LA DOMANDA DI TRASPORTO CARATTERIZZAZIONE E MODELLI

Facoltà di Ingegneria - Università di Bologna
Anno Accademico: 2010/11
TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI
Docente: Marino Lupi
LA DOMANDA DI TRASPORTO
CARATTERIZZAZIONE E MODELLI
(Capitolo 2)
1
Modelli di domanda
- Modello di domanda descrittivo (o non
comportamentale): non si fanno esplicite ipotesi sul
comportamento dell’utente.
- Modello di domanda comportamentale: si fanno esplicite
ipotesi sul comportamento dell’utente.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
2
Esempi di modelli di domanda descrittivi sono i
attributo del sistema socioeconomico
macromodelli:
d tvp = K IPI tα Tt β
attributo del sistema di trasporto
d tvp = veic-km (veicoli pesanti) sulla rete autostradale italiana
nell’anno t (è un misura di traffico, molto utilizzata: è data dalla
somma dei km sui biglietti venduti nell’anno t)
IPI t
= Indice di produzione industriale italiana nell’anno t
Tt = tariffa media nell’anno t in euro/km ( Incasso totale in un anno )
veicoli − km in un anno
K ,α , β
Coefficienti del modello da stimare
Si dicono macromodelli perché le variabili, sia quella dipendente, sia
quelle indipendenti, sono molto aggregate: sia spazialmente (rete
autostradale), sia temporalmente (in un anno).
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
3
Esempi di modelli descrittivi - Macromodelli
d tvp = K IPI tα Tt β
Il modello è descrittivo perché è stata supposta una forma funzionale,
moltiplicativa, senza fare esplicite ipotesi sul comportamento dell’
utente.
Passando ai logaritmi ottengo una forma funzionale lineare:
ln(d tvp ) = ln( K ) + α ln( IPI t ) + β ln(Tt )
yt = β1 xt1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3
=1
Modello lineare ( lineare nei
parametri β i incogniti)
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
4
MODELLO di DOMANDA
Forma generale di un modello di domanda:
d = F(X, β)
d : Vettore (in generale) di domanda (quindi, in generale, ho m
funzioni d i = Fi (X, β) )
del sistema socioeconomico
X : Vettore di attributi
del sistema di trasporto
β : Vettore dei parametri (coefficienti) che devono essere
stimati
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
5
Fasi della messa a punto di un modello di
domanda
Specificazione: devono essere determinate le variabili (variabili che
rappresentano la domanda e attributi) che in esso compaiono. Deve
essere determinata la relazione funzionale fra di esse.
Calibrazione: devono essere stimati i coefficienti incogniti (parametri)
che in esso compaiono.
Corroborazione: si deve valutare la capacità del modello di riprodurre
le scelte realmente effettuate dagli utenti.
In generale il ciclo:
Specificazione
Calibrazione
Corroborazione
deve essere ripetuto più volte fino ad una determinazione
soddisfacente del modello.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
6
Elasticità della domanda rispetto ad un attributo X i
el Xi
X i ∂D
∂D / D
∂ ln D
=
=
=
D ∂X i ∂X i / X i ∂ ln X i
A seconda di quello che
voglio mettere in evidenza
utilizzo la definizione in
forma diversa
L’ultimo passaggio segue dal fatto che risulta:
d ln y 1
=
dy
y
dy
= d ln y
y
Se
el X i < 1
Se
el X i > 1 La domanda si dice elastica rispetto all’attributo X i
La domanda si dice anelastica rispetto all’attributo X i
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
7
Elasticità della domanda rispetto alla tariffa- Esempio
Modello (specificazione):
d tvp = K IPI tα Tt β
Passando ai logaritmi:
ln(d tvp ) = ln( K ) + α ln( IPI t ) + β ln(Tt )
Elasticità della domanda rispetto alla tariffa:
∂ ln d tvp
elTt =
=β
∂ ln Ti
Modello con forma funzionale di tipo moltiplicativo: l’elasticità rispetto
ad un attributo coincide con il coefficiente dell’attributo.
Questa è una delle ragioni della larga diffusione della forma
moltiplicativa nell’ambito dei modelli di domanda descrittivi .
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
8
Elasticità della domanda rispetto alla tariffa:
osservazioni
T ∂D
elT =
D ∂T
Segni delle variabili:
∂D
<0
∂T
T >0
D>0
A parità di altre variabili, se la tariffa aumenta la
