Induzione elettromagnetica

Induzione elettromagnetica
L’esperienza di Faraday
L'effetto di produzione di corrente elettrica in un circuito privo di generatore di tensione fu scoperto
dal fisico inglese Michael Faraday nel 1831. Egli studiò la relazione tra un magnete in movimento e
un circuito elettrico privo di alimentatore e grazie ad un amperometro poté osservare che in
determinate condizioni nel circuito circolava corrente. Illustriamo l’esperienza con un disegno.
Siano dati un circuito elettrico con un solenoide ed un amperometro per misurare il passaggio di
corrente ed un magnete.
Per illustrare l’esperienza di Faraday consideriamo nell’esempio seguente il circuito elettrico con il
solenoide sempre fermo.
1. Magnete fermo
N
S
L’amperometro non segna passaggio di corrente
2. Magnete in movimento (avvicinamento)
N
S
Mentre il magnete si avvicina al circuito l’amperometro segna passaggio di corrente.
3. Magnete fermo
N
S
Ora che il magnete è di nuovo fermo l’amperometro non segna passaggio di corrente
4. Magnete in movimento (allontanamento)
N
S
Come prima, mentre il magnete si allontana dal circuito l’amperometro segna passaggio di corrente
che in questo caso avrà però segno opposto a quanto osservato al caso 2.
5. Magnete fermo
N
S
Ora che il magnete è di nuovo fermo l’amperometro non segna passaggio di corrente
Che cosa è successo quindi in questa operazione? Perché in un circuito privo di generatore in certe
situazioni circola una corrente?
Quale è la grandezza che provoca questo fenomeno all’apparenza sorprendente?
Riesaminiamo i punti precedenti tracciando le linee di campo per il magnete
1. Magnete fermo
N
S
L’amperometro non segna passaggio di corrente
2. Magnete in movimento (avvicinamento)
N
S
Mentre il magnete si avvicina al circuito l’amperometro segna passaggio di corrente.
3. Magnete fermo
N
S
Ora che il magnete è di nuovo fermo l’amperometro non segna passaggio di corrente
4. Magnete in movimento (allontanamento)
N
S
Come prima, mentre il magnete si allontana dal circuito l’amperometro segna passaggio di corrente
che in questo caso avrà però segno opposto a quanto osservato al caso 2.
5. Magnete fermo
N
S
Ora che il magnete è di nuovo fermo l’amperometro non segna passaggio di corrente
Con le linee di campo del magnete è più facile capire cosa accada nel solenoide, vi è una variazione
di linee di forza attraverso le sue spire.
Quindi la corrente indotta è legata alla variazione del numero di linee di campo negli avvolgimenti
del solenoide.
Ma quale grandezza è legata al numero di spire attraverso una superficie? Il flusso del campo
magnetico.
Quindi una variazione di flusso di campo magnetico in un circuito genera una corrente in esso.
Poiché questa corrente non è causata direttamente da una differenza di potenziale, come accadeva
nella prima legge di Ohm, i =
∆V
, diremo che essa è una corrente indotta o impropriamente una
R
forza elettromotrice indotta ( femind ).
Quindi una variazione di flusso in un circuito genera una femind , pertanto possiamo stabilire anche
dal punto di vista dell’intensità il valore di tale corrente:
f ind =
∆Φ (B )
∆t
Legge di Faraday - Neumann
Cioè il valore della corrente indotta è dato dal rapporto tra la variazione di flusso di campo
magnetico attraverso le spire del solenoide nell’intervallo di tempo in cui questa variazione avviene.
Poiché a denominatore c’è il termine ∆t il valore della corrente che otteniamo dalla legge di
Faraday – Neumann è il valore medio della corrente nell’intervallo di tempo considerato.
Se facciamo tendere ∆t → 0 otteniamo:
Φ f (B ) − Φ i (B )
∆Φ(B )
= lim
= Φ ′(B )
∆t →0
∆t →0
∆t
t f − fi
f ind = lim
Cioè il valore istantaneo della corrente indotta è dato dalla derivata del flusso rispetto al tempo.
Le formule ottenute non tengono conto però del verso della corrente, infatti tra dato sperimentale e
dato teorico espresso dalla legge di Faraday – Neumann vi è una differenza tra dato reale e dato
previsto dalla legge. Per sistemare tale problema si deve aggiungere un segno meno alla formula,
dovuto all’osservazione di Lenz.
