Osservazioni sulla prima prova intermedia
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Avviso Istituzioni di matematiche 2 La seconda prova intermedia si svolgerà martedı̀ 26 maggio 2008, dalle 16.30 alle 18.30 Diego Noja ([email protected]) 28 aprile 2009 Le lezioni del corso terminano il giorno 11 maggio. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 1 Cognomi dalla A alla L: aula U6.5 Cognomi dalla M alla Z: aula U6.6 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 2 Definizioni Osservazioni sulla prima prova intermedia Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha un lato di lunghezza doppia dei due lati ad esso adiacenti. Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un rombo “xxxxxxxxx”? (Se rispondete si, disegnate un esempio; se rispondete no, date una giustificazione.) CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 3 Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha tre angoli di 60◦ . Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un trapezio “xxxxxxxxx”? CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 4 Definizioni Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha quattro angoli consecutivi di 30◦ . Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un pentagono “xxxxxxxxx”? Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha tre angoli consecutivi di 45◦ . Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un pentagono “xxxxxxxxx”? Un esagono “xxxxxxxxx”? Un poligono è “xxxxxxxxx” se ha almeno tre lati consecutivi uguali fra loro. Esiste un triangolo “xxxxxxxxx”? Esiste un quadrilatero “xxxxxxxxx”? Esiste un pentagono “xxxxxxxxx”? Un esagono “xxxxxxxxx”? CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 5 Isometrie del piano CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 6 Isometrie del piano Una trasformazione del piano è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano. Una isometria è una trasformazione f del piano che lascia invariate le distanze. In altre parole, una trasformazione f è una isometria se per ogni coppia di punti P e Q del piano la distanza tra P e Q è uguale alla distanza tra f (P ) e f (Q). CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 7 Esempi di isometrie CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 8 Esempi di isometrie Rotazione di angolo α attorno al punto O Abbiamo visto i seguenti esempi riflessione rispetto ad una retta r – α = 270◦ in senso orario = 90◦ in senso antiorario Geogebra utilizza l’espressione “simmetrico rispetto a una retta” P′ rotazione di angolo α attorno al punto O Q′ O P Q CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 9 Rotazione di angolo α attorno al punto O CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 10 Traslazione di vettore v Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano P nel punto P ′ individuato dal fatto che il vettore → P P ′ abbia la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso di v. α = 180◦ in senso orario Q′ P′ P′ O P Q Q′ P Q CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 11 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 12 Traslazione di vettore v Traslazione di vettore v Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano P nel punto P ′ → individuato dal fatto che il vettore P P ′ abbia la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso di v. P′ P Q′ P′ Q CDL Scienze della Formazione Primaria Q′ P Istituzioni di matematiche 2 – pagina 13 Q un vettore è un segmento in cui si sia stabilito qual è il primo estremo e qual è il secondo estremo (una “freccia”) due vettori hanno la stessa direzione se sono paralleli due vettori paralleli hanno lo stesso verso se la freccia “va dalla stessa parte” CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 14 Rigidità di una isometria Come le similitudini, anche le isometrie sono trasformazioni “rigide”: Rigidità di una isometria sapere come una isometria si comporta su un pezzo di piano, anche molto piccolo, ci permette di sapere come questa isometria si comporta su tutto il piano. Quindi anche se le isometrie sono per definizione trasformazioni di tutto il piano, è lecito considerarne l’azione solo su una porzione di piano. Più precisamente, sapere come una isometria si comporta su tre punti non allineati ci permette di ricostruire il comportamento dell’isometria su tutto il piano. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 15 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 16 Rigidità di una isometria Supponiamo di avere tre punti A, B e C non allineati e di conoscere le immagini A′ , B ′ e C ′ di questi tre punti. Dato un qualsiasi punto P è possibile determinare univocamente l’immagine P ′ di P . B A P B C′ ′ A′ C CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 17 Composizione di corrispondenze biun. a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 A a1 a2 a3 a4 A A CDL Scienze della Formazione Primaria a1 a2 a3 a4 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 18 Composizione di trasformazioni Comporre due corrispondenze biunivoche significa applicare in sequenza prima una e poi l’altra in un ordine definito. A Composizione di isometrie P′ a1 a2 a3 a4 A Istituzioni di matematiche 2 – pagina 19 Date due trasformazioni, che chiamiamo f e g, applicando prima la f e poi la g (cioè facendone la composizione) otteniamo una nuova trasformazione. La composizione di due isometrie è ancora una isometria. Per mostrare ciò occorre mostrare che per ogni coppia di punti del piano A e B se la prima isometria manda A in A′ e B in B ′ se la seconda isometria manda A′ in A′′ e B ′ in B ′′ allora la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra A′′ e B ′′ CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 20 Composizione di isometrie Composizione di traslazioni Basandoci solo sulla definizione di isometria siamo in grado di mostrare che la composizione di isometrie è una isometria. La composizione di traslazioni è ancora una traslazione L’ordine non ha importanza Infatti, qualunque siano i punti A e B del piano, se la prima isometria manda A in A′ e B in B ′ , allora per le proprietà delle isometrie la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra A′ e B ′ . Analogamente se la seconda isometria manda A′ in A′′ e B ′ in B ′′ , allora si ha anche che la distanza tra A′′ e B ′′ è uguale alla distanza tra A′ e B ′ , ovvero alla distanza tra A e B. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 – pagina 21 Composizione di riflessioni L’ordine ha importanza Che tipo di trasformazione ottengo? P′ CDL Scienze della Formazione Primaria P P P′ P Istituzioni di matematiche 2 – pagina 23 P CDL Scienze della Formazione Primaria P′ Istituzioni di matematiche 2 – pagina 22
