Lezione 3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica

Lezione 3
Cenni di meccanica
statistica classica e quantistica
Fisica dello Stato Solido
http://www.de.unifi.it/Fisica/Bruzzi/fss.html
Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi
Laurea magistrale in Ingegneria Elettronica
1
Introduzione
Vogliamo estendere i concetti introdotti in meccanica a sistemi composti da un
numero molto elevato di particelle, quali ad esempio i gas ideali che a
pressione e temperatura standard risultano composti tipicamente da circa 1020
atomi/molecole.
Sappiamo che la meccanica si fonda su alcuni principi generali, quali la
conservazione dell'energia, della quantità di moto e del momento angolare,
applicabili al moto di una o più particelle interagenti. Nella meccanica statistica
questi principi vengono estesi ai sistemi di molte particelle in modo da ottenere
proprietà collettive valide a livello macroscopico, quali la temperatura e la
pressione, in modo che non sia necessario considerare individualmente il moto
di ciascuna particella. Vedremo che, oltre a non essere praticamente possibile,
risulta infatti anche non necessario seguire il moto di tutte queste particelle per
derivare le proprietà macroscopiche del sistema.
Il punto di partenza dell'analisi statistica è il concetto di probabilità di una
distribuzione, vale a dire la probabilità che le particelle si trovino in una
particolare distribuzione tra i tanti possibili stati dinamici in cui esse
possono trovarsi.
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Elettronica
2
Consideriamo un sistema composto da un grande numero di particelle, N. Ogni
particella può assumere un valore di energia ε1, ε2, ε3,.. questi livelli energetici
possono essere quantizzati, cioè multipli di un valore finito, oppure possono
descrivere un dominio di valori continuo. In un istante t generico le particelle siano
distribuite tra i vari stati energetici così che n1 particelle si trovano nello stato
caratterizzato dall'energia ε1, n2 in quello a energia ε2 e così via. Il numero totale di
particelle e l'energia totale del sistema si scrivono :
N = ∑ ni
= numero totale particelle
U int = ∑ niε i
= energia interna totale del sistema
Diciamo che il sistema è chiuso se il numero di particelle N è costante nel
tempo. Inoltre, se il sistema è isolato, la sua energia totale è costante nel tempo.
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3
Equilibrio statistico
E‘ ragionevole pensare che per ogni sistema fisico considerato, vi sia una
particolare distribuzione delle N particelle nei vari εi che sia più probabile
delle altre. Quando il sistema si trova ad assumere la distribuzione più
probabile diciamo che ha raggiunto l'equilibrio statistico. Una volta raggiunta
la condizione di equilibrio statistico il sistema fluttuerà intorno ad esso senza
che si osservino cambiamenti nelle sue proprietà macroscopiche e se ne
allontanerà solo in seguito all'applicazione di una forza esterna.
Probabilità di una distribuzione
Per determinare la probabilità di una distribuzione di N particelle negli stati εi
devo calcolare il numero di configurazioni possibili con cui tale distribuzione
si può ottenere. Nel seguito assumeremo che la probabilità di ottenere una
particolare partizione delle particelle negli stati disponibili sia
proporzionale alla molteplicità di tale distribuzione.
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4
Caso classico: Distribuzione di Maxwell - Boltzmann
Per ottenere la distribuzione più probabile occorre partire da
alcune
assunzioni plausibili sul sistema da analizzare: la legge di distribuzione che ne
deriva dipende ovviamente dalle assunzioni fatte. Analizzeremo inizialmente la
statistica meccanica classica sviluppata da Stefan Boltzmann (1844-1906),
James C. Maxwell (1831-1879) and Josia W. Gibbs (1839-1903) tra la fine del
1800 e gli inizi del 1900.
James Clerk Maxwell
Ludwig Boltzmann
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5
Per ottenere la legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann
consideriamo un sistema composto da un grande numero di particelle
identiche e distinguibili. Consideriamo una particolare partizione delle N
particelle negli stati εi con i = 1..s, come in figura, dove ogni livello
energetico è rappresentato da una linea nell'ordine di energia crescente.
