Autoinduzione

AUTOINDUZIONE DI UN CIRCUITO ELETTRICO
Gruppo di lavoro: Sonia Bongiovanni Albertini, Sara Cortinovis Mariani, Paola Leidi Peroni,
Silvia Turlon Covucci, Sofia Sabatti
Classe a cui ci si rivolge: V liceo scientifico (tradizionale)
Periodo dell’anno: inizio di maggio
conoscere il concetto di flusso di un vettore attraverso una superficie ideale;
conoscere il concetto di forza elettromotrice;
conoscere il fenomeno dell’induzione elettromagnetica;
conoscere la legge di Ohm;
conoscere la relazione che esprime il campo magnetico generato da un solenoide
Prerequisiti:
percorso da corrente;
conoscere il concetto di energia associata ad un campo elettrico e di densità di
energia;
saper montare un circuito elettrico elementare;
saper calcolare i fondamentali integrali indefiniti.
conoscenze
competenze
capacità
- (*) saper definire il
- saper spiegare il fenomeno - (*) descrivere ed
coefficiente di
dell'autoinduzione con la
interpretare il fenomeno
autoinduzione di un circuito legge di Lenz
delle extracorrenti di
- saper tracciare ed
chiusura e di apertura
- (*) conoscere l'equazione interpretare il grafico
nell'ambito
rappresentante le
relativo alle extracorrenti
dell'autoinduzione
extracorrenti di chiusura e
- saper individuare
- ricavare, attraverso il
apertura
l'analogia tra massa
calcolo integrale,
Obiettivi:
- (*) saper spiegare che cosa inerziale e coefficiente di
l'equazione delle
si intende per energia
autoinduzione
extracorrenti di apertura e di
associata ad un campo
- (*) saper individuare
chiusura
magnetico
l'analogia tra energia
- ricavare, attraverso il
cinetica, energia associata
calcolo integrale, il valore
ad un campo elettrico ed
dell'energia associata ad un
energia associata ad un
campo magnetico
campo magnetico
(*) sono stati contrassegnati con un asterisco quelli che si ritengono essere obiettivi "minimi", che si
prevede possano e debbano essere raggiunti da tutti gli studenti della classe
Esperienza di laboratorio (qualitativa)
Tempi: 1 ora
La prima lezione, il cui scopo è quello di incuriosire i ragazzi mostrando loro una situazione non
completamente spiegabile con le conoscenze da loro acquisite, avverrà in laboratorio. La scelta di
introdurre questo nuovo argomento attraverso questa modalità è dovuta al fatto che, così facendo, i
ragazzi (oltre ad essere adeguatamente motivati) avranno già toccato con mano quanto ci si prepara
a spiegare con un linguaggio matematico specifico e astratto nelle lezioni successive. Questo è
fondamentale affinché i ragazzi comprendano che il formalismo matematico serve come modello
1
per descrivere una realtà fattuale e affinché acquisiscano sicurezza psicologica in vista delle
successive spiegazioni (gli integrali terrorizzano... le lampadine illuminano...!)
Questa esperienza verrà approntata solo da un punto di vista qualitativo, senza la pretesa di ottenere
dati numerici da elaborare.
Materiale occorrente:
- due lampadine uguali con portalampada
- due resistenze uguali o meglio due reostati
- una bobina con 600 spire e un nucleo di ferro ad E con giogo i chiusura
- cavetti di collegamento
- due interruttori
- un generatore di corrente continua.
Procedimento:
Prepara un circuito con una lampadina, una resistenza e un interruttore; collegalo al generatore di
corrente continua e chiudi il circuito; che cosa succede immediatamente? che cosa succede non
appena lo riapri? sono fatti che ti saresti aspettato?
Prepara un altro circuito identico al primo, ma aggiungi in serie alla resistenza anche la bobina
con il nucleo inserito. Chiudi il circuito. Che cosa osservi? Apri il circuito. Che cosa osservi? Sono
fatti che ti saresti aspettato? Se sì, come li giustificheresti?
