Energia potenziale elettrica

Energia potenziale elettrica
L’ultima osservazione del capitolo precedente riguardava le analogie e le differenze tra il campo
elettrico e il campo gravitazionale prendendo in esame la forza di Coulomb e la legge di
gravitazione universale.
Vediamo ora di estendere al campo elettrico dei risultati già noti per il campo gravitazionale. In
particolare per il campo gravitazionale a suo tempo è stata introdotta una funzione di posizione:
l’energia potenziale. Tale forma di energia rappresenta l’energia che può essere utilizzata per
compiere lavoro da un corpo sotto l’azione di un campo gravitazionale.
Osservazione
La differenza tra energia potenziale gravitazionale ed energia potenziale elettrica è dovuta al fatto
che il campo gravitazionale ha azione soltanto attrattiva mentre quello elettrico ha azione attrattiva e
repulsiva e necessita di un’analisi più attenta.
Riprendiamo la definizione di lavoro compiuto da una forza.
Definizione: si definisce lavoro compiuto da una forza su un corpo il prodotto scalare
r r
L = F ⋅ s = Ls cos(a )
Dove α è l’angolo compreso tra al direzione della forza F e lo spostamento s.
È possibile formulare il lavoro del campo elettrico come segue.
Definizione: si definisce lavoro compiuto dal campo elettrico su una carica q il prodotto scalare tra
la forza elettrica che si instaura tra al carica che genera il campo elettrico e la carica q
per lo spostamento subito della carica q, cioè:
r r
L = F ⋅ s = Fs cos(a ) = qEs cos(α )
Dove α è l’angolo compreso tra la direzione del campo elettrico e lo spostamento s subito dalla
carica.
L’unità di misura del lavoro è il joule.
Osservazione
Poiché la carica può essere positiva o negativa, il segno indica il tipo di lavoro effettuato.
In questo caso lo spostamento è
parallelo e concorde alle linee di
campo, il lavoro eseguito dal campo
sulla carica è positivo.
Poiché la carica può essere positiva o negativa, il segno indica il tipo di lavoro effettuato.
In questo caso lo spostamento è
parallelo e discorde alle linee di
campo, il lavoro eseguito dal campo
sulla carica è negativo.
Il lavoro inoltre non dipende dalla traiettoria seguita dalla carica ma dallo spostamento, cioè la
distanza tra punto finale e punto iniziale, infatti:
r r
L = F ⋅ s = Fs cos(a )
α
che rappresenta la componente parallela
dello spostamento, cioè quella che da
contributo al lavoro.
Le componenti dello spostamento perpendicolari al campo elettrico non danno contributo, infatti
per esse L = Fs cos(90) = 0 .
Per ogni traiettoria nel campo elettrico i contributi al lavoro sono dati dagli spostamenti paralleli
mentre quelli perpendicolari hanno lavoro nullo. Quello che conta è quindi il punto finale e il punto
iniziale dello moto e non la traiettoria che segue al carica q, infatti:
Nel primo caso la traiettoria curvilinea si può scomporre in tante componenti orizzontali e
perpendicolari le cui somme danno rispettivamente il segmento tratteggiato orizzontale e il
segmento tratteggiato verticale. Queste lunghezze coincidono con le componenti dello spostamento
del secondo disegno in cui punto iniziale e finale sono gli stessi de primo caso.
Un campo elettrico uniforme è quindi conservativo poiché il lavoro compiuto su una carica q non
dipende dalla traiettoria ma soltanto dal punto iniziale e dal punto finale.
Potremmo esprimere questo fatto considerando un percorso chiuso: il lavoro compiuto da un campo
elettrico uniforme su un percorso chiuso è nullo.
Questi risultati possono essere generalizzati anche a campi elettrici non uniformi che rendono validi
in generale i risultati illustrati in precedenza.
Il campo elettrico è conservativo
Definizione: si definisce circuitazione di un campo vettoriale lungo una generica linea chiusa
orientata la somma dei prodotti scalari tra il campo vettoriale e il relativo spostamento
in cui viene suddivisa al linea considerata.
