8 Linee di trasmissione nel dominio del tempo

8 Linee di trasmissione nel dominio del
tempo
Introduzione
La trasmissione d’informazioni a distanza (radiocollegamento) che utilizza la propagazione libera del campo elettromagnetico (e.m.) è molto diffusa in ambito navale, avionico
e terrestre, nella teleradiodiffusione terrestre e da satellite, e in molteplici settori come
le telecomunicazioni spaziali, il telerilevamento, i sistemi radar e radioaiuto alla navigazione aerea e navale, i sistemi di telefonia cellulare e di comunicazione mobile. Le
motivazioni di tale diffusione sono da ricercare nella semplicità d’installazione e nella
possibilità di realizzare dei collegamenti in altro modo impossibili (si pensi ai ponti radio in regioni montuose e in regioni con clima particolarmente ostile). D’altra parte il
radiocollegamento presenta problemi legati all’inquinamento elettromagnetico, al rendimento di potenza molto basso e alla forte dipendenza del collegamento dalle condizioni
ambientali e meteorologiche che spesso non sono controllabili (per esempio nebbia, pioggia). Da ciò discende la necessità di realizzare delle strutture fisiche capaci di convogliare
il campo e.m. lungo determinati percorsi che collegano il trasmettitore con il ricevitore.
Se il mezzo materiale usato è omogeneo non vi è nessun motivo fisico che consenta
il trasporto di energia lungo un determinato percorso. L’unico modo per ‘obbligare’ il
campo a propagarsi in una direzione ben determinata consiste nell’introdurre opportune
discontinuità all’interno del mezzo materiale, la cui natura fisica dipende dalla frequenza
in gioco: uno o più conduttori a frequenze fino a quelle delle microonde, oppure due o
più dielettrici alle frequenze ottiche. Risulta quindi evidente che la propagazione del
campo e.m. convogliato all’interno di opportune strutture rappresenta uno degli aspetti
essenziali dell’elettromagnetismo. A tale scopo, è di fondamentale importanza illustrare le differenti tecniche di analisi utilizzate per affrontare uno studio sistematico della
propagazione delle onde elettromagnetiche in strutture guidanti. Tale studio è inoltre
necessario sia per individuare le problematiche comuni a tutti i sistemi di comunicazioni
elettriche su portante fisico sia per comprendere quali potrebbero essere gli accorgimenti
tecnici da prendere per incrementare le prestazioni del sistema di trasmissione.
8.1 Strutture guidanti
Nelle differenti applicazioni pratiche sono impiegate svariate tipologie di strutture guidanti a uno o più conduttori e la scelta di un tipo rispetto ad un altro è dettata da
particolari esigenze di costi, di peso, di ingombri, di compatibilità con altri dispositivi
159
8.1. Strutture guidanti
160
Figura 8.1: Tipiche strutture guidanti (a) linea bifilare, (b) cavo coassiale, (c) guida d’onda
metallica, (d) microstriscia.
ecc. Alle basse frequenze la struttura più diffusa per trasmettere l’energia elettromagnetica è costituita da due o più conduttori metallici paralleli, Figura 8.1(a) (linee bifilari
o multifilari) che collegano il trasmettitore al ricevitore. In essa la trasmissione avviene attraverso lo spazio esterno ai fili che, con la loro presenza ‘conformano’ il campo
elettromagnetico in modo che la potenza erogata dalle sorgenti sia trasferita sui carichi.
Esse sono usate per la trasmissione di segnali telefonici, la trasmissione e la distribuzione dell’energia elettrica e per la trasmissione di segnali digitali a basso bit rate. Tipici
esempi sono le linee aeree usate per il trasporto dell’energia elettrica e il doppino di rame
utilizzato per la telefonia e per la realizzazione di reti informatiche di area locale (LAN).
In questo tipo di strutture, dette aperte, è presente il fenomeno della radiazione, cioè
una dispersione dell’energia prodotta dal generatore nello spazio circostante (in direzione
trasversale a quella di propagazione). Tale comportamento provoca effetti minimi alle
basse frequenze e quando le dimensioni del circuito sono trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda, ed effetti di importanza crescente al crescere della frequenza. Il fenomeno
della radiazione è indesiderato, non solo per la perdita di efficienza della trasmissione
energetica, ma anche perché genera interferenze tra apparati elettrici ed elettronici differenti. Inoltre, per potenze di emissione particolarmente elevate (come nel caso dei radar
e delle stazioni radio base), la radiazione può costituire un pericolo per le persone e le
cose prossime alla zona di emissione.
La soluzione più intuitiva che consente di limitare fortemente questi problemi consiste nel realizzare opportune strutture capaci di confinare il campo elettromagnetico
all’interno di un tubo metallico che funge da schermo. E’ per questa ragione che alle
radiofrequenze le linee aeree sono sostituite dai cavi coassiali, Figura 8.1(b), cioè strutture composte da un conduttore centrale coassiale con una calza metallica concentrica
in cui l’intercapedine tra i due conduttori è riempita parzialmente o totalmente da dielettrico. Essi sono usati sia per la trasmissione di segnali analogici a banda larga, come
ad esempio il segnale televisivo, sia per trasmissioni digitali ad elevato bit rate. Nella
banda delle microonde e delle onde millimetriche (tipicamente per frequenze maggiori di
alcune decine di GHz) le strutture cilindriche costituite da semplici tubi metallici, Figura
8.1(c), sono invece preferite alle strutture coassiali a causa delle migliori proprietà elet-
Ing. Luciano Mescia
8.2. Circuiti a parametri concentrati e distribuiti
161
triche e meccaniche. Di queste, quella a sezione rettangolare e circolare sono largamente
usate nelle applicazioni ad elevata potenza e per accoppiare i ricevitori e i trasmettitori
alle antenne. Il fenomeno della radiazione può anche essere reso trascurabile utilizzando
strutture aperte in cui il campo e.m. decresce rapidamente al di fuori di esse. Tipici
esempi sono le strutture di tipo planare, come le microstrisce, rappresentate in Figura 8.1(d), costituite da una striscia di materiale conduttore depositato su un substrato
dielettrico metallizzato sulla faccia posteriore. Visto il loro ridotto peso, ingombro e
costo tali strutture guidanti sono largamente impiegate in tutte quelle applicazioni non
particolarmente sensibili alle maggiori perdite. In particolare esse sono usate prevalentemente per realizzare elementi reattivi nella banda delle microonde e per effettuare i
collegamenti all’interno di circuiti elettronici per applicazioni ad elevata frequenza in
tratti che non superano qualche centimetro.
8.2 Circuiti a parametri concentrati e distribuiti
Nei circuiti elettrici ed elettronici si utilizzano sempre dei ‘fili’ (che possono essere cavi
coassiali, linee bifilari, microstrisce, ecc..) per trasmettere i segnali in diversi punti e collegare tra loro i vari componenti secondo una configurazione desiderata. Di conseguenza,
nello studio teorico di questi circuiti si dovrebbe considerare che l’energia prodotta da
una generica sorgente si propaga da un punto all’altro del collegamento con una velocità
finita. E’ quindi evidente che potrebbe essere necessario analizzare sia da un punto di vista teorico sia applicativo l’impatto della lunghezza l del collegamento sul funzionamento
dell’intero sistema.
E’ noto che un campo e.m. variabile nel tempo può essere rappresentato dalla sovrapposizione di campi sinusoidali con frequenza compresa all’interno di una certa banda.
Gli effetti generati dal collegamento dipendono quindi dalla sua lunghezza l e dalla frequenza f del segnale emesso dalla sorgente. Nell’ipotesi in cui la tensione ai terminali
d’ingresso del collegamento vari nel tempo con legge Vg (t) = Vin (t) = V0 cos ωt, dove
ω = 2πf è la frequenza angolare, si avrà che la tensione ai terminali d’uscita è ritardata
nel tempo rispetto a quella d’ingresso di una quantità pari al ritardo di propagazione l/c
(c è la velocità della luce nel mezzo). Se il mezzo fisico che costituisce il collegamento è
senza perdite e non introduce distorsioni (comportamento lineare) si può scrivere:
)
[ (
)]
(
l
l
= V0 cos ω t −
(8.1)
Vout (t) = Vg t −
c
c
cioé il segnale d’uscita ha la stessa ampiezza del segnale d’ingresso e uno sfasamento la
cui entità è fornita dal fattore di fase
ωl
fl
l
= 2π = 2π
c
c
λ
(8.2)
dove λ è la lunghezza d’onda del segnale. Pertanto, la dimensione l della struttura con
cui il campo e.m. interagisce deve essere confrontata con la lunghezza d’onda, visto che
la lunghezza elettrica l/λ individua differenti regimi di funzionamento.
