SOLUZIONI DELL`EQUAZIONE DI LAPLACE - cm

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
35
Unità 3
SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DI LAPLACE
Coordinate Sferiche e Cilindriche
Introduzione
La soluzione di un problema elettrostatico è completa se la distribuzione di carica è specificata
ovunque. In tal caso, il potenziale e il campo elettrostatici sono dati direttamente come integrali
sulla distribuzione di carica:
⌠ dq ′
,

4π ε 0 ⌡ | r − r ′ |
(1)
⌠ r − r′
dq ′ .

4π ε 0 ⌡ | r − r ′ | 3
(2)
Φ (r ) =
E (r ) =
1
1
Per distribuzioni di carica complicate, gli integrali (1) e (2) possono essere molto difficili, quando
non impossibili, da calcolare analiticamente, rendendo inevitabile il ricorso a metodi numerici.
Comunque, nei casi in cui la distribuzione di carica non sia nota completamente, questo approccio
è completamente precluso.
Un esempio potrebbe essere quello riguardante i conduttori: sebbene il potenziale o la carica totale
su conduttori assegnati possa essere nota, la distribuzione esatta di carica potrebbe non esserlo.
Per affrontare tali problemi, sono necessari metodi alternativi di calcolo del potenziale e/o del
campo elettrostatici. Questa Unità di studio sviluppa uno di questi metodi, precisamente, quello
con il quale si determina il potenziale Φ (r ) nel vuoto (charge-free space) e, quindi, si calcola sia
il campo elettrostatico che la distribuzione di carica su tutti i conduttori.
Invece che tentare la soluzione per via integrale, Eq. (1), il metodo usa l’equazione differenziale
fondamentale nel vuoto per il potenziale Φ (r ) . Questa equazione è
∇ 2Φ (r ) ≡ ∇ 2Φ (x , y , z ) = 0 ,
(3)
la cosiddetta Equazione di Laplace. I problemi elettrostatici considerati saranno caratterizzati da
certe simmetrie geometriche, sfruttabili per semplificare i calcoli. I due casi trattati in questa Unità
riguardano la simmetria centrale (simmetria per riflessione attraverso l’origine) e quella assiale
rispetto all’asse- Z . Certi sistemi di coordinate ortogonali sono particolarmente appropriati quando
ricorrano tali simmetrie. Il sistema di coordinate sferiche è usato, generalmente, nel caso della
simmetria centrale; il sistema di coordinate cilindriche, invece, è il più conveniente in problemi in
cui è evidente la simmetria rispetto a un asse.
Pertanto, sarà necessario esprimere l’operatore laplaciano ∇ 2 in ciascuno di questi sistemi di
coordinate ortogonali. Il metodo di soluzione conduce all’espansione del potenziale elettrostatico
in serie di funzioni. I coefficienti della serie sono scelti in modo da soddisfar tutte le condizioni di
frontiera (o di contorno o -limite) del problema.
Obiettivi
Essere in grado di eseguire quanto segue senza libri o appunti, salvo indicazione esplicita diversa:
1.
scrivere l’equazione di Poisson (3-5b) e l’equazione di Laplace (3-9) quando richiesto,
definendo ogni simbolo presente in queste due equazioni. Ricavare l’equazione di Poisson
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dalla forma differenziale della legge di Gauss;
2.
riconoscere l’operatore laplaciano espresso in coordinate sia rettangolari sia sferiche sia
cilindriche, scrivendo e rappresentando graficamente le relazioni algebriche esistenti tra le
coordinate sferiche e cilindriche e le coordinate rettangolari;
3.
scrivere, quando richiesto, l’enunciato del Teorema I (Teorema di Sovrapposizione) e quello
del Teorema II (Teorema di Unicità) per l’equazione di Laplace. Questi teoremi si trovano
alla p. 50. Fornire una spiegazione sintetica sull’utilità di questi due teoremi nella soluzione
dell’equazione di Laplace;
4.
usando il metodo di separazione delle variabili, ricavare le equazioni differenziali ordinarie
che risultano dall’equazione di Laplace in coordinate sferiche e cilindriche quando il
potenziale elettrostatico è indipendente, rispettivamente, dalla coordinata azimutale ϕ e
dalla coordinata assiale z ;
5.
scrivere l’espressione generale del potenziale elettrostatico in termini di funzioni armoniche
zonali, nel caso di simmetria sferica, e di funzioni armoniche cilindriche, nel caso di
simmetria cilindrica. Usare queste espressioni per risolvere vari problemi in Elettrostatica.
Procedimenti
1.
Leggi il Capitolo 3 in RMC, dal par. 3-1 al par. 3-6. Scrivi l’equazione di Poisson (3-5b) e
quella di Laplace (3-9). Scrivi le definizioni di tutti i simboli presenti in queste equazioni.
Ricava l’equazione di Poisson dalla forma differenziale della legge di Gauss (3-3);
2.
ritorna all’Unità 1 per una rivisitazione attenta delle coordinate sferiche e cilindriche e dei
problemi svolti relativi. Rappresenta graficamente il vettore posizione r in coordinate sia
sferiche che cilindriche vs. il sistema di riferimento rettangolare Oxyz , scrivendo, a testo
chiuso, le relazioni dirette esplicite
x = r sin θ cos ϕ ≡ x (r , θ , ϕ ) ,
x = ρ cos ϕ ≡ x ( ρ , ϕ , z ) ,
y = r sin θ sin ϕ ≡ y (r , θ , ϕ ) ,
z = r cos θ ≡ z (r , θ , ϕ ) ,
y = ρ sin ϕ ≡ y ( ρ , ϕ , z ) ,
z ≡ z ≡ z (ρ, ϕ, z) ,
(4)
e le loro inverse rispettive
r = (x 2 + y 2 + z 2 )1 2 ≡ r (x , y , z ) ,
ρ = (x 2 + y 2 )1 2 ≡ ρ (x , y , z ) ,
θ = tan −1 (x 2 + y 2 )1 2 z ≡ θ (x , y , z ) ,
ϕ = tan −1 (x y ) ≡ ϕ (x , y , z ) ,
ϕ = tan −1 (x y ) ≡ ϕ (x , y , z ) ,
z ≡ z ≡ z (x , y , z );
(5)
3.
scrivi l’enunciato del Teorema I (Teorema di Sovrapposizione) e quello del Teorema II
(Teorema di Unicità), p. 50. Leggi il paragrafo A delle Note Supplementari, p. 38: esso
puntualizza l’importanza dei Teoremi I e II nella soluzione dell’equazione di Laplace.
4.
ricava le due equazioni differenziali ordinarie, Eq. (3-16) e (3-17), per il potenziale
elettrostatico in coordinate sferiche nel caso in cui esso è indipendente dalla coordinata
azimutale ϕ . Devi incominciare dall’Eq. (3-13), assumendo che
Φ (r ) ≡ Φ (r , θ ) ≡ Z (r )P (θ ) .
Nel ricavare l’Eq. (3-17), lascia la costante di separazione indicata come k , poiché il valore
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particolare k ≡ n (n + 1) può essere assunto solo dopo aver risolto l’Eq. (3-16).
5.
ricava le due equazioni differenziali ordinarie, Eq. (3-25), per il potenziale elettrostatico in
coordinate cilindriche nel caso in cui esso è indipendente dalla coordinata assiale z . Se
assumi la forma separata
Φ (r ) ≡ Φ ( ρ , ϕ ) ≡ Y (ρ )S (ϕ ) ,
allora, le equazioni differenziali ordinarie di separazione sono
ρ
d  dY
ρ
dρ  dρ