domanda deve diminuire (derivata parziale).
Da questo segue che:
elT < 0
, ossia: β < 0
Se nella fase di calibrazione ottengo β > 0 vuol dire che il
modello non funziona.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
9
Quali osservazioni pratiche posso ricavare dal valore della
elasticità?
Ammettiamo che:
∂D / D
elT =
= −0,7
∂T / T
∂T
= 0,03
Se aumento la tariffa del 3%, ossia:
T
La domanda diminuirà del 2,1% infatti:
∂D
= 0,03 ⋅ (−0,7) = −0,021
D
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
10
Elasticità della domanda e politica tariffaria
Incasso totale: TR = DT
T ∂D
∂ (TR ) ∂D
∂T
∂D
=
T+
D=
T + D = D(
+ 1) = D(elT + 1)
∂T
∂T
∂T
∂T
D ∂T
Come è stato visto: elT < 0
Se
elT < 1
sempre
domanda anelastica
∂ (TR )
= D(elT + 1) > 0
∂T
Se aumento la tariffa aumenta l’incasso: mi conviene aumentare
∂ (TR )
= D(elT + 1) < 0
domanda elastica
Se elT > 1
∂T
Se diminuisco la tariffa aumenta l’incasso: mi conviene diminuire
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
11
Naturalmente la situazione reale è più complessa di quanto previsto
nel modello matematico . Per esempio può convenirmi, in ogni caso,
mantenere gli utenti. Inoltre è stata considerata la derivata parziale
della domanda come se tutte le altre variabili da cui dipende la
domanda rimanessero costanti. In realtà queste variabili non sono
controllate dall’azienda di trasporto che fa la politica tariffaria. Per
esempio i concorrenti, sullo stesso sistema di trasporto o su sistemi
concorrenti, possono variare le tariffe.
Inoltre il modello matematico è, ovviamente, solo una
schematizzazione della realtà.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
12
Esempi di macromodelli: traffico autostradale italiano
1983/2000
ln d vp = 3,62 + 1,99 ln IPI − 0,76T
domanda in veicoli pesanti
Domanda elastica rispetto all’indice di produzione industriale;
domanda anelastica rispetto alla tariffa.
ln d vl = −12,81 + 1,83 ln PIL − 0,47 B
domanda in veicoli leggeri
Domanda elastica rispetto al PIL (indice della crescita della
economia); domanda anelastica rispetto al prezzo della benzina (in
questo modello variabile più significativa rispetto alla tariffa).
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
13
La domanda autostradale in veicoli pesanti cresce più che
proporzionalmente rispetto alla produzione industriale; la domanda in
veicoli leggeri cresce più che proporzionalmente rispetto al PIL.
Questo tipo di sviluppo crea problemi di tipo ambientale.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
14
Esempio di macromodello riguardante il trasporto aereo
- fonte: ICAO (International Civil Aviation Organization)
ln( RPK t ) = −8,10 + 1,79 ln( RGDPt ) − 0,77 ln( RFt )
RPK t =
RGDPt =
RFt =
“Revenue passengers kilometers” nell’anno t
“Real Gross Domestic Product” nell’anno t (“Real”
perchè depurato dall’inflazione)
“Real Fare” tariffa nell’anno t (“Real” perché depurata
$
incasso totale
dall’inflazione)
=
pass − km pass − km prodotti
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
15
Modelli descrittivi che non sono macromodelli: modelli
gravitazionali (molto utilizzati nella pratica della stima della
domanda di trasporto)
d ij = K ( Pi Pj )α Tijβ
Specificazione del modello
d ij domanda di trasporto fra la città i e la città j
Pi e Pj popolazione delle città i e j
Tij = tempo di viaggio fra i e j (oppure tariffa o anche distanza fra i e j )
Modello gravitazionale perché la forma funzionale “assomiglia”
alla legge della gravitazione universale di Newton
F =G
m1 m2
r2
F forza gravitazionale fra le due masse
m1 e m2 valore delle due masse
r distanza fra le due masse
G costante gravitazionale 6.67 × 10-11 N m 2 kg -2
d ij = K ( Pi Pj )α Tijβ
ln(d ij ) = ln k + α ln( Pi Pj ) + β ln(Tij )
yc = β1 xc1 + β 2 xc 2 + β 3 xc 3
“linearizzato” attraverso i
logaritmi (modello di
regressione lineare)
=1
Stima dei coefficienti del modello basata sui dati campionari (“crosssectional data”)
T differenti coppie O-D per cui
 y1 = β1 x11 + β 2 x12 + β 3 x13 ipotizzo sia valido questo modello (in
y = β x + β x + β x
un determinato intervallo temporale)
1 21
2 22
3 23
 2
..... ..... .....
... .....