0 < α < 90 → L > 0
90 < α < 180 → L < 0
Per il campo elettrico è possibile individuare per ogni spostamento parallelo al campo elettrico uno
spostamento analogo ma di verso opposto, per cui la somma degli spostamenti che danno un
contributo positivo è uguale e opposta alla somma degli spostamenti che danno un contributo
negativo, quindi la loro somma è nulla. Il contributo degli spostamenti perpendicolari al campo
elettrico è nulla in quanto per essi è nullo il lavoro, essendo L = Fs cos(90) = 0 .
Per quanto osservato sul fatto ora, oltre al fatto che il campo elettrico è conservativo:
Teorema
La circuitazione del campo elettrico è nulla.
Osservazione
Il risultato precedente è valido in generale quindi anche per campi non uniformi.
Torniamo a considerare un campo elettrico uniforme e vediamo di introdurre per una carica q
immersa in esso una funzione legata alla posizione.
Ricordiamo la definizione di energia potenziale gravitazionale:
E p = mgh
dove h rappresenta la distanza del corpo dal suolo.
Il corpo cade quindi lo spostamento è
concorde alla forza di gravità. Il lavoro
compiuto
è
positivo
quindi
l’energia
posseduta dal corpo viene utilizzata per
compiere lavoro. Quindi il corpo quando si
muove concordemente all’azione della forza
perde energia potenziale.
Il corpo sale quindi lo spostamento è opposto
all’azione della forza di gravità. Il lavoro
compiuto è negativo e questo fa aumentare la
capacità del corpo di compiere lavoro. Quindi
il corpo quando si muove in opposizione
all’azione
potenziale.
della
forza
acquista
energia
In sintesi
un corpo perde energia potenziale quando si muove concordemente all’azione della forza.
Un corpo quindi perde energia potenziale se il lavoro compiuto dalle forze del campo è
positivo.
un corpo acquista energia potenziale quando si muove in opposizione all’azione della forza.
Un corpo quindi acquista energia potenziale se il lavoro compiuto dalle forze del campo è
negativo.
La differenza ora consiste nella natura repulsiva e attrattiva della forza elettrica dovuta al fatto che
la carica può essere di segno positivo o di segno negativo e che la forza del campo elettrico può
essere costante o variabile.
Caso 1: campo elettrico uniforme
1. Consideriamo una carica positiva e fissiamo una linea di riferimento perpendicolare alle
linee di campo
2. L’energia potenziale elettrica della carica q è legata al lavoro che la forza del campo
elettrico compie sulla carica q quando essa si sposta dal punto in cui è collocata
Se la carica si trova sulla linea di
riferimento fissata la sua energia
potenziale sarà nulla.
Quindi lo spostamento s avviene dalla carica verso la linea fissata, in questo esempio lo
spostamento è concorde al campo elettrico.
Allora il lavoro vale:
L = F ⋅ s cos(0) = qEs
Osservazione
Il lavoro che le forze del campo elettrico compiono sulla carica q per portarla dalla posizione
iniziale A sino quella finale B si può esprimere quindi come variazione di energia potenziale, cioè
A
B
LAB = − ∆E p
Spostando la carica positiva da punti più lontani a punti più vicini alla retta di riferimento il lavoro è
positivo, cioè la carica perde energia potenziale.
Poiché un campo elettrico uniforme lo possiamo avere ad esempio in un condensatore possiamo
concludere che per cariche positive e negative in esso possiamo concludere allora che:
1. Se viene compiuto un lavoro opposto la forza che il campo elettrico esercita sulla carica
quest’ultima aumenta la propria energia potenziale;
2. Se viene compiuto lavoro concordemente alla forza che il campo elettrico esercita sulla
carica quest’ultima diminuisce la propria energia potenziale.
Osservazione
In un condensatore la linea/superficie di riferimento può essere una delle due lastre, di solito il
riferimento, quella che rappresenta energia potenziale nulla, è quella di segno opposto alla carica
assegnata.
