Algebra - Polinformatici

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Algebra
Mattia Natali
7 luglio 2011
Indice
1 Relazioni
1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Prodotto cartesiano . . . . .
1.1.2 Relazione . . . . . . . . . . .
1.1.3 Cardinalità . . . . . . . . . .
1.1.4 Grafo d’incidenza . . . . . .
1.1.5 Matrice d’incidenza . . . . .
1.2 Intersezione e unione . . . . . . . .
1.3 Prodotto tra relazioni . . . . . . . .
1.3.1 Grafo d’incidenza . . . . . .
1.3.2 Matrice d’incidenza . . . . .
1.4 Proprietà del prodotto di relazioni
1.4.1 Proprietà associativa . . . .
1.4.2 Non commutativo . . . . . .
1.5 Relazione inversa . . . . . . . . . .
1.6 Relazione identica . . . . . . . . . .
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2 Relazioni binarie
2.1 Proprietà seriale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grafo incidenza . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Matrice d’incidenza . . . . . . . . . . . .
2.2 Proprietà riflessiva . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Proprietà simmetrica . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Proprietà antisimmetrica . . . . . . . . . . . . .
2.5 Proprietà transitiva . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Proprietà ereditate . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Ereditarietà con operazioni tra relazioni
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3 Insiemi di proprietà (Chiusure)
3.1 Osservazione: . . . . . . . . . .
3.1.1 Esempio: . . . . . . . . .
3.2 Creazione delle chiusure . . . .
3.2.1 Chiusura riflessiva . . . .
3.2.2 Chiusura simmetrica . .
3.2.3 Chiusura transitiva . . .
3.2.4 Altre chiusure . . . . . .
3.3 Matrici d’incidenza . . . . . . .
3.3.1 Esempio: . . . . . . . . .
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Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
4 Relazioni d’equivalenza
4.1 Classe di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Partizione di un insieme A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
13
5 Relazione d’ordine
5.1 Diagramma di Hasse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Massimo minimo di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Funzioni
6.1 Funzioni iniettive e suriettive . . .
6.1.1 Proprietà . . . . . . . . . . .
6.2 Funzione inversa . . . . . . . . . . .
6.3 Funzioni e relazioni di equivalenza
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7 Cardinalità
7.1 Definizioni
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8 Leggi di composizione
8.1 Proprietà delle operazioni binarie su un insieme A . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Esistenza dell’elemento neutro (o identità) in A rispetto a ∗ . . . .
8.1.2 Esistenza di uno zero in A rispetto a ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Esistenza dell’elemento inverso rispetto a ∗ di un elemento x ∈ A
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9 Struttura algebrica
9.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Semigruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.5 Struttura algebrica ad anello . . . . . . . . .
9.1.6 Anello privo di divisori dello zero . . . . . . .
9.1.7 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.8 Reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.9 Sottostrutture . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Criteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Criterio di caratterizzazione di sottogruppi .
9.2.2 Criterio di caratterizzazione dei sottoanelli .
9.3 Relazioni di congruenza con le operazioni . . . . . .
9.3.1 Operazione indotta . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Struttura quoziente . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Aritmetica modulare . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Strutture simili e omomorfismi . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 I° teorema di fattorizzazione degli omorfismi
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10 Complementi sulle strutture algebriche
10.1Sottogruppo normale . . . . . . . . . . . . . .
10.2Omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2Sottoanello ideale . . . . . . . . . . . .
10.2.3Somma diretta di strutture algebriche
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2
Algebra
1
Logica e Algebra
Mattia Natali
Relazioni
1.1
1.1.1
Definizioni
Prodotto cartesiano
Si chiama prodotto cartesiano degli n insiemi A1 , A2 , . . . , An , l’insieme
A1 × A2 × · · · × An = {a1 , a2 , . . . , an | ai ∈ Ai ,
1.1.2
i = 1, 2, . . . , n}
Relazione
Si chiama relazione R (n-aria o di arità n) un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano
A1 , A2 , . . . , An .
• Se R = ∅ si definisce relazione vuota.
• Con R = A1 × A2 × · · · × An si chiama relazione universale ω.
Un esempio di relazione può essere R = {(a, c) , (a, d) , (b, e)}, solitamente una relazione è un
insieme di coppie (relazioni binarie).
1.1.3
Cardinalità
Numero di elementi in un dato insieme. Esempio: |A1 | = 10.
1.1.4
Grafo d’incidenza
È un oggetto matematico in cui abbiamo dei vertici, avendo
A1
= {a, b, c}
A2
= {x, y, z, w}
R
= {(a, x) , (a, w) , (b, x) , (b, y) , (b, z)}
si pongono gli elementi di A1 sinistra e quelli di A2 a destra, poi con le frecce si legano i vari
elementi degli insiemi come definito dalla relazione R.
a
:/ x
b
/y
c
$
z
w
1.1.5
Matrice d’incidenza
La matrice d’incidenza è definita in questo modo:

1 0 0
MR = 1 1 1
0 0 0

1
0
0
come righe abbiamo gli elementi di A1 mentre nelle colonne abbiamo gli elementi A2 , se una
coppia di elementi i, j sono in relazione mettiamo un 1 nella casella ai,j .
3
Algebra
1.2
Logica e Algebra
Mattia Natali
Intersezione e unione
Siano MT , MR matrici d’incidenza definite in questo modo



1 0 0 0
1 0
MT = 0 1 1 0 MR = 1 1
1 0 0 0
0 0
0
1
0

1
0
0
per calcolare le intersezioni R ∩ T avremo
MR∩T

1
= 0
0
0
1
0

0
0
0
0
1
0
basta calcolare il prodotto elemento per elemento di MR con MT .
Per l’unione R ∪ T facciamo la somma “binaria” (1 + 1 = 1) tra gli elementi.


1 0 0 1
MR∪T = MR +0 MT = 1 1 1 0
1 0 0 0
identifichiamo +0 con somma binaria.
1.3
1.3.1
Prodotto tra relazioni
Grafo d’incidenza
Siano
A1
= {a, b, c}
A2
= {x, y, z, w}
R ⊆ A1 × A2 , T ⊆ A2 × A3
R · T = {(a1 , a3 ) |∃a2 ∈ A2 , (a1 , a2 ) ∈ R e (a2 , a3 ) ∈ T } ⊆ A1 × A3
Aggiungiamo anche A3 = {h, k} e sia
R
= {(a, x) , (a, w) , (b, x) , (b, y) , (b, z)} ⊆ A1 × A2
T
= {(x, h) , (z, h) , (w, k)} ⊆ A2 × A3
Per determinare il prodotto tra le relazioni R · T in un grafo d’incidenza devo vedere le coppie
che mi permettono di arrivare alla “fine” del percorso;
a
/: x
/h
C
b
/y
G? k
c
$
z
w
un esempio di percorso sarà (l’ho evidenziato nel grafo d’incidenza):
(a, w) ∈ R ∧ (w, k) ∈ T ⇒ (a, k) ∈ R · T
continuando in questo modo la nostra relazione finale sarà
R · T = {(a, h) , (a, k) , (b, h)}
4
Algebra
1.3.2
Logica e Algebra
Mattia Natali
Matrice d’incidenza
Scriviamo le matrici d’incidenza.

1
MR = 1
0
0
1
0
0
1
0

1
0
0

1
0
MT = 
1
0

0
0

0
1
con MR matrice che ha come righe gli elementi di A1 , come colonne A2 e MT ha come righe gli
elementi di A2 e come colonne gli elementi di A3 . Il prodotto tra queste matrici sarà


1 1
MR·T = MR ·0 MT = 1 0
0 0
facciamo in pratica il prodotto righe per colonne “binario” ossia se il risultato è ≥1 poniamo 1.
1.4
Proprietà del prodotto di relazioni
Le proprietà che vengono soddisfatte dal prodotto di relazioni sono:
1.4.1
Proprietà associativa
Consideriamo 4 insiemi A1, , A2 , A3 , A4 e tre relazioni R ⊆ A1 × A2 , T ⊂ A2 × A3 , S ⊆ A3 × A4 è
associativo:
(R · T ) · S = R · (T · S)
Proviamo la doppia inclusione:
1. (R · T ) · S ⊆ R · (T · S)
2. R · (T · S) ⊆ (R · T ) · S
Dimostrazione. Punto (1)
S , allora esiste a3 ∈ A3 tale che (a1, a3 ) ∈ |{z}
R · |{z}
T e (a3 , a4 ) ∈ S.
Sia (a1 , a4 ) ∈ (R · T ) · |{z}
| {z }
A1 ×A2 A2 ×A3
⊆A1 ×A3 ⊆A3 ×A4
Segue che esiste a2 ∈ A2 tale che (a1, a2 ) ∈ R, (a2, a3 ) ∈ R · T . Quindi (a1 , a2 ) ∈ R, (a2 , a4 ) ∈ T · S, cioè
(a1 , a4 ) ∈ R · (T · S) e così (R · T ) · S ⊆ R · (T · S)
1.4.2
Non commutativo
R · T 6= T · R
però ci sono alcuni casi in cui vale
R·T =T ·R
in questo caso le relazioni si chiamano permutabili.
5
Algebra
1.5
Logica e Algebra
Mattia Natali
Relazione inversa
Sia A1 , A2 insiemi e sia R ⊆ A1 × A2 . Sia inoltre R−1 ⊆ A2 × A1 che viene definita in questo modo
R−1 = {(a2 , a1 ) | (a1 , a2 ) ∈ R}
in pratica basta scambiare le coppie.
Per esempio se R = {(a, x) , (a, w) , (b, x) , (b, y) , (b, z)} avremo
R−1 = {(x, a) , (w, a) , (x, b) , (y, b) , (z, b)}
Nel grafo d’incidenza invertiamo
fare la trasposta.