Calibrare il modello significa date le
β
β
β
y
=
x
+
x
+
x
c
1
c
1
2
c
2
3
c
3

y1 ,....... yT e date le xc1 , xc 2 , xc 3
..... ..... .....
... .....

ricavare i coefficienti
 yT = β1 xT 1 + β 2 xT 2 + β 3 xT 3 (∀c =1, 2,........T)
17
β1 , β 2 e β 3
Stima dei coefficienti del modello basata su serie storica dei dati
 y1 = β1 x11 + β 2 x12 + β 3 x13
y = β x + β x + β x
1 21
2 22
3 23
 2
..... ..... .....
... .....

 yt = β1 xt1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3
..... ..... .....
... .....

 yT = β1 xT 1 + β 2 xT 2 + β 3 xT 3
Un’unica coppia O-D
considerata in T anni differenti.
Calibrare il modello significa: date le
y1 ,....... yT e date le xt1 , xt 2 , xt 3
(∀t =1,2,........T), ricavare i coefficienti
β1 , β 2 e β 3
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
18
Esempio di modello gravitazionale applicato a due zone di una
stessa città
α
d ij = KPi Aβj tijγ
Specificazione del modello
Spostamenti per motivo lavoro dalla zona i alla j
Pi = numero di attivi (lavoratori) residenti nella zona i (capacita generativa
della zona i).
A j = numero di addetti (lavoratori) nella zona j (capacità attrattiva).
tempo del viaggio (nel sistema di trasporto) fra i centroidi i e j
tij
costo del viaggio fra i e j
distanza in linea d' aria fra i centroidi i e j
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
19
Anche il modello d ij = KPi α Aβj tijγ posso “linearizzarlo” con i logaritmi
ln(d ij ) = ln K + α ln Pi + β ln Aj + γ ln(tij )
yc = β1 xc1
=1
+ β 2 xc 2
+ β 3 xc 3
+ β 4 xc 4
e “ridurlo” al modello di
regressione lineare
 y1 = β1 x11 + β 2 x12 + β 3 x13 + β 3 x14 T coppie di zone O-D di una stessa
y = β x + β x + β x + β x
città
2
1
21
2
22
3
23
4
24

Calibrare il modello significa: date le
..... ..... .....
... .....

y1 ,....... yT e date le xc1 , xc 2 , xc 3 , xc 4
y
x
x
x
x
=
+
+
+
β
β
β
β
1 c1
2 c2
3 c3
4 c4
 c
(∀c =1,2,........T), ricavare i coefficienti
..... ..... .....
... .....

 yT = β1 xT 1 + β 2 xT 2 + β 3 xT 3 + β 4 xT 4 β1 , β 2 , β 3 , β 4
20
Altri esempi di modelli di domanda descrittivi
d ij = K Piα1 Pjα 2 I iα 3 I αj 4Viα 5V jα 6 Tijα 7 Fijα 8
Specificazione del modello
d ij = domanda di trasporto aereo fra due città i e j.
Pi e Pj : popolazione delle due citta i e j.
I i e I j : reddito delle due città i e j.
V i e V j : indici che esprimono la caratterizzazione socioeconomica delle
città i e j, per esempio percentuale di addetti all'industria o ai servizi.
Tij : tempo del viaggio fra i e j.
Fij : tariffa del viaggio fra i e j.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
21
Altri esempi di modelli di domanda descrittivi
d ij = K Fijα1 I ijα 2 Tijα 3 Dijα 4 (CAij )α 5
Specificazione del modello
d ij = domanda di trasporto aereo fra due città i e j.
Fij = tariffa del viaggio fra i e j.
I ij = prodotto del reddito di i per quello di j.
Tij = tempo del viaggio fra i e j.
Dij = distanza fra le città i e j.
CAij = chiamate telefoniche fra le città i e j (quantizzazione delle
" relazioni" fra le due città).
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
22
Riduzione alla forma “canonica” del modello di regressione
lineare
d ij = K Fijα1 I ijα 2 Tijα 3 Dijα 4 (CAij )α 5
ln d ij = ln K + α1 ln Fij + α 2 ln I ij + α 3 ln Tij + α 4 ln Dij + α5 ln(CAij )
yc = β1 xc1 + β 2 xc 2 + β 3 xc 3 + β 4 xc 4 + β 5 xc 5 + β 6 xc 6
=1
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
23
Modelli di utilità casuale nella domanda di
trasporto
Nel fare uno spostamento l’utente compie delle scelte fra alternative
diverse.
I modelli di utilità casuale sono dei modelli di tipo comportamentale
in quanto derivano da esplicite ipotesi sul comportamento di scelta
degli utenti.
Ipotesi fondamentali
a) L’utente n considera nell’effettuare la scelta un “insieme di scelta
discreto” I n (per questo sono anche detti “discrete choice models”).
- Esempio: scelta del modo di trasporto in area urbana
trasporto individuale