ε
ε4
ε3
ε2
ε1
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6
Molteplicità del livello 1
Parto con l’inserimento di n1 particelle nel livello ε1. Scelgo la prima
particella: vi sono N modi per farlo. Poi prendo la seconda, vi sono N-1
modi per sceglierla. Per la terza i modi sono N-2, per l’ultima i modi sono
N-n1+1. Perciò i modi con cui possono essere scelte le particelle dello stato
ad energia ε1 sono:
W1'
N!
= N ( N − 1)( N − 2).....( N − n1 + 1) =
( N − n1 )!
Così abbiamo considerato come disposizione diversa ogni sequenza separata
in cui le n1 particelle potrebbero essere scelte. Tuttavia a noi serve sapere solo
quali n1 particelle scegliamo, non in che sequenza appaiono. Perciò dobbiamo
dividere per il numero di sequenze diverse in cui n1 oggetti possono essere
disposti, cioè n1!
N!
W =
1
n1 !( N − n1 )!
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7
Esempio 1
5!
W =
= 10
1
3!2!
N = 5, n1 = 3
123
451
234
512
345
124
134
135
245
352
Sono state considerate identiche le diverse sequenze
delle stesse particelle: n1! = 6. Per il caso 1 2 3:
123
213
321
132
231
312
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Molteplicità della distribuzione
Per il livello ε2:
W2 =
( N − n1 )!
n2 !( N − n1 − n2 )!
Perchè solo N - n1 particelle rimangono libere di essere scelte.
Analogamente per il terzo livello:
W3 =
( N − n1 − n2 )!
n3 !( N − n1 − n2 − n3 )!
Il numero di modi di distribuire le N particelle negli s stati è perciò
W =
( N − n1 − n 2 . . . − n s − 1 ) !
( N − n1 ) !
N !
.....
n 1 !( N − n 1 ) ! n 2 !( N − n 1 − n 2 ) !
n s !( N − n 1 − n 2 . . . . − n s ) !
N!
W=
n1 !n2 !n3 !...ns !
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Esempio 2
Consideriamo una scatola con pareti adiabatiche che contenga sei molecole
identiche di un gas. In qualsiasi istante ogni molecola può trovarsi nella metà
di destra o in quella di sinistra della scatola con uguale probabilità. Il numero
di possibili configurazioni è 7, ciascuna con una molteplicità data dal numero
totale dei microstati possibili che mostrano tale configurazione. In base alla
legge di Boltzmann ricaviamo il valore dell’entropia di ciascuna
configurazione. Utilizziamo la statistica di Maxwell Boltzmann per calcolare le
molteplicità di configurazione:
N!
W=
n1!n2 !
Molteplicità massima =>
Configurazione più probabile
n1
n2
W
I
6
0
1
II
5
1
6
III
4
2
15
IV
3
3
20
V
2
4
15
VI
1
5
6
VII
0
6
1
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10
Degenerazione gi dello stato i-esimo
Osserviamo che in questo calcolo abbiamo considerato che ogni configurazione
abbia la stessa probabilità intrinseca di accadere ( ogni particella poteva trovarsi
nella metà di sinistra o nella metà di destra della scatola con uguale probabilità).
Questa condizione non è sempre verificata. Per tenere conto della possibilità che
gli stati posseggano probabilità intrinseche diverse si introduce un fattore gi
detto degenerazione dello stato i-esimo. Se gi è la probabilità di trovare la
particella nello stato i-esimo, la probabilità di trovarne due nel medesimo stato è gi2
e la probabilità di trovarne ni è gini.
gi ni
WMB = N !∏
n!
i =1 i
s
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
I livello II livello III livello
1
2
3
3
1
2
2
3
1
2
3
1
1
3
2
3
2
1
3
12
12
3
12
3
3
12
3
12
3
12
2
13
13
2
13
2
2
13
2
13
2
13
Esempio 3: un solo stato energetico
che corrisponde a tre livelli di stessa
energia. In esso posso distribuire 3
particelle in 27 modi diversi
g1=3, n1 = 3:
g1n1 = 27
N = n1 → W = 27
I livello II livello III livello
19
123
20
123
21
123
1
22
23
23
1
23
23
1
24
1
23
25
1
23
26
1
23
27
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Determinazione della distribuzione più probabile all’equilibrio
All’equilibrio le particelle sono
configurazione di probabilità massima.
disposte
nella
In queste condizioni a piccole variazioni dni del numero delle particelle
nello stato i-esimo deve corrispondere un differenziale nullo della grandezza
P: dP = 0. Matematicamente, si preferisce imporre: d(lnP) = 0.
ln( PMB ) = n1 ln g1 + n2 ln g 2 + n3 ln g 3 + ... − ln(n1!) − ln(n2 !) − ln(n3!) − ....