Quindi l’energia potenziale sarà massima sulla lastra avente carica dello stesso segno della carica q
mentre sarà nulla sulla lastra che ha carica di segno opposto a q.
Definizione: l’energia potenziale elettrica di una carica in un campo uniforme in un punto A, fissato
un livello di riferimento, è data dalla formula
r r
E PqA = qE ⋅ sb = qEs cos(α )
Dove α è l’angolo compreso tra lo spostamento s e il campo elettrico E.
Energia potenziale per un campo elettrico generato da una carica puntiforme
Consideriamo il campo elettrico generato da una carica Q che agisca su una carica di prova q.
In questo caso avremo una forza di intensità variabile che agisce sulla carica in movimento, pertanto
il campo elettrico che consideriamo non è costante. Vista la geometria (radiale non limitata) della
situazione analizzata non è possibile considerare una retta di riferimento, assumeremo allora la
convenzione che
se la carica q è a contatto con la carica Q l’energia potenziale di q è massima
(l’energia è massima con segno positivo se le cariche sono concordi mentre è massima con
segno negativo se le cariche sono opposte)
se la carica q è infinitamente lontana dalla carica Q l’energia potenziale di q è nulla
B
A
q
Q
In sintesi
un corpo perde energia potenziale quando si muove concordemente all’azione della forza.
Un corpo quindi perde energia potenziale se il lavoro compiuto dalle forze del campo è
positivo.
un corpo acquista energia potenziale quando si muove in opposizione all’azione della forza.
Un corpo quindi acquista energia potenziale se il lavoro compiuto dalle forze del campo è
negativo.
Supponiamo che le cariche siano dello stesso segno(il lavoro è concorde alla forza, quindi la carica
q perde energia potenziale) , allora dette rispettivamente ra e rb le distanze tra la carica Q e i punti
A e B:
LAB = − qEs AB = − E PqB + E PqA = −qEsb + qEsa = − q
=
1
Q
1 Q
qQ 1
qQ 1
+
=
r +q
r =−
2 b
2 a
4πε 0 rb
4πε 0 ra
4πε 0 rb 4πε 0 ra
qQ  1 1 
 − 
4πε 0  ra rb 
Quindi la formula
LAB =
qQ  1 1 
 − 
4πε 0  ra rb 
rappresenta il lavoro di un campo elettrico generato da una carica puntiforme Q su una carica q che
si sposta da un punto A ad un punto B.
Osservazione
Nel caso in cui rb → +∞ cioè che la carica si allontani all’infinito la formula diventa:
LA =
qQ 1
4πε 0 ra
Che è il lavoro che le forze del campo elettrico devono compiere per portare la carica da un punto A
ad una distanza infinita. (*)
Utilizzando quest’ultimo risultato allora:
Definizione: si definisce energia potenziale di una carica q posta in un punto A ad una distanza r
dalla carica Q che genera il campo elettrico la relazione
E pA =
qQ 1
4πε 0 r
Osservazione
La giustificazione della formula precedente deriva dal fatto che LA∞ = − E p∞A cioè il lavoro
compiuto è opposto variazione di energia potenziale quindi invertendo la proposizione (*) l’energia
potenziale elettrica è pari al lavoro compiuto dal capo elettrico per portare al carica q da un punto di
distanza infinita ad un punto A avente distanza r dalla carica Q.
Il potenziale elettrico
L’energia potenziale elettrica è definita considerando una carica di prova q, vediamo ora come in
precedenza per il campo elettrico di definire una grandezza, legata all’energia potenziale che non
dipenda da una carica di prova.
Definizione: si definisce potenziale elettrico V il rapporto tra l’energia potenziale di una carica q e
la carica q stessa, cioè:
V=
qEd
1 Q
1 Q
d=
= Ed =
2
q
4πε 0 d
4πε 0 d
Il potenziale elettrico caratterizza i punti circostanti una carica Q con la capacità di compiere
lavoro su una carica di prova q.