trasporto collettivo
autovettura come conducente
autovettura come passeggero

autobus

motociclo
bicicletta

24
a piedi
Ipotesi fondamentali dei modelli di utilità aleatoria
b) L’utente n associa a ciascuna alternativa i ∈ I n una “utilità” o
“attrattività percepita”: U in .
L’utente n sceglie l’alternativa per la quale la U in è massima.
c) L’utilità di ciascuna alternativa dipende dal vettore
X in
degli attributi dell’alternativa: U in = U in ( X in ) .
X
n
i
Attributi del sistema di trasporto
Esempio: tempo del viaggio, costo del viaggio
Attributi socioeconomici dell’utente e del sistema
di attività. Esempio: reddito dell’utente, numero di
autovetture possedute nel nucleo familiare , numero di persone che
25
lavora in una determinata zona.
Ipotesi fondamentali dei modelli di utilità aleatoria
d)
U in è una variabile aleatoria: U in = Vi n ( X in ) + ε i
Componente deterministica , detta anche
utilità sistematica (Ipotizzata
dall’”analista” con dei coefficienti da
stimare : E U in = Vi n ( X in ) = ∑ β k xikn )
[ ]
Componente aleatoria
ipotizzata a media nulla
E (ε i ) = 0
k
4 fonti principali di aleatorietà
1) Alcuni attributi considerati dall’utente non sono stati considerati
nel modello dall’”analista” .
2) Il valore stimato dall’”analista” per gli attributi è diverso dal valore
che agli stessi attributi assegna l’utente.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
26
Quattro fonti principali di aleatorietà
3) L’utente ha una razionalità diversa da quella che gli attribuisce
l’”analista” (“combina” diversamente, da quanto previsto dall’analista,
gli attributi al fine di determinare l’utilità).
4) A parità di attributi considerati l’utente può percepire l’utilità in
modo diverso in momenti temporali diversi (comportamento
”intrinsecamente” aleatorio dell’utente).
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
27
U = Vi ( X ) + ε i
n
i
n
Vi ( X )
n
n
i
n
i
n
U
Componente deterministica di i
detta anche utilità sistematica
Generalmente, per ragioni di semplicità analitica del modello, si assume:
Vi n ( X in ) = ∑ β k xikn
Funzione lineare nei coefficienti β k
k
β1 , β 2 ,.........., β K Vettore dei coefficienti da stimare (fase di
calibrazione del modello)
Poiché l’utilità che l’utente associa a ciascuna alternativa è una
variabile aleatoria, ossia assume diversi valori con diverse probabilità,
non può essere previsto con certezza quale alternativa sceglierà
l’utente.
Si può determinare la probabilità di scelta, che ha un utente, di una
alternativa
:
n
pi = Pr U in > U nj = Pr Vi n − V jn > ε j − ε i
∀j ≠ i e j ∈ I n
(
)
(
)
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
28
Scelta fra trasporto collettivo e individuale
Gli utenti 1, 3 e 5 scelgono il trasporto individuale.
Gli utenti 2 e 4 scelgono il trasporto collettivo
nt. collettivo
n→∞
n
pt. collettivo = lim
U t. collettivo
Vt. collettivo
3
5
4 2 1
nt. indivduale
n →∞
n
pt. individuale = lim
Vt. individuale
4 2 3
5
1
U t. individuale
29
Probabilità di scelta di una alternativa
Da un punto di vista pratico quello che interessa è determinare la
probabilità di scelta di una alternativa e stimare la domanda media,
data quella totale.
Dtot = domanda totale
d trasporto
d trasporto
individuale
= Dtot
probtrasporto
collettivo
= Dtot
probtrasporto collettivo
individuale
domanda media
domanda media
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
30
La probabilità di scelta di una alternativa dipende dalle ipotesi fatte a
