Definizione di accelerazione

Definizione di accelerazione. Analogia con la velocità.
Un corpo possiede una velocità diversa da zero quando la sua posizione cambia nel tempo, cioè
quando si ha uno spostamento Δs ≠ 0 in un certo intervallo di tempo Δt . La velocità media è
definita come
vm =
Δs
.
Δt
La velocità istantanea come
v = lim
Δt → 0
Δs
.
Δt
Con un procedimento del tutto simile si dice che un corpo possiede accelerazione diversa da zero se
la sua velocità cambia nel tempo. L’accelerazione media si definisce come
um =
Δv
.
Δt
L’accelerazione istantanea come
Δv
.
Δt → 0 Δ t
u = lim
Unità di misura dell’accelerazione
Le unità di misura dell’accelerazione sono quelle di una velocità divisa per un tempo
Per cui
[u ] =
l ⋅ t −1
= l ⋅ t −2 .
t
Se le lunghezze sono espresse in metri e i tempi in secondi, le unità di misura sono m/s2.
Tutto quanto abbiamo imparato per la velocità vale ancora per l’accelerazione. Per cui le regole che
ci portano al calcolo della accelerazione istantanea (le regole veloci per il calcolo del limite) sono le
stesse di quelle imparate per il calcolo della velocità istantanea. Per la velocità istantanea si parte
Δs
dalla legge oraria s(t), si fa il limite v = lim
e, con il calcolo breve, si ottiene v(t). Adesso per la
Δt → 0 Δt
determinazione della accelerazione istantanea si parte dalla legge oraria v(t), si fa il limite
Δv
e, con il calcolo breve, si ottiene la u(t) che mi dice come cambia nel tempo
u = lim
Δt → 0 Δ t
l’accelerazione u. L’esempio che segue chiarifica questo concetto.
Esempio.
Un corpo varia la sua velocità nel tempo secondo la legge oraria v (t ) = 3t + 1 ,
calcolare come varia nel tempo la sua accelerazione istantanea. (Si supponga che le posizioni
siano espresse in m e i tempi in s).
Applico la definizione di accelerazione istantanea e calcolo il limite con le regole del calcolo
Δv
rapido: u = lim
= 3.
Δt → 0 Δ t
Deduco che il corpo si muove con accelerazione costante pari a 3 m/s2. il significato di
un’accelerazione di 3 m/s2 è questo:
ogni secondo la velocità del corpo aumenta di 3 m/s. Visto che l’accelerazione del corpo è costante,
posso per esempio dire che dopo 4 secondi il corpo avrà una velocità aumentata di 12 m/s.
IL LAVORO SPERIMENTALE
Si conduce in laboratorio l’esperimento con il carrellino su rotaia (attrito trascurabile). Questa volta
il carrellino è trainato da un pesetto che cade verticalmente sotto l’azione della forza di gravità. Si
misurano gli istanti in cui il carrellino si trova in posizioni successive (distanti l’una dall’altra circa
100 mm). Si fa vedere ai ragazzi che il rapporto tra 2 volte la posizione e il tempo al quadrato
assume valori pressoché costanti. Si calcola la media di tali rapporti e l’errore assoluto con metodo
semidispersione. (La grandezza così ottenuta ha le dimensioni di un’accelerazione!)
Dai dati sperimentali abbiamo allora ottenuto che
2s
=u.
t2
Quindi l’equazione oraria del carrellino è
s=
1 2
ut
2
Ed è l’equazione di una parabola con il vertice nell’origine.
Sullo stesso piano su cui sono stati diagrammati i dati sperimentali (s,t), si disegna il grafico della
1
parabola s = ut 2 , assegnando ad u il valore medio calcolato. Si analizza poi se la parabola
2
matematica disegnata in questo modo si avvicina o meno ai punti sperimentali (s,t). L’analisi può
essere fatta visualizzando le bande di errore sul diagramma orario a punti. A questo punto si fa una
considerazione importante: visto che conosciamo la s(t) possiamo ricavarci la v(t):
1
s (t ) = ut 2
2
v(t ) = u ⋅ t
Quindi possiamo capire che la velocità del carrellino trainato varia nel tempo con un andamento
rettilineo, secondo una retta che parte dall’origine (infatti il carrellino all’istante iniziale è fermo).
