Unità Didattica N° 5 Impulso e quantità di moto

Unità Didattica N° 5
Imnpulso e quantità di moto
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Unità Didattica N° 5
Impulso e quantità di moto
1) Sistema isolato : forze interne ed esterne.........................................................................Pag. 2
2) Impulso e quantità di moto..........................................................................................Pag. 3
3) Teorema di conservazione della quantità di moto....................................................Pag. 6
4) La terza legge della dinamica e la conservazione della quantità di moto......................Pag. 8
5) Momento angolare o momento della quantità di moto o momento cinetico.................Pag. 9
6) Teorema di conservazione del momento angolare..........................................................Pag.
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Imnpulso e quantità di moto
Sistema isolato : forze interne ed esterne
Definiamo sistema di punti materiali l'insieme S di due o più punti materiali , distinti dal resto
dell'universo , di cui vogliamo mettere in evidenza le proprietà fisiche .
Il sistema si dice
meccanico , elettrico ,...se vogliamo studiare le proprietà meccaniche , elettriche ,..dei suoi
costituenti . In generale ai corpi che costituiscono il sistema sono applicate delle forze che vengono
classificate in forze interne e forze esterne . Le forze interne ( attive o vincolari ) sono quelle
che si esercitano sui corpi del sistema e che provengono dall'azione di altri corpi appartenenti al
sistema considerato. Le forze esterne ( attive o vincolari ) sono quelle che si esercitano sui corpi
del sistema ma che provengono dall ' azione di corpi che non fanno parte dell ' universo . Una
G
G
forza interna ( esterna ) sarà indicata col simbolo F ( i ) ( F ( e ) ) .
Definiamo ambiente esterno l ' insieme S ′ dei punti materiali che non fanno parte del sistema S .
Il sistema S più l'ambiente esterno S ′ costituisce l ' universo . Spesso il tutto viene schematizzato
come in figura .
Ambiente esterno
S′
sistema + ambiente =
= universo
Sistema
S
contorno del sistema
Universo
Si definisce sistema isolato un sistema di punti materiali soggetti a sole forze interne. In un sistema
isolato il risultante ( cioè la somma vettoriale ) delle forze agenti su tutti i punti materiali è nullo .
E' evidente che un sistema per essere rigorosamente isolato dovrebbe comprendere tutto l'universo .
Ogni altro sistema meccanico che si potrà considerare sarà sempre un sistema non isolato.
Tuttavia , esso potrà essere considerato come isolato con buona approssimazione quando le forze
esterne saranno trascurabili rispetto alle forze interne .
Possiamo concludere affermando che un sistema di punti materiali è isolato quando :
1) è trascurabile ogni forma di interazione di S con punti materiali che non fanno parte del sistema
2) oppure è nullo il risultante delle forze esterne agenti su
3) oppure non agiscono forze esterne su
S
S
4) le forze esterne agenti su S sono trascurabili rispetto alle forze interne .
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Imnpulso e quantità di moto
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E S E M P I O
Consideriamo il sitema terra-luna . La terra e la luna si attirano reciprocamente in base alla legge di
gravitazione universale . In prima approssimazione possiamo considerare il sistema terra-luna come
un sistema isolato , ma si tratterà di una approssimazione grossolana in quanto il sistema è soggetto
anche all'attrazione del Sole e degli altri pianeti . Si potrà allora considerare il sistema Terra-Luna
come un sistema soggetto alla forza esterna dovuta al Sole , oppure considerare il sistema
Terra-Luna-Sole come un sistema isolato . Se poi vogliamo migliorare il grado di isolamento del
sistema dobbiamo prendere in considerazione anche gli altri pianeti del sistema solare . In
quest'ultimo caso il sistema solare può essere considerato come isolato con un'approssimazione
migliore di quelle precedenti . Naturalmente il processo può estendersi fino a comprendere la
galassia , il nostro ammasso galattico ,......Risulta così chiarito il significato di sistema isolato . E'
importante osservare che , pur di ingrandire sufficientemente un sistema , esso può essere sempre
considerato isolato con quel grado di precisione che la questione trattata impone . Ne consegue che
possiamo enunciare la terza legge della dinamica anche dicendo:<< In un sistema isolato è nullo il
risultante di tutte le forze interne >> .
