5 – TRASMISSIONE DIGITALE IN BANDA BASE Prof. Giovanni

5 – TRASMISSIONE DIGITALE
IN BANDA BASE
Prof. Giovanni Schembra
Cominciamo ora a porci il problema di trasmettere. Quindi ci togliamo il cappello da matematici,
finalmente, ed ora ci mettiamo il cappello da ingegnere e dobbiamo porci ora i problemi reali.
Allora il primo problema reale che ci poniamo, anzi è il problema di tutto il corso, cioè il filo conduttore di
tutto il corso, è quello di volere trasmettere, infatti la macrolezione si chiama trasmissione digitale in banda
base, vogliamo trasmettere bit su di un canale. Quindi questo è tutto il problema che ci porterà via tempo.
Allora abbiamo un canale, come se fosse un tubo, ci buttiamo dentro bit e questi bit dovrebbero uscire così
come sono dall’altra parte.
Come si trasmettono questi bit? Allora faremo una macrolezione che è in banda base, cioè senza modulare,
e poi un’altra macrolezione che è in banda passante cioè applicando pure la modulazione. Però sempre il
problema rimane quello che vi dicevo prima, cioè trasmettere bit.
Allora rispetto ai lucidi degli informatici dell’anno scorso, ho aggiunto lo schema di riferimento, perché mi
aiuta e ci aiuta a capire dove siamo, perché tutto ciò che faremo sarà relativo a questo schema di
riferimento. Quindi i lucidi li potete più o meno lasciare, però questo schema ed i primi 3 lucidi vi danno la
chiave di lettura di tutto, perché io mi sono reso conto, e per questo l’ho aggiunto, che lo studente bravo
imparava benissimo i singoli argomentini però non riusciva a contestualizzarli, cioè a metterli nel contesto
globale.
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Allora questo è il sistema che ci porteremo avanti praticamente per tutto il corso. Dunque noi abbiamo una
sequenza di bit bn che vogliamo trasmettere. Una sequenza logica cioè quella a cui siamo abituati: 10100;
che da sola non è trasmissibile. Cioè magari voi informatici la prendete già come una cosa che si può
trasmettere, ora noi telecominicazionisti ci dobbiamo porre il problema di come andarli a trasmettere.
Allora come prima cosa usiamo un modulatore PAM digitale. Quindi per chi ha seguito il corso dell’anno
scorso o ha avuto modo di studiare, non c’entra nullo con il PAM analogico che si faceva prima della PCM,
quindi questo qua è il PAM digitale. Lo dico per chi non è la prima volta che segue, sappiatelo per non fare
confusione. Ora man mano lo vediamo poi che cos’è il PAM digitale, piano piano i singoli blocchi li vedremo
uno per uno.
Comunque dopo di che avremo, non so come, ora poi vedremo, degli impulsi an, quindi gli an sono degli
impulsi δ, ora poi li vediamo. Dopo di che a questi δ, a questi impulsi, daremo una forma imponendo un
impulso di trasmissione. Quindi daremo un impulso rettangolare, un impulso seno cardinale, a coseno
rialzato: con il filtro di trasmissione g(t), daremo una forma ai singoli impulsi. Quindi il singolo bit, prima
viene trasformato in un impulso δ e poi viene trasformato in un impulso rettangolare, coseno rialzato, seno
cardinale, quindi in un segnale che è un elemento di base. E questo è tutto il trasmettitore.
Poi si trasmette sul canale, che ha una risposta all’impulso c(t) o una funzione di trasferimento C(f).
Purtroppo il canale introduce rumore. Per comodità nostra progettuale, ma comunque si usa fare così, il
rumore lo prenderemo AWGN. Che vuol dire? Additive, la prima A sta per Additive, rumore additivo, che si
somma, cioè che il rumore vive da solo rispetto al segnale e si ha semplicemente una somma. Chiaro?
Quindi la A sta per additivo, cioè viene sommato al segnale. White, la W sta per White e G sta per Gaussian,
cioè è gaussiano bianco. N per Noise. Quindi è un rumore gaussiano bianco additivo.
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Quindi purtroppo all’ingresso del nostro ricevitore ... questa è la lezione più importante del corso forse:
fortunato chi è presente. Perché vi sto dando una chiave di lettura di tutto il resto del corso, di tutte le
telecomunicazioni.
Finalmente arriva questo segnale più il rumore, tipo quello dell’esercizio, arriva all’ingresso al ricevitore.
All’ingresso al ricevitore, in questo momento, proprio in questo punto qua, in questa sezione, qua, quant’è il
rapporto segnale rumore? 0! Perché abbiamo un rumore bianco che ha potenza infinita. Quindi il rapporto
segnale rumore lì è 0, cioè una schifezza, non si sente nulla del segnale.
Che cosa faccio? Faccio lo stesso metodo che abbiamo fatto nell’esercizio precedente: gli metto un filtro, per
ridurre di poco o addirittura di niente la potenza del segnale, ma pesantemente quella del rumore. Chiaro?
Il problema è che in quel punto il rumore aveva potenza infinita. Quindi io voglio ridurre la sua potenza, per
avere stavolta un rapporto segnale rumore, potenza del segnale diviso potenza del rumore, accettabile.
Quindi praticamente grazie a quel filtro di ricezione h(t), fra le tante cose che fa quel filtro di ricezione, uno
dei motivi più importanti è proprio quello di trasformare il rumore da bianco ad un rumore a banda limitata
e quindi a potenza finita.
Quindi finalmente l’r0(t), diciamo subito dopo il filtro di ricezione, è ancora un segnale rumoroso perché non
è che il rumore glielo posso staccare, però ho ridotto di tantissimo il rumore. Vi ricordate che ve l’ho fatto
pure vedere quando ci siamo collegati all’impianto delle casse, io avevo il rumore bianco a tutte le
frequenze sovrapposto alla voce, se poi io filtravo la voce la tagliavo poco, mentre il rumore lo tagliavo
pesantemente e quindi poi cominciavo a sentire meglio la voce.
Quindi il segnale r0(t) non è più molto rumoroso, ma avrà una certa forma che sarebbe bello che fosse
questa che ho trasmesso. Perché vedete questo qua è l’s(t), quello a sinistra, vedete per esempio l’1 l’ho
rappresentato con un impulso rettangolare, mentre lo 0 con 0 V.
L’r0(t) a causa del rumore, perché poi non è che lo posso eliminare completamente il rumore, lo sto
filtrando, a causa del rumore ed anche a causa di un altro effetto che poi vediamo che si chiama ISI, arriva
fatto così.
A questo punto che cosa faccio? Questo segnale qua lo campiono, all’istante centrale di ogni tempo di bit,
cioè io qui nel s(t) emettevo un impulso ogni tb. Allora qui vado a campionare, a guardare il mio segnale
ricevuto, al centro di ogni tempo di bit, al centro di ogni impulso. Chiaro? Vado a guardare il mio segnale
rumoroso al centro di ogni impulso. Allora che cosa succede? Che vado a prendere questi campioncini qua
gialli, questi puntini gialli vado a leggere sul mio campionatore.
Dopo di che ho un decisore a soglia che mi dice tutti i valori … vedete i bit erano di ampiezza A, quindi
metto una soglia ad A/2. VT è la tensione di soglia, che è uguale ad A/2. Quindi tutti i valori che mi arrivano
superiori alla soglia, li leggo come bit 1; tutti i valori che mi arrivano sotto la soglia li leggo come bit 0. E
quindi qua non ne sbaglio manco 1. Vedete qua? Il primo pallino è sopra la soglia e lo leggo 1, ed in effetti
avevo trasmesso un 1. Il secondo pallino è sotto la soglia e lo leggo 0, ed in effetti qua avevo trasmesso 0. Il
terzo pallino e sopra ed il quarto è pure sopra e li leggo 1 correttamente. Chiaro? E quindi praticamente
ricevo la stessa frequenza trasmessa.
E’ chiaro come funziona il sistema di trasmissione digitale? Quindi ripeto velocemente perché è veramente
molto importante. Ogni bit bn, li trasformo prima in impulsi, cioè do dei valori. Per esempio in questo caso
quegli impulsi an saranno ... supponiamo di considerare A = 5 V, allora quegli an saranno 5 V – 0 V– 5 V – 5 V
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. Dopo di che lo passo al filtro di trasmissione che mi genererà degli impulsi rettangolari di ampiezza 5 V
oppure di ampiezza 0. Chiaro? Quindi il filtro di trasmissione imprime la forma dell’impulso rettangolare di
ampiezza data già dai valori di ingresso. Quindi ai singoli valori di ingresso, agli an, gli dà la forma
dell’impulso rettangolare. Se io gli metto in ingresso: +5 0 +5 +5, lui mi genera un impulso rettangolare di
ampiezza 5, un impulso rettangolare di ampiezza 0 ed altri 2 impulsi rettangolari di ampiezza 5. Ed ottengo
finalmente il segnale da trasmettere.
Lo trasmetto ed il canale gli aggiunge rumore. Ottengo un segnale x(t) perso completo, cioè che ha un
rapporto segnale rumore 0, dato che ha una potenza di rumore infinita.
Il mio segnale x(t) lo filtro, con un filtro opportuno di ricezione, che mi fa saltare tantissimo rumore, quello
dove non c’è il segnale lo toglie tutto, sulle frequenze in cui non c’è il segnale lo togliamo tutto. E quindi mi
riduce la potenza del rumore, non è più bianco il rumore, resta gaussiano ma non è più bianco. Finalmente
l’r0(t) avrà una potenza accettabile.
Dopo di che l’r0(t) è questo segnale qua, io lo vado a campionare sugli istanti centrali di ogni tempo di bit, e
leggo quei pallini gialli che sono dei numeri. Quei numeri li confronto con una soglia e dico: “Tutto ciò che è
sopra la soglia lo faccio diventare 1, lo considero come bit 1; tutto ciò che è sotto la soglia lo faccio
diventare 0”.
Come potete immaginare il parametro prestazionale più importante, quello definitivo, è la BIT ERROR RATE
(BER). Cioè cosa può succedere? Posso sbagliare bit. Chiaro? Quindi devo fare le cose per bene ed ora ci
dobbiamo sbracciare e lavorare per un mese, per migliorare questo parametro prestazionale. Noi vogliamo
ottimizzare la BER qua. Ma per ottimizzare questa BER, che cosa dobbiamo massimizzare? Quindi per
minimizzare la BER, dobbiamo massimizzare il rapporto segnale rumore di chi? Del segnale r0(t), ma non mi
interessa tanto in qualunque istante, mi interessa negli istanti di prelievo del segnale. Quindi mi interessa
negli istanti in cui ci sono i pallini gialli, negli istanti di campionamento. Per minimizzare la BER devo
massimizzare il rapporto segnale rumore negli istanti di campionamento del segnale ricevuto, cioè negli
istanti di prelievo del segnale. Chiaro?
Quindi ci dovremo sbracciare e lavorare, progettare tutti questi sistemi qua, per andare a massimissare il
rapporto segnale rumore, se ce la facciamo su tutto fa piacere, però se dobbiamo sacrificare qualcosa è
meglio che sacrifichiamo in questo intervallo qua, tanto non mi interessa, l’importante è che sia massimo il
rapporto segnale rumore in questi istanti, dove andiamo a prelevare il segnale. Perché massimizzando quel
rapporto segnale rumore, minimizzeremo la BER. Chiaro?
Vi ho raccontato il film intanto velocemente, ora ci andiamo a vedere le scene.
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Cominciamo dal modulatore PAM. Qua ho fatto uno zoom solo della parte trasmettitore. Ora praticamente
questo schema qua ve lo mostrerò tante volte e man mano vi dirò: ora lavoriamo su questo, ora lavoriamo
su quest’altro. Cosa che invece mancava nei lucidi scorsi. Quindi stampatevi questi lucidi, almeno questa
parte, poi i contenuto sono sempre gli stessi.
Allora come funziona il modulatore PAM? E poi: come funziona il trasmettitore? Quindi il trasmettitore per
ricostruire un segnale ... il trasmettitore ricostruirà un segnale s(t), tipo questo segnale qua sotto, che è la
somma di tanti impulsi, in questo caso impulsi rettangolari, comunque è la somma di tanti impulsi g(t),
fatemi dire, e di ampiezza pari a quanto? Pari ai singoli an ... vedete sono tanti g(t) ognuno centrato in un
tempo di bit, lo vedete? E ciascuno amplificato del valore dettato dal modulatore PAM.
Quindi per esempio abbiamo la sequenza 1,0,1,1 ... ora stiamo spiegando meglio come funziona il
trasmettitore, se vogliamo fare quello di prima, l’esempio degli impulsi rettangolari, abbiamo deciso di fare
funzionare il modulatore PAM in questo modo: al bit 1 associa +A ed al bit 0 associa 0. Poi vedremo che
questa non è l’unica possibilità, perché si può alzare uno la mattina e dice: Io voglio fare il bit 1 +A ed il bit 0
lo voglio fare –A. Oppure il bit 1 lo posso fare con 2 impulsini: +A,-A ed il bit 0: -A,+A. Chiaro?
Posso inventarmi qualunque modo, perché ci sono tantissimi modi per far lavorare il modulatore PAM con i
miei bit in valori di tensione. E’ chiaro cosa fa il modulatore PAM? Poi faremo tanti esempi, cioè piano piano
quanto faremo i codici di linea lo vedremo, però intanto cominciamo a capire.
Quindi il modulatore PAM dà degli impulsi di ampiezza opportuna. Il filtro di trasmissione sarà l’impulso
formattatore, cioè darà la formattazione all’impulso e lo chiamiamo g(t). Per esempio in quel caso era un
impulso rettangolare ed a questo punto viene un segnale s(t). Chiaro? Che è fatto da tanti impulsi
rettangolari centrati in ogni tempo di bit, ed amplificati dei valori A. Chiaro? E questo è il trasmettitore.
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Quindi la modulazione PAM consiste nel variare l’ampiezza degli impulsi trasmessi, in accordo con il flusso
dei dati da trasmettere. Quindi i bn saranno la sequenza binaria 0 o 1. Quel modulatore PAM usa un codice
unipolare, ma vi ho detto che ce ne sono tanti altri modulatori PAM possibili. Quindi il codice unipolare
funziona così: il bit 1 lo rappresenta con +A ed il bit 0 con 0 V.
Qua per esempio abbiamo il codice polare. Il codice polare rappresenta il bit 1 con +A ed il bit 0 con –A e
quindi abbiamo un an così e, se usiamo sempre la stessa forma dell’impulso formattatore, otteniamo un
segnale s(t) che è fatto in quel modo. Chiaro?
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Il filtro di trasmissione imprime la forma all’impulso da trasmettere. Allora per esempio abbiamo un impulso
rettangolare, un impulso sinc, un impulso a coseno rialzato, ne possiamo avere tanti possibili impulsi.
Attenzione che la scelta di questi impulsi ha un impatto enorme sulle prestazioni, il che vuol dire sulla BER.
Cioè voi quale scegliereste? La cosa più semplice, la cosa più banale è l’impulso rettangolare.
Malissimo! Perché l’impulso rettangolare ha una banda infinita, perché in frequenza ha un sinc. Giusto?
Una banda infinita vuol dire che poi nel canale non ci entra, non si passa nel canale, perché il canale non
vuol dire solo l’aria o il filo, ma vuol dire amplificatore di posizione, antenna di trasmissione, antenna di
ricezione, tutte queste belle cose che scopro man mano.
Ed allora vuol dire che se voi formattate ad impulsi rettangolari, è sicuro che il vostro canale distorcerà il
vostro segnale, che non c’entra con il rumore termico gaussiano bianco, ma è una cosa in più. Si ha una
distorsione perché voi avete voluto mettere gli impulsi rettangolari. Chiaro? Perché usate un segnale che ha
una banda infinita e lo volete fare passare su un canale a banda finita. Quindi è meglio usare un sinc o un
coseno rialzato ... no meglio dipende cosa si deve dire, cioè per questo spettro qua conviene usare un sinc o
un coseno rialzato perché hanno banda finita e c’è la possibilità di farlo passare liscio liscio sul canale.
La durata dell’impulso, esempi: impulso rettangolare, sinc e coseno rialzato. Poi la durata dell’impulso può
essere o Ts o Ts/2. Chiaro? Cioè abbiamo queste 2 possibilità pure. Poi vedrete.
Potreste dire: “Ma non conviene fare Ts?” No! Cioè se io trasmetto ogni Ts, che è il tempo di bit, il tempo di
simbolo, però non è detto che l’impulso lo debba fare durare solo Ts, per certi aspetti mi conviene farlo
durare la metà e questo poi vedremo perché.
L’ingegnere è una brutta bestia, cioè ve lo dico perché tanto qua dentro l’unico ingegnere sono io e quindi
mi insulto solo io, perché l’ingegnere i problemi se li cerca per poterli andare a risolvere poi ed è contento di
averli risolti. Perché chiunque essere mortale avrebbe trasmesso così! Invece l’ingegnere dice: “No, voglio
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fare il tempo dell’impulso pari a metà del tempo di bit!”; “Voglio fare l’impulso, non rettangolare, che è
troppo facile, lo voglio fare a sinc!”
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A questo punto i primi 2 blocchi, cioè modulatore PAM ed impulso formattatore, assieme formano il
cosiddetto codificatore di linea. Che cosa fa il codificatore di linea? Lo vedete là. Praticamente il codificatore
di linea trasforma delle entità logiche, che avete solo voi nella vostra testa oppure ce l’avete scritte sul
quaderno, cioè 10110, quei bit che sono entità logiche, in un segnale elettrico, se state trasmettendo su un
filo, oppure in un segnale luminoso se state trasmettendo su una fibra ottica, in un segnale radio se siete su
un ponte radio, cioè su un canale wireless. Quindi il codificatore di linea fa questa cosa molto importante
che trasforma delle entità astratte, che sono i bit, in segnale che si può trasmettere.
Allora noi parleremo di codice di linea binario e poi codice di linea multilivello. Per ora parliamo di quelli
binari. Quindi noi rappresenteremo i bit 0 ed 1 con un segnale elettrico diciamo, con degli impulsi elettrici.
Quel bn lì, rispetto all’approccio classico, anche il Couch fa come è stato fatto fino all’anno scorso, prima si
metteva il PCM, per chi ha studiato lo sa, prima si metteva il PCM e poi si metteva la trasmissione binaria in
banda base.
Che cos’è il PCM? E’ un convertitore da analogico a digitale. Quindi praticamente se io ho una sorgente
analogica, cioè parlo al microfono, l’analogico deve essere prima trasformata in bit e poi può essere
trasmesso su un canale digitale. Chiaro? Allora quei bn lì, che cosa sono? O sono bit che sono nati bit e
moriranno bit, oppure sono bit che provengono dalla codifica di un segnale analogico. Chiaro? Quindi se voi
siete con il Messenger, Messenger mi piace perché è proprio il migliore esempio per queste cose, se voi fate
una chattata, se voi chattate, state trasmettendo bit nativi, cioè direttamente voi qualunque cosa scrivete,
persino le emoticon, sono bit. Nascono bit e moriranno bit. Se invece vi fate la chiamata o la videochiamata,
vi parte da una sorgente analogica, qual è il microfono, qual è la webcam. Questi segnali analogici vengono
trasformati in bit e poi i bit vengono trasmessi. Chiaro? Perché ho voluto invertire? Perché quando vi facevo
prima i convertitori analogici digitali, si aveva la sensazione che tutto derivava dall’analogico, io lo notavo
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all’esame. Invece voi sapete molto bene, quando vi sedete davanti al computer che l’1% del lavoro del
vostro modem è dedicato al trasferimento dell’analogico in bit, ma non l’1%, l’1 per un milione! La maggior
parte nasce digitale e muore digitale, lo scambio di file, emule, tutte questa belle cose, sono tutte bit, già
direttamente bit. Quindi quei bn per la maggior parte dei casi nascono bit. In certi rari casi, tipo il VOIP,
partono dall’analogico e poi viene trasformato in digitale.
Codici di linea binari più diffusi. Già voi potevate andarvene contenti e felici a casa, basta avere visto il
codice di linea quello che rappresenta un impulso +A per il bit 1 ed un impulso 0 per il bit 0. Dice: “Va beh,
abbiamo capito i codici di linea, abbiamo finito” No! Ce ne sono tanti codici di linea e ci sono quelli con
ritorno a 0 e senza ritorno a 0. Cioè li possiamo classificare in vari modi.
Allora i codici di linea senza ritorno a 0, ora vi faccio degli esempi che possono aiutarvi nelle definizioni. Si
chiamano NRZ e RZ, in particolare i codici che vedremo noi sono questi.
Il codice di linea più vecchio è quello del nastro perforato. Le vecchie telescriventi avevano un nastrino
perforato, il sistema poteva trasmettere dei bit 1 e 0, e quindi con l’1 si forava il nastro e con lo 0 non si
forava o viceversa. Chiaro? Quindi si mandavano dei segnali elettrici e là, dall’altra parte, si perforava
oppure no. Questo è un codice di linea.
Quelli che più utilizzeremo sono ... allora io per semplicità qui vi sto mostrando e per un po’ di teoria vi farò
sempre queste figure, perché sono più semplici, soltanto come impulso formattatore g(t) l’impulso
rettangolare, ma come impulso formattatore potrei prendere anche il sinc o il coseno rialzato o anche altro.
Chiaro?
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Ora vedrete in tutti i lucidi, una volta io lo mettevo solo in un primo lucido, però si tendeva a dimenticare,
invece in tutti i lucidi gli ho messo il bollino “ESEMPIO”, cioè sono tutti degli esempi con l’impulso
formattatore rettangolare, però non è detto che debba essere così.