proposito dello scarto aleatoria ε i .
U i = Vi + ε i
Se ε i è una variabile aleatoria di Weibull-Gumbel ottengo il modello
logit.
Se ε i è una variabile aleatoria normale (Gauss) ottengo il modello
probit.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
31
Modello logit
Utilità di una alternativa
U i = Vi + ε i
Variabile aleatoria
Variabile
aleatoria
di
WeibullGumbel
Componente deterministica
Se lo scarto aleatorio ε i è una variabile di Weibull-Gumbel ottengo il
modello logit
Definizione di funzione di distribuzione di una variabile aleatoria Y
calcolata nel punto t: FY (t ) = prob(Y ≤ t )
Funzione di distribuzione
della variabile aleatoria di
Weibull-Gumbel ε
Fε (t ) = exp(−e
−α ( t −ηε )
)
α = parametro moltiplicativo
ηε = parametro additivo
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
32
Definizione di funzione di densità di probabilità di una variabile
aleatoria continua Y calcolata nel punto t:
d FY (t )
fY (t ) =
dt
Nel caso che ε sia distribuita secondo una Weibull-Gumbel
d Fε (t )
−α ( t −ηε )
exp(−e −α ( t −ηε ) )
f ε (t ) =
= exp(−e −α ( t −ηε ) )(−1)e −α ( t −ηε ) (−α ) =α e
dt
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
33
Funzione di densità di probabilità di Weibull/Gumbel
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
34
Media e varianza della variabile aleatoria di WeibullGumbel
µY = E [Y ] =
+∞
∫
fY (t )dt
Media di una variabile aleatoria continua Y
−∞
+∞
σ = var[Y ] =
∫f
2
Y
2
Y
(t ) (t − µY ) dt
−∞
µε = E [ε ] =
+∞
∫ fε (t )dt =
ηε +
−∞
c
α
Varianza di una variabile aleatoria
continua Y
(c, costante di Eulero = 0,557)
+∞
π2
σ ε = var[ε ] = ∫ f ε (t ) (t − µε ) dt =
2
6
α
−∞
2
2
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
35
Nel caso dei modelli di utilità aleatoria si ipotizza che lo
scarto aleatorio abbia media nulla
,
U= V+ ε
c
[
]
E ε = ηε +
α
E [U ] = V
E [ε ] = 0
=0
ηε = −
c
α
Quindi nel caso del modello logit lo scarto aleatorio ε
distribuito secondo Weibull-Gumbel con parametro additivo
c
ηε = −
e moltiplicativo α
è
α
π2
E [ε ] = 0 , var[ε ] =
2
6
α
c
c
−α ( t + )
−α ( t + )
α
α
f ε (t ) = α e
exp(−e
)
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
36
L ‘ utilità di un’alternativa è una variabile di Weibull-Gumbel,
infatti:
ε
1° Teorema: Se
è una variabile di Weibull-Gumbel di
parametro moltiplicativo α e di parametro additivo ηε , anche
l’utilità di una alternativa U = V + ε
è una variabile aleatoria di
Weibull-Gumbel , di stesso parametro moltiplicativo α
e di
parametro additivo ηU = V + ηε
(Dimostrazione del Teorema sulle dispense)
Quindi poiché
ηε = −
c
α
ηU = V −
c
α
A me interessa sapere come è distribuita la variabile aleatoria
“massimo fra I variabili aleatorie di Weibull-Gumbel” (che tipo di
variabile aleatoria è) perché ho detto che l’utente sceglie l’alternativa
che è di massima utilità.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
37
2° Teorema Se ho I variabili di Weibull-Gumbel INDIPENDENTI
δ1 , δ 2 ,.........., δ I
α , α ............. α
ηδ ,ηδ ...........ηδ
1
2
I
Comune parametro moltiplicativo
Differente parametro additivo
Allora anche la variabile aleatoria
δ M = max (δ1 , δ1 ,.........δ I )
È un variabile aleatoria di Weibull-Gumbel di parametro
moltiplicativo α e di parametro additivo η M
ηM =
1
α
ln ∑ e
αηδi
(Dimostrazione del Teorema sulle dispense)
i
Osservazione: la variabile aleatoria di Weibull-Gumbel gode della
