25 ordini di
grandezza.
Le proprietà della radiazione variano moltissimo all’interno di questo spettro. Ad esempio, abbiamo
nella regione tra 10 centimetri e 10 Km le onde radio, ovvero quelle che si utilizzano per la
comunicazione con la radio e la televisione. La caratteristica di queste onde è che per il trasporto
dell’informazione vengono modulate o in ampiezza o in frequenza (come sappiamo dalle bande di
trasmissione delle radio AM o FM) e, per via della dimensione della lunghezza d’onda, possono
superare ostacoli piuttosto grandi ma non enormi, infatti la radio presenta una bassa ricezione
quando ci troviamo in montagna poiché le onde devono attraversarle. Inoltre, le onde vengono più
o meno riflesse dalla ionosfera e quindi possono essere utilizzate per comunicazioni a distanza. Ad
esempio, la televisione ha delle onde di ampiezza dell’ordine di un metro, per questo necessitano di
ripetitori per trasmettere il segnale a grande distanza.
Nella regione dello spettro tra i 10 centimetri ed il millimetro abbiamo le microonde. Poiché tali
onde attraversano la ionosfera, possono essere utilizzate per le comunicazioni con i satelliti e sono
anche le stesse onde su cui si basano i sistemi di rilevamento radar ed il forno a microonde, perché
sono in grado di far vibrare le molecole polari presenti nei cibi e in questo modo creare
un’eccitazione termica ed un trasferimento di energia nel cibo che lo riscalda.
Nella regione tra i micron e i millimetri, troviamo la radiazione infrarossa che viene emessa dai
corpi caldi, ad esempio quella utilizzata dai termometri infrarossi per misurare la temperatura
corporea. Questo tipo di radiazione è quella che si utilizza nel telecomando della televisione.
Nella regione tra 400 e 700 nanometri abbiamo una regione dello spettro particolarmente
importante che è quella della luce visibile, cioè quella porzione dello spettro a cui il nostro occhio è
sensibile.
Per lunghezze d’onda più piccole e frequenze più elevate, tra 400 nanometri e 10 nanometri,
abbiamo la regione dello spettro dell’ultravioletto. In questa regione spettrale la radiazione è
responsabile di molte reazioni chimiche e anche della nostra abbronzatura quando ci esponiamo ai
raggi solari.
Per lunghezze d’onda inferiori ad un nanometro abbiamo i raggi X. Proprio perché la lunghezza
d’onda di questa radiazione è così piccola, essa viene assorbita molto poco dalla materia, in
particolare, viene assorbita da quegli elementi che hanno un numero atomico molto grande. Infatti,
i raggi X vengono utilizzati per fare le radiografie, perché attraversano gli strati molli del nostro
corpo ma vengono assorbiti dal calcio delle ossa.
A lunghezze d’onda inferiori al picometro (10 -12), troviamo la regione dei raggi γ, in questa regione
la radiazione è detta ionizzante, perché ha un’energia tale da “strappare” gli elettroni dagli
elementi, questo tipo di radiazione è quella utilizzata nella radioterapia e può essere emessa
durante i decadimenti radioattivi.
Per produrre onde elettromagnetiche su uno spettro così ampio servono delle sorgenti
estremamente diverse a seconda della regione spettrale che ci interessa. Ad esempio, nel caso delle
onde radio o delle onde tele possiamo avere la generazione, amplificazione o trasmissione di onde
attraverso antenne. La luce visibile o quella ultravioletta può essere generata da lampadine. La
radiazione X viene generata dagli atomi e in particolare si ha bisogno di macchinari molto grossi per
“costringere” gli atomi ad emettere raggi X o raggi γ, come gli acceleratori di particelle. Dunque
abbiamo visto come la radiazione elettromagnetica abbia caratteristiche diverse a seconda della
lunghezza d’onda e della regione spettrale considerata, ma comunque faccia parte in tutti gli aspetti
del mondo che ci circonda.