Il moto ed i sistemi di riferimento
• Consideriamo il moto di un punto materiale
riferito ad un sistema cartesiano S...
• che chiameremo “fisso” o “assoluto”
• …e ad un sistema S’
• che chiameremo “mobile” o “relativo”
• Il sistema S’ si può muovere
• perché si muove la sua origine
• perché i suoi versori fondamentali cambiano di direzione
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Esempio: un aeroplanino che fa le acrobazie, ed
una mosca che si muove dentro la sua carlinga:
– Sistema S: la torre di controllo
– Sistema S’: la carlinga
– Il moto della mosca può essere descritto
• Dalla torre di controllo
• Dal pilota nella carlinga
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Usiamo il FORMALISMO VETTORIALE…
• …sfruttando la sua INDIPENDENZA DAL SISTEMA DI
RIFERIMENTO...
ma
•…
facendo l’ipotesi che la geometria su cui si basa
(euclidea) valga nel nostro Universo
– siamo sicuri che la cosa funzioni?
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Con la descrizione vettoriale del vettore posizione
del punto otteniamo
OP OO' O'P
• Abbiamo già fatto implicitamente l’ipotesi che nei
due sistemi valga la geometria euclidea
• In particolare con le stesse unità di misura
– Cosa non ovvia: nella relatività speciale questa ipotesi viene a
cadere
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Esplicitamente
x xˆ y yˆ z zˆ
xO ' xˆ yO ' yˆ zO ' zˆ
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
Attenzione alle funzioni del tempo
ed alle costanti!
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La composizione delle velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• DERIVIAMO!
x xˆ y yˆ z zˆ
xO ' xˆ yO ' yˆ zO ' zˆ
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
ˆ
ˆ
x ' x ' y ' y ' z ' zˆ '
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
x xˆ
y yˆ z zˆ
Va
– È la velocità nel sistema “fisso”
• Velocità “assoluta”
ˆ ' y ' y
ˆ ' z ' zˆ ' Vr
x ' x
– È la velocità nel sistema“mobile”
• Velocità “relativa”
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Se la velocità relativa è nulla, la velocità assoluta
è uguale a
xO ' xˆ
yO ' yˆ zO ' zˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x 'x ' y 'y' z 'z '
Vt
– È la velocità di trascinamento
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Otteniamo così il
TEOREMA DI
COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
Va
Vr
Vt
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Velocità di trascinamento
– Si dimostra che (formule di Poisson)
xˆ '
– Il vettore
ˆx ' y
ˆ '
ˆy ' zˆ '
zˆ '
è il vettore velocità angolare
• Il modulo è pari al valore della velocità angolare
• La direzione è ortogonale al piano di rotazione
• Il verso è tale da vedere la rotazione avvenire in senso
antiorario
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Con questo
Vt
VO '
O'P
• Il moto di trascinamento è una sovrapposizione
– Di una traslazione
– Di una rotazione
• Quindi è un moto ELICOIDALE
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
• Deriviamo di nuovo!
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x xˆ
y yˆ
z zˆ
xO ' xˆ
yO ' yˆ
zO ' zˆ
x ' xˆ '
x ' xˆ '
y ' yˆ '
z ' zˆ '
ˆ
ˆ
y ' y ' z ' z '
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
• Anche qui abbiamo
– Accelerazione assoluta
x xˆ
y yˆ
z zˆ
aa
– Accelerazione relativa
ˆ '
x ' xˆ '
y'y
z ' zˆ ' ar
– Accelerazione di trascinamento
• ciò che resta se il punto è fermo nel sistema S’
xO ' xˆ
yO ' yˆ
zO ' zˆ
ˆ
ˆ
x ' x ' y ' y ' z ' zˆ '
at
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
• Ed a questo punto avanza un pezzo!
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
ˆ
ˆ
2 x ' x ' y ' y ' z ' zˆ '
2
Vr
2
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
ac
– È l’accelerazione complementare o di Coriolis
– Ed alla fine otteniamo il...
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
TEOREMA DI COMPOSIZIONE
DELLE ACCELERAZIONI
aa
ac
ar
2
at
ac
Vr
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Le forze apparenti
Dette anche “forze fittizie”
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Dalla relazione
aa
otteniamo
M aa
ar
at
M ar
ac
M at
M ac
SE NEL SISTEMA FISSO VALE LA II LEGGE
DELLA DINAMICA...
F M aa
M ar
M at
M ac
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• … e quindi nel sistema mobile vale la relazione...
M ar
F
M at
M ac
... IN GENERALE IN QUESTO SISTEMA
LA II LEGGE DELLA DINAMICA!
NON VALE
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
…a meno che non si introducano ad hoc,
per far tornare i conti,
delle “forze fittizie”
M at
M ac
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Attenzione: queste NON hanno la controparte di
reazione!
• Tutto però nel sistema S’ avviene come se
esistessero davvero
– Sono in realtà una manifestazione del principio
d’inerzia
Fapp
Mat Mac
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
In generale, se vogliamo usare le
leggi della dinamica dovremo
aggiungere alle forze reali
anche le forze apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Un sistema nel quale valga la II legge della
dinamica si dice un
SISTEMA INERZIALE
• Se un sistema è inerziale, anche uno che si muova
con velocità angolare nulla e moto rettilineo
uniforme rispetto ad esso è inerziale
at ac 0
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Si verifica che un sistema legato alle stelle è inerziale
• Quindi ogni sistema con ω 0 e velocità uniforme
rispetto a questo è inerziale
• Quindi in tutti questi sistemi funziona la dinamica
• Quindi nessuno di questi sistemi può essere privilegiato
È LA RELATIVITÀ GALILEIANA
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Si possono misurare le forze apparenti (nelle 3
componenti)...
• ...e quindi riportare il nostro moto ad un sistema
inerziale
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco le forze apparenti in accelerata o frenata
• Sistema S inerziale fisso
Sistema S’ non inerziale
mobile
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco la situazione per la caduta di un grave in un
vagone in moto non uniforme
• Le interpretazioni dei due osservatori sono diverse
• Nel sistema mobile occorre introdurre delle forze
apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Proprietà della forza di Coriolis
– È nulla se è
_
0
– Il moto di trascinamento è solo traslatorio
_
Vr
0
– Il punto è fermo nel sistema mobile
_
Vr
– La velocità relativa è parallela all’asse di rotazione
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Esempi sulla Terra di forze apparenti:
– forza centrifuga
• si somma vettorialmente alla forza peso
– deviazione dei gravi verso E
• deriva dalla forza di Coriolis
– cicloni ed anticicloni
• deriva dalla forza di Coriolis
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco la forza di Coriolis applicata a zone di bassa
pressione nell’atmosfera terrestre
– L’aria si trova a passare su zone della Terra con
velocità periferiche diverse
– Noi vediamo apparire una forza perpendicolare al
vettore velocità
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