Allora il codice di linea unipolare NRZ è quello che vedete là. Si chiama NRZ perché durante il tempo di bit
non scende a 0, non ritorna a 0, quindi rimane al suo valore, per questo è NRZ ed anche quello di sotto. Solo
che quello di sopra si chiama unipolare perché usa una sola polarità; invece quello di sotto si chiama polare
perché rappresenta il bit 1 con +A ed il bit 0 con –A. Chiaro? Polare o antipodale.
Invece gli altri 2 qua sopra sono di tipo RZ con ritorno a 0. Allora il primo è anche lui un codice di linea
unipolare, perché usa una sola polarità, cioè mi viene come quello di sopra. Qual è la differenza fra i 2? Fra
questi e questo? Tutti e due rappresentano il bit 1 con +A ed il bit 0 con lo 0, quindi hanno lo stesso
modulatore PAM. Invece poi cos’è che cambia? Sarà l’impulso formattatore, che in un caso è l’impulso più
lungo, nel secondo caso è l’impulso più breve. Però hanno lo stesso modulatore PAM.
Invece il bipolare è una delle tante follie dell’ingegnere, perché uno si preoccupa quando vede queste cose
dice: “Ma si arriva a tanto?” Il bipolare detto anche AMI, codice AMI, invece rappresenta il bit 0 con 0 e
questo come gli ha insegnato la mamma, invece il bit 1, a parte che è RZ quindi lo rappresenta in mezzo
tempo di bit, ma poi lo rappresenta una volta con il +A ed una volta con il –A, in maniera alternata. Ci
siamo?
Quindi il codice AMI il bit 0 lo rappresenta con 0 ed il bit 1 lo rappresenta, intanto in modalità RZ, cioè a
metà bit, e poi lo rappresenta una volta con il +A ed una volta con il –A.
E se ci siamo stupiti e vorremmo conoscere la persona che si è inventata il codice AMI, ancora meglio, cioè
vi stupirà ancora di più il codice Manchester, che già il nome dà fastidio a molti tifosi di calcio. Comunque il
codice Manchester come funziona?
Il codice Manchester funziona così: il bit 1 lo rappresenta con una sequenza +A, -A ed il bit 0 lo rappresenta
con la sequenza –A, +A. Chiaro? Non ritorna a 0 perché in nessuna parte del bit va a 0 e quindi anche lui è
un NRZ.
[fine 20a lezione seconda parte (prima esercizi) ]
[inizio 21a lezione]
L’altro ieri abbiamo cominciato a parlare del sistema digitale di trasmissione in banda base. Abbiamo visto
che è costituito da una parte di trasmissione, poi c’è il canale che include il rumore AWGN, cioè additivo
gaussiano bianco, e poi c’è la parte della ricezione che è non banale e la vedremo alla fine di questa
macrolezione.
Intanto stiamo parlando del trasmettitore. Stiamo lavorando per mettere in condizioni il ricevitore di
minimizzare al solito la BER, cioè l’obiettivo è sempre quello: minimizzare la BER.
Abbiamo detto che il trasmettitore ha dei bit che sono entità logiche e deve trasformarle in segnale elettrico
per trasmettere poi sul canale. Allora per trasmettere può utilizzare uno di questi codici di linea. Parlando
dei codici di linea abbiamo parlato dei primi 2 blocchetti, se vi ricordate, del trasmettitore, che sono il
modulatore PAM ed il formattatore, quello che imprime l’impulso formattatore, il filtro di trasmissione.
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In particolare in questi disegni e poi quando faremo dei calcoli, useremo come esempio il fatto di utilizzare
un impulso formattatore rettangolare, anche se il tutto si potrebbe ripetere per qualunque tipo di impulso.
Comunque noi lavoreremo sull’impulso formattatore rettangolare.
Stavamo vedendo i vari codici di linea. Li abbiamo definiti, se vi ricordate ci sono gli NRZ, quelli che non
tornano a 0, durante il tempo di bit, e gli RZ che tornano a 0 durante il tempo di bit. Poi abbiamo gli
unipolari se hanno una sola polarità; i polari se all’1 associano il valore +A ed allo 0 associano il valore –A; i
bipolari, come quello là, il penultimo, che allo 0 associa 0, però poi bipolare vuol dire che associa 2 polarità
agli 1, alternativamente, un 1 lo fa con il + A ed un 1 lo fa con il –A. Poi c’è il codice Manchester che fa
invece una sequenza +A,-A per il bit 1 e –A,+A per il bit 0.
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A questo punto la domanda è ovviamente: “Ma perché tutti questi codici di linea? Non bastava l’unipolare
NRZ che è quello più ovvio, che associa il valore +A al bit 1 e 0 al bit 0?”
Siccome ci sono vari parametri prestazionali e confronteremo i vari codici di linea in base a questi parametri
prestazionali.
In particolare un parametro prestazionale ovviamente molto importante è la semplicità di realizzazione e
sulla semplicità di realizzazione il più semplice e quindi il vincente, diciamo, è l’unipolare NRZ. Perché ha
una sola polarità, quindi quando c’è il bit 1 trasmette +A, quando c’è il bit 0, non trasmette niente. Quindi
l’unipolare NRZ è proprio il più semplice.
Poi altri parametri. Allora assenza di accoppiamento in continua. Cos’è l’accoppiamento in continua? La
continua è la frequenza nulla o se volete quindi il valore medio del segnale. Allora ci sono dei dispositivi di
rete, come per esempio i trasformatori, che bloccano la continua. Cioè il trasformatore come funziona? Se
voi gli attaccate ad un trasformatore 50 V in continua, avete voglia di mettere bobine e spire ma dall’altra
parte non passa niente. Giusto? Passa solo se la corrente è alternata. Quindi ci sono tanti dispositivi che
bloccano la continua, cioè la componente continua, la componente a frequenza nulla.
Quindi tutti quei codici che hanno una media non nulla, sprecano potenza in trasmissione che poi non viene
utilizzata in ricezione, cioè non viene utilizzata, non arriva proprio in ricezione. Quindi se un codice ha una
componente continua, che poi viene persa in rete, cioè sul cavo, sul canale di trasmissione, quel codice non
è buono perché spreca potenza.
Il problema della potenza non è una cosa banale o poco importante, è importante per 2 motivi almeno che
mi vengono in mente ora: primo perché tutti gli apparati wireless, che oggi sono tantissimi, si confrontano
ed il prezzo poi dipende pure dalla durata delle batterie ... Cioè sicuramente preferiamo comprare un
cellulare la cui batteria mi dura una settimana, piuttosto di un cellulare che mi dura 30 minuti. Giusto?
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Oppure i sensori, ci sono delle reti di sensori che non so se avete visto da qualche parte, sensor networks,
che sono delle reti che stanno prendendo sempre più piede ... sensori vuol dire che vengono messi per
misurare qualcosa, tipo banalmente sulla macchina di F1 ci sono i sensori per misurare i vari parametri;
oppure si mettono nell’uragano, per misurare l’uragano come tempo; oppure si buttano nel fiume per
misurare il livello di inquinamento; oppure si mettono addosso con dei monitor da qualche parte e questo
speriamo che non ci arriveremo mai, perché se arriviamo a questo livello di tecnologia e meglio che
stacchiamo la corrente e chiudiamo, comunque si pensa che si arriverà ad avere sensori addosso ed
antennine per strada e quando uno è prossimo a sentirsi male, ad un infarto a qualcosa del genere,
cominciano a suonare gli antifurti dei negozi.
Comunque, queste qua sono reti di sensori e questo capite bene non è che nell’uragano o nel fiume.. cioè il
sensore deve costare poco, deve costare pochi centesimi di euro, e ha una sua batteria e quando muore la
batteria il sensore è finito, non è che uno può andare a cambiargli la batteria nel milione di sensori che
viene inserito nell’uragano. Chiaro? Quindi là il risparmio energetico è importantissimo.
Un’altra cosa invece, che sta prendendo molto piede, sono le green networks, cioè le reti verdi, cioè ci si sta
ponendo il problema, come tutti i settori ormai del mondo, ma anche nelle reti, di risparmiare energia.
Dice: “Ma nelle reti quanto si può spendere di energia?” Allora mi pare, se non ricordo male, ma è una cifra
esagerata, che la Telecom spende tipo l’1% del prodotto interno lordo italiano di corrente elettrica per
mantenere accesi tutti i suoi apparati. Banalmente chi ha l’adsl a casa probabilmente ha lasciato il router
acceso a casa, per esempio. Ma tutti questi apparati accesi consumano corrente. Oppure ci sono tantissimi
nodi di rete, probabilmente anche qua dentro o negli armadi, tanti nodi di rete che addirittura vengono
messi in backup per avere percorsi alternativi, cioè che io ho un accesso tramite un router verso internet
che però si creano percorsi alternativi con apparati accesi che consumano e che però non vengono utilizzati.
Si sta pensando di fare ricerca di reti non tanto per il protocollo più bello, per il bit più bello, per la modifica
dell’ 802.11 n++ o qualcosa del genere, ma si sta lavorando sulle green networks, cioè farle diventare verdi,
fargli abbassare il consumo energetico. Oppure per esempio, banalmente dice: “io mi faccio il backup e me
lo faccio sul server”, peccato che magari questi server sono nel Kuwait. “Sembra banale”, però ci sono
trasferimenti di file su una serie di router in tutto il mondo di andata, di ritorno, di giorno, mentre
converrebbe farlo di notte. Allora ci sono delle tecniche, per dire: facciamo dei server temporanei nella zona
dov’è l’utente e poi di notte questi server temporanei trasferiscono tutto su server remoti, più grossi, cose
di questo tipo. Queste sono le green networks.
Va beh, non c’entrava niente ... ve l’ho voluto dire perché ogni tanto un po’ di cose che non siano proprio di
fondamenti di telecomunicazione, ci stanno pure bene. Però per dire il problema del consumo energetico
non è banale e quindi questo secondo punto non è banale.
Allora ci sono dei codici di linea che non rispettano questo requisito e codici di linea che lo rispettano.
Quindi quali sono i codici di linea che hanno una continua? E quindi che rischiano di sprecare potenza?
Allora sicuramente il codice di linea NRZ unipolare ha una media, un valore medio, e quindi è già un punto a
sfavore del codice di linea NRZ unipolare.
Poi il codice di linea polare NRZ ha un valore medio o no? Cioè una media nulla o non nulla? Dipende dalla
percentuale di bit 1 rispetto agli 0. Perché se sono più probabili gli 1 ha una media positiva, se sono più
probabili gli 0 ha una media negativa, che comunque è sempre un valore medio non nullo; e quindi quello,
diciamo ha un valore medio che sicuramente è minore di quello dell’NRZ unipolare, però c’è.
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Poi l’unipolare RZ, ha un valore medio nullo? No, però ce l’ha magari un po’ meno di quello dell’unipolare
NRZ. Perché sta in ON, al valore +A, per meno tempo. Quindi già da questo punto di vista il peggiore è
l’unipolare NRZ, solo un po’ meglio RZ unipolare, cioè il d, quello là, ed il polare NRZ cioè il g. Chiaro?
Il bipolare RZ ha una media nulla? Come si vede che ancora non siete ingegneri! Allora se voi mi trasferite
come ... voi lo so che non lo fate mai e non l’avete fatto nella vostra vita, però se per caso un giorno vi
dovesse venire in mente di trasferivi un film su Internet, lo so che voi non ne fate di queste cose; se per caso
doveste trasferire un DVD che è 4 GB, su 4 GB di bit il singolo bit in più o in meno del dispari o pari non è
che vi altera la media! E va beh, invece di essere 0 sarà 10-21, ma sempre 0 è. Chiaro? Quindi praticamente il
bipolare RZ, anche detto AMI, è a media nulla. Chiaro? Qua, nel disegno, vi ho disegnato 4 bit 1, e quindi il
singolo bit pesa, però se poi andate a 10 Mbps, già in un quart’ora di trasferimento, quel bit non vi influisce
sulla media.
Poi codifica Manchester, è a media nulla? Si, è quello è sicuro che non ci sono dubbi.
Questo per quanto riguarda la media.
Poi mantenimento della sincronizzazione sorgente – destinazione. Questo è un problema che poi
rivedremo tante altre volte. Io vi ho detto quando vi ho fatto lo schema iniziale, perché sempre là dobbiamo
riferirci, che a destinazione come si fa a decidere se il bit è 0 o il bit è 1?
Si deve campionare il segnale ricevuto al centro del tempo di bit. Quindi a destinazione si campiona il
segnale al centro di ogni tempo di bit e questo valore poi lo si confronta con la soglia. Questa cosa di
campionarlo al centro del tempo di bit, a voi è passata liscia, così, nessuno si è preoccupato di questa cosa.
Magari vi preoccupati del rumore, vi preoccupate di tante altre cose, però di questo nessuno si è
preoccupato. Perché dovete essere in grado di andare a beccare il segnale al centro del tempo di bit e chi lo
deve fare? Lo deve fare il ricevitore, peccato che la sequenza dei bit la trasmette il trasmettitore che è un
altro. Giusto?
Ognuno ha il proprio clock. C’è un clock che ad ogni tempo di bit, ogni tb, dà un impulso e dice: “Ora
trasmetti, ora trasmetti, ora trasmetti”. E dall’altra parte, il ricevitore ogni tempo di bit dice: “Ora ricevi, ora
ricevi, ora ricevi”.
Si, va beh, non sono uguali i 2 clock? No! Perché c’è una deriva dei clock che prendi oggi, domani,
dopodomani, magari ci si può spostare ed andare sul bit successivo. Dice: “Si, va beh, ma che vuoi che sia?”
No! Perché sulla lavagna, mi dispiace che non ho un righello, però se questi sono 15 cm, questi qua sono 7.5
cm, giusto? Nella realtà se stiamo trasmettendo ... ormai nei pc di livello entry le schede di rete sono a
gigabit, poi ci sono quelle schede che arrivano ai terabit, ma facciamo il caso del gigabit, cioè quando io mi
collego da qua al router o allo switch vicino. Se io sono collegato a gigabit, un gigabit vuol dire un miliardo di
bit al secondo, vuol dire che il tempo di un bit è un miliardesimo di secondo. Quindi devo andare a beccare
il centro del miliardesimo di secondo. Cioè non è una cosa facile. Voi lo vedete di 7.5 cm grosso così l’RZ,
ma se prendiamo l’NRZ è di 15 cm di tratto, quello lo beccate tirando la freccetta da lontano. Là invece il
ricevitore deve andare a prendere il centro di 1 miliardesimo di secondo. Allora se ci riesce la prima volta, la
seconda, la terza, basta che c’è un minimo di shift temporale del clock non lo prende più e comincia a
leggere altri bit inaspettati.
Quindi, a parte che ci sono tante tecniche per tenere sincronizzati sorgente e destinatario, tecniche esterne,
perché ci sono tecniche per esempio come il GPS che, oltre a servirci per capire dove dobbiamo andare con
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la macchina con il navigatore, trasmette un clock con una precisione enorme e comunque lo trasmette a
tutti, quindi se il trasmettitore ed il ricevitore ricevono lo stesso segnale si possono sincronizzare. Quindi
usando oggi un trasmettere GPS si possono tenere sincronizzati un trasmettitore ed un ricevitore. Però se
non si vogliono fare cose complicate o comunque se si vuole che funzioni in un luogo coperto, già
banalmente, perché se no dovreste mettere antenne fuori, io l’ho viste, con cavi, con cose abbastanza
scomode da utilizzare; cioè non è pensabile che io con il mio portatile, per collegarmi ad uno switch o alla
presa di rete del mio ufficio, mi attacco all’antenna GPS!
Allora sarebbe bello che il segnale stesso mi aiutasse, aiutasse me ricevitore, a mantenermi sincronizzato
con il trasmettitore. Sarebbe bello che il codice contenesse informazioni in sé per potersi sincronizzare, per
potersi mantenere sincronizzato. Allora sicuramente lunghe sequenze ... cioè prendiamo per esempio il
codice di linea il primo,quello più semplice, l’RNZ unipolare. Là lunghe sequenze di 1, di bit 1, vengono
tradotte in segnale +A,+A,+A,+A, e così via. Quindi mi arriva un segnale che è costante e sicuramente non
aiuta il ricevitore, cioè non ci vuole un esperto di elettronica, ad agganciarsi e capire dove è finito un bit e
dove è finito l’altro. Ed anche lunghe sequenze di 0. Perché con lunghe sequenze di 0 e di 1 si hanno dei
valori costanti di tensione e poi uno ad un certo punto si disegna una linea così e non sa dove è cominciato il
bit.
Invece altri codici di linea, per esempio questo qua, l’unipolare RZ, già per lunghe sequenze di zeri, il
problema rimane, ma con sequenze di 1, il segnale mantiene una variabilità e quindi io riesco a capire
quando inizia l’1 e quando finisce. Chiaro? Cioè non mi resta un segnale totalmente costante. E questo poi
lo vedremo pure dallo spettro di questo segnale, che c’è un qualcosa, perché se c’è nel tempo c’è anche in
frequenza, che aiuta il ricevitore a mantenersi sincronizzato. Chiaro?
Quindi per l’RZ unipolare la presenza di lunghe sequenze di 1, non mi manda in crisi la sincronizzazione.
Mentre lunghe sequenze di 0 si.
L’AMI, la codifica bipolare RZ, anche qui lunghe sequenze di 1 non mi preoccupano, invece ancora con
lunghe sequenze di 0, si può perdere la sincronizzazione.
Invece il Manchester, ora vedete, anche se ho lunghe sequenze di 0 o lunghe sequenze di 1, il segnale
continua comunque a variare. Quindi il Manchester è quello che aiuta di più il ricevitore a rimanere
sincronizzato. Ci siamo?
Quindi per quanto riguarda la sincronizzazione della destinazione con il trasmettitore, sicuramente il
migliore è il Manchester.
Quindi finora pago in complessità ma ne guadagno con il Manchester, sia in accoppiamento in continua sia
in sincronizzazione con la sorgente.
Capacità di rilevazioni di errori. Allora ci sono alcuni codici che mi permettono di capire se c’è stato un
errore ed alcuni codici che non mi permettono di capirlo.
Per esempio, l’AMI se c’è un valore +A, anche se poi dopo gli arriva un valore sopra questa soglia qui:
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Quindi qua c’è stato il valore +A, supponiamo che mi arriva un valore qua, un valore così, a questo punto
quel valore non può essere letto come 1, come bit 1, perché il prossimo bit 1 lo farò con il – A. Quindi anche
se c’è stato un forte rumore lì, io capisco che c’è stato un errore e quindi magari lo leggo come 0. Ci siamo?
Io me ne sono uscito con 14 secondi di commento, ma c’è la teoria dei codici che tratta di questo. Ci sono
tecniche, tipo la tecnica ad albero di Viterbi, per esempio, che uno fa prove cioè dice: supponiamo che il
primo sia 1, allora andiamo a vedere il prossimo com’è? Sbagliato! Il prossimo ancora? Sbagliato! Il prossimo
ancora? Sbagliato! Allora dico no, torno indietro, forse il primo era 0. E faccio quindi delle prove ad albero
binario, fino a quando non trovo la sequenza che è più verosimile. Io purtroppo vi devo fare i fondamenti
delle telecomunicazioni, non le telecomunicazioni, che sono 2 cose abbastanza diverse e quindi ci
manteniamo sui fondamenti.
L’ultima cosa, che forse è la più importante, è la banda. Allora un’altra cosa molto importante è quanta
banda occupa un codice di linea. Perché a secondo della banda, come vedremo posso trasmettere o non
trasmettere il codice sul canale, oppure se vi ricordate la formula della capacità di canale, cosa diceva la
capacità di canale? R≤ C che è definita come B∙log2(1+SN). Ve la ricordate questa formula? Prima lezione?
La capacità di canale era il valore massimo di bit rate supportabile da un certo canale. Allora quella B è la
banda. Quindi più banda occupo, io ve la sto dicendo così ma poi la vedremo molto meglio, però capite
bene che c’entra questa formula anche se poi da qua ancora non è chiarissimo, per ora appuntatevela però
poi ci ritorneremo, comunque c’entra la banda. Per potere trasmettere con una certa bit rate ho bisogno di
una certa banda, però se il codice già me ne spreca molta, va male, cioè io posso trasmettere con una bit
rate molto più bassa. Comunque questo qua ripeto lo vedremo molto meglio. Però capite bene che è bene
utilizzare meno banda possibile, perché a parità di canale posso trasmettere con una bit rate maggiore, per
ora accontentatevi di questa cosa qui. Quindi a parità di bit da trasmettere, meno banda ho di bisogno
meglio è, perché riesco a trasmettere con una bit rate maggiore.
Quindi a questo punto il problema è calcolarsi la banda di un codice di linea, che è un problema
abbastanza grosso, non tanto per i lucidi, ma solo, mi dite o mi dicono, per l’orale, perché è uno degli
argomenti più difficili dell’orale.
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Queste cose ve l’ho già dette, ve le guardate voi.
Quindi il problema è calcolarsi la banda. La banda come si calcola? Si calcola dallo spettro di potenza,
dall’analisi spettrale diciamo, cioè dalla frequenza. Quindi ci dobbiamo calcolare lo spettro di un codice di
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linea. Che detto così sembra abbastanza banale. Il problema è che noi non sappiamo che bit trasmetteremo,
giusto? Non si sa quando arriverete a casa e non vedete l’ora di andare a chattare, che cosa scriverete nel
Messenger? Giusto? Non lo sappiamo. Quindi il vostro segnale che trasmetterete, non è un segnale
determinato, ma è un segnale aleatorio, e quindi dobbiamo andare a smuovere tutta la teoria dei processi
aleatori, che tanto ci stanno a cuore e che abbiamo fatto fino all’altro ieri. Quindi dobbiamo utilizzare un
approccio statistico.