L’unità di misura del potenziale elettrico è il volt:
[V ] =  qEs  =  J 
 q 
C 
Osservazione
Si deduce che dall’essere
V = Ed E =
V
d
 N  V 
E per le unità di misura   =   .
C  m
Definizione: si definisce elettronvolt l’energia acquistata da un elettrone nel passare da un punto A
ad un punto B di un campo elettrico tra i quali esiste una differenza di potenziale di un
volt, cioè VB − VA = 1V .
Tale unità di misura è utile nel caso si considerino cariche dell’ordine di grandezza dell’elettrone e
del protone.
Quando una particella passa da un punto A ad un punto B il lavoro eseguito dal campo elettrico è
dato da:
L = − E pB + E pA = − qEsB + qEs A = − qVB + qVA = q (VA − VB )
Considerando un elettrone possiamo scrivere:
1eV = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 1V = 1,6 ⋅ 10 −19 J
Osservazione
Le cariche elettriche positive sotto l’azione di un campo elettrico si muovono da punti a potenziale
maggiore a punti di potenziale minore, infatti
L > 0 → q[VA − VB ] > 0 da cui q > 0 → VA − VB > 0 → VA > VB
Le cariche elettriche negative sotto l’azione di un campo elettrico si muovono da punti a potenziale
minore a punti di potenziale maggiore, infatti
L > 0 → q[VA − VB ] > 0 però q < 0 → VA − VB < 0 → VA < VB
Relazione tra potenziale, campo elettrico ed energia potenziale elettrica.
La relazione espressa dal potenziale elettrico per un campo elettrico uniforme è:
V = Ed
Dati due punti A e B la loro differenza di potenziale è
VB − VA = Ed AB
Da cui è possibile ricavare
E=
VB − V A
d AB
Cioè l’intensità di un campo elettrico uniforme è in relazione alla differenza di potenziale tra due
suoi punti.
Osservazione
La relazione appena vista non è più valida nel caso in cui il campo elettrico non sia uniforme,
tuttavia è possibile utilizzarla anche in quest’ultimo caso considerando punti aventi distanza
infinitesima per i quali il campo elettrico possa essere considerato costante.
Consideriamo ora sempre un campo elettrico uniforme, sappiamo che per esso possiamo scrivere:
E=
F
F = qE
q
Allora ricordando quanto appena visto e che V =
F = qE =
Ep
q
:
q (VB − V A ) E pE − E pA
=
d AB
d AB
che esprime il legame tra la forza agente sulla carica q e la variazione di energia potenziale sempre
la carica q subisce in un campo elettrico uniforme.
Vediamo ora di introdurre il concetto, senza dimostrarlo, di energia associata ad un campo elettrico
uniforme.
Consideriamo un condensatore scarico:
Sul il quale ad un certo istante si accumuli una quantità di carica elettrica positiva (oppure negativa,
il ragionamento è sempre lo stesso) sull’armatura superiore. Per far fluire le cariche sull’armatura è
stato necessario compiere una certa quantità di lavoro per procedere all’elettrizzazione.
+Q
−Q
Per il principio di conservazione dell'energia, non essendovi alcuna dissipazione, tutto il lavoro
compiuto per caricare il condensatore verrà a ritrovarsi sotto forma di energia elettrostatica nel
dielettrico (sia esso il vuoto o un mezzo materiale) compreso tra le armature del condensatore.
Supponendo il campo elettrico uniforme è possibile esprimere l'energia elettrostatica che ora si
trova concentrata tra le armature del condensatore:
1
Etot = ε 0 E 2V
2
Energia associata ad un campo
elettrico uniforme
dove V è il volume racchiuso tra le armature del condensatore.
Un campo elettrico quindi contiene energia il cui valore dipende dall’intensità del campo elettrico e
dal volume da esso occupato.
A volte si trova la densità volumica di energia di un campo elettrico che si ricava dalla formula
precedente come segue:
DE =
Etot 1
= ε0E2
V
2
Campo elettrico, carica e potenziale di una sfera conduttrice carica.
