5 5.1 Casi di studio legati a proprietà termiche Componenti caratterizzati da bassa sensibilità a distorsioni termiche Gli strumenti per msiure di precisione, come i micrometri (Fig.5.1), devono essere progettati per minimizzare l’impatto di eventuali gradienti termici. Difatti, un componente soggetto a variazioni di temperatura lungo il suo corpo sarà soggetto a variazioni dimensionali, ovvero a distorsioni, che determinerebbero errori di misura. Immaginando una variazione di temperatura dT lungo un asse, per uno spostamento dx, avremo una deformazione termica differenziale secondo le equazioni: ๐(๐) = ๐0 โ ๐ผ โ (๐ − ๐๐ ) ๐(๐ + ๐๐) = ๐0 โ ๐ผ โ (๐ + ๐๐ − ๐๐ ) alla posizione x alla posizione x+dx Fig.5.1 – Esempio di micrometro per esterni analogico [http://www.directindustry.it/prod/mitutoyo/product-4906-593852.html] Con l indichiamo una generica quota geometrica, ad una certa temperatura, rispetto ad una condizione iniziale (lunghezza l0, temperatura T0). Il parametro ๏ก è naturalmente il coefficiente di espansione termica. La variazione infinitesima nella quota geometrica vale: ๐๐ = ๐(๐ + ๐๐) − ๐(๐) = ๐0 โ ๐ผ โ (๐ + ๐๐ − ๐๐ ) − ๐0 โ ๐ผ โ (๐ − ๐๐ ) = ๐0 โ ๐ผ โ ๐๐ Da definizione di deformazione unitaria: ๐๐ = ๐๐ = ๐0 ๐ผ โ ๐๐ Da cui l’espressione del gradiente di deformazione: ๐๐ ๐๐ฅ = ๐ผ โ ๐๐ ๐๐ฅ [equazione 1] Stante la differenza di temperatura, tra x e x+dx avremo trasmissione termica regolata dal flusso termico q (energia passante per unità di tempo e unità di superficie di interfaccia) regolato, in valore assoluto, da: |๐| = ๐ โ ๐๐ ๐๐ฅ [equazione 2] Dove λ è la conducibilità termica. Combinando le equazioni 1 e 2, otteniamo una nuova espressione del gradiente di deformazione: |๐| ๐ถ ๐๐ ๐๐ = ๐ผโ =๐ผโ = โ |๐| ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ ๐ Si può affermare che il gradiente di deformazione, ovvero il grado di sensibilità alla distorsione termica, è ridotto all’aumentare del rapporto: ๐ฐ= ๐ ๐ถ Tale ultimo indice, che potemmo definire come indice di resistenza alle distorsioni termiche, basato su due proprietà termiche, è di fondamentale importanza ingegneristica. Al fine di memorizzarlo al meglio è utile ricordare che: ๏ท Tensioni e quindi deformazioni termiche sono direttamente proporzionali al coefficiente di espansione termica; minimizzare ๏ก (ad es. nelle vetroceramiche Zerodur®, con ๏ก๏พ10-7 K-1, o nei 37 ๏ท vetri ULE, con ๏ก๏พ10-10 K-1) è un’indubbia soluzione per minimizzare le distorsioni termiche; la quantità a denominatore è quindi il parametro “decrescente” (da minimizzare); Un materiale ad alta conduttività termica può essere soggetto a riscaldamento differenziale; l’elevata conducibilità, tuttavia, comporta un rapido livellamento della temperatura e quindi delle possibilità di deformazione; la quantità a numeratore è quindi il parametro “crescente” (da massimizzare). Lo studio delle varie soluzioni viene di solito condotto su diagrammi bi-proprietà con il coefficiente di espansione termica sull’asse verticale e con la conducibilità termica sull’asse orizzontale (Fig.5.2); passando ai logaritmi avremo: ๐ฟ๐๐๐ผ = ๐ฟ๐๐๐ − ๐ฟ๐๐๐ผ ๐ฟ๐๐๐ผ = ๐ฟ๐๐๐ − ๐ณ๐๐๐ฐ I materiali meno sensibili alle distorsioni termiche sono collocati su rette di pendenza unitaria, posizionate in basso a destra del diagramma bi-proprietà; è pertanto consigliabile l’utilizzo dei seguenti materiali: ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท Silicio (utilizzato ad esempio nei sensori di microscopi a forza atomica, AFM, in Fig.5.3a) e Invar (lega Fe-Ni ottimizzata per un basso coefficiente di dilatazione termica, effettivamente utilizzata in meccanismi di orologi, Fig.5.3b): materiali collocati sulla linea per il valore di I più elevato; Carburo di silicio (SiC) e nitruro di alluminio (AlN): materiali caratterizzati da un coefficiente di dilatazione medio, ma anche da una conducibilità termica più che discreta (secondo meccanismo fononico); Leghe di tungsteno e carburo di tungsteno (WC); Leghe di rame (l’alto elevato coefficiente di dilatazione è compensato dalla ottima conducibilità termica); Leghe di alluminio (meno prestazionali delle leghe di rame, ma con lo stesso principio di ottimizzazione); La selezione effettiva