Meccanica - 11. Terzo Principio della Dinamica

Meccanica
11. Terzo Principio della Dinamica
http://campus.cib.unibo.it/2430/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica e Astronomia
22 febbraio 2017
Traccia
1. Terzo Principio della Dinamica
2. Centro di Massa
3. Momento Angolare dei Corpi Rigidi
4. Momento d’Inerzia di un Corpo Rigido
5. Dinamica del Corpo Rigido
Meccanica – 11. Terzo Principio della Dinamica
III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
2
Principio di Azione e Reazione
Principio di azione e reazione o terzo principio della dinamica .
Ogni volta che il corpo A esercita una forza sul corpo B, il corpo
B esercita una forza sul corpo A:
Vettorialmente opposta:
I
I
I
Stessa intensità (modulo);
Stessa direzione;
Verso opposto.
Avente la medesima retta d’azione.
Esempi
Rinculo di una pistola;
Barca a remi (si muove spingendo indietro l’acqua con i remi);
I Autoveicoli (si muovono spingendo indietro la strada mediante la forza di
attrito);
I Aerei (si muovono spingendo indietro l’aria).
I
I
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Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
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3
Principio di Azione e Reazione (II)
Le forze tra i corpi sono interazioni che si presentano sempre a
coppie:
Non esistono forze “unidirezionali”.
Due forze accoppiate per il III principio (“azione” e “reazione”):
Sono sempre forze dello stesso tipo;
I
Sono entrambe forze gravitazionali, oppure entrambe forze di attrito, ecc.
Si esercitano sempre su corpi diversi;
Per questo motivo non si equilibrano l’una con l’altra:
I
Si possono equilibrare tra loro soltanto due forze applicate allo stesso corpo.
Se l’“azione” è la forza di gravità che la Terra esercita sul pallone, la
“reazione” è la forza di gravità che il pallone esercita sulla Terra:
Non la forza che la mano esercita sul pallone!
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Principio di Azione e Reazione (III)
Sebbene azione e reazione abbiano la stessa intensità non è detto
che le 2 accelerazioni siano uguali in modulo:
Il corpo di massa maggiore ha un’accelerazione minore, per il II principio.
I
I
L’accelerazione di un pallone in caduta libera verso la Terra è assai maggiore
dell’accelerazione della Terra verso il pallone.
Anche se la forza che il pallone esercita sulla Terra ha esattamente la stessa
intensità della forza che la Terra esercita sul pallone.
Il III principio non vale per le pseudo-forze:
Verso quale corpo dovrebbe essere esercitata la reazione?
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5
Forze Interne
Forze interne: forze di interazione esercitate da una parte del sistema
meccanico in studio su di un’altra parte dello stesso sistema.
Per il principio di azione e reazione esse sono a due a due opposte,
con la medesima retta d’azione.
Costituiscono, a due a due, coppie di braccio nullo. Segue che:

~(i)
R
= ~0
 M~ (O) = ~0,
(i)
∀O
(III Principio della Dinamica)
Questa è una formulazione del III principio
della dinamica alternativa al principio di
azione e reazione.
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Forze Esterne
Sistemi Meccanici Isolati
Quanto detto non vale per le forze esterne:
Tra le forze esterne si includono le forze che corpi esterni esercitano
sul sistema assegnato (“azioni”):
Non le forze che il sistema assegnato esercita sui corpi esterni
(“reazioni”).
Alcune forze esterne possono essere pseudo-forze.
Se la risultante e il momento risultante delle forze esterne di un
sistema meccanico sono entrambi nulli, si dice che il sistema è isolato:

~(e)
R
= ~0
 M~ (O) = ~0,
(e)
∀O
⇔
sistema isolato
Non sempre, tuttavia, i sistemi meccanici sono isolati.
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Equazioni Cardinali della Dinamica
~ e di Momento
Partendo dalla definizione di Quantità di Moto Q
~ (O) :
Angolare (o Momento della Quantità di Moto) K