Impulso e quantità di moto
Si definisce quantità di moto di un punto materiale di massa m e velocità
G
G
G
q = p = mv
grandezza vettoriale :
[
[q ] = [m ⋅ v ] = M ⋅ L ⋅ T −1
]
{q}
;
= {m} ⋅ {v} =
kg ⋅ m
s
→
v
la
G
Se una forza F , che per semplicità supponiamo costante , agisce per un intervallo di tempo
G
Δ t = t2 − t1 = t f − ti su un punto materiale di massa m , definiamo impulso della forza F
relativo all'intervallo di tempo Δ t la grandezza vettoriale :
G
G
G
G
I = F ⋅ Δ t = F ⋅ (t2 − t1 ) = F ⋅ t f − ti
(
[I ] = [F ⋅ t]
[
= M ⋅ L ⋅ T −1
]
,
{I }
)
= { F } ⋅ {t } = N ⋅ s
Per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere :
G
G
G
G
m ⋅ v f − vi
G
G
G
G
G
G
F = m⋅a =
;
F ⋅ t f − ti = m ⋅ v f − m ⋅ vi = q f − qi = Δ q
t f − ti
G
G
G
G
G
I = F ⋅ Δ t = q f − qi = Δ q = teorema dell'impulso
(
)
(
)
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Imnpulso e quantità di moto
G
G
G
<< La variazione della quantità di moto Δ q = q f − qi di un punto materiale soggetto all'azione di
G
una forza F nell'intervallo di tempo Δ t = t f − ti è uguale all'impulso corrispondente . >>
G
Il teorema dell ' impulso continua a valere anche quando la forza F è variabile nel tempo .
Un sistema di punti materiali P1 , P2 , P3 ,... rispettivamente di masse m1 , m2 , m3 ,... e velocità
G G G
vettoriali v1 , v2 , v3 ,.. ha , per definizione , la quantità di moto :
G
G
G
G
G
G
G
Q = m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 + ⋅⋅⋅ = q1 + q2 + q3 + ⋅⋅⋅ = quantità di moto totale del sistema
O S S E R V A Z I O N I
G
G
p = m⋅ v
▀ Per la quantità di moto si usa anche il seguente simbolo :
G
▀ Spesso il vettore q è detto momento lineare per distinguerlo dal momento angolare che
è il momento della quantità di moto .
G
G
▀ Essendo q ∝ v , la quantità di moto di una massa m dipende dal sistema di riferimento
che deve essere sempre precisato .
→
G
▀ Vettorialmente , ad un dato istante , q ha la stessa direzione e lo stesso verso di v ,
G
G
mentre I ha la stessa direzione e lo stesso verso di F
cioè di
→
a .
▀ Impulso e quantità di moto , avendo le stesse dimensioni,hanno la stessa unità di misura , cioè :
m
= N ⋅s
s
G
G
G
dq
oppure F =
se la forza F non è costante .
dt
kg ⋅
G
G
G
G
Δv
Δq
▀ F = m⋅a = m⋅
=
Δt
Δt
<< il rapporto tra la variazione della quantità di moto ed il tempo in cui essa si verifica è
uguale alla forza ( o al risultante delle forze ) che agisce ( agiscono ) su m . >>
G
G
G
G
Δq
per ogni singola particella sono completamente equivalenti
Le relazioni F = m ⋅ a ed F =
Δt
in meccanica classica . E' da notare che Newton ha introdotto la seconda legge della dinamica nella
G
G
G
G
Δq
forma F =
. Questa forma è più generale della F = m ⋅ a perchè quest'ultima espressione
Δt
presuppone m costante , mentre l'altra non richiede che la massa debba restare costante durante il
moto .
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G
G
G
▀ Se F = F ( t ) allora : I =
∫
tf
ti
Imnpulso e quantità di moto
G
G
G
F ⋅ dt dove : d I = F ⋅ dt
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è l ' impulso elementare .
G
▀ Sia VC la velocità del centro di massa di un sistema di n particelle soggetto all'azione di forze
G
G
esterne , otteniamo : Q = m ⋅VC
<< la quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale del
sistema per la velocità del suo centro di massa . >>
G
G
G
dv
G
G
G
G
▀
F = m⋅ a = m⋅
; F ⋅ dt = m ⋅ d v = d mv = d q
dt
G
L'impulso della forza F relativo all'intervallo di tempo Δ t = t2 − t1 ci viene dato da :
G
I =
∫
t2
t1
G
F ⋅ dt =
∫
K
v2
K
v1
G
d mv =
∫
K
q2
K
q1
G
G
G
G
d q = q2 − q1 = Δ q
G
se F è il risultante di tutte le forze esterne applicate al punto P di massa m abbiamo :
G
G
G
dq
F =
= m⋅ a
dt
Teorema di conservazione della quantità di moto
Abbiamo detto che un sistema di punti materiali è isolato quando su di esso non agisce alcuna forza
esterna , cioè proveniente da punti materiali estranei al sistema considerato . Il teorema della
conservazione della quantità di moto di un sistema isolato afferma quanto segue :
G
<< in un sistema isolato si mantiene costante la quantità di moto totale Q >> .
G
Questo significa che il vettore Q è una grandezza vettoriale che si conserva nel tempo .
Dimostriamo questo teorema per un sistema formato da due soli punti materiali m1 ed m2 .
G
G
Supponiamo che all ' istante iniziale ti le masse abbiano velocità v1i e v2i , mentre all
G
G
'istante t f le masse abbiano velocità v1 f , v2 f .