non può prescindere dalla considerazione di altri aspetti come il costo, la fragilità (che limita l’adozione del silicio) e indici di rigidezza flessionale: ๏ท ๏ท I’=E1/2/ρ, per micrometri del tipo rappresentato in Fig.5.1 (è importante garantire la minima deformabilità meccanica, oltre alla minima deformabilità termica, e al contempo ridurre la massa); I’=E1/3/ρ, per pannelli del tipo rappresentato in Fig.2.8 (supporti per specchi di grandi dimensioni). L’ottimizzazione su un insieme di indici, e non ristretta ad un singolo indice, sarà sviluppata specificamente nel Cap.11. Fig.5.2 – Selezione di materiali a bassa sensibilità a distorsioni termiche in un grafico di coefficiente di dilatazione termica contro conducibilità termica [da M.F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Elsevier, Oxford 2005] 38 a b Fig.5.3 – Esempi di componenti fabbricati con materiali poco sensibili alle distorsioni termiche: a) sensore in silicio di microscopio a forza atomica AFM [https://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/current/postgraduate/regs/mpags/ex5/techniques/structural/afm/]; b)meccanismi di cronografo manuale in lega Invar o Elinvar (lega Fe-Ni analoga all’Invar, contenente Cr e caratterizzata da una bassa sensibilità del modulo elastico a variazioni di temperatura)[http://www.deployant.com/review-leroy-chronometre-a-tourbillon/] 5.2 Controllo del transitorio termico La conducibilità termica non è l’unica proprietà da considerare nella trasmissione termica, giacché tale parametro regola più propriamente solo i casi di stato stazionario, ovvero di trasferimento di calore tra due corpi o due ambienti, mantenuti indefinitamente alle condizioni di temperatura iniziali (corpo caldo come “sorgente infinita” di calore e corpo freddo come “recettore infinito” di calore). In molti casi reali, si discute una situazione di transitorio termico, ovvero di stato non stazionario: per effetto del trasferimento termico, almeno uno dei corpi o degli ambienti è soggetto nel tempo ad una variazione di temperatura. Ad esempio: ๏ท ๏ท Corpo caldo immerso in ambiente più freddo: man mano che il calore viene trasferito all’esterno, il corpo caldo diventa via via più freddo, fino all’equilibrio termico con l’ambiente (è il caso di oggetti dispersi in mare aperto: il mare, immensamente più grande di un qualsiasi oggetto immerso, non perviene a riscaldamento, mentre l’oggetto via via si raffredda); Corpo freddo a contatto con un ambiente più caldo: man mano che il calore viene trasferito, il corpo freddo si scalda, fino all’equilibrio termico (è il caso delle pareti di forni discontinui: una volta arrivati alla temperatura di lavoro, il trasferimento termico verso le pareti tende a scaldarle progressivamente); E’ utile ricordare, a questo punto, le leggi di trasferimento termico, evidenziando analogie e differenze con le leggi di trasferimento di materia (leggi di diffusione di Fick), nella seguente tabella: Stato Trasferimento di materia Stazionario Non stazionario ๐ฝ๐ฅ = −๐ท โ ๐๐ถ ๐๐ฅ ๐๐ถ ๐2๐ถ =๐ทโ 2 ๐๐ก ๐๐ฅ Trasmissione termica ๐ = −๐ โ ๐๐ ๐๐ฅ ๐๐ ๐2๐ =๐โ 2 ๐๐ก ๐๐ฅ Tab.5.1 – Leggi di diffusione e di trasmissione termica Il segno negativo nelle due equazioni di stato stazionario ha il compito di ricordare che: ๏ท Il flusso di materia (massa passante per una certa superficie di interfaccia, nell’unità di tempo) è direzionato da una zona dove una certa specie chimica è più abbondante ad una zona dove la stessa specie chimica è meno abbondante; ๏ท Il flusso termico q (energia termica passante per una certa superficie di interfaccia, nell’unità di tempo) si instaura tra un corpo/ambiente caldo verso un corpo/ambiente più freddo; Il coefficiente di diffusione D, espresso in m 2/s, regola sia il flusso di materia nel caso di stato stazionario sia l’equazione differenziale nel caso di stato non stazionario, come dimostrato dalle seguenti equazioni dimensionali: 39 ๐๐ [๐ฝ๐ฅ ] ๐๐ถ ๐2 2โ๐ ๐ [๐ฝ๐ฅ ] = [๐ท] โ [ ] → [๐ท] = = = ๐๐ถ ๐๐ ๐๐ฅ ๐ [ ] ๐๐ฅ ๐3⁄ ๐ ๐๐ ๐๐ถ 3⁄ [ ] 2 ๐ ๐๐ถ ๐ ๐ถ ๐2 ๐๐ก ๐ = [ ] = [๐ท] โ [ 2 ] → [๐ท] = 2 = ๐๐ ๐ ๐ถ ๐๐ก ๐๐ฅ ๐ [ 2 ] ๐3⁄ ๐๐ฅ ๐2 Nel caso termico, la situazione è diversa: ๐ฝ [๐] ๐๐ ๐ฝ ๐ 2โ๐ ๐ [๐] = [๐] โ [ ] → [๐] = = = = ๐พ ๐๐ ๐๐ฅ ๐ โ ๐พ โ ๐ ๐ โ๐พ [ ] ๐ ๐๐ฅ ๐๐ [ ] ๐พ⁄ ๐๐ ๐2๐ ๐2 ๐๐ก ๐ [๐] [๐] โ [ 2] → = 2 =๐พ = [ ]= ๐ ๐ ๐๐ก ๐๐ฅ ๐ ⁄๐2 [ 2] ๐๐ฅ Il coefficiente a ha la stessa unità di misura del coefficiente di diffusione D. Non a caso la proprietà a è denominata “diffusività termica”. La diffusività termica deriva dalla conducibilità termica, “modulata” dalla capacità termica per unità di volume, ovvero dal prodotto tra calore specifico Cp e densità: ๐= [๐] = [๐] [๐] · [๐ถ๐ ] ๐ ๐ · ๐ถ๐ = ๐ฝ ๐โ๐พโ๐ ๐๐ ๐ฝ · ๐3 ๐๐ โ ๐พ = ๐2 ๐ Fig.5.4 – Schemi di evoluzione termica (stato non stazionario) E’ possibile risolvere le equazioni differenziali per lo stato non stazionario solo in presenza di certe condizioni al contorno; nel caso termico, la Fig.5.4 rappresenta qualitativamente l’evoluzione temporale dei profili termici al variare del tempo, riguardanti interfacce tra un corpo/ambiente caldo immerso e un corpo/ambiente freddo molto più grande (recettore termico infinito: a seguito del flusso termico verso di esso la sua temperatura non cambia, ovvero è termicamente inerte) oppure tra un corpo/ambiente freddo e un corpo/ambiente caldo molto più grande (sorgente termica infinita: come nell’altro caso, a seguito del 40 flusso termico, in questo caso verso l’esterno, la temperatura non cambia, ovvero vige una condizione di inerzia termica). Possiamo definire una “distanza di propagazione dell’equilibrio termico” (x), che a sua volta identifica la posizione, all’interno dell’interfaccia, entro cui vige l’equilibrio termico con il corpo/ambiente termicamente inerte. Tale distanza vale, in buona approssimazione: ๐ฅ ≅ √2๐ โ ๐ก Si può affermare, sempre in buona approssimazione, che il corpo/ambiente soggetto a variazioni termiche, è in equilibrio con il corpo/ambiente termicamente inerte allorché x=w (interfaccia “termicamente sforata”), dopo un certo tempo limite tlim: ๐ฅ(๐ก๐๐๐ ) ≅ √2๐ โ ๐ก๐๐๐ = ๐ค ๐ค2 ๐ก๐๐๐ = 2๐ 5.2.1 Contenitori isotermici Un contenitore è “isotermico” allorché assicura il mantenimento di certe condizioni termiche, al suo interno, per un tempo adeguatamente lungo. Gli esempi sono numerosi, ma per brevità ci limiteremo ai seguenti: ๏ท ๏ท ๏ท Contenitori per cibi caldi/freddi: può essere interessante mantenere cibi caldi per più tempo possibile “allo stato di preparazione” (ad es. almeno per il tempo di viaggio da un ristorante per asporto a casa); per mezzo del contenitore è quindi necessario contrastare la trasmissione termica dal cibo verso l’ambiente circostante, a temperatura non uniforme ma comunque più bassa rispetto a quella del cibo; per cibi freddi si configura una situazione simmetrica, ovvero è necessario contrastare la trasmissione termica dall’ambiente circostante verso il cibo (ad es. per cibi surgelati si cerca di non pervenire a scongelamento durante il viaggio da un supermercato a casa); Radiofari (Fig.5.5): ogni membro dell’equipaggio di aerei militari è dotato di un radiofaro (radio beacon, in inglese); si tratta di un trasmettitore radio omnidirezionale in grado di fornire continuamente un segnale su una specifica frequenza, ai fini della localizzazione in caso di emergenza; attraverso il contenitore è necessario assicurare un certo tempo minimo di funzionamento anche in condizioni estreme, ad es. in caso di immersione in acqua a 4 °C (temperatura media oceanica); se la temperatura all’interno del contenitore si abbassa al di sotto di una certa soglia, infatti, il funzionamento del radiofaro risulta compromesso; Mute subacquee: una muta da sub è in sostanza un contenitore isotermico, atto a mantenere per più tempo possibile la temperatura del corpo sopra una certa soglia, a fronte dell’immersione in un ambiente più freddo (e termicamente inerte). Fig.5.5 – Schema di radiofaro [da M.F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Elsevier, Oxford 2005] e collegamento con la situazione di transitorio termico di Fig.5.4 In tutti i casi è evidente che la situazione ottimale corrisponde a tempi limite quanto più lunghi possibile. Se non si può operare attraverso la geometria (azione sulla struttura), ovvero aumentando lo spessore dell’interfaccia w (spessore del contenitore), non resta che agire sul materiale ovvero sulla diffusività termica a, minimizzandola. La diffusività è un indice della sensibilità ai transitori termici. E’ vero che la struttura potrebbe essere organizzata in modo da annullare, praticamente, il contributo dei materiali, nel caso in cui il contenitore sia costituito da due pareti, con frapposto il vuoto (principio del vaso di Dewar); la soluzione è altamente efficiente (nel vuoto la trasmissione termica avviene solo per irraggiamento), ma non si presta a tutte le applicazioni (è impensabile adottare la soluzione per i radiofari o per le mute). 