Excel e i tassi di interesse
di Carmelo Maraschiello ([email protected])
Nella cartella di lavoro interest_rates.xls sono illustrati e risolti i problemi
fondamentali legati alla rappresentazione ed alla gestione della struttura a termine dei
tassi di interesse (term structure). E’ inoltre mostrata la valutazione di uno dei più
comuni derivati su tasso: l’Interest Rate Swap.
Tassi spot
Nel foglio di lavoro tassi spot sono utilizzate le varie caratteristiche di Excel illustrate
nella premessa per rappresentare una semplice term structure ed il fattore di sconto
relativo a differenti scadenze (o in altri termini il valore di uno zero coupon con quella
scadenza).
Di seguito è mostrato il contenuto delle celle1:
e la loro valorizzazione:
Nella cella B2 è stata utilizzata la funzione =oggi() che mostra la data corrente e per
ottenere le successive scadenze annuali si è sommato al suo valore il numero dei
giorni in un anno attraverso un riferimento assoluto alla cella F2. Nella colonna C
sono indicati i tassi spot mentre nella colonna D è presente la durata in anni. Nella
colonna in cui sono presenti i fattori di sconto si è utilizzata la relazione che lega il
prezzo di uno zero coupon al tasso relativo alla sua scadenza.
1 = P(1 + in)n
1 / (1 + in) n = P
1
Per visualizzare il contenuto delle celle in termini di formule e non di risultato è sufficiente dal menu
strumenti scegliere opzioni e nella finestra visualizza selezionare Formule
Nella cella E6 è mostrato il prezzo di uno zero coupon a 2 anni con un tasso spot del
3.1%:
1 / (1 + 0,031)2 = 0,940768
Per ottenere le formule presenti nelle varie colonne si sono utilizzate le funzioni copia
/ incolla che, grazie all’utilizzo di riferimenti assoluti o relativi, hanno consentito di
copiare le righe dalla seconda in poi, inserendo successivamente il tasso appropriato
per ogni scadenza.
Chiaramente avendo la term structure ed i fattori di sconto relativi, è possibile
valutare qualsiasi titolo con cedola semplicemente scontando i vari flussi utilizzando
il fattore di sconto appropriato.
Invertendo la formula utilizzata è possibile, conoscendo i prezzi di titoli zero coupon
per tutte le scadenze, ottenere i relativi tassi spot.
Bootstrap
Come si è avuto modo di approfondire nella sezione del libro relativa al bootstrap il
mercato non quota direttamente i tassi spot. Quota invece diversi strumenti dai quali è
possibile ottenere informazioni relative ai tassi spot attuali. Tra questi i più utilizzati
sono gli swap. In maniera equivalente si potrebbero ottenere informazioni analoghe da
titoli con cedola quotati alla pari, ma il loro mercato non è liquido come quello degli
swap.
Si è visto nella teoria che:
in = [(1+ rn) /(1 – trn /(1+it)t)](1/n) – 1
con:
rn = rendimento di un titolo con cedola di durata n anni, quotato alla pari (P = 100) (o
equivalentemente tasso swap per quella scadenza)
t = 1 …(n–1)
Ragionando in termini di fattori di sconto:
1/(1+in ) n = [ (1 – trn /(1+it)t) /(1+ rn) ]
Nel foglio bootstrap sono utilizzati come input i tassi swap per le differenti scadenze.
Come mostrato nelle due immagini seguenti nella cella E5 si è impostata la formula in
maniera tale da consentire di copiare la stessa nelle celle successive ottenendo come
risultato i fattori di sconto per tutte le scadenze. Dagli stessi poi nella colonna F si
risale ai rispettivi tassi spot
I Tassi Forward
La relazione tra tassi spot e forward, analizzata nella parte del libro relativa, è:
(1 + it)t = (1 + it–1)t–1(1 + t–1f1)
t
t–1
– 1]
t–1f1 = [(1 + it) / (1 + it–1)
Nel foglio Tassi Forward, partendo dalla curva dei tassi spot si calcolano i forward del
tipo 1f1 2f1 3f1
La formula presente nella cella F6:
=((1+C6)^D6/(1+C5)^D5)^(D6–D5)–1
è chiaramente l’equivalente di:
t–1f1
= [(1 + it)t / (1 + it–1)t–1 – 1]
Il TIR
Nel foglio di lavoro TIR si utilizza la relazione :
P = t[Ct/(1 +r)t] + VR/(1 + r)n per t = 1,…n
per la determinazione di r.
P è determinato nella cella C4, dove è presente la somma delle cedole della colonna D
(i flussi dell’ipotetico titolo) scontati ai tassi spot presenti nella colonna A. Il valore
attuale dei flussi utilizzando il tir è calcolato nella cella E4.
Il problema da risolvere in questo caso è quello dell’annullamento della differenza fra
il prezzo ottenuto considerando i tassi spot ed il prezzo ottenuto scontando i flussi al
TIR (tasso presente nella cella h4). Per risolvere il problema si è imposta nella cella I6
la differenza fra i due prezzi di cui sopra. Quindi, utilizzando il risolutore, si
minimizza questa differenza attraverso la ricerca di un adeguato valore del Tir.
Scegliendo dal menu strumenti la funzione ricerca obiettivo e riempiendo la maschera
che compare come mostrato si ottiene il risultato richiesto.
Il bottone calcola il tir automatizza questa procedura senza rendere necessario lo
svolgimento dei passaggi appena illustrati.
La determinazione del tasso swap
Nel foglio La determinazione del tasso swap si ritrova il tasso swap utilizzando
diversi metodi.
Il metodo più macchinoso è senz’altro quello dell’utilizzo della funzione di excel
ricerca obiettivo. In questo caso nella cella K18 si è impostata la differenza tra il
valore attuale della gamba fissa (che paga il tasso swap) e quella variabile (che paga il
tasso forward ottenuto come visto nel foglio relativo alla stima del tasso forward) e si
è impostato il problema di minimizzazione di questa differenza attraverso la modifica
della cella K4 che contiene il tasso swap.
In basso a sinistra nel foglio invece, a partire dalla cella B23, si è utilizzata la
relazione di equilibrio dello swap che impone l’uguaglianza fra i flussi scontati della
parte fissa e quelli scontati della gamba variabile:
t FC(1 + it)–t = tFCvt(1 + it)–t
con
FC = cedola fissa o tasso swap %
FCvt = cedola variabile o tasso forward %
it = tasso spot
isolando FC abbiamo:
FC = tFCvt(1 + it)–t / t (1 + it)–t
Come mostrato nella cella D34.
A partire dalla cella D23 si determina il tasso swap utilizzando la stessa relazione ma
sostituendo al valore attuale dei flussi della gamba variabile la differenza tra il prezzo
di un floater (pari ad 1) ed il valore attuale del capitale rimborsato a scadenza, in
maniera tale da ottenere il valore attuale delle sue cedole più rapidamente rispetto a
quanto necessario con la stima dei tassi forward:
P – K(1 + in)–n= tFCvt(1 + it)–t (cella G24)