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
162
Quando è verificata la condizione l/λ ≪ 1 il regime di funzionamento è detto quasistatico. In questa condizione la lunghezza d’onda è molto più grande delle dimensioni
del circuito ed è possibile trascurare il ritardo di propagazione causato dal collegamento. Infatti, confrontando la tensione d’uscita Vout e d’ingresso Vin al tempo t = 0,
quando l = 10 cm, f = 1 kHz e c = 3 × 108 m/s, si ha ωl/c ≈ 2 × 10−6 e cioé
Vout ∼
= 0.999999999998 Vin . Si vede quindi che, ai fini pratici, i terminali d’ingresso
e d’uscita possono considerarsi coincidenti. In tale condizione, i circuiti sono detti a
parametri concentrati e il modello impiegato per la loro analisi considera come variabili
elettriche la differenza di potenziale ai capi della linea e la corrente elettrica che fluisce
nei conduttori, e le leggi di Kirchoff per ricavare il modello matematico. Tali grandezze,
anche se definite a rigore solo nel caso stazionario, sono comunemente usate anche nel
caso in cui le dimensioni della rete sono molto piccole rispetto alla lunghezza d’onda.
Pertanto, il sistema e.m. può essere descritto in termini di tensione e corrente finché
il ritardo di propagazione è trascurabile rispetto al periodo delle oscillazioni. Nel caso
in cui la linea è costituita da una tratta di cavo telefonico lungo l = 30 km, il fattore
di fase è ωl/c ≈ 0.42 e quindi Vout ∼
= 0.91 Vin . Quando l/λ ≈ 1 la connessione è di
dimensioni non trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda e perciò non è più possibile
ignorare lo sfasamento causato dalla propagazione delle onde e.m.. In queste condizioni
di funzionamento, la linea non può più essere considerata come un insieme di fili di collegamento ma deve essere vista come un circuito a parametri distribuiti. In tali circuiti
la modellizzazione avviene per mezzo di tensioni e correnti che dipendono dal tempo e
da una coordinata spaziale che individua la posizione sulla linea.
8.3 Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
La linea di trasmissione è una struttura guidante cilindrica che consente la propagazione
di onde e.m. di tipo TEM (Trasverse ElettroMagnetiche) e cioé caratterizzate da avere
componenti di campo elettrico e magnetico diverse da zero sul piano trasversale alla
direzione di propagazione. Non è detto, però, che le equazioni di Maxwell insieme alle
condizioni al contorno imposte sui conduttori della linea di trasmissione ammettano una
soluzione di tipo TEM. Infatti, affinché possa esistere un campo e.m. di tipo TEM è
necessario che siano soddisfatti i seguenti requisiti:
• sistema di conduttori elettrici aventi conducibilità infinita (metallo perfetto) in
modo che, pur scorrendo una corrente superficiale, la componente del campo e.m.
lungo la direzione di propagazione sia nulla;
• conduttori elettrici immersi in un mezzo omogeneo;
• sezione trasversale non semplicemente connessa o equivalentemente che il contorno
sia costituito da almeno due conduttori;
• le generatrici dei conduttori elettrici devono essere fra loro parallele.
Un esempio significativo di linea di trasmissione TEM è il cavo coassiale. Infatti, in
tale struttura le linee di campo elettrico sono radiali mentre quelle di campo magnetico
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
163
formano delle circonferenze nella regione compresa tra i due conduttori, e quindi non
esistono i componenti longitudinali di campo e.m.. Altri esempi sono la linea bifilare e
la linea a piani metallici paralleli. Inoltre, anche se il campo e.m. presente su una linea
a microstriscia non ha esattamente le caratteristiche di un’onda TEM, essa può essere
comunque inclusa tra le linee TEM visto che i componenti longitudinali del campo e.m.
sono molto più piccoli dei componenti trasversali.
Da un punto di vista circuitale, una linea di trasmissione può essere assimilata ad una
rete a due porte dove ciascuna porta è composta da due terminali: una porta è detta di
trasmissione l’altra di ricezione. La sorgente, che può essere per esempio un oscillatore
controllato in tensione (VCO) o un amplificatore, è collegata alla porta di trasmissione.
Il circuito collegato alla porta di ricezione è invece un semplice carico che può essere per
esempio un’antenna.
Le equazioni che regolano la propagazione del campo e.m. lungo una linea di trasmissione possono essere ricavate direttamente dalle equazioni di Maxwell. In generale, esse
hanno dimensioni trasversali piccole rispetto alla lunghezza d’onda, ma con lunghezza
che può essere anche molto grande. Quindi, mentre una rete a parametri concentrati è
modellizzata come puntiforme, una linea di trasmissione è un sistema unidimensionale
in cui le varie grandezze elettriche dipendono dal tempo e dalla coordinata spaziale che
descrive la posizione lungo la linea. Essa è quindi equivalente a un circuito a parametri
distribuiti per sottolineare il fatto che l’energia elettromagnetica, oltre ad essere immagazzinata nei componenti reattivi (induttori e condensatori), è immagazzinata anche
nello spazio che circonda i conduttori della linea, che risulta avere una induttanza e una
capacità per unità di lunghezza. Nel caso in cui esistano soluzioni delle equazioni di
Maxwell di tipo TEM è possibile dimostrare che esse sono suscettibili di una descrizione
circuitale, nel senso che è possibile trasformare le equazioni relative ai campi elettrico
e magnetico in equazioni a cui devono soddisfare la tensione, v, ai capi della linea e la
corrente, i, circolante sui suoi conduttori. Questo tipo di modello presenta l’indubbio
vantaggio di agire su grandezze scalari monodimensionali e la possibilità di misurare,
almeno in linea d principio, direttamente la tensione tra i due conduttori tramite un
voltmetro e la corrente mediante un amperometro.
L’approccio utilizzato per analizzare una linea di trasmissione consiste nell’orientare la
linea lungo la direzione longitudinale (asse z) e scomporre i campi nelle rispettive componenti trasversali, che si indicheranno con ili pedice t, e longitudinali, che si indicheranno
con il pedice z. In queste ipotesi, l’operatore ∇ può essere scomposto come
∇ = ∇t + ∇z = ∇t +
∂
ẑ
∂z
e per i mezzi lineari, omogenei, isotropi, senza perdite e in assenza di sorgenti le equazioni
di Maxwell da considerare sono
(
)
∂
∂Ht
∂Hz
∇t +
ẑ × (Et + Ez ẑ) = −µ
−µ
ẑ
∂z
∂t
∂t
(
)
∂
∂Et
∂Ez
∇t +
ẑ × (Ht + Hz ẑ) = ϵ
+ϵ
ẑ
∂z
∂t
∂t
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8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
da cui
∂
∇t × Et + ∇t Ez × ẑ +
(ẑ × Et ) =
| {z }
∂z
|
{z
}
lungo z
sul piano trasverso
e
∂Ht
−µ
| {z∂t }
∂Hz
−µ
ẑ
| {z∂t }
sul piano trasverso
lungo z
∂
∇t × Ht + ∇t Hz × ẑ +
(ẑ × Ht ) =
| {z }
∂z
|
{z
}
lungo z
sul piano trasverso
∂Et
ϵ
∂t}
| {z
164
∂Ez
ϵ
ẑ
| ∂t
{z }
sul piano trasverso lungo z
Raccogliendo separatamente i termini trasversali e quelli longitudinali si ha
∂
∂Ht
(ẑ × Et ) = ẑ × ∇t Ez − µ
∂z
∂t
∂Hz
∇t × Et = −µ
ẑ
∂t
∂
∂Et
(ẑ × Ht ) = ẑ × ∇t Hz + ϵ
∂z
∂t
∂Ez
∇t × Ht = ϵ
ẑ
∂t
e nel caso di onde TEM (Ez = Hz = 0) si ottiene
∂
∂Ht
(ẑ × Et ) = −µ
∂z
∂t
∂
∂Et
(ẑ × Ht ) = ϵ
∂z
∂t
∇ t × Et = 0
∇t × Ht = 0
(8.3)
(8.4)
(8.5)
(8.6)
Visto che la struttura è invariante lungo l’asse z è plausibile supporre che i campi trasversali possano essere espressi come il prodotto di due funzioni, una delle sole coordinate
trasversali e l’altra della sola coordinata longitudinale e del tempo
Et = v(z, t)e
Ht = i(z, t)h
Pertanto, sostituendo tali equazioni nelle (8.3)–(8.6) si ricava
∂v(z, t)
∂i(z, t)
(ẑ × e) = −µ
h
∂z
∂t
∂i(z, t)
∂v(z, t)
(ẑ × h) = ϵ
e
∂z
∂t
v(z, t)∇t × e = 0
i(z, t)∇t × h = 0
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8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
165
e considerando che v(z, t) e i(z, t) non possono essere nulli si ottiene
∂v(z, t)
∂i(z, t)
(ẑ × e) = −µ
h
∂z
∂t
∂i(z, t)
∂v(z, t)
(ẑ × h) = ϵ
e
∂z
∂t
∇t × e = 0
∇t × h = 0
Dalle ultime due equazioni si osserva che essendo e e h irrotazionali essi possono essere espressi come gradienti di opportune funzioni potenziali e = −∇t ϕ e h = −∇t ψ.