Collega ora entrambi i circuiti al generatore e chiudili contemporaneamente, azionando invece che
i singoli interruttori interni a ciascun circuito l’interruttore generale inserito nel generatore di
corrente. Che cosa osservi?
Autoinduzione
Tempi: 2 ore
Partendo dalle risposte date dai ragazzi alle domande presenti sulla scheda consegnata loro per la
lezione in laboratorio, l’insegnante introduce il concetto di autoinduzione e il coefficiente di
autoinduzione.
L'insegnante farà notare che il coefficiente di autoinduzione è detto anche "inerzia
elettromagnetica" ed inviterà i ragazzi stessi (in modo che la loro partecipazione alla lezione sia il
più attiva possibile) ad istituire un'analogia tra questa grandezza e la massa inerziale.
m
L
x
q
v = dx/dt
i = dq/dt
Aiutandosi con il grafico che presenta l’andamento dell’intensità di corrente in funzione del tempo,
l’insegnante introduce i concetti di extracorrenti di chiusura e di apertura di un circuito, dando
anche l’equazione che le rappresenta.
In questo modo inseriamo l’esperienza di laboratorio nell’opportuno quadro teorico, senza
appesantire subito con i relativi calcoli, ma anticipando i risultati che verranno giustificati anche da
un punto di vista matematico.
[Potrebbe essere interessante verificare la possibilità di utilizzare degli strumenti di laboratorio online che, collegati al circuito, misurino l’intensità di corrente e traccino il grafico dell’andamento
dell’intensità di corrente nel tempo; in questo modo il collegamento esperienza – teoria sarebbe
ancora più efficace].
Successivamente, si propone ai ragazzi suddivisi in gruppetti da 3 o 4 persone ciascuno, il seguente
problema aperto, corredato da alcune domande che li guidino nella risoluzione:
Un solenoide ha una sezione trasversale di area A, una lunghezza l e n spire per unità di lunghezza.
Qual è la sua autoinduttanza?
2
[Domande guida: Com’è definita l’autoinduttanza?- Da che cosa dipende la f.e.m. indotta? - Qual
è il flusso del campo magnetico generato dal solenoide stesso? - Quale variazione di flusso si ha
quando la corrente varia? - Quale espressione per la f.e.m. otteniamo usando la legge di
Faraday?]
Questo esercizio mira a:
- rinforzare l’apprendimento dei contenuti proposti dall’insegnante;
- costruire una nuova conoscenza a partire da diversi elementi già noti;
- stimolare le capacità operative dei ragazzi;
- evidenziare la dipendenza del coefficiente di autoinduttanza dalle caratteristiche
geometriche del solenoide.
Calcolo delle extracorrenti di chiusura ed apertura di un circuito
Tempi: 1 ora
Seguendo quanto di seguito schematizzato, l'insegnante presenterà agli studenti la determinazione
dell’intensità di corrente in un circuito alimentato da una forza elettromotrice costante F.e.m. e
contenente in serie una resistenza R ed un’induttanza L (ossia in un circuito che presenta
extracorrenti di chiusura e apertura).
Il calcolo richiede l'utilizzo di un simbolismo e di concetti matematici che, probabilmente, non
possono essere ritenuti assimilati e ben padroneggiati da tutta la classe. A questo proposito si
ribadisce che tale calcolo non rientra negli obiettivi minimi da noi previsti. Riteniamo, comunque,
che possa essere utile presentarlo: si avrà così un'occasione in più per mostrare come il calcolo
integrale sia un modello utilissimo per svariate applicazioni fisiche.
Se la classe dimostra di recepire senza troppe difficoltà il calcolo della extracorrente nella fase di
chiusura del circuito, si proporrà il calcolo della extracorrente nella fase di apertura come lavoro di
gruppo.