Come fatto per un campo elettrico uniforme (quello di un condensatore ad esempio) vediamo ora di
stabilire un legame tra carica, campo elettrico e potenziale per un conduttore sferico carico.
Con conduttore intendiamo un corpo che permetta al suo interno il moto delle cariche.
La densità superficiale di carica σ per un conduttore sferico di raggio R vale:
σ=
Q
Q
=
S 4πR 2
Supponiamo ora che il conduttore sia in equilibrio elettrostatico, cioè nonostante la prevalenza di
cariche positive o negative, non vi sia moto di cariche al suo interno (vi sia appunto equilibrio)
Utilizziamo il teorema di Gauss per stabilire che il campo elettrico all’interno di un condensatore
carico in equilibrio elettrostatico è nullo.
Un conduttore è un corpo in cui gli elettroni sono liberi di muoversi all'interno del volume
occupato. Il fatto di essere liberi di muoversi, nonostante possa rappresentare un grado di libertà,
rappresenta un vincolo, che vedremo essere anche l’unica possibilità, per la localizzazione della
carica in un conduttore.
Se gli elettroni si muovono significa che c’è una forza elettrica che li fa muovere. Per un elettrone
allora possiamo scrivere che la forza agente su di esso è:
F = qE
Dove E è il campo elettrico totale generato dalle altre cariche.
Lo stato di equilibrio per l’elettrone (in cui le particelle sono ferme) corrisponde ad una forza totale
nulla agente su di esso.
Dalla formula precedente possiamo osservare che essendo nulla la forza, cioè il primo membro
segue che dovrà essere nullo anche il secondo membro, per il quale l’unica possibilità è quella che
sia nullo il campo elettrico, la carica dell’elettrone non può valere zero infatti q = 1,6 ⋅10 −19 C ≠ 0 .
Lo stato di equilibrio per un conduttore allora non può che essere caratterizzato da campi elettrici
nulli all'interno del conduttore.
Quale possibilità rimane allora alla carica per localizzarsi, visto che non è possibile posizionarsi
all’interno del conduttore?
L’unica zona possibile per la carica in eccesso è la superficie del conduttore.
Osservazione
Tale risultato concorda inoltre dal fatto che le cariche in eccesso, avendo segno uguale, si
respingono tra loro, pertanto essendo vincolate ad appartenere al conduttore materiale, esse si
posizioneranno in modo tale da essere il più lontano possibile, cioè sulla superficie del conduttore
che costituisce la massima distanza possibile tra loro.
Inoltre sulla superficie del conduttore possono esserci dei campi elettrici, ma con componente solo
normale alla superficie stessa, infatti se fosse presente una componente tangenziale (non nulla)
avremmo moto di carica sulla superficie e il conduttore non sarebbe il equilibrio elettrostatico.
Conclusione: dunque il campo elettrico all'interno di un conduttore e' nullo.
Interpretiamo questo risultato con il teorema di Gauss.
Consideriamo una superficie S ideale all’interno di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico.
conduttore in equilibrio
superficie gaussiana
Il campo elettrico è nullo all’interno del conduttore, dalla formula per il flusso allora
r
r
ΦS E = E ⋅ S = 0
()
Applicando quest’ultimo risultato al teorema di Gauss possiamo scrivere:
Φ S (E ) =
Da cui segue che deve essere necessariamente
∑Q = 0
ε0
∑Q = 0 .
Quindi un conduttore in equilibrio elettrostatico all’interno è elettricamente neutro, cioè la carica
all'interno del conduttore e' sempre nulla.
Pertanto ogni eccesso di carica deve per forza essere localizzato sulla superficie del conduttore.
Osservazione
Il fatto di elettrizzare un conduttore determina una riorganizzazione delle cariche sulla superficie
del conduttore stesso e di generare un campo elettrico nullo al suo interno.
