1. I Tassi di interesse
Metodi Statistici per il Credito e la Finanza
Stefano Di Colli
Strumenti (in generale)
• Un titolo rappresenta un diritto sui redditi futuri
dell’emittente o sulle sue attività
• Un obbligazione è un titolo di debito che
contiene la promessa di pagamenti periodici per
un determinato lasso di tempo
• Un azione ordinaria è uno strumento
finanziario che rappresenta una quota di
proprietà in una società
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Mercati (in generale)
• Mercati monetari (emissioni di importo unitario
elevato, rischio di insolvenza ridotto, scadenza
massimo a 1 anno)
• Mercati obbligazionari (obbligazioni pubbliche
e corporate)
• Mercati azionari (regolamentati e OTC)
• Mercati valutari
• Mercati dei derivati (regolamentati e OTC)
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Tassi (in generale)
• Il tasso di interesse rappresenta il costo del
credito o la sua remunerazione corrisposta a
fronte del prestito di fondi
• Il tasso di cambio rappresenta il prezzo di una
valuta rispetto a un’altra
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Capitalizzazione e attualizzazione
• Gli strumenti di debito danno origine a dei flussi
di pagamento in favore degli investitori.
• Domanda: vale più un euro pagato oggi o un euro
pagato fra sei mesi?
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Capitalizzazione e attualizzazione
• Investo un euro oggi
• L’euro investito oggi è detto capitale
• L’euro più gli interessi che ricevo in futuro è
detto montante
• Domanda: da cosa dipende l’entità del montante?
• Risposta: l’entità del montante dipende dal tasso
di interesse, dal regime di capitalizzazione e dall’
orizzonte temporale dell’investimento.
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Capitalizzazione e attualizzazione
• Domanda: qual è il montante di 100€ investiti per un
anno al 15%?
• Domanda: qual è il valore attuale di 100€ tra un anno
dato che il tasso di interesse corrente è 15%?
• Domanda: è più profittevole un investimento di 100€
al 15% per quattro mesi o per un anno?
• Domanda: è più profittevole un investimento di 100€
al 4% per tre mesi o al 15% per un anno?
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Capitalizzazione e attualizzazione
In generale:
Regime
Interesse semplice
Regime
Interesse composto
Capitalizzazione
M=C[(1+ik*k)]
M=C(1+ik)k
Attualizzazione
C=M/[(1+ik*k)]
C=M/(1+ik)k
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Capitalizzazione e attualizzazione
Tassi equivalenti:
• Domanda 1: Se un investimento di 100€ frutta 15€ in
quattro mesi e un altro di 100€ ne frutta sempre 15€,
ma in un anno, qual è più vantaggioso?
• Domanda 2: Come si misura quanto è preferibile il
primo?
• Si considera il tasso equivalente a un anno del
15% quadrimestrale
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Capitalizzazione e attualizzazione
Regime
Interesse semplice
Regime
Interesse composto
[(1+15%*3)]=1+iA
1+iA=(1+15%)3
1+iA=[(1+15%*3)]
iA=1+15%*3 – 1 = 45%
1+iA=(1+15%)3
iA=(1+15%)3 – 1 = 52,87%
Tassi equivalenti in generale:
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Regime
Interesse semplice
Regime
Interesse composto
1+iA=[(1+ik*k)]
1+iA=(1+ik)k
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Capitalizzazione e attualizzazione
Dovendo scegliere tra le quattro seguenti
alternative,
1. Tasso di rendimento semestrale del 4,16%
2. Tasso di rendimento quadrimestrale del 2,70%
3. Tasso di rendimento trimestrale del 2,0%
4. Tasso di rendimento biennale del 15,0%
quale suggerireste?
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Capitalizzazione e attualizzazione
• Si consideri un semplice strumento di debito: un
prestito
• Vengono prestati 100€ per un anno.
• Alla fine verrà restituito il capitale più 10€
aggiuntivi.
• Domanda: Qual’è il tasso di interesse?
i=
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10
= 0,10 = 10%
100
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Capitalizzazione e attualizzazione
• La somma dovuta alla scadenza sarà così
determinata
100 × (1 + 0,1 ) = 110
• Se venisse rinnovato il prestito per un altro anno?
2
110 × (1 + 0,1 ) = 100 × (1 + 0,1 ) × (1 + 0,1 ) = 100 × (1 + 0,1 ) = 121
• E così via
3
121 × (1 + 0,1 ) = 100 × (1 + 0,1 ) = 133; ... ; 100 × (1 + 0,1 )
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n
13
Valore attuale
• Se il tasso di interesse è il 10% é indifferente avere
100€ oggi o 110 tra una anno o 121 tra due anni o
133 tra tre anni
• Qual’è il valore attuale di 121€ tra due anni?
100 =
121
(1 + 0,1 )
2
=
10 + 11 + 100
(1 + 0,1)
2
• Il calcolo del valore attuale di somme che saranno
ricevute in futuro è detto sconto. In generale
n
VA = ∑
t =1
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FC t
(1 + i )
n
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Valore attuale
• Domanda: qual’è il valore attuale di 250 € che verranno
pagati tra due anni al tasso di interesse del 15%?