Usando la formula di Stirling:
ln( x!) ≈ x ln( x) − x
Assumendo che n1, n2, n3 … siano grandi numeri, otteniamo:
ln( PMB ) = n1 ln g1 + n2 ln g 2 + n3 ln g 3 + ... − ( n1 ln(n1 ) − n1 ) − (n2 ln(n2 ) − n2 ) − ( n3 ln(n3 ) − n3 )
= − n1 ln(
n1
n
n
n
) − n2 ln( 2 ) − n3 ln( 3 ) − ... + (n1 + n2 + n3 + ...) = N − ∑ ni ln( i )
g1
g2
g3
gi
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
ni 

(
)
d
P
=
−
d
n
ln
ln(
)  = 0
Imponiamo:
∑ i
gi 

 ni 
ni
n
dn
n
− ∑ dni ln( ) − ∑ ni d ln( ) = −∑ dni ln( i ) − ∑ ni ( i ) = −∑ dni ln( i ) − ∑ dni
gi
gi
ni
gi
 gi 
Poiché il sistema è chiuso ed isolato, quindi è necessario imporre:
N = costante ed U = costante :
∑ dn
i
= dN = 0 ;
dU = ∑ dniε i = 0
Per imporre queste tre condizioni contemporaneamente si utilizza il
metodo dei moltiplicatori di Lagrange: si introducono due parametri, per
ora indeterminati, α e β, tali che valga la relazione complessiva:

ni 
∑ α + βε i + ln( g ) dni = 0
i 

Per ogni i. La condizione di equilibrio diviene:
α + βε i + ln(
ni
)=0
gi
ni = g i e −α − βε i
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ESEMPIO 4
Un sistema è composto da N = 4000 particelle che si possono disporre nei livelli
energetici ε=0, ε=ε1 e ε2=2ε1 tutti con stessa degenerazione g:
Confrontiamo le molteplicità relative in due casi. Nel primo la partizione sia
caratterizzata da n1 = 2000; n2 = 1700 e n3 = 300. La seconda è ottenuta immaginando
di trasferire due particelle dal livello intermedio una a quello più basso e l’altra a quello
più alto.
4000! g 2000 g 1700 g 300
W1 =
2000!1700!300!
4000! g 2001 g 1698 g 301
W2 =
2001!1698!301!
W2 2000!1700!300! 1700 ⋅1699
=
=
= 4 .8
W1 2001!1698!301! 2001 ⋅ 301
il semplice trasferimento di due particelle da uno stato cambia la
probabilità ad un valore quasi cinque volte superiore! Questo
significa che le due partizioni sono lontane dall’equilibrio.
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Calcoliamo la partizione di equilibrio per la distribuzione.
n1 = ge −α
n2 = ge −α − βε
ni = g i e −α − βε i
n3 = ge −α − 2 βε
Energia totale del sistema: U = 2000x0 + 1700xε1 + 600ε1 = 2300ε1
All’equilibrio deve valere:
n2ε 1 + n3 2ε 1 = 2300ε 1
ge −α − βε 1 + 2 ge −α − 2 βε 1 = 2300
n1 ( x + 2 x 2 ) = 2300
Inoltre il sistema è chiuso quindi:
con
x = e − βε 1
n1 + n2 + n3 = N
ge −α + ge −α − βε 1 + ge −α − 2 βε 1 = 4000
n1 (1 + x + x 2 ) = 4000
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n1 (1 + x + x 2 ) = 4000
2
n1 ( x + 2 x ) = 2300
57 x 2 + 17 x − 23 = 0
x = 0.5034
Configurazione di equilibrio:
n1 = 2277
n2 = 1146
n3 = 577
Ripetiamo ora l’esercizio precedente: spostiamo due particelle dal livello
Intermedio e posizioniamole una sul livello inferiore e una su quello superiore:
4000! g 2277 g 1146 g 577
W '1 =
2277!1146!577!
4000! g 2278 g 1144 g 578
W '2 =
2278!1144!578!