1
MR = 1
0
1.6
il senso delle frecce mentre per la matrice d’incidenza basta
0
1
0

0
1
0
1
0
0
MR−1

1
0
T
= (MR ) = 
0
1
1
1
1
0

0
0

0
0
Relazione identica
La relazione identica
IA1 = {(a1 , a1 ) |a1 ∈ A1 } ⊆ A1 × A1
questa relazione identica funge come elemento neutro, ossia come 1 nei numeri reali, infatti
IA1 · R = R
se scambiamo l’ordine dobbiamo stare attenti all’insieme che stiamo considerando
R · IA2 = R
|{z}
|{z}
A1 ×A2 A ×A
2
2
attenzione però che
R · R−1
6= IA1
R−1 · R
6= IA2
infatti per esempio
MR·R−1
2

1
= 1
0
1
1
0
 
0
1
0 6= 0
0
0
0
1
0

0
0 = MIA1
1
Relazioni binarie
Noi siamo interessati a questo tipo di relazioni.
Sia A insieme e R relazione binaria su A se R ⊆ A × A, ossia avremo delle relazioni che
lavorano sugli elementi dello stesso insieme. Alcune relazioni note sono:
• Relazione vuota: ∅.
• Relazione identica: IA .
• Relazione universale: ωA sono tutte le possibili coppie (A × A).
6
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
Sia n ∈ N, definiamo potenza n-esima di R:
Rn = R · R · . . . · R
(n-volte)
se n = 0 −→ R0 = IA .
Siano n, m ∈ N0
1. Rn+m = Rn · Rm
m
2. (Rn )
= Rn·m
Osservazione: se n è negativo le relazioni precedenti possono non valere!
Sia n ∈ Z\N0 ossia se n < 0
Rn = R−1 · R.−1 · . . . · R−1
2.1
(−n-volte)
Proprietà seriale
Sia R ⊆ A × A, R = {(a, b) , (a, c) , (b, c)} la proprietà seriale significa che
∀x ∈ A
2.1.1
∃y ∈ A | (x, y) ∈ R
Grafo incidenza
In termini di grafo d’incidenza significa che da ogni vertice deve uscire almeno una freccia.
Se un vertice ha solo frecce che “entrano” la relazione non è seriale. Sia A = {a, b, c} e R =
{(a, b) , (a, c) , (b, c)} in questo caso R non è seriale (dal vertice c non esce nessuna freccia).
a
'
b
z
c
2.1.2
Matrice d’incidenza
Affinchè sia seriale su ogni riga della matrice deve essere almeno 1. Con R definito come prima
abbiamo


0 1 1
MR = 0 0 1
0 0 0
quindi R non è seriale.
Osservazione: la matrice identica è una relazione seriale.
2.2
Proprietà riflessiva
∀x ∈ A
(x, x) ∈ R
Grafo d’incidenza: una relazione è riflessiva se ogni elemento ha un “anello”, ossia la freccia
entra ed esce dallo stesso elemento. Basta anche solo 1 elemento senza un anello per dire che
la relazione non è riflessiva.
Per quanto riguarda la matrice d’incidenza dobbiamo avere tutti 1 sulla diagonale principale.
Osservazione: la matrice identità IA è riflessiva.
7
Algebra
2.3
Logica e Algebra
Mattia Natali
Proprietà simmetrica
∀x, y ∈ A
((x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R)
ogni volta che (x, y) ∈ R deve appartenere anche la coppia (x, y) ∈ R.
Nel grafo d’incidenza dobbiamo avere la doppia freccia per le coppie che vi sono nella relazione. In altre parole se abbiamo un arco che va da x a y dobbiamo avere anche l’arco che va
da y a x.
Dalla matrice d’incidenza possiamo verificare se gode della proprietà simmetrica se anche
la matrice è simmetrica.
Se abbiamo un insieme non finito, in generale, possiamo verificare che la relazione sia
simmetrica verificando che R−1 ⊆ R.
La matrice vuota ∅ è simmetrica (infatti è una matrice con tutti gli elementi pari a 0).
2.4
Proprietà antisimmetrica
∀x, y ∈ A
((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y)
Per verificare ciò possiamo verificare che R ∩ R−1 ⊆ IA , ossia possiamo fare il prodotto tra le
due matrici e verificare che gli unici 1 sono solo sulla diagonale principale ossia otteniamo una
matrice identità.
Un altro metodo è verificare se nella posizione ai,j = 1 allora in aj,i = 0, mentre possiamo
avere ai,j = aj,i = 0. In altre parole non possiamo avere ai,j = aj,i = 1 con j 6= i. La diagonale
principale non ci da nessun problema, possiamo avere sia 1 che 0.
Altro metodo ancora è sommare la matrice con la sua trasposta: se otteniamo una matrice con tutti i 2 presenti sulla diagonale principale allora è antisimmetrica, al contrario, se
otteniamo dei 2 fuori dalla diagonale principale allora non è antisimmetrica.
Dal grafo d’incidenza se abbiamo un arco che va da a a b non dobbiamo avere l’arco opposto,
ossia che va da b ad a, ma possiamo avere gli autoanelli.
Osservazione: possono esistere relazioni che possono essere sia non simmetriche che non
antisimmetriche.
2.5
Proprietà transitiva
∀x, y, z ∈ A
((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R)
Nel grafo d’incidenza se abbiamo un arco che va da a a b e un altro che va da b a c e infine
abbiamo anche un arco che parte da a a c allora la relazione è transitiva, questo deve succedere
per ogni terna presente nella relazione.
Per quanto riguarda le matrici, per esempio se abbiamo


0 1 1
MR = 0 0 1
0 0 0
è transitiva perchè se ai,j = 1 e aj,k = 1 allora anche ai,k = 1. Se questo non accade la relazione
non è transitiva. Un metodo più veloce consiste nel guardare il quadrato della matrice, cioè se
io riesco a dimostrare che R2 ⊆ R allora R è transitiva.
Facciamo un esempio:


0 0 1
MR2 = MR·R = MR · MR = 0 0 0 =⇒ R2 ⊆ R
0 0 0
8
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
per fare il prodotto, facciamo il prodotto riga per colonna e mettiamo 1 se otteniamo x≥1.
Siccome l’unico 1 che abbiamo ottenuto è un elemento che apparteneva già ad R allora significa
che la relazione gode della proprietà transitiva.
Osservazioni:
• La relazione vuota è transitiva.
• La relazione identità è transitiva.
• La relazione universale è transitiva.
2.6
Proprietà ereditate
Sia A insieme, R, V, S ⊆ A × A, V ⊆ R ⊆ S: vedi tabella 1.
R
Seriale
Riflessiva
Simmetrica
Antisimmetrica
Transitiva
V
No
No
No
Sì
No
S
Sì
Sì
No
No
No
Tabella 1: Ereditarietà delle proprietà
2.6.1
Ereditarietà con operazioni tra relazioni
R ⊆ A × A, T ⊆ A × A: vedi tabella 2.
R, T
Seriali
Riflessive
Simmetriche
Antisimmetriche
Transitive
R∩T
No
Sì
Sì
Sì
Sì
R∪T
Sì
Sì
Sì
No
No
R·T
Sì
Sì
No
No
No
Tabella 2: Proprietà ereditate dalle operazioni tra relazioni
3
Insiemi di proprietà (Chiusure)
Sia A insieme, R ⊆ A × A. P insieme di proprietà che A può soddisfare esempio P =
{propr. riflessiva, prop. simmetrica}. Sia T ⊆ A × A una relazione, la definiamo chiusura di
R rispetto a P (o P -chiusura di R) se soddisfa le seguenti proprietà:
1. R ⊆ T .
2. T soddisfa tutte le proprietà di P .
3. Se S ⊆ A × A tale che R ⊆ S e S soddisfa le proprietà di P allora T ⊆ S. Ossia T è la minima
relazione binaria che soddisfa le due proprietà qua sopra.
9
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
In altre parole la P -chiusura di R, se esiste, è la minima chiusura che contiene R e ha tutte le
proprietà in P .
La P -chiusura se esiste è unica.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano S e T due P -chiusure di R distinte. R ⊆ S,
S soddisfa le proprietà di P (⇒ S ⊆ T ). R ⊆ T , T soddisfa le prioprietà di P (⇒ T ⊆ S). Da qui
segue S = T per il punto 3, il che è assurdo.
3.1
Osservazione:
Se:
1. Esiste almeno una relazione contenente R che soddisfa tutte le proprietà di P .
2. L’intersezione di tutte le relazioni che soddisfano le proprietà di P soddisfa ancora tutte le
proprietà di P .
Allora esiste la P -chiusura di R.
X = S ⊆ A × A | R ⊆ S, S soddisfa le proprietà di P
P -chiusura di R:
\
S
S∈X
In generale non è detto che si verifichi il punto 2. Per esempio la proprietà seriale non la
soddisfa. Lo stesso discorso vale per la proprietà antisimmetrica (nella tabella 2 sembrerebbe
di sì, ma la tabella parte dal presupposto che entrambe le relazioni siano antisimmetriche).
3.1.1
Esempio:
Sia A = {a, b}, R = {(a, b)}, P = Proprietà seriale . Affinchè T sia una chiusura dobbiamo avere
che
T
= {(a, b) , (b, a)} ⊇ R
T 6⊆ S
S
= {(a, b) , (b, b)} ⊇ R
S 6⊆ T
quindi non riusciamo a creare l’insieme T -chiusura rispetto alla proprietà seriale.
3.2
Creazione delle chiusure
Ricorda che è molto importante l’ordine con cui sono scritte le proprietà.
3.2.1
Chiusura riflessiva
Vogliamo la minima relazione che soddisfa la seguente proprietà, in altre parole aggiugo le
coppie che ci mancano. In questo caso per soddisfare la proprietà riflessiva abbiamo bisogno
della matrice identità: R ∪ IA .
3.2.2
Chiusura simmetrica
Per esempio abbiamo una relazione R = {. . . , (a, b) , . . . } e ci manca la coppia (b, a), per ottenere
la minima relazione per la proprietà simmetrica facciamo R ∪ R−1 (ricordo che R−1 = RT ).
10
Algebra
3.2.3
Logica e Algebra
Mattia Natali
Chiusura transitiva
Dobbiamo fare l’unione di potenze di R, ossia
[
Rn
n∈N
significa che n > 0. La formula significa R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪ Rn ∪ . . . .
S
Dimostrazione. T = n∈N Rn . Abbiamo che:
• R ⊆ R ∪ R2 ∪ . . . ⊆ T .
• Siano a1 , a2 , a3 ∈ A tale che (a1 , a2 ) ∈ T ,(a2 , a3 ) ∈ T .
Quindi la nostra tesi è che (a1 , a3 ) ∈ T . Allora esistono h, k ∈ N tale che (a1 , a2 ) ∈ Rh , (a2 , a3 ) ∈ Rk
quindi (a1 , a3 ) ∈ Rh · Rk . Per il prodotto tra le relazioni valgono le proprietà delle potenze ossia
Rh · Rk = Rh+k quindi (a1 , a3 ) ∈ Rh+k ⊆ T . I punti 1 e 2 della T -chiusura sono soddisfatti, ora
passiamo al punto 3 ossia che è la minima relazione che soddisfa queste proprietà.
Sia S ⊆ A × A tale che S è transitiva e R ⊆ S, la nostra tesi è che T ⊆ S.
R⊆S
⇒R·T ⊆S·V
T ⊆V
R⊆S
R⊆S
⇒
⇒
R · R ⊆ S · S ⇒ R2 ⊆ S 2 ⊆ S
R2 ⊆ S
R⊆S
⇒
⇒
⇒
R2 · R ⊆ S · S
R3 ⊆ S 2 ⊆ S
R3 ⊆ S
questo vale ∀n ∈ N, Rn ⊆ S. Quindi tutto quello che ho scritto significa che
[
⇒T =
Rn ⊆ S
n∈N
e che quindi anche il punto 3 è soddisfatto.
3.2.4
Altre chiusure
• Chiusura riflessiva e simmetrica: R ∪ IA ∪ R−1
S
n
• Chiusura riflessiva
e transitiva: n∈N (R ∪ IA ) oppure possiamo scriverlo anche nel
S
seguente modo: n∈N∪{0} Rn con R0 = IA .
n
S
• Chiusura simmetrica e transitiva: n∈N R ∪ R−1
n
S
• Chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva: n∈N∪{0} R ∪ R−1 oppure possiamo
n
S
scriverlo così n∈N R ∪ R−1 ∪ IA .
11
Algebra
3.3
Logica e Algebra
Mattia Natali
Matrici d’incidenza
3.3.1
Esempio:
Sia A = {a, b, c, d}, R = {(a, a) , (a, b) , (b, d) , (c, d)} la