Per i processi aleatori, lo spettro, quello che abbiamo chiamato densità spettrale di potenza, per i segnali
determinati, per i processi aleatori si chiama spettro, volgarmente detto spettro. E quindi dobbiamo
calcolare lo spettro di un segnale aleatorio.
Allora dimostreremo, ed ora lo dimostriamo immediatamente, che la formula per calcolare lo spettro di un
codice di linea è questa:
Dove il modulo al quadrato lo calcoliamo di G(f). G(f), ci sarà scritto poi sull’altro lucido, è la trasformata di
Fourier di g(t), e che cos’è la g(t)? Era l’impulso formattatore. Perché ovviamente nello spettro del mio
segnale codice di linea, sicuramente c’entra lo spettro di che cosa? Dell’impulso formattatore. Cioè già, e
questo non ci vuole la conoscenza dei processi aleatori, già intuiamo che se usiamo per il singolo bit, usiamo
un impulso rettangolare che ha banda quanto? Banda infinita, non è che trasmettendo poi tanti bit la banda
diventa di meno? Quindi se già per un bit è infinita, sicuramente il vostro codice di linea avrà banda infinita.
Chiaro? Se invece abbiamo un sinc per rappresentare il singolo bit, il sinc ha in frequenza un impulso
rettangolare, quindi ha banda finita, anche se ora non lo sappiamo se verrà finita, ma poi vedremo che verrà
finita. Però viene qualcosa che dipende dalla forma dell’impulso formattatore. Quindi questo qua è la
presenza di quel G(f) là.
Ts è il tempo di simbolo. Allora il tempo di simbolo finora e per i prossimi lucidi, il tempo di simbolo lo
stiamo facendo coincidere con il tempo di bit, perché stiamo facendo trasmissione binaria, cioè stiamo
trasmettendo come unità informatica elementare il bit, e quindi per ora il tempo di simbolo coincide con il
tempo di bit. Quindi da questo momento io li confonderò, a volte scrivo Ts o dico Ts, a volte dico Tb.
Quando poi invece faremo la codifica multilivello, cioè quando utilizzeremo più simboli possibili, là il tempo
di simbolo sarà diverso dal tempo di bit, cioè io posso ad esempio raggruppare i bit a 2 a 2, ed avere il
simbolo 00, 01, 10 e 11; quindi ho 4 simboli. Giusto a quel punto il tempo di simbolo, in quel caso, il tempo
di simbolo sarà 2 volte il tempo di bit. Chiaro? Perché se io raggruppo i bit a 2 a 2 avrò un tempo di simbolo
che mi dura quanto 2 bit; se li raggruppo a l a l, avrò un tempo di simbolo che mi dura l tempo di bit.
Chiaro? Lo indicheremo in generale con Ts, il tempo del simbolo che voglio trasmettere, quindi la durata,
che in questo momento per i codici di liena binari coincide con il tempo di bit e quindi coincide con:
1R
Dove R è la bit rate, cioè il numero di bit al secondo.
Invece quando ho una segnalazione multilivello, mi coincide con 1/D, dove D è la simbol rate cioè il numero
di simboli al secondo che voglio trasmettere. Con un legame:
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D=Rl
Quindi se io devo trasmettere 200 kps e li raggruppo a 2 a 2 i bit, trametterò la metà, cioè 100 kilo simboli al
secondo.
Chiaro? Questi qua sono la R, bit rate, e D, simbol rate.
Nel caso binario R coincide con D, perché il mio simbolo è il bit.
R(k), per ora ve lo dico così, poi questa formula la vedremo nascere e crescere tipo un bimbo, questa qua
dell’ R(k), e quindi poi si commenterà da sola. Comunque è la funzione di autocorrelazione del processo
aleatorio. Quindi R(k), I, Pi, poi spunteranno, ora poi vediamo come, è inutile che ve li commento ora.
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Questa è una delle croci di essere 9 crediti. Allora dimostriamo questa formula.
Vogliamo calcolare lo spettro, se vi ricordate l’abbiamo definito lo spettro per un processo aleatorio e
l’abbiamo definito come? Proprio con la definizione, che era uguale a quella dei segnali determinati. Come
si faceva?
P(f) era il limite del valore atteso di XT(f) al quadrato fratto T. Dove XT(f) che cos’è? E’ la trasformata di
Fourier xT(t) e xT(t) non è altro che la trasformata di Fourier del segnale troncato fra –T/2 e T/2. Chiaro?
Questa qua era la definizione, cioè dovevamo prendere il segnale nel tempo è troncarlo in un intervallo di
ampiezza T fra –T/2 e T/2. Questo ve lo ricordate? Perché finora è quanto abbiamo fatto, da ora in poi
scoprirete... State attenti perché so che qua ci sono problemini.
Allora il problema è questo, che nel nostro caso il segnale xT, cioè il segnale x, il segnale aleatorio, è la
sequenza di bit, quindi è un processo aleatorio tempo discreto. Ci siamo? Cioè assume un certo valore in un
intervallino, un altro valore in un altro intervallino, ogni intervallino è pari al tempo di bit.
Quindi praticamente se noi abbiamo il nostro segnale fatto così:
Se fosse stato questo qui l’x(t), l’avremmo troncato fra –T/2 e T/2. Giusto? Se fosse stato quello il mio
segnale, l’avremmo troncato fra –T/2 e T/2. Questo è quello a cui ci siamo abituati, invece qua siamo nel
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tempo discreto, quindi la troncatura la facciamo non fra un –T/2 ed un T/2, che poi vanno all’infinito, giusto?
Perché poi la T la facciamo crescere all’infinito, questo intervallo –T/2, +T/2 lo facciamo crescere all’infinito,
c’è quel limite là. Quindi la troncatura non la facciamo sull’intervallo –T/2, +T/2, si chiamano slot temporali,
quei tempi di bit sono slot temporali, intervalli temporali. Quindi lo faremo da un intervallo temporale
negativo all’altro intervallo temporale positivo, simmetrico. Chiaro? Cioè stavolta avremo una cosa di questo
tipo, nei vari tempi di bit.
Questo sarà il mio segnale stavolta, quello blu, è chiaro? Quindi non farò io la troncatura, cioè non devo
ragionare in T secondi, oppure fra –T/2 secondi e T/2 secondi, numero reale che tende ad infinito. Ma devo
ragionare in intervalli, in multipli di questo intervallino. Chiaro? Perfetto, quindi il mio T, cioè il mio
intervallo su cui tronco il segnale, ripeto che poi lo farò tendere ad infinito, lo devo scrivere come multiplo
del Ts, del tempo di simbolo. Chiaro? E quindi quello che farò tendere ad infinito sarà … qua c’è 0 vedete?
Poi 1, 2, 3, 4 ... N fino a –n; farò tendere all’infinito N. E’ chiaro per tutti o no? Cioè il mio segnale lo
troncherò non fra –T/2 e T/2, ma fra un –NTs e un + NTs. Ci siete?
Intanto vi ricordate che il mio segnale x(t), cioè quello che mi metto nel canale, com’era fatto? Vi ricordate?
Quello che passava prima dal modulatore PAM e poi dal filtro formattatore, dal filtro di trasmissione? Ce
l’avete nel primo lucido, era fatto così:
era sommatoria da -∞ a +∞ di an ∙ g(t-NTs).
Stavolta però siccome lo voglio troncare, non lo farò andare da -∞ a +∞, ma lo varò andare da –N a +N.
Giusto? Lo sto troncando in questo intervallo, in questo T che mi va da –N a +N, ci siete? L’XT(f), che poi devo
fare modulo al quadrato ed andarlo a mettere in questa formula qua, è la trasformata di Fourier di questa
serie di impulsi, di questo segnale qua. Dove gli an vi ricordate che sono? Gli an sono i simboli però dettati da
un modulatore PAM. Quindi per esempio il PAM dell’ NRZ unipolare mi dava 0 0 +A +A 0 0 +A +A; invece il
PAM per esempio dell’ AMI me la dà un po’ diversa, perché mi darà gli 0 li stessi, però per i bit 1 me li fa
diventare +A e –A. Questi sono i simboli an. Quelli dettati dal modulatore PAM. Poi questi simboli verranno
moltiplicati per l’impulso formattatore.
Va beh, facciamo questa trasformata di Fourier e qua è ancora liscio liscio perché come si fa la trasformata
di Fourier? Quello là veniva G(f) per un termine ej che mi tiene conto della traslazione. Chiaro? E quindi ho
fatto la trasformata di Fourier. Andandolo a sostituire allora in quella formula con il cerchio, finalmente
abbiamo il nostro spettro, vedete?
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Limite per ... invece di fare t che tende ad ∞, faccio tendere questo N a +∞. Al posto di T, gli metto (2N+1)Ts
e poi metto il quadrato di questo. Chiaro?
E lo riporto lì, l’ho ricopiato. Ora che cosa posso fare? Cosa ho fatto qua? Allora attenzione qua, guardate.
Vi ricordate il quadrato di una sommatoria come si faceva? L’abbiamo visto quando? L’abbiamo visto 2 volte.
Una volta è stato quando abbiamo fatto che cosa? La relazione di Parseval con i cn, la potenza di un segnale
periodico. E poi un’altra volta forse quando abbiamo fatto la DSP di un segnale periodico. Comunque in
quella zona là. Vi ricordate? Diciamo di si. Comunque se vi ricordate una sommatoria elevata al quadrato su
può scrivere come 2 sommatorie, su un indice n ed un indice m. Perché è come se voi voleste fare un
quadrato di un trinomio al computer, fate un ciclo for n ed un ciclo for m, per spazzolare
indipendentemente i termini del trinomio 2 volte.
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Quindi siete d’accordo che questo qua si fa con 2 sommatorie? Poi però attenzione, non è un valore
costante, cioè è un valore statistico, è una variabile aleatoria, le variabili aleatorie chi sono? Chi è che sono
aleatorie in questo contesto? Sono i simboli che io voglio trasmettere, quindi sono gli an e gli am. Chiaro?
Quindi per esempio l’an, se per esempio avessimo un codice di linea unipolare NRZ, quello il più banale, e
volessimo trasmettere 11011, gli an sarebbero AA0AA. Quindi per esempio, quant’è l’a3? L’a3 è lo 0. Chiaro?
Questi qua sono i simboli aleatori, che sono aleatori perché non sappiamo la sequenza di bit.
Quindi resta praticamente di aleatorio, di cui fare il valore medio statistico, solo il prodotto an∙am, che cos’è
an∙am ? E’ il processo aleatorio all’istante o allo slot n. Che valori può assumere il processo aleatorio? Può
assumere nell’esempio di prima o 0 o A. Quindi sono i valori del processo aleatorio all’istante o allo slot n e
all’istante o allo slot m e c’è il prodotto.
Ma il valore atteso del prodotto non ci ricorda qualcosa? Prima un passaggio matematico banale. Invece di
fare n ed m, chiamo m = n+k.
Che cos’è k? k è la distanza fra m ed n. Quindi uno slot lo chiamo n e l’altro slot invece di chiamarlo m, lo
chiamo m+k. Perfetto e quindi ho fatto questa banale sostituzione. A questo punto mi ricordo dalla teoria
dei processi aleatori, che il valore atteso ... questo valore atteso qua, supponendo il processo aleatorio
stazionario in senso lato, vi ricordate cos’era stazionario in senso lato? Che la funzione di autocorrelazione
dipendeva solo dalla distanza temporale, se supponiamo il processo aleatorio stazionario, quel valore atteso
del prodotto di an e di an+k, mi pare che sia la funzione di autocorrelazione su campioni di distanza k, quello
che avevamo chiamato R(τ), nei processi aleatori. E’ chiaro per tutti? Quindi quella è la funzione R(k).
Infine se n tende ad ∞ la sommatoria per k, vedete, nella sommatoria il k ha durata -∞ +∞. Quindi diciamo
per n che tende ad ∞, questo oggetto lo possiamo scrivere così:
Come vedete, questo oggetto qui, che ho messo in un cerchio, non dipende da n piccolo: c’è n piccolo? No!
Dipende solo da questo k. Chiaro?
Perfetto a questo punto torniamo ora sulla formula superiore e vediamo un attimo di capire, cioè a questo
punto abbiamo praticamente finito, perché? Guardate.
Se io faccio il limite per N che tende ad ∞ ... sto guardando nella formula di sopra tutto questo, questo in
rosso. Allora quello in rosso praticamente è
lim N→∞ 1/(2N+1)TS di qualcosa.
Questo qualcosa non dipende da n piccolo. Giusto? Questo qualcosa non dipende da n piccolo. Allora
possiamo scriverlo in questo modo, guardate.
1/(2N+1)TS
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Poi la sommatoria per n piccolo che va –n ad n, di un qualcosa che non dipende da n piccolo. La sommatoria
per n piccolo che va da –N a +N di un qualcosa che non dipende da n piccolo sarà ... quante volte lo sommo
a? Sto sommando a, quante volte? Siccome va da –N a + N lo sommo 2N+1 volte.
Quindi praticamente la sommatoria da -N a +N di una costante, sarà 2N+1 volte la costante.
Quindi praticamente la sommatoria per n piccolo che va da –N a +N di questo che l’ho potuto scrivere così,
sarà 2N+1 volte questo qua.
E’ chiaro o no?
Cioè il punto mi rappresenta tutto questo.
Ripeto. Là sopra, cioè in questo passaggio qua, abbiamo capito che questo termine qua, per n che tende ad
infinito, lo possiamo scrivere così, come:
Sommatoria su k di ∙ (punto), fatemi dire, di quella cosa là. Tutto questo termine qua nel cerchio
Lo possiamo scrivere come questo. Ci siete? Questo qua è il risultato del penultimo passaggio. E scopriamo
che questa cosa qui, non dipende da n piccolo. Quindi fare una sommatoria per n piccolo da –N a +N di
questo, equivale a prendere questo e moltiplicarlo per 2N+1. E’ chiaro?
Quindi praticamente io vi ho scritto:
1/(2N+1)TS
E poi qua gli posso mettere al posto di -N+N di questo, gli scrivo 2N+1 volte, che è questa sommatoria qua,
∙ questo oggetto che è questo qua.
E quindi poi praticamente, ciò detto, andando a semplificare 2N+1 e 2N+1, viene esattamente quello che
volevamo dimostrare.
Quindi quell’ R(k) è la funzione di autocorrelazione di che cosa? Non del segnale che voglio trasmettere,
ma è della sequenza di impulsi generati all’uscita del modulatore PAM. Cioè gli an sono gli impulsi generati
all’uscita del modulatore PAM. Chiaro cos’è l’R(k)?
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Avevamo detto che 2 codici di linea fra quelli che vi ho mostrato, 2 codici di linea avevano lo stesso
modulatore PAM, differivano solo per l’impulso formattatore. Erano l’ NRZ unipolare e l’ RZ unipolare. L’NRZ
unipolare era l’impulso rettangolare, L’ RZ era un impulso rettangolare più piccolo, ma il modulatore PAM
era sempre lo stesso, perché associavo al bit 1 +A ed al bit 0 0. Chiaro?
Allora questi 2 codici di linea hanno la stessa funzione di autocorrelazione. Perché a parità di sequenza di bit
il modulatore PAM è lo stesso e quindi l’uscita del modulatore PAM è la stessa. Chiaro? Se invece prendiamo
un altro modulatore PAM, per esempio quello dell’AMI, che mi dà +A, -A, +A,-A, la sequenza dei simboli,
degli an, sarà diversa e quindi avremo un'altra funzione di autocorrelazione.
Perfetto, se abbiamo capito questo, a questo punto forse ci potremmo cominciare a calcolare, lasciate
perdere quello che c’è scritto un attimo, l’ R(k) per il codice NRZ unipolare.
Cioè dato il codice NRZ unipolare, ce lo sappiamo calcolare R(k)? La funzione di autocorrelazione? I possibili
an, i possibili simboli, quali sono? Sono o A o 0. Quindi praticamente l’an e l’an+k, cioè se io mi chiudo gli occhi
e vado a campionare il mio segnale in 2 istanti n ed n+k generici, che cosa saranno? Cioè che simboli posso
prendere? A A oppure A 0 oppure 0A oppure 00. Questi 4 possibili simboli.
Quindi posso prendere AA, A0, 0A e 00. A questo punto il prodotto an∙an+k, quanto farà? Farà A2, 0, 0 e 0.
Giusto? Perché se io prendo 2 simboli A, avrò A∙A, ma se prendo un simbolo 0 ed un simbolo A, mi viene il
prodotto 0. Quindi questa variabile aleatoria può assumere i valori o A2 oppure 0. Supponendo i simboli
equiprobabili, quindi di beccare con la stessa probabilità AA oppure A0 oppure 0A oppure 00; però
supponendo di essere in questo caso, quindi di avere simboli equiprobabili, le probabilità di ciascuna coppia
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e quindi di ciascun prodotto, saranno: ¼, ¼, ¼ ed ¼. Ci siamo? Come si fa il valore medio di una variabile
aleatoria discreta? Si fa la somma di tutti i possibili valori pesati per le loro probabilità.
Quindi il valore medio che è proprio la funzione di autocorrelazione, quindi il valore medio del prodotto
an∙an+k sarà quanto? 1/4A2+0+0+0. Chiaro? Ed ho trovato la funzione di autocorrelazione. Ci siamo? Nel caso
di un NRZ unipolare dove i simboli ... ripeto i bit sono 0 ed 1, i simboli del modulatore PAM sono 0 ed A.
Potrei fare la stessa cosa per tutti gli altri codici di linea.
Qualcuno mi dice: “Ma se k=0 quale pure questo?” Perché k può essere un numero ... la funzione di
autocorrelazione la posso calcolare per k positivi, per k negativi. Per k positivi e negativi ho simmetria fra il k
positivo ed il k negativo. Per k=0 la devo poter calcolare perché che cosa mi dà la funzione di
autocorrelazione per k=0? La potenza. E questo è sbagliato quello che ho scritto qua per k=0, questo vale
per k≠0.
Perché? Perché se k=0 sto andando a campionare lo stesso slot, lo stesso intervallo temporale e quindi mi
pare che se k=0, fatemelo fare qua stesso, nel caso k=0, questo caso qua, non è possibile, che becco nello
stesso slot A e 0. Come nello stesso slot non posso prendere 0 o A. Quindi anche questo non è possibile. Se
mi voglio calcolare la funzione di autocorrelazione a distanza nulla, allora per k=0, nello stesso slot
temporale, potete trovare o 00 oppure AA. Chiaro? Quindi con prodotto A2 e 0, ma stavolta con quali
probabilità? Se abbiamo 2 possibili prodotti avremo ½ ed ½.
Quindi la funzione di autocorrelazione è per k=0 A2/2 e per k≠0 A2/4. Chiaro per tutti? Perché ho messo
quella linea là? Perché il calcolo della funzione di autocorrelazione, non dipende dall’impulso formattatore,
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ma è fatto sul modulatore PAM. Quindi l’esempio impulso rettangolare, qua mi sono scordato l’animazione,
viene da qua in giù, perché quella funzione di autocorrelazione non dipende assolutamente dall’impulso
formattatore. Quindi se l’impulso formattatore è sinc, coseno rialzato, tutto quello che volete voi, la
funzione di autocorrelazione è sempre quella, perché questa è all’uscita del modulatore PAM, poi l’impulso
formattatore entra dopo. Quindi questa qua è, se volete, per ogni impulso formattatore.
Quindi qualunque sia l’impulso formattatore la R(k) è questa, cioè dipende solo dal modulatore PAM. E’
chiaro?
A questo punto ora vogliamo calcolare lo spettro di potenza, quindi cosa abbiamo fatto oggi? Abbiamo
dimostrato qual è la formula dello spettro di potenza, complicata e con tutta la dimostrazione difficile che
abbiamo fatto, e poi ora stiamo cominciando a lavorare e stiamo considerando l’ NRZ unipolare. Anche se
questa R(k) potrebbe andare bene anche per RZ unipolare, perché la differenza è solo sull’impulso
formattatore.
Per impulso formattatore rettangolare il g(t) è quello, è l’impulso rettangolare di durata Tb; il G(f) viene
questo;
il Ts ed il Tb sono uguali, perché stiamo facendo trasmissione e quindi il tempo di simbolo coincide con il
tempo di bit. Perfetto. A questo punto ci prendiamo la bella formulona che ci siamo dimostrati, abbiamo
tutti gli elementi e li andiamo tutti a sostituire.
Sappiate che, se non ricordo male, nelle domande che possono uscire dal mio simulatore di domande,
può uscire o la dimostrazione di questa formulona qua, oppure l’applicazione di questa formula, cioè o
quello che abbiamo fatto finora, oppure quello che stiamo per fare: l’applicazione di questa formula
all’impulso rettangolare. Quindi vuol dire che mi dovete calcolare l’R(k) e mi dovete andare a sostituire
queste cosa qua dentro.
Allora andiamo a sostituire. Se andiamo a sostituire, guardate che cosa succede.
L’esito del vostro esame dipende da quanto avete studiato voi e da che domande vengono sorteggiate nel
computer, quindi la mia presenza è solo per verificare che quello che dite non è sbagliato, ma poi la scelta
degli argomenti ve la fate voi stessi sorteggiando un numero.
Quindi vado a sostituire. Al posto del G(f) gli metto il sinc e diventa sinc2, qua c’è un Tb2, che semplifico con
questo Tb o Ts che sia e viene questo.
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Attenzione, sto mettendo la funzione di autocorrelazione. Sto mettendo ½ , che mi copre il caso k=0, e ¼
che mi copre il caso k≠0. Nel caso k=0, non ho messo tutta questa cosa qua, cioè non ho messo la e-j perché
il k=0 mi fa venire l’esponenziale uguale ad 1. Giusto?