Essendo inoltre il vettore e anche solenoidale si ha che
∇ · ∇ϕ = ∇2 ϕ = 0
cioé il potenziale ϕ soddisfa l’equazione di Laplace. Dalla prima equazione si desume
che i vettori ẑ × e e h sono paralleli e cioé
ẑ × e = Ah
con A costante arbitraria. Inoltre, si ha anche ẑ × (ẑ × e) = −e = Aẑ × h. Pertanto,
sostituendo quanto ottenuto nelle equazioni rivacate in precedenza si ricava in definitiva
∂v(z, t)
µ ∂i(z, t)
=−
∂z
A ∂t
∂i(z, t)
∂v(z, t)
= −ϵA
∂z
∂t
e = ∇t ϕ
h = ∇t ψ
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Se la costante arbitraria A è scelta in modo tale che v rappresenti la differenza di potenziale tra i due conduttori delle linea di trasmissione e i la corrente trasportata da
un conduttore si ha che µA è una induttanza per unità di lunghezza e ϵA una capacità
per unità di lunghezza. Infatti, nell’ipotesi che i conduttori della linea siano perfetti e
considerando che il e è un campo elettrostatico si avrà che
∫ P2
∫ P2
∫ P2
∫ P2
∂ϕ
Et · τ̂ dl = v
e · τ̂ dl = −v
∇ϕ · τ̂ dl = −v
dl = −v [ϕ(P2 ) − ϕ(P1 )]
P1
P1
P1
P1 ∂l
dove P1 e P2 sono due punti arbitrari presi rispettivamente sui conduttori della linea, τ̂
è il versore tangente al cammino d’integrazione. Affinchè l’integrale del campo elettrico
tra P1 e P2 sia uguale a v si deve imporre
ϕ(P2 ) − ϕ(P1 ) = −1
e una scelta possibile è ϕ(P2 ) = 0 V e ϕ(P1 ) = 1 V. Il conduttore che ha tutti i suoi punti
a potenziale nullo si dice conduttore di riferimento o di terra o di ritorno. Si osservi che
con questa scelta il campo e assume le dimensioni dell’inverso di una lunghezza.
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8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
166
Essendo i conduttori dei metalli perfetti si avrà che le loro superfici sono equiponteziali. Inoltre, al loro interno non può circolare nessuna corrente e pertanto le uniche
correnti assiali che possono circolare sono localizzate sulla superficie dei conduttori. La
circuitazione del campo magnetico lungo un genico contorno che racchiude un conduttore
della linea è data da
I
I
I
I
I
i
i
i
i
∂ϕ
Ht · τ̂ dl = −
ẑ×e · τ̂ dl =
∇t ϕ · (τ̂ × ẑ) dl = −
∇t ϕ · n̂dl = −
dl
A
A
A
A
∂n
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
dove n̂ è il versore normale al cammino d’integrazione. Quindi, affinchè l’integrale del
campo magnetico sia uguale alla corrente i è necessario che
I
∂ϕ
dl
(8.11)
A=
∂n
Γ
Si noti che A può essere determinata solo dopo aver specificato la sezione trasversale
della guida d’onda. Inoltre, si osservi che anche h ha le dimensioni dell’inverso di una
lunghezza.
La trattazione effettuata evisenzia che il problema tridimensionale e vettoriale relativo
alla propagazione di un’onda TEM lungo una linea di trasmissione può essere ricondotto
ad un problema unidimensionale in cui sono coinvolte le grandezze scalari v e i che hanno
rispettivamente le dimensioni di una tendsione e di una corrente. Le equazioni (8.7)–
(8.8) richiamano il circuito equivalente a parametri concentrati mostrato in Figura 8.2.
In particolare, suddividendo la linea in tratti infinitesimi di lunghezza ∆z si rappresenta
ciascun tratto mediante un circuito equivalente formato, nel caso di assenza di perdite, da
condensatori e induttori. Per ricavare il circuito equivalente del tratto elementare ∆z di
linea, si osservi che se nei conduttori fluisce una corrente essa genera un campo magnetico
le cui linee di campo circondano i conduttori stessi (considerati perfetti). Tale campo,
genera un flusso di induzione autoconcatenato attraverso una superficie appoggiata ai
conduttori. Il coefficiente di proporzionalità tra corrente e flusso è, per definizione,
l’induttanza del tratto di linea, che scriviamo L∆z per evidenziare la dipendenza lineare
del flusso dalla lunghezza ∆z. Di conseguenza, L, misurata in H/m, è l’induttanza
per unità di lunghezza della linea. Ancora, i due conduttori affacciati costituiscono un
condensatore con capacità C∆z, essendo C la capacità per unità di lunghezza della linea,
misurata in F/m. Tale modello equivalente è applicabile a tutte le linee di trasmissione
TEM visto che esse si differenziano tra loro solo per gli elementi L e C: infatti, i valori
di tali elementi circuitali dipendono dai parametri geometrici e costitutivi della linea di
trasmissione. Utilizzando le leggi di Kirchhoff e facendo tendere ∆z a zero si ottengono
le equazioni delle linee di trasmissione o dei telegrafisti :
∂i(z, t)
v(z + ∆z, t) − v(z, t)
= −L
∆z→0
∆z
∂t
i(z + ∆z, t) − i(z, t)
∂v(z, t)
lim
= −L
∆z→0
∆z
∂t
lim
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8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
167
L∆
∆z
i(z,t)
v(z,t)
i(z+∆
∆z,t)
C∆
∆z
v(z+∆
∆z,t)
Figura 8.2: Circuito equivalente di un tratto ∆z di linea di trasmissione.
da cui
∂v(z, t)
∂i(z, t)
+L
=0
∂t
∂t
∂i(z, t)
∂v(z, t)
+C
=0
∂t
∂t
(8.12)
(8.13)
Le (8.12)–(8.13) sono delle equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine
accoppiate che devono essere completate da opportune condizioni iniziali e al contorno.
Generalmente il circuito più semplice che comprende una linea di trasmissione è quello
schematizzato in Figura 8.3. E’ chiaro quindi che le condizioni al contorno devono essere
per ogni t ≥ 0:
e(t) − Rg i(0, t) = v(0, t)
v(l, t) = RL i(l, t)
(8.14)
(8.15)
dove e(t) è una funzione causale assegnata. Inoltre, all’istante iniziale (t = 0) si specifica
lo stato degli elementi reattivi per ogni 0 ≤ z ≤ L:
v(z, 0) = v0 (z)
(8.16)
i(z, 0) = i0 (z)
(8.17)
dove generalmente v0 (z) e i0 (z) sono nulli in virtù del fatto che a t = 0 la linea è
scarica. In definitiva, si può dire che le (8.12)–(8.13) costituiscono un sistema omogeneo
e che, nel caso di una linea scarica, il sistema è eccitato dalla condizione al contorno
in z = 0. In realtà, non sempre la linea è eccitata solo alle due estremità. Infatti, nei
problemi di compatibilità elettromagnetica è sovente lo studio di una linea investita da un
campo elettromagnetico il quale può essere modellizzato da un insieme di generatori di
corrente e di tensione distribuiti lungo la linea con una determinata densità per unità di
lunghezza. Questi ultimi costituiscono un termine forzante per il sistema (8.12)–(8.13)
il quale diventa di conseguenza non omogeneo. Pertanto, la soluzione del problema
complessivo è fornita dalla somma tra la soluzione del sistema omogeneo associato e una
soluzione particolare del sistema non omogeneo. Nel seguito sarà fissata l’attenzione sul
primo tipo di soluzione che è comune ad entrambi i tipi di problema.
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
168
Rg
+
e(t)
RL
L z
0
Figura 8.3: Semplice schema circuitale comprendente una linea di trasmissione.