• Riprendendo la formula generale
n
VA = ∑
t =1
FC t
(1 + i )n
• FC= flusso di cassa tra due anni=250€
• i = tasso di interesse annuo=0,15
• n = numero di anni = 2
VA =
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250
(1 + 0,15 )2
250
=
= 189, 04
1, 3225
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Quattro strumenti del mercato del credito
1. Prestito semplice: il prestatore fornisce al
mutuatario un certo ammontare di fondi,
rimborsati alla scadenza con l’aggiunta di un
pagamento supplementare.
• Esempio: Caso visto in precedenza
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Quattro strumenti del mercato del credito
2. Prestito a rata costante: il prestatore fornisce al
mutuatario alcuni fondi che vengono rimborsati
periodicamente con rate costanti nel tempo
(cosidetto ammortamento alla francese, comprensive di
una quota interesse e una quota capitale.
• Esempio: Si prendono in prestito 1000€ e si
pagano rate annuali di 126€ ogni anno per 25 anni
• É utilizzato nei prestiti rateali (finanziamenti per
acquisti di immobili, mutui ipotecari)
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Quattro strumenti del mercato del credito
3. Obbligazione con cedola (coupon): assicura al
proprietario il pagamento di una cedola ogni anno
fino alla data di scadenza, quando viene rimborsato il
valore nominale (par value).
• Esempio: Un obbligazione del valore nominale di
1000€ frutta una cedola annua di 100€ (10 anni). Alla
scadenza prevede il rimborso di 1000€
• É identificata da tre informazioni: la società o l’ente
che l’ha emessa, la data di scadenza, il tasso cedolare.
Esempi: Btp, obbligazioni statali e societarie
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Quattro strumenti del mercato del credito
4. Titolo a sconto (obbligazione senza cedola o zerocoupon bond): viene acquistato a un prezzo
inferiore al suo valore nominale. Alla scadenza
viene rimborsato il valore nominale, senza alcun
pagamento di interesse.
• Esempio: un titolo a sconto con valore nominale
di 1000€ è acquistato per 900€. Dopo un anno al
titolare viene rimborsato l’intero valore nominale.
• Sono titoli a sconto i Bot e i titoli senza cedola a
lungo termine
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Quattro strumenti del mercato del credito
• I quattro tipi di strumenti richiedono pagamenti in
tempi diversi (alla scadenza per lo zcb, periodici
per gli altri)
Domanda: Come si fa a determinare quale di questi quattro
strumenti garantisce un rendimento maggiore?
• Per compararli bisogna ricorrere al valore attuale e
al tasso di interesse effettivo
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Rendimento effettivo a scadenza
Definizione: Il rendimento effettivo a
scadenza (yield to maturity) rappresenta
quell’unico tasso che eguaglia la somma dei
valori attuali dei flussi di cassa prodotti da uno
strumento di debito al suo valore odierno
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Rendimento effettivo a scadenza
Nel caso di un prestito semplice
• Si prendono in prestito €100 in cambio della
restituzione di €110 tra un anno
• Il rendimento a scadenza si calcola a partire
da
110
(1 + i ) =
100
i = 1,10 − 1 = 0,10 = 10%
• Nel caso dei prestiti semplici tasso di
interesse e rendimento a scadenza coincidono
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Rendimento effettivo a scadenza
Nel caso di un prestito a rata costante
• Si prendono in prestito €1000 in cambio della
restituzione di rate annuali da €85,81 per 25
anni
• Il rendimento a scadenza si calcola a partire da
1000 =
85,81 85,81
85,81
85,81
+
+
+
+
...
2
3
25
1+ i
1
1
1
+
+
+
i
i
i
( ) ( )
( )
• Generalizzando
n
R
R
R
R
R
C =
+
+
+ ... +
=∑
2
3
n
1 + i (1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) t =1 (1 + i )t
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Rendimento effettivo a scadenza
Nel caso di un obbligazione con cedola
• La logica è la stessa vista per il prestito a rata
costante
• Il rendimento a scadenza si calcola
uguagliando il suo prezzo corrente alla somma
dei valori attuali
n
C
C
C
C
C
P=
+
+
+
...
+
=
∑
2
3
n
1 + i (1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) t =1 (1 + i )t
• Dove C è la cedola al posto della rata
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Rendimento effettivo a scadenza
Nel caso di un obbligazione con cedola si parla
anche di tasso di rendimento a scadenza
(TRES), sotto due ipotesi:
1. il mantenimento del titolo fino alla scadenza
2. reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole)
a un tasso che è costante e pari al TRES
n
P=∑
t =1
C
(1 + TRES )t
• Dove C è la cedola
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Rendimento effettivo a scadenza
Il caso specifico di una rendita perpetua: si
tratta di un’obbligazione perpetua:
• La formula per il rendimento a scadenza
diventa
Pc =
C
ic
• Dove C è la cedola
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Rendimento effettivo a scadenza
Nel caso di uno zero coupon bond
• Si consideri uno zcb che che corrisponde
dopo un anno un valore nominale di €1000 a
fronte di un prezzo di acquisto di €900
1000
900 =
1+ i
1000 − 900
i=
= 11,1%
900
• In generale
V − P
i=
P
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