Dinamica III Equilibrio statico di un corpo esteso

Fisica dei Materiali
A.A. 2003-3004
Dinamica III
P.A. Tipler, "Invito alla Fisica", volume 1, Zanichelli 2001,
§ 5.2, 5.3, 6.5
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Equilibrio statico di un corpo esteso
La statica è quella parte della dinamica in cui essendo le forze tra di loro in
equilibrio non c’è variazione di moto e in particolare un sistema in quiete rimane
tale.
Se una particella è in equilibrio statico, cioè se è ferma e resta ferma, la forza
risultante che agisce su di essa deve essere nulla.
Nel caso di un corpo esteso, per esempio una bacchetta, la condizione che la
forza risultante sia nulla è ancora necessaria, ma non è sufficiente, perché il corpo
può ruotare anche se non c’è nessuna forza risultante che agisce su di esso.
F1
F1
F2
F2
(a) Le due forze F1 e F2 sono uguali ed
opposte, ma la bacchetta non è in
equilibrio statico, perché queste forze
tendono a farla ruotare in senso orario.
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(b) In questo caso, le due forze hanno la
stessa retta d’azione e quindi non
provocano la rotazione della bacchetta.
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Equilibrio statico di un corpo esteso
Per i corpi estesi, oltre al modulo e alla direzione orientata della forza, è quindi
importante anche il punto di applicazione.
Esempio: Per aprire una pesante porta si
spinge in un punto il più lontano
possibile dai cardini. Nessuna forza, per
quanto intensa, riuscirà ad aprirla se
esercitata in un punto appartenente alla
retta passante per i cardini.
F
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Momento di una forza
La grandezza che misura l’efficacia di una forza nel produrre la rotazione è
chiamata momento della forza M. Il momento di una forza può essere orario
oppure antiorario, a seconda del senso di rotazione che tende a produrre: in tal
caso viene considerato rispettivamente negativo (rotazione oraria) o positivo
(rotazione antioraria).
Nell’esempio illustrato in figura, il momento della forza F è dato da:
M = F R = (Fsinθ )R = F(Rsinθ ) = FL
F
O
F
θ F//
R
θ
Rsinθ = L
Retta di
applicazione della
forza
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R è la distanza tra il punto di
applicazione della forza e il punto O, in
cui la sbarra è fissata.
L è il braccio della forza.
Il momento è dato dal prodotto della
forza per il braccio.
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Condizioni per l’equilibrio
“Perché un corpo sia in equilibrio statico, il momento risultante in
senso orario delle forze, calcolato rispetto ad un punto qualsiasi,
deve essere uguale al momento risultante in senso antiorario
calcolato rispetto allo stesso punto.”
Se chiamiamo positivi i momenti di forza in senso antiorario e negativi quelli in
senso orario, questa condizione equivale a dire che la somma algebrica dei
momenti di forza rispetto a un punto qualsiasi deve essere nulla.
∑F = 0
∑M = 0
CONDIZIONI PER L’EQUILIBRIO
STATICO DI UN CORPO ESTESO
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Centro di gravità
I pesi Pi di tutte le particelle che costituiscono un
corpo possono essere sostituiti con il peso totale P
del corpo, applicato nel centro di gravità, che è
il punto rispetto al quale il momento risultante
delle forze Pi è nullo.
P = ∑i Pi
Il centro di gravità di un
corpo si può determinare
sospendendolo ad un perno
in punti diversi e tracciando
la retta verticale passante
per il perno.
perno
A
B
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C
B
A
C
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Centro di gravità
C
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B
A
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Equilibrio stabile
L’equilibrio di un corpo può essere di tre tipi: stabile, instabile o indifferente.
L’equilibrio stabile si ha se le forze o i momenti di forza risultanti che
insorgono a causa di un piccolo spostamento del corpo spingono il corpo
indietro verso la sua posizione di equilibrio.
P
Centro
di
gravità
P
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Equilibrio instabile
L’equilibrio instabile si ha se le forze o i momenti di forza risultanti che
insorgono a causa di un piccolo spostamento del corpo spingono il corpo
lontano dalla sua posizione iniziale.
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Equilibrio indifferente
L’equilibrio indifferente si ha quando, in seguito ad un piccolo spostamento
del corpo, non vi sono forze o momenti di forza risultanti che tendano a
riportarlo verso la sua posizione iniziale o ad allontanarlo da essa.
Se si ruota leggermente il cilindro, esso è di nuovo in
equilibrio.
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Stabilità e centro di gravità
(a)
(b)
(c)
La stabilità dell’equilibrio è relativa. Se la bacchetta in (a) viene ruotata poco,
come in (b), essa ritorna nella sua posizione di equilibrio iniziale, purché la
proiezione verticale del centro di gravità si trovi entro la base di appoggio. Se
la rotazione è maggiore, come in (c), la proiezione verticale del centro di
gravità è al di fuori della base d’appoggio e la bacchetta cade.