Ora state attenti qua che c’è un gioco di magia. Allora vi spiego un passaggio che statisticamente, siccome lo
so ve lo dico, scrivere sui vostri lucidi: Questo passaggio è giusto, se mi sembra sbagliato vuol dire che sto
sbagliando io. Non sto scherzando! Non sapete quanti ricevimenti ho fatto per dimostrare che questo
passaggio non è un errore di stampa. Quindi sappiate che questo passaggio è giusto sicuro. Ora magari io ve
lo spiego, lo capite, però poi vi scordate il motivo. Però più chiaro di così non saprei come dirvelo, ora ci
provo a voce.
Allora guardate il gioco di magia. Questo ½ qua, lo scrivo come ¼ + ¼ . Chiaro? In questa formula c’è scritto
k≠ 0, perché? Quale termine gli manca? Gli manca il k=0. Cioè mi piacerebbe scrivere per k che va da -∞ a
+∞. Per potere omettere questa cosa, per potere prendere questo e cancellarlo e quindi mettergli pure il
caso k=0, cosa gli dovrei aggiungere? Abbiamo un 1, abbiamo ½, abbiamo 1 nella sommatoria con ¼ davanti
¼. Quindi se questo lo inglobo così
Cioè alla sommatoria con k escluso lo 0, gli aggiungo pure ¼, mi pare che ho coperto pure il caso k=0. E
quindi posso scrivere stavolta, tutta questa cosa in rosso, la posso scrivere per ogni k. Siete d’accordo o no?
Questa sommatoria la posso scrivere per ogni k.
Ripeto. Allora in quella sommatoria, in quel termine ¼ sommatoria, c’era scritto per k≠0. Allora a me quel
k≠0, dà fastidio. Allora cosa avrei avuto in quella sommatoria se ci fosse stato pure il k=0? Avrei avuto ¼∙e0.
Quanto fa ¼∙e0? Fa ¼. Cioè praticamente se io dico ¼ + ¼ + questa sommatoria per k≠0, posso dire
sommatoria per ogni k, perché nella sommatoria gli mancava proprio il termine ¼. Chiaro?
Quindi praticamente se siete d’accordo, faccio un passaggio intermedio, qui ci scrivo ¼, qui ci scrivo ¼, e lo
tolgo da qua. Ripeto. Questo ½ l’ho scritto ¼ + 1/4 ; questo ¼ l’ho inglobato qua dentro e quindi viene:
¼ + ¼ sommatoria, dove però stavolta la sommatoria l’ho potuta fare per ogni valore di k. Siete d’accordo su
questo passaggio?
A questo punto il 4 lo metto in evidenza e mi viene questo passaggio e quindi sono abbastanza certo e
convinto, anche se ogni anno mi fate venire i dubbi, che questo passaggio è giusto.
A questo punto la sommatoria degli e elevato a … è uguale a
1/Tb δ
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Questa cosa l’abbiamo fatta quando abbiamo fatto il calcolo dei cn del segnale pettine. Quindi anche questo
è giusto.
Avevo quel passaggio là sopra, moltiplico … cioè il sinc2 lo metto dentro la parentesi quadra, e viene quello.
Guardate che segnale strano che mi è venuto! Che spettro strano che mi è venuto! Guardate bene il
risultato ed in particolare guardate prima questo termine qua.
E’ il prodotto di un sinc2 e di un pettine. Lo vedete che il prodotto di un sinc2 e di un pettine? Allora questo
è un segnale molto sfigato, perché? Perché il pettine è quasi sempre nullo. Solo negli istanti, dove sono
centrati gli impulsi cioè sui multipli di 1/Tb c’è l’impulso. Quindi poverino lui è quasi sempre nullo, che
però poi ogni Tb ha un impulso. Però, poveraccio, è moltiplicato per un sinc2 che, caso vuole, è quasi
sempre non nullo, però che si annulla sui multipli interi dell’argomento, cioè per frequenze multiple di
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1/Tb. Quindi praticamente il pettine è quasi sempre nullo, tranne in alcuni punti, ma in quei punti, solo in
quei punti si annulla il sinc2. E’ chiaro o no? Voi dite 0? No! Perché c’è un superstite! In 0 il pettine ha una
δ ed il sinc2 vale 1. Quindi per n=0 c’è il superstite.
Quindi praticamente di quella palla rossa là, tutta quella palla si riduce ad una sola δ di ampiezza quanto?
A2/4, di area A2/4 δ(f) centrata in 0.
Siete d’accordo o no? Quindi quello è un segnale proprio nato male, come se si fossero messi d’accordo: o
sei 0 tu o sono 0 io. E quindi è quasi sempre 0, tranne per la frequenza 0. Nella frequenza o il pettine ha la
δ(f), perché è centrata nell’origine, ed il sinc2 vale 1, moltiplicato per A2/4 viene quello.
Qua c’è scritto tutto quello che vi ho detto in maniera più simbolica, ma se l’avete capito è meglio come ve
l’ho spiegato io.
A questo punto lo possiamo scrivere così: lo spetto dell’unipolare NRZ viene questo:
Viene la somma di un sinc2 + una δ.
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Poi siccome ci servirà di confrontare i vari codici, è ovvio che un codice che ha una potenza maggiore ha
delle proprietà migliori. Allora i vari codici ci conviene confrontarli a potenza unitaria. Quindi i multipli li
porteremo a potenza unitaria. Allora faremo in modo che l’area sotto quello spettro, sia unitaria. Quindi
calcoleremo A grande, cos’era A? A era l’ampiezza che associavamo al bit 1. Quell’A grande la calcoleremo
per avere una potenza complessiva unitaria e lo faremo per tutti i codici in maniera tale che tutti i codici li
confronteremo a parità di potenza. Allora facendo l’integrale di quello:
Viene A2/2, la potenza, cioè l’area sotto quello spettro e quindi A lo prendiamo 2.
E quindi andando a sostituire alla fine questo viene lo spettro del codice di linea unipolare NRZ con potenza
unitaria, normalizzato. E’ chiaro?
A questo punto lo grafichiamo e viene questo (per frequenze negative viene il simmetrico).
A questo punto per il codice di linea NRZ unipolare possiamo rispondere alla domanda che ci siamo posti
un’ora e mezza fa: quant’è la banda del codice di linea NRZ unipolare? Allora la banda si misura intanto su
frequenze positive, vi ricordo. Allora la banda che io vedo, la banda assoluta è infinita. Giusto? Perché non
c’è una frequenza oltre la quale è sempre 0, quindi la banda assoluta è infinita. Però se la pensiamo infinita
non trasmetteremo nulla, prendiamo una banda al primo nullo, quant’è la banda al primo nullo? E’ R!
Quindi abbiamo banda al primo nullo R.
Quindi se noi vogliamo trasmettere 50 kbps abbiamo bisogno di una banda per fare passare il primo nullo di
50 KHz sul canale. Chiaro? Il resto va tagliato, ma viene tagliato poco, comunque passerà tutto il primo lobo,
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cioè fino ad R. E’ chiaro? Quindi per trasmettere 50 Kbps (R è la bit rate) abbiamo bisogno di un canale con
banda 50 KHz, cioè pari ad R per fare passare il primo nullo. Questo quando? Quando utilizziamo un NRZ
unipolare ad impulso formattatore rettangolare. Chiaro? Allora per questo caso NRZ unipolare ci siamo fatti
tutta la dimostrazione puntuale, cioè siamo partiti dalla formula generale e ci siamo calcolati la formula,
segnali sfigati, tutte queste belle cose l’abbiamo fatte; per tutti gli altri codici di linea, la prossima volta, vi
farò vedere tipo film solo le formule che non dovete né imparare a memoria e né dimostrare, ma per gli
altri codici di linea mi dovete sapere solo disegnare questo grafico qua e quindi poi dirmi quant’è la
banda. Chiaro? Voglio la dimostrazione del primo perché voglio essere sicuro che voi abbiate le
conoscenze per poterla fare.
[fine 21a lezione]
[inizio 22a lezione parte prima]
Allora la scorsa volta abbiamo visto la trasmissione binaria in banda base; abbiamo visto che c’è il
trasmettitore, il canale ed il ricevitore; e stiamo lavorando ora sul trasmettitore. Il trasmettitore ha il
problema di trasmettere questi bit ed il problema del trasmettitore è semplicemente di trasformare in
segnale elettrico per il canale.
Come lo fa? Utilizzando i codici di linea!
Abbiamo visto quali sono i codici di linea più utilizzati ed in particolari quelli che stiamo studiando noi.
Abbiamo visto quali sono i parametri per confrontare i codici di linea; abbiamo visto l’economicità, la
semplicità, l’accoppiamento in continua, la sincronizzazione tra sorgente e destinatario contenuta nel codice
stesso; e poi abbiamo visto la banda.
Per calcolare la banda abbiamo dovuto calcolare lo spettro, non è stato banalissimo, perché abbiamo
dovuto scomodare i processi aleatori, e comunque abbiamo fatto una bella dimostrazione che si è conclusa
con questo risultato qua.
Questo risultato l’abbiamo applicato all’NRZ unipolare, con impulso formattatore pari all’impulso
rettangolare. E di questo codice di linea abbiamo fatto tutti i passaggi ed abbiamo scoperto che lo spettro è
questo.
Allora su questo codice di linea mi dovete fare all’orale tutti i singoli passaggi, cioè si parte da quella
formula dimostrata generale e poi, supponendo l’impulso rettangolare, supponendo il PAM dell’NRZ
unipolare, mi dovete calcolare tutto ed arrivare fino a questo grafico qua.
Per gli altri codici di linea, che oggi vedremo, faremo invece una carrellata veloce, cioè non faremo
dimostrazioni; non vi dovete ricordare la formula finale, io ve la faccio vedere, ma vi dovete ricordare solo
il grafico per andare a leggere poi alcune proprietà direttamente dal grafico.
Io questa dimostrazione ve l’ho voluta fare una volta perché così, diciamo teoricamente, siete in grado poi
di farne altre per qualunque altro codice di linea che vi potrà capitare nella vita. Quindi il metodo lo sapete,
però poi non mi interessa che me la sappiate ripetere per ognuna.
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Cominciamo con l’NRZ polare. L’NRZ polare è fatto in quel modo lì, cioè diciamo che i bit 1 li rappresenta
con il livello + A, i bit 0 con il livello - A.
Allora supponendo che siano equiprobabili i bit 1 ed i bit 0 e statisticamente indipendenti, ci si calcola la
funzione di autocorrelazione che viene questa (ripeto andrò molto velocemente, non mi soffermerò, perché
poi non ve le chiedo nemmeno queste cose). Si arriva a questo spettro:
Ed al solito applicando la condizione di normalizzazione, cioè imponendo che la potenza sia unitaria, e
quindi l’area sotto la densità spettrale di potenza sia unitaria, impongo la potenza uguale ad 1 e trovo quel
parametro A=1.
E quindi arrivo a questo grafico qua:
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Quindi anche in questo caso, ovviamente, siccome uso impulsi rettangolari, la banda assoluta quanto viene?
Viene infinita. Ho una banda al primo nullo di R.
Che differenza c’è con lo spettro di prima? Con quello dell’ NRZ unipolare? E molto simile a quello, la
differenza è nell’impulso δ nell’origine: cosa vuol dire? Vuol dire che quello, l’NRZ unipolare, ha una media
non nulla; l’NRZ polare è venuto senza l’impulso δ, perché è venuto senza l’impulso δ ? E quindi vuol dire
media nulla. Perché abbiamo supposto equiprobabilità dei bit 1 e 0. Quindi se i bit 1 e 0 sono equiprobabili,
cioè tanti 1 e tanti 0, il valore medio di quel segnale è 0. Se no avremmo avuto nello spettro anche qui una
δ, sicuramente più piccola di quella dell’unipolare, ovviamente. Chiaro? Quindi qua δ non ce n’è perché
abbiamo supposto i bit 1 e 0 equiprobabili e quindi è venuta a media nulla, però non è detto che sia a media
nulla. Chiaro? Mentre il Manchester è sicuro che è a media nulla, questo è a media nulla solo se i bit 0 ed 1
sono equiprobabili. Mentre di alcuni codici poi vedremo che la δ mancherà in ogni caso.
All’orale vi posso chiedere: Ma perché non c’è la δ? E voi mi dovete dire: perché per l’ipotesi di
equiprobabilità il codice che stiamo supponendo è a media nulla.
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Poi RZ unipolare. L’RZ unipolare come funziona? E’ esattamente come il primo, come l’NRZ unipolare tranne
che il bit però dura mezzo Tb e non tutto Tb. Allora vi calcolate la funzione di autocorrelazione. Attenzione
che la funzione di autocorrelazione se vedete è uguale a quella del primo, dell’NRZ unipolare. Perché?
Perché la funzione di autocorrelazione io la faccio su che cosa? Vi ricordate che il codificatore PCM è fatto
da 2 parte: è fatto dal modulatore PAM digitale, che dà i valori, in quel caso sarà: +A +A 0 +A 0 0 +A; e poi
dopo si passa al formattatore, che poi imprime l’impulso. In questo caso è mezzo impulso rettangolare,
mentre prima era un intero impulso rettangolare, però i valori impressi sono gli stessi, perché il modulatore
PAM è lo stesso, quello che dà +A +A 0 +A.
Quindi l’NRZ unipolare è l’RZ unipolare è chiaro che usano lo stesso modulatore PAM digitale? Poi però il
formattatore di impulso che è diverso, cioè il secondo stadio è diverso. Però la funzione di autocorrelazione
io la calcolo all’uscita del primo blocco, all’uscita del modulatore PAM, che è lo stesso per i 2 casi. Chiaro? E
quindi abbiamo la stessa funzione di autocorrelazione del primo caso.
Stavolta però la durata dell’impulso e Tb/2. Quindi la G(f),la forma dell’impulso, è la trasformata di Fourier
dell’impulso rettangolare di durata Tb/2, e viene questa forma complicata, di cui non mi interessa nemmeno
avere né la dimostrazione né saperla a memoria ovviamente.
Imponendo la condizione di normalizzazione troviamo A=2, ed alla fine troviamo questo spettro qua:
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La banda assoluta quant’è? Sempre infinita perché è un sinc2. La banda al primo nullo stavolta quant’è? 2R.
Ce l’aspettavamo? Si, perché praticamente se voi guardate quel segnale là, sembra quello dovuto ad un
codice con un Tb/2. Lo vedete? Sembra relativo ad un codice in cui il tempo di bit era la metà, cioè sarebbe
stato come? 1 0 . Cioè se voi non andate a guardare il dettaglio del tempo di bit, dell’1, ma vedete
semplicemente un segnale fatto così, come ve l’ho disegnato là, sembra, e poi di quel segnale noi
calcoliamo lo spettro, sembra quello relativo ad un segnale 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 e così via. E’ chiaro o no?
Quindi sembra relativo ad un codice che ha un tempo di bit pari alla metà e quindi una bit rate pari al
doppio. Chiaro? E quindi per questo la sua banda è pari al doppio. Cioè è come se la bit rate fosse 2R. E
quindi è la stessa banda che ha un codice di linea NRZ, però stavolta il primo nullo è a 2R, perché la banda è
relativa alle variazioni, lui cambia valore ogni Tb/2 stavolta. Mentre prima per Tb restava sicuro costante, qui
ogni Tb/2 potrebbe cambiare. Chiaro? E quindi ha una banda doppia rispetto a quella dell’NRZ.
Quindi regola fondamentale, anche se poi per puro caso nel prossimo codice diciamo che questa regola
viene violata, ma poi di questo ne parliamo, però regola generale, il codice RZ ha sempre banda doppia
rispetto ad un codice NRZ. Regola importantissima. Un codice RZ ha banda doppia rispetto ad un codice
NRZ, qualunque sia il codice, qualunque sia l’impulso formattatore, questo vale pure con i sinc, con il
coseno rialzato; comunque formattate l’impulso e quindi qualunque sia la banda, se usate l’NRZ o usate
L’RZ avrete una banda doppia dell’RZ rispetto all’NRZ. Chiaro? Quindi l’RZ usa una banda doppia rispetto
all’NRZ.
Quindi l’RZ perché si usa? Perché è meglio dell’NRZ? Perché è più robusto per esempio alla sincronizzabilità,
perché lunghe sequenze di 1, comunque fanno variare il segnale, quindi ha un senso usare l’RZ, però pagate
in banda.
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E’ meglio pure dal punto di vista di spreco energetico, perché l’RZ usa energia solo per metà bit, mentre poi
ritorna a 0, però, ripeto, pagate in banda.
Allora ci sono 2 δ stavolta, la prima, quella nell’origine, e questo ce l’aspettavamo, mi dice che il codice di
linea pure avendo bit equiprobabili, ha media non nulla sempre; invece la seconda δ, quella centrata in R,
mi interessa parecchio. Perché vuol dire che ha una componente ... cosa mi dice la presenza di una δ nello
spettro? Vuol dire che ha una componente periodica di frequenza R. Giusto, mi dice che ha una
componente periodica di frequenza R. Quindi lui, cioè questo segnale, intrinsecamente porta un segnale al
suo interno, porta un segnale di frequenza R, che è un segnale utile, che può essere quindi utilizzato a
destinazione per agganciare il clock.
Il fatto che c’è quella δ vuol dire che, filtrando opportunamente c’è un segnale che mi oscilla, cioè
all’interno dello stesso segnale esattamente con la frequenza R e quindi andando a leggere questo segnale,
io ricevitore riesco a mantenere il mio clock sincronizzato con il trasmettitore. Chiaro? Quindi questo codice
è molto buono per la sincronizzabilità, cioè la presenza di quell’impulso mi dice che è buono per la
sincronizzabilità.
Sulla probabilità di errore, poi le vedremo dopo, alla fine queste cose, è inutile che commento ora, poi le
vedremo alla fine di questa macrolezione.
Codice RZ bipolare AMI. Allora questo codice è detto bipolare perché i bit 1 li rappresenta alternativamente
con +A e con –A. Sicuramente questo codice, senza bisogno di altre ipotesi, sicuramente ha media nulla.
Giusto? Quindi la δ nell’origine sicuramente non ci sarà.
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I simboli che vengono dettati dal codificatore PAM digitale saranno quindi +A e –A, a prescindere dalla
forma dell’impulso che poi è rettangolare, ma è metà del Tb, però già il modulatore PAM mi darà per il bit 1
+A, -A. Quindi poi mi posso calcolare la funzione di autocorrelazione facendo qualche piccola e semplice
considerazione fra tutte le possibili comminazioni ... mi viene una cosa del genere e questa qua è la
funzione d autocorrelazione. La durata dell’impulso è Tb/2; il G(f), quindi lo spettro del singolo impulso è
quello lì. Quindi questo è lo spetto di questo codice di linea. Condizione di normalizzazione A=2 e quindi alla
fine mi viene questo:
Allora, guardate com’è fatto. C’è un sinc2∙ un sen2 , quindi siccome il sen2 si annulla ad R, ha questa forma
strana. Quant’è la banda assoluta? Allora la banda assoluta è infinita intanto.
Quant’è la banda al primo nullo? Allora la banda al primo nullo è R, però, fatemi dire, che è un caso, perché
c’è quel sen2 che si annulla lì. Per 2 motivi vi considero come banda 2R e non R: un primo motivo per quello
che vi ho detto prima, siccome è un codice RZ , la banda la considero pari al doppio dell’equivalente NRZ e
quindi RZ mi prende 2R, piuttosto che R. Ma voi mi dite: “Ma il primo nullo è in R?” Si, però progettare un
sistema, questo è il secondo motivo, prendendo la banda al primo nullo quando ancora gran parte della
potenza si trova si trova tra R e 2R, vuol dire che voi alterate completamente il vostro segnale.
Quindi se io vi chiedo quant’è la banda al primo nullo? Lo vedete là, graficamente, la banda al primo nullo è
R, però come banda di questo codice di linea io prenderei 2 R. Chiaro? Quindi prendiamo come banda di
questo codice di linea 2R, per 2 motivi, ripeto, primo perché è un RZ, secondo perché fra R e 2R ancora c’è
molta potenza, quindi è sbagliato prendere come banda R. Perché perdiamo tantissima potenza del proprio
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segnale e quindi lo attenuiamo pesantemente, cioè se noi lo tagliamo ad R e non a 2R, lo attenuiamo
pesantemente. Chiaro per tutti? Ci siamo?
Quindi la regola generale vale sempre, cioè che la banda ingegneristica, fatemi dire, degli RZ è il doppio
degli NRZ corrispondente. Qua stiamo parlando di banda al primo nullo, o al secondo nullo, come in questo
caso, perché l’impulso formattatore è rettangolare e a banda infinita; cioè quando l’impulso formattatore è
a banda infinita, la banda assoluta viene infinita e lavoriamo sulle bande al primo nullo, e stiamo parlando di
queste. Quando parleremo di impulso a banda finita, pure lì avremo una banda assoluta per gli NRZ doppia
rispetto agli RZ. Non so se sono stato chiaro. In questo momento tutto ciò che vi sto dicendo, lo sto dicendo
per le bande al primo nullo, in questo caso al secondo nullo, perché non posso parlare di banda assoluta,
perché la banda assoluta è infinita.
Quando parleremo di impulso formattatore a coseno rialzato, per esempio, oppure a sinc, che ha una banda
assoluta finita, la banda assoluta nel caso degli NRZ è metà di quella degli RZ. Però c’è sempre rapporto di ½,
di 2, a seconda di come lo vedete, cioè la banda degli RZ è sempre il doppio, sia per la banda assoluta nel
caso di impulsi a banda finita, oppure banda al primo nullo, o al secondo nullo, nel caso di impulsi
rettangolari.
I vantaggi più o meno li abbiamo visti.
Per la sincronizzabilità questo codice come va? Apparentemente andava meglio l’RZ unipolare, quello di
prima, perché? Perché nell’RZ unipolare c’era l’impulsino qua. In effetti qua l’impulso non c’è e quindi voi
dite: “No, va peggio di quello di prima” Però quell’impulso là lo potete fare apparire banalmente. Perché
basta che in ricezione mettete un raddrizzatore, in matematica vuol dire mettete un valore assolto, cioè tutti
i negativi ve li fa diventare positivi. L’AMI se lo raddrizzate, cioè gli impulsi negativi li fate diventare positivi,
diventa che cosa? L’RZ unipolare, quello di prima. Quindi raddrizzando l’AMI, quindi facendo diventare gli
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impulsi negativi positivi, riottenete l’RZ unipolare. Però avete tutti gli altri vantaggi che l’RZ unipolare non
aveva. Cioè, per esempio, questa ha valore medio nullo e quello, l’RZ unipolare, ha un valore medio non
nullo e quindi ha problemi con l’accoppiamento in continua; cioè questo qua funziona meglio dell’RZ
unipolare e quindi è bene che il trasmettitore trasmetta questo, però se il ricevitore lo raddrizza ottiene
l’impulsino là praticamente e quindi può estrarre il clock. Quindi intrinsecamente anche questo trasporta il
clock per la sincronizzazione con la sorgente, perché basta raddrizzarlo che si ottiene lo stesso RZ unipolare
da cui potevo ricavare il clock della sorgente. Chiaro?
Manchester infine. L’impulso formattatore com’è fatto? L’impulso formattatore e’ fatto da un semiimpulso
rettangolare positivo meno un altro semi impulso rettangolare. Chiaro?
Anche qua vi potreste fare il G(f), vi fate la funzione di autocorrelazione, vi fate tante belle cose ed ottenete
lo spettro che è questo. Condizione di normalizzazione A=1 ed ottenete alla fine questo spettro qua:
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Quant’è la banda assoluta di questo spettro qua? Al solito infinita. Quant’è la banda al primo nullo 2R. E
quindi anche questo, pur non essendo un RZ, però siccome cambia, addirittura qua cambia sicuramente
ogni Tb, ogni mezzo bit, quindi avrà una banda pari a 2R; e questo è lo svantaggio del Manchester, perché
poi tutti gli altri sono vantaggi. Quindi l’unico svantaggio del Manchester è che usa una banda 2R.
Però è completamente nullo nell’origine, quindi posso trasmetterlo ad una bassissima potenza e quindi se ci
sono dei circuiti che tolgono la potenza nelle basse frequenze, questo non viene alterato assolutamente.
E poi sicuramente è robusto anche per la sincronizzazione, anche quando ci sono lunghe sequenze di bit 0 e
di bit 1. Chiaro?
Quindi il Manchester ha tutti vantaggi, tranne il fatto che usa una banda di 2R, piuttosto che di R. Chiaro?
Quindi abbiamo fatto tutti i codici di linea binari, no tutti, quelli che abbiamo pensato di fare, ed abbiamo
calcolato le loro bande per l’impulso rettangolare. Chiaro? Ù
Le stesse cose poi le vedremo meglio dopo, le avremmo potute fare con il sinc o con un coseno rialzato,
quindi con altri tipi di impulsi formattatori.
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Codifica multilivello.
Allora la codifica multilivello nasce per questo motivo: se una sorgente binaria vuole trasmettere i suoi bit,
deve trasmettere ad una bit rate R, bit al secondo; se però applica, ed ora vediamo come, una codifica
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multilivello, può diminuire la sua symbol rate, la sua velocità di trasmissione di simbolo. Vediamo subito
come?
Quindi la trasmissione binaria funzionava così. Allora abbiamo una sorgente digitale binaria, quindi che può
emettere simboli 0 1 e quindi quando vuole trasmettere 8 bit, farà 00011010 ecc. quindi il suo tempo di
simbolo è pari al tempo di bit e poi lo manda direttamente al codificatore di linea.
Invece la trasmissione digitale ad l bit, come funziona? Si raggruppano i bit a l a l, in questo esempio ho
preso l = 2. Quindi se io raggruppo i bit a 2 a 2,ottengo una sorgente a 4 simboli, che sono 00, 01,10 e 11;
lasciatemeli chiamare ancora 00, 01,10 e 11, ma potrei chiamarli Alfio, Pippo, Ciccio e Mario, potrei
chiamarli con 4 nomi diversi, però sono 4 simboli diversi, che li posso rappresentare con 4 valori diversi.
Cioè il mio modulatore PAM, stavolta deve decidere 4 valori, com’è che prima decideva 0 e +A
nell’unipolare, oppure nella polare decideva –A e +A, per i 2 simboli, qua deve inventarsi 4 valori, comunque
se ne deve inventare 2l, se raggruppiamo i bit a l a l. Chiaro? Quindi abbiamo un simbolo che è 00, un
simbolo 01, un simbolo 10 ed un simbolo 11. Quanti simboli stiamo trasmettendo? Solo 4 e non più 8,
chiaro? Ed ogni simbolo durerà un Ts, durerà un tempo di simbolo Ts, pari in questo caso a 2 volte o
comunque ad l piccolo volte Tb. E’ chiaro per tutti come funziona la trasmissione multilivello?
Quindi raggruppiamo i bit a l a l per avere una symbol rate minore, ridotta di l. Quindi se prima potevamo
trasmettere a 100 Kbps, ora, se raggruppiamo a 2 a 2, trasmetteremo a 50 kbps, anche se dovremo
trasmettere non più 2 livelli ma 4 livelli. Ora poi vediamo che cosa vuol dire questo.
Quindi R è la cadenza di bit, cioè la bit rate; D la definiremo come la symbol rate, la cadenza dei simboli, che
rispetto alla bit rate è divisa per un fattore l piccolo. Ora abbiamo un numero di livelli L>2.
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Quindi i dati multilivello sono ottenuti mappando ogni parola binaria ad l bit in uno, tra L livelli, tramite un
convertitore digitale analogico. Vediamo come funziona, vediamo cosa vuol dire questa frase.
Allora il mio modulatore PAM, potrebbe funzionare in quel modo lì. Com’è che il modulatore PAM digitale
prima associava al bit 0 … quello per esempio è un polare, stiamo facendo noi il caso del polare, perché in
genere per il multilivello si usa il polare. Il mio polare binario rappresentava il bit con +A e –A, per esempio
+3V e -3V.
Qui per rappresentare i miei simboli, assocerò ad ogni simbolo, ad ognuno dei 4 simboli, 4 tensioni diverse,
ed in particolare: +3 V, +1 V, -1 V e -3 V. Quindi questo è il mio modulatore PAM digitale, il PAM digitale
funziona così, questi sono i simboli che lui crea. Perché poi creati questi valori, c’è il formattatore, cioè il
filtro di trasmissione, che dà l’impulso. Chiaro? Quindi se dà per esempio l’impulso rettangolare, poi
saranno degli impulsi rettangolari di quelle ampiezza, se dà un sinc, saranno dei sinc di quelle ampiezze là.
Quindi per esempio se abbiamo questi simboli qua, allora la sequenza di prima, 01001110 ... cioè io avrei
trasmesso come sorgente binaria e formattazione impulso rettangolare, questa qua è unipolare. Se invece
uso la multilivello a 2 livelli, avrò che cosa? Dunque la prima coppia com’è? 01, a cosa corrisponde 01? Al
valore -3. Poi se uso un impulso formattatore rettangolare, verrà un impulso rettangolare di altezza -3.
Giusto? Avrei potuto usare un sinc qua, avrei potuto usare un altro impulso formattatore. Sto usando
l’impulso rettangolare e mi viene un impulso rettangolare di ampiezza -3. Che terrò per un tempo di
simbolo pari a 2 volte il tempo di bit di prima. Chiaro? Poi la seconda coppia di bit quant’era? 00? Mi cerco
lo 00 qua ed ottengo il -1 ed infatti qua avrò un impulso di ampiezza -1.
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Poi la terza coppia è 11? Quant’è 11? +3 e quindi farò +3 e così via.
Quindi nello stesso tempo io devo trasmettere 8 bit oppure, facendola multilivello, posso trasmettere 4
simboli soli, quindi ho una symbol rate molto più bassa della bit rate.
Oppure la stessa cosa, sono gli stessi bit, se uso come impulso formattatore il sinc, qua non si vede
benissimo, magari senza rifletterci non avrei capito quali erano i bit; però se ci pensate, nell’istante 0 … cioè
è la somma di tanti bit, ognuno centrato sul suo tempo di bit, chiaro? Al centro di ogni tempo di bit, quello
giusto varrà +1, tutti gli altri invece, valgono 0, giusto? Perché poi ogni Tb si annullano. Ripeto. E’ la somma
di un valore che è 0, cioè durante questo intervallo, relativamente a questo intervallo, io devo trasmettere
un impulso sinc di ampiezza quanto? Pari al simbolo che mi ha restituito il modulatore PAM. Chiaro? Il
modulatore PAM per il bit 0 mi restituisce 0 e quindi in quell’intervallo genero un sinc di ampiezza 0.
Chiaro? Poi nel secondo intervallo, invece, genero un sinc di ampiezza +A, che sarà fatto così:
Quindi qua vale 1. Lo vedete che qua vale 0? Poi anche qua varrà 0, poi anche qua varrà 0, 0,0,0. Lo vedete?
Questo è il sinc generato nel secondo tempo di bit. E’ un sinc che ogni Tb si annulla, quindi al centro del mio
Tb vale 1, al centro degli altri Tb vale 0. E’ chiaro?
Vale 1 o vale an? Vale an ma siccome stiamo usando un modulatore PAM intanto unipolare vale +A perché
stiamo rappresentando il bit 1, cioè vale a1, mi faccia dire, che in questo caso vuol dire parlare di +A, perché
il secondo bit è un 1. Chiaro? Ora dal grafico sto vedendo, siccome là c’è scritto nell’ordinata 1, vuol dire che
sto prendendo A=1. Ci siamo?
Invece il primo sinc è moltiplicato per 0, perché stiamo usando un PAM NRZ unipolare, se invece fosse stato
polare, il primo sinc sarebbe stato con ampiezza -1 o –A. Giusto? Perché siccome il bit era 0, l’avrebbe
moltiplicato per –A, invece il secondo bit è 1, l’avrebbe moltiplicato per +A. Chiaro per tutti? Ci siamo? OK,
quindi viene questo sinc.
Poi il terzo bit quant’è? 0. Cioè nel terzo intervallino ho trasmesso un sinc 0, nel quarto intervallino ho
trasmesso un sinc 0, nel quinto intervallino trasmetterò un sinc che è fatto così. Lo vedete? Trasmetto quel
sinc che è centrato, cioè nell’istante centrale vale 1, o vale an come dice l’amico vostro, vale 1 in questo caso,
e nei centri degli altri intervallino vale 0. Perché hanno un sinc che ogni Tb si annulla. E’ chiaro o no?
Quindi il segnale risultante sarà quello che vedete in figura così, che è un po’ più complesso. Però se voglio
andare a vedere i bit, li posso ancora vedere, perché praticamente siccome i bit ... cioè vado a vedere il
valore del mio segnale al centro del bit e vado ad evidenziare il valore del mio segnale al centro del bit,
guardate.
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Allora qua vale così, qua vale così, così, così, lo vedete?
Perché? Perché per esempio nel secondo bit, lui vale 1 e tutti gli altri, al centro del secondo bit, saranno 0.
Chiaro? Cioè il valore al centro del generico bit non viene influenzato dagli altri sinc, dagli altri impulsi,
perché gli altri impulsi, variano come vogliono variare, ma al centro dei bit valgono 0. Chiaro?
Questo è importantissimo, cioè io se vado a guardare il centro di un bit, vado a vedere che cosa al centro di
quel bit? Solo il segnale generato in quel bit. Quindi al centro del bit, del simbolo in generale, vado a vedere
solo il segnale generato in quel bit, in quel simbolo, in quel tempo di simbolo, perché tutti gli altri sono nulli.
Questo poi lo vedremo meglio quando faremo l’ISI, interferenza intersimbolica, comunque per ora
cominciamo a vederla. E’ chiaro allora questo discorso?
E’ una cosa fondamentale questa. Cioè ogni impulso deve essere non nullo al centro del proprio tempo di
simbolo e nullo al centro di tutti gli altri, perché non deve dare fastidio agli altri simboli adiacenti. Chiaro?
A questo punto ora vediamo la codifica multilivello. Nella codifica multilivello il tempo di simbolo è 2 tempi
di bit. Quindi il tempo di simbolo è, se vedete, questo, poi c’è questo e poi c’è questo qua. Guardate. Il
primo simbolo qual è? Guardiamolo da sopra. Il primo simbolo è 01, il mio modulatore PAM che cosa mi
restituisce per rappresentarmi il simbolo 01? Mi restituisce l’an -3. Quindi io nel primo mio tempo di
simbolo, genero un sinc di ampiezza -3. Però è un sinc più lento, perché si deve annullare al centro degli altri
tempi di simbolo. Quindi sarà un sinc che si annulla poi.. quindi qua vale -3 e poi al centro vale 0, qua al
centro vale 0 e qua al centro vale 0. Chiaro?
Poi il secondo simbolo, quant’è? Siccome era 00, 00 corrisponde al -1, quindi io nel secondo tempo di
simbolo genererò un impulso sinc di ampiezza -1, e quindi e quindi sarà fatto così. C’è un sinc che vale -1 al
centro del secondo simbolo e poi nel centro di tutti gli altri intervalli di simbolo, vale 0. Chiaro? Io genero
stavolta dei sinc, però più larghi, perché si annullano non ogni Tb, quindi al centro dei Tb, ma si annullano
ogni Ts. Chiaro? Ogni Ts. Quindi si annullano ogni 2Tb.
Domanda: allora un sinc che si annulla ogni Tb, quant’è la sua banda? Intanto che spettro ha? Ha uno
spettro rettangolare o no? Se si annulla ogni Tb, nel tempo, cioè vuol dire che è un sinc (t/Tb), giusto? Se
deve annullarsi ogni Tb, quant’è la sua banda? Cioè nello spettro? Intanto è un impulso rettangolare, giusto?
Che va da -1/2Tb a + 1/2Tb, dura 1/Tb.
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Se Tb è il tempo di bit, 1/Tb che cos’è? Cioè se un bit dura 1/Tb, 1/Tb sarà la bit rate. Facciamo al contrario, se
trasmetto con una bit rate di 1 megabit al secondo, Tb è un milionesimo di secondo, il tempo di bit. Quindi
praticamente in questo caso ho una banda B assoluta, perché è un impulso rettangolare, di R/2. Ad occhio,
non ne sto facendo dimostrazioni per ora, però capite che è una banda di R/2. Chiaro? Perché ho un impulso
fatto così. Se invece ho un impulso sinc, che si annulla ogni 2Tb, avrà una banda B che è R/4, cioè sarà la
metà di quella di prima. E’ chiaro o no? Perché viene un impulso rettangolare che stavolta va fra –R/2 e
+R/2. E’ chiaro o no?
E comunque il fatto che la banda è più bassa, lo vedete anche dall’ultima fila, perché il segnale risultante ha
una variabilità molto minore, cioè è più uniforme rispetto a questo qua. Chiaro? Cioè varia con meno
rapidità. Lo si vede anche là sopra, con quelli rettangolari. Con quelli rettangolari, qua a sinistra lo mantengo
per Tb, invece in quello di destra, con il multilivello, lo mantengo per 2Tb, per tutto il tempo di simbolo.
Quindi qual è il concetto fondamentale qua? Più bit raggruppo, vediamolo con gli impulsi rettangolari
perché è più visibile, però si capisce anche con i sinc; più bit raggruppo, più tempo mantengo costante il
valore del simbolo. Chiaro? Se io raggruppo 8 bit, avrò 256 simboli possibili, 28 simboli, quindi se raggruppo
8 bit, avrò 256 possibili valori, però il singolo valore lo mantengo costante per 8 tempi di bit. Se invece lo
raggruppo, ogni tempo di bit varia; mi varia fra 2 valori soli, però varia. Invece raggruppando ad 8 bit,
mantengo costante per 8 tempi di bit consecutivi e quindi è più uniforme il mio segnale. Chiaro? Ha una
banda minore e lo si vedrebbe anche con gli impulsi a sinc.
Quindi praticamente abbiamo ottenuto per l=2, abbiamo ottenuto L=4, livelli possibili, e questi sono i
segnali ottenuti che sono più uniformi rispetto ai segnali di prima.
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A questo punto NOTA: La banda di ciascuno dei 2 segnali, che sono più uniformi quindi, è la metà di quella
con il corrispondente segnale binario con lo stesso tipo di impulso. Quindi praticamente raggruppando a 2 a
2 i bit, abbiamo ottenuto un segnale multilivello, che ha una banda metà rispetto al segnale di partenza, al
segnale binario.
In generale, se noi raggruppiamo a l a l, se noi raggruppiamo quindi l bit e quindi otteniamo L livelli, quindi
per esempio 8 bit? L diventa 256 livelli. Otteniamo una banda pari a l piccolo volte più piccola di quella del
segnale binario. E questo è un risultato da premio Nobel! Non dico che risolviamo la fame nel mondo.
Sembra strano questo risultato, perché praticamente stiamo scoprendo che raggruppando a l a l i bit,
possiamo dividere la banda necessaria per questo fattore l. E quindi praticamente io vi do il mio cellulare
che usa un canale con una certa banda e vi posso dire un Tb al secondo. Giusto? Allora vi dico: di quanta
banda avreste bisogno? Allora voi mi dovete chiedere: e che codice di linea utilizziamo? Facciamo le cose
più facili, facciamo un gigabit al secondo, che sono numeri a cui siamo un po’ più abituati. Allora io voglio
trasmettere una bit rate di un gigabit al secondo: di quanta banda abbiamo bisogno? Ora voi mi dovete
sempre rispondere “dipende”, perché così non si sbaglia mai. Allora vi chiedo: “Ma perché ? Cosa volete
sapere?” Allora mi dovete chiedere che codice di linea utilizziamo. Allora per esempio vi dico un NRZ
unipolare, di quanta banda abbiamo bisogno? E voi mi dovete chiedere: “E che impulso formattatore
usiamo?” Giusto? Perché la banda dipende sia dal codice di linea, sia dall’impulso formattatore. E allora io vi
rispondo: “Un impulso rettangolare”. Allora voi mi potete rispondere: “Abbiamo bisogno di una banda
assoluta infinita, ma su questo non si va da nessuna parte, quindi con questo noi chiudiamo bottega, cioè
con banda infinita non c’è che fare, oppure lavoriamo sulla banda ingegneristica, sulla banda al primo nullo,
e voi mi dite che avete bisogno di una banda al primo nullo pari a R. Abbiamo visto che lo spettro aveva il
primo nullo su R e quindi avete bisogno di una banda pari ad 1GHz. Dite: “Ma com’è possibile? Io 1 GHz non
ce l’ho sul mio canale!” Dice: “Quanto abbiamo allora a diposizione?” Quindi la mia banda del canale è
uguale a 100 KGHz. Possiamo trasmettere? Allora con la scoperta di oggi mi dovreste dire si, per questo vi
dico che è una scoperta da premio Nobel, cioè possiamo andare a pubblicarla ed otteniamo il premio
Nobel! Perché? Perché allora voi dite: “Certo che possiamo trasmettere, basta utilizzare L = 10 000.” Perché
se la banda del mio segnale è 1GHz/10 000 otteniamo 100 KHz. E quindi se il mio segnale binario vuole 1
GHz, il mio segnale multilivello, raggruppando 10 000 bit alla volta, vuole 100 KHz e quindi ci entra. Chiaro?
Quindi praticamente, scoperto questo, avremmo scoperto che qualunque sia la banda del mio canale, io
riesco a farglielo entrare.
Dice: “non era 100 KHz, era 1 KHz” . Va bene, raggruppiamo ad 1 milione. E quindi avremmo risolto i
problemi del mondo perché praticamente dice: “Vogliamo trasmettere con il nostro filo di casa telefonico,
vogliamo trasmettere ad 1 Tbps, possiamo trasmetterci, perché tanto là ci entra. Ma è 4 KHz? E va bene,
dividiamo: il mio cavo telefonico porta 4 KHz, mi faccio 1 Terabit diviso 4 KHz, quanto fa? Vi fate il conticino,
raggruppate a l a l e fate passare tutto là dentro.
La banda del segnale multilivello sarebbe la banda del segnale binario diviso l.
Quindi praticamente ho scoperto che usando un l, cioè raggruppando a l a l, divido la banda per l. Quindi se
io 1 Giga lo voglio fare entrare in 100 KHz, mi faccio: 1 GHz diviso 100 KHz. Ci siamo allora? A questo punto
ho risolto i problemi del mondo, cioè in qualunque sputacchio di filo, posso far passare qualunque bit rate
voglio. Qual è il problema?
Il problema è che se raggruppo a 10 mila a 10 mila, ci vogliono 210000, che non so quanto vengono, 210000
livelli. A parte che ci vuole un convertitore digitale – analogico e quindi un codificatore PAM grosso così, che
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non so come deve lavorare. Ma comunque, a parte questo, però si creano 210000 livelli. Allora questi 210000
livelli, devono arrivare poi a destinazione. Cioè il segnale che io genero, lo manterrò per un quarto d’ora il
singolo livello per 10 mila tempi di bit. Però ogni valore appartiene ad un vocabolario, si dice, di 210000 valori
possibili. Questi 210000 valori possibili, come saranno fra di loro? Due sono le cose: allora se io prendo un
valore minimo ed un valore massimo abbastanza vicini, i 210000 valori saranno differenti per un dentino
molto piccolo. Giusto? Se abbiamo il valore minimo ed il valore massimo che si differiscono di 10 V, e già 10
V sono assai, ogni singolo valore, sarà : 210000∙10 V. Chiaro?
Ma 10 V già sono tanti. Se mi voglio fare differenziare di 1 V ciascuno, devo armarmi di un amplificatore
grosso così, perché i valori minimo e massimo devono essere dell’ordine di 210000 V. Allora ho questi 3
parametri che non sono indipendenti, ma sono legati fra di loro. Cioè devo decidere fra: il numero di livelli,
che sicuramente mi diminuisce la banda; però devo decidere pure quanta potenza voglio trasmettere,
perché se trasmetto poca potenza, cos’è la poca potenza? E’ il valore di A, fatemi dire, quello di cui abbiamo
normalizzato per fare potenza 1, se non lo normalizziamo ed ho quella A molto grande, cioè uso valori
molto lontani ed ho i valori completamente distanziati. Però se trasmetto poca potenza, ho un segnale con
valori molto vicini. Cosa vuol dire? Vuol dire che il mio segnale è poco robusto, ma in questo casi direi che è
un eufemismo dire che è poco robusto, al rumore. Giusto? Perché basta una mosca che passa vicina al cavo,
cioè che batte le ali un po’ più forte, che mi introduce un minimo di rumore, che mi fa sbagliare livello. E’
chiaro o no?
Quindi teoricamente si potrebbe fare, cioè teoricamente io potrei raggruppare a 10 mila a 10 mila,
teoricamente io potrei usare 10 mila simboli da 10 mila bit. Però a parità di potenza trasmessa, lo rendo
molto più vulnerabile al rumore. Giusto? Per essere meno vulnerabile al rumore, quindi più robusto al
rumore, dovrei, ed in questo caso in maniera inverosimile, aumentare la potenza. E’ chiaro o no?
Quindi ripeto. Per fare entrare un segnale in una certa banda piccola, potrei raggruppare i miei bit ad un l
esagerato, tipo a 10 mila bit per simbolo, come qua, in questo caso. Però renderei il mio segnale molto
vulnerabile al rumore, perché avrei 210000 livelli e quindi a parità di potenza il mio segnale sarebbe molto
vulnerabile al rumore. Per farlo più robusto al rumore, dovrei aumentare la potenza, cioè per allargare
questi simboli. Per allontanare questi simboli fra di loro. E’ chiaro? L’immunità al rumore mi si mantiene
uguale se mantengo la stessa distanza fra i simboli.
Quindi praticamente ci sono questi 3 fattori in ballo, in gioco, cioè quando faccio questo giochetto qua, non
lo posso fare così a cuor leggero, ma devo tenere conto di questi 3 fattori, della banda, giusto? Che più
piccola la voglio e più succedono certe cose, della potenza del segnale e della potenza del rumore. Quindi
della banda, della potenza del segnale e della potenza del rumore. Giusto? Ci sono questi 3 fattori perché se
il rumore fosse nullo, potrei anche fare 210000 livelli, poi c’ è il problema di come farli, ma comunque questo
è un altro problema, 210000 livelli perché tanto lo andrei a capire qual è il livello giusto. Quindi a rumore nullo
si potrebbe fare, però il rumore c’è. E più è alto il rumore, più non posso permettermi troppi livelli vicini.
Chiaro? Quindi ci sono questi 3 fattori, tutti che girano insieme. Come ci si mettono insieme questi 3 fattori?
Con la formula della capacità di canale. Cioè è inutile che facciamo i teorici e diciamo: “Bello, facciamo 10
mila livelli per scendere in banda!” C’è sempre la capacità di canale, che mi dice: La mia bit rate è inutile che
la vuoi fare di 1 gigabit al secondo: 1 Gbps non lo puoi fare! Oppure lo puoi fare, me lo deve dire il mio
canale. Cioè miracoli non se ne possono fare, perché comunque la mia bit rate, cioè il mio canale può
portare una bit rate, minore o uguale di un certo valore C, che è uguale alla B∙log2(1+S/N). E guardate che
ci sono in questa formula esattamente quei 3 parametri. Chiaro?
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Quindi se il mio canale ha 100 KHz, se io vi dico: In 100 KHz ci entra 1 Gbps? Potrebbe anche entrarci
teoricamente. Ma voi mi dovete chiedere: Ma qual è la potenza del segnale ricevuto e qual è potenza del
rumore ricevuto? Perché se voi non ricevete rumore, allora potete farcelo entrare. Se voi ricevete una
potenza di segnale enorme allora magari ci possono entrare.
Quindi questi 3 fattori sono legati da quella formula che vi da un valore massimo della bit rate.
Cioè il doppino telefonico che parte da casa vostra ed arriva in centrale, passa da un filtro a 4KHz. Poi a
meno che voi non vi siete installati un telefonone grosso così, che trasmette ad una potenza spaventosa,
comunque non lo potete fare perché è la centrale che detta le potenze; comunque la potenza del segnale è
quella che è ed il rumore è quello che è.
E se voi allungate il filo sotto il letto e sotto i divani e sotto i tappeti, aumentate il rumore termico, perché il
rumore termico dipende pure da quanto filo c’è, perché dipende dalla resistenza e la resistenza dipende
dalla lunghezza del filo. Quindi data la resistenza e quindi dato il rumore termico, data la potenza del
segnale, dati i 4 KHz, si è visto che più di 56 Kbps non si potevano trasmettere. Giusto? E quindi quello era
un limite massimo, per la bit rate, per collegarsi da casa. Addirittura prima erano 33 poi con un artificio
strano li hanno portati a 56. Una volta io spiegavo pure come funzionava il modem a 56 k, sul libro mi pare
che c’è, potete andarvelo a cercare; comunque è un artificio strano per portarlo a 56, ma è proprio il
massimo tirato per i capelli. Per avere bit rate maggiori, siccome la potenza del segnale non si può
aumentare, la potenza del rumore non si può diminuire, l’unico modo è stato aumentare la banda, con
l’ADSL, e come funziona? Perché si è pensato questo: il filo che mi porta alla centrale, non è che ha 4 KHz, il
filo di rame ha una banda molto più grande. Chiaro? Quindi non era là il problema. Il problema era che
appena arrivava in centrale, veniva tagliato a 4 KHz.
Quindi di quel filo io potevo utilizzare solo 4 KHz. È inutile mettere un segnale più largo perché comunque
sarebbe stato tagliato dalla centrale. Chiaro? Allora che cosa si è pensato di generare il segnale del
computer con il modem ADSL, generalo fuori da 4 KHz. Quindi sui 4 KHz metterci la voce e fuori dai 4 KHz
tutto il segnale dati. Arrivati alla centrale però poi, si applicano 2 filtri: uno si prende i 4 KHz ed uno si
prende gli altri. E lo si trasforma subito in bit e va su una rete dati totalmente separata dalla rete telefonica.
Chiaro? A casa mia poi, che cosa devo mettere? Devo mettere pure là un filtro, nel telefono, perché il
modem ce l’ha pure lui, quindi ho 2 filtri, per permettere che il segnale dati me lo mando sul computer ed il
segnale telefonico me lo spillo con il filtro e me lo mando sul telefono, perché viaggiano su 2 range di
frequenze totalmente separati. Chiaro? E quindi io ho 2 vantaggi: posso avere una banda molto maggiore
perché? Perché ho aumentato B. Quindi se io B la raddoppio, ho una bit rate doppia. Se la B la moltiplico
per 10, ho la bit rate di 10 volte. E seconda cosa buona è che posso telefonare contemporaneamente
perché la linea telefonica da 0 a 4 KHz non la tocco più. Mentre prima con il vecchio modem a 56 k , io
passavo sempre da lì, a meno di non sentire pernacchie mentre parlo, sfruttavo gli stessi 4 KHz per tutti e
due. Chiaro come funziona l’ADSL e perché riesco ad avare una banda più grande? Cioè io devo aumentare o
la B, o la S o devo diminuire la L, l’unico parametro che posso toccare è la B. Chiaro per tutti?
[fine prima parte]
[inizio seconda parte]
Allora siamo arrivati a questo punto, cioè abbiamo visto che raggruppando i bit a l a l, dividiamo la banda di
l volte. Così funziona il codice di linea multilivello e noi faremo solo l’NRZ polare.
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NRZ polare vuol dire che, cioè il polare, poi NRZ vuol dire che l’impulso copre tutto il tempo di simbolo.
Quindi noi faremo questo. Poi gli altri a questo punto, capita la regola, ve li potreste inventare pure voi. Cioè
noi faremo questo qui, però non è una forzatura dire che esiste anche l’RZ polare.
Allora NRZ polare multilivello. Praticamente voi avete gli R bit e con questo convertitore avrete D simboli,
dove il numero di simboli sarà R/l. E quindi per esempio se raggruppate a 3 a 3, dovete utilizzare una cosa di
questo tipo, una tabella di questo tipo, quindi avrete 8 valori diversi.
Attenzione, qua è la prima volta che lo vediamo, guardate come sono fatti i bit. No, qua sono fatti con
codifica naturale. Vi accenno già una cosa. Qua abbiamo sicuramente la corrispondenza bit – valori, questa
corrispondenza qua, e quindi la scelta dei simboli, la possiamo fare come vogliamo. Qua per esempio
abbiamo fatto questa tabellina:
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Sembra la trasformazione in binario, giusto? Cioè questo è il valore binario dello 0, dell’1, del 2, del 3, del 4,
del 5, del 6 e del 7. Questa qua è la codifica naturale. Chiaro? Come quella che si ha per i numeri binari.
Questa codifica, anche se è la più ovvia, la più immediata, perché è quella che abbiamo per la
trasformazione dei numeri binari in decimali, dà qualche problemino, perché? Perché se vedete … quindi
ripeto. Da un punto di vista teorico potete utilizzare qualunque codifica, cioè qualunque associazione fra bit
e simboli e quindi anche simboli e livelli. Però state attenti, guardate che cosa succede. Poi, man mano che
diventerete sempre più ingegneri ve ne renderete conto, ve l’ho detto: i problemi poi se li pongono per
essere contenti di risolverli. Cioè qua è la cosa più ovvia che … se io vi dico: Come raggruppiamo i simboli?
Voi mi dire: “Abbiamo 8 livelli e facciamo: 000, 001, 010 ecc..” Però poi l’ingegnere comincia a ragionarci
sopra e vede che i livelli +5 e +3, sono livelli adiacenti e mi rappresentano i bit 001 e 010. Chiaro? Allora se
io trasmetto +5 e poi trasmetto +3 e poi ho del rumore, può succedere che il +5 lo leggo +3. Perché poi in
ricezione lo vado a campionare al centro del simbolo, il +5, la cosa più probabile, se c’è errore, lo leggo +3
oppure lo leggo +7. Però se io il +5 lo vedo +7, che cosa mi succede se il +5 lo vedo +7? Quindi se il +5
diventa +7, praticamente succede che la sequenza 001 la leggo 000. Giusto? Succede questo, se la sequenza
001 la leggo come sequenza 000. Quindi che cosa succede? Che sbaglio 1 bit. Chiaro? Quindi l’errore su quel
simbolo, mi causa l’errore di 1 bit. Chiaro? Quindi questo bit è sbagliato. Se invece il + 5 lo leggo +3, che
cosa succede? Che lo 001, lo leggo come? 010 e quindi per aver sbagliato un simbolo, sbaglio 2 bit. Giusto?
Quindi l’errore sul simbolo mi causa in questo caso 2 errori sul bit. Allora per risolvere questo problema,
conviene utilizzare una codifica, non fatta così a cuor leggero, che ognuno si inventa una tabellina, ma
conviene utilizzare una codifica a codice Gray, si dice, e poi la vedremo, che prevede che simboli adiacenti,
fatemi aggiungere in valore assoluto ed ora vi spiego che cosa vuol dire; prevede che simboli adiacenti in
valore assoluto differiscono di un solo bit, perché così se sbaglio un simbolo, sbaglio un bit e non ne sbaglio
2. Chiaro? Quindi la codifica Gray, che ora vi dico come si fa, mi fa fare simboli adiacenti con differenza di un
bit e e così sbagliare un simbolo vuol dire sbagliare un bit. Quindi invece di fare questa codifica qua, uno
potrebbe fare così:
Allora la prima cifra la scelgo sempre 0 e la prima cifra qua la scelgo 1, cioè la prima cifra mi dà il segno.
Chiaro? Dopo di che poi lavoro sul valore assoluto. Allora che cosa faccio? La prima la faccio per esempio 00,
01, a questo punto non gli metto 10, ma gli metto 11 e poi gli metto 10. E’ chiaro? Questa è la codifica Gray.
Per i valori negativi me la riporto esattamente simmetrica, perché il valore assoluto deve essere lo stesso.
Quindi farò: 00, 01, 11 e 10. Chiaro? Quindi i valori di sopra, me li riporto uguali sotto in maniera ribaltata,
in maniera simmetrica. E’ chiaro?
In questo caso, quindi utilizzando la codifica Gray … la codifica Gray non vuol dire quella tabella, perché se
me la chiedete domani mattina, ve la dico in maniera diversa, ma è una filosofia, cioè un modo di costruirla,
che è simboli adiacenti differiscono di un solo bit. Quindi se me la chiedete domani, io magari ve la
costruisco in maniera diversa, però sempre facendo simboli adiacenti si differiscono di un solo bit. Perché
usando una codifica Gray, sbagliare un bit vuol dire sbagliare un simbolo e viceversa. Quindi la bit error rate
coinciderà con la symbol error rate, poi questo lo vedremo. Chiaro? Per ora non ci interessa, perché stiamo
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facendo per ora dal lato trasmettitore e di queste cose non ce ne accorgiamo, però questo discorso ve lo
riprenderò quando faremo il ricevitore, perché scopriremo che nella BER conviene avere utilizzato in
trasmissione una codifica Gray. Chiaro?
Comunque chiusa questa parentesi, quindi fatemi tornare alla teoria. Se viene questo qua, questo qua sarà
binario e con questa tabellina, come abbiamo fatto prima, verrà questo segnale multilivello. Chiaro?
Quindi avrò, vedete, 7 triplette, che mi diventeranno 7 simboli. Quindi 21 bit mi diventano 7 simboli. La
velocità è D= R/l, sono le stesse cose che vi ho detto prima.
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Allora mi posso calcolare la funzione di autocorrelazione, al solito anche qua non la voglio calcolata. C’è la
funzione di autocorrelazione che viene tutta questa bella cosa, non la voglio calcolata, ripeto. Posso
applicare la solita formula per calcolarmi lo spettro, con tutte queste belle cose, e viene questo spettro qua.
Alla fine, cosa notiamo? Se poi prendete quello del polare di prima, del polare NRZ, era preciso uguale, a
parte il coefficiente, c’èra un sinc2(fTb). Il fatto che abbiamo usato un raggruppamento a l a l, è apparso
questo 3 qua, che non è altro che l, quindi abbiamo l f Tb e quindi lo fa annullare non più ad ogni R, ma lo fa
annullare ogni R/3. Giusto? Quindi abbiamo diminuito la banda di un fattore 3.
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Quindi praticamente abbiamo scoperto che lo spettro, ripeto non lo voglio dimostrato, però questa formula
qua ve la dovete ricordare perché poi ci servirà: è lo spettro di un codice di linea polare NRZ multilivello che
è k sinc2(lfTb). Chiaro? Dove kb è l P Tb e P è la potenza trasmessa.
Vi dovete ricordare solo quella in giallo, poi magari queste formulette qua non c’è bisogno che ve le
ricordate. Ve l’ho volute scrivere perché le riprenderemo fra un po’, cioè ci serviranno queste cose quindi ve
la trovate scritta.
Comunque la costante non mi interessa tanto, la cosa però che mi interessa è l’argomento del sinc2 che ha
un l e quindi più grande è l, più piccola è la banda poi. Chiaro?
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A questo punto torna il discorso che vi avevo detto prima, ora ci arriviamo, possiamo definire un
coefficiente che si chiama efficienza spettrale. Cioè abbiamo scoperto che un codice di linea ... vi ho fatto io
questa domanda prima: “Per trasportare una certa bit rate di che banda abbiamo bisogno?” E voi mi avete
detto: “Dipende, dipende dal codice di linea e dipende dal formato dell’impulso”. Quindi non tutti i codici di
linea e non tutti i formati dell’impulso necessitano della stessa banda.
A questo punto mi viene da definire proprio un rapporto, che definisco efficienza spettrale, che è il rapporto
fra la bitrate trasportata e la banda necessaria. Chiaro? La R/B, che si chiama efficienza spettrale, è chiaro
allora? Quindi più grande è l’efficienza spettrale e meglio è, cioè il codice di linea è più efficiente, perché
nella stessa banda riesce a trasportare più bit; oppure viceversa, a parità di bitrate lo riesce a fare in una
bada più piccola. Quindi il Manchester immagino che sia meno efficiente o gli RZ sono meno efficienti,
perché per trasportare la stessa bit rate hanno bisogno di banda doppia.
Quindi obiettivo per la progettazione del sistema è scegliere il codice di linea che massimizza l’η.
Sicuramente però ci andiamo a scontrare, e questo è il discorso che abbiamo fatto prima della pausa, ci
andiamo a scontare con questo limite massimo. Cioè l’R non può andare più della C, della capacità di
canale. Chiaro?
Quello che voglio dire è che prima volevamo fare i furbi, avevamo detto usiamo un l molto grande di 10
mila, in maniera tale che avevamo una banda molto piccola, perché usando un l piccolo, raggruppando i bit
con un l piccolo enorme, diminuivamo la banda di tantissimo. Cioè pensavamo 10 mila, riducevamo la
banda di un fattore 10 mila e quindi avevamo un codice di linea efficientissimo, perché usava per la stessa
bit rate una banda piccolissima. Chiaro? Però è inutile che vogliamo fare i furbi, l’efficienza massima, non
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può superare quell’ηMAX, perché la R non può superare la C, la capacità di Canale di Shannon. Praticamente
il mio canale più di log2(1+S/N) non può fare, quella è l’efficienza massima. Quindi è inutile che ci
inventiamo un codice e arriviamo e ci presentiamo al premio Nobel e dice: “Scusate, scusate, ho inventato
un codice che ha un efficienza 1000!” Ma vi viene chiesto: “Ma nel vostro canale quanto è il rapporto
segnale rumore?” 63! 63+1= 64, log2 64 ? 6, giusto? Perché 26 fa 64. E’ inutile che voi dite: “Ho inventato un
codice con efficienza 100!” Perché il vostro canale mi limite l’efficienza a 6. Se voi poi mettete i fili sotto il
letto e sotto le cose oppure fate passare i fili vicino ai fili della corrente elettrica e cose strane di questo tipo,
diminuite il rapporto segnale rumore e quindi l’efficienza massima diminuirà.
L’efficienza comunque utilizzando un multilivello l’aumentate di un fattore l. Quindi per esempio l’efficienza
del codice di linea NRZ polare, siccome la banda, quant’era la banda? Era R/l, quindi l’efficienza viene l. A
questo punto possiamo fare una tabellina.
Qua, guardate vi ho messo, qua, esempio impulso rettangolare. Quindi non è che prendete questa
tabellina e qualunque esercizio lo risolvete con questa. E fra l’altro vi ho messo un’altra tabella nel lucido
successivo, che ancora non capiremo, i commento li vediamo poi dopo, anzi sono dopo.
Quindi noi questa qua, non la vediamo questa tabella. Però ve l’ho messe subito vicine e poi ve le ripeterò di
nuovo queste 2 tabelle, per dirvi che non di solo pane vive l’uomo, come si suol dire, cioè non solo di questa
tabella si vive, ma c’è pure l’altra. Quindi ce l’avete vicine, anche se non la capite per ora, però c’è. Quando
poi la capiremo le troveremo di nuovo tutte e due. Impariamo pure noi facendo il corso e ripetendolo tanti
anni, cioè io mettevo prima questa tabella, poi mettevo l’altra, e però a secondo di dove campionavate voi
nel compito, se campionavate su questa, questa era la tabella, perché voi guardate un lucido ed al massimo
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quello prima e quello dopo. Quindi io o prima o dopo vi devo mettere un dubbio per potere dire stiamo
attenti, perché se invece io vi metto questa tabella il compito si fa con questa.
Allora guardate. Qua c’è scritto: “Esempio:impulso rettangolare”. E poi in grigio vi ho scritto pure: “impulso
formattatore impulso rettangolare”.
Consideriamo una banda al primo nullo, che, voglio dire, per il bipolare RZ non è nemmeno corretto
utilizzare quella banda, vi dicevo; conviene poi utilizzare addirittura la banda al secondo nullo. Comunque se
vogliamo considerare la banda al secondo nullo, la frequenza al primo nullo viene quella, la banda al primo
nullo viene quella, nella prima colonna, e quindi abbiamo quell’efficienza spettrale lì. Quindi 1, 1, ½, 1 ed ½.
E quindi risulta che il Manchester e comunque gli altri 2 RZ, perché qua in effetti avreste dovuto mettere 1/2
se considerate la banda ingegneristica. Comunque gli RZ ed il Manchester hanno un efficienza spettrale più
bassa di quella degli NRZ.
Poi questa cosa così complicata la vedremo dopo, va bene? Quindi per ora non ve la spiego, comunque
sappiate che c’è pure questa.
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L’ingegnere oltre a far funzionare le cose, le deve rendere robuste agli errori umani, alla pazzia dell’uomo.
Tutto qui funziona, il progetto magari è bello, però poi lo si deve realizzare. Allora che cosa può succedere?
Questi qua sono i codici di linea, praticamente che cosa succede? Io codifico, io trasmetto e poi dall’altra
parte si riceve. Giusto? Allora queste cose si trasmettono sui doppini telefonici, per esempio, e viene
passato… avete presente l’omino Telecom con la tuta azzurra e caggiavite in mano per strada, viene fatto da
loro; e tutti questi doppini partano dagli armadi telefonici, arrivano nella vostra presa, voi prendete il filo
dalla presa e vi passate una cordina telefonica per portarvelo dall’altra parte. Può succedere che o l’omino
Telecom o voi invertite i fili, giusto? Allora se invertite i fili possono succedere cose gravissime. Perché?