FASE DI CHIUSURA
Applichiamo la seconda legge di Ohm al circuito per determinare l’intensità di corrente:
di
F.e.m. - L  Ri
dt
che rappresenta un’equazione differenziale del I° ordine a variabili separabili; l’incognita è la
funzione i = i(t), F.e.m. è la forza elettromotrice erogata dal generatore e –Ldi/dt è la forza
elettromotrice autoindotta.
Dalla formula precedente segue :
di
L  F.e.m.  Ri
dt
di
1
 dt
da cui:
F.e.m. - Ri L
ossia:
1 d(F.e.m. - Ri)
1
  dt
R F.e.m. - Ri
L
ed integrando:

cioè:
log(F.e.m. - Ri)  -
d(F.e.m. - Ri)
R
   dt
F.e.m. - Ri
L
3
R
tc
L
R
che si può scrivere anche nella forma:
F.e.m. - Ri  K e
-
t
L
R
F.e.m. K  L t
i
 e
R
R
c
dove K è una costante d’integrazione uguale a e . La costante K può essere determinata mediante le
condizioni iniziali, infatti per t = 0 e i = 0 si ha :
F.e.m. K
0

R
R
da cui:
K = F.e.m.
da cui:
e quindi
i
F.e.m.
R

(1  e
L
R
t
)
FASE DI APERTURA
All’apertura del circuito la F.e.m. = 0 per cui applicando nuovamente la seconda legge di Ohm e
separando le variabili dell’equazione differenziale si ha :
di
R
  dt
i
L
di
R
integrando
    dt
i
L
ossia
log i  -
R
tc
L
R
-
t
da cui:
iKe L
con K = ec ; ed essendo i= F.e.m./R per t = 0 dalla precedente si ricava K = F.e.m./ R e quindi:
R
F.e.m. i
e
R
che rappresenta l’extracorrente di apertura del circuito.
t
L
Esercizio in classe
Tempi: 2 ore (1 ora a questo punto e 1 ora dopo aver visto la lezione sull’energia)
Si prevede di esercitare i ragazzi su diverse tipologie di esercizi, in base ai diversi contenuti
proposti.
Gli esercizi proposti in classe (Ai) e come lavoro a casa (Ci) rispecchiano le seguenti tipologie:
- applicazione immediata delle formule (A1, A2, A4, C5, C6); questi esercizi costituiscono un
mezzo per rinforzare le conoscenze relative agli obiettivi minimi; verrà richiesto agli alunni di
fornire le formule necessarie per la risoluzione;
- stimolo delle capacità operative (A3, A5); questi esercizi mirano allo sviluppo delle capacità di
collegamento e di rielaborazione dei contenuti proposti;
- rinforzo e guida nello studio personale (C1, C2, C3, C4, C7, C8).
Relativamente ad ogni esercizio si cercherà di stimolare i ragazzi a condurre, innanzitutto, un'analisi
qualitativa della situazione.
4
A1
A2
A3
A4
A5
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Un solenoide, lungo 31,4 cm ed avente in totale 1000 spire di sezione costante uguale a 50
cm2, viene inserito in un circuito in modo che in esso la corrente, in 1/5 di secondo, passi dal
valore 0 a 4 A. Calcolare la f.e.m. di autoinduzione nel solenoide.
Un circuito è formato da una bobina di resistenza trascurabile e di induttanza 2,5 henry, da
una resistenza di 5 ohm in serie con la bobina, da un generatore di f.e.m. costante uguale a 10
V e da un interruttore inizialmente aperto. Calcolare l'extracorrente di chiusura del circuito
dopo 1,5 s dall'istante di chiusura dell'interruttore e l'intensità della corrente di regime.
Un circuito comprende un solenoide d'induttanza 5 henry posto in serie con una resistenza
uguale a 10 ohm, un generatore di f.e.m. costante uguale a 20 V e un interruttore inizialmente
chiuso.
