Esercizi sulle distribuzioni di probabilità.
- Quali sono i tre presupposti per poter applicare correttamente il modello di
distribuzione binomiale?
o i risultati possibili sono due eventi complementari e mutuamente esclusivi
o la probabilità di successo è costante nei diversi esperimenti
o i risultati dei diversi esperimenti sono indipendenti
rif. p 130
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- p. 148, n.10. Si consideri un gruppo di 7 soggetti (n=7); la probabilità che un
soggetto sia diabetico è 0,125.
o Le modalità di ordinamento sono 7!= 5040
o Possibili modalità di estrarre 4 soggetti da 7:
7! / (3! * 4!) = 5040 / (6*24) = 35 (rif. p 131)
o Probabilità che esattamente 2 soggetti siano diabetici
[7! / (2! * 5!)] * 0,1252 * (1-0,125) 5 = 21 * 0,015625 *0,512909 = 0,168
rif. p. 129 e segg.
o Probabilità che 4 soggetti siano diabetici
[7! / (4! * 3!)]*0,1254 * (1-0,125) 3 = 0,005724
rif. p. 129 e segg.
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- p. 148, n.11 Si estragga un campione di 10 soggetti (n=10); nella popolazione
da cui provengono la probabilità che un soggetto sia mancino è 0,098.
o Le modalità di ordinamento sono 10!= 3628800
o Possibili modalità di estrarre 4 soggetti da 10:
10! / (4! * 6!) = 3628800 / (24*720) = 210 (rif. p 131)
o Probabilità che esattamente 3 soggetti siano mancini
[10! / (3! * 7!)]*0,0983 * (1-0,098) 7 = 0,054866
o Probabilità che almeno 6 soggetti siano mancini
[10! / (6! * 4!)]*0,0986 * (1-0,098) 4 + [10! / (7! * 3!)]*0,0987 * (1-0,098) 3 +
[10! / (8! * 2!)]*0,0988 * (1-0,098) 2 + [10! / (9! * 1!)]*0,0989 * (1-0,098) 1 +
[10! / (10! * 0!)]*0,09810 * (1-0,098) 0 = 0,000131105
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o Probabilità che al massimo 2 soggetti siano mancini
[10! / (0! * 10!)]*0,0980 * (1-0,098) 10 + [10! / (1! * 9!)]*0,0981 * (1-0,098) 9 +
[10! / (2! * 8!)]*0,0982 * (1-0,098) 8 = 0,93321069
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Esercizio.•Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una
Gaussiana con media = 172,5 cm e deviazione standard =6,25 cm.•Qual è la
probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza
superiore a cm 190?
•U = (190 – 172,5) / 6,25 = 2,8
•Da cui p= 0,00256
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•Esercizio.•Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una
Gaussiana con media = 172,5 cm e deviazione standard =6,25 cm.
•Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza
compresa tra cm 165 e 170?
Poichè entrambi i valori sono nella stessa metà della distribuzione posso
sottrarre la probabilità minore (corrispondente a p(h<165) dalla probabilità
maggiore (corrispondente a p(h<170))
p(h<170) - p(h<165) = p[(170-172,5)/6,25] - p[(165-172,5)/6,25]=
p(-0,4) - p(-1,2) = 0,345 - 0,115 = 0,2295
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•Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi
di altezza compresa tra cm 165 e 170?
p(A e B) = p(A) * p(B)
A e B sono uguali, quindi p(A e B) = p(A)^2
p(A e B) = 0,2295^2 = 0,0527
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Esercizi dal testo. La soluzione è riferita alla tabella A3, che riporta la coda
superiore della distribuzione normale standard
•P. 149 es. 17
o p(z>2,60) = 0,005
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o p(z<1,35) = 1-0,089 =0,911
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o p(-1,70<z<3,10) possiamo risolvere il problema come
= 1 - [p(z>3,10) + p(z<-1,70)] = 1 - p(z>3,10) - p(z<-1,70)
[togliamo dall'area totale le due code corrispondenti a z<-1,70 e z>3,1]
=1- 0,045 - 0,001 = 0,954
o z(0,15 nella coda superiore) = 1,04
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o z(0,20 nella coda inferiore)
dato che la tabella è riferita alla coda superiore debbo calcolare
z(0,20) e z'= -1*z(0,20)
= -1 * 0,84 = -0,84
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P. 149 es. 18
o p(PD<60 mmHg) = p[(60-77)/11,6] = p(-1,47) = 0,071
o p(PD>90 mmHg) = p[(90-77)/11,6] = p(1,12) = 0,113
o p(60<PD<90 mmHg) = 1 - p[(90-77)/11,6] - p[(60-77)/11,6] = 1 - 0,071 0,113 = 0,816
0,816
0,071
0,113
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•P. 149 es. 19
o p(Peso<130 libbre) = p[(130-172,2)/29,8] = p(- 1,42) = 0,079
o p(Peso>210 libbre) = p[(210-172,2)/ 29,8] = p(1,27) = 0,102
o p(130<Peso<210 libbre) = p[(210-172,2)/ 29,8] - p[(130-172,2)/29,8] =
1 - 0,079 - 0,102 = 1 - 0,181 = 0,819
o p(su 5 almeno 1 con peso non compreso in 130<w<210) =
1 - p(tutti con peso compreso in 130<w<210) =
1- [p(130<Peso<210 libbre)]5 = 1-0,81935 = 1 - 0,3692 = 0,6308
0,81935 corrisponde al calcolo binomiale di p(0 su 5)
= 5! / (0! * 5!) * (1- 0,8193)0 * 0,81935
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