1
0
MR = 
0
0
matrice d’incidenza è

1 0 0
0 0 1

0 0 1
0 0 0
• Chiusura riflessiva di R: la chiusura riflessiva

1 1
0 1
MR1 = 
0 0
0 0
significa fare l’unione con IA ossia

0 0
0 1

1 1
0 1
• Chiusura simmetrica di R: facciamo una chiusura simmetrica di R, rendiamo simmetrica la matrice


1 1 0 0
1 0 0 1

MR2 = 
0 0 0 1
0 1 1 0
• Chiusura transitiva: bisogna fare il prodotto binario riga per colonna


1 1 0 1
0 0 0 0

MR 2 = 
0 0 0 0
0 0 0 0
per fare in fretta nel prodotto adotta questa tecnica: in questo caso abbiamo nella prima
riga un 1 in prima, seconda e quarta colonna; ora guardo le colonne e verifico se in prima,
seconda o quarta riga vedo degli 1, se la risposta è affermativa pongo un 1 nella prima
riga nella colonna in cui ho visto l’1. Così faccio per la seconda, terza e quarta riga: ma in
questo caso non trovo più nessun 1 e quindi ho finito.


1 1 0 1
0 0 0 0

MR 3 = 
0 0 0 0
0 0 0 0
notiamo che MR2 = MR3 , significa che stiamo unendo sempre lo stesso insieme, quindi
non abbiamo bisogno di andare avanti “all’infinito”. Quindi
[
T =
Rn = R ∪ R2
n∈N
4
Relazioni d’equivalenza
A insieme, R ⊆ A × A. R è una relazione d’equivalenza se soddisfa:
1. Riflessiva.
12
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
2. Simmetrica.
3. Transitiva.
Esempio: relazione di congruenza R ⊆ Z × Z modulo n con n > 1.
∀a, b ∈ Z
(a, b) ∈ R se e solo se n | a − b
a ≡ b (mod n) se e solo se n | a − b
il simbolo n|a − b significa che n divide a − b. Possiamo definire la stessa cosa anche in questo
modo:
∀h, k ∈ Z h | k se e solo se ∃z ∈ Z k = h · z
1. Riflessiva: sia a ∈ Z. Tesi: a ≡ a (mod n)
n | 0 = a − a ⇒ n | a − a ⇒ a ≡ a (mod n)
2. Simmetrica: siano a, b ∈ Z tale che a ≡ b (mod n). Tesi: b ≡ a (mod n).
n|a−b ⇒
∃z ∈ Z tale che a − b = z · n ⇒
z0
⇒
z }| {
∃z ∈ Z tale che b − a = (−z) ·n ⇒
⇒
∃z 0 ∈ Z tale che b − a = z 0 · n ⇒ b ≡ a (mod n)
3. Transitività: guarda dispense.
Un esempio più normale è la relazione di uguaglianza sull’insieme dei numeri naturali N.
4.1
Classe di equivalenza
Sia A insieme, ρ ⊆ A × A relazione d’equivalenza. Chiamiamo classe di equivalenza (rispetto a
ρ) avente come rappresentante a, o più semplicemente ρ-classe di a, l’insieme
[a]ρ = {b ∈ A | (a, b) ∈ ρ}
∀a ∈ A
Esempio: Fissiamo n = 2. ∀a, b ∈ Z abbiamo a ≡ b (mod 2) se e solo se 2 | a − b se e solo se
∃z ∈ Z a − b = 2 · z. Indichiamo con [0]2 le classi dei numeri pari e [1]2 per i numeri dispari.
L’insieme delle ρ-classi di A si dice insieme quoziente di A rispetto a ρ e si indica
n
o
A/ρ = [a] | a ∈ A
ρ
nel nostro caso l’insieme quoziente di Z rispetto a 2 sarà: Z/2 = {[0]2 , [1]2 } .
4.2
Partizione di un insieme A
Sia dato l’insieme {Bi | i ∈ I} ∀i ∈ I tale che Bi ⊆ A, esso è una partizione se
S
1. i∈I Bi = A.
2. Se Bi ∩ Bj 6= ∅ allora Bi = Bj . Se un elemento appartiene ad una certa classe non può
appartenere ad una classe diversa.
Possiamo notare che data una relazione d’equivalenza ρ su un insieme A, le ρ-classi di A sono
una partizione di A perchè l’unione di tutte le varie classi formano A e l’intersezione di qualsiasi
classe genera l’insieme vuoto, la partizione così creata prende il nome di partizione indotta
da ρ.
13
Algebra
5
Logica e Algebra
Mattia Natali
Relazione d’ordine
Sia A insieme, R ⊆ A × A, R è una relazione d’ordine se è
1. Riflessiva.
2. Antisimmetrica.
3. Transitiva.
x, y sono confrontabili rispetto a R se:
(x, y) ∈ R XOR (y, x) ∈ R
Si dice relazione d’ordine totale se tutte le coppie di elementi di A sono confrontabili. In
generale R viene definito insieme parzialmente ordinato (poset = partially ordered set), se
invece la relazione è totale si parla di insieme totalmente ordinato.
Esempi:
x ≤ y • Numeri reali (R, ≤) sappiamo che se
⇒ x = y soddisfa la proprietà antisimmetrica,
y≤x riflessiva e soddisfa anche la proprietà transitiva quindi è una relazione d’ordine. È anche
totale perchè tutte le sue coppie sono confrontabili.
• Inclusione d’ordine (⊆): A insieme, P (A) = {B|B ⊆ A} insieme delle parti di A, verifichiamo
che l’inclusione debole ⊆ è una relazione d’ordine su P (A). Dimostriamo la proprietà
riflessiva e antisimmetrica
X ⊆ X X ⊆ Y ⇒ X = Y
Y ⊆X la proprietà transitiva
X ⊆ Y ⇒X⊆Z
Y ⊆Z Ma in questo caso non è totale perchè:
A
= {a, b, c}
X
= {a, b} ∈ P (A)
Y
= {b, c} ∈ P (A)
X 6⊆ Y
e
Y 6⊆ X
quindi X e Y non sono confrontabili.
• Relazione di divisibilità in N
∀x, y ∈ N x|y se e solo se ∃k ∈ N : y = Kx
Essa soddisfa la proprietà riflessiva: k = 1 x|x. Soddisfa la proprietà antisimmetrica:
x|y ⇒ ∃k1 ∈ N y = k1 x
⇒ y = k1 k2 y ⇒ k1 k2 = 1 ⇒ k1 = k2 = 1 ⇒ y = x
y|x ⇒ ∃k2 ∈ N x = k2 y
soddisfa anche la proprietà transitiva
x|y ⇒ ∃k1 ∈ N : y = k1 x
y|z ⇒ ∃k2 ∈ N : z = k2 y = k2 k1 x ⇒ ∃k 0 ∈ N : z = k 0 x ⇒ x|z
|{z}
k0
Non è una relazione totale perchè per esempio 2 non divide 3 e 3 non divide 2 (2 - 3, 3 - 2).
14
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
• Relazione di divisibilità in Z:
∀x, y ∈ Z x|y se e solo se ∃k ∈ Z y = Kx
Essa soddisfa la proprietà riflessiva: k = 1 x|x. Non soddisfa la proprietà antisimmetrica:
x|y ⇒ ∃k1 ∈ Z : y = k1 x
⇒ y = k1 k2 y ⇒ k1 k2 = 1 ⇒ k1 = k2 = 1 ∨ k1 = k2 = −1 6⇒ x = y
y|x ⇒ ∃k2 ∈ Z : x = k2 y
perchè non riesco a dimostrare che x = y, quindi non è una relazione d’ordine.
• Il < oppure ⊂ non sono relazioni d’ordine perchè non soddisfano la proprietà riflessiva a
causa dei vincoli troppo stretti. In alcuni libri, affinchè sia una relazione d’ordine, non è
neccessario che debbano soddisfare la proprietà riflessiva, ma questo porta a degli effetti
collaterali (per esempio anche l’insieme vuoto ∅ diventa una relazione d’ordine).
NB: per identificare che R è una relazione d’ordine (x, y) ∈ R possiamo scrivere x ≤ y oppure
y ≥ x (nota che x è il primo elemento e y è il secondo in entrambi i casi).
Siccome la relazione d’ordine contiene la proprietà antisimmetrica, in generale non riusciamo a creare una sua chiusura perchè la chiusura della proprietà antisimmetrica non esiste.
Quindi solitamente faccio la chiusura per la proprietà simmetrica e transitiva, se poi noto che
la relazione ottenuta soddisfa anche la proprietà antisimmetrica allora sono riuscito a creare la
mia chiusura, altrimenti non esiste.
5.1
Diagramma di Hasse:
Si dà per scontato che ci siano gli autoanelli (perchè soddisfa la proprietà simmetrica). Non c’è
nessun arco che va avanti e torna indietro per la proprietà antisimmetrica, ma si assume che
ogni arco vada dal vertice che sta più in basso a quello che sta più in alto nel disegno. Quindi
scriviamo
y
x
Poi se
x≤y
⇒ x≤z
y≤z
z
y
x
Esempio: A = {2, 3, 4, 6, 12, 13}, ∀x, y ∈ A con (x ≤ y se e solo se x|y) abbiamo che 2 ≤ 2, 2 ≤ 4,
2 ≤ 6, 2 ≤ 12, 3 ≤ 3, 3 ≤ 6, 3 ≤ 12, 4 ≤ 4, 4 ≤ 12, 6 ≤ 6, 6 ≤ 12.
12
13
4
6
2
La matrice sarà