41 La Fig.5.6 mostra il diagramma diffusività/conducibilità termica, che consente l’effettiva selezione di materiali caratterizzati da una bassa sensibilità ai transitori termici. Abbastanza sorprendentemente le schiume polimeriche, ben note per il largo utilizzo nel campo dell’isolamento termico, non rappresentano la scelta migliore. Sono infatti caratterizzate dalla minima conducibilità termica, utile per ostacolare il trasferimento termico in condizioni di stato stazionario, ma non dalla minima diffusività, che compete a elastomeri, come il neoprene (poli-cloroprene), l’isoprene (poli-isoprene, analogo della gomma naturale) e la gomma butilica. Fig.5.6 – Selezione di materiali a bassa sensibilità a transitorio termico in un grafico di coefficiente di conducibilità termica contro diffusività [da M.F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Elsevier, Oxford 2005] a b c Fig.5.7 – a) Contenitore isotermico per alimenti in neoprene [http://www.chinaseniorsupplier.com/]; b) mute subacquee in neoprene [www.ilovepescasub.com]; c) contenitore isotermico per alimenti in polipropilene espanso [http://www.polibox.com/en/polibox.html] La Fig.5.7 mostra, a supporto della selezione, contenitori isotermici per cibi (Fig.5.7a) e mute subacquee (Fig.5.7b) in neoprene. Nella realtà la selezione è un po’ più raffinata. La Fig.5.6 corrisponde ad un insieme di soluzioni limitato (corrispondente al livello 2 del database Cambridge Engineering Selector), caratterizzato da una non ottimale definizione del sotto-insieme delle schiume polimeriche flessibili (flexible polymer foams). Dall’osservazione del diagramma, in base alla diffusività termica, tale classe di schiume risulta non interessante ai fini della resistenza ai transitori termici. In realtà, le schiume rappresentate sono le schiume elastomeriche altamente flessibili, utilizzate ad esempio nelle imbottiture di poltrone e sedili, a celle aperte. In diagramma in Fig.5.8, ristretto alle schiume (di ogni materiale di base) e agli elastomeri termoplastici o reticolati (termoindurenti), ma alla massima risoluzione (livello 3 del database Cambridge Engineering Selector), mostra come talune schiume flessibili (poliuretaniche), ma a celle chiuse, possano offrire una discreta alternativa agli elastomeri. E’ evidente che l’“architettura” delle schiume (pori aperti o no) modifica profondamente le applicazioni, a parità di costituenti e di porosità totale; nel caso di celle chiuse non è trascurabile l’impatto sulle proprietà termiche, del gas contenuto nelle celle stesse (che può trasmettere calore principalmente per convezione). Riassumendo: 42 ๏ท I pori diminuiscono la conducibilità termica, rispetto al solido di base, a patto di considerare correttamente il contributo del gas e dell’architettura (in una schiuma a celle aperte la convezione è favorita); ๏ท I pori abbassano anche la densità, rispetto al solido di base; il calore specifico è nuovamente condizionato dalla natura plurifasica (solido e gas intrappolato). L’ottimizzazione della diffusività deriva quindi da un delicato equilibrio, alla base dell’adozione, nelle mute subacquee, di neoprene a celle chiuse (contenenti azoto) e non di neoprene “monolitico”. La Fig.5.8 segnala, infine, la buona prestazione in termini di diffusività termica di talune schiume polimeriche rigide, effettivamente utilizzate, come illustrato dalla Fig.5.7c, per contenitori isotermici per cibi. Come già visto nel paragrafo 5.1, la selezione effettiva non riguarda una singola funzionalità; la schiuma polimerica, benché meno prestazionale rispetto alla gomma, in termini di diffusività, presenta un 10 migliore indice di rigidezza (I=E1/3/ρ), per la costruzione di pannelli. Alumina foam (99.8%)(1.2) Styrene butadiene rubber (SBR, 30% carbon black) Alumina foam (99.8%)(0.8) Thermal conductivity (W/m.