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Macchine semplici
Una macchina semplice è un dispositivo che ha lo scopo di
trasformare una piccola forza in entrata in una grande forza in
uscita, facendo sì che lo spostamento del punto di applicazione
della forza in entrata sia molto maggiore di quello della forza in
uscita.
Esempi di macchine semplici sono le leve, i piani inclinati e i
sistemi di carrucole.
Il vantaggio A di una macchina semplice è definito come il
rapporto tra la forza in uscita e la forza in entrata.
A=
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forza in uscita
forza in entrata
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Leve
Le leve sono un tipico esempio di macchine semplici, utilizzate per tagliare, per
sollevare, per spostare con la minore fatica possibile.
L’equilibrio si ottiene quando
Potenza (P) x Braccio della Potenza (a) =
= Resistenza (R) x Braccio della Resistenza (b)
che equivale alla condizione:
Momento della Potenza = Momento della Resistenza
Col termine potenza intendiamo la forza in entrata, col termine resistenza
intendiamo la forza in uscita. Il braccio è la distanza tra il punto di applicazione
della potenza (o della resistenza) e un punto detto fulcro. Col termine momento
(che ritroveremo più avanti) intendiamo il prodotto forza x braccio.
Una leva ha vantaggio > 1 quando R > P.
Le leve possono essere classificate in tre tipi:
¾le leve di 1° genere
¾le leve di 2° genere
¾le leve di 3° genere
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Leve di primo genere
Le leve sono di 1° genere quando il fulcro (F) si trova tra il
braccio (a) della potenza (P) e il braccio (b) di resistenza (R).
Le leve di 1° genere sono dette interfulcrate.
Esse possono essere:
• vantaggiose
• svantaggiose
• indifferenti
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Leve di primo genere
Fulcro
Esempi di leva di 1° genere
sono la bilancia, l’altalena e
le pinze.
Potenza
Resistenza
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Primo genere: vantaggiose
Le leve sono vantaggiose quando la P è minore di R perchè
il braccio della potenza è maggiore del braccio della
resistenza.
a
b
P
R
F
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Primo genere: svantaggiose
Le leve sono svantaggiose quando la P è maggiore di R
perchè il braccio della potenza è minore del braccio della
resistenza.
a
P
b
R
F
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Primo genere: indifferenti
Le leve sono indifferenti quando la P è uguale ad R perchè
il braccio della potenza è uguale al braccio della resistenza.
a
b
P
R
F
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Leve di secondo genere
z
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z
Hanno il fulcro all’estremità.
Hanno la resistenza fra il fulcro e la
potenza.
z
Sono sempre vantaggiose.
z
a > b quindi P < R.
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Leve di secondo genere
z
z
Hanno la resistenza fra il
fulcro e la potenza.
Esempi: lo schiaccianoci, la
carriola, il piede.
b
a
P
R
F
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Leve di terzo genere
z
Queste
leve
sono
sempre
svantaggiose, ma sono molto usate
perché permettono di
afferrare e
manipolare con precisione oggetti
anche molto piccoli.
z
Hanno la potenza fra il fulcro e la
resistenza.
z
Esempi: gli aghi, la canna da pesca,
il braccio, le molle per il camino, le
pinze per il ghiaccio...
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Leve di terzo genere
Le leve di terzo genere sono svantaggiose perché il braccio
della potenza è minore del braccio della resistenza ed il
fulcro è ad una estremità.
P > R perché a < b
a
b
F
R
P
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Cunei
Sono macchine semplici costituite da un solido rigido limitato da due facce piane
(fianchi), che formano un angolo diedro molto piccolo, e da una terza (testa) che chiude il
diedro.
Con il cuneo si esercitano forze rilevanti su due parti di un corpo per separarle, applicando
sulla testa di esso, perpendicolarmente, una forza (potenza) P. Quest’ultima può essere
decomposta secondo le due direzioni perpendicolari ai fianchi.
R
B
D
C
P
G
R
I triangoli DFE e ABC sono simili, quindi:
F
E
R AC
=
P BC
A
All’equilibrio, ovvero nella condizione in cui il cuneo non progredisce né viene espulso, è
necessario e sufficiente che LA POTENZA STIA ALLA RESISTENZA COME LA
LUNGHEZZA DELLA TESTA STA A QUELLA DEL FIANCO. Quindi per
equilibrare una rilevante resistenza con una piccola potenza è necessario usare un cuneo
con testa molto piccola in confronto al fianco (ad esempio la lama di un coltello).
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ESERCIZIO
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Un esempio di macchina semplice
Determinare la massa m che equilibri M.
b
a = raggio interno = 1 cm
b = raggio esterno = 6 cm
M = 12 kg
a
Resistenza: R = M · g = 117.6 N
M
m
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Rispetto al fulcro (il centro della ruota), il momento
della forza resistente è:
MR = R · a = M · g · a = 1.176 N · m
Rispetto al fulcro, il momento della potenza è:
MP = F · b
Nelle condizioni di equilibrio:
MP = MR , quindi: F = R · (a/b) = 19.6 N
F = mg, quindi m = 2 kg.
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N.B. Il concetto di lavoro viene introdotto e spiegato nella dispensa successiva.
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