 − kY = 0 ,

d 2S
+ kS = 0 ;
dϕ 2
(6)
(7)
6.
leggi il paragrafo B delle Note Supplementari, p. 38. Scrivi e memorizza le Eq. (11), (12),
(13) e (14);
7.
leggi molto attentamente la soluzione del potenziale di una sfera conduttrice scarica posta in
un campo elettrico E 0 inizialmente uniforme, come assegnato nel paragrafo 3-5 di RMC.
Questa è una soluzione-prototipo per altri problemi, anche più complessi. Dovrai riferirti a
questa soluzione nel corso del Procedimento 8;
8.
Risolvi, a testo chiuso e senza consultarne preventivamente le soluzioni fornite, i problemi
seguenti in RMC:
Problemi 3-1, 3-2, 3-8, 3-11, 3-12.
Quando avrai risolto i problemi del
Procedimento 8 in modo soddisfacente,
sarai idoneo per affrontare i Test A e B
dell’Unità di studio 2. Anche di questi,
non dovrai consultare preventivamente le
soluzioni fornite.
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Note Supplementari
I Teoremi di Sovrapposizione e di Unicità per l’equazione di Laplace
A.
L’importanza del Teorema I (di Sovrapposizione), p. 53, sta nel fatto che, a volte, è possibile
determinare, nel dominio di interesse fisico, una successione {Φ n (r )} di funzioni che sono tutte
soluzioni particolari dell’equazione di Laplace, i.e., ∀ n ∈ Z 0+ , risulta
∇ 2Φ n (r ) = 0 .
(8)
Queste soluzioni particolari possono essere ricavate con il metodo di separazione-delle-variabili
vs. un sistema di coordinate specifico in modo da costituire un insieme ortogonale completo.
Allora, se {α n } è un insieme numerabile di costanti arbitrarie, anche l’espansione
+∞
Φ (r ) :=
∑α Φ
n
n
(r )
(9)
n =0
soddisfa l’equazione di Laplace poiché, sotto opportune condizioni analitiche, si ha
 +∞

∇ 2Φ (r ) = ∇ 2  ∑ α nΦ n (r )  ≡
+∞
∑α∇
n
n = 0
 n =0
____________________
2
Φ n (r ) = 0 .
(10)
L’importanza del Teorema II (di Unicità), p. 50, sta nel fatto che qualsiasi soluzione particolare
dell’equazione di Laplace, che soddisfa tutte le condizioni di frontiera imposte, è unica, a meno di
una costante additiva arbitraria. Questo implica che l’Eq. (9), data l’arbitrarietà delle costanti α n ,
costituisce una rappresentazione della soluzione generale dell’equazione di Laplace, i.e., quella
appropriata al sistema specifico di coordinate ortogonali separate.
Quindi, una linea pratica di ricerca di una soluzione generale dell’equazione di Laplace, soggetta a
un insieme assegnato di condizioni di frontiera, è la seguente:
1.
scegli un sistema di coordinate ortogonali compatibile con la simmetria geometrica
caratteristica del problema di potenziale;
2.
assumi che il potenziale Φ (r ) sia rappresentabile mediante l’espansione (9) nel sistema
di coordinate ortogonali scelto;
3.
usa argomentazioni fisiche e/o matematiche per determinare le costanti α n in modo che
Φ (r ) soddisfi tutte le condizioni di frontiera (in generale, solo alcune delle costanti sono
non-nulle). Usando il sistema di coordinate ortogonali appropriato, la determinazione
delle α n non presenta grandi difficoltà;
4.
B.
l’espressione di Φ (r ) così ottenuta è una rappresentazione della soluzione generale del
problema di potenziale considerato, a meno di una costante additiva arbitraria.
Le funzioni Armoniche Zonali e Armoniche Cilindriche
Le funzioni Armoniche Zonali e le funzioni Armoniche Cilindriche sono le soluzioni Φ n (r )
in coordinate sferiche e in coordinate cilindriche nel caso in cui il potenziale elettrostatico Φ è
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indipendente dalla coordinata azimutale ϕ e da quella assiale z , rispettivamente.
Le espressioni per ciascun tipo di soluzioni sono le seguenti:
per le funzioni Armoniche Zonali,
 r n Pn (cos θ )
,
Φ n (r ) ≡ Φ n (r , θ ) ≡  − (n + 1)
Pn (cos θ )
 r
(11)
con n ∈ Z 0+ . Le funzioni Pn (cos θ ) sono note come i Polinomi di Legendre, nella variabile cos θ
(v. Table 3-1, p. 57, in RMC). In questo corso di studio, ne saranno necessari solo i primi pochi.
Le proprietà più elementari, valide ∀ n , sono:
Pn ( − 1) = ( − 1)n .
Pn (1) = 1 ;
Una forma della soluzione generale dell’equazione di Laplace si scrive, allora,
+∞
Φ (r ) ≡ Φ (r , θ ) =
∑ A
r n + C n + 1r − (n + 1)  Pn (cos θ ) .
(12)
n +1
n =0
Le costanti An + 1 e C n + 1 sono introdotte simmetricamente per tener conto delle due dipendenze
radiali differenti nelle soluzioni Φ n (r ) . L’indice generico delle costanti, n + 1 , è stato scelto in
coerenza con l’Eq. (3-19) in RMC. A ciascun termine dell’espansione nell’Eq. (12) può essere data
un’interpretazione fisica (v. par. 3-5 in RMC);
per le funzioni Armoniche Cilindriche,
 1 , ln ρ ,