°C) Polychloroprene (CR, 17-50% carbon black) Silicone (VMQ, thermally conductive, 40-70% mineral) Alumina foam (99%)(0.825) 1 Nitrile rubber, hydrogenated (HNBR) Aluminum Epichlorohydrin rubber (CO, unreinforced) Cordierite foam (0.5) Polychloroprene (CR, unreinforced) Mullite foam (0.70) Graphite foam (0.12) Acrylic rubber (ACM, unreinforced) Silicone, phenyl-type (PVMQ, heat cured,10-30% fumed silica) Butyl / halobutyl rubber (IIR, unreinforced) PE-HD foam (cross linked, closed cell, 0.080) 0,1 PVC-elastomer (Shore A35) PE foam (cross-linked, closed cell, 0.080) Carbon foam (retic ABS foam (structural, 0.85) PS foam (closed cell, 0.020) PS foam (structural, 0.8) Styrene acrylonitrile foam (closed cell, 0.315) Polyurethane foam (flexible, closed cell, 0.16) Melamine foam (0.01 PVC cross-linked foam (rigid, closed cell, DH 0.045) PVC cross-linked foam (rigid, closed cell, KR 0.030) Styrene acrylonitrile foam (closed cell, 0.148) Phenolic foam (closed cell, 0.035) Polyurethane foam (flexible, closed cell, 0.08) 0,01 1e-8 1e-7 1e-6 Thermal conductivity/(Density*Specific heat capacity) Fig.5.8 – Grafico di coefficiente di conducibilità termica contro diffusività termica, ricavato attraverso CES EduPack 2015 (rappresentazione dei dati ristretta ai sottoinsiemi: i) schiume, in verde; ii) elastomeri reticolati, in celeste; iii) elastomeri termoplastici, in rosso – in evidenza, in arancione, il neoprene confrontato con alcune schiume polimeriche a bassa diffusività) Nota di progettazione – Schiume come materiali compositi: Considerando la conducibilità termica del solido λ0 e la conducibilità termica totale del gas (conduzione e convezione) λ G, la conducibilità di un materiale ad alta porosità P (ovvero di un cosiddetto “solido cellulare”), può essere descritta dall’equazione: 1 ๏ฌ ๏ฝ ๏ ๏จ1 ๏ญ P๏ฉ ๏ซ 2 ๏ (1 ๏ญ P)1.5 ๏ ๏ฌ 0 ๏ซ P ๏ ๏ฌ G 3 I solidi cellulari per isolamento termico sono tipicamente a celle chiuse. L’equazione conducibilità/porosità è una delle tipiche “equazioni costitutive” per materiali compositi: una generica proprietà è definita come funzione della stessa proprietà, valutata per i costituenti (o fasi, in questo caso un solido e un gas), e delle quantità dei costituenti stessi (P esprime la frazione volumetrica della fase gassosa). L’espressione funzionale specifica dipende dall’architettura, ovvero dalla distribuzione e dalla morfologia delle fasi. ๏ 5.3 ๏ Combinazioni di conducibilità e diffusività termiche Le due proprietà che regolano il trasferimento termico nei solidi sono importanti anche combinate tra loro. Il grafico bi-proprietà fornito in Fig.5.6 o in Fig.5.8 è di grande importanza anche in virtù di linee di selezione oblique, corrispondenti ad uno specifico indice, da massimizzare o minimizzare, discusso nei seguenti casi di studio. 43 5.3.1 Forni discontinui ad alta efficienza energetica Si consideri un forno discontinuo per la sinterizzazione di porcellane (pottery kiln) del tipo illustrato in Fig.5.9. Il trattamento termico comporta il riscaldamento dell’interno del forno ad una temperatura di lavoro Ti (temperatura interna), mantenuta per un certo tempo t, molto superiore alla temperatura ambiente T0. Se si intende ottimizzare l’efficienza energetica dell’apparecchiatura, bisogna in primo luogo osservare che questa non dipende solo dalla conduzione termica attraverso le pareti. E’ vero che per il tempo di lavoro t possiamo considerare un fenomeno di dispersione di calore per conduzione attraverso le pareti allo stato stazionario, ma questo rappresenta solo una parte delle forme di dissipazione energetica operanti. Difatti, una non trascurabile parte dell’energia termica viene dispersa nel riscaldamento delle pareti, caratterizzate da una certa capacità termica. Fig.5.9 – Esempio di forno discontinuo per la cottura di porcellane (http://www.essexkilns.co.uk/ceramickilns-front-loading) Quantifichiamo nell’ordine i due fenomeni di dispersione: ๏ท Conduzione: il calore disperso per conduzione, espresso per unità di superficie