Campo elettrico e campo di induzione magnetica nella materia

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Effetto dei campi elettrico e di induzione magnetica nella materia
AVVERTENZA: le seguenti note non sono esaustive e sono da intendersi come schema nella guida
allo studio. In questo senso esse non si sostituiscono al testo di riferimento (C. Mencuccini, V.
Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori) a cui si rimanda per un maggiore dettaglio sugli argomenti
trattati.
Cosa accade ai campi elettrico e di induzione magnetica generati da distribuzioni di sorgenti
(cariche puntiformi o corpi estesi carichi, correnti o corpi magnetizzati) se lo spazio è riempito da
un mezzo materiale?
Si vedrà che le proprietà del campo elettrico nella porzione di spazio in cui è presente il mezzo si
possono descrivere introducendo una grandezza adimensionale, la costante dielettrica relativa che si
indicherà con ε r (ω ) , dove ω è la frequenza angolare (pulsazione) del campo. Si ha per la prima
equazione di Maxwell:
∇⋅E =
ρ
.
ε rε 0
Analogamente, le proprietà del campo di induzione magnetica nel mezzo sono descritte
introducendo una grandezza adimensionale µ r che prende il nome di permeabilità magnetica
relativa. La quarta equazione di Maxwell diviene:
∇ × B = µJ + µε (ω )
∂
E
∂t
dove µ (ω ) = µ r (ω ) µ 0 .
Le due grandezze adimensionali così introdotte dipendono dalle proprietà del materiale che riempie
lo spazio.
In ciò che segue si fornisce lo schema concettuale per giungere alla scrittura della due equazioni di
Maxwell nella materia sopra riportate.
Campi elettrici nella materia
I materiali, che sono formati da atomi interagenti tra loro, sono suddivisi sulla base della loro
capacità di essere sede di una corrente elettrica in due categorie: isolanti (o dielettrci ) e conduttori1.
Conduttori2
Un tipico materiale conduttore è rappresentato da un metallo. In un metallo gli atomi sono disposti a
formare un reticolo cristallino. Ogni atomo è ai vertici di un reticolo poliedrico (ad esempio cubico)
di estensione spaziale molto grande rispetto al passo di ogni singola cella del reticolo.
1
I materiali possono anche essere classificati come semiconduttori o superconduttori. I semiconduttori sono degli
isolanti in cui la conduzione è possibile grazie a processi di eccitazione termica degli elettroni, mentre i superconduttori
sono dei conduttori in cui tramite un meccanismo cooperativo di interazione tra l’elettone di conduzione ed il reticolo
la conduzione avviene in assenza di resistenza elettrica.
2
Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.II.
1
Il potenziale che determina la forza che attrae gli elettroni ai singoli centri (potenziale con
andamento periodico, con periodicità fornita da quella del reticolo) è tale che alcuni elettroni delle
orbite più esterne (circa 1 o 2 elettroni per atomo) possono essere considerati sostanzialmente liberi.
L’energia di legame è abbastanza piccola da essere più bassa dell’energia di agitazione termica a
temperatura ambiente. Gli elettroni più esterni sono dunque assimilabili ad un gas di elettroni liberi.
Un campo E applicato, anche piccolo, mette in moto gli elettroni producendo una corrente.
In un conduttore3 la presenza di un campo elettrico E genera una densità di corrente J data da
1 nτ e 2
E =σE
2 m
J = − e nv =
dove σ rappresenta la conducibilità elettrica del materiale, in generale funzione della pulsazione ω
del campo.
Nel caso elettrostatico, anche in presenza di un campo elettrico esterno, il campo elettrico
all’interno del conduttore è nullo. Se ciò non fosse si avrebbe movimento di cariche all’interno del
conduttore, in contrasto con il fatto di essere in situazione statica. Quando un campo elettrico
esterno viene acceso, le cariche libere all’interno del conduttore rapidamente si ridistribuiscono in
modo da annullare il campo all’interno.
Conseguenza di questo fatto è che la carica all’interno del conduttore è nulla (si dimostra ciò
utilizzando il teorema di Gauss) e le cariche si distribuiscono alla superficie.
Se Eint = 0
V = costante : il conduttore è a potenziale costante.
Utilizzando il teorema di Gauss e la circuitazione di E , si verifica che all’interfaccia di separazione
tra due mezzi si ha
E2
En2
Et1 = Et1
ε1 En = ε 2 En
1
2
2
E1
Et2
En1
1
Et1
Ne consegue che se il campo elettrico interno è nullo (in condizioni statiche), è nulla la componente
parallela alla superficie. È dunque nulla la componente parallela del campo anche all’esterno della
superficie. Se ne ricava che il campo elettrico alla superficie esterna di un conduttore è
perpendicolare alla superficie stessa.
Poiché le cariche del conduttore si dispongono alla superficie in presenza di un campo esterno, si
ricava, utilizzando sempre il teorema di Gauss, che
Eext =
3
σ
nˆ .
ε0
Si vedano le dispense del corso di Fisica A Cap.9,
2
La ridistribuzione delle cariche di un conduttore che comporta la loro migrazione e localizzazione
alla superficie in presenza di un campo elettrico esterno prende il nome di polarizzazione.