W '2 2277!1146!577! 1145 ⋅1146
=
=
= 0.9966
W '1 2278!1144!578! 2278 ⋅ 578
Le probabilità dei due casi sono quindi ora essenzialmente le stesse:
all’equilibrio infatti piccoli cambiamenti nei valori di ni non portano
apprezzabili cambiamenti nella probabilità.
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Parametri fisici associati ai moltiplicatori di Lagrange
I due termini α e β sono legati al sistema fisico considerato. In
particolare, si può esprimere α in funzione del numero totale di
particelle N. Poiché:
N = ∑ ni = ∑ g i e −α − βε i = e −α ∑ g i e − βε i
introdotto il termine Z detto funzione di partizione del sistema:
Z = ∑ g i e − βε i
Riscriviamo:
e
−α
N
=
Z
e quindi:
N
ni = g i e − βε i
Z
Che è l’espressione della legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann
all’equilibrio.
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Consideriamo la relazione tra parametro β ed energia totale del sistema:
N
U = ∑ n iε i =
Z
Allora:
N d
U =−
Z dβ
− βε i
g
ε
e
∑ ii
(∑ g e )
− βε i
i
con
Z = ∑ g i e − βε i
N dZ
d ln Z
=−
= −N
Z dβ
dβ
Quindi U dipende dalla funzione di partizione del sistema Z ed è funzione
del parametro β, che a sua volta può essere utilizzato per caratterizzare
l’energia interna del sistema. Si preferisce invece definire il parametro T,
temperatura assoluta, tale che:
K BT =
1
β
Con kB= Costante di Boltzmann = 1.38x10-23 J/K = 8.617x10-5 eV/K
Tale relazione costituisce la definizione statistica di temperatura assoluta
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Notiamo che tale definizione di temperatura è valida solo all’equilibrio,
poiché β è stato introdotto durante il calcolo della partizione più
probabile. Otteniamo:
d ln Z
2 d
(ln Z )
U = −N
= KNT
dβ
dT
Determiniamo ora la funzione di partizione Z nel caso del gas ideale,
dove l’energia è solo cinetica traslazionale:
1 2
ε i = mvi
2
Dobbiamo in primo luogo determinare la degenerazione g degli stati
energetici permessi.
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Calcolo di g(ε) per un gas ideale in un recipiente chiuso di volume V
Consideriamo un gas composto da un numero N molto grande di particelle,
contenuto in un recipiente cubico di lato L. L’energia di ogni particella è:
2
2
2
p
p
p
1
1
1
y
2
2
2
ε = mvx + mv y + mvz = x +
+ z
2
2
2
2m 2 m 2 m
Abbiamo visto che è possibile associare ad ogni particella nella scatola un’onda,
h
utilizzando la relazione di de Broglie:
λ=
p
La condizione perchè la particella sia nel recipiente è che essa corrisponda ad
un’onda stazionaria e quindi che:
L=
ε=
h2
2
8mL
n
λ
2
o anche pi 2L = nih
( nx 2 + n y 2 + nz 2 )
con ni intero per i = x,y,z
L’energia risulta quantizzata
Tutti gli stati con stesso nx2+ ny2+ nz2 corrispondono alla stessa energia: essi si
dicono perciò STATI DEGENERI.
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Determiniamo i primi livelli energetici e la rispettiva degenerazione per una
particella libera confinata in un cubo di lato L:
ε=
h2
2
2
2
(nx + n y + nz ) = ε 0 (nx2 + n y2 + nz2 )
8mL2
h2
con: ε 0 =
8mL2
Gli stati di stessa energia e la relativa degenerazione sono indicati nella tabella:
h2
I livelli energetici permessi risultano distanti tra loro della quantità : ε 0 =
8mL2
Se le particelle si trovano confinate in un recipiente molto piccolo il termine ε0 avrà
un valore tale che i livelli risulteranno ben distanziati tra loro, se invece il recipiente è
grande, come nel caso di un gas ideale di volume V in condizioni standard, il termine
ε0 è molto piccolo ed i livelli risulteranno molto vicini tra loro.
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22
primi livelli energetici di una particella
libera confinata in un cubo di lato L
molto piccolo:
ε2= 9ε0
Livelli energetici di una particella libera
confinata in un cubo di lato L grande:
dε
ε2= 6ε0
ε2= 3ε0
ε=0
In questo secondo caso possiamo considerare che la ε vari in modo praticamente
continuo e quindi valutare, invece della degenerazione gi dell’ i-esimo livello, la
funzione g(ε) descrivente la degenerazione tra i valori ε ed ε + dε.