Legge di Lenz
Il verso delle correnti indotte circolanti in un circuito è tale da generare un campo magnetico che si
oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito
In questo modo la legge di Faraday Neumann tenendo conto dell’osservazione di Lenz diventa:
f ind = −
∆Φ (B )
∆t
f ind = −Φ ′(B )
Osservazione
Poiché il flusso del campo magnetico attraverso una superficie è dato da
Φ S (B ) = BS cos α
Se la superficie S e il campo magnetico sono fissi nel tempo allora il flusso dipende soltanto da
come varia nel tempo l’angolo α formato dalla normale alla superficie e il campo magnetico.
Osservazione
La corrente indotta genera sempre un campo magnetico tale da opporsi sempre alla variazione che
l’ha generata.
Per una f.e.m. indotta da un flusso magnetico in aumento, la corrente avrà verso che si oppone
all'aumento del flusso magnetico. Il campo magnetico che si genera è opposto a quello esterno, cioè
la corrente indotta genera un campo magnetico (legge di Biot Savart per il filo percorso da corrente)
che si oppone al polo del magnete in avvicinamento un campo magnetico con polo concorde, in
modo tale da opporsi al cambiamento (due poli concordi infatti si respingono).
Un flusso magnetico in diminuzione induce una f.e.m. e quindi una corrente, quest'ultima genera un
campo magnetico di verso tale da opporsi alla diminuzione del flusso. Il campo magnetico che si
genera è discorde a quello esterno, cioè la corrente indotta genera un campo magnetico che attrae il
polo del magnete in allontanamento con un campo magnetico con polo discorde in modo tale da
opporsi al cambiamento.
Osservazione
Ricordando la legge Biot Savart, cioè che l’intensità del campo magnetico è direttamente
proporzionale all’intensità di corrente che scorre nel filo, abbiamo che una variazione di
quest’ultima provoca una variazione dell’intensità del corrispondente campo magnetico che
significa un aumento o una diminuzione della densità delle linee di campo magnetico. Quindi una
variazione del flusso del campo magnetico. Utilizzando questa osservazione e poiché per ottenere
una corrente indotta serve provocare una variazione di flusso di campo magnetico in un circuito,
abbiamo che tale risultato si può ottenere, oltre che con il metodo illustrato nell’esempio iniziale
considerato, con:
1. magnete fermo, circuito in movimento;
2. circuito fermo, filo percorso da corrente di intensità variabile fermo;
3. circuito in movimento, filo percorso corrente di intensità variabile in movimento.
Per avere l’intensità di corrente indotta dalla forza elettromotrice indotta allora possiamo
considerare la prima legge di Ohm:
i=
∆V
R
Che nel caso di induzione elettromagnetica diventa
i=−
1 ∆Φ(B )
R ∆t
Tale valore è il valore medio dell’intensità di corrente indotta, per ottenere il valore istantaneo
dobbiamo considerare:
i=−
1 dΦ ( B )
R dt
Induttanza di un solenoide
Consideriamo un solenoide, sappiamo che il campo magnetico attraverso le sue spire vale
B = µ0
N
i
l
Il flusso attraverso gli avvolgimento che lo compongono lo si ottiene da
Φ = BS
dove S è la superficie di una spira. Quest’ultima espressione va poi moltiplicata per N, cioè per il
numero delle spire del solenoide.
Sostituendo l’espressione di B scritta sopra:
Φ = µ0
N
iS ⋅ N
l
Φ = µ0
N2
Si
l
L = µ0
N2
S
l
Il fattore
Rappresenta una costante per il solenoide e viene definito coefficiente di autoinduzione oppure
induttanza del solenoide.
Quindi utilizzando tale costante il flusso del campo magnetico attraverso il solenoide diventa:
Φ = Li
Tale risultato determinato per il solenoide è valido in generale per ogni circuito e dipende dalle
caratteristiche geometriche dell’elemento di circuito considerato.
L’unità di misura dell’induttanza di un solenoide è l’henry, definito da:
[L] =  weber  = [ohm ⋅ s ] = h
 m

Autoinduzione elettromagnetica
Consideriamo un circuito con un solenoide.
Si definisce circuito RL un
circuito elettrico in cui sono
L
presenti
un
generatore
di
corrente, la resistenza del filo
R
+
-
ed un solenoide.