E≠0
-
-
+
E =0
-
+
+
+
Dati due conduttori uno dentro l’altro, se il primo è carico, nel
conduttore 2 (neutro) le cariche si spostano (il conduttore si
polarizza): cariche con segno opposto a quelle del primo conduttore
migrano verso la superficie interna e cariche di ugual segno migrano
verso la superficie esterna. Il conduttore 2 si mantiene globalmente
neutro, ma le cariche si sono ridistribuite. Questo fenomeno è detto di
induzione completa.
Dati due conduttori uno dentro l’altro inizialmente neutri, se il
conduttore esterno viene caricato, quello interno non subisce effetti.
Il conduttore esterno costituisce uno schermo elettrostatico.
+_
_+
+
_
+
+_
+
_ 2
+
_
+ +
++
1
+ _
+
_
_
+
_
+
_
+
+
Due conduttori che realizzano il fenomeno dell’induzione completa costituiscono un condensatore.
I condensatori tipicamente possono essere di tipo piano (dati da due lastre conduttrici piane
affacciate), cilindrico (due cilindri conduttori uno dentro l’altro) o sferico (due sfere conduttrici una
dentro l’altra). Se su uno dei conduttori è presente la carica +Q, sulla superficie del secondo
conduttore affacciata al primo si concentra una carica –Q.
Si verifica che fissata la geometria del condensatore, il rapporto tra la carica immagazzinata e la
differenza di potenziale tra i conduttori è costante
Q
=C.
∆V
Tale costante C prende il nome di capacità.
Dielettrici4
In un dielettrico gli atomi (o le molecole) hanno tutti gli elettroni legati ai rispettivi siti atomici. Tali
elettroni non migrano sotto l’effetto dei campi elettrici tipicamente disponibili. Solo con forze
localizzate molto intense (strofinio, scariche elettriche,…) può accadere che gli elettroni meno
fortemente legati vengano strappati dal materiale lasciandolo carico positivamente localmente.
Qualora gli elettroni siano stati introdotti con forza si realizzerà localmente una carica negativa.
Un dielettrico, pur rimanendo neutro, modifica il campo prodotto da distribuzioni di carica
localizzate esterne (campo elettrico esterno) se esso possiede un momento di dipolo diverso da zero.
4
Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.III.
3
Tale momento di dipolo è non presente in generale in assenza del campo elettrico esterno (ad
eccezione dei materiali ferroelettrici o piezoelettrici, la cui trattazione è al di fuori delle finalità del
presente corso). Il fenomeno per cui un dielettrico acquista un momento di dipolo elettrico è detto
polarizzazione.
La polarizzazione elettrica può essere di due tipi: per deformazione o per orientamento.
Polarizzazione per deformazione
Un atomo è un sistema neutro schematizzabile come una nuvola di carica elettronica (negativa) al
centro della quale è presente un nucleo di carica positiva di raggio molto più piccolo rispetto a
quello totale atomico ( rnucleo / ratomo 10−5 ÷ 10−4 ). Estremizzando, si può considerare la densità di
carica elettronica negativa ρ ( x, y, z ) a simmetria sferica attorno al nucleo (con diametro dell’ ordine
del decimo di nm).
Un atomo così fatto non ha momento di dipolo intrinseco (i baricentri delle densità di carica
positiva e negativa coincidono).
-
+
-
QN = + Ze
-
Qe = − Ze
Dove Z è il numero atomico
-
Se l’atomo è posto in un campo locale El , esso viene deformato ed acquista un momento di dipolo
p indotto.
Il nucleo subisce una forza f N = ZeEl ed il baricentro C della carica negativa subisce una forza
f C = − f N = − ZeEl .
-
fC
r
-
Una volta spostati per effetto del campo elettrico locale,
C ed N si attraggono con una forza pari ad f ′ .
-
+
-
fN
El
All’equilibrio si ha che f ′ = f N = f C .
Per campi El non molto intensi ci si attende che lo
spostamento r ∝ El , in base a un modello per cui gli
elettroni sono legati elasticamente ai nuclei.
Questo può essere mostrato in modo semplice facendo la drastica approssimazione che la densità di
carica elettronica sia uniforme.
Per trovare f ′ si noti che se r è lo spostamento relativo tra i centri delle due cariche, il campo E ′
generato dalla densità di carica negativa in r è dato da (utilizzando il teorema di Gauss)
E′ =
q (r ) rˆ
4πε 0 r 2
4
dove q (r ) = ρVsfera raggio r = −
Da cui
E′ = −
3
4 π r 3 = − Ze r .
4 π R3 3
Rat3
3 at
Ze
Ze r
Ze r
ρ
=−
=−
r.
3
3
4πε 0 Rat
4π Rat ε 0
3ε 0
Si ottiene che la forza f ′ che la carica elettronica esercita sul nucleo è
f ′ = ZeE ′ = −
( Ze )
2
4πε 0 Rat3
r.
Uguagliando f ′ a − f N si può ricavare r .
r=
4πε 0 Rat3
El .
Ze
La condizione r ∝ El è largamente soddisfatta per tutti i campi El realizzabili in pratica.
Una volta ottenuto r è immediato determinare il momento di dipolo indotto. Si ha
p = Zer
p ∝ El
p = α d El .
Il coefficiente di proporzionalità α d è chiamato polarizzabilità elettronica (o per deformazione).
La polarizzazione per deformazione è presente anche in molecole poliatomiche: il campo può
distorcere la forma della molecola spostando i baricentri delle densità di carica positiva e negativa.
Campo locale
Nelle precedenti espressioni si è sempre parlato di campo elettrico locale El .
Il campo locale è il campo che agisce sull’atomo (o molecola) considerato. Esso è determinato da
tutte le cariche esterne e da tutti i contributi dovuti ai dipoli indotti nel dielettrico ad eccezione
dell’atomo (o molecola) in esame.
Il campo E macroscopico internamente al dielettrico include anche il campo generato dalla
porzione del materiale in cui il campo viene calcolato.
Polarizzazione per orientamento
Molte molecole poliatomiche sono dotate di un proprio momento di dipolo elettrico permanente p0 .
È questo il caso ad esempio della molecola dell’acqua.
Tali molecole, poste in un campo elettrico locale El tendono ad orientarsi nella direzione del
campo. Esse sono soggette ad un momento (della forza) che si dimostra essere pari a
M = p0 × El
5
e posseggono nel campo una energia potenziale pari a
U = − p0 ⋅ El .
In assenza del campo elettrico tutti i dipoli sono orientati casualmente. A livello macroscopico non
si osserva alcun momento di dipolo elettrico. Ciò è dovuto all’agitazione termica che tende a
disordinare i dipoli molecolari microscopici.
Quando è presente un campo elettrico, i dipoli tendono ad orientarsi in accordo
con El . Statisticamente, i dipoli assumeranno una orientazione media rispetto ad
El che dipende dall’equilibrio tra due tendenze contrastanti: da un lato
l’agitazione termica che tende a disorientare i dipoli, dall’altra la forza elettrica
che tende ad allineare i dipoli ad El .
Utilizzando metodi statistici si deriva che
p02
p =
El
3 K BT
p02
p = α o El , α o =
3 K BT
dove KB = 1.38 10-23 J/K è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta. Si ha dunque
ancora che il momento di dipolo elettrico è proporzionale al campo elettrico locale e la costante di
proporzionalità è data da α o , polarizzabilità per orientamento. Si noti che a differenza della
polarizzazione per deformazione, in questo caso è il valore medio del momento di dipolo che è
proporzionale a El . Si noti inoltre che per campi El sufficientemente intensi (e/o temperature
molto basse tali per cui l’effetto dell’agitazione termica influisce poco) tutte le molecole sono
allineate ad El . In questo caso p tende a p0 e cessa di essere proporzionale al campo locale. Si
realizza una condizione di saturazione.
Vettore di polarizzazione elettrica P
Da quanto sinora visto, dal punto di vista macroscopico è conveniente introdurre un vettore di
polarizzazione elettrica P pari al momento di dipolo elettrico per unità di volume.
P = lim
V →0
i
pi
V
dove con n =
=
dN
p =n p
dV
dN
si è indicato il numero di molecole per unità di volume.
dV
Benché all’interno del dielettrico le cariche non possono muoversi liberamente, il fatto che si
realizzi una situazione in cui P ≠ 0 per effetto di un campo esterno può essere schematizzato
immaginando la presenza sulla superficie e nel volume del dielettrico di cariche elettriche
aggiuntive. Tali densità di carica vengono indicate con σ P e ρ P per superficie e volume,
rispettivamente.
6
P
σP < 0
Eext
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
σP > 0
-
ρP = 0
+
+
+
+
+
+
+
ρP ≠ 0
P uniforme
P decrescente
+
+
-
+
-
+
+
Qualitativamente ci si attende
che se P è costante (vettore
uniforme) la densità di carica
di polarizzazione di volume
ρ P sia nulla e si abbia solo
una σ P ≠ 0 alle superfici
esterne del dielettrico. Se P
non è uniforme, si ha non solo
una σ P ≠ 0 ma anche una
ρP ≠ 0 .
È possibile dimostrare che valgono le seguenti relazioni:
σ P = P ⋅ nˆ
ρ P = −∇ ⋅ P
Queste relazioni legano σ P e ρ P al vettore di polarizzazione P .
Calcolo del campo elettrico all’interno di una sfera dielettrica di raggio R dotata di polarizzazione
elettrica uniforme P0
Se P0 è costante nella sfera, si ha che ρ P è nulla e
n̂
-
R
-
θ
+
+
+
+
+
θ
P0
-
x
+
r2
r1
C1
-
P0
+
-
-
σ P = P0 ⋅ nˆ = P0 cos θ .
∆x
C2
+
+
+
+
+
x
Si hanno solo cariche di
polarizzazione alla superficie.
Si può pensare di realizzare tale distribuzione di carica
prendendo due sfere uguali di raggio R uniformemente
cariche, con densità di carica uguali in modulo ρ ma
opposte in segno, spostate una rispetto all’altra di una
piccola quantità ∆x lungo l’asse x, parallelo alla direzione
di P0 .
Lo spostamento ∆x da luogo a n dipoli per unità di
volume (dove n è il numero di cariche per unità di volume
in ognuna distribuzione) ciascuno di momento pari a q ∆x
(avendo indicato con q la carica puntiforme). Si ha
( )
P0 = n q ∆x = ρ ∆x
ρ=
P0
.
∆x
Per ottenere il campo elettrico interno, si può utilizzare il principio di sovrapposizione, calcolando il
campo come somma dei campi dovuti alle due distribuzioni. Da quanto visto in uno dei precedenti
paragrafi
7
E1 = −
ρ
ρ
r1 e E2 =
r2 , da cui
3ε 0
3ε 0
E = E1 + E2 =
P
ρ
ρ
( r2 − r1 ) = − ∆x = − 0 .
3ε 0
3ε 0
3ε 0
Il campo all’interno della sfera dielettrica è dunque uniforme.