di parete, deriva dall’integrazione dell’espressione di flusso termico allo stato stazionario per il tempo di lavoro; per uno spessore di parete w: ๐ = −๐ โ ๐๐๐๐๐ [= ๏ท {๐๐๐๐๐๐๐} ๐๐ ๐๐ − ๐0 = ๐โ [= ] {๐ก๐๐๐๐}{๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐} ๐๐ฅ ๐ค ๐ก ๐ก {๐๐๐๐๐๐๐} ๐๐ − ๐0 ] = ∫ ๐ โ ๐๐ก = ๐ โ ∫ ๐๐ก = ๐ โ โ๐ก {๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐} ๐ค 0 0 Riscaldamento: le pareti hanno, in partenza, una certa energia termica, con ogni elemento posto a temperatura ambiente; con l’esercizio, la faccia interna delle pareti raggiunge la temperatura di lavoro, mentre la faccia esterna può essere considerata, per semplicità, ancora alla temperatura ambiente. Se le pareti fossero passassero integralmente da T 0 a Ti, l’assorbimento di calore per unità di superficie sarebbe regolato da: ๐๐๐๐ ๐ [= {๐๐๐๐๐๐๐} ] = ๐ถ๐ โ ๐ โ ๐ค โ (๐๐ − ๐0 ) {๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐} Assumendo un riscaldamento progressivo da T0 a Ti, lungo lo spessore w, otteniamo invece: ๐๐๐๐ ๐ [= {๐๐๐๐๐๐๐} ๐๐ − ๐0 ] = ๐ถ๐ โ ๐ โ ๐ค โ {๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐} 2 A rigor di logica dovremmo considerare anche le fasi di riscaldamento e di raffreddamento, studiando la temperatura interna Ti come funzione del tempo Ti(t), ma rimaniamo in condizioni di semplicità (le due espressioni di dispersione termica non avrebbero variazioni sostanziali). Il calore disperso totale (per unità di superficie di parete) deriva dalla sovrapposizione degli effetti: ๐๐๐๐ ๐ [= {๐๐๐๐๐๐๐} ๐๐ − ๐0 ๐๐ − ๐0 ] = ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ ๐ = ๐ โ โ ๐ก + ๐ถ๐ โ ๐ โ ๐ค โ {๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐} ๐ค 2 44 ๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐ ๐ (๐ค) Data la particolare dipendenza funzionale dallo spessore w, possiamo individuare uno spessore ottimale tale da minimizzare il calore disperso totale; il minimo di una funzione corrisponde all’annullamento della derivata: ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ค = −๐ โ − ๐๐ −๐0 ๐ค2 โ ๐ก + ๐ถ๐ โ ๐ โ ๐๐ −๐0 2 =0 per w=๐ค ฬ ๐ ๐ ๐ โ ๐ก + ๐ถ๐ โ = 0 → ๐ค ฬ = √2 ๐ก ๐ค ฬ2 2 ๐ถ๐ โ ๐ Dalla definizione, le proprietà del materiale possono essere riunite nella diffusività termica: ๐ค ฬ = √2๐๐ก Calcolando il calore disperso per tale spessore ottimale, otteniamo ovviamente il minimo valore di calore disperso: (๐๐๐๐ ๐ )๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ (√2๐๐ก) = ๐ โ ๐๐ − ๐0 √2๐๐ก โ ๐ก + ๐ถ๐ โ ๐ โ √2๐๐ก โ ๐๐ − ๐0 2 ๐ก ๐ ๐ก ๐ ๐ (๐๐๐๐ ๐ )๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ (√2๐๐ก) = (๐๐ − ๐0 ) โ √ โ ( + ๐ถ๐ โ ๐ โ √๐) = (๐๐ − ๐0 ) โ √ โ ( + โ √๐) 2 √๐ 2 √๐ ๐ ๐ก ๐ ๐ (๐๐๐๐ ๐ )๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ (√2๐๐ก) = (๐๐ − ๐0 ) โ √ โ ( + ๐ถ๐ โ ๐ โ √๐) = (๐๐ − ๐0 ) โ √2๐ก โ ( ) 2 √๐ √๐ ๐ ๏ฎ (๐๐๐๐ ๐ )๐๐๐ = ๐น๐๐๐๐๐ ๐ โ ( ) √๐ ๐ ๐ธ๐ ๐๐๐ ≥ ๐ญ๐บ๐ธ๐ ๐๐๐ โ ( ) √๐ La dispersione di calore sarà tanto più bassa quanto più alto sarà l’indice: √๐ ๐ฐ= ๐ L’espressione è linearizzata ai logaritmi così: 1 ๐ฟ๐๐๐ผ = ๐ฟ๐๐๐ − ๐ฟ๐๐๐ 2 ๏ฎ 1 ๐ฟ๐๐๐ = 2 ๐ฟ๐๐๐ − ๐ณ๐๐๐ฐ Fig.5.10 – Selezione di materiali per forni discontinui ad alta efficienza in un grafico di coefficiente di conducibilità termica contro diffusività [adattato da M.F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Elsevier, Oxford 2005] Il grafico di Fig.5.10 mostra la procedura di selezione grafica. Le schiume e gli elastomeri sono altamente efficaci, anche secondo il nuovo criterio di selezione, tuttavia va segnalato che la temperatura massima di 45 esercizio, per tali materiali, è di gran lunga più bassa rispetto a quella di forni per ceramici. Trascurando i materiali con temperatura massima di esercizio sotto i 150 °C, otteniamo come materiali ottimali i comuni mattoni in laterizio, con I pari a circa 10-3 m2·K/(W·s0.5); dalla diffusività (coordinata orizzontale del grafico) e dai tempi di esercizio comuni lo spessore ottimale ๐ ฬ risulta dell’ordine di 90-100 mm, in buon accordo con la pratica industriale (Fig.5.9). Ovviamente saranno adottati più propriamente mattoni per forno “tecnici”, ovvero in refrattario; i refrattari migliori (non mostrati nel diagramma, per semplicità) sono