Φ n (r ) ≡ Φ n ( ρ , ϕ ) ≡  ρ n cos nϕ , ρ n sin nϕ ,
 ρ − n cos nϕ , ρ − n sin nϕ ,

con n ∈ N ,
(13)
+
con n ∈ Z .
Pertanto, una forma della soluzione generale dell’equazione di Laplace ha la forma
+∞
Φ (r ) ≡ Φ ( ρ , ϕ ) = A1 + ∑ ( An + 1 cos nϕ + An′ + 1 sin nϕ ) ρ n +
n =1
+∞
+ C 1 ln ρ + ∑ (C n + 1 cos nϕ + C ′n + 1 sin nϕ ) ρ −n .
(14)
n =1
Può essere utile scrivere esplicitamente i primi pochi termini dell’espansione (14):
Φ ( ρ , ϕ ) = ( A1 + A2 ρ cos ϕ + A3 ρ 2 cos 2ϕ + …) + ( A′2 ρ sin ϕ + A′3 ρ 2 sin 2ϕ + …) +
cos 2ϕ
sin 2ϕ
 cos ϕ
  sin ϕ

+ C 1 ln ρ + C 2
+C 3
+ …  + C ′2
+ C ′3
+ … .
2
2
ρ
ρ
ρ
ρ

 

(14.1)
A ciascun termine nelle Eq. (14) o (14.1) può essere data un’interpretazione fisica come nel caso
precedente. Le costanti Aj , A′k , C r e C ′s sono specificate in modo tale da soddisfare tutte le
condizioni di frontiera assegnate. Il procedimento di analisi è analogo a quello applicato con le
funzioni armoniche zonali in RMC, par. 3-5.
■
40
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Soluzioni dei problemi assegnati
(Procedimento 8)
Soluzione 3-1
Data la simmetria sferica della distribuzione di carica, si possono usare le armoniche zonali per
risolvere il problema. In quanto conduttori, i gusci sferici sono superfici equipotenziali. Mancando
campi elettrici esterni, non c’è modo di definire alcuna dipendenza angolare, azimutale e/o polare,
per il potenziale. In termini analitici, l’indipendenza angolare completa corrisponde alla sola
presenza di P0 (cos θ ) ( ≡ 1 ) nell’espansione (12) precedente.
Quindi, si ha ovunque la forma
Φ (r ) ≡ Φ (r ) = A1 + C 1 r ,
(15)
così che le condizioni di frontiera della regione compresa tra i gusci sono
 Φ a ≡ Φ (ra ) = A1 + C 1 ra ,

 Φ b ≡ Φ (rb ) = A1 + C 1 rb .
Risolvendo rispetto a A1 e a C 1 , si ottengono i valori
rbΦ b − raΦ a

,
 A1 =
rb − ra


 C = − (Φ b − Φ a ) ra rb .
 1
rb − ra

Ciò consente di scrivere esplicitamente il potenziale (15) quando r ∈ [ra , rb ] :
Φ (r ) =
rbΦ b − raΦ a
rb − ra
−
(Φ b − Φ a ) ra rb 1
.
rb − ra
r
Per r ≥ rb , si ha, dal Teorema di Gauss, che Φ (r ) =
Qb
4π ε 0r
. Quindi, Φ b ≡ Φ (rb ) =
(15.1)
Qb
4π ε 0rb
,
i.e., Qb = 4π ε 0Φ brb . Segue, allora, che
Φ (r ) = Φ brb r .
(15.2)
Si osservi che, nella regione più interna, r ∈ [0, ra ) , l’assenza di carica elettrica netta implica che
il campo elettrostatico è, lì, nullo e, quindi, che il potenziale associato è uniforme, con valore Φ a
fissato per continuità di Φ alla frontiera r = ra .
Soluzione 3-2
Data la simmetria cilindrica della distribuzione di carica, si possono usare le armoniche cilindriche
per risolvere il problema. In quanto conduttori, i gusci cilindrici sono superfici equipotenziali.
Mancando campi elettrici esterni, non c’è modo di definire alcuna dipendenza angolare (azimutale)
per il potenziale. Inoltre, essendo i gusci cilindrici lunghi (un eufemismo tecnico per indicare che
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gli effetti di distorsione di campo alle estremità del sistema sono da ritenersi trascurabili), viene a
mancare anche la dipendenza assiale ( z ). In termini analitici, dovendo aversi che An + 1 ≡ An′ + 1 ≡
≡ C n + 1 ≡ C ′n + 1 = 0 , ∀n ≥ 1 , l’espansione (14) si riduce alla forma
Φ (r ) ≡ Φ ( ρ ) = A1 + C 1 ln ρ .
(16)
Le condizioni di frontiera della regione compresa tra i gusci, ρ ∈ [ ρ a , ρ b ] , sono
 Φ a ≡ Φ ( ρ a ) = A1 + C 1 ln ρ a ,

 Φ b ≡ Φ ( ρ b ) = A1 + C 1 ln ρ b .
Risolvendo rispetto a A1 e a C 1 , si ottengono i valori
Φ a ln ρ b − Φ b ln ρ a

,
 A1 =
ln
(
ρ
ρ
)
b
a


 C = Φb − Φa .
 1 ln ( ρ b ρ a )

Pertanto, l’Eq. (16) fornisce l’espressione esplicita richiesta del potenziale elettrostatico tra i gusci
cilindrici conduttori,
Φ (ρ) =
Φ a ln ρ b − Φ b ln ρ a
Φb − Φa
+
ln ρ .
ln ( ρ b ρ a )
ln ( ρ b ρ a )
(16.1)
Soluzione 3-8
L’espressione richiesta del potenziale generato dal quadrupolo elettrostatico assiale, ricavata nella
soluzione del Problema 2-22, nell’Unità 2, è data da (v.)
Φ (r ) ≡ Φ (r , θ ) ≈
l 2 (3z 2 − r 2 )
ql 2 3 (cos θ ) 2 − 1
ql 2 3 (cos θ ) 2 − 1
≡
≡
4π ε 0
r5
4π ε 0
r3
2π ε 0
2r 3
q
≡
ql 2
r − (2 + 1)P2 (cos θ )  ≡ Φ 2 (r , θ ) .
2π ε 0 
Dal confronto con l’Eq. (11) precedente e con Table 3-1, p. 57 in RMC, è evidente che il termine
potenziale di quadrupolo risulta proporzionale all’armonica zonale di ordine 2.
Soluzione 3-11
La soluzione di questo problema ricalca esattamente la linea di argomentazione del Par. 3-5 in
RMC, salvo che per un aspetto. Infatti, l’eccesso di carica Q sulla sfera conduttrice porta con sé la
presenza effettiva del termine di monopolo C 1r −1 contenuto nell’espansione (3-19) in RMC,
risultando, evidentemente, C 1 ≡ Q (4π ε 0 ) ≠ 0 .
Inoltre, alla superficie della sfera ( r = a ), il potenziale deve assumere il valore Q (4π ε 0a ) . Questo
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42
implica che sia A1 ≡ 0 . Le altre costanti restano invariate.
Pertanto, il potenziale elettrostatico nella regione esterna alla sfera ( r ≥ a ) si scrive
Φ (r , θ ) =