Suscettività
È possibile a questo punto mettere in relazione il vettore di polarizzazione P con il campo E
macroscopico nel dielettrico.
Come visto nei punti precedenti, si è osservato che p = α El , dove in generale α = α d + α o . Ne
consegue che
P = n p = nα El .
Occorre dunque stabilire la relazione tra E ed El .
•
In generale, per sostanze a bassa densità (come gas) di particelle poco interagenti
E
El
Per molecole polari (dove è presente sia polarizzazione per orientamento che per
deformazione si ricava che
α = αd + αo = αd +
p02
,
3 K BT
da cui
P = n p = nα El = ε 0 χ E .
In questa espressione si è introdotta la grandezza χ =
nα
detta suscettività. Si vedrà a breve
ε0
che la suscettività è legata alla costante dielettrica relativa del materiale da χ = ε r − 1 .
•
Per liquidi densi e sostanze amorfe non si ha in generale E
El . L’azione delle molecole
circostanti al punto in cui E ed El sono calcolati non è trascurabile.
Se il campo generato dalle molecole è dovuto a soli dipoli, se la distribuzione dei dipoli è
uniforme ( P uniforme), se il loro momento di dipolo è diretto parallelamente al campo
esterno e i momenti delle molecole sono tutti uguali, vale la cosiddetta relazione di Lorentz:
8
El = E +
P
.
3ε 0
Per ricavare tale espressione si può usare il principio di sovrapposizione, come illustrato in
figura. Si consideri un dielettrico in cui è praticato un foro di piccole dimensioni. Il campo
elettrico nel foro corrisponde a quello locale.
P
=
E
+++
P − EP +
−−−
P
E
El
Il campo totale E può essere ottenuto come somma del campo elettrico nel foro ( El ) e il
campo elettrico della sfera di materiale dielettrico che è stata tolta dal foro, uniformemente
P
polarizzata (ricavato in un precedente paragrafo − 0 ).
3ε 0
Si può quindi scrivere
P = np = nα El = nα E +
P
3ε 0
da cui
P 1−
nα
= nα E
3ε 0
P=
nα
E = χε 0 E
nα
1−
3ε 0
e
χ=
nα
1
ε0
nα
1−
3ε 0
.
Poiché, come si introdurrà a breve, χ = ε r − 1 , sostituendo si ottiene
α=
3ε 0 ( ε r − 1)
.
n (ε r + 2)
Tale scrittura prende il nome di relazione di Clausius Mossotti. I dielettrici amorfi, i
dielettrici cristallini a struttura cubica ed i liquidi densi possono essere ben descritti da tale
relazione.
Dielettrici anisotropi
9
Alcuni solidi cristallini sono anisotropi. La loro reazione al campo E è differente a seconda della
direzione lungo la quale il campo è applicato rispetto agli assi cristallografici. In questo caso,
anziché parlare di polarizzabilità come quantità scalare, si introduce la polarizzabilità tensoriale. Si
ha
p= α E
α11 α12 α13
dove α = α 21 α 22 α 23 è detto tensore di polarizzazione. Si ha
α 31 α 32 α 33
px = α11 Ex + α12 E y + α13 Ez
p y = α 21 Ex + α 22 E y + α 23 Ez .
pz = α 31 Ex + α 32 E y + α 33 Ez
Un dielettrico si dice perfetto quando gli elementi α ij del tensore di polarizzazione (o per un solido
isotropo semplicemente la polarizzabilità α ) sono costanti indipendentemente dal valore di E e
dalla posizione (in molti casi ad esempio P non varia linearmente con E a bassa temperatura
assoluta T).
Equazioni di Maxwell in presenza di dielettrico
All’interno di un mezzo dielettrico, la prima equazione di Maxwell viene modificata dalla presenza
della densità di carica di polarizzazione.
∇⋅E =
ρ + ρP
.
ε0
Poiché ρ P = −∇ ⋅ P ne consegue che
∇⋅E =
ρ −∇⋅P
ε0
(
)
∇ ⋅ P + ε0E = ρ
Solitamente si introduce un nuovo vettore D = P + ε 0 E chiamato vettore spostamento elettrico (o
vettore campo esterno) tale per cui l’espressione della prima equazione di Maxwell si riduce alla
forma estremamente compatta
∇⋅D = ρ
dove ρ è la sola densità di carica dovuta alle cariche esterne – o libere (non dovuta agli effetti di
polarizzazione). Nel caso in cui il mezzo sia il vuoto, il vettore spostamento si riduce a D = ε 0 E .
Nel caso semplice in cui il dielettrico è perfetto e isotropo, allora risulta
10
D = P + ε 0 E = ε 0 χ E + ε 0 E = ε 0 ( χ + 1) E .
( χ + 1)
relativa, ε r = ( χ + 1) .
La grandezza
è adimensionale. Questa grandezza viene chiamata costante dielettrica
Da ciò, per mezzi dielettrici perfetti e isotropi si ha
D = ε 0ε r E = ε E
Avendo posto ε 0ε r = ε , costante dielettrica del materiale.
La prima equazione di Mawell può essere dunque posta indifferentemente nelle forme equivalenti
∇⋅D = ρ
∇⋅E =
ρ .
ε
Campi di induzione magnetica nella materia5
Come accade per il campo elettrico, la presenza di materia modifica i valori del campo di induzione
magnetica e fa sì che si generino azioni meccaniche sui materiali soggetti al campo.
