Termodinamica
Fabrizio Margaroli
1
Termodinamica
La meccanica e’ utile a descrivere il comportamento di un corpo (sistema rigido) o
al piu’ di una coppia di corpi, ma non di un numero elevato
La natura offre sistemi con elevato numero di corpi ovunque
NA=6.022 X 1023
Come in fluidostatica/fluidodinamica, e’ possibile utilizzare un diverso approccio
(macroscopico) per descrivere il comportamento di un grande numero di corpi
(microscopici)
2
Sistemi complessi
3
Solidi
Fluidi/gas
•
•
•
•
Osservabili utili per la descrizione del
moto:
massa (quantita’ estensiva)
forza
energia (quantita’ estensiva)
•
•
Osservabili utili per la descrizione del
moto:
densita’ (quantita’ intensiva)
pressione
temperatura (quantita’ intensiva)
Perche’ queste quantita’ definiscano un
sistema termodinamico, esso deve trovarsi
in uno stato di equilibrio (cioe’ hanno gli
stessi valori in ogni porzione del gas).
P,V,T vengono chiamate variabili di stato.
Sistema chiuso: non scambia materia
Sistema isolato: non scambia ne’ materia ne’ energia
4
Principio 0 della termodinamica
Se un corpo A e’ in equilibrio con C,
e B e’ in equilibrio con C,
allora A e’ in equilibrio con B
it may be shown to follow that the condition for thermal equilibrium between several assemblies is the equality of a certain single-valued function of the
thermodynamic states of the assemblies, which may be called the temperature t, any one of the assemblies being used as a "thermometer" reading the
temperature t on a suitable scale.
5
Dilatazione termica
Si osserva infatti che un corpo soggetto ad un cambiamento di temperatura, varia il suo
volume. Questa variazione e’, almeno in ragionevoli intervalli di temperatura, lineare, pur
variando da corpo a corpo
V = V0 (1 + ↵ T )
V
=↵ T
V0
Siamo interessati a volte a studiare la
dilatazione lineare di un corpo, anziche’
volumica. Anche questa dipende
linearmente dalla variazione di
temperatura, attraverso un altro
coefficiente lambda
L = L0 (1 +
T)
↵=3
6
Il termometro
Strumento per misurare la temperatura. Come si costruisce un termometro?
Bisogna scegliere dei fenomeni che avvengano sempre alla stessa temperatura.
Le transizioni di fase si prestano bene allo scopo
Scala Celsius:
zero=T(congelamento H2O), 100=T(ebollizione H2O)
Scala Fahrenheit: zero=T(minima che Fahrenheit e’ riuscito ad ottenere in
laboratorio), 100=T(corpo umano)
9
TF = TC + 32
5
5
TC = [TF
9
32]
Si divide la scala in 100 parti uguali. Significa che conosco sostanze il cui volume
varia linearmente con la temperatura
Scala Kelvin:
zero=T(zero assoluto) e 273.2=T(congelamento H2O)
TK = TC + 273.2
TC = TK
273.2
7
!
Termometro a mercurio
Dilatazione termica puo’ essere approssimata come lineare:
V
=↵ T
V0
V = V0 (1 + ↵ T )
↵mercurio = 180 ⇥ 10
6
C
1
Variazione volumica molto piccola
!
Il grosso
del mercurio
sta qui!