a3 
−  r − 2  E 0 cos θ .
4π ε 0r 
r 
Q
Osservazione:
Imitando RMC, si può completare la soluzione calcolando le espressioni del campo elettrico totale
esterno alla sfera e la distribuzione superficiale di carica indotta sulla sfera da E 0 . Si trova che
∂Φ
1 ∂Φ ˆ
θ
E (r , θ ) = E r (r , θ ) rˆ + Eθ (r , θ ) θˆ ≡ −∇Φ (r , θ ) = −
rˆ −
∂r
r ∂θ
 Q




a3 
a3 
= 
+  1 + 2 3  E 0 cos θ  rˆ −  1 − 3  E 0 sin θ  θˆ ,
r 
r 


 4π ε 0r 

σ = lim ε 0 E r (r , θ ) =
r →a
+
Q
+ 3ε 0 E 0 cos θ ≡ σ (θ ) .
4π a 2
Rispetto all’Eq. (3-23) in RMC, σ dipende non solo dal campo esterno E 0 ( ≡ E 0 ˆz , contributo
assiale) ma, ovviamente, anche dall’eccesso di carica della sfera stessa (contributo radiale puro).
Soluzione 3-12
Poiché il conduttore cilindrico è (~ infinitamente) lungo, il potenziale elettrostatico esterno ad esso
può essere rappresentato mediante l’espansione in armoniche cilindriche, v. Eq. (14) e (14.1).
Assumendo che sia E 0 ≡ E 0 xˆ , si consideri, ancora, in RMC, p.59, la Fig. 3-2, dove, però, la
circonferenza va interpretata come la sezione del conduttore, x̂ punta a destra, θ viene sostituita
dalla coordinata azimutale ϕ e l’asse del conduttore è scelto coincidente con l’asse- Z .
In regime elettrostatico, la superficie del conduttore è equipotenziale; sia Φ (a , ϕ ) = Φ a . A grande
distanza ( ρ a ) dal conduttore, il campo E 0 apparirà solo lievemente distorto, rispetto alla sua
forma iniziale E 0 ≡ E 0 xˆ , a causa della presenza del conduttore e il potenziale associato tenderà
asintoticamente alla forma appropriata per un campo uniforme, i.e.,
Φ (ρ, ϕ )
ρ a
(
= − ∫ E0 ⋅dr
γ
)
ρ a
≡  − ∫ E 0 xˆ ⋅ ( xˆ dx + ˆydy + ˆzdz ) 
 γ

= − E 0 x + Φ a ≡ − E 0 ρ cos ϕ + Φ a ,
ρ a
(17)
con γ un cammino qualsiasi da ρ = a a ρ a ( ρ → + ∞) .
Affinché l’espansione generale (14) valga anche nel regime asintotico (17), è necessario imporre,
mediante un confronto termine-a-termine rispetto alla coordinata azimutale ϕ , le condizioni
seguenti sui coefficienti:
•
A1 ≡ Φ a ; A2 ≡ − E 0 ;
•
C 1 ≡ 0 , perché il termine C 1 ln ρ , indipendente da ϕ , corrisponderebbe al termine di
simmetria del campo elettrostatico rispetto a un conduttore carico (si integri l’Eq. (2-30), p.
37, in RMC). Qui, però, il conduttore è scarico;
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•
43
il termine C 2 (cos ϕ ) ρ può essere incluso nell’espressione cercata di Φ ( ρ , ϕ ) sia perché
contiene il fattore cos ϕ sia perché diventa asintoticamente trascurabile per ρ a . Il
coefficiente C 2 dovrà essere determinato opportunamente da altre condizioni di frontiera;
•
tutti i coefficienti rimanenti sono nulli, non essendo caratterizzati da una dipendenza
azimutale di tipo cos ϕ .
Il procedimento seguito per la determinazione delle costanti dell’espansione (14) ha sfruttato le
caratteristiche semplificate del regime asintotico per pura convenienza di calcolo. D’altra parte,
queste costanti, in quanto tali, non dipendono da come vengano ottenute!
Pertanto, dalla forma preliminare del potenziale elettrostatico
Φ ( ρ , ϕ ) = Φ a − ( E 0 ρ − C 2 ρ ) cos ϕ ,
si deduce che la condizione di frontiera Φ (a , ϕ ) = Φ 0 implica che sia C 2 = E 0 a 2 , così che

Φ (ρ, ϕ ) = Φa −  ρ −

a2 
 E cos ϕ .
ρ 0
(18)
La determinazione di un’espressione della densità di carica superficiale sul conduttore passa per
quella del campo elettrostatico esterno al conduttore (e distorto da questo). Si ha
E ( ρ , ϕ ) ≡ E ρ ( ρ , ϕ )ρˆ + E ϕ ( ρ , ϕ )ϕˆ = −∇Φ ( ρ , ϕ ) = −
∂Φ
1 ∂Φ
ρˆ −
ϕˆ
∂ρ
ρ ∂ϕ




