3.1. Proprietà dei conduttori in elettrostatica

Proprietà dei conduttori in elettrostatica
I conduttori elettrici
Un materiale è conduttore se le cariche in eccesso possono muoversi liberamente al suo interno. Ecco un breve elenco:
Solidi:
Liquidi:
Gas:
−
−
−
−
−
tutti i metalli e le leghe metalliche;
il carbonio, in alcune forme allotropiche, come la grafite e il grafene;
alcuni ossidi. Per esempio, ZnO e InTiOx sono usati nelle celle solari e nei touchscreen perché sono
conduttori trasparenti;
alcuni composti inorganici. Per esempio, GaAs, InP, CdS sono usati in elettronica;
alcuni composti organici, come il poliacetilene e il politiofene, usati nei monitor OLED.
−
−
−
tutti i metalli e le leghe metalliche sopra il punto di fusione. Per esempio, Hg a temperatura ambiente;
le soluzioni elettrolitiche;
alcune sospensioni colloidali metalliche.
−
tutti i gas ionizzati (plasmi). Per esempio, la ionosfera (la parte dell’atmosfera tra i 60 e i 450 km di
altitudine) è ionizzata dalla radiazione solare ed è un conduttore.
Le proprietà elettrostatiche di tutti i conduttori sono sostanzialmente identiche, nonostante la grande varietà di
materiali. Invece, le proprietà fisiche che riguardano il movimento delle cariche cambiano enormemente da caso a caso.
Campo elettrico e distribuzione di carica
In elettrostatica, il campo elettrico all’interno di un conduttore è sempre nullo:
r
E=0
Infatti, in elettrostatica tutte le cariche libere qo si trovano in condizioni di statica, cioè la forza
totale su qo è zero. In un conduttore non sono presenti reazioni vincolari di alcun tipo e l’unica
r
r
forza agente è la forza elettrica; quindi q o E = 0 e, infine, E = 0 .
Invertendo l’argomento: se nel conduttore è presente un campo elettrico, le cariche si mettono in movimento, e quindi si
esce dalla condizione di statica. Il moto delle cariche è detto corrente elettrica. Se è presente un campo elettrico, il
conduttore è attraversato da una corrente elettrica.
Induzione elettrostatica. Consideriamo l’induzione elettrostatica in un conduttore
metallico. Quando si accosta una carica q, il conduttore è attraversato da alcune linee
del campo elettrico. Ciò determina una forza attrattiva sugli elettroni, che si spostano
e lasciano alle spalle cariche positive in eccesso.
Sui lati opposti del conduttore appaiono dunque le cariche indotte –q’, q’, che
generano all’interno del conduttore un campo elettrico opposto a quello generato da
q; all’equilibrio, il campo elettrico totale all’interno del conduttore si annulla.
Inoltre, le cariche indotte modificano la forma delle linee del campo di q all’esterno
del conduttore.
Densità superficiale di carica
Le cariche in eccesso si collocano sempre alla superficie dei conduttori.
Infatti, consideriamo la superficie di Gauss Σ in figura, tutta interna al conduttore. Visto
r
r
che E = 0 in tutti i punti di Σ, certamente Φ Σ E = 0 . Ma allora, per il teorema di Gauss,
Qint = 0. L’argomento può essere ripetuto per ogni possibile superficie interna al
conduttore; si conclude che non c’è carica in nessuna regione interna.
()
Attenzione: Qint è la somma algebrica delle cariche microscopiche interne a Σ. La
condizione Qint = 0 significa che non ci sono cariche in eccesso. Protoni ed elettroni non
sono scomparsi!
Visto che le cariche in eccesso non possono essere dentro al conduttore, debbono
trovarsi in prossimità della superficie, confinate in un sottile strato di spessore d . In un
metallo, d è dell’ordine delle dimensioni di un atomo ( 10 −10 m ). In tutti i problemi su
scala macroscopica è giusto considerare del tutto trascurabile questo spessore.
La distribuzione di cariche in eccesso in un metallo è descritta dalla densità
superficiale di carica σ; la densità volumica ρ è sempre pari a zero.
Cavità vuota in un conduttore
Se il conduttore presenta una cavità vuota, le cariche in eccesso si portano tutte alla
superficie esterna. Sulla superficie interna non è presente alcuna carica e il campo elettrico
nella cavità è nullo. Questo effetto è detto schermo elettrostatico o gabbia di Faraday.
Ad esempio, un aereo ha la carlinga metallica. Frequentemente i fulmini colpiscono l’aereo
in volo e lo caricano elettrostaticamente; ma nel volume interno (per fortuna!) non si
avverte alcun effetto, né in termini di carica, né di campo elettrico.
Per comprendere come funziona lo schermo elettrostatico, si può fare un
ragionamento per assurdo.
Sulla superficie interna non può giacere una carica netta positiva (o
negativa); altrimenti le linee di campo uscenti dalle cariche dovrebbero
andare all’infinito, attraversando il metallo. Questo è assurdo, perché nel
r
metallo deve essere E = 0 .
Se invece fossero presenti cariche di ambo i segni, le linee
di campo potrebbero uscire dalle cariche positive ed entrare
in quelle negative. Ma anche questo è assurdo: la
circuitazione del campo elettrico sulla curva Γ sarebbe
r
diversa da zero! Infatti, E ⋅ ∆s > 0 sulla linea di campo,
r
mentre E = 0 nella parte interna al metallo, e la
circuitazione, come somma di termini strettamente positivi e
di termini nulli, sarebbe strettamente positiva.
Potenziale elettrostatico in un conduttore
Il volume del conduttore è equipotenziale. In particolare, la sua superficie è
equipotenziale.
Infatti, presi due punti qualunque A e B nel conduttore, VA − VB =
r
conduttore E = 0 ; quindi VA = VB .
∫
B
r
E ⋅ ds . Ma nel
A
Campo elettrico all’esterno di in un conduttore
Nel disegno, le aree ombreggiate in grigio rappresentano oggetti metallici carichi. La mappa in falsi colori rappresenta il
potenziale elettrostatico e alcune linee di campo.
Le linee del campo elettrico sono perpendicolari alla superficie dei
conduttori. Ciò si spiega, perché le linee di campo sono perpendicolari alla
superfici equipotenziali, e ogni superficie conduttiva è equipotenziale.
Le linee si addensano dove è più alta la densità superficiale di carica. Il
teorema di Coulomb afferma che:
E=
σ
εo
Dimostrazione del teorema di Coulomb. Si può calcolare il modulo del campo elettrico alla superficie esterna di un
conduttore ricorrendo al teorema di Gauss.
Superficie di Gauss: un dischetto Σ, nel quale l’area della
superficie laterale sia molto minore dell’area di base A.
Il dischetto è posto come in figura, con la superficie Σ1 nel
conduttore e la superficie Σ2 all’esterno; siccome le linee
v
di campo attraversano solo Σ1, il flusso vale Φ Σ E = E A .
()
Carica interna: all’interno di Σ si trovano le cariche
raccolte sul cerchietto ombreggiato di area A, appartenente
alla superficie del conduttore; perciò Qint = σ A.
Teorema di Gauss: E A =
σA
σ
e, quindi, E =
.
εo
εo
Nel disegno a fianco, la mappa in falsi colori indica la densità di carica σ sui conduttori,
nella stessa situazione del disegno precedente. La densità di carica non è uniforme, a
causa dell’induzione elettrostatica esercitata dalle altre cariche. Il teorema di Coulomb
spiega perché le linee di campo si infittiscono in corrispondenza delle regioni dove σ è
più grande.
Sulle sfere metalliche di raggi R1 e R2 sono inizialmente depositate le cariche q1 e q2. Successivamente, le sfere sono
messe in contatto da un filo metallico. Determinare la nuova condizione di equilibrio.
Le sfere collegate dal filo costituiscono un unico conduttore. Perciò, dopo il collegamento, la carica si ridistribuisce,
finché i potenziali delle due sfere diventano uguali. All’equilibrio valgono due equazioni:
q1' + q '2 = q1 + q 2
Conservazione della carica
V1 = V2
Uguaglianza dei potenziali
Il potenziale alla superficie di una sfera metallica di raggio r e carica Q vale
Q
V = k . Le due equazioni diventano allora:
r
 q1' + q '2 = q1 + q 2