La risposta di un materiale ad un campo magnetico dipende dal tipo di materiale. Essenzialmente si
distinguono tre classi di materiali: i) materiali ferromagnetici (che subiscono forze molto intense di
attrazione quando posti in un campo magnetico); ii) materiali paramagnetici (che subiscono deboli
forze di attrazione); iii) materiali diamagnetici (che subiscono deboli forze di repulsione).
Sostanze ferromagnetiche Ferro, Cobalto, Nikel,…
Sostanze paramagnetiche Alluminio, Platino, Cromo,…
Sostanze diamagnetiche Cloruro di Sodio, Rame, Piombo, Zolfo, Carbonio, Argento,…
L’interpretazione dei fenomeni magnetici nella materia si basa sul teorema di equivalenza di
Ampère, secondo il quale a grande distanza una spira percorsa da una corrente si comporta come un
dipolo magnetico.
Un dipolo magnetico in presenza di un campo di induzione
magnetica tende ad allinearsi parallelamente alle linee di forza
del campo. In particolare esso è soggetto ad un momento (di una
forza) pari a
m = IS
S
θ
B
M = m× B .
I
All’interno del campo possiede anche un’energia potenziale data
da
U = −m ⋅ B
5
Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.VI.
11
Secondo il modello atomico semplificato di Rutheford (modello planetario), gli elettroni orbitanti
intorno al nucleo sono sede di correnti (formano spire microscopiche). Di conseguenza possono
essere visti come generatori di momenti di dipoli magnetici microscopici.
In modo simile a quanto visto per il campo elettrico, in assenza di un campo di induzione magnetica
esterno tutti i dipoli sono orientati casualmente (per effetto dell’agitazione termica). In presenza di
un campo di induzione magnetica si generano fenomeni di polarizzazione. I dipoli elementari
tendono ad orientarsi nella direzione del campo, alterando gli effetti del campo stesso e producendo
azioni di tipo meccanico sul materiale.
Nelle equazioni di Maxwell per il campo di induzione magnetica, la modifica indotta dalla presenza
di materia è relativamente semplice: accanto alla densità di corrente di conduzione J cond (ed
eventualmente del termine di spostamento) deve comparire un termine che rappresenta la densità di
corrente microscopica dovuta agli elettroni in moto nelle orbite atomiche J m . Si ha
∇⋅B = 0
∇ × B = µ0 J cond + µ0 J m
Il problema consiste ora nella determinazione di J m , che in generale è ignoto. Occorre dunque
trovare la relazione tra J m ed una grandezza macroscopica misurabile. Si vedrà a breve che questa è
data dal vettore di magnetizzazione M .
Fattori microscopici che determinano il magnetismo nei mezzi
Nella trattazione dei fenomeni magnetici in questa sede si fa riferimento al modello atomico di
Rutherford (modello planetario, con nucleo carico positivamente al centro ed elettroni carichi
negativamente che orbitano attorno su traiettorie ellittiche). Il modello di Rutherford è
drasticamente semplificato ed una trattazione rigorosa richiede la meccanica quantistica. Tuttavia il
modello di Rutherford riesce a dar ragione di molti degli aspetti essenziali del magnetismo.
Si consideri un atomo di idrogeno sotto l’ipotesi che l’orbita dell’unico elettrone presente sia
circolare uniforme intorno al nucleo. Sia r0 il raggio di tale orbita. La forza di attrazione tra nucleo
ed elettrone è quella elettrostatica. L’equazione del moto,
considerato che l’accelerazione è solo di natura centripeta (moto
e+
circolare uniforme) fornisce:
+
Fe
Ia
e−
v0
Fe = me ac
e2
4πε r
2
0 0
4πε 0 r02
= me
2π
T0
= me
2
r0
dove me = 9.1 ⋅10−31 kg è la massa dell’elettrone e T0 = 2π
conto dei valori sperimentali per r0
T0
(ω r )
v02
= me 0 0 = meω02 r0
r0
r0
2
e2
T0 =
4π
πε 0 me r03
e
ω0 è il periodo di rivoluzione. Tenendo
0.5 ⋅10−10 m si ottiene un periodo di rivoluzione dell’ordine di
1.5 ⋅10 −16 s . Da ciò risulta che la corrente microscopica I a associata alla spira elettronica vale
12
Ia =
e
T0
1 mA
Il momento magnetico associato vale di conseguenza
m = I a S = I aπ r02 =
e
π r02 = 9.35 ⋅10 −24 A ⋅ m 2
T0
e tale momento risulta perpendicolare al piano dell’orbita. È considerevole il fatto che il valore
ottenuto sia in buon accordo con i valori sperimentali, nonostante le drastiche approssimazioni
eseguite e la semplificazione estrema del modello atomico.
Il momento magnetico m è inoltre proporzionale al momento angolare (o momento della quantità
di moto) L dell’elettrone rispetto al nucleo. Si ha
e+
+
m
L
L = r0 × me v0 (perpendicolare all’orbita).
r0
Dato il segno della carica dell’elettrone (la carica e− è considerata
dotata di segno, negativa per l’elettrone), si ha che L e m sono
antiparalleli.
e−
Ia
v0
In modulo si ha
L = me v0 r0 = me (ω0 r0 ) r0 = me
2π
2π 2
r0 r0 = me
r0
T0
T0
che confrontato con l’espressione sopra scritta per m =
( )
e
π r02 fornisce
T0
e−
m
.