a2 
a2 
=  1 + 2  E 0 cos ϕ  ρˆ −  1 − 2  E 0 sin ϕ  ϕˆ
ρ 
ρ 




e, quindi,
σ = lim ε 0 E ρ ( ρ , ϕ ) = 2ε 0 E 0 cos ϕ ≡ σ (ϕ ) .
ρ →a +
(19)
Poiché il conduttore cilindrico è molto lungo, la quantità di carica elettrica (uniforme) su di esso
conviene che sia calcolata per-unità-di-lunghezza, λ . Si trova, ovviamente,
L
λ =
2π
1
dz σ (ϕ ) (adϕ ) ≡ 2aε 0 E 0
L ∫0 ∫0
in accordo con le assunzioni iniziali del problema.
2π
∫ cos ϕ dϕ
0
= 0,
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44
ELETTROMAGNETISMO - Unità 3
Test A
1.
Ricava l’equazione di Poisson dalla forma differenziale della legge di Gauss.
■
2.
Scrivi le espressioni dell’operatore ∇
rispettivamente.
2
in coordinate sferiche e in coordinate cilindriche,
■
3.
Si vuole mantenere un guscio conduttore sferico di raggio R , sottile e vuoto all’interno, al
potenziale Φ (R, θ ) ≡ Φ R cos θ , essendo Φ R una costante e θ la coordinata polare riferita
al centro del conduttore.
3.1
Determina un’espressione del potenziale elettrostatico ovunque, internamente ed
esternamente al conduttore;
3.2
determina un’espressione del momento di dipolo totale indotto sul conduttore dal
potenziale elettrostatico applicato.
■
4.
Si vuole mantenere un conduttore cilindrico molto lungo, avente sezione circolare di raggio
R , al potenziale Φ (R, ϕ ) ≡ Φ R sin ϕ , essendo Φ R una costante e ϕ la coordinata azimutale
riferita all’asse del conduttore.
4.1
Determina un’espressione del potenziale elettrostatico ovunque, sia internamente che
esternamente al conduttore;
4.2
determina un’espressione della densità superficiale di carica elettrica indotta sul
conduttore dal potenziale elettrostatico applicato.
■■■
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45
ELETTROMAGNETISMO - Unità 3
Test B
1.
Scrivi gli enunciati, rispettivamente, del Teorema di Sovrapposizione e del Teorema di
Unicità riferiti all’equazione di Laplace.
Discuti brevemente l’utilità applicativa di entrambi i teoremi.
■
2.
Scrivi le espressioni generali delle funzioni armoniche zonali e delle funzioni armoniche
cilindriche.
Inoltre, scrivi le forme rispettive della soluzione generale dell’equazione di Laplace che si
costruiscono con i due tipi di funzioni armoniche.
■
3.
Un anello conduttore circolare sottile di raggio R porta un eccesso di carica elettrica Q .
Determina un’espressione del potenziale elettrostatico sia in forma chiusa sia mediante
funzioni armoniche zonali, valida ovunque a una distanza r > R dal centro dell’anello.
■
4.
Un conduttore cilindrico molto lungo di raggio R è mantenuto al potenziale Φ (R, ϕ ) ≡
≡ Φ R cos kϕ , dove Φ R è una costante, ϕ è la coordinata azimutale riferita vs. l’asse del
conduttore e k ∈ Z + .
4.1
Determina una forma generale del potenziale elettrostatico indotto internamente al
conduttore;
4.2
determina un’espressione della densità superficiale di carica sul conduttore.
■■■
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
46
ELETTROMAGNETISMO - Unità 3
Test A - Soluzioni
Soluzione A-1
Sia ρ (r ) la distribuzione volumetrica di carica elettrica (quando aiuti la chiarezza, altri simboli
saranno preferiti a ρ , assegnato strettamente, invece, alla coordinata cilindrica di distanza).
La legge di Gauss si scrive
∇ ⋅ E (r ) = ρ (r ) ε 0 .
D’altra parte, essendo E (r ) = −∇Φ (r ) , segue che
−∇ ⋅ E (r ) = −∇ ⋅ [ −∇Φ (r )] ≡
≡ ∇ 2Φ (r ) = − ρ (r ) ε 0 .
Soluzione A-2
L’operatore laplaciano si scrive,
in coordinate sferiche,
∇2≡
1 ∂  2 ∂ 
1
∂ 
∂ 
1
∂2
r
+
sin
θ
+
;




r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 
∂θ  r 2 ( sin θ )2 ∂ϕ 2
in coordinate cilindriche,
∇2≡
1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2
ρ
+
+
.
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
Soluzione A-3
Il problema è a simmetria azimutale (i.e., indipendente dalla coordinata ϕ ). Sia Φ (r , θ ) la
rappresentazione del potenziale elettrostatico in serie di funzioni armoniche zonali tale che
Φ (R, θ ) ≡ Φ R cos θ . Una seconda condizione di frontiera è lim Φ (r , θ ) = 0 , ∀ θ .
3.1
r → +∞
Internamente al conduttore, l’espansione (12) va privata dei suoi termini divergenti nell’origine,
i.e., deve essere C n + 1 ≡ 0 , ∀ n . Degli altri coefficienti, soltanto A2 ≠ 0 , essendo l’armonica
zonale corrispondente l’unica che risulta compatibile con la condizione di frontiera Φ (R, θ ) ≡
≡ Φ R cos θ . Pertanto, in generale, quando r < R , si ha che
 Φ (r , θ ) = A2r 2P1 (θ ) ≡ A2r 2 cos θ ,

2
 Φ (R, θ ) = A2R cos θ = Φ R cos θ .
Dalla condizione di frontiera assegnata sul conduttore, segue che A2 = Φ R R 2 e, da questa, si
ottiene l’espressione esplicita del potenziale elettrostatico interno ( r < R ),
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
Φ (r , θ ) ≡ Φ < (r , θ ) =
ΦR
R2
r 2 cos θ .
47
(20.1)
Anche il potenziale esterno al conduttore dipende necessariamente da θ attraverso il parametro
cos θ ma dovrà risultare infinitesimo a distanze crescenti dal conduttore. Così, dal confronto con
l’espansione (12), l’unica armonica zonale compatibile con le condizioni imposte su Φ (r , θ ) è
r − 2P1 (θ ) ≡ r − 2 cos θ e, dunque, risulta
cos θ