1
0

0
M≤ = 
0

0
0
3
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0

0
0

0

0

0
1
15
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
per crearla immagina che le righe e le colonne siano rappresentate dai numeri e verifica se
sono divisibili. Affinchè sia totale se abbiamo un 1 nella posizione ai,j dobbiamo avere 0 nella
posizione aj,i e viceversa.
5.2
Massimo minimo di un insieme
Sia A insieme, ≤ relazione d’ordine su A con B ⊆ A, m ∈ A.
• m ∈ A, m è minimo di A rispetto a ≤ se
∀x ∈ A
m≤x
(m, x) ∈ ≤
• m è massimo di A rispetto a ≤ se
∀x ∈ A
x≤m
questi elementi possono anche non esistere. Nell’esempio del diagramma di Hasse vediamo che non c’è un numero sopra tutti o sotto tutti. Se dall’insieme A precedente
eliminassimo l’elemento 13 avremmo come diagramma di Hasse
12
4
6
2
3
e in questo caso 12 è un massimo.
• m è elemento minimale di A rispetto a ≤ se
∀x ∈ A
(x≤m ⇒ x = m)
nel diagramma di Hasse vediamo gli elementi più in basso, sempre nel caso precedente
l’insieme dei numeri minimali sono M1 = {2, 3, 13} c’è anche il 13 perchè è un elemento
isolato; in altre parole per ogni a ∈ A si ha o a non confrontabile con m o m ≤ a.
• Analogo discorso per gli elementi massimali che li definiamo in questo modo: m elemento
massimale di A rispetto a ≤ se
∀x ∈ A
(m≤x ⇒ x = m)
quindi non ci devono essere elementi sopra gli elementi massimali (gli elementi più in
alto) quindi M2 = {12, 13}, ricorda che devi prendere anche gli elementi non confrontabili.
Sia ora B un sottoinsieme dell’insieme parzialmente ordinato A.
• m minorante di B rispetto a ≤ se:
∀x ∈ B
m≤x
∀x ∈ B
x≤m
• m maggiorante di B rispetto a ≤ se
Esempio: abbiamo A = {2, 3, 4, 6, 12} e B = {4, 12}. Abbiamo come maggioranti C1 = {12} e
minoranti D1 = {2, 4} (nei minoranti di B non compare il 3 perchè non è confrontabile con gli
elementi di B). Ossia dobbiamo vedere quelli che stanno sopra e quelli che stanno sotto in
entrambi diagrammi di Hasse degli insiemi A e B, inoltre gli elementi che andiamo a scegliere
devono essere confrontabili con tutti gli elementi di B. Non è necessario che il maggiorante o
minorante appartenga a B.
16
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
• L’estremo inferiore di B (inf B) è massimo (se esiste) dell’insieme dei minoranti.
• L’estremo superiore di B (sup B) è minimo (se esiste) dell’insieme dei maggioranti.
(A, ≤) reticolo se
∀x, y ∈ A
(∃ inf {x, y} ∧ ∃ sup {x, y})
esempio di reticolo
12
4
6
2
6
Funzioni
Sia A, B insiemi f ⊆ A × B funzione se
∀x ∈ A ∃!y ∈ B
(x, y) ∈ f
se sappiamo che è una funzione possiamo scriverla con la notazione f : A → B oppure f (x) = y.
f (A) = {f (x) | x ∈ A}
∀y ∈ B
f −1 (y) = {x ∈ A | f (x) = y}
l’unico elemento b associato ad a dalla relazione f viene indicato con f (a) e chiamato immagine di a mediante f , l’elemento a viene invece detto controimmagine di b.
Supponiamo che A, B insiemi finiti così possiamo a scrivere il grafo e la matrice d’incidenza:


0 1 0 1 0
MR = 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
ma questa non è una funzione perchè per ogni
zione. Ad esempio sarà una funzione la matrice

0 1 0 0
Mf = 1 0 0 0
1 0 0 0
riga ci deve essere uno e un solo 1 per defini
0
0
0
f ⊆R
f funzione
Il grafo d’incidenza da ogni vertice deve uscire una e una sola freccia.
Prodotto tra due funzioni: sia A, B, C insiemi, f : A → B, g : B → C il prodotto tra due
funzioni è una funzione
f ·g ⊆A×C f ·g :A→C
definita da f ·g = g (f (x)) per ogni a ∈ A. In generale non è commutativo ed è invece associativo.
Per dimostrare che, in generale, due funzioni sono uguali (h = k), dobbiamo verificare che
∀x ∈ X h (x) = k (x) cioè l’immagine dell’elemento x è la stessa in entrambe le funzioni.
• Relazione Identica è definita
IA = {(x, x) | x ∈ A}
iA : A → A
iB : B → B
iA · f = f = f · iB
• Relazione inversa: sia f : A → B la relazione inversa è f −1 ⊆ B × A, ma in generale non
è sempre detto che esista.
17
Algebra
6.1
Logica e Algebra
Mattia Natali
Funzioni iniettive e suriettive
• f iniettiva se
∀x1 , x2 ∈ A
(f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 )
questo significa che ogni elemento b ∈ B deve avere al più una controimmagine in A. La
iniettività si può anche scrivere così:
∀x1 , x2 ∈ A
(x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ))
Esempio: vediamo se la funzione f è iniettiva

1 0
Mf = 0 0
1 0
0
1
0

0
0
0
affinchè sia tale dobbiamo avere al più un 1 su ogni colonna e su ogni riga un solo 1.
Nel grafo d’incidenza dobbiamo avere al più una freccia che entra nei vertici (e da ogni
elemento di A deve uscire uno e un solo arco).
NB: prima verifica che la funzione sia effettivamente tale!
• f suriettiva ogni elemento di B deve avere almeno una controimmagine di A ossia
∀y ∈ B
∃x ∈ A
f (x) = y
f (A) = B
Esempio: la matrice

1
Mf = 1
0
0
0
1
0
0
0

0
0
0
essa non è suriettiva perchè la terza e quarta colonna non ha nessuna controimmagine.
Ma con questa matrice non riusciremo mai ad avere una funzione suriettiva perchè avremmo massimo 3 controimmagini (su 4 necessarie). Per avere la suriettività come minimo
dobbiamo avere |A| ≥ |B| in altre parole il numero di righe deve essere maggiore o uguale
delle colonne (gli elementi di A devono essere maggiori o uguali di B). Per esempio questa
è una funzione suriettiva:


1 0
Mf = 0 1
1 0
Per quanto riguarda il grafo di incidenza se ad ogni vertice che rappresenta un elemento
di B arriva almeno un arco.
• f è biunivoca (o biiettiva) se f è iniettiva e suriettiva. La matrice d’incidenza avrà su ogni
riga e su ogni colonna uno e un solo 1. Il grafo d’incidenza, da ogni vertice di A uscirà una
e una sola freccia, in ogni vertice di B entrerà una e una sola freccia.
6.1.1
Proprietà
Sia f : A → B, g : B → C due funzioni.
1. Se f, g sono iniettive allora f · g è iniettiva anch’essa.
2. Se f, g suriettive ⇒ f · g suriettiva.
3. Idem se fossero biunivoche. In generale non possiamo dire il contrario.
18
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
4. f · g iniettiva ⇒ f iniettiva.
5. f · g suriettiva ⇒ g suriettiva.
6. f · g biunivoca ⇒ f iniettiva e g suriettiva.
Dimostrazione. (Punto 1) Siano a1 , a2 ∈ A tale che f ·g (a1 ) = f ·g (a2 ) la tesi è a1 = a2 ⇒ g (f (a1 )) =
g (f (a2 )) ⇒ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 C.V.D.
6.2
Funzione inversa
Sia g : B → A funzione inversa se si verificano i seguenti fatti: f ·g = iA e g ·f = iB . La relazione
inversa f −1 di una funzione f : A → B è una funzione se e solo se f è biunivoca.
Una funzione h è definita inversa destra di f se
h : B → A tale che f · h = iA
Una funzione k è inversa sinistra di f se
k : B → A tale che k · f = iB
per verificare se una funzione è inversa destra o sinistra ci sono dei teoremi:
Teorema 1. f ammette inversa destra se e solo se f iniettiva.
f ammette inversa sinistra se e solo se f suriettiva.
Dimostrazione. Prima parte.
(⇒)
∃h : B → A tale che f · h = iA . Noi sappiamo che iA è iniettiva e quindi, per la
proprietà 4, anche f lo è.
(⇐)
“Idea” supponiamo di avere A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3, 4, 5} e abbiamo f : A → B
iniettiva
f
/1
a
b
/2
c
/3
4
5
costruiamo una sua inversa destra ampliando la relazione inversa di f e la chiameremo h:
h
ao
1
bo
2
cO Y o
3
4
5
per gli elementi di b ∈ B che non avevano una controimmagine nella funzione f
abbiamo scelto ad arbitrio c ∈ A. Quindi vediamo che h è una funzione ed è inversa
destra perchè ∀x ∈ A, f · h (x) = iA (x) = x cioè f · h = iA .
19
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
Teorema 2. Se f ammette inversa destra e inversa sinistra allora queste coincidono.
Dimostrazione. Ipotesi: ∃k : B → A, k · f = iB e ∃h : B → A, f · h = iA tesi k = h.
k = k · iA = k · (f · h) = (k · f ) · h = iB · h = h
Abbiamo usato per la dimostrazione l’associatività del prodotto di funzioni.
Teorema 3. f ammette l’inversa se e solo se f è biunivoca. In tal caso la funzione inversa è
unica f −1 .
6.3
Funzioni e relazioni di equivalenza
Se ρ è una relazione di equivalenza avevamo visto che X/ρ partizione di X, però non avevamo detto che vale anche il viceversa, ossia che ad ogni partizione è associata una relazione
d’equivalenza.
Sia f : A → B, l’insieme f −1 (b) |b ∈ B l’avevamo definito come controimmagine; possiamo
notare inoltre che f −1 (b) = {a ∈ A|f (a) = b} è una partizione di A, quindi è l’insieme delle classi
di equivalenza di una relazione di equivalenza su A che chiamiamo ker f .
Definiamo ker f in questo modo:
∀x, y (x, y) ∈ ker f se e solo se f (x) = f (y)
Sia ρ relazione di equivalenza di A, chiameremo proiezione canonica πρ : A → A/ρ in cui
∀x ∈ A, πρ (x) = [x]ρ ossia è la funzione che associa a ogni elemento la sua classe d’equivalenza.
Teorema 4. (1° teorema di fattorizzazione delle applicazioni)
f : A → B prendiamo la proiezione canonica riferita a ker f , ossia πker f : A → A/ker f . Esiste
un’unica funzione g : A/ker f → B tale che f = πker f · g, inoltre g è iniettiva.
A
πker f
/B
>
f
g
A/ker f
Dimostrazione. g : A/ker f → B, ∀[x] ∈ A/ker f g ([a]) = f (a), dobbiamo far vedere che è una funzione
(per ogni elemento di partenza esiste un’unica immagine ed esiste almeno una). Supponiamo
che [a1 ] = [a2 ] ossia la stessa classe la scriviamo con due rappresentanti diversi. Calcoliamo
g ([a1 ]) siccome le due classi sono uguali significa che (a1 , a2 ) ∈ ker f ma per come è definita
ker f sappiamo che f (a1 ) = f (a2 ) quindi possiamo concludere che g ([a1 ]) = g ([a2 ]) e quindi non
dipende dal rappresentante, quindi la funzione è ben posta.
∀a ∈ A
πker f · g (a) = g (πker f (a)) = g ([a]) = f (a)
Osserviamo che come conseguenza del teorema di fattorizzazione si ottiene che f (A) è in
corrispondenza biunivoca con A/ker f .
20
Algebra
7
Logica e Algebra
Mattia Natali
Cardinalità
• Se |A| = |B| hanno la stessa cardinalità allora esiste una funzione biunivoca f : A → B.
• Se |A| ≤ |B| significa che esiste una funzione iniettiva da A a B, ossia esiste una corrispondenza biunivoca tra A e un sottoinsieme di B.
• Se |A| < |B| allora esiste la funzione iniettiva da A a B ma non esiste nessuna funzione
biunivoca con B.
Teorema 5. Teorema di Cantor: se A insieme, P (A) insieme delle parti di A allora |A| < |P (A)|
(ossia non esisterà una funzione biunivoca).
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che |A| ≤ |B| e |A| =
6 |B| affinchè sia |A| < |B|.
• h : A → P (A)
∀x ∈ A, h (x) = {x},
∀x, y
x 6= y ⇒ {x} =
6 {y} ⇒ h (x) 6= h (y)
abbiamo dimostrato che è iniettiva.
• Ora dimostriamo che non è biunivoca: supponiamo per assurdo che |A (x)| = |P (A)|, cioè:
∃g : A → P (A)



funzione biunivoca con l’insieme B definito in questo modo |{z}
B = x∈A|x∈
/ g (x) ∈