Ad un certo istante, mentre il circuito è percorso dalla corrente di regime, per mezzo
dell'interruttore s'interrompe la corrente. Illustra con un grafico l'intensità di corrente nel
circuito in funzione del tempo. Calcola inoltre il tempo (dalla apertura dell'interruttore)
trascorso il quale la corrente si riduce alla metà rispetto a quella di regime e quello in cui
assume un valore pari all'80% del valore di regime.
Un solenoide lungo 31,4 cm è costituito da 1000 spire ed ha una resistenza di 2 ohm.
Calcolare la densità di energia del campo magnetico in condizioni di regime se viene
alimentato con una tensione di 10 V.
In prossimità della superficie terrestre esistono un campo elettrico di 300 V/m e un campo
magnetico di 0,5 x 10-4 T. Determinare il rapporto fra l’energia elettrica e quella magnetica
esistenti in un sottile strato prossimo alla superficie terrestre.
Fornisci una definizione del coefficiente di autoinduzione di un circuito.
Il coefficiente di autoinduzione proprio di un circuito è numericamente uguale:
 al rapporto fra la corrente che attraversa il circuito e il campo magnetico prodotto
 al prodotto del campo magnetico interno al circuito per la corrente che lo attraversa
 al flusso del campo magnetico attraverso il circuito per unità di corrente elettrica
 al rapporto fra la corrente che attraversa il circuito e l'intensità del campo magnetico
esterno.
L'unità di misura del coefficiente di autoinduzione è pari a:
1H

1V
1Wb

1V
1Wb

1A
1H

1A
La forza elettromotrice indotta in un circuito a causa di una variazione della corrente nel
circuito stesso è:
 direttamente proporzionale all'intensità della corrente nel circuito
 inversamente proporzionale all'intensità della corrente nel circuito
 direttamente proporzionale alla rapidità di variazione della corrente nel circuito
 inversamente proporzionale alla rapidità di variazione della corrente nel circuito.
Un circuito elettrico percorso da una corrente di 760 mA genera attraverso la propria
superficie un flusso del campo magnetico pari a 380 Wb. Determina il coefficiente di
autoinduzione del circuito.
Una bobina di 1000 ohm di resistenza e induttanza 5,0 H viene improvvisamente collegata a
un generatore di f.e.m. uguale a 20 V. Calcolare dopo 2,0 ms dall'istante della connessione
l'intensità totale della corrente che percorre la bobina e l'extracorrente di chiusura.
5
C7
L'energia del campo magnetico che si accumuila in un circuito di induttanza A, percorso da
una corrente finale C, è:
 AC 2
1
 AC 2
2
1
 AC
2
A
 2
C
C8 In un punto dello spazio dove è presente un campo magnetico vi è una densità di energia
magnetica:
 direttamente proporzionale all'intensità del campo magnetico
 inversamente proporzionale all'intensità del campo magnetico
 direttamente proporzionale al quadrato dell'intensità del campo magnetico
 inversamente proporzionale al quadrato dell'intensità del campo magnetico.
C9 Due bobine di ugual lunghezza sono costituite l’una da N e l’altra da 2N spire di ugual area.
Se l’induttanza della prima bobina è L, quella della seconda è :
 2L;
 L/2;
 L/4;
 4L.
C10 Il generatore inserito nel circuito raffigurato fornisce una d.d.p. = ΔV.
Quando l’interruttore viene chiuso:
 nel circuito si instaura una corrente di regime i = ΔV / R;
 la corrente non passa immediatamente da 0 al valore di regime i = ΔV / R a causa di una
forza elettromotrice autoindotta di segno opposto a ΔV;
 il lavoro che viene compiuto per portare la corrente da 0 al valore di regime i è pari a Li2/2;
 il valore Li2/2 corrisponde all’energia magnetica del campo di induzione magnetica che si
genera nell’interno del solenoide.