Z = ∑ gie
∞
− βε i
Z = ∫ g (ε )e
−
ε
K BT
dε
0
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Valutazione della funzione di degenerazione g(ε)
nz
ε=
ζ
12
nx
34
h2
8mL2
( nx 2 + n y 2 + nz 2 )
Consideriamo lo spazio rappresentativo
delle terne di numeri nx,ny,nz interi. Tutti i
punti sulla superficie della sfera di raggio:
ξ = nx 2 + n y 2 + nz 2
ny
sono caratterizzati dallo stesso valore di
energia:
h 2ξ 2
ε=
Esplicitando:
8mL2ε 2 L
ζ =
=
2mε
2
h
h
8mL2
Se consideriamo i soli numeri positivi nx,ny,nz interi si tratta di
considerare una porzione di 1/8 della sfera totale.
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Considero dapprima il numero di stati permessi nella sfera di raggio ζ
4πV (2mε )
=
3h 3
3
π  2L 
1 4
 π
3/ 2
N (ε ) =  π ζ 3  = ζ 3 =   (2mε )
8 3
6 h 
 6
Porzione n positivi
ξ=
Volume sfera di raggio ζ
Numero di stati dentro la porzione di sfera:
Differenziando:
dN (ε ) = 4
N (ε ) = 4
3h
3h
3/ 2
(
)
2
m
ε
3
4π V
h3
3/ 2 3
(
2
m
)
ε dε = 2π
3
2
dN (ε ) =
(2m )
3 1/ 2
4π V
ε
h
3
V = L3
π V
π V
o anche:
g (ε ) =
2L
2mε
h
3/ 2
(2m )
3 1/ 2
V
3/ 2
(
2
m
)
ε dε
3
h
ε dε
Numero di valori permessi di
energia tra ε ed ε + dε
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Otteniamo la seguente funzione di partizione:
(
4πV 2m
Z=
h3
∞
Si può dimostrare che l’integrale è:
I = ∫ εe
−ε / K B T
0
da cui:
(
4πV 2m
Z=
h3
ln Z =
U = KNT 2
)
3 1/ 2
)
3 1/ 2 ∞
∫
ε e −ε / KT dε
0
1
3
(
)
π K BT
dε =
2
1
π (K BT )3
2
3
ln(K BT ) + C
2
d
(ln Z ) = KNT 2 3 1 = 3 KNT = 3 nRT
dT
2T 2
2
Abbiamo quindi ottenuto l’espressione dell’energia interna del gas ideale in
funzione della temperatura assoluta.
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Il numero di particelle che all’equilibrio hanno energia tra ε ed ε + dε
per il gas ideale è quindi dato da:
(
ε
ε
dn N − KT
N − KT
4πV 2m 3
= e g (ε ) = e
dε Z
Z
h3
Utilizzando l’espressione di Z:
formula di Maxwell per la distribuzione
dell’energia
)
1/ 2
4πV (2m
Z=
h3
ε
)
3 1/ 2
1
π (K BT )3
2
L’area ombreggiata mostra il numero di
particelle con energia superiore ad Ea
ε
−
dn
2πN
KT
=
e
ε
3/ 2
dε (πKT )
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Passiamo alla distribuzione della velocità con:
dn dn dε
dn
 m 
=
= mv
= 4πN 

dv dε dv
dε
 2πKT 
1 2
ε = mv
2
3/ 2
v 2e
−
mv 2
2 KT
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Entropia e Probabilità
Dal punto di vista statistico la definizione di entropia è:
Equazione dell’entropia di Boltzmann
S = K B ln W
W è la molteplicità delle possibili configurazioni con cui le N particelle del sistema
si distribuiscono nella particolare partizione (microstato) che corrisponde allo stato
del sistema (macrostato).
S e W sono legati da funzione logaritmica perché, se consideriamo l’esempio di due
sistemi, l’entropia totale è la somma delle singole entropie, mentre il numero delle
configurazioni possibili (probabilità) dei due sistemi indipendenti è pari al prodotto
delle loro molteplicità.