| {z }


⊆A



⊆A
P (A), poichè B ∈ P (A), B ammette una controimmagine x̄ ∈ A tale che g (x̄) = B perchè la
funzione, essendo biunivoca, è anche suriettiva. Si possono presentare due casi:
1. x̄ ∈ g (x̄) ⇒ x̄ ∈ B, ma allora segue, per la definizione dell’insieme B, che x̄ ∈
/ g (x̄) il che
è assurdo.
2. x̄ ∈
/ g (x̄) ⇒ x̄ ∈ B = g (x̄) ⇒ x̄ ∈ g (x̄) il che è assurdo
Quindi abbiamo dimostrato la tesi per assurdo ossia @g : A → P (A) biunivoca.
7.1
Definizioni
• Diciamo che l’insieme A è finito ed ha cardinalità n se ha la stessa cardinalità di {1, 2, . . . , n}.
Diciamo che A è infinito se non è finito, ovvero se non ha cardinalità n per alcun n intero
positivo. Una caratterizzazione degli insiemi infiniti è la seguente:
◦ Un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con
un suo sottoinsieme proprio.
• Un insieme infinito ha la potenza del numerabile se ha la stessa cardinalità di N, ha
la potenza del continuo se ha la stessa cardinalità di R. Ricordiamo che Z e Q sono
numerabili.
21
Algebra
8
Logica e Algebra
Mattia Natali
Leggi di composizione
Consideriamo n ∈ N insiemi: A1 , A2 , . . . , An , A insiemi. La funzione ω : A1 ×A2 ×. . .×An → A si chiama legge di composizione n-aria (o di arità n) di A1 , A2 , . . . , An a valori in A. ∀ (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈
A1 × A2 × . . . × An , abbiamo che a = ω (x1 , x2 , . . . , xn ) è il risultato ed è unico perchè abbiamo detto
che ω è una funzione.
Se A1 = A2 = . . . = An = A ossia se tutti gli insiemi sono uguali, ω : A × A × . . . × A → A si
{z
}
|
n volte
chiama legge di composizione n-aria interna su A oppure più semplicemente operazione.
• Se n = 2 operazione binaria.
• Se n = 1 operazione unaria.
Esempi:
• Sia ω : Z → Z, ∀x ∈ Z, ω (x) = −x che ω2 : Z × Z → Z, ω (x, y) = x + y sono delle leggi di
composizione interna. Se sostituissi Z con N la prima operazione non sarebbe più una
legge di composizione interna perchè potrei uscire dall’insieme N.
• Consideriamo l’insieme A = {a, b, c}, abbiamo la legge di composizione binaria ∗ : A×A → A.
∗ (a, b) = c, ora utiliziamo la notazione infissa che siamo soliti usare: a∗b = c. La nostra legge
a∗a=a b∗a=a c∗a=b
di composizione è definita in questo modo: a ∗ b = c b ∗ b = b c ∗ b = a , ma possiamo
a∗c=a b∗c=c c∗c=a
usare la tavola di composizione scritta in questo modo
*
a
b
c
a
a
a
b
b
c
b
a
c
a
c
a
Tabella 3: Tavola di composizione
8.1
Proprietà delle operazioni binarie su un insieme A
∗ : A × A → A,
• ∗ è commutativa: ∀x, y ∈ A x ∗ y = y ∗ x, dalla tavola di composizione 3 guardiamo se è
simmetrica per verificare che sia commutativa.
• ∗ associativa: ∀x, y, z ∈ A x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z = x ∗ y ∗ z. Se n ∈ N definisco la potenza
n-esima in questo modo: xn = x
| ∗ x ∗{z. . . ∗ x}. Se m, n ∈ N allora:
n
volte
1. xn ∗ xm = xn+m
m
2. (xn )
= xn·m
22
Algebra
8.1.1
Logica e Algebra
Mattia Natali
Esistenza dell’elemento neutro (o identità) in A rispetto a ∗
∃e ∈ A ∀x ∈ A
x∗e=x=e∗x
significa che dà sempre lo stesso numero se moltiplicato a destra o a sinistra. Se invece vale
solo quando è a destra si dice elemento neutro a destra, il viceversa si chiama elemento neutro
a sinistra. Se invece esistono entrambi allora devono essere uguali.
Se siamo certi dell’esistenza dell’elemento neutro possiamo definire l’esponente uguale a
0: ∀x ∈ A x0 = e. Se esiste l’elemento neutro possiamo verificare nella tavola di composizione
se c’è una riga o una colonna che si ripetono uguali in corrispondenza dello stesso elemento.
Nella tabella 3 possiamo vedere che esiste l’elemento neutro a sinistra (2^ riga uguale agli
elementi dell’operazione).
8.1.2
Esistenza di uno zero in A rispetto a ∗
∃z ∈ A ∀x ∈ A
z∗x=z =x∗z
se vale la prima uguaglianza abbiamo uno zero a sinistra, se abbiamo solo la seconda uguaglianza abbiamo uno zero a destra. Se invece li abbiamo entrambi allora sono uguali. Dalla
tavola di composizione vediamo se abbiamo una riga o colonna che si ripete sempre lo stesso elemento, se è una riga allora abbiamo uno zero a sinistra se era una colonna a ripetersi
abbiamo uno zero a destra.
8.1.3
Esistenza dell’elemento inverso rispetto a ∗ di un elemento x ∈ A
Si dice che x è invertibile se
∃x̄ ∈ A
x ∗ x̄ = e = x̄ ∗ x
questo vale solo se l’elemento è invertibile ∀n ∈ Z\ (N ∪ {0}) possiamo definire xn = x̄ ∗ x̄ ∗ . . . ∗ x̄
−n volte. Se si ha solo x̄∗x = e, x̄ si dice elemento inverso a sinistra, se invece si ha solo x∗ x̄ = e,
x̄ si dice elemento inverso a destra. Se esiste inverso destro e inverso sinistro e la funzione è
associativa allora le inverse coincidono.
9
Struttura algebrica
Una struttura algebrica è una coppia ordinata di elementi, la indicheremo con (A, Ω) oppure <
A, Ω >, A è un insieme e viene chiamato sostegno della struttura algebrica; Ω è un insieme
di leggi di composizioni interne. Potrei avere una o due leggi di composizione o operazioni, ma
in generale Ω contiene un numero finito di leggi di composizione.
La struttura algebrica è finita se il sostegno della struttura algebrica è di cardinalità finita.
9.1
9.1.1
Definizioni
Semigruppo
Il semigruppo è una struttura algebrica (A, ·) in cui l’operazione · è binaria ed associativa ossia
∀a, b, c ∈ A
a · (b · c) = (a · b) · c
Esempi di semigruppo:
• Insieme delle matrici M (n × n, N) semigruppo rispetto a ·, ossia la moltiplicazione fra matrici.
23
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
ins. finito
, indichiamo w parola su Σ, e indichiamo con
non vuoto
Σ+ → insieme di tutte le parole su Σ. Concatenazione è definita
• Semigruppo libero: Σ alfabeto
w1 , w2 ∈ Σ+
w1 · w2 = w1 w2
Per esempio se abbiamo Σ = {a, b, c}, w1 = abbca, w2 = bc, w1 ·w2 = abbcabc. (Σ+ , ·) semigruppo
libero.
9.1.2
Monoide
Una struttura algebrica (A, ·) si chiama monoide se è un semigruppo che ammette elemento
neutro rispetto all’operazione binaria ·, significa quindi che
∃e ∈ A ∀a ∈ A (a · e = e · a = a)
ricordati che devi verificare anche la proprietà associativa (affinchè sia un semigruppo).
Esempi:
1 0
• L’insieme delle matrici M (n × n, Z) oppure Q o R, l’elemento neutro è
la matrice
0 1
identità.
• Σ alfabeto ε 6∈ Σ con ε parola vuota. Σ∗ = Σ+ ∪{ε} non cambia la parola, quindi è l’elemento
neutro. Quindi (Σ∗ , ·) si chiama monoide libero.
9.1.3
Gruppo
Il gruppo è un monoide (A, ·) in cui ogni elemento ammette inverso rispetto a ·. Ossia è un
insieme A con una legge di composizione binaria · associativa cha ammette elemento neutro e