Derivando la (8.12) rispetto a z e la (8.13) rispetto a t si ottiene:
∂ 2 v(z, t)
∂ 2 i(z, t)
+
L
(8.18)
∂z 2
∂z∂t
∂ 2 i(z, t)
∂ 2 v(z, t)
(8.19)
+C
∂t∂z
∂t2
se inoltre i(z, t) è una funzione regolare le due derivate miste sono uguali e quindi si
ottiene:
∂ 2 v(z, t)
∂ 2 v(z, t)
−
LC
(8.20)
∂z 2
∂t2
La (8.20) è conosciuta come equazione delle onde √
perché le sue soluzioni sono delle onde
che si propagano con la velocità di fase vf = 1/ LC. Inoltre, visto che la corrente e
la tensione lungo la linea sono correlate tra loro, è necessario che la (8.20) sia associata
alla (8.12) o alla (8.13) per ricavare la corrente. In particolare, la soluzione generale
delle onde di tensione è data dalla combinazione lineare di due modi propri del sistema
chiamati onda progressiva, vi (z, t), e onda regressiva, vr (z, t):
)
(
)
(
z
z
− −
+ +
+V f
t+
= vi (z, t) + vr (z, t)
(8.21)
v (z, t) = V f
t−
vf
vf
dove sono state usate le ampiezze costanti V + e V − e i simboli f + e f − per indicare
due funzioni arbitrarie. Sostituendo la (8.21) nella (8.12) è possibile ricavare la corrente
come:
∫
∂i(z, t)
1 ∂v(z, t)
1
∂v(z, t)
=−
→ i(z, t) = −
dt
(8.22)
∂t
L ∂z
L
∂z
Posto ξ = t − z/vf e η = t + z/vf si ottiene
∂ξ
1
=−
∂z
vf
∂η
1
=
∂z
vf
e quindi
∂v(z, t)
∂f + ∂ξ
∂f − ∂η
=V+
+V−
∂z
∂ξ ∂z
∂η ∂z
V + ∂f + V − ∂f −
+
=−
vf ∂ξ
vf ∂η
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(8.23)
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
Dalla sostituzione della (8.23) nella (8.22) si ottiene in definitiva:
[
]
∫
∫
1
V+
∂f +
V−
∂f −
−
dξ +
dη
i (z, t) = −
L
vf
∂ξ
vf
∂η
(
(
[
)
)]
z
z
1
+ +
− −
t−
t+
=
V f
−V f
Zc
vf
vf
vi (z, t) vr (z, t)
= ii (z, t) + ir (z, t) =
−
Zc
Zc
169
(8.24)
dove l’impedenza caratteristica Zc della linea è fornita dalla relazione:
√
√
1
LC
C
1
=
=
= Yc =
Lvf
L
L
Zc
da cui
√
Zc =
L
C
(8.25)
Si noti che lo stato elettrico della linea dipende da z e t solo attraverso le combinazioni
(t − z/vf ) e (t + z/vf ) che è l’unico vincolo imposto dall’equazione d’onda. Inoltre, l’arbitrarietà delle funzioni f + e f − è rimossa quando si costruisce una soluzione particolare
che soddisfa le condizioni al contorno.
Si supponga di avere una linea di trasmissione di lunghezza infinita alla quale è collegato il generatore di tensione reale, rappresentato in Figura 8.3, che produce una tensione
e(t). Se la linea è scarica, all’istante t = 0− la tensione e la corrente su tutta la linea sono nulle. All’istante t = 0+ il generatore applica in corrispondenza della sezione
z = 0 una differenza di potenziale che si propaga lungo la linea. Inoltre, essendo la linea
infinitamente lunga, è lecito ipotizzare la propagazione della sola onda progressiva. In
tale situazione la corrente fornita dal generatore è i(0, t) = ig = V + f + (t)/Zc , la quale
sostituita nella condizione al contorno (8.14) fornisce le relazioni:
)
(
Rg
+ +
e (t) = V f (t) 1 +
Zc
Zc
⇒ V + f + (t) =
e (t)
Zc + Rg
f + (t)
=
V+
=
e(t)
Zc
Zc + Rg
(8.26)
(8.27)
In questo modo, la funzione f + è determinata in quanto, a meno di un fattore di scala,
assume un andamento temporale uguale a quello del generatore. La soluzione dell’onda
di tensione per z > 0 si ottiene sostituendo l’argomento t con t − z/vf :
(
)
Zc
z
v (z, t) = vi (z, t) =
e t−
(8.28)
Zc + Rg
vf
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
170
Rg
+
e(t)
vi(z,t)
Zc
Figura 8.4: Circuito equivalente con linea di trasmissione infinitamente lunga.
a cui, tramite la (8.24), corrisponde l’onda di corrente:
(
)
1
z
i (z, t) = ii (z, t) =
e t−
Zc + Rg
vf
(8.29)
In definitiva, per una linea di trasmissione infinitamente lunga, la tensione in ogni punto
della linea coincide, istante per istante, con la partizione della tensione erogata dal
generatore calcolata usando il circuito equivalente a parametri concentrati mostrato
in Figura 8.4. L’impedenza di una linea infinitamente lunga non dipende dal tipo di
terminazione e di conseguenza vale sempre Zc , considerazione che consente di giustificare
le (8.26)-(8.27). Si osservi inoltre, che indicando con τ il tempo che impiega il segnale
per propagarsi da z = 0 a z = l, il circuito di Figura 8.4 è utilizzabile anche nel caso
di linea di trasmissione con lunghezza finita ma solo per t ≤ τ , poiché in questo caso
l’eventuale eco di ritorno si ha solo a t = τ : infatti, prima di questo istante di tempo
non si può sapere se la linea è infinita oppure no. Nel caso della linea di trasmissione
collegata come in Figura 8.3, le condizioni al contorno in z = l sono:
v(l, t) = vL = RL iL
i(l, t) = iL
(8.30)
e se la linea di trasmissione è collegata ad un carico RL che differisce dall’impedenza
caratteristica Zc , è necessario considerare in z = l anche l’onda riflessa. Più precisamente
le onde di tensione e di corrente incidenti sono:
)
(
l
+ +
vi (l, t) = V f
t−
vf
(
)
l
Zc
e t−
=
Zc + Rg
vf
(
)
l
= V +e t −
(8.31)
vf
1
ii (l, t) =
vi (l, t)
(8.32)
Zc
Visto che le (8.30) sono funzioni lineari è chiaro che le onde di tensione e di corrente riflesse devono avere la stessa dipendenza temporale delle onde incidenti e perciò assumono
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
la forma:
(
)
l
l−z
vr (z, t) = V e t −
−
vf
vf
)
(
z
2l
−
= V e t+
−
vf
vf
1
ir (z, t) = − vr (z, t)
Zc
171
−
(8.33)
(8.34)
da cui si osserva che l’argomento, oltre al fattore t + z/vf , contiene anche un fattore di
ritardo tale che a z = l l’onda riflessa ha la forma e(t − l/vf ). A z = l devono inoltre
essere soddisfatte le condizioni (8.30) e quindi:
)
)
)
(
(
(
( +
)
l
l
l
+
−
−
V e t−
+V e t−
= V +V e t−
vf
vf
vf
(
)
(
)
l
RL
+
−
V −V e t−
=
Zc
vf
V++V−
RL
=
+
−
V −V
Zc
da cui
ΓL =
V−
I−
RL − Zc
=
−
=
V+
I+
RL + Zc
(8.35)
dove il rapporto tra l’ampiezza dell’onda di tensione riflessa e incidente, ΓL , è chiamato
coefficiente di riflessione. Si osservi che l’unica condizione che assicura ΓL = 0 (assenza
dell’onda riflessa) è RL = ZC (la potenza dell’onda incidente è completamente assorbita
dal carico). Le considerazioni appena fatte possono essere applicate anche quando l’onda
di tensione riflessa giunge al generatore. In particolare, l’onda riflessa sarà completamente assorbita dal generatore, se la resistenza interna del generatore è uguale all’impedenza
caratteristica della linea, e nuovamente riflessa in avanti, se Rg ̸= ZC . Inoltre, in presenza di variazioni il generatore di tensione si comporta come un corto circuito perché,
dovendo fornire in z = 0 sempre la stessa tensione imposta dalla (??), ogni eventuale
onda riflessa ritrasmessa in avanti deve essere compensata dal generatore stesso. Di
conseguenza, il coefficiente di riflessione del generatore, Γg , vale:
Γg =
Rg − Zc
Rg + Zc
(8.36)
L’onda ritrasmessa in avanti sarà nuovamente riflessa dal carico e quindi con il trascorrere
del tempo saranno presenti sulla linea di trasmissione una moltitudine di onde progressive
e regressive. Tale fenomeno è di particolare importanza nella trattazione di segnali a larga
banda in quanto contribuisce complessivamente a determinare la risposta in transitorio
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
172
della linea di trasmissione. L’insieme di queste onde può essere descritto dalla seguente
relazione:
(
)
(
) (
)
z
z − 2l
l
+
+
+ ΓL V e t +
U t−
+
v(z, t) = V e t −
vf
vf
vf
) (
)
(
2l
z + 2l
+
U t−
+
+ Γ g ΓL V e t −
vf
vf
(
) (
)
z − 4l
3l
2 +
+ Γ g ΓL V e t +
U t−
+
vf
vf
(
) (
)
z + 4l
4l
+ Γ2g Γ2L V + e t −
U t−
+ ...