Sia esso aperto, cioè tale che non vi circoli corrente. Nel momento in cui il circuito viene chiuso,
l’intensità di corrente passerà dal valore nullo al valore di regime, cioè l’intensità di corrente varia
per un breve intervallo di tempo per poi stabilizzasi. In questo breve intervallo di tempo la
variazione di intensità di corrente provoca una variazione di flusso di campo magnetico attraverso le
spire del solenoide, pertanto abbiamo una forza elettromotrice indotta.
Variazione delle linee di
campo
L
nel
solenoide
al
momento della chiusura del
circuito.
R
+
-
A causa proprio dl solenoide il valore del flusso è
Φ = Li
quindi
f = −L
∆i
∆t
Per la legge di Lenz tale corrente si oppone al flusso di corrente che si stabilisce quando il circuito
viene chiuso, quindi la corrente dovuta al generatore nei primi istanti in cui circola deve vincere la
resistenza opposta dalla corrente indotta. Pertanto l’energia trasportata dalla corrente tradizionale
nei primi istanti serve a vincere al resistenza di iind . Questo fatto provoca un accumulo di energia
tra le spire del solenoide, ma soltanto nei primi istanti in cui il circuito viene chiuso, poi infatti il
flusso diventa stazionario e l’intensità di corrente arriva al valore costante di regime, pertanto
dall’essere
i costante ∆i = 0
quindi la variazione di flusso diventa nulla è la forza elettromotrice non è più presente.
La corrente che si ha in corrispondenza della chiusura di un circuito viene detta extra corrente di
chiusura.
Osservazione
La corrente in corrispondenza della chiusura di un circuito quindi giunge al valore di regime in
maniera crescente.
Il
grafico
a
fianco
illustra
l’andamento
dell’intensità della corrente che scorre nel
circuito e che giunge al valore di regime in
modo esponenziale crescente in quanto deve
vincere la resistenza opposta dall’extra corrente
di chiusura.
Analogamente quando un circuito viene aperto, si ha una variazione di flusso opposta a quella
descritta nel caso precedente, infatti, la corrente dal valore costante di regime va a zero. Vi è quindi
un breve intervallo di tempo in cui l’intensità di corrente variabile genera una variazioni di flusso
nel solenoide e quindi una forza elettromotrice indotta. In questo caso la forza elettromotrice indotta
genera una corrente indotta che si oppone alla variazione dell’intensità di corrente. Quindi il
solenoide utilizza tale proprietà per compensare l’intensità di corrente decrescente nel circuito.
Tale corrente viene detta extra corrente di apertura.
Osservazione
La corrente in corrispondenza dell’apertura di un circuito dal valore di regime decresce sino al
valore nullo.
Il
grafico
a
fianco
illustra
l’andamento
dell’intensità della corrente che scorre nel
circuito e che dal valore di regime va a zero in
modo esponenziale decrescente in quanto deve
l’extra
corrente
di
apertura
si
oppone
all’annullarsi dell’intensità di corrente che
scorre nel circuito.
Questi due fenomeni sono visibili in circuiti cha hanno un valore non trascurabile per l’induttanza e
si manifestano con l’effetto che:
quando il circuito viene chiuso la corrente non giunge immediatamente all’intensità
stazionaria e quindi il circuito “si accende” dopo un breve istante che esso è stato chiuso;
quando il circuito viene aperto la corrente non smette immediatamente di fluire e il circuito
continua a funzionare per un breve intervallo di tempo dopo ch esso è stato aperto.
La corrente alternata
La capacità di generare una corrente indotta al variare del flusso del campo magnetico attraverso
una spira permette di generare una corrente dal verso periodico variabile, che definiremo corrente
alternata, proprio perché alterna ad intervalli regolari (quindi periodici) il proprio verso.
