I riparti composti diretti e inversi

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I riparti composti diretti e inversi
Nei riparti composti diretti, la grandezza S si ripartisce in base a due o più variabili che assumono i valori a1,
b1, c1 …; a2, b2, c2 …; con esse sussiste un rapporto di proporzionalità diretta.
In base a quanto premesso, possiamo scrivere:
x : (a1 ⫻ a2) = y : (b1 ⫻ b2) = z : (c1 ⫻ c2) = …
da cui, applicando la proprietà del comporre, otteniamo:
(x + y + z + …) : (a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …) = x : (a1 ⫻ a2)
(x + y + z + …) : (a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …) = y : (b1 ⫻ b2)
(x + y + z + …) : (a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …) = z : (c1 ⫻ c2)
Sostituendo il primo termine con S si ha:
S : (a + b + c + …) = x : (a1 ⫻ a2)
S : (a + b + c + …) = y : (b1 ⫻ b2)
S : (a + b + c + …) = z : (c1 ⫻ c2)
da cui si ottengono le formule per determinare il valore delle incognite x, y, z …:
S
x=
⫻ (a1 ⫻ a2)
(a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …)
S
⫻ (b1 ⫻ b2)
(a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …)
S
z=
⫻ (c1 ⫻ c2)
(a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …)
y=
in cui il termine
S
(a1 ⫻ a2 + b1 ⫻ b2 + c1 ⫻ c2 + …)
è denominato coefficiente di riparto.
Pertanto, i problemi di riparto composto diretto si risolvono moltiplicando il coefficiente di riparto (Crip) per i prodotti dei valori assunti dalle diverse variabili:
x = Crip ⫻ (a1 ⫻ a2)
y = Crip ⫻ (b1 ⫻ b2)
z = Crip ⫻ (c1 ⫻ c2)
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Esempio
Andrea e Fabio hanno partecipato a un affare e intendono ripartire il guadagno di € 30.000 in base al denaro investito e al
tempo di impiego del denaro nell’affare.
Determiniamo la parte di guadagno spettante a ciascuno dei
due.
DENARO
INVESTITO
TEMPO DI IMPIEGO
DEL DENARO NELL’AFFARE
Andrea
€ 12.000
8 mesi
Fabio
€ 20.000
5 mesi
Si tratta di un problema di riparto:
composto: il riparto si effettua in base a due variabili: il denaro investito nell’affare e il tempo di impiego;
diretto: vi è proporzionalità diretta con entrambe le variabili.
•
•
Pertanto:
– S = € 30.000 (guadagno da ripartire)
– a1 = € 12.000
– b1 = € 20.000
– a2 = 8 mesi
– b2 = 5 mesi
– x = quota di guadagno spettante ad Andrea
– y = quota di guadagno spettante a Fabio
Determiniamo il coefficiente di riparto: Crip =
30.000
= 30.000 = 0,153061224
196.000
(12.000 ⫻ 8) + (20.000 ⫻ 5)
Moltiplichiamo il coefficiente di riparto rispettivamente per (a1 ⫻ a2) e (b1 ⫻ b2):
– 0,153061224 ⫻ (12.000 ⫻ 8) = € 14.693,88 quota di guadagno spettante ad Andrea
– 0,153061224 ⫻ (20.000 ⫻ 5) = € 15.306,12 quota di guadagno spettante a Fabio
€ 30.000,00 importo totale del guadagno
Nei riparti composti inversi, la grandezza S si ripartisce in base a due o più variabili con le quali vi è un rapporto di proporzionalità inversa.
In tal caso il coefficiente di riparto si calcola nel modo seguente:
S
(1/a1 ⫻ 1/a2) + (1/b1 ⫻ 1/b2) + (1/c1 ⫻ 1/c2) + …
Esempio
Un imprenditore intende ripartire un premio di € 45.000 tra due dipendenti in base al tempo impiegato e al numero
di errori commessi durante la produzione di un determinato articolo. Determiniamo la parte di premio spettante a
Facchetti e a Celloni.