 q1'
q '2
k
=
k

R2
 R1
Ricavando q '2 dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si trovano le cariche e, da queste, le densità
superficiali di carica e i valori del campo elettrico in prossimità di ciascun conduttore:
q1' =
σ1' =
R1
(R1 + R 2 )
q1'
4π R 12
(q1 + q 2 )
;
σ '2 =
;
q '2
4π R 22
q '2 =
R2
(R1 + R 2 )
;
E1 =
(q1 + q 2 )
σ1'
εo
;
E2 =
σ '2
εo
le cariche sono proporzionali ai raggi:
q1'
R
= 1
'
R
q2
2
le densità di carica sono inversamente proporzionali ai raggi:
σ1'
R
= 2
'
σ 2 R1
i valori del campo in prossimità di ciascun conduttore sono inversamente proporzionali ai raggi:
E1 R 2
=
E 2 R1
L’esercizio dà un’idea di come si distribuiscano le cariche sulla superficie di un
conduttore di forma irregolare: la densità di carica è più alta dove il raggio di curvatura
è minore.
Una punta è una regione con raggio di curvatura molto piccolo.
In prossimità delle punte, la densità di carica è molto alta e il campo elettrico
generato è molto intenso. Ciò spiega perché le scariche elettriche partano dalle punte
metalliche: in quella regione il campo può “rompere” il dielettrico e far scoccare una
scintilla.
L’esercizio spiega anche la messa a terra di un conduttore, cioè il collegamento elettrico di un conduttore alla
Terra. Considerando le dimensioni del pianeta, la carica presente sul conduttore, dopo il collegamento, si sposta
completamente a terra e il conduttore assume lo stesso potenziale del suolo.