inverso.
Esempi:
• Insieme delle matrici A ∈ M (n × n, R) tali che det A 6= 0.
• f : A → A biunivoche.
Si definisce abeliano se soddisfa la proprietà commutativa ossia
∀a, b ∈ A
a+b=b+a
Proposizione. Esistono altre definizioni di gruppo, sia (A, ·) struttura algebrica tale che · è
associativa. Sono equivalenti:
1. (A, ·) gruppo.
∃e ∈ A ∀a ∈ A e · a = a
∃e ∈ A ∀a ∈ A a · e = a
2.
oppure
.
∀a ∈ A ∃b ∈ A b · a = e
∀a ∈ A ∃b ∈ A a · b = e
a·x=b
3. ∀a, b ∈ A
ammettono ciascuna una ed una sola soluzione.
x·a=b
24
Algebra
9.1.4
Logica e Algebra
Mattia Natali
Notazioni
A volte si usa per la legge di composizione la notazione additiva a + b, in tal caso l’elemento
neutro è chiamato 0, l’inverso di a è chiamato opposto di a ed indicato col simbolo −a e la
potenza n-esima di a è indicata con na (na = a + a + · · · + a).
|
{z
}
n-volte
Con la notazione moltiplicativa l’elemento inverso viene indicato con a−1 e l’elemento
neutro invece lo indicheremo con 1. La potenza n-esima nella notazione moltiplicativa viene
definito come an = |a · a ·{z. . . · a}.
n-volte
9.1.5
Struttura algebrica ad anello
Passiamo ora alle strutture algebriche con due leggi di composizione binarie.
Anello: (A, +, ·) se soddisfa le seguenti proprietà:
1. (A, +) è un gruppo abeliano detto gruppo additivo dell’anello.
2. (A, ·) semigruppo si chiama semigruppo moltiplicativo dell’anello, dobbiamo verificare
che vale la proprietà associativa.
3. Devono valere le proprietà distributive di · rispetto a +:
∀a, b, c ∈ A
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
Se vale la proprietà commutativa anche per il prodotto (per l’addizione deve valere per forza)
si chiama anello commutativo. Anello unitario se il semigruppo della moltiplicazione è un
monoide.
Esempi:
• Insieme delle matrici (M (n × n, Z) , +, ·) anello.
• (Z, +, ·) anello commutativo unitario.
Proposizione. In un anello (A, +, ·) si ha:
1. ∀a ∈ A
2. ∀a, b ∈ A
a · 0 = 0 · a = 0.
a · (−b) = (−a) · b = − (a · b)
Dimostrazione. Siano a, b ∈ A
1.
a · b = a · (b + 0) = a · b + a · 0
⇒ a · b + 0 = a · b + a · 0 aggiungiamo l’opposto ad entrambi i
a · b = (a · b) + 0
membri, quindi avremo
=0
=0
}|
{
z
− (a · b) + a · b +0
z
}|
{
= − (a · b) + a · b +a · 0
0+0
=
0+a·0
0
=
a·0
analogamente
0·a=0
ed effettivamente, in base alla definizione di zero (∀a ∈ A
che è uno zero.
z·a = a·z = z) abbiamo verificato
25
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
2. Dimostriamo il secondo punto
0 = a · 0 = a · (b + (−b)) = a · b + a · (−b) ⇒ − (a · b) = a · (−b)
e quindi analogamente si dimostra che
− (a · b) = (−a) · b
9.1.6
Anello privo di divisori dello zero
Sia (A, +, ·) anello si definisce privo di divisori dello zero se non esistono a, b ∈ A tale che
a 6= 0, b 6= 0 e a · b = 0.
In un anello (A, +, ·) valgono le leggi di cancellazione se:
∀a, b, c ∈ A, a 6= 0
(a · b = a · c ⇒ b = c)
Proposizione. (A, +, ·) è un anello privo di divisori dello zero se e solo se in esso valgono le
leggi di cancellazione.
Dimostrazione. Dimostriamo (⇒) siano a, b, c ∈ A, a 6= 0 tale che a · b = a · c tesi b = c.
a · b + (−a · c)
=
a · c + (−a · c)
{z
}
|
=0
a · b + (−a · c)
=
0
a · (b + (−c))
=
0 |{z}
⇒ b + (−c) = 0 ⇒ b = c
a6=0
Ora dimostriamo (⇐). Siano a, b ∈ A tali che a · b = 0. Supponiamo che a 6= 0, la mia tesi è che
b = 0. Siccome valgono le leggi di cancellazione possiamo scrivere
a
·b=a
·0⇒b=0
9.1.7
Corpo
Un corpo è un anello in cui tutti gli elementi diversi da 0 formano un gruppo rispetto a ·.
Sia (A, +, ·) anello. Se (A\ {0} , ·) è un gruppo allora (A, +, ·) è un corpo.
Un corpo in cui · gode della proprietà commutativa di dice campo. In altre parole se
(A\ {0} , ·) gruppo abeliano allora (A, +, ·) è campo.
Teorema. Ogni corpo finito è un campo.
• Corpo dei quaternioni: vedi dispense.
9.1.8
Reticolo
Si dice reticolo un insieme A con due operazioni binarie ∧ e ∨, dette rispettivamente intersezione ed unione che godono entrambe delle proprietà commutativa ed associativa e per le
quali valgano le leggi di assorbimento, ossia:
∀a, b ∈ A
a ∧ (a ∨ b) = a,
a ∨ (a ∧ b) = a
26
Algebra
9.1.9
Logica e Algebra
Mattia Natali
Sottostrutture
• Sia (A, Ω) struttura algebrica. Dato un insieme non vuoto H ⊆ A, H si definisce sottostruttura se (H, Ω) struttura algebrica dello stesso tipo di (A, Ω).
• (A, ·) semigruppo, (H, ·) è sottosemigruppo per verificare devo dimostrare che
∀x, y ∈ H
x·y ∈H
• (H, ·) è sottomonoide se
∀x, y ∈ H
x·y ∈H
e∈H
• (A, ·) gruppo, H ⊆ A, e elemento neutro (H, ·) sottogruppo se
1. ∀x, y ∈ H
x · y ∈ H;
2. e ∈ H;
3. ∀x ∈ H
x−1 ∈ H.
• (A, +, ·) anello, H ⊆ A, 0, (H, +, ·) sottoanello se
1. ∀x, y ∈ H
x + y ∈ H;
2. 0 ∈ H;
3. ∀x ∈ H
− x ∈ H;
4. ∀x, y ∈ H x · y ∈ H mi garantisce che (H, ·) è un sottogruppo. Le prime tre invece che
(H, +) è un gruppo abeliano.
9.2
9.2.1
Criteri
Criterio di caratterizzazione di sottogruppi
Sia (A, ·) gruppo, H ⊆ A, diciamo che H è un sottogruppo di A se e solo se
∀x, y ∈ H
x · y ∈ H e x−1 ∈ H
C’è una versione ancora più compatta: H è un sottogruppo di A se e solo se
∀x, y ∈ H
9.2.2
x · y −1 ∈ H
Criterio di caratterizzazione dei sottoanelli
(A, +, ·) anello, H ⊆ A, H sottoanello di A se e solo se
∀x, y ∈ H
x−y ∈H
e
x·y ∈H
27
Algebra
9.3
Logica e Algebra
Mattia Natali
Relazioni di congruenza con le operazioni
A insieme, ω operazione su A di arità n. Sia ρ ⊆ A × A, ρ relazione d’equivalenza su A. La
relazione ρ è compatibile con ω se e solo se
∀a1 , b1 , a2 , b2 , . . . , an , bn ∈ A
((a1 , b1 ) ∈ ρ, (a2 , b2 ) ∈ ρ, . . . , (an , bn ) ∈ ρ ⇒ (ω (a1 , a2 , . . . , an ) , ω (b1 , b2 , . . . , bn )) ∈ ρ)
Esempio: (A, ·) struttura algebrica con · operazione binaria, ρ relazione d’equivalenza su A:
ρ è compatibile con · se e solo se
∀a1 , b1 , a2 , b2 ∈ A
((a1 , b1 ) ∈ ρ, (a2 , b2 ) ∈ ρ ⇒ (a1 · a2 , b1 · b2 ) ∈ ρ)
stavolta abbiamo usato la notazione infissa.
Data una struttura algebrica (A, Ω), ρ è una relazione di congruenza su A se e solo se ρ è
compatibile con tutte le operazioni di Ω.
Esempio: (Z, +, ·) anello commutativo unitario (è commutativo ed esiste l’elemento neutro).
La relazione di congruenza modulo 3 viene definita in questo modo:
∀x, y ∈ Z
(x ≡ y (mod 3) sse 3|x − y)
oppure
∀x, y ∈ Z
x ≡ y (mod 3) sse ∃k ∈ Z x − y = 3 · k
siano n, m, z, s ∈ Z tale che n ≡ m (mod 3), r ≡ s (mod 3); allora esistono h, k ∈ Z tale che
n−m
=
3k
r−s =
3h
(1)
tesi per dimostrare che è effettivamente una relazione di congruenza:
n+r
≡
m + s (mod 3)
n·r
≡
m · s (mod 3)
se sommiamo membro a membro la (1) otteniamo