Osserviamo che l’evoluzione spontanea di un sistema isolato verso stati di
maggior entropia corrisponde alla sua tendenza a portarsi nello stato che ha
maggior probabilità termodinamica .
Il macrostato cui è associato il maggior numero di microstati,
macrostato piu’ probabile, viene chiamato STATO DI EQUILIBRIO.
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Elettronica
quindi il
29
Riferendosi all’ esempio 1
Una scatola con pareti adiabatiche che contiene sei molecole
identiche di un gas. In base alla legge di Boltzmann ricaviamo il
valore dell’entropia di ciascuna configurazione. Utilizziamo la
statistica di Maxwell Boltzmann per calcolare le molteplicità di
configurazione.
W=
n1
n2
W
Entropia (10-23 J/K)
I
6
0
1
0
II
5
1
6
2.47
III
4
2
15
3.74
IV
3
3
20
4.13
V
2
4
15
3.74
VI
1
5
6
2.47
VII
0
6
1
0
N!
n1!n2 !
S = K B ln W
Caso più probabile:
entropia massima
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30
Più in generale calcoliamo ora l’aumento di entropia di n moli di gas ideale che
raddoppiano il loro volume durante un’espansione libera. Utilizziamo sia la
termodinamica statistica che la definizione data dal teorema di Clausius e
verifichiamo che danno stesso risultato.
inizio
fine
Sia N il numero delle molecole del gas. Le molteplicità degli stati iniziale e finale sono:
Winizio
N!
N!
=
=
=1
n1!n2! N !0!
W fine =
N!
N!
=
n1!n2! N ! N !
2 2
L’entropia dei due stati è:
Sinizio = K B ln W1 = 0
S fine

N
= K B  ln N !−2 ln !
 2 

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31
ln N!= N ln N − ln N
∆S = nR ln 2
Quindi :
= K B N ln 2
Ricordando la formula di Stirling:
Otteniamo:
S fine
B
Utilizziamo ora la definizione di entropia data
dall’integrale :
∆S = S B − S A = ∫
A
δQ
T
rev
Utilizziamo ora l’espressione di Clausius. Poiché nella trasformazione le pareti
sono adiabatiche non c’è scambio di calore con l’ambiente, inoltre non c’è
lavoro perché non abbiamo presenza di pareti mobili, ma solo un setto divisorio
tra le due metà del recipiente, che viene rimosso al momento dell’espansione
libera. Per il primo principio della termodinamica quindi: poiché Q = 0 e W = 0,
abbiamo ∆Ui = 0 e perciò: Tinizio = Tfine=T. L’espansione libera è una
trasformazione irreversibile, devo quindi considerare, per il calcolo di ∆S, una
trasformazione reversibile che abbia stessi stati finale ed iniziale. Scelgo di
utilizzare una trasformazione con T = costante, dove quindi Q = W. Perveniamo
al risultato:
B
∆S = ∫
A
B
δQ
T
=∫
rev
A
δW
T
B
=∫
A
B
pdV
nRdV
V
=∫
= nR ln B = nR ln 2
T
V
VA
A
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Distribuzione di Fermi Dirac
Assunzioni:
1. Le particelle obbediscono al principio di esclusione di Pauli
(spin semi-intero, non possono avere stessi numeri quantici)
2. Particelle INDISTINGUIBILI. Discende dal principio di
indeterminazione di Heisenberg, poichè non possono essere
determinate precisamente le loro traiettorie
Determino il numero delle distribuzioni distinguibili di ni
particelle tra i livelli degeneri gi.
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33
La prima particella può essere disposta in uno qualunque dei gi
stati, la seconda può essere disposta in gi -1, la terza in gi - 2 e
così via fino a gi - ni + 1. In questo modo però considero distinte
le distribuzioni che si ottengono permutando le particelle tra
loro, cosa che non posso fare se le particelle sono tra loro
indistinguibili. Così devo dividere per n1!
g ( g − 1)( g1 − 2).....( g1 − n1 + 1)
g1 !
W1 = 1 1
=
n1 !
n1 !( g1 − n1 )!
Nel totale:
s
gi !