caratterizzati da valori di I pari a circa 3 volte superiore a quello dei laterizi (circa 3 10 -3 m2·K/(W·s0.5)). a b Fig.5.10 – Riscaldamento solare passivo: a) schema costruttivo; b) selezione dei materiali più appropriati per la parete in un grafico di coefficiente di conducibilità termica contro diffusività [adattato da M.F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Elsevier, Oxford 2005] 5.3.2 Pareti per riscaldamento solare passivo Riprendiamo il concetto di transitorio termico per una breve discussione in merito a dispositivi per riscaldamento solare passivo, schematizzati in Fig.5.11a, in abitazioni “eco-sostenibili”. Si tratta di pareti in cui l’esposizione al sole è mirata ad un significativo riscaldamento, di giorno; di notte, il calore assorbito viene distribuito agli ambienti interni (ad es. attraverso un sistema di ventole), in sostituzione o a supporto di altre forme di riscaldamento. La singola parete è, in pratica, un “serbatoio termico” da riempire nelle ore diurne. Il riempimento ottimale corrisponde al raggiungimento dell’equilibrio termico tra la faccia esterna (riscaldata rapidamente, in quanto direttamente esposta) e la faccia interna; da quanto discusso in precedenza, ciò si verifica allorché per il tempo di esposizione si arriva a “sforamento” dell’interfaccia termica, ovvero il tempo di esposizione tesp uguaglia il tempo limite, a sua volta legato allo spessore: ๐ฅ(๐ก๐๐๐ ) ≅ √2๐ โ ๐ก๐๐๐ = ๐ค ๐ค2 ๐ก๐๐๐ = = ๐ก๐๐ ๐ 2๐ Il calore assorbito (per unità di superficie), per una differenza di temperatura ΔT (tra esterno, “sorgente infinita” nelle ore diurne, e l’interno), vale: ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ = ๐ถ๐ โ ๐ โ ๐ค โ โ๐ = ๐ถ๐ โ ๐ โ √2๐ โ ๐ก๐๐ ๐ โ โ๐ = ๐ถ๐ โ ๐ โ √๐ โ √2๐ก๐๐ ๐ โ โ๐ ๐ ๐ โ √๐ โ √2๐ก๐๐ ๐ โ โ๐ = โ √2๐ก๐๐ ๐ โ โ๐ ๐ √๐ ๐ = ๐น๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ โ √๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ = ๐ถ๐ โ ๐ โ √๐ โ √2๐ก๐๐ ๐ โ โ๐ = ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ 46 In questo caso l’indice da massimizzare è l’inverso di quello precedente, per cui potremo utilizzare la stessa linea di selezione, ma con una direzione di selezione opposta; matematicamente: ๐ ๐ฐ= √๐ 1 1 ๐ฟ๐๐๐ผ = ๐ฟ๐๐๐ − ๐ฟ๐๐๐ ๏ฎ ๐ฟ๐๐๐ = ๐ฟ๐๐๐ + ๐ณ๐๐๐ฐ 2 2 Imponendo una esposizione solare di 12 ore (tesp=12 h) e uno spessore di parete non superiore a 50 cm, otteniamo una seconda espressione riguardante la sola diffusività: ๐ค = √2๐ โ ๐ก๐๐ ๐ = √2๐ โ (12 โ) ≤ 50 ๐๐ (50 ๐๐)2 0.25 ๐2 ๐๐ −๐ ๐≤ = ≅ ๐ โ ๐๐ 2 โ (12 โ) 24 โ 3600 ๐ ๐ Le soluzioni ottimali sono nel riquadro in alto a sinistra di Fig.5.11b. Il calcestruzzo e le pietre naturali (più costose) rappresentano le soluzioni più praticabili, con indici superiori a 2·103 W·s0.5/(m2·K). Il titanio e le sue leghe, benché caratterizzati da indici molto elevati (di oltre 4·103 W·s0.5/(m2·K)) sono improponibili in termini economici. 5.4 Integrazioni Ottimizzazione dei grafici attraverso CES L’adozione del software CES comporta una certa libertà nel posizionamento degli assi. Per l’indice di resistenza alle distorsioni termiche possiamo ritornare alla situazione più comune, con linee di selezione per i materiali migliori posizionate in alto a sinistra, operando con la conducibilità termica sull’asse verticale e il coefficiente di espansione termica sull’asse orizzontale (Fig.5.12): ๐ฟ๐๐๐ผ = ๐ฟ๐๐๐ − ๐ฟ๐๐๐ผ ๐ฟ๐๐๐ = ๐ฟ๐๐๐ผ + ๐ณ๐๐๐ฐ Silver Gold Copper Silicon Aluminum nitride Cast magnesium alloys Boron carbide Thermal conductivity (W/m.°C) Non age-hardening wrought Al-alloys Tungsten alloys Brass 100 Silicon nitride 10 Bronze Silicon carbide Alumina Stainless steel Cast iron, ductile (nodular) Marble 1 Silica glass CFRP, epoxy matrix (isotropic) 0,1 1 10 100 Thermal expansion coefficient (µstrain/°C) Fig.5.12 – Confronto tra diversi materiali in termini di sensibilità alle distorsioni termiche, con scale invertite rispetto alla Fig.5.2 [grafico elaborato con CES EduPack 2015, livello 2] Ottimizzazione di componenti ceramici in funzione dello shock termico Gli stress termici sono definiti per una condizione di differenze di temperatura “statiche” (come nel caso di una lastra tra due ambienti diversi) o “quasi