Se la velocità varia nel tempo secondo un diagramma rettilineo si dice che varia linearmente nel
tempo (ad intervalli uguali di tempo corrispondono incrementi uguali di velocità).
Ma non ci fermiamo qui. Adesso che abbiamo la v(t) possiamo calcolare, sempre con lo stesso
giochetto, la u(t) cioè la legge che dà la variazione nel tempo dell’accelerazione:
v (t ) = u ⋅ t ,
u (t ) = u = costante
Ricaviamo cioè un’informazione importante il moto del carrellino avviene con accelerazione
costante!
Verifica della potenza della matematica.
Si potrà far notare la forza della matematica, perché tramite la legge oraria della velocità possiamo
prevedere la velocità del carrellino in ogni istante del suo moto lungo la rotaia. Per esempio
possiamo valutare la v in un certo istante e poi andare a misurare sperimentalmente la v in
quell’istante.
I DATI SPERIMENTALI
istanti
[s]
0,00
0,64
0,91
1,11
1,26
1,41
1,55
1,68
1,80
1,91
2,00
2,10
2,20
posizioni
[mm]
217
318
419
518
618
719
818
918
1018
1118
1217
1319
1418
posizioni da 0
[mm]
0
101
202
301
401
502
601
701
801
901
1000
1102
1201
Ea
Ea
Ea
[s]
0,01
[mm]
1
[mm]
2
2s/t^2
[mm/s^2]
4,9E+02
4,9E+02
4,89E+02
5,05E+02
5,05E+02
5,00E+02
4,97E+02
4,94E+02
4,94E+02
5,00E+02
5,00E+02
4,96E+02
valor
medio
2s/t^2
4,98E+02 mm/s^2
semidisp.
8,E+00 mm/s^2
Er
2,E-02
Lascio stare dati con 2 cifre significative (i primi 2, celle azzurre)
per massimizzare la precisione dell’esperimento.
u = (498 ± 8) mm/s2
errore del 2%
Sul grafico sottostante sono disposti sia i punti sperimentali (coppie del tipo posizione, tempo) sia la
parabola teorica di equazione:
s=
1
⋅ 498 ⋅ t 2
2
Diagramma Orario
1400
1200
1000
s [mm]
800
600
400
200
0
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
t [s]
Si vede che i punti sperimentali si ‘sdraiano’ abbastanza bene sulla curva parabolica ciò significa
1
che il nostro moto è ben descritto da un diagramma orario parabolico del tipo s = ⋅ 498 ⋅ t 2
2
(parabola con il vertice nell’origine). Come spiegato nel paragrafo ‘il lavoro sperimentale’ si può
concludere che la velocità vari nel tempo linearmente secondo la legge oraria
v (t ) = 498 ⋅ t
Rappresentata qui sotto:
velocità del carrellino nel tempo
1,40E+03
1,20E+03
v [mm/s]
1,00E+03
8,00E+02
6,00E+02
4,00E+02
2,00E+02
0,00E+00
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t [s]
Infine si può anche concludere che il moto del carrellino è un moto rettilineo con accelerazione
costante
u (t ) = 498 mm / s 2 .
Approfondimento
Prima di giungere alla conclusione che il moto sia effettivamente con accelerazione costante e
quindi che il digramma orario sia realmente dato da una parabola è bene effettuare e controllare
alcuni zoom del diagramma orario sperimentale sovrapposto a quello teorico e far comparire nel
disegno le barre dell’errore commesso nella determinazione della posizione e dell’istante.
Diagramma Orario
810
790
s [mm]
770
750
730
710
690
1,60
1,65
1,70
t [s]
1,75
1,80
1,85
Come si vede da questo zoom la parabola teorica passa all’interno delle barre d’errore. Questo ci
permette di affermare che il moto del carrellino è effettivamente con accelerazione costante: