Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 09 – 23.10.2015
Equazione di Laplace
Conduttori in un campo elettrostatico
Anno Accademico 2015/2016
Conduttori in un campo elettrostatico
• Continuiamo con le proprietà dei conduttori
• Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore
è perpendicolare alla superficie
• Se il campo avesse una componente tangenziale
le cariche sentirebbero una forza e si muoverebbero
• La superficie di un conduttore è equipotenziale
• La differenza di potenziale fra due punti arbitrari
A e B sulla superficie è
• Ma il campo E è perpendicolare a dl e pertanto ∆φ = 0
• L'interno del conduttore è allo stesso potenziale della superficie
• La differenza di potenziale fra un punto sulla superficie
e un punto all'interno del conduttore è
• Ma il campo E è nullo e pertanto ∆φ = 0
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Conduttori in un campo elettrostatico
• Sottolineiamo ancora una volta che la carica si dispone sulla superficie del
conduttore in risposta al campo elettrico generato da altre cariche
• La carica sulla superficie del conduttore si dispone in modo da rendere nullo
il campo elettrico all'interno del conduttore
• Il campo elettrico è la somma del campo generato dalla distribuzione
superficiale e il campo delle altre cariche
• Questo è vero in tutto lo spazio
• Anche all'esterno del conduttore
• Sulla superficie del conduttore si può utilizzare la legge di Gauss per trovare
la relazione fra il campo elettrico e la densità superficiale di carica
• Il campo elettrico è perpendicolare alla faccia superiore
• Dentro il conduttore è nullo
• Il flusso sulla superficie laterale è nullo
• Il flusso è
• Questa relazione vale sulle superfici dei conduttori
• Anticipiamo inoltre che la densità è più elevata quando
il raggio di curvatura è piccolo
• Il campo su una punta è molto intenso
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Conduttori in un campo elettrostatico
• Per un conduttore scarico
• In risposta a una carica esterna compaiono
cariche indotte sulla superficie esterna
• Per un conduttore carico
• Le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna
• Finora abbiamo considerato conduttori omogenei
• Ci chiediamo cosa succede se all'interno del
conduttore c'è una cavità
• Consideriamo un conduttore carico
• Consideriamo una superficie all'interno del conduttore che racchiuda
completamente la cavità
• Calcoliamo il flusso
• All'interno del conduttore il campo è nullo
• Pertanto la carica all'interno della superficie è nulla
• La carica nel conduttore (escluso la superficie) è zero
• La carica nella cavità è zero
• Anche la carica sulla superficie deve essere zero
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Conduttori in un campo elettrostatico
• Si può anche escludere che la carica sulla superficie interna sia composta da
cariche positive e negative tali che la loro somma sia nulla
• In tal caso infatti le linee di campo che originano da una
carica positiva dovrebbero chiudersi su una carica negativa
• Inoltre la superficie interna è equipotenziale
• Calcoliamo la circuitazione del campo
• Lungo la linea di campo (cammino C1)
• Sulla superficie interna del conduttore (cammino C2)
• Pertanto l'integrale lungo il cammino chiuso C1 + C1 sarebbe diverso da zero
• In conflitto con il fatto che il campo elettrostatico è conservativo
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Schermo elettrostatico
• Applichiamo i concetti fin qui illustrati ad un problema semplice e interessante
• Consideriamo un guscio metallico sferico cavo, non necessariamente sottile
• Consideriamo per iniziare il guscio scarico
• Una carica +q all'interno, in posizione arbitraria
• Cerchiamo di capire qualitativamente come è
il campo elettrico
• Sappiamo che all'interno del conduttore, non nella
cavità, il campo elettrico è nullo
• Utilizziamo la legge di Gauss
• Una superficie sferica S all'interno del conduttore
• Il campo elettrico è nullo all'interno del conduttore
• E quindi sulla superficie sferica S scelta per il calcolo del flusso
• Naturalmente il flusso è nullo
• Sarà pertanto nulla la carica totale all'interno della superficie S
• Pertanto, oltre alla carica +q sarà presente una carica −q distribuita
sulla superficie interna del conduttore cavo
• La carica superficiale −q si distribuisce in modo che il campo generato da
essa e dalla carica +q sia nullo all'interno del conduttore
• Nessuna linea di campo continua dentro il conduttore
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Schermo elettrostatico
• Abbiamo detto che il conduttore è scarico
• Una quantità di carica +q deve essere comparsa
• Non può essere all'interno: ρ = 0 (∇⋅E = 0)
• Non può essere sulla superficie interna (Qtot = 0)
• Deve essere sulla superficie esterna
• Rimane da capire come è distribuita
• Deve essere distribuita uniformemente
• Un guscio sferico e uniforme di carica
• Il campo all'interno del guscio sferico
di carica è nullo
• In particolare è nullo all'interno del conduttore
• Non modifica il campo nella cavità
• All'esterno il campo il campo elettrico sarà quello di una
carica puntiforme +q posta nel centro del conduttore sferico cavo
• Nonostante la carica +q sia in un'altra posizione
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Funzioni armoniche
• Per trovare una soluzione dell'equazione di Laplace è indispensabile definire le
condizioni al contorno (Boundary Conditions)
• Ad esempio, nelle equazioni differenziali ordinarie di secondo grado per
avere una soluzione unica era necessario definire due condizioni iniziali
• Ad esempio, posizione e velocità iniziali per determinare univocamente la
traiettoria di una particella determinata dalla seconda legge di Newton
• Nel caso delle equazioni differenziali alle derivate parziali la condizione
iniziale assume una forma più complessa
• Supponendo che lo spazio di interesse sia delimitato da superfici, per
trovare una soluzione occorre definire il valore di φ sulle superfici stesse
• Una delle superfici può essere all'infinito
• Le soluzioni dell'equazione di Laplace prendono il nome di funzioni armoniche
• Ne vedremo fra breve un'importante proprietà
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Funzioni armoniche
• In pratica i campi elettrici si generano utilizzando elettrodi metallici posti a
un definito potenziale
• Esempi di campi elettrici
MWPC: Multiwire Proportional Chamber
GEM: Gas Electron Multiplier
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Funzioni armoniche
• Una importante proprietà delle funzioni armoniche
• Data una funzione armonica φ(x,y,z) e una
sfera di superficie A centrata in x0,y0,z0
z
y
x
Il valore medio di una funzione armonica su una sfera arbitraria
è uguale al valore della funzione nel centro della sfera
• Questa proprietà significa anche che una funzione armonica non può avere
massimi o minimi locali
• Ricordiamo la proprietà che in un campo elettrostatico non ci
possono essere posizioni di equilibrio stabile
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Equazione di Laplace
• Torniamo al problema delle condizioni al contorno
• Ci sono due modi per definire le condizioni al contorno per l'equazione di
Laplace
• Condizioni di Dirichelet
• Si fissa il valore di φ su tutte le superfici (conduttori) che delimitano lo
spazio di interesse
• Se lo spazio non è chiuso si introduce una superficie all'infinito sulla quale
il potenziale φ acquista valore nullo
• Condizione di Neumann
• Si definisce il valore della derivata normale ∂φ/∂n su tutte le superfici
(conduttori) che delimitano lo spazio di interesse
• Specificare la derivata normale del potenziale equivale a definire il campo
elettrico sul conduttore
• In ultima analisi, la densità di carica sul conduttore
• Ancora una volta se lo spazio non è chiuso si introduce una superficie
all'infinito sulla quale la derivata normale acquista valore nullo
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Equazione di Laplace
• Teorema di unicità delle soluzioni