→ 0,
r →+∞
 Φ (r , θ ) ≡ C 2 r 2 

 Φ (R, θ ) ≡ C cos θ = Φ cos θ .
R
2

R2
Dalla condizione di frontiera assegnata sul conduttore, segue che A2 = Φ R R 2 e, da questa, si
arriva all’espressione esplicita del potenziale elettrostatico esterno ( r > R ),
Φ (r , θ ) ≡ Φ > (r , θ ) = Φ R R 2
cos θ
.
r2
(20.2)
3.2
Il potenziale (a simmetria azimutale) a cui è mantenuto il conduttore induce un campo
elettrostatico E (a simmetria azimutale) e, quindi, una distribuzione superficiale σ di carica
elettrica sul conduttore stesso.
Un’espressione di E può essere ricavata calcolando −∇Φ > (r , θ ) . Tenuto conto della geometria
sferica del sistema e del regime elettrostatico, solo la componente radiale di E è efficace nella
determinazione di σ . Quindi,
∂
∂ 
cos θ 
cos θ
Φ > (r , θ ) = −  Φ RR 2 2  = 2Φ RR 2 3 ,
∂r
∂r 
r 
r
cos θ
σ = lim+ ε 0 E r (R, θ ) = 2Φ R
≡ σ (θ ) .
r →R
R
E r (r , θ ) = −
Il campo di dipolo indotto sul conduttore sferico dal potenziale applicato può essere calcolato
dall’espressione generale (v. RMC, p. 42, Eq. (2-48), 2.o integrale)
p =
∫ r ′ρ (r ′)dv ′
(21)
V
vs. il volume V del conduttore. Nella funzione integranda, è necessario specificare r ′ , il puntosorgente generico alla superficie del conduttore, e adattare ρ (r ′) alla distribuzione fisica σ (θ ′) .
Si ha, rispettivamente (v. p. 53, Osservazione),
r ′ ≡ R rˆ = R ( sin θ ′ cos ϕ ′ xˆ + sin θ ′ sin ϕ ′ ˆy + cos θ ′ ˆz ) cos θ ′ ˆz ,
ρ (r ′) ≡ ρ (r ′, θ ′) = δ (r ′ − R )σ (θ ′) ,
dove le cancellazioni si riferiscono ai termini sferici trascurabili nell’integrazione (21), a causa
della simmetria azimutale, e si è tenuto conto che le cariche elettriche, in regime elettrostatico,
restano confinate completamente alla superficie di un conduttore. Tale fenomeno è simulato,
formalmente, mediante la funzione generalizzata δ di Dirac (v. p. 53, Osservazione).
Pertanto, l’integrale di volume (21), possibilmente non-nullo soltanto sul conduttore, si risolve
esplicitamente, in coordinate sferiche, come
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
2π
p = ˆz
∫
π
r
0
R
48
dϕ ′∫ (R cos θ ′) σ (θ ′) sin θ ′dθ ′ ∫ δ (r ′ − R )r ′ 2dr ′
0
π
cos θ ′ 

= ˆz 2π R 3 ∫  2ε 0Φ R
 cos θ ′ sin θ ′dθ ′
R 
0 
π
= ˆz 4π ε 0R 2Φ R ∫ (cos θ ′)2 [− d (cos θ ′)]
0
π
8
= ˆz 4π ε 0R 2Φ R  − (cos θ ′)3 3 0  = π ε 0R 2Φ R ˆz .
3
La direzione totalmente polare del campo di dipolo indotto sul conduttore è una conseguenza
prevedibile della simmetria azimutale del sistema.
Soluzione A-4
Il problema è a simmetria assiale (i.e., indipendente dalla coordinata z ). Sia Φ ( ρ , ϕ ) la
rappresentazione del potenziale elettrostatico in serie di funzioni armoniche cilindriche tale che
Φ (R, ϕ ) ≡ Φ R sin ϕ . Una seconda condizione di frontiera è lim Φ ( ρ , ϕ ) = 0 , ∀ ϕ .
ρ →+∞
All’interno del conduttore, l’espansione (14) deve essere privata dei suoi termini divergenti in
corrispondenza dell’asse ( ρ = 0 ), i.e., è necessario imporre che C 1 ≡ C n + 1 ≡ C ′n + 1 ≡ 0 , ∀ n .
Degli altri coefficienti, soltanto A′2 ≠ 0 , essendo l’armonica cilindrica corrispondente l’unica che
risulta compatibile con la condizione di frontiera Φ (R, ϕ ) ≡ Φ R sin ϕ .
Pertanto, in generale, quando ρ < R , si ha che
 Φ ( ρ , ϕ ) = A′2 ρ sin ϕ ,

 Φ (R, ϕ ) = A′2R sin ϕ = Φ R sin ϕ .
Dalla condizione di frontiera assegnata sul conduttore, segue che A′2 = Φ R R e, da questa, si
ottiene l’espressione esplicita del potenziale elettrostatico interno ( ρ < R ),
Φ (ρ, ϕ ) ≡ Φ < (ρ, ϕ ) =
ΦR
R
ρ sin ϕ .
(22.1)
Anche il potenziale esterno al conduttore dipende necessariamente da ϕ attraverso il parametro
sin ϕ ma dovrà risultare infinitesimo a distanze crescenti dal conduttore. Così, dal confronto con
l’espansione (14), l’unica armonica cilindrica compatibile con le condizioni di frontiera imposte su
Φ ( ρ , ϕ ) è ρ −1 sin ϕ , Risulta
sin ϕ