Energia associata ad un campo elettrico e ad un campo magnetico
Tempi: 1 ora
Attraverso una lezione frontale l'insegnante presenterà agli studenti la determinazione, attraverso il
calcolo integrale, dell'energia associata ad un campo elettrico e ad un campo magnetico. Il calcolo
verrà mostrato, ancora una volta, soprattutto per dare prova dell'utilità del calcolo integrale come
modello matematico per la fisica; ciò su cui sarà però più opportuno insistere sono i seguenti
elementi:
1. analogia formale tra le espressioni di energia cinetica, energia associata ad un campo elettrico ed
energia associata ad un campo magnetico:
1
E  mv 2
energia cinetica
2
11 2
E
q
energia associata ad un campo elettrico
2C
1
E  Li 2
energia associata ad un campo magnetico
2
2. necessità, ai fini di creare un campo elettrico, di spendere dell'energia;
6
3. necessità, ai fini di creare un campo magnetico, di spendere dell'energia
Infine potrà essere utile calcolare la densità di energia associata al campo magnetico, che si
ritroverà, più avanti, come energia trasportata dalle radiazioni elettromagnetiche.
7
VERIFICA IN CLASSE SULL'AUTOINDUZIONE
Tempi: 2 ore.
All’interno di questa verifica abbiamo inserito diverse tipologie di esercizi. Vogliamo verificare
infatti:
- la comprensione degli argomenti affrontati;
- la capacità di descrivere qualitativamente alcune situazioni problematiche;
- la capacità espositiva, sia attraverso il linguaggio naturale che quello grafico e quello
simbolico;
- la capacità operativa;
- la capacità di individuare un metodo risolutivo appropriato;
- la capacità di schematizzare e semplificare situazioni complesse.
Il primo gruppo di esercizi, che non richiede una elaborazione numerica, mira a verificare la
comprensione degli argomenti affrontati, la capacità di descrivere qualitativamente situazioni
interpretabili nell’ambito dell’autoinduzione e la capacità espositiva. Il fatto che si tratti di
domande aperte permette di verificare l’uso corretto della lingua italiana per descrivere le
situazioni; il fatto che sia vincolata la lunghezza della risposta permette di verificare la capacità di
sintesi; il fatto che si richieda di mostrare e commentare un grafico permette di verificare la
capacità di usare rappresentazioni e simboli per esprimere concetti.
1. Perché chiudendo un interruttore collegato con un generatore l’amperometro non segnala
istantaneamente il valore dell’intensità della corrente di regime? Rispondi in massimo 7 righe.
2. Perché nell’interruttore della luce si osserva più spesso una scintilla quando si spegne la luce,
che non quando la si accende? Rispondi in massimo 7 righe.
3. Mostra e commenta (in massimo 7 righe) il grafico qualitativo delle extracorrenti di apertura di
un circuito RL.
4. Due solenoidi hanno lo stesso numero di spire e la stessa lunghezza; inoltre le spire dell'uno
hanno area uguale a quelle dell'altro. Può darsi che essi abbiano diversa induttanza? Giustifica la
risposta in massimo 4 righe.
Il secondo gruppo di esercizi, che fornisce invece dei dati da rielaborare numericamente, mira a
verificare la capacità operativa (inquadrare la situazione problematica, richiamare le formule
adeguate a descriverla, sostituire alle variabili i dati opportuni e trattarli correttamente, con
particolare attenzione alle loro unità di misura); la capacità espositiva, attraverso il linguaggio
grafico e quello simbolico; la capacità di individuare un metodo risolutivo appropriato ed,
eventualmente, originale (sia relativamente al procedimento scelto che al metodo utilizzato per
presentarlo, come grafici o rappresentazioni).