(8.37)
vf
vf
dove V + = Zc /(Rg + Zc ) e U (t − α) è la funzione gradino che è uguale a zero per t < α
e uguale a 1 per t ≥ α. Esplicitando la (8.37) nelle sezioni z = 0 e z = l e ponendo
τ = l/vf si ha:
[
]
v (0, t) = V + e (t) + ΓL (1 + Γg ) e (t − 2τ ) + Γg Γ2L (1 + Γg ) e (t − 4τ ) + . . .
[
]
∞
∑
n
+
=V
e(t) + (1 + Γg )ΓL
(Γg ΓL ) e (t − 2(n + 1)τ )
(8.38)
n=0
[
]
v (l, t) = V + (1 + ΓL ) e (t − τ ) + Γg ΓL e (t − 3τ ) + Γ2g Γ2L e (t − 5τ ) + . . .
∞
∑
= V + (1 + ΓL )
(Γg ΓL )n e (t − (2n + 1) τ )
(8.39)
n=0
Si osservi che anche se la soluzione generale è data in termini di una serie infinita, nella
realtà si è interessati solo a calcolare la tensione e corrente all’interno di una certa finestra
di osservazione. Quindi, fissato un tempo t ≤ tmax , vi è solo un numero finito di termini
che dà contributo.
8.3.1 Diagramma a traliccio
Sulla base delle interpretazioni date è possibile tracciare un diagramma spazio-temporale,
detto diagramma a traliccio, utile per determinare l’andamento della tensione e della
corrente nel caso di carico non adattato. La posizione lungo la linea di trasmissione è
riportata sull’asse orizzontale ed il tempo sull’asse verticale. Come mostrato in Figura
8.5, il grafo è composto da una linea a zig-zag che rimbalza tra la sezione z = 0 e z = l.
Ogni cambio di direzione corrisponde ad una riflessione. L’ampiezza di ogni segnale
riflesso si calcola moltiplicando l’ampiezza del segnale incidente per il coefficiente di
riflessione alla porta in cui avviene la riflessione. I coefficienti di riflessione sono indicati
sul diagramma in corrispondenza degli istanti di tempo in cui avvengono le diverse
riflessioni.
La sequenza temporale inizia in corrispondenza del collegamento tra la linea di trasmissione e la sorgente avente resistenza interna Rg . Se la tensione a vuoto del generatore
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
173
Rg
+
0
V
+
=
ΓL
Γg
e(t)
1− Γ g
2
z1
e (t )
RL
l
z
V+
T
Γ LV +
2T
t1
4T
Γ g Γ LV +
3T
Γ g Γ 2LV +
Γ 2g Γ 2LV +
t
Figura 8.5: Diagramma a traliccio per la tensione lungo la linea di trasmissione.
è un gradino di ampiezza V0 , ai morsetti esterni del generatore è presente un gradino di
tensione di ampiezza V0 V + = V0 [Zc / (Zc + Rg )] = V0 (1 − Γg ) /2. Il fronte di salita si
propaga con velocità vf e all’istante t = τ raggiunge il carico, dove è generato un segnale
riflesso il cui fronte di salita ha ampiezza V1− = V0 V + ΓL e viaggia verso la sorgente
con la stessa velocità vf . A t = 2τ il segnale riflesso giunge a z = 0 dove è generato
un nuovo segnale che si propaga verso il carico e che ha ampiezza V2+ = V0 V + ΓL Γg .
Il processo continua avanti e indietro all’infinito, anche se ad ogni riflessione l’ampiezza
dell’impulso che si somma tende a zero in quanto ΓL e Γg sono minori di uno. I fenomeni
appena descritti sono analiticamente sintetizzati all’interno della (8.37). In particolare
in corrispondenza delle sezioni terminali è possibile usare le (8.38) e (8.39) ed essendo
e(t − α) = V0 si ottiene:
[
]
∞
∑
(Γg ΓL )n
(8.40)
v (0, t) = V + V0 1 + (1 + Γg ) ΓL
n=0
v (l, t) = V + V0 (1 + ΓL )
∞
∑
(Γg ΓL )n
(8.41)
n=0
Essendo ΓL Γg < 1 la serie
∞
∑
(Γg ΓL )n converge al valore 1/(1 − Γg ΓL ). Utilizzando tale
n=0
Ing. Luciano Mescia
8.3. Modello a parametri concentrati della linea di trasmissione
174
risultato è possibile verificare la relazione:
1 + (1 + Γg ) ΓL
∞
∑
(Γg ΓL )n = (1 + ΓL )
n=0
∞
∑
(Γg ΓL )n
n=0
e usando le (8.35)-(8.36) si ottiene l’equazione:
(1 + ΓL )
∞
∑
(Γg ΓL )n =
n=0
RL (Rg + Zc )
1 + ΓL
=
1 − Γg ΓL
Zc (RL + Rg )
Sostituendo quanto ottenuto nelle (??)-(??) si ottiene quindi:
v (0, ∞) = v (l, ∞)
RL (Rg + Zc )
= V + V0
Zc (RL + Rg )
Zc RL (Rg + Zc )
= V0
Rg + Zc Zc (RL + Rg )
RL
v∞ = V 0
RL + Rg
(8.42)
In definitiva per t → ∞, cioè quando il transitorio è terminato, i valori di tensione
asintotici, v∞ , in z = 0 e z = l sono uguali a quelli ottenuti applicando la teoria dei
circuiti a parametri concentrati (linea di trasmissione equivalente a un semplice filo).
E’ intuitivo che il tempo impiegato dalla tensione a raggiungere un valore prossimo a
quello asintotico è tanto più elevato quanto più è elevato il tempo τ impiegato da un
generico fronte d’onda ad attraversare la linea, e di conseguenza dalla lunghezza della
linea stessa, e dai valori dei coefficienti di riflessione ΓL e Γg . Se invece la tensione a
vuoto del generatore è un segnale di durata finita T0 , in funzione della lunghezza l della
linea, e quindi del tempo di transito τ , si possono verificare due condizioni diverse:
• condizione di riverbero, τ < T0 /2, quando durante le riflessioni successive si ha una
parziale sovrapposizione dei segnali;
• condizione di echi multipli, τ > T0 /2, quando durante le riflessioni successive non
si ha sovrapposizione di segnale.
Essendo la (8.37) una relazione di carattere generale è chiaro che il diagramma a traliccio
può essere utilizzato per determinare la tensione complessiva in un qualsiasi punto z1
della linea e a un qualsiasi istante di tempo t1 . Infatti, come mostrato in Figura 8.5,
una volta tracciato il segmento parallelo all’asse dei tempi passante per z1 e terminante
a t1 è possibile determinare la tensione complessiva in z1 all’istante t1 sommando le
tensioni relative a tutti i tratti obliqui che il segmento interseca nell’intervallo di tempo
0 ÷ t1 . Inoltre la variazione nel tempo della tensione in un generico punto z è ricavabile
tracciando i valori di tensione complessiva lungo la linea verticale che passa per z. Seguendo un procedimento simile a quello descritto per la tensione totale v(z, t) è possibile
Ing. Luciano Mescia
8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate
175
Rg
+
+
I =
−Γ L
−Γ g
e(t)
1− Γ g
2Z c
0
z1
e (t )
RL
l
z
I+
−Γ L I +
2T
T
Γ g ΓL I +
−Γ g Γ 2L I +
t1
4T
3T
Γ 2g Γ 2L I +
t
Figura 8.6: Diagramma a traliccio per la corrente lungo la linea di trasmissione.