0,
ρ →+∞
 Φ ( ρ , ϕ ) ≡ C ′2 ρ →

 Φ (R , ϕ ) ≡ C ′ sin ϕ = Φ sin ϕ .
2
R

R
Dalla condizione di frontiera assegnata sul conduttore, segue che C ′2 = Φ RR e, da questa, si arriva
all’espressione esplicita del potenziale elettrostatico esterno ( ρ > R ),
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
Φ ( ρ , ϕ ) ≡ Φ > ( ρ , ϕ ) = Φ RR
sin ϕ
ρ
.
49
(22.2)
4.2
La determinazione di un’espressione della densità di carica superficiale sul conduttore passa
per quella del campo elettrostatico indotto sul conduttore dal potenziale. Infatti, mantenere il
conduttore al potenziale assegnato equivale a ‘immergerlo’ nel campo elettrostatico associato a
tale potenziale. In altri termini, partendo dal potenziale esterno (22.2), deve risultare che
E ( ρ , ϕ ) ≡ E ρ ( ρ , ϕ )ρˆ + E ϕ ( ρ , ϕ )ϕˆ = −∇Φ > ( ρ , ϕ ) = −
= Φ RR
sin ϕ ρˆ + cos ϕ ϕˆ
ρ2
∂Φ >
∂ρ
ρˆ −
1 ∂Φ >
ϕˆ
ρ ∂ϕ
.
Quindi,
σ = lim ε 0 E ρ ( ρ , ϕ ) =
ρ →R
+
ΦR
R
sin ϕ ≡ σ (ϕ ) .
■■■
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
50
ELETTROMAGNETISMO - Unità 3
Test B - Soluzioni
Soluzione B-1
Teorema I (Principio di Sovrapposizione):
Siano {Φ n } un insieme finito di funzioni, soluzioni dell’equazione di Laplace, ∇ 2Φ n = 0 (a
derivate parziali, lineare e omogenea), e {c n } un insieme di costanti in corrispondenza
biunivoca con l’insieme {Φ n } . Allora, vale l’implicazione
∇ 2Φ n = 0 ∀ n ⇒ ∇ 2 ∑ c nΦ n = 0 .
n
Più in generale, sia {Φ n } una successione di funzioni. Se le serie di funzioni
+∞
+∞
∑ c nΦ n
∑c ∇
e
n
n =1
2
Φn
n =1
convergono, la prima almeno in un punto di un certo intervallo aperto e limitato Α , la
seconda uniformemente in Α , allora, anche la prima converge uniformemente in Α e risulta
∇
2
∑c Φ
n
n
+∞
n
=
∑c ∇
n
2
Φn .
n =1
Tale circostanza implica l’estensione per serie del Principio di Sovrapposizione, i.e.,
∇ 2Φ n = 0 ∀ n ⇒ ∇
+∞
2
∑c Φ
n
n
= 0.
n =0
L’utilità del Principio di Sovrapposizione sta nel fatto che la combinazione lineare appropriata di
più soluzioni dell’equazione di Laplace consente di generare una soluzione che, soddisfacendo un
insieme assegnato di condizioni di frontiera, rappresenta il potenziale del sistema fisico specifico.
Teorema II (di Unicità):
Due soluzioni dell’equazione di Laplace che soddisfano le stesse condizioni di frontiera
differiscono, al più, per una costante additiva.
Il significato del Teorema di Unicità sta nel fatto che una funzione-soluzione dell’equazione di
Laplace che soddisfa tutte le condizioni imposte sul potenziale differisce da questo solo per una
costante additiva, indipendentemente, comunque, da come la funzione sia scelta o costruita.
Soluzione B-2
Le funzioni Armoniche Zonali sono:
 r n Pn (cos θ )
Φ n (r , θ ) ≡  − (n + 1)
,
Pn (cos θ )
 r
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
51
con n ∈ Z 0+ . Le funzioni Pn (cos θ ) sono note come i Polinomi di Legendre e sono espressi nella
variabile cos θ .
La forma armonica zonale della soluzione generale dell’equazione di Laplace si scrive
+∞
Φ (r ) ≡ Φ (r , θ ) =
∑ A
r n + C n + 1r − (n + 1)  Pn (cos θ ) ;
n +1
n =0
le funzioni Armoniche Cilindriche sono:
 1 , ln ρ ,

Φ n ( ρ , ϕ ) ≡  ρ n cos nϕ , ρ n sin nϕ ,
 ρ −n cos nϕ , ρ −n sin nϕ ,

con n ∈ N ,
con n ∈ Z + .
La forma armonica cilindrica della soluzione generale dell’equazione di Laplace si scrive
+∞
Φ (r ) ≡ Φ ( ρ , ϕ ) = A1 + ∑ ( An + 1 cos nϕ + A′n + 1 sin nϕ ) ρ n +
n =1
+∞
+ C 1 ln ρ + ∑ (C n + 1 cos nϕ + C n′ + 1 sin nϕ ) ρ −n .
n =1
Soluzione B-3
Dall’Eq. (1) in questa Unità di studio (ovvero, dall’Eq. (3-1) in RMC), il potenziale prodotto dalla
carica elettrica distribuita (uniformemente) sull’anello conduttore sottile si scrive, in coordinate
sferiche riferite al centro dell’anello, calcolando l’integrale di volume
Φ (r ) =
≡
ρ (r ′, θ ′, ϕ ′)
⌠
dv ′(r ′, θ ′, ϕ ′)
 2
2
4π ε 0 ⌡V [r + r ′ − 2rr ′cos (π 2 − θ )] 1 2
1
ρ (r ′, θ ′, ϕ ′)
⌠
r ′ 2 sin θ ′dr ′dθ ′dϕ ′ .

2
4π ε 0 ⌡V (r + r ′ 2 − 2rr ′sin θ )1 2
1
(23)
Qui, il dominio V è la sfera il cui equatore, sul piano X ×Y , coincide con l’anello. Per simmetria
azimutale della distribuzione di carica, i vettori r e r ′ significativi per l’integrazione giacciono su
uno stesso piano, appunto, azimutale. La densità di carica volumetrica, confinata fisicamente
sull’anello sottile ( ρ λ , densità lineare uniforme) si scrive
ρ (r ′, θ ′, ϕ ′) =
λR
2
r ′ sin θ ′
δ (θ ′ − π 2)δ (r ′ − R ) .
(24)
Si noti come, introducendo l’espressione (24) di ρ (r ′, θ ′, ϕ ′) nell’integrale (23), si riconosce
l’elemento infinitesimo di carica-sorgente, dQ ′ ≡ λ (Rdϕ ′) , mentre le funzioni δ simulano il
confinamento della carica-sorgente stessa vs. V e gli altri termini forniscono il bilanciamento
dimensionale vs. dv ′ (v. p. 53, Osservazione; la dimensione di δ (r ′ − R) r ′ 2 è [lunghezza] − 3 ).
Pertanto,
2π
π
r
⌠
⌠
λ ′R δ (θ ′ − π 2)δ (r ′ − R )
⌠ ′2 ′
′
′
′
Φ (r ) =
 λRdϕ  sin θ dθ  r dr ′ 2
4π ε 0 ⌡0
r sin θ ′ (r 2 + r ′ 2 − 2rr ′sin θ )1 2
⌡R
⌡0
1
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
=
≡
1
4π ε 0
(2π Rλ )
1
(r + R − 2rR sin θ ) 1 2
2
2
Q
1
≡ Φ > (r , θ ) .
4π ε 0 (r + R − 2rR sin θ ) 1 2
2
52
(25)
2
L’espressione (25) vale ovunque nello spazio, eccetto che sul conduttore, ovviamente.
Ora, per r > R , l’espansione (12) in funzioni armoniche zonali richiede che sia An + 1 ≡ 0 ∀ n ,
così da evitare che Φ (r , θ ) diverga a grande distanza ( r R ). Allora, l’Eq. generale (25) deve
ridursi alla forma
+∞
Φ > (r , θ ) ≡
∑C
r − (n + 1)Pn (cos θ ) .
(26)
n +1
n =0
La determinazione dei coefficienti C n + 1 può essere condotta più agevolmente quando θ ≡ 0 , i.e.,
quando (R < ) r ≡ z . Dopo tutto, è irrilevante come tali costanti siano ricavate!
Con il punto-campo sull’asse-Z , l’Eq. (25) porta al risultato elementare ben noto
Φ > (r , 0) ≡ Φ > (z ) =
=
Q
1
4π ε 0 (z + R 2 ) 1 2
2
Q
1
4π ε 0z (1 + R 2 z 2 ) 1 2
+∞
Q
≡
∑
4π ε 0z
k =0
2k
(2k )!  R 
( − 1) 2k
  .
2 (k !)2  z 
k
(27)
A sua volta, l’Eq. (26) dà
+∞
Φ > (r , 0) ≡ Φ > (z ) =
∑C
+∞
− (n + 1 )
Pn (cos 0) ≡
n + 1z
n =0
∑C
− (n + 1 )
Pn (1) =
n + 1z
n =0
1 +∞ C n + 1
,
∑
z n =0 z n
(28)
poiché Pn (cos 0) ≡ Pn (1) = 1 ∀ n .
Dal confronto termine-a-termine tra le espansioni (27) e (28), si ha che n può essere solo pari,
n ≡ 2k , e che
C n + 1 ≡ C 2k + 1 ≡
Q
4π ε 0
( − 1)k
(2k )!R 2k
.
2 2k (k !)2
Quindi, ritornando all’Eq. (26), risulta l’espansione esplicita, appropriata per r > R ,
Φ > (r , θ ) ≡
Q
4π ε 0r
+∞
∑
n =0
( − 1)k
(2k )!
2k
2 (k !)2
2k
R
  P2k (cos θ ) .
r 
(29)
Osservazione:
Il confronto tra le Eq. (25) e (29) fornisce l’espansione interessante, in termini dei Polinomi di
Legendre di ordine pari e valida per r > R ,
2k
1
1 +∞
(2k )!  R 
=
( − 1)k 2k
  P2k (cos θ ) .
∑
2
2
12
(r + R − 2rR sin θ )
r n =0
2 (k !)2  r 
(30)
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
53
Soluzione B-4
Il problema è a simmetria assiale. Sia Φ ( ρ , ϕ ) la rappresentazione del potenziale
elettrostatico in serie di funzioni armoniche cilindriche tale che Φ (R, ϕ ) ≡ Φ R cos kϕ .
Dalle Eq. (13), la sola funzione armonica cilindrica compatibile con la regione interna al
conduttore (i.e., per ρ → 0 ) e con la condizione di frontiera alla superficie del conduttore è
4.1
Φ k ( ρ , ϕ ) = ρ k cos kϕ .
Segue che le costanti dell’espansione (14) sono tutte nulle eccetto Ak + 1 così che
 Φ ( ρ , ϕ ) = Ak + 1 ρ k cos kϕ ,