H0=1cm H1=1cm
r = 0.1mm
8
Trasformazione isobara
•
Per un gas, parlare di espansione volumica non ha senso per se, perche’ il gas tende sempre
ad occupare tutto il volume disponibile. Se invece il gas e’ confinato dentro un contenitore, e
la pressione esterna esercitata sul contenitore e’ costante, ha senso utilizzare la relazione
(qui T e’ in Celsius, e per tutti i gas)
V = V0 (1 + ↵ T )
1
↵=
C
273.15
1
•
Questa espressione per un gas perfetto e’ nota come legge di Gay-Lussac (o legge di
Charles)
•
E’ interessante notare che (se non ci fosse liquefazione) appare una temperatura
mimina=-273C oltre il quale il volume non puo’ diminuire ulteriormente. Esempio: l’elio
liquefa a -269 e segue l’andamento qui sopra
9
Trasformazione isocora
•
Se facciamo variare la temperatura di un gas tenendolo a volume costante, otteniamo che la
pressione e’ funzione della temperatura cosi’ come nella seguente espressione
1
P = P0 (1 + ↵ T ) ↵ =
C
273.15
1
•
Seconda legge di Gay-Lussac (o legge di Amontons)
•
E’ interessante notare che (se non ci fosse liquefazione) appare una temperatura mimina=-273C
oltre il quale la pressione non puo’ diminuire ulteriormente. Esempio: l’elio liquefa a -269 e segue
l’andamento qui sopra
•
Zero T significa che le particelle del gas sono ferme. Ma questo viola il principio di
indeterminazione di Heisenberg
10
Altri termometri
Termometro a gas o
mercurio
Termometro a volume
costante
Si immerge il gas nel fluido di cui si
Non c’e’ bisogno di spiegazioni vuole misurare la temperatura, si
misura la differenza di altezza
11
Dunque necessitiamo di Kelvin
•
Se facciamo variare la temperatura di un gas tenendolo a volume costante, otteniamo
che la pressione e’ funzione della temperatura cosi’ come nella seguente espressione
dove
•
Per un gas, parlare di espansione volumica non ha senso per se, perche’ il gas tende
sempre ad occupare tutto il volume disponibile. Se invece il gas e’ confinato dentro un
contenitore, e la pressione esterna esercitata sul contenitore e’ costante, ha senso
utilizzare la relazione (qui T e’ in Celsius, e per tutti i gas)
•
Se scegliamo dunque ↵ = 1/T0 e T ! T
V = V0 (1 + ↵ T )
P = P0 (1 + ↵ T )
•
T0 allora le espressioni precedenti
diventano rispettivamente
T
P
P0
P = P0
!
=
T0
T
T0
T
V
V0
V = V0
!
=
T0
T
T0
Pf
Pi
=
Tf
Ti
Vf
Vi
=
Tf
Ti
12
FISICA APPLICATA
13
Trasformazioni isoterma
•
Se facciamo variare la pressione e il volume del gas, tenendo la temperatura costante,
otteniamo che il prodotto di P e V e’ costante: legge di Boyle-Mariotte
T = cost ! P V = cost
14
Trasformazioni termodinamiche
•
•
Un sistema termodinamico puo’ cambiare stato - subire trasformazioni - e questo
puo’ avvenire in due diversi modi:
•
in maniera cosi’ lenta da potersi considerare come una successione di stati di
equilibrio: trasformazione reversibile (idealizzazione)
•
in maniera rapida cosi’ che solo lo stato iniziale e siano di equilibrio:
trasformazione irreversibile
Una trasformazione reversibile puo’ essere riportata come una curva continua su un
grafico detto diagramma di fase. Il piano di Clapeyron e’ un caso particolare di
diagramma di fase, dove sulle ascisse c’e’ V e sulle ordinate c’e’ P
Isoterma
Isobara
15
Isocora
Equazione di stato dei gas perfetti
•
Le due leggi di Gay-Lussac e quella di Boyle-Mariotte descrivono la variazione di P,V,T di
un gas rarefatto, tenendo ciascuna fissa una delle tre quantita’
•
Prendiamo una transizione isoterma tra A e B
PA V A
PA V A = PB V B ! V B =
VB
•
VC
VB
=
e poi isobara tra B e C
TC
TB
•
VC
PA V A
=
mettendo insieme le due trasformazioni:
TC
PB T B
•
e dato che
PB = PC (lungo l’isobara) e TB = TA (lungo l’isoterma) si ha
PC V C
PA V A
PV
=
!
= cost
TC
TA
T
•
Si ricordi che A, B, C erano tre stati arbitrari del nostro gas, che possono essere presi
ovunque sul piano. La legge e’ dunque del tutto generale e rappresenta l’equazione di stato
dei gas perfetti
Gas perfetti
•
V e’ quantita’ estensiva, dunque la costante deve essere proporzionale alla quantita’ di
gas - numero molecole N. Costante di proporzionalita’ K di Boltzmann.