Perché sicuramente un’inversione di polarità nei fili.. guardate che cosa succede.
Cominciamo dalla fine, su questo codice invertire la polarità che cosa causa? La sequenza diventa
completamente diversa, perché tutti i bit 1 diventano 0 e tutti i bit 0 diventano 1. Quindi succede l’inferno!
Però uno non può dire all’omino Telecom: “Stai attento a non scambiare i fili!” Oppure voi quando vi siete
fatti la prolunga per potervi il computer nella vostra stanza, non è che avete pensato di mettere i fili giusti,
perché se li mettevate al contrario succedeva quello che sta succedendo, che il valore positivo diventava
negativo o viceversa. Allora questo codice soffre di errori dovuti all’inversione di polarità, quindi il
Manchester ci soffre.
L’AMI, il bipolare RZ, soffre o no? No, perché invertire la polarità, va beh, lo 0 resta 0 ed il bit 1 invece di fare
+A, -A, +A, -A, farà –A, +A, -A, +A, ma le cose funzionano.
Poi il polare soffre di errori in caso di inversione di polarità o no? Si, perché se inverto il +A con il –A scambia
di nuovo il bit 1 con il bit 0.
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Poi vediamo l’NRZ unipolare. Soffre o no? Allora teoricamente cambia, però il ricevitore lo sa che codifica è
stata fatta. Quindi se io vi do una sequenza 0 -5 -5 -5 0, lo capite che bit sono stati trasmessi? Perché lo 0 è a
0 V, il -5 -5 -5 significava bit 1 1 1. Chiaro? Lì anche se mi è venuto negativo, basta usare un raddrizzatore
che me lo riporto così com’era. Chiaro? Quindi gli unipolari non soffrono di inversione della polarità.
Quindi i 2 che soffrono sono sicuramente i polari, quindi anche il polare multilivello soffre l’inversione di
polarità, ed il Manchester ci soffre pure. Ok.
Ciò detto, torniamo alla codifica differenziale. Quindi c’è questo problema legato all’inversione dei fili che mi
fa, in alcuni codici di linea, prendere fischi per fiaschi, cioè i bit 1 per 0 e viceversa.
E’ inutile che vi dico la cosa teorica, perché la cosa teorica si capisce poco allora ve lo faccia vedere
praticamente.
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Soluzione: che cosa faccio? Invece di trasmettere i bit dn, cioè se io ho dei bit dn da trasmettere, non
trasmetto i dn, ma trasmetto lo XOR, cioè trasmetto gli en. Quindi invece di trasmettere i dn trasmetto gli en,
che sono ricavati facendo lo XOR, faccio prima a farvi l’esempio che applicarvi la formula, lo XOR tra il bit
che devo trasmettere ed il valore trasmesso prima. Quindi devo fare lo XOR tra il bit da trasmettere ed il
valore precedentemente trasmesso.
Lo XOR, se vi ricordate, è la differenza, cioè vale 1 solo quando i 2 bit sono diversi, invece vale 0 se sono
uguali.
Supponiamo di volere trasmettere questa sequenza qua:
Se io la trasmetto così, liscia liscia, quindi se io al mio codificatore di linea gli passo questa, se il codificatore
di linea è un unipolare non succede niente, però se è un Manchester sono a rischio scambio di polarità.
Allora che cosa faccio? Invece di trasmettere questa, trasmetto l’altra, com’è calcolata? Allora mi invento un
bit di riferimento, 1, e lo metto come primo bit, quindi questo è il mio e0. Dopo di che faccio lo XOR fra
questi: 1 XOR 1, sono diversi? No e quindi 0.
0 XOR 1, sono diversi? Si e quindi 1.
1 e 0 sono diversi? Si e quindi 1.
1 e 1 sono diversi? No e quindi 0.
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0 e 0 sono uguali; 0 e 0 sono uguali; 0 e 1 sono diversi e fa 1.
Chiaro? Quindi mi ricavo, questa stringa en, calcolata come XOR del dato che devo trasmettere con l’en-1.
Ovviamente mi serve un e0 di partenza che fisso ad 1. E quindi trasmetto questa, non i dn. Chiaro? Dice: “Ora
di questa che me ne faccio?” Quindi trasmetto questa. Supponiamo che l’omino Telecom poi sia stato un
omino preciso e che non abbia scambiato la polarità, o fortunato. Quindi alla fine io leggo la stessa
sequenza di bit. A questo punto faccio lo XOR fra bit adiacenti.
Quindi 1 e 0 quanto fa? 1 perché sono diversi. Chiaro?
Poi 0 ed 1 quanto fa? 1.
1 e 1 sono uguali e quindi viene 0.
1 e 0 ? Sono diversi e quindi fa 1.
0 e 0 sono uguali e quindi fa 0.
0 e 1 sono diversi e fa 1.
E’ chiaro per tutti? Ci siamo?
Quindi praticamente mi è arrivata, una sequenza decodificata che è questa, che è uguale alla sequenza che
volevo trasmettere, il dn.
il dn è uguale al dn. E questo non ci vuole molto ovviamente, l’omino è stato bravo, io ho fatto le cose per
bene e quindi tutto a posto.
Se invece l’omino Telecom avesse invertito i bit, mi sarebbe arrivata questa sequenza:
Che è esattamente l’opposto di quella che io ho trasmesso, però a causa dello scambio di polarità e del fatto
che avevo la Manchester oppure avevo una polare, ho letto questa sequenza.
Allora proviamo a fare lo XOR fra i bit.
Allora 0 e 1 fa 1; 1 e 0 fa 1; 0 e 0 sono uguali e fa 0 e così via, e se vedete anche in questo caso otteniamo
questa sequenza, che è la stessa della dn che volevamo trasmettere. Chiaro?
Quindi praticamente con questo giochetto ... il messaggio è: prima della trasmissione, nella codifica, nel
codice di linea, specialmente se dovete usare un codificatore di linea Manchester o polare, metteteglielo un
codificatore differenziale, perché con il codificatore differenziale rendete robusto il vostro codice
all’inversione di polarità.
Supponiamo che questo bit sia sbagliato, invece di 0 diventa 1. Allora guardate 0 e 1 sono diversi? Si e
quindi fa 1; 1 e 1 come sono? Uguali e quindi fa 0; 1 e 0 sono diversi e quindi fa 1; 0 e 1 fa 1; 1 e 1 fa 0 e così
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via. Quindi diciamo non si propaga per tutti i bit, ma solo su 2 bit, perché si deve calcolare la differenza con
precedente e con il successivo e quindi viene un errore su 2 bit.
Questo qua è lo schema ma non ci vuole molto, ve lo guardate.
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Vi volevo accennare perché questo qua è un problema abbastanza grosso e con il tempo non ci arriviamo a
farlo, quindi ce lo cominciamo ad accennare ora, il problema dell’ Interferenza intersimbolica, che già un
minimo abbiamo cominciato a vedere con il discorso che vi ho fatto prima.
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Interferrenza intersimbolica o ISI. Al solito abbiamo il PAM e poi abbiamo l’impulso formattatore. Se
l’impulso formattatore è un impulso rettangolare, l’impulso rettangolare ha banda infinita. Quindi il vostro
codice di linea, come abbiamo visto, ha uno spettro di un sinc2 e quindi ha una banda assoluta infinita.
Allora voi mi dite: “Ma ragioniamo sulla banda al primo nullo”. Va beh, noi possiamo ragionare su tutto
quello che vogliamo, però la banda reale è infinita. Poi lo mandiamo attraverso un canale che sicuramente
banda infinita non ha, dove per me canale vuol dire tutti gli apparati che si incontrano, vuol dire
l’amplificatore di trasmissione, vuol dire l’antenna di ricezione, tutto ciò che si incontra per strada.
Se il sistema di trasmissione non filtra opportunamente, che cosa si ha? Che in frequenza il vostro segnale
viene tagliato e quindi nel tempo si allarga. Quindi ogni simbolo, ora per un attimo, per tutta questa lezione
fatemeli confondere bit e simbolo, cioè magari vi farò vedere sui bit, però vale la stessa cosa anche sui
simboli, cioè sulla codifica multilivello; allora ogni bit, cioè io il bit l’ho voluto fare con l’impulso rettangolare
e quindi trasmetto un impulso rettangolare, però a destinazione non mi arriva un impulso rettangolare, mi
arriverà un qualcosa che si è allargato e che quindi è andato ad invadere i bit adiacenti. Chiaro? Cioè io il
segnale del mio bit, non me lo trovo solo limitato al mio bit, ma lo trovo anche sui tempi di bit adiacenti.
Allora che cosa può succedere? Che ho la cosiddetta interferenza intersimbolica. Quindi interferenza
intersimbolica è la presenza in un tempo di bit del segnale relativo ai bit adiacenti. E’ chiaro o no? Cosa
vuol dire? Vuol dire che se io ho trasmesso questo:
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Quindi questo qua è il lato trasmissione, ho trasmesso questo nel tempo. In ricezione potrei avere che il
primo bit mi si allarga così, il terzo bit si allarga così, quindi qua avevo 1 0 1. Io vado a prelevare sempre il
segnale nel punto centrale, il primo bit lo leggo 1 e va bene; il terzo bit lo leggo 1 e va bene; nel secondo bit
la somma delle 2 code, può darmi un valore che è sopra la soglia di decisione. Chiaro?
La somma delle 2 code mi dà un valore che è sopra la soglia di decisione e quindi, invece di andarlo a
leggere 0, lo posso andare a leggere 1. Chiaro? Quindi l’interferenza intersimbolica, mi può dare errore sul
bit, quindi questo lo leggo 1, ma potrei leggere 1 anche questo, perché la somma dei 2 valori mi dà qua A.
E’ chiaro qual è il problema? Quindi il problema è tutto in ricezione, perché nell’istante di campionamento
del segnale, di prelievo del segnale, il mio segnale che prelevo risente delle code dei bit adiacenti. Chiaro?
Qual è il problema dell’interferenza intersimbolica?
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Qua c’è graficamente quello che vi ho detto prima, ma ve l’ho fatto meglio.
Allora ve lo farò solo per i codici NRZ, per problemi grafici, ma poi si può applicare anche agli RZ ed al
Manchester. Quindi poi alla fine vi do le formulette anche per gli altri, ma per ora ragioniamo solo sul NRZ.
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Allora torniamo allo schema quello generale. Quindi il problema è qua, in ricezione. Ovviamente avrò tutto
insieme, però per fare questa trattazione, scordiamoci per un attimo del rumore di canale. Cioè supponiamo
che il canale non introduca rumore, chiaro? Poi lo aggiungeremo alla fine il rumore, per ora supponiamo
che il canale non introduca rumore. Così si spiego l’ISI, vi spiego come eliminarlo e poi una volta eliminato,
lavoreremo solo sul rumore. Chiaro? Comunque in questo momento trascuriamo il rumore.
Allora il discorso è questo: abbiamo in ingresso un segnale s(t), i cui simboli sono formattati, i simboli sono
gli an, ve li ricordate? E sono formattati con l’impulso formattatore g(t), che impulsi formattatori possiamo
avere? Possiamo avere impulsi rettangolari, sinc e coseni rialzati, questi conosciamo come impulsi
formattatori.
Allora vogliamo vedere che cosa succede. Vi annuncio 2 strade. Nei lucidi pure parlo di 2 approcci, però
domani ve li spiegherò prima a parole, perché forse ve li chiarisco ancora meglio. Ma già ve li annuncio lo
stesso e poi ne parliamo domani.
Allora l’idea è questa: se voi vi convincete ad utilizzare come impulso formattatore un sinc o un coseno
rialzato, questo è l’approccio 2, quello che viene chiamato approccio 2; quindi se vi convincete ad utilizzare
un sinc oppure un coseno rialzato, che già in partenza hanno banda limitata, quindi se siamo d’accordo ad
utilizzare un impulso a banda limitata già in partenza, giusto? Quindi un sinc oppure un coseno rialzato che
sono limitati in banda, hanno lo spettro con la banda BΣ, vi ricordate la BΣ del coseno rialzato? Allora se il
canale riesce a fare passare BΣ, e questo non è una cosa dell’altro mondo, o se avete già il canale basta fare
un BΣ con il rolloff; cioè se il canale fa passare BΣ , il canale non altera il vostro segnale e quindi non avrete
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poi interferenza intersimbolica. Chiaro? Cioè basta farlo bene in partenza che poi ce l’avrete buono anche in
uscita. Chiaro? Quindi se voi utilizzate in partenza un impulso formattatore a banda limitata, il canale lo fa
passare, e possiamo ammetterla questa cosa perché la banda è limitata, allora in destinazioni lo riusciamo
ad avere preciso uguale senza alterazioni.
Se invece, e questo è l’approccio 1, quello che io chiamerò approccio 1, volete usare per forza un impulso
rettangolare, che è a banda infinita, il canale lo altera, a quel punto per sistemare le cose dovrete lavorare, e
poi vedremo domani come, sul filtro di ricezione. Il filtro di ricezione è l’ultima manopola che potete
utilizzare per aggiustare le cose. E’ chiaro? Quindi se volete utilizzare l’impulso formattatore a banda
infinita, dovete lavorare sul filtro di ricezione per potere eliminare l’ISI a destinazione.
[fine 22a lezione seconda parte]
[inizio 23a lezione]
Allora stiamo parlando di interferenza intersimbolica. L’interferenza intersimbolica si ha nella trasmissione
digitale ed è dovuta al fatto che dei bit, formattati con impulsi con una certa banda, o assoluta o comunque
molto grande, passando dal canale, che magari ha banda più piccola, vengono alterati nella forma, perché
vengono stretti in frequenza e quindi allargati nel tempo, e quindi invadono gli intervalli adiacenti.
Il sistema di trasmissione è sempre lo stesso, se vi ricordate qua abbiamo i nostri an, gli impulsi an che sono
l’uscita del modulatore PAM; se volete pensateli binari, ma potrebbero anche essere multilivello, quindi non
ha importanza qua. Allora questi impulsi an, che cosa hanno? Quindi sono tanti δ che poi vengono
formattati con l’impulso formattatore g(t); poi passano da c(t) e poi dal filtro di ricezione h(t).
Quindi dobbiamo andare a guardare poi il segnale in questo punto, perché poi lì il segnale viene
campionato, viene prelevato il valore. E quand’è che viene prelevato il valore? Nel punto centrale di ogni
intervallo di simbolo.
Ciò detto cominciamo da s(t) e vediamo man mano che cosa arriva là sotto. Allora s(t) abbiamo detto che è
fatto da tanti impulsi elementari g(t), centrati in ogni tempo di bit, ed amplificati con il valore del simbolo
che vogliono portare. Quindi avremo an g(t-nTs).
Per esempio se per g(t) prendiamo l’impulso rettangolare, ma è solo un esempio, se prendiamo un impulso
rettangolare, il g(t) è quello, il G(f) verrà un sinc e già qua siamo fregati, perché abbiamo un impulso che ha
una banda infinita e quindi verrà sicuramente alterato dal canale. Gli an sono i simboli, che possono
appartenere ad un vocabolario di n simboli possibili.
Facciamo prima un passaggetto matematico, l’s(t) lo possiamo anche scrivere così, che se volete è
vedendolo in funzione di quello che c’era all’uscita del modulatore PAM.
Perché fare una convoluzione con una δ vuol dire traslare il segnale.
Quindi stiamo lavorando ancora sull’s(t).
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Ho messo una parentesi quadra, poi comunque la convoluzione è commutativa, ci ho messo una parentesi
quadra lì.
Indichiamo con D=1/Ts la velocità di simbolo, questa è una precisazione che dovevo far prima.
Quindi l’s(t) la possiamo scrivere così. Ora guardate cosa faccio? Ho ricopiato là sopra l’s(t),
A questo punto ci possiamo ricavare anche l’r0(t), che è il segnale che poi andremo a campionare per
prelevare i singoli valori, giusto? E decidere se il bit è 0 o 1. Quindi dovrei andare poi a guardare e ad
ottimizzare quell’r0(t), perché lì poi si vede l’effetto dell’ISI.
Allora r0(t) sarà:
c(t) è il canale e h(t) è il filtro di ricezione. Andando a sostituire al posto dell’s(t) quello di prima.
Oppure possiamo scriverlo in quest’ultimo modo, cioè possiamo scriverlo come
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un treno di impulsi di area an, che se volete è l’uscita del modulatore PAM digitale, sono tanti impulsi di
ampiezza pari ai simboli che vogliamo trasmettere. Questa è proprio l’uscita del modulatore PAM; convoluto
l’he(t) che è che cosa a questo punto? E’ la convoluzione delle 3 funzioni di trasferimento
Delle 3 risposte all’impulso, se stiamo lavorando nel tempo. Quindi l’he ,fatemi dire è la risposta, all’impulso
complessiva di tutto il sistema, costituito da questo.
Quindi tutto il sistema costituito dal filtro di trasmissione, il canale ed il filtro di ricezione, lo chiamiamo
risposta all’impulso he(t).
Allora l’uscita r0(t) sarà che cosa?
La convoluzione di questo treno di impulsi, an∙δ, ∙ l’he(t).
A questo punto fatemelo guardare in 2 modi diversi, questa cosa che abbiamo scritto. Quella parte di sopra,
in giallo, ho esattamente ricopiato quello che c’era scritto qua; quindi l’uscita è che cosa? L’r0(t) che cos’è? E’
l’uscita del modulatore PAM, questo già l’abbiamo detto, che entra poi in un sistema equivalente, fatemelo
chiamare, he, la e sta proprio per equivalente; quindi il modulatore PAM lo mettiamo in un sistema
equivalente, che ha risposta all’impulso he(t). Chiaro?
Quindi in questo sistema equivalente, ci sono che cosa? Tutte le scelte cha abbiamo potuto fare, cioè la
forma dell’impulso in trasmissione, poi c’è il canale ed il filtro di ricezione. Chiaro? Questo è il modo come
l’ho visto e come ve l’ho già detto. Quindi praticamente lo possiamo vedere, questo risultato qui che è
molto importante, in 2 modi diversi: il primo modo è direttamente l’uscita del modulatore PAM che non
dipende, vedete qua, in questo stadio qua, non c’entra ancora la scelta dell’impulso di formattazione,
dell’impulso elementare del trasmettitore, ancora là non l’ho deciso; quindi sono solo i simboli che voglio
trasmettere, già decisi dal modulatore PAM. Quindi questi simboli poi li mando in questa he(t), che mi tiene
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conto pure della forma dell’impulso. Chiaro? Oppure guardate qua, in quest’altra forma qui, guardate come
l’ho scritto, guardate r0(t):
E confrontatelo, se volete con la formula che vi avevo scritto all’inizio dell’s(t), com’era fatto l’s(t)?
Questa è la cosa più importante che ora vi sto dicendo, che ora ci servirà poi per dopo.
Guardate la formula in giallo con la formula da cui siamo partiti, s(t) uguale sommatoria degli an per g(tnTs). Allora l’s(t) è il segnale in trasmissione, giusto? Che è fatto da cosa? Dai vostri simboli g(t), cioè è il
vostro simbolo elementare g(t), amplificato dei vari simboli da trasmettere. Quindi il segnale s(t), lo
vedete da quella formula, è fatto da una sequenza di impulsi elementari g(t), che impulsi sono g(t)? Sono
gli impulsi di trasmissione, amplificati per i simboli che voglio trasmettere. Allora guardate che cosa
abbiamo ottenuto qua sotto: l’r dell’uscita invece, cioè quella che dobbiamo andare a campionare e
questa è la cosa più importante di tutta la lezione, perché ci dà la chiave di lettura pure per la lezione
prossima; l’r0(t) è fatto pure lui da una serie, da una sequenza di impulsi elementari, he(t), quindi l’r0(t) è
fatto da una sequenza di impulsi elementari he(t), centrati sui tempi di bit ed amplificati del valore an.
Chiaro?
Quindi che differenza c’è tra l’s(t) e r0(t)? Le amplificazioni sono sempre le stesse, i tempi di simbolo sono
sempre gli stessi, cambia la forma dell’impulso elementare. Chiaro? Quindi all’uscita ho un r 0(t),
all’ingresso avevo l’s(t) … quindi io voglio trasmettere l’s(t), però all’uscita mi trovo r0(t). Ci siamo?
Solo che l’s(t) non è affetto da ISI, perché nell’s(t) ancora ho scelto io l’impulso g(t), l’impulso
formattatore. Poi questo segnale passa dal canale e l’r0(t) invece me lo trovo affetto da ISI. Chiaro?
Quindi abbiamo l’s(t) e l’r0(t) che hanno più o meno la stessa struttura, cioè tanti impulsi elementari, però
nell’s(t), però nell’s(t) l’impulso elementare è g(t) che ho scelto io, nell’r 0(t) l’impulso elementare è
quell’he(t), che è venuto dalla cascata di g(t) che ho scelto io, c(t) e del h(t). E’ chiaro? Ve lo sto ripetendo
tante volte perché è il punto più importante.
Quindi questo è lo stato dei fatti.