~

Q


=



~ (O) =

K
n
X
i=1
n
X
mi ~vi
Quantità di Moto
~rOPi ∧ mi ~vi
Momento Angolare
i=1
derivando rispetto al tempo si ottiene:
(entra nel foglio)

n
X

~˙ =

Q
mi ~ai



θ
i=1
χ
n
n

X
X


~˙ (O) =

(~vi − ~vO ) ∧ mi ~vi +
~rOPi ∧ mi ~ai
K
i=1
i=1
dove ~vO è la velocità del centro di riduzione O.
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Equazioni Cardinali della Dinamica (II)
Sfruttando il II principio della dinamica si ottiene:

n
n
X
X

˙

~
~

Q
=
m
~
a
=
F~i = R
i i




i=1
i=1



n
n

X
X


~˙ (O) =

K
(~
v
−
~
v
)
∧
m
~
v
+
~rOPi ∧ mi ~ai =

i
i
i
O



i=1
i=1



n
n
n
X
X
X
−~
v
∧
m
~
v
+
~rOPi ∧ F~i =
=
~
v
∧
m
~
v
i i
O


| i {z i }i


i=1
i=1
i=1

~0




n
n

X
X



=
−~
v
∧
m
~
v
+
~rOPi ∧ F~i =

i i
O



i=1
i=1




~ (O)
~
= −~vO ∧ Q + M
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Equazioni Cardinali della Dinamica (III)
Separando le forze esterne dalle forze interne:

~˙

Q



~(e)
~ =R
~(i) +R
=R
|{z}
~0
~0
z }| {



˙~ (O)
(O)
(O)
K
(O)
~
~
~
= −~vO ∧ Q + M
= −~vO ∧ Q + M~(i) +M~(e)
otteniamo:


~˙
Q
~(e)
=R

~˙ (O) = −~vO ∧ Q
~ + M~ (O)
K
(e)
(Equazioni Cardinali della Dinamica)
Scelto un centro di riduzione O fisso oppure in moto con velocità ~vO
~ la seconda diviene:
parallela a Q,
~˙ (O) = M~ (O) ,
K
(e)
~
se ~vO = ~0 oppure ~vO k Q
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Principi di Conservazione della Quantità
di Moto e del Momento Angolare
Se la risultante delle forze esterne di un sistema meccanico è nulla,
allora la quantità di moto del sistema meccanico si conserva (cioè
rimane costante nel tempo):
~(e) = ~0
R
⇒
~ ≡ cost.
Q
(Principio di Conservazione
della Quantità di Moto)
Se il momento risultante delle forze esterne di un sistema meccanico è
~
nullo rispetto a un centro di riduzione O (fisso o in moto con ~vO k Q),
allora il momento angolare del sistema meccanico si conserva:
(O)
M~(e) = ~0
⇒
~ (O) ≡ cost.
K
(Principio di Conservazione
del Momento Angolare)
Se un sistema meccanico è isolato allora si conservano sia la quantità di
moto, sia il momento angolare del sistema meccanico:


~(e) = ~0
R
Q
~
≡ cost.
⇒
(O)
 M~
K
~ (O) ≡ cost.
~
(e) = 0
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Centro di Massa
Dato un sistema meccanico costituito da n punti materiali di vettore
posizionale ~rOPi e massa mi , si chiama Centro di Massa del sistema il
punto G individuato dal vettore posizionale ~rOG , definito dalla relazione:
~rOG =
n
1 X
mi ~rOPi ,
M i=1
M=
n
X
mi
i=1
Se il sistema è un continuo C , di massa totale M , volume V e densità
puntuale ρ (~rOP ), funzione della posizione ~rOP , la posizione ~rOG del
centro di massa si scrive, essendo dm = ρ dV :
~rOG =
M=
1
M
ZZZ
dm ~rOP =
C
ZZZ
ZZZ
dm =
C
1
M
ZZZ
~rOP ρ (~rOP ) dV
C
ρ (~rOP ) dV
C
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Centro di Massa (II)
Scelta una terna ortogonale di riferimento con l’origine nel centro di
riduzione O, posto:
(
~rOPi = xi ı̂ + yi ̂ + zi k̂
~rOG = xG ı̂ + yG ̂ + zG k̂
possiamo anche scrivere, nella base cartesiana:
xG =
n
1 X
mi xi ,
M i=1
yG =
n
1 X
mi yi ,
M i=1
zG =
n
1 X
mi zi
M i=1
con:
M=
n
X
mi
i=1
Il centro di massa è la media pesata delle coordinate dei punti, dove la
massa svolge il ruolo di peso statistico.
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Centro di Massa (III)
Analogamente, nel caso del continuo C :