statiche” (variazione graduale della temperatura). Quando la variazione di temperatura è quasi istantanea (per esempio trasportando velocemente un materiale da un ambiente ad una certa temperatura a un altro a temperatura diversa) è più appropriato riferirsi ad una condizione di shock termico. Il caso più pericoloso, per buona parte dei materiali fragili, è il brusco raffreddamento: la parte esterna si raffredda più velocemente e tende a contrarsi; dato che la contrazione è impedita dall’interno ancora caldo, si sviluppano tensioni di trazione che possono portare alla rottura del componente. Naturalmente, il regime di sforzo dipende dalla “stabilità” del gradiente 47 termico tra interno ed esterno: se la conducibilità termica del materiale è elevata, le differenze di temperatura sono molto limitate. Per una valutazione comparativa tra materiali diversi, è utile il parametro di shock termico (thermal shock parameter o TSP). ๏ฌ ๏ ๏ณrott TSP ๏ฝ E๏๏ก dove λ è la conducibilità termica e σrott è il carico di rottura a trazione. Quanto più alto è il TSP, tanto più un materiale è affidabile nel caso di shock termici. E’ evidente, come nel caso dell’indice di resistenza alle distorsioni termiche, la raccolta di parametri “favorevoli” a numeratore e “sfavorevoli” a denominatore. Per completezza, lo shock termico può essere valutato anche attraverso altri parametri, quali: (1 ๏ญ 2๏ฎ ) ๏ ๏ณrott RST ๏ฝ E๏๏ก ๏ฌ ๏ K IC RH ๏ฝ E๏๏ก RST rappresenta il salto termico massimo in condizioni di vincolo triassiale: effettivamente l’interno più caldo fa da vincolo, nell’impedire la contrazione dell’esterno più freddo (in condizioni di shock termico il materiale quindi si “autovincola”). Il parametro non indica però la “transitorietà” tipica dello shock termico (il gradiente di temperatura nello shock termico, come già visto, non è mantenuto indefinitamente, altrimenti si tratta propriamente di stress termici). La sensibilità allo shock termico di diversi materiali può essere valutata empiricamente effettuando prove di resistenza meccanica prima e dopo lo shock, anche effettuando cicli di riscaldamento e raffreddamento multipli. Più sono bassi i valori dei parametri di shock termico, più la resistenza meccanica degrada ciclo dopo ciclo, per progressiva criccatura del materiale. E’ possibile rappresentare il TSP o gli altri parametri come indice di selezione, attraverso CES; con tale software è infatti possibile rappresentare, sugli assi, non solo proprietà ma anche combinazioni (es. prodotto λ·σf contro prodotto E·๏ก, in Fig.5.13). 1e7 Diamond Graphite (pyrolytic)(2.06)(parallel to plane) Silicon carbide (reaction bonded) 1e6 Silicon nitride (hot pressed)(5%MgO) Thermal conductivity*Yield strength (elastic limit) Silicon 100000 Germanium Carbon (recrystallized)(parallel to plane) Graphite (pyrolytic)(2.19)(parallel to plane) Graphite (pure) Beryllia (99) Tungsten carbide Boron carbide (HIP) Graphite (1.82) 10000 Boron nitride (HIP) Carbon (recrystallized)(perpendicular to plane) Glass ceramic - 0330 1000 Graphite (premium industrial)(perpendicular to plane) Silicon nitride (reaction bonded) Boron nitride (hot pressed) (commercial purity) Glass ceramic - 9608 Titanium silicate 100 Glass ceramic (ZD) Ceramici meno sensibili a shock Silica (quartz fused) Mullite (Al2O3-SiO2 alloys) Silica (fused) 10 TSP Glass ceramic - slipcast 1 0,1 0,01 0,1 1 10 100 1000 Thermal expansion coefficient*Young's modulus Fig.5.13 – Confronto tra diversi materiali ceramici in termini di TSP [grafico elaborato con CES EduPack 2015, livello 3] Riferimenti bibliografici ๏ง M.F. Ashby, “Materials Selection in Mechanical Design”, Elsevier, Oxford (UK), 3rd edition, 2005. ๏ง CES EduPack 2015 [http://www.grantadesign.com/news/2015/edupack2015.shtml] ๏ง Proprietà delle vetroceramiche Zerodur [https://www.pgo-online.com/intl/katalog/zerodur.html] ๏ง Proprietà dei vetri ULE [https://www.pgo-online.com/intl/katalog/ule.html] ๏ง M. Guglielmi, “Dispense di Scienza e Tecnologia dei Materiali Ceramici (per il Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali)”, Biblioteca Centrale di Ingegneria, Padova 2002. ๏ง M.W. Barsoum, “Fundamentals of Ceramics”, Institute of Physics, London 2003. 48