RETI DI TELECOMUNICAZIONE
Reti di Code
Definizioni
¾ In molti sistemi gli utenti per ottenere un servizio devono
attraversare diversi serventi in cascata
9 Dopo aver ottenuto il servizio da un servente devono mettersi in attesa
per ottenere il servizio offerto da un successivo servente
¾ Tali sistemi possono essere modellati come una rete di code
¾ Le reti a commutazione di pacchetto sono un classico esempio
di rete di code
¾ Le reti di code possono essere
9 Chiuse
Il numero di pacchetti è fisso, si ha solo circolazione del traffico in rete
9 Aperte
Il numero di pacchetti è variabile, il traffico viene immesso nella rete in opportuni nodi e
può uscire dalla rete da altri nodi
Reti di Code
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Definizioni
¾ Esempio rete di code aperta
¾ Esempio rete di code chiusa
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Esempio
¾ Il mescolarsi dei flussi di traffico complica la caratterizzazione
dello stesso ai vari nodi:
9 Si consideri il seguente esempio relativo a una cascata di due nodi
9 Al sistema arrivano pacchetti che seguono una distribuzione di Poisson e
di dimensione fissa
9 Supponiamo sia C1=C2=C la capacità di trasmissione dei due nodi
9 La prima coda può essere modellata come un sistema M/D/1
Se la lunghezza di ogni singolo pacchetto è L, sarà T = 1/µ = L/C il tempo di
trasmissione degli stessi
Dal primo nodo usciranno pacchetti di dimensione L ad intervalli T1≥ T
9 Nella seconda coda quindi non vi sarà mai accodamento dato che ogni
pacchetto che arriva viene sempre trasmesso in un tempo T2 = T
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Teorema di Jackson
Modello del generico nodo i della rete di code
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Teorema di Jackson
ipotesi
¾ Consideriamo un generico nodo i di una rete di code aperta
costituita da K nodi che soddisfano le seguenti condizioni:
1. Ogni nodo è un sistema M/M/mi:
9 Il nodo i ha mi serventi e il tempo di servizio medio è 1/µi
2. I clienti arrivano al generico nodo i con una frequenza
(1)
9 Il primo termine è relativo ai clienti che vengono dall’esterno
9 Il secondo termine è relativo ai clienti che vengono dagli altri nodi
9 Un cliente che finisce il suo servizio al nodo i si trasferisce
immediatamente ad un altor nodo j con probabilità qij o lascia la rete con
probabiltià qid , sarà
(2)
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Teorema di Jackson
tesi
¾ Se indichiamo con il vettore
la configurazione in cui ci siano ni clienti accodati alla generica
i-esima coda
¾ Sarà
la probabilità che tale configurazione si verifichi
¾ Nelle ipotesi fatte sarà
dove con Pi {ni } si è indicata la probabilità che nella coda i siano
accodati ni clienti (risultato in forma prodotto)
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Applicando le equazioni di bilanciamento globale al vettore si
trova
(3)
Dove
rappresenta il rate con il quale si raggiunge una configurazione n perché
arriva un cliente dall’esterno (1° termine)
un cliente viene servito ed esce dalla rete (2° termine)
un cliente viene servito e si accoda su un altro nodo della rete (3° termine)
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Sarà infatti
¾ Sostituendo la (2) nella (3) si trova
(4)
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ La precedente equazione è soddisfatta dalla seguente relazione
(5)
9 che costituiscono le equazioni di bilanciamento dettagliate secondo le
quali la frequenza secondo la quale una determinata coda cambia stato
per incremento del numero di pacchetti è uguale alla stessa frequenza
secondo la quale la stessa coda (o un’altra coda nel sistema) cambia
stato per decremento del numero di pacchetti
¾ Per la dimostrazione sostituiamo la (5) nella (4)
Reti di Code
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Semplificando i termini si trova
ciò dimostra che le equazioni di bilanciamento dettagliate
soddisfano l’equazione di bilanciamento globale
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Sviluppando la (5) possiamo scrivere
posto i
¾ Indicato con
e con
posto i
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Teorema di Jackson
dimostrazione
possiamo scrivere
¾ Il procedimento può essere ripetuto per la posizione j
per cui
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Generalizzando per tutti i K nodi della rete si ricava
¾ Per determinare la probabilità dello stato 0 consideriamo la
condizione di normalizzazione su tutte le possibili
configurazioni
¾ Sostituendo la relazione trovata
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Se ipotizziamo che esiste una distribuzione di probabilità
stazionaria deve essere
¾ Nella relazione si può quindi scambiare la sommatoria con la
produttoria
la sommatoria può essere riscritta come
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Applicando la soluzione per la serie geometrica di ragione < 1 si
trova
¾ E quindi la dimostrazione del teorema
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Il teorema vale anche per reti di code chiuse
¾ In questo caso non esiste traffico entrante per cui l’equazione
(2) può essere riscritta come
(2')
¾ Analogamente la (3), equazione di bilanciamento globale,
diviene
(3')
Dato che i pacchetti che vengono serviti da una coda vengono sempre
accodati in un’altra
Reti di Code
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Anche in questo caso le equazioni di bilanciamento dettagliate
assumono la forma
(5')