ZZZ
1


x ρ (x, y, z) dx dy dz
 xG =


M



C

ZZZ



1
yG =
y ρ (x, y, z) dx dy dz
M


C


ZZZ


1



z ρ (x, y, z) dz dy dz
 zG =

M

C
con:
M=
ZZZ
ρ (x, y, z) dx dy dz
C
Il centro di massa è la media pesata delle coordinate dei punti, dove la
densità svolge il ruolo di peso statistico.
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Centro di Massa e Centro di Gravità
Se il sistema non è spazialmente troppo esteso (~g è uniforme su
tutto il sistema), allora il centro di massa coincide con il centro di
gravità (o baricentro).
Infatti il centro di gravità B è il punto di applicazione della risultante
delle forze di gravità agenti sulle parti del sistema e, se esse sono
~ = M ~g :
parallele, si ha, essendo F~i = mi ~g e R
n n
1 X
1 X
~ ~rOB = F
~
r
=
mi g ~rOPi =
i
OP
i
~
M g i=1
R i=1
=
n
n
X
1
1 X
g
mi ~rOPi =
mi ~rOPi = ~rOG
M g i=1
M i=1
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Proprietà del Centro di Massa
Centro di Massa e Quantità di Moto
Dalla definizione di centro di massa:
n
1 X
~rOG =
mi ~rOPi ,
M i=1
derivando rispetto al tempo, con il centro di riduzione O fissato, si
ottiene:
n
~
Q
1 X
mi ~vi =
~vG =
M i=1
M
quindi:
~ = M ~vG
Q
~ di un sistema meccanico qualsiasi è sempre
La quantità di moto Q
uguale alla moltiplicazione scalare della massa totale M per la velocità
~vG del centro di massa.
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Proprietà del Centro di Massa
Centro di Massa come Centro di Riduzione
Scegliendo il centro di massa come centro di riduzione, poiché:
~ = M ~vG
Q
⇒
~
~vG k Q
⇒
~ = ~0
~vG ∧ Q
la seconda equazione cardinale della dinamica si scrive:
~˙ (G) = −~vG ∧ Q
~ + M~ (G) = M~ (G)
K
(e)
(e)
Nei problemi di dinamica, se non c’è un asse di rotazione fisso (vincolo)
spesso conviene valutare i momenti rispetto al centro di massa G.
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Proprietà del Centro di Massa
Teorema del Moto del Centro di Massa
Dal precedente risultato:
~ = M ~vG
Q
derivando rispetto al tempo, si ottiene:
~˙ = M ~aG
Q
Per la I equazione cardinale della dinamica si ha anche:
~(e)
~˙ = R
Q
in conclusione otteniamo:
~(e) = M ~aG
R
(Teorema del Moto del Centro di Massa)
Il centro di massa di un sistema meccanico si muove come se fosse un
punto materiale con la massa dell’intero sistema, sottoposto a tutte le
forze esterne che agiscono sul sistema.
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Proprietà del Centro di Massa
Teorema del Moto del Centro di Massa (II)
Il concetto di punto materiale è applicabile a qualunque corpo,
purché ci si limiti a studiare il moto del centro di massa.
Nella studio della dinamica dei sistemi, le considerazioni nuove
riguardano la II equazione cardinale:
Per la I equazione cardinale si possono ripetere le considerazioni fatte per
~(e) = ~0 ⇒ ~vG ≡ cost.
il punto materiale, per esempio: R
Le sole forze interne possono modificare lo stato di moto di tutto il
sistema meccanico ma non del suo centro di massa.
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Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica
Esempio: Quantità di moto di un pianeta
In un SdR inerziale e trascurando l’effetto della presenza degli altri pianeti, la
~ P di un pianeta non si conserva nel moto del pianeta
quantità di moto Q
attorno al Sole:
−→
~ P 6≡ −
Q
cost.
~ P è la quantità di moto totale di un sistema meccanico costituito
Infatti Q
dal solo pianeta.
I Per tale sistema la forza di gravità esercitata dal Sole è la sola forza