P V = N kB T
•
Alternativamente, possiamo introdurre l’unita’ di massa atomica (u)=1/12 massa
atomo C12=1.6605 10-27Kg, Na-numero di Avogadro e’ numero unita’ massa atomica
in 1g di sostanza =10-3 kg/1.6605 10-27 kg ~ 6.022 1023 e il numero di moli n e’
quantita’ di sostanza contenente NA costituenti elementari
N
n=
NA
se espressa in grammi, e’ pari alla massa molecolare, espresso in u
•
Dunque l’equazione dei gas perfetti diventa P V = N kB T = nNA kB T = nRT
•
Ne consegue che la relazione con la precedente e’ R=NAKB
•
m
⇢V
N = nNA = NA =
NA = 4.76 ⇥ 1020
u
u
17
18
Gas perfetti: costanti
19
Legge di Dalton
•
In natura e’ frequente trovare mescolamenti di gas (l’aria che respiriamo!)
•
Se due o piu’ gas perfetti occupano lo stesso volue, ciascuno esercita una pressione parziale
proporzionale alla sua concentrazione
N = N1 + N2 + ... =
m
X
Ni
i=1
•
La pressione totale puo’ dunque essere scritta come
m
m
X kB Ni T
X
kB N T
P =
=
=
Pi
V
V
i=1
i=1
kB Ni T
ni RT
Pi =
=
V
V
20
Esercizio
21
Teoria cinetica: assunzioni
Abbiamo descritto il comportamento di un gas (perfetto) a partire da un insieme di
osservazioni (Gay-Lussac,Boyle-Mariotte) che abbiamo successivamente sistematizzato in
un’unica equazione che lega caratteristiche macroscopiche del gas. Siamo interessati
come scienziati a capire la natura piu’ intima del fenomeno, a partire dal comportamento
dei singoli costituenti. Facciamo delle assunzioni:
1.
il gas e’ composto da N particelle, con N molto grande
2.
interagiscono tra loro e con recipienti attraverso urti elastici
3.
energia potenziale particelle (elettromagnetica) << di quella cinetica
4.
assumiamo particelle puntiformi - no energia cinetica rotazionale
5.
non agiscono forze esterne -> moto particelle isotropo
22
Teoria cinetica
1.
il gas e’ composto da N particelle, con N molto grande
2.
interagiscono tra loro e con recipienti attraverso urti elastici
3.
non agiscono forze esterne -> moto particelle isotropo
4.
energia potenziale particelle (elettromagnetica) << di quella cinetica
5.
assumiamo particelle puntiformi - no energia cinetica rotazionale
Che il gas sia composto da singole entita’ e’ gia’ apparente in varie osservazioni che abbiamo fatto. Esempio:
Ogni particella urta con le pareti del contenitore, e ad ogni collisione corrisponde una forze esercitata sulla
parete del contenitore -> pressione.
PV = nRT
maggiori le particelle (n) maggiore la pressione
se riduco il volume di un fattore due, avro’ doppia concentrazione di particelle e dunque il doppio degli urti, e
dunque il doppo della pressione.
Il fatto che il numero di particelle sia molto grande implica anche che le collisioni
esercitino una forza praticamente continua sul contenitore, dunque una pressione
costante
23
Teoria cinetica
1.
il gas e’ composto da N particelle, con N molto grande
2.
interagiscono tra loro e con recipienti attraverso urti elastici
3.
non agiscono forze esterne -> moto particelle isotropo
4.
energia potenziale particelle (elettromagnetica) << di quella cinetica
5.
assumiamo particelle puntiformi - no energia cinetica rotazionale
Impulso trasferito nell’urto dalla molecola alla parete.