TEMPO
IMPIEGATO
ERRORI
COMMESSI
Facchetti
10 ore
5
Celloni
15 ore
3
DIPENDENTE
Si tratta di un problema di riparto:
composto: le variabili in base alle quali si effettua il riparto sono due, il tempo impiegato e gli errori commessi;
inverso: all’aumentare sia del tempo impiegato sia degli errori commessi diminuisce la quota di partecipazione al
premio (proporzionalità inversa). Pertanto:
– S = € 45.000 (premio di produzione)
•
•
–
–
–
–
–
–
a1 =
b1 =
a2 =
b2 =
x =
y =
10 ore
15 ore
5 errori
3 errori
quota spettante a Facchetti
quota spettante a Celloni
Determiniamo il coefficiente di riparto:
Crip =
2/4
45.000
=
(1/10 ⫻ 1/5) + (1/15 ⫻ 1/3)
45.000
19/450
= 1.065.789,473
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Moltiplichiamo il coefficiente di riparto per (1/a1 ⫻ 1/a2) e (1/b1 ⫻ 1/b2):
– 1.065.789,473 ⫻ (1/10 ⫻ 1/5) = € 21.315,79 quota spettante a Facchetti
– 1.065.789,473 ⫻ (1/15 ⫻ 1/3) = € 23.684,21 quota spettante a Celloni
€ 45.000,00 importo totale del premio di produzione
°
°
esercizi
Riparti composti
**
1 Al 31/12/n l’utile di una società, pari a € 35.000, viene ripartito tra i soci in proporzione
al capitale sottoscritto e al tempo trascorso dal giorno del conferimento.
Calcola la quota di utile spettante a ciascun socio, sapendo che il capitale sociale è di
€ 400.000 e che:
– il socio Alberti partecipa per il 20% dall’1/4;
– il socio Rossi partecipa per il 50% dall’1/1;
– il socio Antoni partecipa per il 30% dall’1/1.
(Alberti € 5.526,32; Rossi € 18.421,05; Antoni € 11.052,63)
Riparti composti
**
2 Il responsabile del reparto di produzione di un’impresa industriale deve ripartire un premio annuo di € 12.000 tra gli operai in base ai ritardi accumulati nella consegna dei prodotti e al numero delle unità difettose prodotte.
Calcola la quota di premio spettante agli operai, tenendo conto dei seguenti dati:
OPERAI
RITARDO
ACCUMULATO
UNITÀ DIFETTOSE
PRODOTTE
Quantili
50 minuti
30
Sergi
46 minuti
38
Fidati
30 minuti
20
(Quantili € 2.753,48; Sergi € 2.362,82; Fidati € 6.883,70)
Riparti composti
**
Riparti composti
**
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3 Un’impresa industriale realizza i prodotti Alfa e Beta con l’impiego di un unico
macchinario che comporta costi per energia pari a € 35.900 e spese per manutenzione pari a € 2.000.
Calcola le quote di costo da attribuire a
ciascuna linea di prodotto, ripartendo
entrambi i costi in base alle ore lavorate
e al numero di prodotti ottenuti.
ORE
LAVORATE
PRODOTTI
OTTENUTI
Alfa
45
1.200
Beta
50
1.400
(Alfa € 16.504,84; Beta € 21.395,16)
4 Caccia agli errori
Due sorelle, Carla e Roberta, utilizzano in comune uno scooter ripartendo le spese
annue in proporzione diretta ai kilometri percorsi e al tempo di utilizzo.
Calcola la quota di spesa a carico delle due sorelle, sapendo che nell’anno n sono state
sostenute spese di assicurazione e bollo per € 600 e spese per il carburante pari a
€ 820. Carla ha percorso km 4.000 (1.400 ore di utilizzo) e Roberta km 6.500 (1.200 ore
di utilizzo).
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Si tratta di un riparto composto inverso:
700 + 820 = 1.420 spese da ripartire
1.420
(
) (
)
1
1
4.000 ⫻ ______
+ 6.500 ⫻ ______
1.400
1.200
=
1.420
= 0,00010597 coefficiente di riparto
13.400.000
Crip ⫻ 4.000 = € 539,43 quota di spesa spettante a Carla
Crip ⫻ 6.500 = € 826,60 quota di spesa spettante a Roberta
(Carla € 593,43; Roberta € 826,57)
Riparti composti
**
Riparti composti
**
5 L’industria Zacchetti produce le commesse XFR e YGT utilizzando un impianto per entrambe le produzioni. Sapendo che l’impianto comporta costi per
la forza motrice di € 4.500 e per la manutenzione di € 2.900, calcola le quote di costo da imputare alle due commesse ripartendo i costi in proporzione
al numero di prodotti ottenuti e alle ore
di funzionamento dell’impianto.
COMMESSA
PRODOTTI
OTTENUTI
ORE DI
FUNZIONAMENTO
XFR
500
60
YGT
900
90
(XFR € 2.000; YGT € 5.400)
6 Le famiglie Patetta e Franchi hanno concordato l’uso in comune di un’automobile per recarsi nel centro della città, ripartendo le spese in proporzione ai kilometri percorsi e alle
ore di utilizzo dell’auto.
Sapendo che sono state sostenute spese per il carburante pari a € 1.600 e spese di assicurazione e bollo per € 800, calcola la quota di spesa a carico di ciascuna famiglia
(Patetta: km 4.000 e 800 ore; Franchi: km 9.000 e 300 ore).
(Patetta € 1.301,70; Franchi € 1.098,30)
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