Consideriamo ora una spira rettangolare percorsa immersa in un campo magnetico che venga fatta
ruotare da una forza meccanica. Poiché il movimento rotatorio provoca una variazione di flusso di
campo magnetico all’interno della spira, avremo che per la legge di Faraday Neumann si avrà una
forza elettromotrice indotta nei rami del dispositivo collegato alla spira e quindi una corrente indotta
che scorre lungo il circuioto.
moto rotatorio della spira
Polo positivo
Polo negativo
C
B
D
A
iind
asse di rotazione
dispositivi di collegamento della
spira con il circuito
il flusso attraverso la superficie S della spira è dato da:
Φ(B ) = BS cos α
Dove α è l’angolo formato dalla normale alla spira con le linee del campo magnetico. Poiché tale
angolo varia al variare del tempo possiamo scrivere:
Φ(B ) = BS cos α (t )
Ad un certo istante la fem indotta che scorre nel circuito è data sempre dalla legge di Faraday
Neumann:
fem ind = −
E ricordando la formula i = −
d Φ (B )
d [BS cos α (t )]
=−
= BS sin α (t ) ⋅ α ′(t )
dt
dt
1 dΦ ( B )
1 dΦ (B ) BS sin α (t ) ⋅ α ′(t )
=−
=
R dt
R dt
R
Quindi la corrente indotta dipende dal fattore seno che assume valori compresi tra [− 1;1] , quindi fa
variare il segno dell’intensità di corrente. Infatti a seconda dell’angolo formato dalla normale alla
superficie e dal campo magnetico varia il flusso attraverso la superficie S, e pertanto varia anche sia
l’intensità della corrente indotta sia il verso.
La dipendenza dal seno della corrente così generata da origine ad una corrente di verso variabile nel
tempo, tale corrente viene detta corrente alternata.
Definizione: si definisce corrente alternata una corrente che vari la propria intensità e il proprio
verso periodicamente.
Frequenza della corrente alternata
La variazione del verso della corrente dipende dalla rotazione della spira immersa nel campo
magnetico, quindi considerando la frequenza di rotazione della spira possiamo definire anche per la
corrente indotta un frequenza che significa quante volte in un secondo la corrente alternata cambia
il proprio verso.
Osservazione (corrente continua e corrente alternata)
Una corrente continua come quelle viste nel capitolo sui circuiti, generate da una differenza di
potenziale di un generatore sono correnti che hanno sempre lo stesso verso di percorrenza di un
circuito, mentre una corrente alternata è una corrente che cambia con frequenza propria il verso di
percorrenza del circuito.
Osservazione
Il motore elettrico non deve essere confuso con il dispositivo descritto sopra, infatti pur essendo
simili il loro principio di funzionamento è qualitativamente diverso, infatti:
il motore elettrico sfrutta la corrente continua per generare movimento meccanico
il generatore descritto in precedenza permette di ottenere da un movimento meccanico
corrente elettrica alternata.
Effetto Joule per correnti alternate
Come visto per le correnti continue anche le correnti alternate dissipano energia, però dal momento
che il loro verso cambia in continuazione risulta difficile esprimere la potenza dissipata in funzione
di una corrente oscillante, pertanto diamo al seguente definizione.
Definizione: si definisce intensità efficace di una corrente alternata il valore
ieff =
I0
2
dove I 0 rappresenta il valore massimo assunto dall’intensità della corrente alternata.
Si dimostra che utilizzando tale valore il calore dissipato da una corrente alternata in un intervallo di
tempo t vale
Q = ieff2 Rt
Mentre la potenza sviluppata vale:
P = ieff2 R
Analogamente il valore efficace di una forza elettromotrice indotta vale
Veff =
V0
2
Il trasformatore
Un importante dispositivo utilizzato nella applicazioni della corrente alternata è il trasformatore
statico (detto semplicemente trasformatore).
L’aggettivo statico deriva dal fatto che esso non ha parti in movimento.
Il trasformatore consente di modificare i valori per la tensione e la corrente alternata entranti nel
dispositivo nei rispettivi valori uscenti mantenendo costante la quantità di potenza elettrica (a meno
di dispersioni).
In particolare il trasformatore è una macchina elettrica che consente di innalzare ed abbassare, in
maniera efficiente e senza eccessive perdite, il valore della tensione.
Il trasformatore inoltre è in grado di operare solo in corrente alternata poiché utilizza flussi variabili
di campo magnetico legati proprio alla natura della corrente alternata.
Un trasformatore è composto da:
un anello di materiale ferromagnetico
un avvolgimento primario
un avvolgimento secondario
avvolgimento primario
avvolgimento secondario
Anello di materiale ferromagnetico
Il principio di funzionamento del trasformatore è che se non c’è dispersione (in particolare di di
flusso), si ha che:
la potenza del circuito primario è uguale alla potenza del circuito secondario
Allora indicando con:
N 1 gli avvolgimento del circuito primario
N 2 gli avvolgimento del circuito secondario
V1 la differenza di potenziale massima del circuito primario
V2 la differenza di potenziale massima del circuito secondario
Otteniamo la seguente formula:
V1 N 1
=
V2 N 2
Mentre per l’intensità di corrente abbiamo
i2 N1
=
i1 N 2
Dalle due espressioni precedenti si ottiene uguagliandole
V1 i2
=
V2 i1
Osservazione
La medesima formula vale per i valori efficaci di tensione e corrente.