I=
Z
F dt = F̄ t =
(mv)
(mv) = mvx
( mvx ) = 2mvx
Si prende qui il Deltat come il tempo che ci mette ad andare avanti e indietro nel
contenitore Deltat=2l/vx (l lunghezza sull’asse x del contenitore)
F̄ =
mv
2mvx
mv 2
=
=
t
2l/vx
l
E la forza totale esercitata dalle N particelle lungo la direzione x sara’
2
2
2
m 2
v
+
+v
+
...
+
v
m
x1
x1
2
2
2
xN
F = (vx1 + vx1 + ... + vxN ) che usando v̄x =
diventa F = N v̄x2
l
N
l
24
Teoria cinetica
1.
il gas e’ composto da N particelle, con N molto grande
2.
interagiscono tra loro e con recipienti attraverso urti elastici
3.
non agiscono forze esterne -> moto particelle isotropo
4.
energia potenziale particelle (elettromagnetica) << di quella cinetica
5.
assumiamo particelle puntiformi - no energia cinetica rotazionale
•
Moto isotropo consente di legare la velocita’ quadratica media alla velocita’
quadratica media lungo una sola direzione
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 e considerando che vx2 = vy2 = vz2 allora v 2 = 3vx2
•
Dunque inserendo l’ultima espressione dentro l’espressione della forza esercitata dal
gas lungo la direzione x otteniamo
m v2
F
m v2
1N
Forza totale F = N
Pressione totale P =
= N
=
mv 2
l
3
S
Sl 3
3V
25
Teoria cinetica
1.
il gas e’ composto da N particelle, con N molto grande
2.
interagiscono tra loro e con recipienti attraverso urti elastici
3.
non agiscono forze esterne -> moto particelle isotropo
4.
energia potenziale particelle (elettromagnetica) << di quella cinetica
5.
assumiamo particelle puntiformi - no energia cinetica rotazionale
Possiamo dunque inserire nella precedente espressione l’energia cinetica media
delle molecole del gas
1N
2N 1
2N
2
2
2
P =
mv =
mv =
K o analogamente P V = N K
3V
3V 2
3V
3
Siamo dunque giunti all’equazione dei gas perfetti PV=NkBT trovando che le
quantita’ fisica energia cinetica e’ legata alle temperatura attraverso la costante di
Boltzmann.
2
3
P V = N K e gia’ avevamo P V = N kB T dunque K = kB T
3
2
Piu’ esplicitamente: l’energia cinetica media di traslazione delle molecole in moto
casuale in un gas perfetto e’ direttamente proporzionale alla temperatura assoluta
del gas. Inoltre, questo comportamento spiega cosa significa T=0, e perche’ non
puo’ essere inferiore di zero.
26
Teoria cinetica
1.
il gas e’ composto da N particelle, con N molto grande
2.
interagiscono tra loro e con recipienti attraverso urti elastici
3.
non agiscono forze esterne -> moto particelle isotropo
4.
energia potenziale particelle (elettromagnetica) << di quella cinetica
5.
assumiamo particelle puntiformi - no energia cinetica rotazionale
Cosa cambierebbe se il sistema non fosse composto di oggetti puntiformi
(atomi) ma fossero piu’ complessi (molecole)? Intanto notiamo che il 3 qui dentro
3
K
=
k
T
B
emergeva dalla presenza di tre direzioni possibili nella
2 traslazione della
particella - tre gradi di liberta’.
Se ora consideriamo molecole biatomiche ad esempio, avremo due ulteriori
gradi di liberta’ corrispondenti alle due possibili direzioni di rotazione intorno a
se stessa.
Principio di equipartizione dell’energia: ad ogni grado di liberta’ corrisponde
1/2kT.
27
Interpretazione microscopica gas perfetto
gas monoatomico
Teoria cinetica: energia
cinetica gas monoatomico
= 3/2NkBT = 3/2nRT
28
Moto termico
29
Trascurare gravita’?
30
Esempi
energia cinetica media di un costituente di un gas
monoatomico
monoatomico di altra natura
biatomico
31
32
Termografia in medicina
Detezione tumori (incremento attivita’ sanguigna=piu’ calore localizzato)
Quarantena - controllo epidemia H1N1
33
