Avviso
Istituzioni di matematiche 2
La seconda prova intermedia si svolgerà martedı̀ 26
maggio 2008, dalle 16.30 alle 18.30
Diego Noja ([email protected])
28 aprile 2009
Le lezioni del corso terminano il giorno 11 maggio.
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Cognomi dalla A alla L: aula U6.5
Cognomi dalla M alla Z: aula U6.6
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Definizioni
Osservazioni sulla prima prova
intermedia
Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha un lato di lunghezza
doppia dei due lati ad esso adiacenti. Esiste un
triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero
“xxxxxxxxx”? Esiste un rombo “xxxxxxxxx”?
(Se rispondete si, disegnate un esempio; se rispondete
no, date una giustificazione.)
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Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha tre angoli di
60◦ . Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un
quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un trapezio
“xxxxxxxxx”?
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Definizioni
Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha quattro angoli consecutivi
di 30◦ . Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un
quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un pentagono
“xxxxxxxxx”?
Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha tre angoli consecutivi di
45◦ . Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero
“xxxxxxxxx”? Esiste un pentagono “xxxxxxxxx”? Un
esagono “xxxxxxxxx”?
Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha almeno tre lati consecutivi
uguali fra loro. Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un
quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un pentagono
“xxxxxxxxx”? Un esagono “xxxxxxxxx”?
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Isometrie del piano
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Isometrie del piano
Una trasformazione del piano è una corrispondenza
biunivoca tra i punti del piano.
Una isometria è una trasformazione f del piano che
lascia invariate le distanze.
In altre parole, una trasformazione f è una isometria
se per ogni coppia di punti P e Q del piano la
distanza tra P e Q è uguale alla distanza tra f (P ) e
f (Q).
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Esempi di isometrie
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Esempi di isometrie
Rotazione di angolo α attorno al punto O
Abbiamo visto i seguenti esempi
riflessione rispetto ad una retta r
–
α = 270◦ in senso orario = 90◦ in senso antiorario
Geogebra utilizza l’espressione “simmetrico
rispetto a una retta”
P′
rotazione di angolo α attorno al punto O
Q′
O
P
Q
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Rotazione di angolo α attorno al punto O
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Traslazione di vettore v
Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è
quella trasformazione che manda ogni punto del piano
P nel punto P ′ individuato dal fatto che il vettore
→
P P ′ abbia la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo
stesso verso di v.
α = 180◦ in senso orario
Q′
P′
P′
O
P
Q
Q′
P
Q
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Traslazione di vettore v
Traslazione di vettore v
Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è quella
trasformazione che manda ogni punto del piano P nel punto P ′
→
individuato dal fatto che il vettore P P ′ abbia la stessa direzione,
la stessa lunghezza e lo stesso verso di v.
P′
P
Q′
P′
Q
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Q′
P
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Q
un vettore è un segmento in cui si
sia stabilito qual è il primo estremo
e qual è il secondo estremo (una
“freccia”)
due vettori hanno la stessa
direzione se sono paralleli
due vettori paralleli hanno lo stesso
verso se la freccia “va dalla stessa
parte”
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Rigidità di una isometria
Come le similitudini, anche le isometrie sono trasformazioni
“rigide”:
Rigidità di una isometria
sapere come una isometria si comporta su un pezzo di piano,
anche molto piccolo, ci permette di sapere come questa
isometria si comporta su tutto il piano.
Quindi anche se le isometrie sono per definizione trasformazioni
di tutto il piano, è lecito considerarne l’azione solo su una
porzione di piano.
Più precisamente, sapere come una isometria si comporta su tre
punti non allineati ci permette di ricostruire il comportamento
dell’isometria su tutto il piano.
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Rigidità di una isometria
Supponiamo di avere tre punti A, B e C non allineati
e di conoscere le immagini A′ , B ′ e C ′ di questi tre
punti.
Dato un qualsiasi punto P è possibile determinare
univocamente l’immagine P ′ di P .
B
A
P
B
C′
′
A′
C
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Composizione di corrispondenze biun.
a1
a2
a3
a4
a1
a2
a3
a4
A
a1
a2
a3
a4
A
A
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a1
a2
a3
a4
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Composizione di trasformazioni
Comporre due corrispondenze biunivoche significa applicare in
sequenza prima una e poi l’altra in un ordine definito.
A
Composizione di isometrie
P′
a1
a2
a3
a4
A
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Date due trasformazioni, che chiamiamo f e g,
applicando prima la f e poi la g (cioè facendone la
composizione) otteniamo una nuova trasformazione.
La composizione di due isometrie è ancora una
isometria.
Per mostrare ciò occorre mostrare che per ogni
coppia di punti del piano A e B
se la prima isometria manda A in A′ e B in B ′
se la seconda isometria manda A′ in A′′ e B ′ in
B ′′
allora la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra
A′′ e B ′′
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Composizione di isometrie
Composizione di traslazioni
Basandoci solo sulla definizione di isometria siamo in
grado di mostrare che la composizione di isometrie è
una isometria.
La composizione di
traslazioni è ancora una
traslazione
L’ordine non ha importanza
Infatti, qualunque siano i punti A e B del piano, se la
prima isometria manda A in A′ e B in B ′ , allora per
le proprietà delle isometrie la distanza tra A e B è
uguale alla distanza tra A′ e B ′ .
Analogamente se la seconda isometria manda A′ in
A′′ e B ′ in B ′′ , allora si ha anche che la distanza tra
A′′ e B ′′ è uguale alla distanza tra A′ e B ′ , ovvero
alla distanza tra A e B.
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Composizione di riflessioni
L’ordine ha importanza
Che tipo di
trasformazione ottengo?
P′
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P
P
P′
P
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P
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P′
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