5. In una bobina, facendo variare la corrente di 2 A in 0,1 s, si genera una f.e.m. indotta il cui
valore medio è di 60 V. Quanto vale il suo coefficiente di autoinduzione? Se la bobina è
composta da 1000 spire, lunga 3 cm e con una sezione di 1,5 cm2, quanto vale la permeabilità
magnetica relativa al nucleo su cui essa è avvolta?
6. L’energia elettromagnetica di un circuito percorso da una corrente di regime di intensità 5 A è
0,2 J. A quale valore si deve ridurre in 0,03 s l’intensità di corrente affinché ai capi del circuito
si generi una f.e.m. autoindotta di 0,3 V?
8
7. Un solenoide è caratterizzato da una induttanza di 0,5 mH ed è attraversato da un flusso pari a
200 Wb.
a) calcolare il valore dell’intensità di corrente che lo attraversa
b) supponendo che l’intensità di corrente raddoppi in 3 centesimi di secondo, quanto vale la
f.e.m. ai capi del solenoide?
Il terzo gruppo di esercizi consente (in più, rispetto a quelli del secondo) di verificare anche
la capacità di schematizzare e semplificare situazioni complesse. Questi problemi, infatti, dopo una
prima parte che richiede una elaborazione numerica abbastanza semplice e immediata, richiedono
una riflessione ulteriore, a livello applicativo – matematico il primo e a livello fisico – teorico il
secondo.
8. Un circuito elettrico ha resistenza pari a 10  e coefficiente di autoinduzione di 1 H. Il circuito
viene chiuso collegandolo a un generatore di f.e.m.10 V avente resistenza interna trascurabile.
Determina dopo quanto tempo la corrente raggiunge il 50% del suo valore di regime e dopo
quanto tempo la corrente raggiunge il 99% dell’intensità di regime.
9. Un solenoide con coefficiente di autoinduzione pari a 0,2 H è attraversato da una corrente di 8
A. Se la corrente varia in modo uniforme riducendosi a zero in 2 s, nella spira si autoinduce una
forza elettromotrice. Si vuol conoscere di che entità è la f.e.m. indotta e come si modifica il
fenomeno se si raddoppia il numero delle spire del solenoide. Se si interrompe il circuito, in
esso circola una extracorrente. Si indichi da dove proviene l'energia necessaria e come può
essere valutata.
9
Attribuzione del punteggio relativamente agli esercizi del primo gruppo:
Risposta completa e corretta
Risposta completa e corretta ma eccedente il numero delle righe
Risposta completa, ma con linguaggio impreciso
Risposta incompleta
Risposta scorretta
Risposta mancante
10
8
6
4
2
0
Attribuzione del punteggio relativamente agli esercizi del secondo gruppo:
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio grafico-simbolico e con
procedimento originale
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio grafico-simbolico e con
procedimento standard
Esercizio svolto con un procedimento corretto, solo a volte commentato e con un uso non
sempre proprio del linguaggio grafico-simbolico, ma con errori di calcolo
Esercizio svolto solo parzialmente
Esercizio impostato scorrettamente
Esercizio mancante
10
8
6
4
2
0
Attribuzione del punteggio relativamente agli esercizi del terzo gruppo:
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio grafico-simbolico e con
procedimento originale
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio grafico-simbolico e con
procedimento standard
Esercizio svolto con un procedimento corretto, solo a volte commentato e con un uso non
sempre proprio del linguaggio grafico-simbolico, ma con errori di calcolo
Esercizio svolto solo parzialmente
Esercizio impostato scorrettamente
Esercizio mancante
10
10
8
6
4
2
0
Assegnazione del peso agli esercizi e del voto
esercizio 1
esercizio 2
esercizio 3
esercizio 4
esercizio 5
esercizio 6
esercizio 7
esercizio 8
esercizio 9
peso da attribuire al punteggio
9
9
9
9
12
12
12
10
10
920
punteggio
0
60
120
220
320
420
570
720
820
920
voto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Per la sufficienza sono richiesti almeno due esercizi del primo gruppo e due del secondo gruppo.
11