esterna.
Sistema meccanico costituito
dal solo pianeta
I Per la I equazione cardinale:
I
~(e) = F~g 6= ~0
~˙ P = R
Q
⇒
−→
~ P 6≡ −
Q
cost.
Forza di gravità esercitata
dal Sole sul pianeta (esterna)
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Centro di Massa
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20
Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica (II)
Esempio: Quantità di moto del sistema {Sole, pianeta}
In un SdR inerziale e trascurando l’effetto della presenza degli altri pianeti, la
somma delle quantità di moto di un pianeta e del Sole si conserva nel moto
del pianeta attorno al Sole:
−→
~P + Q
~S ≡ −
Q
cost.
~P + Q
~ S è la quantità totale di moto del sistema {Sole, pianeta}.
Infatti Q
Per tale sistema la forza di gravità esercitata dal
Forza di gravità esercitata
Sole è una forza interna, mentre sono assenti
dal pianeta sul Sole (interna)
forze esterne:
Sistema meccanico
{Sole, pianeta}
Perché il SdR è inerziale e l’effetto della
presenza degli altri pianeti è trascurata.
I Per la I equazione cardinale della dinamica:
−→
~(e) = ~0 ⇒ Q
~˙ P + Q
~˙ S = R
~P + Q
~S ≡ −
Q
cost.
I
I
Forza di gravità esercitata
dal Sole sul pianeta (interna)
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Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica (III)
Esempio: Moto del Sole
Dai 2 risultati precedenti si ottiene:
−→ )
~P + Q
~S ≡ −
Q
cost.
−→
~ S 6≡ −
⇒ Q
cost.
−
−
→
~ P 6≡ cost.
Q
La quantità di moto del Sole non è costante, dunque il Sole si muove, con
accelerazione non nulla in un SdR inerziale. Come si muove dunque il Sole?
~(e) = M ~aG .
I Per il teorema del moto del centro di massa, R
Se il SdR è inerziale e l’effetto della presenza degli altri pianeti è trascurato,
~(e) = ~0), dunque ~aG = ~0 e il centro di
allora sono assenti forze esterne (R
massa G del sistema {pianeta, Sole} o è in quiete oppure si muove di moto
rettilineo uniforme.
I Se scegliamo il SdR inerziale in cui G è in quiete,
il Sole percorre una piccola traiettoria ellittica
con un fuoco in G.
I
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Centro di Massa
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Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica (IV)
Esempio: Momento Angolare di un Pianeta
In un SdR inerziale e trascurando l’effetto della presenza degli altri pianeti, il
momento angolare di un pianeta P rispetto a un centro di riduzione
arbitrario O non si conserva nel moto del pianeta attorno al Sole;
I In un SdR inerziale e trascurando l’effetto della presenza degli altri pianeti, il
momento angolare di un pianeta P rispetto al centro del Sole S si
conserva nel moto del pianeta attorno al Sole:
( (O) −−→
~
K
6≡ cost.
P
−−→
(S)
~
K
≡ cost.
P
Sistema meccanico costituito
I
dal solo pianeta
Forza di gravità esercitata
dal Sole sul pianeta (esterna)
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III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
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Momento d’Inerzia
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Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica (V)
Esempio: Momento Angolare di un Pianeta
~ (O) e K
~ (S) sono i momenti angolari totali di un sistema meccanico
Infatti K
P
P
costituito dal solo pianeta.
I In un SdR inerziale e trascurando l’effetto della presenza degli altri pianeti la
sola forza esterna è l’attrazione gravitazionale del Sole.
I La II equazione cardinale della dinamica si scrive:

~ P + M~ (O)
~˙ (O) = −~vO ∧ Q
K
I
P
(e)
 ~˙ (S)
~ P + M~ (S)
KP = −~vS ∧ Q
(e)
Sistema meccanico costituito
dal solo pianeta
Forza di gravità esercitata
dal Sole sul pianeta (esterna)
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III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
24
Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica (VI)
Esempio: Momento Angolare di un Pianeta
Nel SdR inerziale con origine nel centro di massa G del sistema {Sole, pianeta},
si ha (si veda diapositiva 22):
~
0
z}|{
~
~
~
~ P = −Q
~S
QP + QS = Qtot = Mtot ~vG = (mP + mS ) ~vG = ~0 ⇒ Q
~ P = −Q
~ S = −mS ~vS ⇒ ~vS k Q
~ P ⇒ −~vS ∧ Q
~ P = ~0
Q
Inoltre, essendo ~rSP k F~g , si ha:
~rSP ∧ F~g = ~0
dunque:
~˙ (O) = −~vO ∧ Q
~ P + M~ (O) = −~vO ∧ Q
~ P + ~rOP ∧ F~g 6= ~0
K
P
(e)
⇒
−→
~ (O) 6≡ −
K
cost.
P
~˙ (S) = −~vS ∧ Q
~ P + M~ (S) = − ~vS ∧ Q
~ + ~r ∧ F~ = ~0
K
P
(e)
| {z P} |SP{z g}
⇒
−→
~ (S) ≡ −
K
cost.
P
~
0
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III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
~
0
D. Galli
Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
25
Conseguenze delle Equazioni Cardinali
della Dinamica (VII)
Esempio: II Legge di Keplero
I
Per definizione di velocità areolare e di momento angolare, si ha:

~ (S) = 1 ~rSP ∧ ~vP 
A
P
~ (S)
~ (S) = 1 K
2
⇒ A
P
P

2m
~ (S) = ~rSP ∧ mP ~vP
K
P
quindi:
−→
~ (S) ≡ −
K
cost.
P
⇒
−→
~ (S) ≡ −
A
cost.
P
la II legge di Keplero è una conseguenza della conservazione del
momento angolare.
I Le orbite dei pianeti giacciono su di un piano. Infatti:
−→
~ (S) = ~rSP ∧ mP ~vP ≡ −
K
cost.
P
segue che vettore posizionale ~rSP e velocità ~vP si trovano sempre su di un
~ (S) che è costante.
piano perpendicolare al vettore momento angolare K
P
Meccanica – 11. Terzo Principio della Dinamica
III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
26
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Corpo che Ruota attorno a un Asse Fisso
Scegliendo il centro di riduzione O sull’asse di rotazione u (per cui
~vO = ~0), e detti ~rOPi il vettore posizionale del punto Pi e ~vi la velocità
del punto Pi , la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi
si scrive:
~vi = ~vO + ω
~ ∧ ~rOPi = ω
~ ∧ ~rOPi
per cui, posto ω
~ = ω û, il momento angolare del corpo rigido si scrive:
~ (O) =
K
=
n
X
i=0
n
X
~rOPi ∧ mi ~vi =
n
X
~rOPi ∧ mi (~
ω ∧ ~rOPi ) =
i=0
mi ~rOPi ∧ (~
ω ∧ ~rOPi ) =
i=0
n
X
=ω
mi ~rOPi ∧ (û ∧ ~rOPi )
i=0
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III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
Momento d’Inerzia
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27
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Corpo che Ruota attorno a un Asse Fisso (II)
Il momento angolare assiale del corpo rigido si scrive, ricordando la
proprietà ~a · ~b ∧ ~c = ~a ∧ ~b · ~c del doppio prodotto misto:
~ (O) · û = ω û ·
K (u) = K
=ω
=ω
n
X
i=0
n
X
n
X
mi ~rOPi ∧ (û ∧ ~rOPi ) =
i=0
mi û · ~rOPi ∧ (û ∧ ~rOPi ) = ω
n
X
mi û ∧ ~rOPi · (û ∧ ~rOPi ) =
i=0
mi (û ∧ ~rOPi )2
i=0
Definito il Momento di Inerzia Iu rispetto all’asse u:
Iu =
n
X
mi (û ∧ ~rOPi )2 =
i=0
n
X
mi ri2
i=0
dove ri è la distanza di Pi dalla retta u, si ottiene:
K (u) = Iu ω
Meccanica – 11. Terzo Principio della Dinamica
III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
28
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso
Scegliendo il centro di massa G come centro di riduzione, e detti ~rGPi
il vettore posizionale del punto Pi e ~vi la velocità del punto Pi , la formula
fondamentale della cinematica dei corpi rigidi si scrive:
~vi = ~vG + ω
~ ∧ ~rGPi
per cui il momento angolare del corpo rigido si scrive:
~ (G) =
K
=
=
n
X
~rGPi ∧ mi ~vi =
i=0
n
X
i=0
n
X
n
X
~rGPi ∧ mi (~vG + ω
~ ∧ ~rGPi ) =
i=0
mi ~rGPi ∧ (~vG + ω
~ ∧ ~rGPi ) =
mi ~rGPi ∧ ~vG +
i=0
+
n
X
mi ~rGPi ∧ (~
ω ∧ ~rGPi )
i=0
Meccanica – 11. Terzo Principio della Dinamica
III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
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Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
29
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso (II)
Per la definizione di centro di massa G, si ha:
n
P
~rOG =
i=1
mi ~rOPi
n
P
i=1
⇒
mi
n
X
mi ~rOPi = ~rOG
i=1
n
X
mi
i=1
In particolare, scegliendo O ≡ G (centro di riduzione coincidente con centro
di massa), si ottiene:
n
X
~0
n
z}|{ X
mi ~rGPi = ~rGG
mi = ~0
i=1
i=1
~ (G) si scrive pertanto:
Il momento angolare K
~
K
(G)
=
=
" n
X
i=0
n
X
#
mi ~rGPi ∧ ~vG +
n
X
mi ~rGPi ∧ (~
ω ∧ ~rGPi ) =
i=0
mi ~rGPi ∧ (~
ω ∧ ~rGPi )
i=0
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III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
D. Galli
Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
30
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso (III)
Posto ω
~ = ω û si può anche scrivere:
~ (G) =
K
n
X
mi ~rGPi ∧ (~
ω ∧ ~rGPi ) = ω
i=0
n
X
mi ~rGPi ∧ (û ∧ ~rGPi )
i=0
Il momento angolare assiale del corpo rigido rispetto a un asse u
passante per il centro di massa G e parallelo a ω
~ si scrive, ricordando
la proprietà ~a · ~b ∧ ~c = ~a ∧ ~b · ~c del doppio prodotto misto:
~ (G) · û = ω û ·
K (u) = K
=ω
=ω
n
X
i=0
n
X
n
X
mi ~rGPi ∧ (û ∧ ~rGPi ) =
i=0
mi û · ~rGPi ∧ (û ∧ ~rGPi ) =
mi û ∧ ~rGPi · (û ∧ ~rGPi ) = ω
i=0
Meccanica – 11. Terzo Principio della Dinamica
III Principio
Centro di Massa
Momento Angolare
n
X
mi (û ∧ ~rGPi )2
i=0
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Momento d’Inerzia
Dinamica Corpo Rigido
31
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso (IV)
Definito il Momento di Inerzia Iu rispetto all’asse u:
Iu =
n
X
mi (û ∧ ~rGPi )2 =
i=0
n
X
mi ri2
i=0
dove ri è la distanza di Pi dalla retta u, si ottiene:
K (u) = Iu ω
Si osservi che il momento angolare assiale di un corpo rigido che
rototrasla con asse parallelo a se stesso, rispetto a un asse u passante
per il centro di massa G non dipende da vG ma soltanto da ω:
La parte traslatoria del moto non ha influenza sul momento
angolare.
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Momento d’Inerzia
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32
Momento Angolare dei Corpi Rigidi
Sommario
In entrambi i casi considerati:
Corpo che ruota attorno a un asse fisso,
Corpo rigido che rototrasla con asse parallelo a se stesso,
risulta:
K (u) = Iu ω
Il momento angolare assiale è il prodotto del momento di inerzia per il
modulo della velocità angolare.
Si tratta di un’equazione scalare avente la stessa
forma dell’equazione del moto del centro di massa:
~ = M ~vG
Q
Il ruolo del momento di inerzia per le rotazioni è
analogo a quello della massa per le traslazioni.
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Momento d’Inerzia
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33
Momento di Inerzia
Nel caso di un sistema discreto di punti materiali, abbiamo
visto che il momento d’inerzia si scrive:
Iu =
n
X
mi (û ∧ ~rOPi )2 =
i=0
n
X
mi ri2 ,
ri = d (Pi , u)
i=0
dove ri è la distanza del punto Pi dalla retta u.
Nel caso di un sistema continuo si sostituisce un integrale alla
sommatoria:
Iu =
ZZZ
2
r ρ (r) dV =
C
ZZZ
r2 ρ (x, y, z) dx dy dz
C
dove r è la distanza del punto P dalla retta u.
r = d (P, u)
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34
Momento di Inerzia di Corpi Omogenei
Sbarra (rispetto a un asse baricentrico perpendicolare ad essa):
Iu =
1
M L2
12
Cilindro (rispetto all’asse di simmetria):
Iu =
1
M r2
2
Sfera (rispetto a un asse passante per il centro):
Iu =
2
M r2
5
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35
Teorema di Huygens-Steiner
Per un corpo qualsiasi, il momento di inerzia rispetto a una qualsiasi
retta r è uguale al momento di inerzia rispetto alla retta g, parallela a r
e passante per il centro di massa G, aumentato del prodotto tra la
massa totale del corpo e il quadrato della distanza d tra le due rette
(Teorema di Huygens-Steiner):
d
Ir = Ig + M d2
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Teorema di Huygens-Steiner (II)
Il teorema si prova facilmente, poiché:
Ig =
Ir =
n
X
i=1
n
X
Ä
mi x2i + yi2
xG =
ä
i=1
mi (xi − d)2 + yi2 =
î
ó
n
X
i=1
=
n
X
i=1
n
1 X
mi xi
M
î
ó
mi x2i − 2xi d + d2 + yi2 =
i=1
Ä
ä
mi x2i + yi2 + d2
n
X
mi −2d
n
X
i=1
i=1
| {z }
|
M
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Momento Angolare
mi xi = Ig + M d2
d
{z
}
M xG =0
D. Galli
Momento d’Inerzia
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37
Dinamica del Corpo Rigido
La dinamica del corpo rigido può essere affrontata mediante le
equazioni cardinali della dinamica.
La I equazione cardinale della dinamica (o il conseguente teorema
del moto del centro di massa) definisce il moto del centro di massa.
Consideriamo ora la II equazione cardinale della dinamica in 2 casi:
Moto rotatorio attorno a un asse fisso u (vincolo):
I
Prendendo come centro di riduzione (fisso) un punto O ∈ u.
Moto rototraslatorio con l’asse di rotazione u che rimane parallelo a se
stesso:
I
Prendendo come centro di riduzione (mobile) il centro di massa O ≡ G ∈ u.
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Dinamica del Corpo Rigido (II)
In questi due casi risulta, come abbiamo visto:
~ (O) · û = K (u) = Iu ω,
K
O∈u
Derivando rispetto al tempo, essendo û costante, otteniamo:
~˙ (O) · û = Iu ω̇,
K
O∈u
Ricordando la II equazione cardinale della dinamica, che si scrive, sia
per O fisso, sia per O ≡ G:
~˙ (O) = M~ (O)
K
(e)
si ottiene:
(O)
M~(e) · û = Iu ω̇,
O∈u
(u)
M(e) = Iu ω̇
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Dinamica Corpo Rigido
39
Dinamica del Corpo Rigido (III)
La II equazione cardinale, nei due casi considerati, conduce all’equazione:
(u)
M(e) = Iu ω̇
[†]
(u)
Il momento assiale risultante delle forze esterne M(e) è uguale al
momento di inerzia Iu moltiplicato per il modulo dell’accelerazione
angolare ω̇.
Questa espressione ha la stessa forma del teorema del moto del
centro di massa:
~(e) = M ~aG
R
[‡]
Tuttavia la [†] è scalare mentre la [‡] è vettoriale. Inoltre la [‡] ha validità
generale, mentre la [†] vale soltanto nei moti in cui l’asse di rotazione
rimane parallelo a se stesso.
Il ruolo del momento di inerzia per le rotazioni è analogo a quello della
massa per le traslazioni.
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Dinamica Corpo Rigido
40
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica e Astronomia
[email protected]
https://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli
https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica
Meccanica – 11. Terzo Principio della Dinamica
D. Galli
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