ricavare il diagramma a traliccio per la corrente totale i(z, t), considerando che, in base
alle equazioni (8.32) e (8.34), la corrente riflessa è legata a quella incidente mediante il
coefficiente di riflessione invertito di segno. In Figura 8.6 è rappresentato il diagramma a
traliccio per la corrente lungo la linea di trasmissione Anche per la corrente il fenomeno
della riflessione multipla prosegue all’infinito e il valore di corrente asintotico,i∞ , può
essere ricavato dal valore di tensione asintotico tramite la relazione:
i∞ =
V0
v∞
=
RL
Rg + RL
(8.43)
8.4 Linee di trasmissione con terminazioni resistive non
adattate
Come detto in precedenza la presenza di terminazioni non adattate alla linea di trasmissione in corrispondenza delle sezioni z = 0 (Rg ̸= Zc ) e/o z = l (RL ̸= Zc ) comporta
la comparsa di una serie di onde riflesse che perturbano, anche sostanzialmente, lo stato elettrico della linea stessa rispetto al caso di adattamento completo. In questi casi,
al fine di prevenire dei malfunzionamenti alle sezioni del carico e del generatore, è indispensabile studiare il transitorio di tensione e di corrente. Si consideri per esempio
il tipico collegamento mostrato in Figura 8.3, e si supponga di calcolare la risposta al
gradino di tensione U (t) di ampiezza V0 = 2V (e(t) = 2U (t)) nel caso in cui l’uscita è
chiusa in circuito aperto (RL = ∞) e il generatore è adattato alla linea di trasmissio-
Ing. Luciano Mescia
8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate
Rg=50 Ω
0
RL=∞
+
1
V0U(t)
0
V+ =
V0
2
V+
l=30 cm
z
1 ns
+
−1
0
V0U(t)
0
I+ =
V0
2Z c
V+
2 ns
t
RL=∞
Rg=50 Ω
176
I+
l=30 cm
z
1 ns
2 ns
t
(a)
−I +
(b)
Figura 8.7: (a) diagramma a traliccio per le tensioni e (b) per le correnti lungo una linea di
trasmissione avente impedenza caratteristica Zc = 50 Ω e chiusa sulle impedenze
RL = ∞ e Rg = 50 Ω.
ne (Rg = Zc ). Le caratteristiche fisiche e geometriche della linea di trasmissione sono
l = 30 cm, Rg = 50 Ω, ϵ = ϵ0 , L = 166.78 nH/m, C = 66.713 pF/m. In queste ipotesi
di lavoro è possibile ricavare tramite la (8.25) una impedenza caratteristica della linea
pari a Zc = 50 Ω, e il tempo di propagazione lungo la linea di trasmissione è τ = 1 ns.
In Figura 8.7(a) e 8.7(b) sono riportati rispettivamente i diagrammi a traliccio della
corrente e della tensione. Essi presentano solo due rami in virtù del fatto che il generatore è adattato alla linea di trasmissione. Inizialmente, dalle (8.27) si ricava che la
tensione al terminale d’ingresso della linea è uguale a 1 V. Per istanti di tempo vicini
a t = 0 sulla linea è presente solo l’onda incidente. Quando all’istante t = 1 ns l’onda
incidente raggiunge il terminale d’uscita il circuito aperto non è in grado di soddisfare
la condizione al contorno, che richiede una corrente nulla, a meno che non sia generata
un’onda riflessa tale che ir (z, t) = −ii (z, t) a cui corrisponde vr (z, t) = vi (z, t). Infatti
essendo ΓL = 1 la tensione dell’onda riflessa è uguale a quella dell’onda incidente e le
onde di corrente si compensano in modo tale che la corrente totale d’uscita sia nulla.
Pertanto, l’ampiezza della tensione risultante al carico è un gradino di tensione con ampiezza 2 V, il doppio dell’ampiezza dell’onda incidente. L’onda riflessa impiega 1 ns
per raggiungere il generatore e pertanto all’istante t = 2 ns la tensione dell’onda riflessa
e quella dell’onda incidente si sommano all’ingresso della linea di trasmissione e danno
un’ampiezza totale di 2 V. Infine, essendo dalla (8.36) Γg = 0 (il generatore adattato alla
linea di trasmissione), l’onda riflessa è completamente assorbita dalla resistenza interna
del generatore e quindi non c’è nessuna ulteriore riflessione. In Figura 8.8 è riportata
l’evoluzione temporale della tensione alle due sezioni terminali della linea di trasmissione. Le funzioni analitiche che individuano gli andamenti temporali illustrati in Figura
8.8 possono essere facilmente ricavati dal diagramma a traliccio mostrato in Figura 8.7
o dalle (8.38) e (8.39):
v (0, t) = U (t) + U (t − 2τ )
v (l, t) = 2U (t − τ )
Ing. Luciano Mescia
8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate
177
2.5
Tensione al carico
Tensione ingresso guida
Tensione generatore
Tensione [V]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
Tempo [s]
4
5
x 10
−9
Figura 8.8: Evoluzione temporale della tensione ai capi del carico (linea continua), all’ingresso
della linea di trasmissione (linea tratteggiata), e del generatore (linea punteggiata)
nel caso in cui RL = ∞ e Rg = 50 Ω
Si osservi che l’adattamento di impedenza in corrispondenza di z = 0 implica una durata
del transitorio di solo 2 ns.
Quando il carico è costituito da un corto circuito la tensione sul carico è ovviamente
nulla e pertanto affinché tale condizione al contorno possa essere soddisfatta è necessario
che sia presente anche un’onda di tensione riflessa avente la stessa ampiezza dell’onda
di tensione incidente ma con segno opposto. Infatti solo in questo modo la tensione
totale al carico è nulla, condizione che tra l’altro può essere ricavata osservando che
in corrispondenza della sezione z = l si ha ΓL = −1. Quando invece all’istante t =
2 ns l’onda riflessa raggiunge l’ingresso della linea di trasmissione, compensa la tensione
dell’onda incidente e quindi la tensione totale va a zero anche in questa sezione. In
Figura 8.9 sono riportati i diagrammi a traliccio per la tensione e la corrente mentre in
Figura 8.10 è rappresentata l’evoluzione temporale della tensione all’ingresso e all’uscita
della linea di trasmissione e del generatore. Anche in questo caso è possibile ricavare le
funzioni analitiche che individuano gli andamenti temporali mostrati in Figura 8.10 o
riferendosi al relativo diagramma a traliccio o utilizzando le equazioni (8.38) e (8.39):
v (0, t) = U (t) − U (t − 2τ )
v(l, t) = 0
Anche in questo caso la condizione Rg = Zc assicura che dopo i primi 2 ns si ha il funzionamento a regime. In Figura 8.11(a) e 8.11(b) sono invece riportati rispettivamente i
diagrammi a traliccio per la tensione e la corrente relativi ad una configuarazione in cui il
Ing. Luciano Mescia
8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate
Rg=50 Ω
Rg=50 Ω
−1
0
V0U(t)
0
V0
2
V+
l=30 cm
z
1 ns
+
0
1
V0U(t)
0
I+ =
V0
2Zc
−V +
2 ns
t
RL=0
RL=0
+
V+ =
178
I+
l=30 cm
z
1 ns
I+
2 ns
t
(a)
(b)
Figura 8.9: (a) diagramma a traliccio per le tensioni e (b) per le correnti lungo una linea di
trasmissione avente impedenza caratteristica Zc = 50 Ω e chiusa sulle impedenze
RL = 0 e Rg = 50 Ω.
2.5
Tensione al carico
Tensione ingresso guida
Tensione generatore
Tensione [V]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
Tempo [s]
4
5
x 10
−9
Figura 8.10: Evoluzione temporale della tensione all’uscita della linea di trasmissione (linea continua), all’ingresso della linea di trasmissione (linea trattteggiata), e del
generatore (linea punteggiata) nel caso in cui RL = 0.
Ing. Luciano Mescia
8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate
+
1
3
0
V0U(t)
0
V+ =
V0
2
V+
l=30 cm
z
1 ns
V+
3
2 ns
t
+
V0U(t)
0
I+ =
V0
2Z c
I+
1
3
l=30 cm
z
1 ns
2 ns
t
(a)
−
0
RL=100 Ω
Rg=50 Ω
RL=100 Ω
Rg=50 Ω
179
I+
−
3
(b)
Figura 8.11: (a) diagramma a traliccio per le tensioni e (b) per le correnti lungo una linea di
trasmissione avente impedenza caratteristica Zc = 50 Ω e chiusa sulle impedenze
RL = 100 Ω e Rg = 50 Ω.
carico è costituito da un restistore di resistenza RL = 100 Ω. Il coefficiente di riflessione
al carico è ΓL = 1/3 e quindi la tensione dell’onda riflessa dal carico ha ampiezza 1/3 V.
Perciò la tensione totale sul carico è un gradino di ampiezza 4/3 V, dato dalla somma
dell’onda incidente di 1 V e dell’onda riflessa di 1/3 V, ritardato di 1 ns. Quando l’onda
riflessa, di ampiezza 1/3 V, raggiunge l’ingresso della guida d’onda si somma all’onda
incidente, di ampiezza 1 V, e di conseguenza anche in questa sezione la tensione totale si
porta a 4/3 V. Inoltre, anche in questo caso il transitorio è esaurito dopo 2 ns. Le forme
d’onda di tensione all’ingresso e all’uscita della linea di trasmissione e del generatore
seguono l’andamento illustrato in Figura 8.12.