=
L 2me
Da tutto ciò si può scrivere
(e ) L .
m=
−
2me
(e )
−
Il rapporto g =
viene chiamato fattore giromagnetico. È degno di nota il fatto che a tale
2me
risultato si pervenga anche effettuando la corretta trattazione quantistica.
Se si effettuasse la trattazione quantistica si otterrebbe che il momento angolare orbitale
dell’elettrone in un qualsiasi sistema atomico è quantizzato. Esso può assumere in modulo solo
valori discreti che siano multipli della costante universale = h 2π , dove h = 6.62 ⋅10−34 J ⋅ s è la
costante di Planck.
13
L = l (l + 1) , con l = 0,1, 2,3,...
Di conseguenza anche il momento magnetico orbitale può assumere solo valori che siano multipli
della quantità
(e )
=
−
mB
2me
chiamata magnetone di Bohr.
Si ha
(e )
l (l + 1)
−
m = l (l + 1)lmB =
2me
con l = 0,1, 2,3,...
Momento angolare di spin
Nei sistemi atomici il momento angolare (ed il relativo momento di dipolo magnetico) non è dovuto
solo al moto degli elettroni di rivoluzione intorno ai nuclei. Protone, neutrone ed elettrone
posseggono anche un momento proprio, chiamato momento di spin (rispettivamente angolare e
magnetico). Da un punto di vista classico questo è visualizzabile pensando alle particelle che
compongono l’atomo come a delle sferette che ruotano attorno ad un asse baricentrale.
È un fatto sperimentale che il momento angolare di spin è identico per protone,
neutrone ed elettrone e vale s = s ( s + 1) con s =1/2.
Il momento magnetico varia invece da particella a particella. I rapporti giromagnetici
sono
e−
<0
2me
il momento magnetico di spin e quello
ELETTRONE
ge = 2
PROTONE
g p = 2.79
e+
>0
2m p
il momento magnetico di spin e quello
NEUTRONE
g n = 1.91
e−
<0
2mn
il momento magnetico di spin e quello
angolare di spin sono antiparalleli
angolare di spin sono paralleli
angolare di spin sono antiparalleli
Come conseguenza di ciò si noti che per l’elettrone, il momento magnetico di spin vale
e−
µe = 2
3 ≈ mB .
2me
2
Il momento magnetico intrinseco dei nucleoni è poi molto meno rilevante di quello degli elettroni
nella determinazione del comportamento magnetico del materiale (a causa della massa dei nucleoni,
di circa 2000 volte più grande di quella degli elettroni). I momenti magnetici dei nucleoni possono
essere trascurati nella trattazione degli effetti magnetici nella materia.
Momento magnetico atomico totale
14
Il momento magnetico totale di ogni atomo si ottiene come somma vettoriale dei momenti orbitali e
di spin dei vari elettroni. Nel fare ciò devono essere però considerate alcune regole fissate dalla
meccanica quantistica
1. Quantizzazione della proiezione del momento angolare orbitale L lungo un asse (ad
esempio quello individuato dal campo di induzione magnetica esterno). La componente di
L lungo l’asse di quantizzazione può assumere solo valori multipli interi di compresi tra
−l e l . Lo spin degli elettroni può essere solo parallelo o antiparallelo a tale direzione
2. Principio di esclusione di Pauli: in un sistema atomico non possono sussistere più di due
elettroni nello stesso stato orbitale (nel qual caso i loro spin sono antiparalleli)
Da tutto questo risulta che molti atomi dotati di distribuzione spaziale simmetrica hanno momento
di dipolo magnetico nullo.
Anche quando il momento magnetico totale è diverso da zero in generale l’orientazione dei dipoli
microscopici è del tutto casuale. Ogni porzione macroscopica di materia (in media) ha momento
magnetico risultante nullo.
Alcuni materiali (ferromagnetici) una volta che sono stati inizialmente polarizzati per effetto di un
campo magnetico esterno (i dipoli elementari sono stati orientati secondo la direzione del campo),
permangono in tale stato di magnetizzazione anche quando il campo esterno viene rimosso. In
questo caso si hanno dei magneti permanenti. L’allineamento dei dipoli persiste anche in assenza di
campo di induzione magnetica esterno.
In ogni caso, l’effetto della presenza di un campo magnetico esterno è quello di indurre nel
materiale un momento magnetico risultante diverso da zero.
Come nel caso della polarizzazione elettrica, anche per la polarizzazione magnetica è il campo di
induzione magnetica locale ad agire sui dipoli microscopici.
Campo di induzione magnetica locale
Il campo locale Bl è il risultante dei campi macroscopici applicati dall’esterno sul materiale e dei
campi generati da tutti i contributi microscopici ad esclusione di quelli che di volta in volta vengono
considerati.
Il campo di induzione magnetica macroscopico B include invece tutti i contributi, compresi quelli
del sito in cui il campo viene preso in esame.
È necessario a questo punto stabilire il legame tra campo locale e momento di dipolo magnetico.
Precessione di Larmor
Si trova che per qualsiasi atomo la presenza di un campo locale induce un momento di dipolo
magnetico (momento di dipolo magnetico di Larmor) che si oppone al campo. Tale contributo è
piccolo e diviene trascurabile qualora l’atomo sia dotato di momento di dipolo magnetico
permanente. Qualora ciò non si verifichi, allora il momento di dipolo di Larmor è l’unico momento
atomico presente. I materiali in cui ciò accade sono detti diamagnetici.