n − m + r − s = 3k + 3h ⇒ (n + r) − (m + s) = 3 k + h ⇒ n + r ≡ m + s (mod 3)
| {z }
∈Z
cioè abbiamo verificato che
(n + r, m + s) ∈ ρ
Ora verifichiamo che è anche una congruenza rispetto al prodotto (non lo scrivo, ma il procedimento è identico).
9.3.1
Operazione indotta
A insieme, ω operazione di arità n su A, ρ relazione d’equivalenza su A compatibile con ω. ω 0 è
un’operazione indotta da ω su A se
ω 0 : A/ρ × A/ρ × · · · × A/ρ → A/ρ
|
{z
}
n-volte
∀a1 , a2 , . . . , an ∈ A ω 0 [a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [an ]ρ = [ω (a1 , a2 , . . . , an )]ρ
28
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
Esempio: sia A insieme, ∗ operazione binaria, ρ relazione d’equivalenza su A compatibile con
∗. ∗0 è un operazione indotta
∗0 : A/ρ × A/ρ → A/ρ
∀a1 , a2 ∈ A
[a1 ]ρ ∗0 [a2 ]ρ = [a1 ∗ a2 ]ρ
insomma abbiamo il rappresentante del prodotto e non dipende dalla scelta del rappresentante.
La definizione di ω 0 è ben posta, ossia ω 0 [a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [an ]ρ non dipende dai rappresentanti
scelti per le ρ-classi [a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [an ]ρ .
9.3.2
Struttura quoziente
Sia (A, Ω) struttura algebrica, ρ relazione di congruenza su A. Si definisce struttura quoziente: (A/ρ, Ω0 ) avente come sostegno l’insieme quoziente di A rispetto a ρ e come insieme di
operazioni Ω0 l’insieme delle operazioni indotte dalle operazioni di Ω.
Esempio: (Z, +, ·) anello commutativo unitario, ≡ relazione di congruenza di modulo n ∈ N.
Otteniamo la struttura quoziente Zn , +̂,ˆ· se poniamo
∀x, y ∈ Z → [x]n +̂ [y]n = [x + y]n
e
[x]n ˆ· [y]n = [x · y]n
(è un anello commutativo unitario). In questo caso abbiamo posto sopra le operazioni il cappello per indicare che sono operazioni su classi, ma d’ora in poi non useremo questa notazione
per non appesantire troppo la trattazione.
9.3.3
Aritmetica modulare
Sia a, b, c ∈ Z
[a]n · X + [b]n = [c]n
X è una classe che ∈ Z. Sapendo che esiste l’opposto di ogni classe:
[a]n · X + [b]
[b]
= [c]n − [b]n
n −
n
[a]n · X = [c − b]n
[a]n è invertibile (e quindi ammette una ed una solo soluzione) se e solo se M CD (a, n) = 1.
9.4
Strutture simili e omomorfismi
(A1 , Ω1 ) , (A2 , Ω2 ) sono strutture algebriche simili se esiste una funzione biunivoca τ : Ω1 → Ω2
tale che ω1 e τ (ω1 ) hanno la stessa arità per ogni ω1 ∈ Ω1
(Z, +, ·) → Z, +̂,ˆ·
Definizione: (A1 , Ω1 ) , (A2 , Ω2 ) struttura algebrica simile, f : A1 → A2 f è un omomorfismo
di (A1 , Ω1 ) in (A2 , Ω2 ) se e solo se per ogni ω1 ∈ Ω1 di arità n, ω2 = τ (ω1 )
∀a1 , a2 , . . . , an ∈ A1
f (ω1 (a1 , a2 , . . . , an )) = ω2 (f (a1 ) , f (a2 , ) , . . . , f (an ))
Nelle operazioni binarie abbiamo che (A1 , ∗) , (A2 , ◦) sono strutture algebriche simili e f : A1 →
A2 omomorfismo se e solo se
∀a1 , a2 ∈ A1
f (a1 ∗ a2 ) = f (a1 ) ◦ f (a2 )
29
Algebra
9.4.1
Logica e Algebra
Mattia Natali
Definizioni
• Monomorfismo: omomorfismo iniettivo.
• Epimorfismo: omomorfismo suriettivo.
• Isomorfismo: omomorfismo biettivo.
Esempio: (M (n × n, R) , ·) , (R, ·) f : M (n × n, R) → R epimorfismo.
9.4.2
Proposizioni
• Sia (A1 , Ω1 ) , (A2 , Ω2 ) , (A3 , Ω3 ) struttura algebrica.
f : A1
→
g : A2
→ A3 omomorfismo
f · g : A1
→ A3 omomorfismo
A2 omomorfismo
• Se f isomorfismo di (A1 , Ω1 ) in (A2 , Ω2 ) allora f −1 è isomorfismo di (A2 , Ω2 ) in (A1 , Ω1 ).
• Siano (A1 , ·, e1 ), (A2 , ∗, e2 ) gruppi, e1 , e2 elementi neutri e f omomorfismo di (A1 , ·) in (A2 , ∗):
1. f (e1 ) = e2 ;
2. ∀x ∈ A1
−1
f x−1 = (f (x)) .
Dimostrazione.
1. Sia x ∈ A, e2 ∗ f (x) = f (x) = f (e1 · x) = f (e1 ) ∗ f (x) ⇒ e2 = f (e1 )
2. Sia x ∈ A1 .
∗ (f (x))−1 =
f (x)
= ∗ f x−1 = f (e1 ) = f x · x−1 = f (x)
e2
quindi avremo che
(f (x))
−1
= f x−1
• Sia f omomorfismo di (A1 , Ω1 ) in (A2 , Ω2 ), ker f = {(x, y) ∈ A1 × A1 |f (x) = f (y)} è una relazione di congruenza di (A1 , Ω1 ).
Dimostrazione. Per dimostrare utilizziamo una definizione meno generale: siano (A1 , ∗) , (A2 , ◦)
strutture algebriche simili, f omomorfismo di (A1 , ∗) in (A2 , ◦) ker f relazione di congruenza.
Siano (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) ∈ ker f la nostra tesi è:
(a1 ∗ a2 , b1 ∗ b2 ) ∈ ker f
Ora dimostriamo
f (a1 ∗ a2 )
=
f (a1 ) ◦ f (a2 ) = f (b1 ) ◦ f (b2 )
= f (b1 ∗ b2 ) ⇒ (a1 ∗ a2 , b1 ∗ b2 ) ∈ ker f
• Sia ρ relazione di congruenza di (A, Ω), la struttura (A, Ω) e una sua struttura quoziente
(A/ρ, Ω0 ) sono sempre simili. La proiezione canonica πρ : A1 → A1/ρ è un epimorfismo di
(A, Ω) su (A/ρ, Ω0 ) cioè è un omomorfismo suriettivo, inoltre si ha che ker πρ = ρ.
30
Algebra
9.4.3
Logica e Algebra
Mattia Natali
I° teorema di fattorizzazione degli omorfismi
Siano (A1 , Ω1 ) , (A2 , Ω2 ) strutture algebriche simili, f omomorfismo di (A1 , Ω1 ) in (A2 , Ω2 ), ρ = ker f ,
πρ proiezione canonica, allora esiste un unico omomorfismo g di (A1/ρ, Ω01 ) in (A2 , Ω2 ) tale che
f = πρ · g.
(A1 , Ω1 )
πρ
f
/ (A2 , Ω2 )
9
g
(A1/ρ, Ω01 )
f = πρ · g
inoltre
1. g è monomorfismo.
2. f è un epimorfismo se e solo se g è un isomorfismo.
10
Complementi sulle strutture algebriche
10.1
Sottogruppo normale
• (A, ·) gruppo, H è un sottogruppo di A, H è sottogruppo normale di A se e solo se:
a−1 · h · a ∈ H
∀a ∈ A, ∀h ∈ H
a−1 · h · a si chiama coniugato di h mediante a;
a−1 · H · a = a−1 · h · a|h ∈ H
a−1 · H · a si chiama coniugato del sottogruppo H.
• Se il gruppo di partenza è abeliano i suoi sottogruppi sono normali:
−1
a−1 · h · a = a
| {z· a} ·h = h ∈ H
e
• Sia (A, ·) gruppo, ρ relazione di congruenza di A, e elemento neutro. La classe [e]ρ dell’elemento neutro è sottogruppo normale di (A, ·). Nella dimostrazione in classe abbiamo
dimostrato che: ∀h ∈ [e]ρ h−1 ∈ [e]ρ e anche ∀h, k ∈ [e]ρ h · k ∈ [e]ρ .
• Sia (A, ·) gruppo, H sottogruppo di A, a ∈ A un elemento. Chiamiamo laterale sinistro di
H in (A, ·), avente come rappresentante a l’insieme
a · H = {a · h|h ∈ H}
Analogamente definiamo laterale destro di H in (A, ·) avente rappresentante a:
H · a = {h · a|h ∈ H}
se H è normale allora H · a = a · H e viceversa, i laterali coincidono.
• (A, ·) gruppo, ρ relazione di congruenza su A. Allora le classi di congruenza rispetto a ρ
sono laterali del sottogruppo [e]ρ .
∀a, b ∈ A
b ∈ [a]ρ sse ∃h ∈ [e]ρ tale che b = h · a
31
Algebra
Logica e Algebra
Mattia Natali
• Proposizione: (A, ·) gruppo, e elemento neutro,H sottogruppo di A, sia ρH ⊆ A × A una
relazione binaria definita in questo modo
∀a, b ∈ A
aρH b sse a · b−1 ∈ H
allora ρH è una relazione di equivalenza tale che
1. [e]ρH è il sottogruppo H.
2. La ρ-classe di un generico a ∈ A è un laterale destro di H, avente come rappresentante
l’elemento a.
3. Tutte le ρ-classi hanno la stessa cardinalità di H.
10.2
Omomorfismi
Siano (A1 , ·) , (A2 , ∗) gruppi, f è un omomorfismo di (A1 , ·) in (A2 , ∗). e1 elemento neutro di (A1 , ·)
e e2 elemento neutro di (A2 , ∗).
Consideriamo la controimmagine (non c’entra l’inversa) f −1 (e2 ) = {x ∈ A1 |f (x) = e2 } = : Nf .
Avevamo già visto che e1 ∈ Nf , perchè f (e1 ) = e2 (vedi §9.4.2). Ricordiamo inoltre che
ker f = {(x, y) ∈ A1 × A1 |f (x) = f (y)}
possiamo allora dire che l’insieme Nf = [e1 ]ker . Inoltre notiamo che Nf = [e1 ]ker è un sottogruppo
normale e viene chiamato nucleo dell’omomorfismo f .
Teorema. (Teorema di omorfismo per gruppi)
Siano (A1 , ·) gruppo e (A2 , ∗) struttura algebrica, sia f un omomorfismo di (A1 , ·) nella seconda
struttura algebrica (A2 , ∗), chiamiamo T : = f (A1 ) ⊆ A2 . Abbiamo che:
1. (T, ∗) è un gruppo;
2. Nf è un sottogruppo normale di (A1 , ·);
3. (A1/Nf ,ˆ·) isomorfo a (T, ∗). Inoltre (T, ∗) è un immagine epimorfa di (A1 , ·). Con la notazione
(A1/Nf ,ˆ·) intendiamo
∀a, b ∈ A1 (a, b) ∈ fH sse a · b−1 ∈ H
con H sottogruppo. Se H è un sottogruppo normale abbiamo che
sione studiare (T, ∗) oppure (A1/Nf ,ˆ·) è la stessa cosa.
10.2.1
A1/ρH
= A/H . In conclu-
Esempio
(Z, +) è un gruppo abeliano, quindi se voglio studiare tutte le immagini per epimorfismo basta
guardare tutti i sottogruppi normali del gruppo (Z, +). Siccome è un gruppo ed è abeliano tutti
i sottogruppi devono esse normali perchè, come avevamo già detto a−1 ha ∈ H.
• I sottogruppi banali sono: (Z, +),({0} , +).
• I sottogruppi non banali si scrivono tutti in questo modo:
Hn = {n · h|h ∈ Z}
n ∈ N, n > 1
Ora scriviamo tutti i quozienti dei sottogruppi normali.
• Z/Hn , +̂ isomorfo a Zn , +̂ ;
• Se abbiamo invece Z/Z, +̂ è isomorfo a ({0} , +);
• (Z/{0}, +0 ) isomorfo a (Zn , +).
32
Algebra
10.2.2
Logica e Algebra
Mattia Natali
Sottoanello ideale
Consideriamo l’anello (A, +, ·) anello, I sottoanello di (A, +, ·). I è un sottoanello ideale se e
solo se
a·b∈I
∀a ∈ A, ∀b ∈ I
b·a∈I
se in una prova d’esame ci viene chiesto di dimostrare che è un sottoanello ideale dobbiamo
mostrare prima che è un sottoanello, poi che è ideale. Per verificare che è un sottoanello
dobbiamo controllare che
1. ∀a, b ∈ I
a−b∈I
a·b∈I
con questo ultimo requisito
b·a∈I
verifichiamo direttamente che è un sottoanello ideale.
2. ∀a, b ∈ I
a · b ∈ I oppure verificare che ∀a ∈ A, ∀b ∈ I
Se ρ è una congruenza di (A, +, ·) allora [0]ρ è un ideale I di (A, +, ·), la generica ρ-classe
dell’elemento a ∈ A è del tipo
I + a = {i + a|i ∈ I}
questo si chiama laterale dell’ideale I avente rappresentante a. (I, +) è un sottogruppo
normale di (A, +).
Se I ideale di (a, +, ·) possiamo scrivere questa relazione
∀a, b ∈ A
(a, b) ∈ ρI sse a − b ∈ I
si dimostra che ρI è una relazione di congruenza tale che I è la classe dello zero e le classi di
congruenza di tutti gli altri elementi sono laterali dell’ideale I.
Se
∀a, b ∈ A (I + a) +̂ (I + b) = I + (a + b)
possiamo anche definire il prodotto delle classi
∀a, b ∈ A
(I + a)ˆ· (I + b) = I + (a · b)
quindi abbiamo un insieme quoziente, possiamo definire
una struttura quoziente. La struttura
A/ρI , +̂,ˆ
·
ma
per
alleggerire la notazione scriverequoziente la indicavamo in questo
modo
A
mo in modo analogo /I , +̂,ˆ· . Anche nel caso degli anelli ideali possiamo ottenere tutte le
immagini per epimorfismo dell’anello di partenza (credo che abbia detto questo).
10.2.3
Somma diretta di strutture algebriche
(A1 , Ω1 ) , (A2 , Ω2 ) strutture algebriche simili. Chiamiamo somma diretta delle due strutture
la struttura (A1 × A2 , Ω). Per ogni ω1 ∈ Ω di arità n, posto ω2 = τ (ω1 ) ∈ Ω2 , definiamo ω ∈ Ω nel
seguente modo:
∀a11 , a12 , . . . , an ∈ A1
ω ((a11 , a21 ) , (a12 , a22 ) , . . . , (a1n , a2n )) = (ω1 (a11 , a12 , . . . , a1n ) , ω1 (a21 , a22 , . . . , a2n ))
∀a21 , a22 , . . . , a2n ∈ A2
τ
(A1 , +, ·)
)
(A2 , +0 , ·0 )
33