Le funzioni analitiche rappresentanti gli andamenti mostrati in Figura 8.12 sono invece
fornite dalle relazioni:
1
v(0, t) = U (t) + U (t − 2τ )
3
4
v(l, t) = U (t − τ )
3
In Figura 8.13(a) e 8.13(b) sono invece rappresentati i diagrammi a traliccio per la
tensione e la corrente nel caso in cui RL = RG = 150 Ω, mentre in Figura 8.14 sono illustrate le forme d’onda delle tensioni ai terminali della linea di trasmissione. I coefficienti
di riflessione in z = 0 e z = l sono ΓG = 1/2 e ΓL = 1/2 rispettivamente. Gli andamenti
analitici delle tensioni sono forniti dalle relazioni:
}
{
∞ ( )
1
3 ∑ 1 2n
v(0, t) =
U (t) +
U [t − 2(n + 1)τ ]
2
4
2
n=0
{
}
∞ ( )2n
∑
1
3
U (t − τ ) +
U [t − (2n + 1) τ ]
v (l, t) =
4
2
n=1
da cui si osserva la presenza di riflessioni successive che si combinano alle due estremità
della linea di trasmissione. In particolare il segnale in z = 0 è attenuato una prima volta
Ing. Luciano Mescia
8.4. Linee di trasmissione con terminazioni resistive non adattate
180
2.5
Tensione al carico
Tensione ingresso guida
Tensione generatore
Tensione [V]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
Tempo [s]
x 10
−9
Figura 8.12: Evoluzione temporale della tensione all’uscita della linea di trasmissione (linea
continua), all’ingresso della linea di trasmissione (linea tratteggiata), e del generatore (linea punteggiata) nel caso in cui il generatore è adattato alla linea e
RL = 100 Ω.
+
1
2
V0U(t)
1
2
0
V+ =
V0
2
V+
V+ /2
2 ns
t
l=30 cm
z
1 ns
V+ /4
V+ /8
4 ns
3 ns
+
−
1
2
−
V0U(t)
0
I+ =
V0
2Z c
I+
−I + / 2
2 ns
t
1
2
RL=150 Ω
Rg=150 Ω
RL=150 Ω
Rg=150 Ω
l=30 cm
z
1 ns
I+ /4
−I + / 8
3 ns
4 ns
(a)
(b)
Figura 8.13: (a) diagramma a traliccio per le tensioni e (b) per le correnti lungo una linea di
trasmissione avente impedenza caratteristica Zc = 50 Ω e chiusa sulle impedenze
RL = 150 Ω e Rg = 150 Ω.
Ing. Luciano Mescia
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
181
2.5
Tensione al carico
Tensione ingresso guida
Tensione generatore
Tensione [V]
2
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
Tempo [s]
0.8
1
x 10-8
Figura 8.14: Evoluzione temporale della tensione all’uscita della linea di trasmissione (linea continua), all’ingresso della linea di trasmissione (linea tratteggiata), e del
generatore (linea punteggiata) nel caso in cui RL = Rg = 150 Ω.
di un fattore 1/4 e per ogni riflessione successiva di un fattore 1/2. In z = l, invece,
la tensione segue un andamento simile a quello in z = 0 con fattori di attenuazione
differenti. Si osservi, infine, che il disadattamento in ingresso e in uscita genera un
transitorio che finisce praticamente dopo circa 10 ns e a cui corrisponde un valore di
tensione asintotico v∞ = 1 V.
8.5 Linee di trasmissione con carichi reattivi
Il fatto che le impedenze del carico e del generatore siano puramente resistive garantisce
che la forma dell’impulso riflesso sia uguale a quella dell’impulso incidente: infatti, su
un elemento circuitale puramente resistivo il legame tra corrente circolante e tensione
applicata è governato dalla legge di Ohm. Il mantenimento della forma dopo la riflessione
è una conseguenza del fatto che il rapporto tra tensione e corrente è una costante. In
molti problemi di interconnessione concreti può capitare, però, che la linea sia chiusa
su un carico avente valori di impedenza dipendenti dalla frequenza f del segnale. Un
tipico esempio è rappresentato da una linea che alimenta una porta logica caratterizzata
da una capacità d’ingresso. Nel caso dei carichi reattivi il legame tensione corrente è
governato da una equazione differenziale la quale impone che il rapporto tra tensione
e corrente sia variabile e dipenda dalle condizioni iniziali. Di conseguenza i vari echi
multipli avranno forma diversa gli uni dagli altri e dal segnale incidente.
Ing. Luciano Mescia
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
182
2.5
Tensione al carico
Tensione ingresso guida
Tensione generatore
Tensione [V]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
Tempo [s]
4
5
x 10
−9
Figura 8.15: Andamento della tensione ai terminali in funzione del tempo con carico d’uscita
rappresentato da un condensatore con capacità C = 20 pF. Tensione all’uscita
della linea di trasmissione (linea continua), tensione all’ingresso della linea di
trasmissione (linea tratteggiata), tensione del generatore (linea punteggiata).
Per chiarire il concetto si consideri il caso in cui la linea di trasmissione illustrata
nel paragrafo precedente sia collegata ad un condensatore di capacità C = 20 pF e che
il generatore di tensione sia una gradino U (t) di ampiezza V0 e con resistenza interna
Rg uguale all’impedenza caratteristica della linea. Supponendo che il condensatore sia
inizialmente scarico e non potendo la tensione ai suoi capi cambiare bruscamente, esso,
nell’istante di tempo τ , si comporta come un corto circuito. Si genera quindi un’onda
riflessa, con una ampiezza opposta a quella dell’impulso incidente, che all’istante t = 2τ
è completamente assorbita dalla resistenza interna del generatore. Sul condensatore
resta comunque applicata la tensione V + V0 e conseguentemente esso comincia a caricarsi
progressivamente visto che asintoticamente esso tende a diventare un circuito aperto.
Esaurito il transitorio, la corrente e la tensione sulla linea di trasmissione sono quelle di
una linea in circuito aperto, cioè corrente nulla e tensione ai capi del condensatore pari a
V0 . Come mostrato in Figura 8.15 la variazione della tensione sul carico segue una legge
esponenziale del tipo e−t/τc con τc = Zc C = 1 ns. Si osservi come la tensione in ingresso
e uscita della linea di trasmissione tendono alla tensione fornita dal generatore, in virtù
del fatto che trascorso il transitorio il condensatore si comporta come un circuito aperto.
Quando invece il carico è costituito da un induttore d’induttanza L = 50 nH le
forme d’onda di tensione all’ingresso e all’uscita della linea e del generatore seguono
l’andamento mostrato in Figura 8.16.
Inizialmente, la corrente che attraversa l’induttore è nulla ed, essendo questo un ele-
Ing. Luciano Mescia
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
183
2.5
Tensione al carico
Tensione ingresso guida
Tensione generatore
Tensione [V]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
Tempo [s]
4
5
x 10
−9
Figura 8.16: Andamento della tensione ai terminali in funzione del tempo con carico d’uscita
rappresentato da un induttore con induttanza L = 50 nH. Tensione all’uscita
della linea di trasmissione (linea continua), tensione all’ingresso della linea di
trasmissione (linea tratteggiata), tensione del generatore (linea punteggiata).
mento reattivo, si oppone a brusche variazioni di corrente. Quindi quando a t = τ l’onda
incidente arriva al carico l’induttanza si comporta come un circuito aperto e la tensione
totale ai suoi capi vale 2 V. Sull’induttore resta comunque applicata una tensione e di
conseguenza inizia a circolare una corrente crescente nel tempo visto che esso tende a
diventare un corto circuito. Anche in questo caso la legge di variazione della tensione e
della corrente è di tipo esponenziale con costante di tempo τc = l/Zc = 1 ns.