¾ Ancora una volta queste equazioni soddisfano l’equazione di
bilanciamento globale (4'), sostituendo…
Reti di Code
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Teorema di Jackson
dimostrazione
…
9 C.V.D.
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ Anche in questo caso sarà
¾ Da cui generalizzando per tutti i K nodi della rete
¾ Osserviamo però che per
9 In una rete chiusa, se il numero N di pacchetti è superiore al numero K di
nodi, qualche nodo dovrà sempre contenere dei pacchetti accodati
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Teorema di Jackson
dimostrazione
¾ In generale si trova quindi che
¾ Tenendo in considerazione tutte le possibilità nelle quali gli N
pacchetti si possono accodare nei K nodi
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Approssimazione di indipendenza
di Kleinrock
¾ Una rete a commutazione di
pacchetto può essere modellata
come una rete di code aperta
¾ La correlazione fra i tempi di
interarrivo in un nodo e la
distribuzione dei tempi di
servizio nel nodo precedente
non permettono di applicare il
teorema di Jackson
¾ In particolari condizioni si può
applicare il principio di
indipendenza di Kleinrock che
consente di considerare
indipendenti i tempi di
interarrivo e la lunghezza dei
pacchetti
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Approssimazione di indipendenza
di Kleinrock
¾ Consideriamo una rete in cui i flussi entranti seguono percorsi
p(K) costituiti da sequenze di collegamento
¾ Se Xp(k) è la frequenza di arrivo del percorso p(k) allora la
frequenza di arrivo globale fra un generico nodo i e un generico
nodo j sarà
dove la sommatoria è estesa a tutti i percorsi che attraversano il
collegamento (i, j)
¾ Il principio di Kleinrock dice che il mescolarsi dei vari flussi di
traffico che attraversano un collegamento (i, j) ha l’effetto di
ripristinare le condizioni di indipendenza tra tempi di arrivo e
lunghezza dei pacchetti
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Approssimazione di indipendenza
di Kleinrock
¾ L’approssimazione è ragionevole se:
9 Gli arrivi ai nodi d’ingresso della rete sono poissoniani
9 Le lunghezze dei pacchetti sono distribuiti esponenzialmente
9 Il carico in rete è vicino ai valori massimi
¾ Se è vero l’approssimazione di Kleinrock possiamo considerare
valido il teorema di Jackson per cui si può assumere il modello
M/M/1 per ogni collegamenti (i, j)
¾ Il valore atteso di pacchetti in coda sarà
dove 1/µij è il tempo di trasmissione medio sul collegamento (i, j)
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Approssimazione di indipendenza
di Kleinrock
¾ Per ogni singolo collegamento possiamo applicare il teorema di
Little
per cui il tempo medio di attesa in coda sul singolo
collegamento (i, j) sarà
¾ Considerata la frequenza di arrivo del traffico totale in ingresso
al sistema sarà
Reti di Code
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Approssimazione di indipendenza
di Kleinrock
¾ Applicando ancora la legge di Little si può ricavare il tempo di
attesa medio dei clienti nel sistema
¾ Il periodo medio di attraversamento del sistema dato un
particolare percorso p(k) può essere calcolato sommando i
percorsi medi su ogni tratta che lo interessa
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Esempio
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Esempio
¾ Supponendo che il rate di servizio medio sia di 3
pacchetti/secondo calcolare
9 Il ritardo medio sul collegamento 1-2-3
9 Il ritardo medio su tutta la rete
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