proprietà invariantiva rispetto all’operazione di massimo.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
38
3° Teorema Se ho due variabili di Weibull-Gumbel INDIPENDENTI
δi , δ j
α, α
η δ ,η δ
i
Comune parametro moltiplicativo
Differente parametro addittivo
j
prob (δ i > δ j ) =
αηδi
e
αηδi
e
αηδ j
+e
Probabilità che una sia maggiore
dell’altra
(Dimostrazione del Teorema sulle dispense)
In base a questo teorema, per trovare la probabilità che una
variabile di Weibull-Gumbel i sia maggiore di tutte le altre, basta
che trovi la probabilità che sia maggiore della variabile aleatoria
massimo di tutte le altre esclusa la i-esima.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
39
Pr ob (δ i > δ j ) = Pr ob(δ i > δ M −i )
∀j∈I ≠ i
dove:
δ M −i = max(δ1 , δ 2 ,...δ j .....δ I )
∀j ≠ i
Escludo la variabile i
In base al teorema 2:
δ M −i è una variabile di Weibull-Gumbel con:
- parametro moltiplicativo: α
- parametro additivo:
ηδ
M −i
=
1
α
ln ∑ e
αηδi
∀j ≠ i
Escludo la variabile i
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
40
Pr ob (δ i > δ j ) = Pr ob(δ i > δ M −i ) =
∀j∈I ≠ i
in base al Teorema 3
=
e
e
αηδi
αηδi
αη δi
αη δ M −i
+e
e
=
e
αηδi
α
+e
1
α
ln
∑
∀j ≠i
e
αη δ
=
j
e
αηδi
∑e
αη δ j
∀j
in base al Teorema 2
Probabilità che la variabile δ i
sia maggiore di tutte le altre
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
41
Modello logit : applico il risultato precedente al caso delle
variabili utilità di ciascuna alternativa
U1 , U 2 ,.........., U I
α , α ............. α
ηU = V1 −
1
c
α
,ηU 2
comune parametro moltiplicativo
c
c
= V2 − ...........ηU I = VI −
parametro addittivo
α
pi = prob(U i > U j ) =
∀j ≠ i
α
c
α (Vi − )
α
αηU i
e
∑e
αηU j
∀j
=
e
c
α (V j − )
α
∑e
=
eαVi
∑e
αV j
∀j
∀j
Probabilità di scelta di un’alternativa secondo il modello logit.
Risultato pratico importante: con il modello logit riesco ad esplicitare
(con una formula semplice) la probabilità di scelta di un’alternativa
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
42
Alcune osservazioni sulle regole di specificazione di un
modello logit
Modello di scelta del modo di trasporto extraurbano:
aereo
treno
autovettura
costo monetario
utilità sistematica
Va
tempo non a bordo
Vt
β1 x A1 + β 2 x A2 + β 3 x A3
β 3 xt 3
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
β 3 xa 3
=
tempo a bordo
VA
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
43
Ammettiamo di volere tenere conto del reddito dell’utente nella scelta
modale.
Provo ad inserire la variabile reddito in tutte le alternative con lo
stesso coefficiente :
VA
Vt
Va
pA =
β1 x A1 + β 2 x A 2 +
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
=
e β1x A1 + β 2 x A 2 + β 3 x A 3 + β 4 xR
β 3 x A3 + β 4 x R
β 3 xt 3 + β 4 xR
β 3 xa 3 + β 4 x R
e β1x A1 + β 2 x A 2 + β 3 x A 3 + β 4 xR
+ e β1xt 1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3 + β 4 xR + e β1xa1 + β 2 xa 2 +
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
β 3 xa 3 + β 4 x R
44
Posso mettere in evidenza, sia al numeratore, sia al denominatore, e β 4 xR
e β 4 xR e β1x A1 + β 2 x A 2 + β 3 x A 3
p A = β 4 xR β1x A1 + β 2 x A 2 + β 3 x A 3
e (e
+ e β1xt 1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3 + e β1xa1 + β 2 xa 2 +
=
e β1x A1 + β 2 x A 2 + β3 x A 3
β 3 xa 3
)
=
e β1x A1 + β 2 x A 2 + β 3 x A 3
+ e β1xt1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3 + e β1xa1 + β 2 xa 2 + β 3 xa 3
Osservazione: è inutile inserire una variabile che è uguale su tutte le