Osservazione
Se il rapporto tra il numero delle spire vale:
N1
> 1 il trasformatore vale da riduttore di tensione (cioè V2 < V1 )
N2
N1
< 1 il trasformatore vale da moltiplicatore di tensione (cioè V2 > V1 )
N2
Osservazione
Il trasformatore è utilizzato nel trasporto dell’energia elettrica dai luoghi di produzione, (le centrali
elettriche) ai luoghi di utilizza (centri abitati). Poiché per effetto Joule l’energia dissipata dipende
dal quadrato dell’intensità di corrente:
P = ieff2 R
Per ridurre al minimo l’energia dissipata durante il trasporto si utilizzano dei trasformatori per
diminuire l’intensità della corrente
aumentare la tensione della corrente
Quindi alla fonte (Centrale elettrica) si diminuisce l’intensità di corrente e si aumenta la tensione, si
trasporta la corrente e in corrispondenza dei centri abitati con un altro trasformatore si riporta la
l’intensità di corrente al valore desiderato, diminuendone la tensione.
Osservazione
Il calore dissipato allora si può scrivere ricordando la legge dell’effetto Joule è:
Q = ieff2 Rt
Produzione di corrente continua .Dinamo
La dinamo è un dispositivo che permette al produzione di corrente continua a partire da campi
magnetici.
Consideriamo il dispositivo per produrre corrente alternata visto in precedenza
moto rotatorio della spira dovuto ad una forza meccanica
Polo positivo
Polo negativo
C
B
D
A
iind
asse di rotazione
anelli che ruotano e invertono il segno della fem
alla base della spira vengono posizionati due anelli che ruotano su delle spazzole in modo tale da
cambiare le connessioni del circuito nell’istante in cui la fem indotta cambia il segno.
Il segno della corrente prodotta dalla dinamo è quindi sempre positivo (o sempre negativo) e il suo
andamento è pulsante che assume valori compresi tra zero e il valore massimo I 0 , infatti il grafico è
dato da
Raddrizzatore di corrente alternata .Anello di Pacinotti
Un raddrizzatore di corrente è uno strumento che permette di ottenere una corrente continua da una
corrente alternata.
Il primo raddrizzatore di corrente fu l’anello di Pacinotti che illustriamo di seguito.
Su un anello ferromagnetico posto tra due magneti vengono posti degli avvolgimenti di filo, che
formano un circuito chiuso, opportunamente collegate a un collettore.
Le estremità adiacenti di ogni avvolgimento di filo sono saldate su lamine di rame isolate fra loro ed
esse sono fissate all’asse di rotazione e costituiscono il collettore. Il collettore nel suo moto di
rotazione si trova a contatto con due spazzole metalliche, in questo modo è possibile la
trasmissione di corrente dal collettore al circuito elettrico esterno.
Facendo ruotare il collettore negli avvolgimenti di filo si provoca una variazione di flusso di campo
magnetico e quindi si avrà una corrente indotta che viene trasmessa al circuito attraverso il contatto
delle lamine di rame con le spazzole. L’insieme delle bobine determina un insieme di tensioni e
correnti pulsanti che sono sfasate dello stesso angolo e che, sommandosi, danno luogo a una
tensione quasi costante.
Il grafico delle una correnti pulsante che si ottengono da tale dispositivo è dato da:
Il grafico della somma delle corrente pulsanti mostra come la corrente risultante abbia un’intensità
raddrizzata, cioè un valore con buona approssimazione costante per i :
Osservazione
Questa macchina è reversibile: se si invia corrente continua all’anello, esso si mette a ruotare
fornendo energia meccanica. La corrente inviata al centro del circuito infatti provoca un campo
magnetico e le forze attrattive e repulsive che si determinano tra gli avvolgimenti presenti
sull’anello e i magneti esterni del dispositivo generano una coppia di forze che da origine ad un
movimento meccanico rotatorio.