Si consideri un atomo di idrogeno secondo il modello di Rutherford. Nell’ipotesi (verificata
sperimentalmente) che il campo di induzione magnetica induca nel moto dell’elettrone solo una
piccola perturbazione, si può mostrare che il suo momento angolare L compie un moto di
15
precessione attorno alla direzione del campo. Sia il campo Bl parallelo all’asse Z di un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale.
L’equazione del moto si scrive come
Z
ωL
Bl
M=
L
dL
dt
dL
= m0 × Bl
dt
e
L è il momento magnetico associato
2me
+
Y
e
+
all’elettrone, come visto nei paragrafi precedenti (avendo
r0
posto il segno negativo, la carica e viene considerata in
modulo).
I a e − v0
X
dL
è perpendicolare
L’espressione sopra scritta implica che
dt
sia a L che a Bl . Ciò comporta alcune importanti conseguenze:
dL
⊥L
dt
•
dove m0 = −
L = costante . L cambia nel tempo solo la sua direzione.
dL
dLz
⊥ Bl
= 0 . La componente di L proiettata lungo l’asse individuato da Bl
dt
dt
rimane costante nel tempo.
•
Si ha allora che il momento angolare L compie un moto di precessione attorno all’ asse Z. Per la
determinazione della frequenza angolare di rotazione ωL si noti che, dalla formula di Poisson per
un vettore di modulo costante, si ha
dL
= ωL × L
dt
da cui
ωL × L = Bl ×
e
L
2me
ωL =
e
Bl
2me
Velocità angolare (o pulsazione) di Larmor.
Si osservi che ωL ha la stessa direzione e verso di Bl . L precede dunque in senso antiorario intorno
a Bl .
Il moto di precessione comporta una corrente elettronica di Larmor che, dato il segno dell’elettrone,
circola in senso orario.
IL =
e 2 Bl
e eωL
.
=
=
TL 2π 4π me
A tale corrente è associato un momento magnetico (diretto nel verso opposto a Bl ) in modulo pari a
16
mL = I L S z =
e 2 Bl
Sz
4π me
dove S z è la proiezione della sezione dell’orbita sul piano XY. Mediando su tutte le possibili
2
orientazioni nello spazio dell’orbita, ipotizzando una distribuzione isotropa, si ottiene S z = π r 2
3
dove r è il raggio dell’orbita.
Ne consegue che
mL =
e2 2
r Bl .
6me
Sommando su tutti i possibili raggi delle orbite elettroniche di un atomo con numero atomico Z si
ottiene
Z
e2
mL = −
6me
Z
i =1
(r )
2
i
Ze 2 a 2
Bl = −
Bl
6me
con a 2 =
i =1
(r )
2
i
Z
.
Si è così trovato che il campo locale Bl induce un momento di dipolo magnetico mL opposto al
campo stesso. Ciò è vero per ogni tipo di atomo.
Polarizzazione per orientamento
Qualora gli atomi siano dotati di momento di dipolo magnetico proprio, questo tende ad allinearsi
alla direzione data dal campo locale Bl , in analogia con quanto visto per il caso elettrico.
In questo caso, attraverso metodi statistici si arriva a trovare che il momento di dipolo magnetico
medio lungo la direzione individuata da Bl è dato da
m = L ( y ) = m0 coth y −
y=
1
y
m0
y y3
+ + ...
3 45
(sviluppando in serie)
m0
Bl
K BT
L( y)
La funzione L(y) è chiamata funzione di Langevin.
Si noti che la dipendenza del momento magnetico medio non è
più lineare in Bl .
y
Vettore di magnetizzazione
Procedendo in modo analogo a quanto visto per il caso del campo elettrico nella materia, si
introduce un vettore di magnetizzazione M , che rappresenta il momento di dipolo magnetico
17
medio per unità di volume. Esso è mediato su una regione di spazio abbastanza grande da includere
il contributo di un numero molto grande di dipoli elementari.
M = lim
V →0
i
mi
V
=
dN
m =n m .
dV
M si misura in A/m. È una grandezza macroscopica in quanto mediata su un volume
sufficientemente grande da includere molti contributi elementari.
È possibile calcolare il legame che lega il vettore di magnetizzazione M alle densità di correnti
microscopiche nel materiale. Si ottiene che
J mv = ∇ × M
J ms = M × nˆ
dove J mv e J ms sono le densità di corrente microscopiche di volume e di superficie6 rispettivamente
ed n̂ è il versore normale alla superficie esterna del mezzo magnetizzato.
Per visualizzare qualitativamente come M è legato alle correnti microscopiche si consideri un
materiale a forma cilindrica magnetizzato lungo l’asse del
cilindro.
M
In assenza di magnetizzazione le spire elementari sono orientate
casualmente.
Se
M ≠ 0 e costante indipendentemente dalla posizione,
internamente al materiale il valore medio delle correnti
microscopiche è nullo. Tutti i dipoli sono parimenti orientati e si
ha perfetta compensazione in ogni punto tra le correnti circolanti
in spire adiacenti.
Si ha una corrente diversa da zero solo sulla superficie laterale
J ms
del cilindro (corrente descritta da J ms , densità di corrente
superficiale).
Se M ≠ 0 ma non è uniforme nel materiale (ad esempio la
densità dei dipoli varia lungo una data direzione oppure le
correnti associate alle spire dei singoli dipoli elementari variano lungo una direzione) si avrà una
densità di corrente J mv ≠ 0 .
