SOLUZIONI PROVA DI MATEMATICA – LICEO SCIENTIFICO

SOLUZIONI PROVA DI MATEMATICA – LICEO SCIENTIFICO
(CORSO DI ORDINAMENTO)
ESAME DI STATO 2013
QUESITI
Quesito 1
Calcoliamo l'altezza relativa al lato lungo 3 utilizzando la formula per l'area di un triangolo:
b⋅h
3⋅h
S=
, cioè 3=
da cui h=2 . Ma anche l'altro lato misura 2; quindi, essendo l'altezza
2
2
uguale a un lato, il triangolo è rettangolo e 2 e 3 sono le misure dei cateti. Quindi possiamo trovare
il terzo lato con il teorema di Pitagora:  2 232=  13 .
Quesito 2
La prima condizione da imporre è che l'espressione sotto la radice più interna sia positiva o nulla:
3− x0 , cioè x3 . Dobbiamo poi imporre che anche l'espressione sotto la seconda radice
sia non negativa: 2− 3− x0 , da cui  3− x2 . Questa è una disequazione irrazionale;
abbiamo già imposta che l'argomento della radice sia positivo, poiché il secondo termine è un
numero positivo possiamo elevare al quadrato termine a termine: 3− x4 da cui x−1 .
Dobbiamo adesso imporre che anche l'argomento della radice più esterna sia non negativo:
1− 2− 3−x0 , cioè  3− x1 . Anche in questo caso possiamo elevare al quadrato
termine a termine, ottenendo 3− x1 e quindi x2 . Mettendo a sistema le tre condizioni,
cioè x3 , x−1 e x2 otteniamo infine il campo di esistenza richiesto che è:
−1x2 .
Quesito 3
Presa una qualsiasi retta r del fascio passante per B, sia H il piede della perpendicolare da A ad r.
Ora, poiché il triangolo AHB è rettangolo, il cateto AH (che è la distanza di A da r) sarà sempre
minore dell'ipotenusa AB. Pertanto la retta cercata è quella per cui H e B coincidono, cioè la retta
per B perpendicolare ad AB. Calcoliamo il coefficiente angolare della retta per A e per B:
−18 7
1
8
m=
=
. Il coefficiente angolare della perpendicolare sarà quindi: m ' =− =− . A
26 8
m
7
questo punto possiamo applicare la formula per l'equazione di una retta passante per un punto dato e
8
avente coefficiente angolare dato: y8=−  x6 , da cui 8x7y50=0 .
7
Quesito 4
Possiamo considerare il tronco di piramide come una piramide completa di lato di base a a cui è
stata tagliata la sommità, che è anch'essa una piramide a base quadrata ma di lato b. Indicando con x
l'altezza della piramide superiore (quella tagliata), l'altezza della piramide completa è hx .
Essendo la piramide completa e quella superiore simili tra loro, possiamo impostare la seguente
b
x=h⋅
hx :a= x :b , dalla quale è immediato ricavare:
proporzione:
e
a−b
a
xh=h⋅
. Scriviamo allora il volume richiesto come differenza dei volumi delle due
a−b
3
3
1
a
b
1 a −b 1
piramidi:
dove
nella
V = a 2 h⋅
−b 2 h⋅
= h⋅
= h a2 abb2  ,
3
a−b
a−b 3 a−b 3
semplificazione dell'ultimo passaggio si è utilizzata la regola per la scomposizione della differenza
di due cubi.
Quesito 5
Consideriamo per semplicità una valigia cubica. Se il lato l aumenta di una quantità x, il nuovo
volume diventa lx 3 . Ciò significa che se chiamiamo α il rapporto tra x ed l – cioè l'aumento
relativo del lato – il corrispondente aumento relativo del volume sarà 13−1=3 3 2 3 .
Se Consideriamo ad esempio un aumento del lato del 10%, cioè =0,1 , il corrispondente
aumento del volume sarà 3⋅0,13⋅0,010,001=0,331 che è circa il 33%.
Quesito 6
Poiché i numeri sono posti in ordine crescente, il primo numero della sequenza sarà: 1234567 , il
secondo lo si otterrà permutando le ultime due cifre, che sono quelle che corrispondono alle più
piccole potenze del dieci (le unità e le decine): 1234576 ; qualunque altra permutazione avrebbe
infatti spostato il 7 sulle centinaia, migliaia, decine di migliaia, ecc. ottenendo quindi un numero più
grande di 1234576 . Ragionando nello stesso modo possiamo dire i primi sei numeri si ottengono
permutando le ultime tre cifre (ricordiamo che 3!=6 ). Il settimo numero sarà quindi il più
piccolo tra quelli in cui viene interessata dalla permutazione anche la quartultima cifra: 1235467
. Allo stesso modo, ricordando che 6!=720 , osserviamo che il 721 numero della sequenza è il
più piccolo tra quelli in cui nella permutazione viene coinvolta la prima cifra, cioè: 2134567 .
Quesito 7
Detti a e b rispettivamente il lato minore e quello maggiore del rettangolo di partenza, i due
b
rettangoli uguali che si ottengono tagliandolo a metà hanno dimensioni a e
. Poiché il
2
rettangolo originale e ciascuno dei due rettangoli ottenuti tagliando quest'ultimo a metà sono simili,
b
dovrà valere la proporzione: b :a=a :
, da cui b 2=2a 2 e, ricordando che a e b sono quantità
2
positive, b=a  2 . Ora, noi sappiamo che l'area del rettangolo originale è pari a 1 m 2 , quindi
4
1 8
a=
=
e b=4 2 .
a⋅b=a⋅a  2=1 , da cui
4
2
2
Quesito 8
Osserviamo che, in base al teorema fondamentale del calcolo, la funzione f  x  è la derivata
prima di g  x . Ora, dal grafico si evince che f  x  è continua (anche se non derivabile).
Quindi la g  x è derivabile, cosicché cerchiamo i punti stazionari dove la derivata prima cambia
di segno. Dal grafico si vede che g  x passa da negativa a positiva in x=4 , e questo è
proprio il punto di minimo.
Quesito 9
Il limite è zero. Infatti
e lim
x0
lim
x0
4⋅sin x cos x−sin x
cos x−1
=4⋅lim sin x 
 , e poiché
2
x 0
x
x2
lim sin x=0
x 0
1−cos x 1
= , possiamo applicare il teorema sul limite del prodotto.
2
x2
Quesito 10
La risposta esatta è A. Infatti osserviamo dal grafico di f  x  che questa funzione presenta un
massimo in x=−2 e un minimo in x=2 . Ciò significa che la derivata deve essere positiva
(funzione crescente) a sinistra di x=−2 e negativa a destra (funzione decrescente); mentre deve
essere negativa a sinistra di x=2 e positiva a destra. Il grafico A è l'unico dei 4 a soddisfare
queste condizioni.