Serie 32: Elettrodinamica VII
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FAM Serie 32: Elettrodinamica VII C. Ferrari Esercizio 1 Teorema di Ampère 1. Determina il campo magnetico all’interno di un filo rettilineo infinito percorso da una corrente I. 2. Determina il campo magnetico generato da un conduttore cilindrico cavo di raggi a e b < a, percorso da una corrente uniforme I. Che risultati ti aspetti per r = a, r = b e b = 0? Perché? Esercizio 2 Cavo coassiale La figura qui sotto mostra la sezione di un lungo conduttore chiamato cavo coassiale. I suoi raggi sono a,b,c. Nei due conduttori scorre una corrente di intensità I distri~ buita in maniera uniforme, ma di verso opposto. Determina il campo magnetico B e verifica la consistenza del risultato per r = a, r = b e r = c. b c a Esercizio 3 Campo magnetico in un solenoide e in un toroide Un solenoide è una bobina di forma cilindrica formata da una serie di spire circolari molto vicine fra loro e realizzate con un unico filo di materiale conduttore. Un toroide è un solenoide piegato a forma di toro (“=” ciambella). 1. In un solenoide infinitamente lungo le linee di campo magnetico sono parallele all’asse del solenoide, mentre il campo magnetico è nullo al suo esterno. Determina l’intensità del campo all’interno di un solenoide con una densità di spire uguale a n in cui ogni spira è percorsa da un’intensità di corrente I. 2. Un solenoide è lungo 1,23 m e ha un diametro interno di 3,55 m, esso è composto da 5 strati di 850 spire l’uno e vi scorre una corrente di 5,57 A. 1 (a) Determina il campo magnetico nel solenoide. (b) Trova l’intensità della forza esercitata su una particella con carica 15,0 µC che si muove con velocità v = 1015 m/s all’interno del solenoide con una direzione che forma un angolo di 11,5◦ , rispetto al suo asse (l’angolo tra ~ è acuto). ~v e B 3. Determina il campo magnetico all’interno e all’esterno del toroide in cui ogni spira è percorsa da un’intensità di corrente I. I I ~ B a r b 4. Un tokamak è una camera toroidale a bobine magnetiche ed è un apparato sperimentale per il confinamento mediante intensi campi magnetici di un plasma in configurazione toroidale; esso è utilizzato per lo studio della fusione nucleare. Determina l’intesità di corrente se si vuole ottenere un campo magnetico di intensità 3 T all’interno di un tokamak ad una distanza di 2 m dal centro del toro sapendo che N = 300. Esercizio 4 Potenziale vettore ~ x) è un potenziale vettore verifica che 1. Se A(~ ∂y Az − ∂z Ay ~ x) = ∂z Ax − ∂x Az B(~ ∂x Ay − ∂y Ax dove ∂x = ∂ , ∂y = ∂ e ∂z = ∂ . ∂x ∂y ∂z 2. Determina un potenziale vettore associato ad un campo magnetico omogeneo. −By 0 ~ x) = Bx e A ~ ′ (~x) = 1 Bx sono 3. Verifica che i potenziali vettore A(~ 2 0 0 associati allo stesso campo magnetico. 2 4. Verifica che esiste una funzione f : R3 −→ R tale che −→ ~ ′ (~x) − A(~ ~ x) = − A grad f . 5. Concludi che la scelta del potenziale vettore non è unica ma che due potenziali vettori che differiscono da un gradiente generano lo stesso campo magnetico (Questa libertà e chiamata libertà di gauge). Matematicamente, un gauge è un certo grado di libertà all’interno di una teoria i cui effetti esterni non sono osservabili. Una trasformazione di gauge è quindi una trasformazione di questo grado di libertà che non modifica nessuna proprietà fisica osservabile, per esempio la trasformazione −→ ~ x) −→ A ~ ′ (~x) = A(~ ~ x) + − grad f . A(~ è una trasformazione di gauge. Cosa puoi dire a tal proposito del potenziale elettrostatico ϕ? Esercizio 5 Equazione di Poisson − → ~ → ~ ~ =− ~ = 0 (libertà di Verifica che dalle equazioni rot B = µ0~j e B rot A, ponendo div A gauge) si ottiene l’equazione di Poisson per il potenziale vettore ~ = −µ0~j △A che permette, in principio, di determinare il potenziale conosciuta la densità di corrente. Indicazione: Utilizza la seguente identità −−→ − →− → rot rot F~ = grad div F~ − △F~ 3 F~ ∈ C 2 (R3 ; R3 ) .