k
 Φ (R, ϕ ) = Ak + 1R cos kϕ = Φ R cos kϕ .
Dalla condizione di frontiera alla superficie del conduttore, si ottiene
Ak + 1 = Φ R R k
e, quindi, che
Φ (ρ, ϕ ) ≡ Φ < (ρ, ϕ ) =
4.2
ΦR
R
k
ρ k cos kϕ .
Il campo elettrostatico indotto internamente al conduttore dal potenziale applicato si scrive,
in simmetria assiale,
E < ( ρ , ϕ ) ≡ E < , ρ ( ρ , ϕ )ρˆ + E < ,ϕ ( ρ , ϕ )ϕˆ = −∇Φ < ( ρ , ϕ ) = −
= −
ΦR
R
k
∂Φ <
∂ρ
ρˆ −
1 ∂Φ <
ϕˆ
ρ ∂ϕ
k ρ k − 1 ( ρˆ cos kϕ − ϕˆ sin kϕ ) .
Da questo, risulta immediatamente l’espressione della densità di carica superficiale sul conduttore,
σ = lim ε 0 E < , ρ ( ρ , ϕ ) = −
ρ →R
−
k ε 0Φ R
R
cos kϕ ≡ σ (ϕ ) .
■■■
____________________
Osservazione:
Nel cambiamento di coordinate (ortogonali) r ≡ (x ; y ; z ) ξ ≡ (ξ 1 ; ξ 2 ; ξ 3 ) , la rappresentazione
trasformata del volume infinitesimo di integrazione vs. la coordinata-sorgente,
dv ′ ≡ dx ′dy ′dz ′ = J (r ′(ξ ′)) dξ 1′dξ 2′ dξ 3′ ≡ d 3ξ ′ ,
si realizza mediante il fattore jacobiano (metrica) J (r ′(ξ ′)) .
Quindi, la proprietà integrale fondamentale della funzione generalizzata δ di Dirac, si scrive, in
un intorno U del punto-sorgente, posto in r ≡ (x ; y ; z ) ( ξ ≡ (ξ 1 ; ξ 2 ; ξ 3 ) ),
1=
∫
U (r )
δ (r ′ − r )dv ′ ≡
∫
U (r )
δ (x ′ − x )δ (y ′ − y )δ (z ′ − z )dx ′dy ′dz ′
(31)
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 3
=
∫ξ δ (ξ ′ − ξ )d
∫
3
ξ′ =
δ (ξ 1′ − ξ 1 )δ (ξ 2′ − ξ 2 )δ (ξ 3′ − ξ 3 ) J (r ′(ξ ′)) dξ 1′dξ 2′dξ 3′ .
54
(32)
U (ξ ′ )
U( )
Dal confronto tra le funzioni integrande (31) e (32), tenuto conto del carattere muto delle variabili
di integrazione, si deduce la formula di trasformazione locale della funzione generalizzata δ in un
cambiamento di coordinate-sorgente spaziali,
δ (r ′ − r ) =
1
1
δ (ξ 1′ − ξ 1 )δ (ξ 2′ − ξ 2 )δ (ξ 3′ − ξ 3 ) ≡
δ (ξ ′ − ξ ) .
J (r ′(ξ ′))
J (r ′(ξ ′))
Per la correttezza dei calcoli, la necessità del fattore J (r ′(ξ ′))
valore dell’integrale (32) non sarebbe più 1 ma J (r ′(ξ ′))
ξ ′= ξ
−1
(33)
è evidente: senza di esso, il
.
Esempi di applicazione frequente sono,
in coordinate sferiche,
δ (r ′ − r ) ≡
1
δ (r ′ − r )δ (θ ′ − θ )δ (ϕ ′ − ϕ ) ;
r ′ sin θ ′
(33.1)
1
δ ( ρ ′ − ρ )δ (ϕ ′ − ϕ )δ (z ′ − z ) .
ρ′
(33.2)
2
in coordinate cilindriche,
δ (r ′ − r ) ≡
Nei casi delle Soluzioni A-3.2, p. 49, e B-3, p. 53, l’espressione puntuale completa (33.1) è stata
adattata alle distribuzioni continue delle sorgenti, rispetto alle variabili appropriate di posizione, e
alle dimensioni delle grandezze fisiche implicate.
■■■