Scrittura delle equazioni di Maxwell per il campo di induzione magnetica in presenza di materia
Nello scrivere le equazioni di Maxwell all’interno di un materiale le densità di corrente di superficie
non compaiono. Si ha
∇⋅B = 0
(
)
∇ × B = µ0 J cond + J mv = µ0 J cond + µ0∇ × M
da cui
6
Si noti che la densità di corrente di superficie si misura in A/m, mentre la densità di corrente di volume si mostra in
A/m2.
18
∇×
B − µ0 M
µ0
= J cond
A questo punto si introduce solitamente il vettore ausiliario H =
B − µ0 M
µ0
, chiamato vettore campo
magnetico, per cui la quarta equazione di Maxwell assume la forma semplificata
∇ × H = J cond
Dove non compaiono i contributi microscopici.
È ora necessario trovare la relazione tra M e B (ed in seguito quella tra B e Bl ).
Suscettività magnetica
Per mezzi isotropi e omogenei i campi B e H sperimentalmente risultano paralleli. Ciò implica il
parallelismo o anti-parallelismo di M e B .
In tali mezzi si usa scrivere
B = µ H = µ0 µ r H
dove µ è detta permeabilità magnetica e µr (quantità adimensionale) è detta permeabilità
magnetica relativa.
B − µ0 M
Mediante semplici passaggi sostituendo B = µ H nella espressione H =
si ricava
µ0
M=
( µr − 1) B = µ − 1 H
( r )
µ0 µ r
che rappresenta la relazione tra M , B e H in mezzi omogenei e isotropi. In linea di principio non
è detto che la relazione sia lineare, in quanto µr può dipendere dal campo di induzione magnetica
stesso.
Si introduce ora la grandezza suscettività magnetica
χ m = µr − 1
per cui M = χ m H
Condizioni di raccordo tra i campi di induzione magnetica all’interfaccia tra due mezzi
Le equazioni di Maxwell sono scritte all’interno del materiale. Accanto alle equazioni di Maxwell
occorre dare le relazioni che esprimono le condizioni di raccordo tra i campi al passaggio tra due
mezzi differenti. Si ricava che
19
Bn1 = Bn 2
Bt1
µ1
=
Bt 2
µ2
con l’usuale significato dei simboli al pedice come già visto per il campo elettrico.
Relazione tra campo locale e campo macroscopico
In modo simile a quanto visto per il campo elettrico si dimostra che
Hl = H +
M
.
3
Nel caso di materiali diamagnetici e paramagnetici M è di norma trascurabile e spesso si può porre
Hl H .
Nel caso di materiali ferromagnetici la relazione su scritta è invece inadeguata e va sostituita con la
seguente
Hl = H + γ M
dove γ ≈ 103 ÷ 104 è chiamata costante di Weiss.
Materiali diamagnetici
In questi materiali gli atomi sono privi di momento magnetico proprio. La polarizzazione magnetica
è dovuta solo alla precessione di Larmor.
M = n mL = n −
Ze 2 a 2
Ze2 a 2 n
Bl = −
µ0 H l = α d H l
6me
6me
avendo sostituito a Bl = µ0 H l e avendo posto α d = −
Ze2 a 2 n
µ0 .
6me
Tenendo conto della relazione tra campo locale e campo macroscopico H l = H +
M=
3α d
H
(3 − α d )
e poiché M = χ m H si ha χ m =
M
si ottiene
3
3α d
≈ α che rappresenta un valore molto piccolo dell’ordine di
(3 − αd ) d
10-5 e minore di zero.
La precessione di Larmor è presente in tutti i materiali, tuttavia nei sistemi paramagnetici e
ferromagnetici dove si ha un momento di dipolo magnetico proprio degli atomi costituenti la
magnetizzazione per orientamento è dominante.
Materiali paramagnetici
20
Nei materiali paramagnetici gli atomi possiedono un momento magnetico proprio, ma il suo valore
e la struttura del materiale fanno sì che in generale il campo locale Bl non raggiunga mai valori
molto intensi. In questo caso, per temperature non troppo basse, la relazione tra m e Bl può
essere arrestata al primo ordine nello sviluppo. Si ha
Hl = H +
M
3
M = nm0 = n
m0 m0
nm02
Bl =
µ0 H l = α p H l
3 K BT
3 K BT
nm02
µ0 . Questo termine è maggiore di zero ed è in generale un valore piccolo.
3 K BT
Sostituendo il risultato nella prima relazione si ricava
avendo posto α p =
M=
3α p
(3 − α )
H
p
in analogia con in caso diamagnetico e per la suscettività di ha χ m =
3α p
(3 − α )
≈αp
p
Materiali ferromagnetici
Nei materiali ferromagnetici la relazione tra H l e H è data da H l = H + γ M . Inoltre non si può
più assumere che il campo locale sia piccolo nel materiale (a causa dell’elevato valore di γ ). Per
queste ragioni la dipendenza di m da Bl non può più essere arrestata al primo ordine.
Hl = H + γ M
M = nm0 = nL ( y ) = nm0 coth y −
1
,
y
y=
m0 Bl
K BT
Questo problema può essere risolto graficamente. Si nota che la dipendenza di M da B non è più
di tipo lineare. Si trova inoltre che il valore di M dipende non solo dal valore di B ma anche dalla
storia di magnetizzazione del materiale. Tali argomenti non vengono approfonditi ulteriormente in
queste note.
21
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