alternative con lo stesso coefficiente: la variabile non influenza la
probabilità di scelta di alcuna alternativa.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
45
Posso provare ad inserire xR con un coefficiente diverso
nelle diverse alternative: aereo β 4 xR ; treno β 5 xR ; auto β 6 xR
VA
Vt
Va
β1 x A1 + β 2 x A 2 +
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
=
β 3 x A3 + β 4 x R
β 3 xt 3 + β 5 xR
β 3 xa 3 + β 6 x R
esempio determino pa . Dividendo numeratore e denominatore per
e β 4 xR :
pa =
e β1 x A1 + β 2 x A 2 + β 3 x A 3 + ( β 4 − β 6 ) xR
e β1 xa1 + β 2 xa 2 + β 3 xa 3
+ e β1xt1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3 + ( β 5 − β 6 ) xR + e β1xa1 + β 2 xa 2 +
β 3 xa 3
Problema di calcolo : pa dipende dai due valori: ( β 4 − β 6 ) , ( β 5 − β 6 )
e non dai tre coefficienti β 4 , β 5 , β 6 , posso trovare infinite terne
di β 4 , β 5 , β 6 che danno luogo alla stessa pa .
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
46
Per evitare i problemi precedenti, e tenere conto del reddito, posso
pensare a questa specificazione:
VA
Vt
Va
β1 x A1 + β 2 x A 2 +
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
=
β 3 x A3 + β 4 x R
β 3 xt 3
β 3 xa 3 + β 5 x R
L’alternativa treno agisce da riferimento.
VA
e
p A = VA Vt
e + e + eVa
p A eVA
= Vt
pt e
eVt
pt = VA Vt
e + e + eVa
pa eVa
= Vt
pt e
eVa
pa = VA Vt
e + e + eVa
p A eVA
= Va
pa e
Se, per esempio, risulta: β 4 > 0 e β 5 > 0 il reddito favorisce
l’aereo e l’auto rispetto al treno.
Se, per esempio, risulta: β 4 > β 5 il reddito favorisce l’aereo
rispetto all’auto.
47
Attributi di preferenza modale, valgono:1 per un modo, 0 per gli altri.
VA
Vt
Va
β1 x A1 + β 2 x A 2 +
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
=
β 3 x A3 + β 4 x R + β 6
β 3 xt 3
β 3 xa 3 + β 5 x R + β 7
Stessa osservazione valida anche per xR : si possono introdurre un
numero di attributi di preferenza modale pari al numero di
alternative meno 1: l’alternativa esclusa agisce da riferimento.
I coefficienti di preferenza modale esprimono tutta quella parte di
utilità sistematica di un modo che non è compresa negli attributi
considerati dall’analista.
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
48
VA
Vt
Va
β1 x A1 + β 2 x A 2 +
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
=
β 3 x A3 + β 4 x R + β 6
β 3 xt 3
β 3 xa 3 + β 5 x R + β 7
Se per esempio risulta: β 7 > 0
vuol dire che gli attributi non
considerati dall’analista danno, sistematicamente, un’utilità maggiore
per l’alternativa auto rispetto a quella treno. Possibili attributi non
considerati (difficoltà di quantizzarli): possibilità di partire all’ora che
si preferisce, facilità di portare un bagaglio anche cospicuo, “privacy”
del viaggio.
Se per esempio risulta: β 6 < 0
vuol dire che gli attributi non
considerati dall’analista danno, sistematicamente, un’utilità minore per
l’aereo rispetto al treno. Possibili attributi non considerati (difficoltà di
quantizzarli): paura di volare, timore per attacchi terroristici,
difficoltà di portare bagagli a causa dei controlli di sicurezza.
49
VA
Vt
Va
β1 x A1 + β 2 x A 2 +
= β1 xt1 + β 2 xt 2 +
= β1 xa1 + β 2 xa 2 +
=
β 3 x A3 + β 4 x R + β 6
β 3 xt 3
β 3 xa 3 + β 5 x R + β 7
Deve essere messo in evidenza che per il modello precedente
la matrice degli attributi è la seguente
x A1
x A 2 x A3
xR
0 1
0
xt1
xt 2 xt 3
0
0 0 0
xa1
xa 2 xa 3
0
xR 0
1
M. Lupi,"Tecnica ed Economia dei Trasporti" - A.A. 2010/11 - Università di Bologna
50