WFD = ∏
n !( gi − ni )!
i =1 i
Enrico Fermi
Distribuzione di Fermi-Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac
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34
Determinazione della distribuzione più probabile all’equilibrio
Come per la statistica di Maxwell Boltzmann assumiamo che
all’equilibrio statistico le particelle siano disposte nella
configurazione di probabilità massima ed imponiamo: d(lnP) = 0.
ln( PFD ) = ∑ [g i ln g i − ni ln ni − ( g i − ni ) ln( g i − ni )]
i
− d (ln( PFD ) ) = ∑ [ln ni − ln( g i − ni ) ] dn i = 0
i
Poiché il sistema è chiuso ed isolato:
Usando i moltiplicatori di Lagrange:
∑ dn
i
= dN = 0
dU = ∑ dniε i = 0
ln ni − ln( g i − ni ) + α + βε i = 0
ni
= e −α − βε i
g i − ni
Che diviene:
ni =
gi
e
α + βε i
+1
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35
1
Ancora, si può porre: β =
k BT
Mentre il parametro α, determinato dalla condizione :
N = ∑ ni
nella distribuzione di Fermi-Dirac viene espresso
tramite un parametro detto energia di Fermi
secondo la relazione:
ε F = −α k BT
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36
Distribuzione di Fermi Dirac all’equilibrio
ni =
gi
e ( ε i −ε F ) / k B T + 1
Andamento della distribuzione di Fermi Dirac per varie
temperature
T =0
ni/gi
T media
T alta
εF
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Assunzioni:
Distribuzione di Bose Einstein
1. Non ci sono limiti alla popolazione di ciascun livello
2. Particelle INDISTINGUIBILI.
Considero il livello εi come una scatola con gi + ni - 1 palline
colorate. gi-1 palline nere dividono la scatola in gi spazi in cui
possono essere inserite le palline bianche. I gi spazi sono i livelli
degeneri, le ni palline bianche sono le particelle.
Esempio: ni = 16 palline bianche contenute in gi = 9 livelli degeneri ottenuti
inserendo gi -1 = 8 palline nere.
Il numero di possibili permutazioni di ni+gi-1 oggetti distinguibili è (ni+gi-1)!
Per particelle indistinguibili devo dividere tale valore per ni! e (gi-1)!
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38
Per il livello 1:
( g1 + n1 − 1)!
W1 =
n1 !( g1 − 1)!
Nel totale:
s
( gi + ni − 1)!
WBE = ∏
n !( gi − 1)!
i =1 i
Distribuzione di Bose Einstein
Satyendranath N. Bose
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Elettronica
Albert Einstein
39
Determinazione della distribuzione più probabile all’equilibrio
Come per la statistiche precedenti assumiamo che all’equilibrio le
particelle siano disposte nella configurazione di probabilità massima
ed imponiamo: d(lnP) = 0.
ln( PBE ) = ∑ [(ni + g i − 1) ln(ni + g i − 1) − ni ln ni − ( g i − 1) ln( g i − 1)]
i
− d (ln( PBE ) ) = ∑ [− ln( ni + g i − 1) + ln ni ] dn i = 0
i
Poiché il sistema è chiuso ed isolato:
Usando i moltiplicatori di Lagrange:
∑ dn
i
= dN = 0
dU = ∑ dniε i = 0
ln ni − ln(ni + g i − 1) + α + βε i = 0
ni
= e −α − βε i
ni + g i
Che diviene:
ni =
gi
e
α + βε i
−1
Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in Ingegneria
Elettronica
40
Legge di distribuzione di Bose Einstein
Andamento della
distribuzione di Bose
Einstein con la temperatura
ni =
gi
eα + βε i − 1
Il parametro α, determinato dalla condizione :
N = ∑ ni
nella distribuzione di Bose Einstein rimane
indicata come α. Ancora, si può porre:
1
β=
k BT
ni =
gi
α + ε i / k BT
e
−1
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Elettronica
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Osserviamo infine che le tre statistiche possono essere
riscritte insieme con espressione:
gi
α + ε i / k BT
+d =e
ni
con d = 0 per la M-B, -1 per la F-D, +1 per la B-E.
Per ni/gi <<1, cioè per sistemi molto rarefatti, ad esempio
per alte temperature, le due statistiche quantistiche
sono
equivalenti a quella classica di Maxwell
Boltzmann.
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Boltzmann
Bose
Fermi
http://www.public.iastate.edu/~adamkam/teaching/phys321_f0
6/321F06_Chap11_Lect_27_28.pdf
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