• Una volta fissate le condizioni al contorno la soluzione
dell'equazione di Laplace che le soddisfa è unica
• Consideriamo una regione delimitata dalla
superficie Se (eventualmente all'infinito) e
da un certo numero di conduttori Sk
• I potenziali sulle superfici sono fissati dalle condizioni al contorno
• Supponiamo che esitano due soluzioni Φ1 e Φ2 che assumono le stesse
condizioni al contorno
• Anche la funzione Φd = Φ1 – Φ2 soddisfa l'equazione di Laplace
• L'equazione di Laplace è lineare
• Inoltre sulle superfici S
• Ma una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali
• Pertanto concludiamo che Φd = 0 che implica a sua volta che Φ1 = Φ2
• La soluzione è unica
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Schermo elettrostatico
• Il teorema di unicità ci permette di trovare
un'altra proprietà dei conduttori
Il potenziale all'interno di un conduttore cavo senza
cariche all'interno è costante; il campo elettrico è nullo
• Abbiamo infatti già osservato che la superficie
di un conduttore è una superficie equipotenziale
• Il problema elettrostatico all'interno della cavità
è pertanto
φ(S) = V0 → costante sulle superfici
• Pertanto una possibile soluzione è φ(x,y,z) = V0 in tutto lo spazio della cavità
• Infatti se φ(x,y,z) è costante ∇2φ = 0: soddisfa l'equazione di Laplace
• Soddisfa le condizioni al contorno
• Il teorema di unicità mi assicura che la soluzione trovata è anche l'unica
• Lo spazio interno è schermato dai campi elettrici esterni
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Schermo elettrostatico
• Abbiamo visto in precedenza che una carica
posta all'interno di un conduttore cavo genera
un campo elettrico all'esterno che non risente
della reale posizione della carica all'interno
• Nel caso del guscio sferico il campo esterno
è quello di una carica posta nell'origine
• La posizione è fissata dalla simmetria della
forma del conduttore
• Possiamo realizzare uno schermo completo?
• Fare in modo che all'esterno non
ci sia campo elettrico
• Una situazione complementare all'esempio precedente
• Si, è possibile
• Basta rimuovere la carica positiva esterna
• Si collega il conduttore ad un altro conduttore molto più grande,
posto al potenziale dell'infinito (vale a dire potenziale nullo)
• Si dice che si collega a "terra" (ground)
• La carica esterna positiva si sposta "ancora più lontano"
• Il conduttore è adesso carico
• La carica negativa scherma la carica q. Eesterno è nullo
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Sistemi di coordinate
• Coordinate cartesiane (per semplicità solo due dimensioni)
• Il vettore posizione r è individuato da due componenti
• Le componenti cartesiane x,y
• Quali sono le componenti di un vettore applicato v ? y
• Possiamo tracciare due famiglie di curve (linee)
• Fissato x facciamo variare y in (−∞, +∞)
• Analogamente per x
• Ricopriamo il piano con un grigliato di "curve"
• Troviamo adesso le tangenti alle curve
nel punto di applicazione del vettore (xk,yl)
x
• I vettori tx e ty sono anche dei versori (non vero in generale)
• Definiscono localmente due assi ortogonali
• Ricaviamo le coordinate di v rispetto a questi assi
• Pertanto, in coordinate cartesiane
• Se v è un campo vettoriale costante
• E inoltre avremo
e analoghe in y
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Sistemi di coordinate
• Consideriamo adesso un sistema di coordinate polari
• Ripetiamo gli stessi ragionamenti
• Il vettore posizione r è individuato da due componenti
• Le componenti polari r,θ
• Quali sono le componenti di un vettore applicato v in (r,θ)?
• Possiamo tracciare due famiglie di curve
• Fissato r facciamo variare θ in (0, 2π)
• Analogamente fissiamo θ e facciamo variare r in (0, +∞)
• Ricopriamo il piano con un grigliato di curve
• Troviamo adesso le tangenti alle curve
• I versori definiscono localmente due assi ortogonali
• Le componenti di v sono (v = |v|)
• Le componenti dipendono dal punto di applicazione!
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