G
G
⎧⎪Qi = Q( ti ) =
Hp : ⎨ G
G
⎪⎩Q f = Q t f =
G
G
Th : Q(ti ) = Q t f
( )
{
( )
G
G
G
G
q1i + q2i = m1v1i + v2i = quantità di moto del sistema all ' istante t i
G
G
G
G
q1 f + q2 f = m1v1 f + v2 f = quantità di moto del sistema all ' istante t f
G
G
cioè Qi = Q f
G
G
Per la terza legge della dinamica possiamo scrivere : F12 = − F21
G
G
Consideriamo l'azione delle forze F12 ed F21 ( che per semplicità consideriamo costanti ) per un
intervallo di tempo Δ t = t f − ti .
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Imnpulso e quantità di moto
G
G
G
G
v1 f − v1i
v2 f − v2i
Abbiamo :
m1
= − m2
t f − ti
t f − ti
G
G
G
G
G
G
G
G
m1v1 f − m1v1i = − m2v2 f + m2v2i
; m1v1 f + m2v2 f = m1v1i + m2v2i
G
G
G
G
G
G
G
q1 f + + q2 f Q t f = q1i + + q2i = Q( ti ) = Q(t ) = costan te
G
G
Questo teorema continua a sussistere tanto se le forze F12 e F21 sono variabili ( in questo
( )
caso la dimostrazione avviene mediante il calcolo differenziale ) , quanto se i punti materiali
del sistema sono più di due .
<< La variazione della quantità di moto di un sistema isolato è zero >>
→
Q ( ti )
→
Q tf
ti
tf
( )
→
q 1i
m1 •
→
v 1i
→
q 2i
→
v 2i
→
q 1f
m1 •
→
v 1f
• m2
→
q 2f
→
v 2f
• m2
Dimostrazione col calcolo differenziale
Consideriamo un sistema isolato costituito da due soli corpi rispettivamente di massa m1 ed m2 .
G
G
G
G
G
G
d v1
d v2
F12 + F21 = o , m1
+ m2
= o
La terza legge della dinamica si scrive :
dt
dt
Se l'azione e la reazione agiscono per un intervallo di tempo Δ t = t2 − t1 abbiamo :
∫
t2
t1
G
F12 dt +
∫
t2
t1
G
G
F21 dt = o
G
G
G
G
G
m1v1 f − m1v1i + m2v2 f − m2v2i = o
,
G
G
Q(ti ) = Q t f
∫
;
G
v1 f
G
v1i
G
m1 dv1 +
∫
G
v2 f
G
v2 i
G
G
m2 dv2 = o
G
G
G
G
m1v1 f + m2v2 f = m1v1i + m2v2i = costan te
G
( ) = Q(t ) = costan te
<< Il terzo principio della dinamica asserisce che , in seguito all ' interazione di m1 ed m2
restano costanti sia la quantità di moto del sistema isolato costituito dai corpi m1 ed m2 , sia
G
il momento L di tale quantità di moto ( momento angolare ) rispetto ad un punto qualsiasi O . >>
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La terza legge della dinamica e la conservazione della quantità di moto
Il principio di azione e reazione ed il principio di conservazione della quantità di moto sono
fra loro equivalenti .
Questo significa che , ammessa la verità di uno dei due principi , si può
dimostrare la verità dell'altro . Nel paragrafo precedente , dal principio di azione e reazione
abbiamo dedotto il teorema di conservazione della quantità di moto di un sistema isolato .
Adesso , supposta vera la conservazione della quantità di moto di un sistema isolato , dimostreremo
la verità del principio di azione e reazione che in questo caso assume il rango di teorema .
G
G
Hp : { Q(ti ) = Q t f
G
G
G
Th : { F12 = − F21
( ) = Q(t ) = costan te
Riferiamoci ad un sistema isolato formato da due soli punti materiali m1 ed m2 . Per ipotesi
G
G
G
G
sappiamo che :
m1v1 f + m2v2 f = m1v1i + m2v2i
Se i punti materiali m1 ed m2 subiscono , nel tempo Δ t = t f − ti , una variazione di velocità vuole
dire che sono sottoposte all'azione di forze che per semplicità supponiamo costanti . Analizzando il
G
G
G
G
fenomeno per in tempo Δ t = t f − ti abbiamo :
m1 v1 f − v1i = − m2 v2 f − v2i
(
(
G
G
m1 v1 f − v1i
Δt
oppure :
)
= −
(
G
G
m2 v2 f − v2i
Δt
G
G
G
G
m1 v1 f − m1 v1i = − m2 v2 f − m2 v2i
(
)
)
)
G
G
, m1 a1 = − m2 a2 ,
,
G
G
F12 ⋅ Δ t = − F21 ⋅ Δ t
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(
G
G
F12 = − F21
G
G
G
G
q1 f − q1i = − q2 f − q2i
G
G
, F12 = − F21
)
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