Il potenziale elettrico per una sfera conduttrice è:
costante per tutti i punti interni alla sfera
infatti dati A e B interni alla sfera, poiché il campo elettrico è nullo all’interno del conduttore, si
ha:
VB − VA = Ed AB = 0 VB = VA
costante per tutti i punti appartenenti alla superficie della sfera
infatti dati A e B sulla superficie del conduttore, data la simmetria della sfera, in essi sarà
localizzata la stessa carica, allora il lavoro necessario per portare una carica q dal punto A al
punto B è dato da:
LAB = E pB − E pA = qVB − qVA = q (VB − VA )
Poiché l’energia potenziale è la stessa (basta calcolarla rispetto al centro per rendersi conto della
validità dell’affermazione)per i due punti segue che
E pB − E pA = 0 q(VB − VA ) = 0 VB = VA
Cioè i punti sulla superficie sferica hanno lo stesso potenziale.
Campo elettrico, carica e potenziale nei punti immediatamente esterni ad una sfera conduttrice
carica.
Sia dato una sfera conduttrice carica di raggio R, per quanto visto la carica si distribuirà sulla
superficie e la densità di carica superficiale vale:
σ=
Q
4πR 2
Per i punti esterni immediatamente vicini alla superficie del conduttore il campo può essere
considerato uniforme (la carica che lo genera è la stessa per ogni elemento superficiale che si
considera), quindi
Campo elettrico nei punti
E=
σ
Q
=
ε 0 4πε 0 R 2
immediatamente esterni
ad una sfera conduttrice
carica.
Osservazione
L’espressione ottenuta è la stessa che si sarebbe avuta se la carica Q fosse stata tutta concentrata nel
centro della sfera.
Dall’espressione precedente si ricava anche il potenziale:
V =
Q
4πε 0 R
Potenziale elettrico nei
punti
immediatamente
esterni
ad
una
conduttrice carica.
Osservazione
sfera
L’espressione ottenuta per il potenziale è valida per calcolare il potenziale in qualunque altro punto
interno della sfera.
Campo elettrico, carica e potenziale nei punti lontani ad una sfera conduttrice carica.
Sia dato una sfera conduttrice carica per i punti esterni non immediatamente vicini alla superficie
del conduttore, aventi distanza r dal centro del conduttore il campo elettrico è dato dalla formula:
E=
Q
4πε 0 r 2
Campo elettrico nei punti
non
esterni
Per il potenziale si può scrivere:
immediatamente
ad
una
sfera
conduttrice carica.
Potenziale
V =
Q
4πε 0 R
elettrico
nei
punti non immediatamente
esterni
ad
una
sfera
conduttrice carica.
Superfici equipotenziali
Definizione: si definisce superficie equipotenziale l’insieme dei punti avente lo stesso potenziale
elettrico.
Per far spostare una carica tra punti aventi lo stesso potenziale il campo elettrico non compie lavoro.
Infatti:
LAB = E pB − E pA = qVB − qVA = q (VB − VA )
Perciò se VB = VA il lavoro è zero.
Per motivi di simmetria inoltre tali superfici per una carica puntiforme o per una sfera carica
conduttrice sono sfere concentriche invece per un campo elettrico fra due piastre parallele queste
sono linee perpendicolari al campo.
Lastra positiva
Superfici
equipotenziale
Lastra negativa
Proposizione: le linee di campo sono sempre perpendicolari alle superfici equipotenziali
Dimostrazione
Abbiamo visto che per far spostare una carica tra punti aventi lo stesso potenziale il campo elettrico
non compie lavoro. Ricordando al definizione di lavoro:
r r
LAB = F ⋅ s = 0
Dove s è lo spostamento tra le posizioni equipotenziali A e B.
Se consideriamo una carica q, su essa agisce una forza dovuta al campo elettrico, cioè una forza
r
r
F = qE
Sostituendo nell’espressione del lavoro e osservando che sia lo spostamento sia il campo elettrico
sono diversi da zero si ottiene
r r
LAB = qE ⋅ s = 0
Cioè che lo spostamento è perpendicolare al campo elettrico.
Le linee di campo sono quindi perpendicolari alle superfici equipotenziali (sulle quali avviene lo
spostamento).