Lo studio analitico nel dominio del tempo di configurazioni circuitali in cui la linea di
trasmissione è caricata con impedenze di tipo reattivo è più complesso rispetto a quanto
visto a proposito di carichi resistivi, visto che non è più possibile definire il coefficiente
di riflessione alla sezione z = l. Considerando per per esempio una linea di trasmissione
chiusa su un condensatore di capacità C si avrà che in z = l la condizione al contorno
assume la forma:
dvL
dv (l, t)
=C
=
dt
[ dt
]
dvi (l, t) dvr (l, t)
= C
+
dt
dt
i (l, t) = ii (l, t) + ir (l, t) = iL = C
(8.44)
dove vi e vr rappresentano l’onda di tensione incidente e riflessa in z = l. Alla (8.44)
deve essere associata l’ulteriore condizione al contorno sulla corrente ottenuta sommando
Ing. Luciano Mescia
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
184
membro a membro la (8.32) con la (8.34) in z = l:
i (l, t) = Yc [vi (l, t) − vr (l, t)]
vi (l, t) − vr (l, t)
=
Zc
(8.45)
Combinando le (8.44)-(8.45) si ottiene:
[
]
dvi (l, t) dvr (l, t)
C
+
= Yc [vi (l, t) − vr (l, t)]
dt
ddt
(8.46)
Fissato z = l e ricordando che il riferimento per il tempo è a t = 0, si ha che l’evoluzione
temporale delle tensioni e delle correnti in tale sezione dipende da t − τ . Infatti come
esplicitato analiticamente nelle (8.33)-(8.34), in z = l i segnali elettrici sono generati per
istanti di tempo successivi al tempo di propagazione τ . Di conseguenza la (8.46) diventa:
[
]
dvi dvr
C
+
= Yc [vi − vr ]
(8.47)
dt
dt
Nella (8.47) per semplicità di notazione è stata omessa la dipendenza delle tensioni da
t − τ a patto di ricordare sempre che si sta analizzando la dinamica di segnali per istanti
di tempo successivi a τ . Nell’ipotesi che la sorgente generi un segnale a forma di gradino
unitario, U (t) = 1 se t ≥ 0, si ha vi (l, t) = vi = V + U (t − τ ) e quindi la (8.47) può essere
scritta nella forma:
1
1
dvi
dvr
+
vr =
vi −
dt
Zc C
Zc C
dt
+
V
dU (t − τ )
=
U (t − τ ) − V +
Zc C
dt
]
[
1
+
U (t − τ ) − δ (t − τ )
(8.48)
= V
Zc C
dove δ(t − τ ) è la funzione impulsiva generata dall’operazione di derivazione del gradino
(è stata utilizzata una proprietà delle funzioni generalizzate). Ponendo τc = Zc C ed
usando la relazione:
)
(
d ( t/τc )
1
dvr
t/τc
+ vr
vr e
=e
dt
dt
τc
si ha
dvr
1
d ( t/τc ) −t/τc
+
vr =
vr e
e
dt
Zc C
dt
che sostituita nella (8.48) da luogo alla relazione
[
]
d ( t/τc )
1
+
vr e
=V
U (t − τ ) − δ (t − τ ) et/τc
(8.49)
dt
Zc C
Intagrando ambo i membri della (8.49) tra τ e t si ha
∫t
τ
d ( t/τc )
V+
vr e
dt =
dt
Zc C
Ing. Luciano Mescia
∫t
∫t
U (t − τ ) e
τ
t/τc
dt − V
δ (t − τ ) et/τc dt
+
τ
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
vr e
t/τc
185
∫t
∫t
V+
t/τc
+
− vr (0)e
=
U (t − τ )e dt − V
δ (t − τ ) et/τc dt =
Zc C
τ
τ
(
)
= V + et/τc − eτ /τc − eτ /τc
[
]
vr (l, t) = V + 1 − 2e−(t−τ )/τc U (t − τ )
(8.50)
τ /τc
Si osservi che per ricavare la (8.50) è stato ipotizzato che il condensatore sia inizialmente
scarico. In tale condizione, infatti, a t = τ la tensiane riflessa vr (0) è nulla in quanto
è uguale a quella presente nell’istante t = τ − . Si osservi inoltre che a t = τ l’onda
riflessa cancella quella incidente perché la sua ampiezza è pari a −V + . Questo risultato
è consistente con la condizione che il condensatore è inizialmente scarico. Inoltre la
tensione totale in z = l è data dalla relazione:
v(l, t) = vi (l, t) + vr (l, t) =
{
[
]}
V + + V + 1 − 2e−(t−τ )/τc U (t − τ )
[
]
= 2V + 1 − e−(t−τ )/τc U (t − τ )
[
]
= V0 1 − e−(t−τ )/τc U (t − τ )
=
(8.51)
La (8.51) è valida per t ≥ τ e contiene il contributo di una sola onda riflessa perché, dall’ipotesi di adattamento della linea di trasmissione al generatore, non possono instaurarsi
riflessioni multiple. Inoltre si osserva che v(l, τ ) = 0 (comportamento da corto circuito)
e v(l, ∞) = V0 (comportamento da circuito aperto). Infine è immediato ricavare che il
rapporto vr (t)/vi (t) varia con il tempo e di conseguenza il coefficiente di riflessione è
una grandezza tempo-variante. La tensione totale v(z, t) in una generica sezione z della
linea di trasmissione può essere ricavata considerando che la relazione dell’onda riflessa
in tale punto è ottenibile da quella nel punto z = l ritardata di (l − z)/vf = τ − z/vf
secondi. Di conseguenza sostituendo nella (8.50) t con t − (l − z)/vf = t − τ + z/vf si
ottiene
)
[
] (
z
+
−(t+z/vf −2τ )/τc
− 2τ
(8.52)
vr (z, t) = V
1 − 2e
U t+
vf
e ad ogni istante di tempo vale la relazione
v(z, t) = vi (z, t) + vr (z, t)
(
)
(
)[
]
z
z
+
+
= V U t−
+V U t+
− 2τ 1 − 2e−(t+z/vf −2τ )/τc
vf
vf
(8.53)
Dalla (8.53) si osserva chev(z, t) = 0 solo quando la funzione esponenziale assume valore
pari a 1 e cioè
z
v(z, t) = 0 quando t +
− 2τ = 0
(8.54)
vf
Ing. Luciano Mescia
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
186
v r(L,t)
1
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
t [ns]
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
t [ns]
2.5
3
3.5
4
1
v(L,t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Figura 8.17: Andamento della tensione riflessa e totale nella sezione finale z = 30 cm di una
linea di trasmissione chiusa su un condensatore di capacità C = 40 pF ed eccitata
da un impulso di tensione di durata T = 1 ns
Quando invece la linea di trasmissione e chiusa su un induttore di induttanza L è possibile procedere in maniera analoga a quanto visto per il condensatore osservando che la
condizione al contorno in z = l è:
di(l, t)
[dt
]
L dvi (l, t) dvr (l, t)
=
−
Zc
dt
dt
v(l, t) = vi (l, t) + vr (l, t) = L
(8.55)
Considerando invece un impulso si ampiezza unitaria e di durata T ed osservando che il
sistema è lineare, l’analisi può essere effettuata utilizzando il principio di sovrapposizione
degli effetti. In particolare, visto che il segnale d’ingresso può essere considerato come la
somma di due segnali a gradino opportunamente ritardi, vi (l, t) = U (t−τ )−U (t−τ −T ),
il segnale complessivo in z = l è dato dalla sovrapposizione delle risposte ai due gradini.
In particolare per il gradino U (t − τ ) si ha tramite la (??):
[
]
vr1 (l, t) = V + 1 − 2e−(t−τ )/τc U (t − τ )
(8.56)
mentre per il gradino U (t − τ − T ) si ha:
[
]
vr2 (l, t) = −V + 1 − 2e−(t−τ −T )/τc U (t − τ − T )
Ing. Luciano Mescia
(8.57)
8.5. Linee di trasmissione con carichi reattivi
187
Essendo vr = vr1 + vr2 e sommando membro a membro le (8.56)-(8.57) si ottiene
[
]
[
]
vr = V + 1 − 2e−(t−τ )/τc U (t − τ ) − V + 1 − 2e−(t−τ −T )/τc U (t − τ − T )
]
 +[
 V 1 − 2e−(t−τ )/τc
vr (l, t) =

se τ ≤ t ≤ τ + T
[
]
2V + e−(t−τ )/τc eT /τc − 1 se t ≥ τ + T
Per la tensione totale in z = l si ha invece v(l, t) = vi (l, t) + vr (l, t) e cioé:
[
]

se τ ≤ t ≤ τ + T
 2V + 1 − e−(t−τ )/τc
v(l, t) =
[
]

2V + e−(t−τ )/τc eT /τc − 1 se t ≥ τ + T
(8.58)
(8.59)
In figura 8.17 sono rappresentati gli andamenti della tensione riflessa e di quella totale
per un impulso di ampiezza 2 V e di durata T = 1 ns; la linea è lunga z = 30 cm, ha
impedenza caratteristica pari a 50 ohm ed è immersa nel vuoto. Il condensatore ha
invece una capacità C = 40 pF. Si osserva che a t = τ l’onda riflessa ha ampiezza pari
a −1 V perché deve cancellare l’impulso incidente. Per t ≥ τ il condensatore
si carica
[
]
progressivamente e raggiunge in t = τ + T un valore di tensione Vc = 2V + 1 − e−T /τc .
Dopo questo istante di tempo esso comincia a scaricarsi in quanto il segnale d’ingresso è
nullo. Inoltre la discontinuità dell’onda riflessa in t = τ +T è conseguenza dell’andamento
discontinuo della tensione d’ingresso ed è necessaria per adattare il valore di tensione ai
capi del condensatore.
Ing. Luciano Mescia