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Quindi possiamo dire: il sistema complessivo con in ingresso un treno d’impulsi formattati con impulso
formattatore g(t), cioè questo sistema, in cui però mettiamo in ingresso l’s(t), che ha impulsi formattati con
g(t), giusto? E’ equivalente ad un sistema e lo vediamo nel primo r0(t), quindi è equivalente a ... cos’è la
risposta all’impulso? Che vuol dire proprio letteralmente risposta all’impulso? Sto ritornando alla prima
definizione, vi ricordate che c’erano 2 definizioni in ballo? Sto dicendo un altro commento sulla prima
definizione in ballo. Allora la risposta all’impulso che cos’è? E’ l’uscita che trovo quando in ingresso metto
un impulso δ di Dirac. Chiaro? Allora guardando la prima definizione in giallo
Praticamente l’r0(t) è che cosa? L’uscita quando ho un sistema che ha funzione di trasferimento he e gli
metto in ingresso l’impulso δ di Dirac, una serie di impulsi δ di Dirac. Chiaro? Allora praticamente quello che
c’è scritto qua è: vi sto dicendo la stessa cosa in tanti modi. Ora poi vediamo perché ve la sto dicendo in tutti
questi modi.
Allora il sistema complessivo con in ingresso un treno d’impulsi formattati con impulso formattatore g(t),
che è quello in rosso là sopra, equivale invece ad un sistema equivalente più grande, fatemi dire, quindi ve
lo disegno in verde, che è questo
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Giusto? Questo qui, che ha risposta he(t) ed in ingresso metto degli impulsi δ di Dirac, che sono quelli dettati
dal modulatore PAM. Qual è il vantaggio di usare questa cosa dell’h equivalente? Dell’he(t)?
Quindi ripeto. La risposta è la stessa, però mi sgancio dalla forma dell’impulso formattatore che ho scelto,
perché diciamo che la forma dell’impulso formattatore che ho scelto la vado a mettere ancora nell’he. E’
chiaro?
Morale della favola, comunque in tutti e due i casi, no i casi, perché tanto è lo stesso caso! Con tutte e due
le definizioni, guardate che cosa voglio dirvi e cosa succede.
Allora abbiamo scoperto che qualunque sia la forma dell’impulso elementare utilizzato, quindi qualunque
sia g(t), l’uscita, l’r0(t), è un treno, una sequenza di impulsi elementari, opportunamente amplificati per i
simboli ovviamente, però è un treno di impulsi elementari di ampiezza pari ai simboli trasmessi, quindi
amplificati dei simboli e però che forma hanno questi impulsi elementari a destinazione? Hanno la forma
dell’he(t). Cioè da tutte le considerazioni che abbiamo fatto, questa è la cosa importante: che l’uscita
qualunque sia la forma che ho dato in ingresso, è una cascata, una sequenza di impulsi elementari he(t).
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Ve lo già ripetuto tante volte, però voglio rimarcarlo perché da questo partiremo per eliminare l’ISI. Quindi
l’uscita è una sequenza di impulsi elementari he(t), amplificati dai simboli. Questo qualunque sia la forma
dell’impulso che io do in ingresso. Chiaro? Quest’he(t) ovviamente al suo interno contiene la forma
dell’impulso che io ho dato in ingresso, contiene il g(t), contiene la c(t) che è la risposta all’impulso del
canale, e contiene la risposta all’impulso del filtro di ricezione. Chiaro?
In altre parole: he(t) è la forma dell’impulso elementare all’uscita del sistema, prima del decisore a soglia. A
questo punto ora torniamo all’ISI e vediamo …
L’ISI è dovuto all’allargamento degli impulsi nel tempo, tale allargamento non può essere ... allora se noi
vogliamo usare un g(t), quindi un impulso formattatore, che ha una banda molto grande o addirittura
infinita; se poi per esempio usiamo come impulso formattatore l’impulso rettangolare, che ha banda
infinita, sicuramente noi non lo possiamo evitare l’allargamento dell’impulso, però ci viene un’idea.
A noi non è che interessi tanto il fatto che gli impulsi si allargano o si stringano o si modificano. Quindi non
ci interessa il comportamento dei singoli impulsi. Quindi stiamo lavorando su che cosa? Stiamo lavorando
sull’r0(t), all’uscita. L’r0(t) non è che noi l’andiamo a guardare tutto, ieri c’era qualcuno di voi che diceva se è
più largo lo andiamo a guardare più volte, no. Comunque l’impulso a destinazione l’r0(t)… l’r0(t) è fatto da
tanti impulsi elementari, giusto? Uno ogni Tb. Questi impulsi elementari li andiamo a guardare solo al centro
del tempo di simbolo. Allora l’idea che mi viene è: se io avessi gli he(t), anche sgorbi, non mi interessa,
possono essere completamente diversi dall’impulso formattatore che avevo messo all’ingresso; cioè
all’ingresso potevo avere messo un impulso rettangolare, l’impulso elementare, quindi l’he(t), mi è venuto
uno sgorbio indisegnabile. Chiaro? Non mi interessa. Però se il singolo impulso elementare, quindi
ragioniamo su un solo bit, o su un solo simbolo, lo dobbiamo guardare solo al centro degli intervalli. Se il
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singolo impulso elementare si allarga, cioè è sgorbio, però è uno in tutti i centri degli intervalli adiacenti,
non dà fastidio agli intervalli adiacenti.
Mi spiego meglio. Supponiamo di utilizzare impulsi rettangolari in partenza, proprio il caso peggiore. Quindi
supponiamo per esempio di avere 5 tempi di bit, fatemi pensare per esempio a tutti e 5 bit 1. Allora
guardate il generico intervallino ennesimo, nell’intervallo nTs.
Il bit è 1 l’ho formattato come un impulso rettangolare. Questo qui, appena io lo trasmetto sul canale,
questo verrà deformato dal canale, perché lui ha banda infinita e quindi il canale lo schiaccerà in banda e
quindi lo allargherà e quindi lui andrà ad invadere gli intervalli adiacenti. Giusto? Questo non lo posso
evitare.
Quindi questo segnale qua è l’s(t), che è una sommatoria degli an ∙ g(t-nTs), giusto? Questa qua è la
sommatoria di tanti impulsi rettangolari. Dopo τ secondi che è il tempo di propagazione del canale, quindi
non lo sto mettendo il grafico esattamente sotto, ma un po’ più ritardato nel tempo perché comunque ci
vuole un minimo di tempo per arrivare a destinazione, ma comunque questo non ci importa perché la
modulazione ci dà dei tempi, quindi dopo un τ secondi, che cosa ritrovo a destinazione? Troverò questo?
No, lo troveremmo soltanto se il canale avesse banda infinita. Invece trovo, questo è l’asse dei tempi,
troverò un impulso allargato. Vediamo come si allarga.
Se si allargasse così, cioè se andasse ad invadere gli intervalli adiacenti, ma in questo punto è 0, in questo
punto è 0, in questo punto è 0, non influirebbe assolutamente sul campionamento dei simboli adiacenti.
Chiaro? Perché se si fosse allargato così, allora io avrei passato già questo, qua il valore positivo OK, però
qua avrei pescato questo e qua no, cioè mi va male. Qua avrei pescato questo ... anzi non fatemi scrivere
No, fatemi scrivere ISI, ISI, giusto? Perché avrebbe influito sul campione degli intervalli adiacenti. Se invece
si allarga come l’impulsino giallo, che quindi fa quello che vuole ma negli istanti centrali, negli intervalli
adiacenti è nullo, io gli dico: “Va beh, puoi allargarti quanto vuoi, basta che non dai fastidio agli intervalli
adiacenti”. E’ chiaro?
E’ come se uno di voi, per tutta la vita saltella e fa il pazzo, però durante le mie ore di lezione si comporta
bene e sta tranquillo a scrivere appunti, per me è il miglior studente del mondo. Giusto? Perché io lo vado a
vedere solo lì. E’ come quando vado a vedere la zebra dietro ad una ringhiera: cavallo bianco o cavallo nero?
A seconda di come è messa la zebra rispetto alla ringhiera. A me non interessa ciò che uno è, ma come
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appare a me, cioè vi conosco per come mi apparite nei momenti in cui ci incontriamo, poi per il resto potete
fare quello che volete. Ci siamo?
Quindi un requisito fondamentale per eliminare l’ISI è che l’impulso formattatore a destinazione, quindi
l’he(t), abbia una forma di questo tipo. Quindi io non voglio lavorare sull’impulso in trasmissione, voglio
lavorare sull’impulso a destinazione, perché là a me interessa che non ci sia ISI. E’ chiaro? Quindi per
eliminare l’ISI il requisito unico è questo: voglio che l’uscita, quella che io ho provato a campionare, cioè
l’r0(t), abbia come impulso elementare un he(t) che non “disturba” gli intervalli adiacenti, cioè che abbia
quella forma lì.
Quindi io non ragiono sulla parte in trasmissione, ma ragiono in ricezione, perché è lì che mi capita l’ISI.
Quindi voglio che l’uscita sia fatta con una sequenza di impulsi he(t) elementari, che abbiamo quella forma
dell’impulso giallo. Chiaro? Quindi ci porremo 2 domande che risolveremo separatamente:
Prima domanda: quale impulso verifica questa proprietà? Cioè che abbia una forma di questo tipo? Quindi
vedremo quali sono quei segnali che verificano questa proprietà, cioè che al centro di un tempo di bit,
quindi per il suo istante 0, abbia un valore, ed invece poi ogni Tb periodicamente si annulla. Chiaro? Ripeto
quello che dicevo prima, per me va bene questo giallo, ma potrebbe andare bene un segnale che mi fa così.
Perché a me non interessa cosa fa negli altri istanti, mi interessa che se questo era l’impulso elementare
messo nello slot n, per rappresentare i bit an, allora nel suo instante 0 sia non nullo, invece in tutti gli altri
istanti a distanza cn valga 0.
Quindi qualunque impulso che voi vi potete inventare oggi, domani, fra un anno, fra 20 anni, di questa
formula va bene per questo scopo. Chiaro? E questa è la prima cosa, quindi è l’impulso elementare he.
Seconda domanda: una volta che voi vi intentate l’impulso, come facciamo ad ottenerlo? Perché questo qua
è l’impulso elementare a destinazione, come facciamo ad ottenerlo? Allora ci ricordiamo che l’he(t), com’era
fatta? he(t) o He(f) è g(t)∙c(t)∙h(t), quindi è la cascata del filtro di trasmissione, del canale e del filtro di
ricezione. Allora potremmo giocare su quei 3 parametri. Sul canale non penso che si possa giostrare, perché
non è che se io devo fare una comunicazione wireless con il Polifunzionale che è qua di fronte dico: “Scusa
parete, ti puoi spostare perché mi alteri il segnale!” Quindi sul canale non se ne parla. Allora gli unici 2 punti
dove posso agire sono il filtro di trasmissione ed il filtro di ricezione. Giusto? Cioè posso agire io o sul g(t) o
sull’hr(t). Chiaro?
Quindi ho questi 2 problemi da risolvere fra oggi pomeriggio ed un po’ di domani.
a) Quali segnali hanno questa proprietà?
b) Come li ottengo questi segnali a destinazione?
Agendo sul filtro in trasmissione o sul filtro in ricezione. Allora praticamente se il bit giallo lo faccio con
questo segnale giallo e poi per ogni simbolo a destinazione lo formatto con questo impulso he, ad ogni
centro di intervallo gli altri simboli non mi danno fastidio. Perché per esempio al centro di questo c’è solo in
giallo mente tutti gli altri sono zeri.
A questo punto ho 2 possibilità, vi dicevo: approccio 1 ed approccio 2. Ve lo sto dicendo un po’ sganciato dai
lucidi.
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Allora per ottenere quell’he(t), posso agire sul filtro di trasmissione e sul filtro di ricezione. Il filtro di
trasmissione chi è? E’ quello che mi dà la forma dell’impulso di trasmissione. Invece quello in ricezione è il
filtro messo in ricezione.
Il primo approccio dice questo: in trasmissione usa qualunque g(t), anche a banda infinita, tipo un impulso
rettangolare; poi lo fai passare dal canale, a quel punto se vuoi un He(f), quindi usa ti sto dicendo l’impulso
G(f) (qua siamo in frequenza), questo è il canale. Se vuoi in ricezione un He(f) che è la trasformata di questa
gialla, perché poi noi in ricezione vogliamo un certo segnale che deve essere quello giallo, giusto? Quindi se
tu vuoi poi una certa He(f), la puoi ottenere progettando il filtro in ricezione così:
Ripeto per non fare confusione. Ci sono 2 problemi: capire quali segnali hanno la forma del segnale giallo.
Che segnali possiamo usare come impulso formattatore a destinazione? Il sinc, il coseno rialzato e poi ce ne
sarà pure qualcun altro. Allora per esempio il coseno rialzato, fatemi dire. Quindi stiamo dicendo: Vogliamo
a destinazione un coseno rialzato. Quindi quale sarà l’He(f) che vogliamo a destinazione? He(f) che vogliamo
a destinazione avrà una forma fatta così, giusto? Quella del coseno rialzato. E’ questo il primo passo.
Ora la domanda a cui stiamo cercando di rispondere è: ora vogliamo questo, come facciamo ad ottenerlo?
Abbiamo 2 approcci: o agiamo sul filtro di ricezione, o agiamo sul filtro di trasmissione.
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All’approccio 1 dice: scegli l’impulso formattatore come vuoi, quindi scegli il filtro di trasmissione come vuoi,
e ti progetti il filtro di ricezione così, in maniera tale che l’He(f) … cioè è ovvio siccome l’He(f) è il prodotto
dei 3 . Chiaro?
In tal caso il filtro di ricezione si chiama anche filtro equalizzatore ed ha i suoi vantaggi, perché siccome il
canale può variare nel tempo, il filtro di ricezione lo possiamo fare adattativo al canale. Cioè che lui man
mano stima come si sta comportando il canale e man mano si aggiusta per darmi in uscita sempre il mio
coseno rialzato. Ci siamo?
Quindi per me il filtro di trasmissione dà la forma all’impulso.
E’ chiaro quest’approccio? L’approccio è per ottenere l’He(f) decido il filtro di trasmissione qualunque, la
forma dell’impulso formattatore qualunque, e poi lavoro sul filtro di ricezione. Chiaro?
Quindi questo mi dice: se vuoi poi utilizzare anche un impulso a banda infinita in trasmissione, cioè un
impulso rettangolare, perché poi lo passate al canale e poi aggiustando il filtro di ricezione riesco a
correggerlo, giusto? Perché è sicura che l’impulso si allarga, però lo faccio allargare come dico io, cioè lo
faccio allargare passando però dai centri degli intervalli adiacenti sullo 0. Chiaro?
Secondo approccio. Il canale non lo possiamo toccare, non vogliamo toccare nemmeno il filtro di ricezione.
Scusate una parentesi: l’he(t), quello che voglio, ovviamente non può che venire così, siccome è illimitato nel
tempo sarà a banda limitata. Ma perché dico che è ovvio? Perché a destinazione non posso che volere un
segnale a banda limitata. E’ chiaro? Quindi l’he(t) per forza deve’essere di quella forma là, cioè illimitata nel
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tempo. Perché deve essere per forza a banda limitata dato che sta passando da un canale che comunque è
limitato però di banda.
Ripeto, questa è un’altra cosa importante. A prescindere dagli approcci, l’impulso formattatore a
destinazione, quest’he(t), deve essere per forza non limitato nel tempo. Giusto? Perché essendo passato da
un canale che è limitato in frequenza, anche lui poi verrà limitato in frequenza. Quindi l’he(t) non può che
essere illimitato. Quindi il rischio interferenza c’è sempre, perché sicuro va ad invadere gli altri intervalli,
cioè non è che dipende da coma faccio l’impulso formattatore in trasmissione? No! Cioè sicuro deve essere
a destinazione limitato in frequenza, perché è passato dal canale, che è a banda limitata. Quindi per forza
dobbiamo farlo di quella forma là, cioè che si annulla ogni Tb, perché se no invade gli altri bit. E’ chiaro o no?
Cioè se io all’orale vi dico: Voi dovete farmi in ricezione un impulso he(t), fatto così:
Voi dovete fare un salto così sulla sedia! Vi devono venire i capelli dritti così! Perché non è possibile avere
in ricezione un impulso elementare così. Perché questo ha banda infinita. Da dove è passato da sotto il
tavolo? Per il canale sicuramente non passava.
Quindi in ricezione l’he(t) si può rifare, l’importante è non farlo invadere nei punti centrali dei tempi di bit.
Chiaro?
A questo punto, vi stavo dicendo, il secondo approccio quale può essere? Dato che a destinazione voglio un
segnale limitato in banda, il secondo approccio è, dato che non voglio toccare né il canale né il filtro di
ricezione, il secondo approccio non può che essere questo: metti in ingresso un segnale limitato in banda,
cioè direttamente già limitato in banda, in modo che passi sotto il canale e sotto il filtro di ricezione
inalterato. Cioè metti questo stesso in ingresso, voglio dire.
Quindi il secondo approccio è: se vuoi un segnale limitato in banda all’uscita e non vuoi né toccare il canale,
perché non si può, né toccare il filtro di ricezione, metti un segnale limitato in banda in trasmissione. Quindi
usa un g(t) già limitato in banda, cioè cosa? Un coseno rialzato, un sinc, le cose che sappiamo noi, e che
abbia già questa forma. Perché questo qui, questo giallo, in frequenza è limitato in banda e deve passare
liscio liscio sia sul canale sia sul filtro di ricezione.
L’obiettivo generale è che l’he(t) deve essere illimitato sicuro, cioè deve invadere, però se deve invadere
almeno che non lo faccia negli intervalli centrali e quindi che ogni Tb si annulli; cioè che a destinazione abbia
la forma di un sinc o di un coseno rialzato, che si annulla poi periodicamente ogni Tb. Ci siamo? Questo è
l’obiettivo finale. Come faccio ad ottenerlo? Con i 2 approcci.
Quindi usa un segnale qualunque in trasmissione e lavora sul filtro di ricezione; oppure usa un segnale già
limitato in banda in trasmissione e che sia poi passabile, riesca a passare, senza alterazioni dentro il canale e
dentro il filtro di ricezione. Chiaro?
Questo è uno degli argomenti più delicati che uno pensa di avere capito e mi viene a raccontare all’esame
la filastrocca con tutti i passaggetti, però poi io voglio vedere se veramente si è capito e se non si è
veramente capito questo discorso, alla mia prima domanda già uno si perde.
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La prima domanda che io faccio dico: ma si applica alla trasmissione analigica o digitale? Può essere che
qualcuno si ricorda dei segnali di quel tipo e dice: analogica. Dico: come analogica? ISI vuol dire
interferenza intersimbolica, i simboli sono nel digitale non nell’analogico.
Quindi vi chiedo e questo scrivetelo perché così poi se dovesse andare male l’esame vi dico andatevelo a
vedere negli appunti; vi dico: su questo argomento non pensate di averlo capito solo imparando a
memoria la filastrocca, ma dovete capire quello che vi ho detto oggi io 100 volte. Cioè voi state sprecando
tempo del vostro recorder qua, perché sto ripetendo la stessa cosa 100 volte: è un segnale periodico la
mia voce, con un periodo di 3 minuti, quindi ha uno spettro a righe sicuro.
Quindi cercate di capire il succo del discorso, cioè quello che c’è scritto dietro questo discorso, cosa che
non si intuisce nemmeno dal libro. Quindi rivedetevi gli appunti, pensateci, se no ne parliamo.
Allora i 2 approcci come ottenere l’he a destinazione. A questo punto però vi chiedo, ritorno alla prima
domanda: quale he(t) rispetta quella condizione? Cioè ha quella forma? Allora giustamente voi mi avete
detto un sinc, un coseno rialzato, io vi aggiungo anzi no io, ma c’è il signor Nyquist che ve lo dice: si annulla
l’ISI se l’impulso elementare a destinazione gode di quella proprietà là, cioè è, qua c’è disegnato, diverso da
0 per t=0 e 0 ogni Tb poi, quindi a Tb, a 2Tb, a 3 Tb si azzera. Nell’intervallo tra Tb e 2Tb per esempio, non mi
interessa come fa il segnale, mi interessa che solo a distanza di Tb si annulli. E questo si chiama primo
cristerio di Nyquist per l’annullamento dell’ISI. Ce ne sono poi altri 2.
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A questo punto cominciamo a vedere quali segnali potremmo utilizzare, allora il primo segnale che ci viene
in mente il più semplice l’avete detto già voi, è il sinc. Attenzione però che non è un sinc qualunque, deve
essere un sinc che si annulla ogni Ts. Giusto? Quindi non è che può essere un qualunque sinc, deve essere
un sinc che si annulla ogni Ts. Quindi deve essere questo sinc. Giusto? Perché se prendo un sinc di t 5000
non va bene, la sua forma è correlata al Ts, quindi alla symbol rate.
Allora questo soddisfa il primo criterio di Nyquist e quindi avremo ISI 0. Qual è la sua trasformata? La sua
trasformata cioè l’He(f) è questa qui:
Quindi voglio che a destinazione il mio impulso formattatore elementare sia questo. Ovviamente uno dice:
Ma ci riesco sempre ad ottenerlo? Allora che banda ha questo impulso formattatore a destinazione? Ha
banda fs/2. E’ ovvio che, siccome l’He(f) frequenza per frequenza si può scrivere come G(f)∙C(f)∙H(f), giusto?
Frequenza per frequenza si può scrivere così, è ovvio che se la cascata di questo deve essere fatta così, in
questo intervallo qua nessuna delle 3 funzioni di trasferimento deve essere nulla! Chiaro? Perché se una
delle 3 funzioni di trasferimento G, C o H, in quell’intervallo è 0, il loro prodotto in quella frequenza è 0
sicuro. O comunque se è un valore molto basso, cioè per esempio se il canale già in questa frequenza qua,
cioè se il canale fosse fatto così e qua è molto basso, per ottenere poi all’uscita un rettangolo, dovrei usare
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un filtro di ricezione che mi deve amplificare tantissimo i punti in cui il canale è molto basso. E’ chiaro?
Perché il prodotto di G∙C∙H mi deve fare l’impulso rettangolare in frequenza. Chiaro? Questo allora che cosa
vuol dire? Che il canale e comunque pure il filtro di ricezione, comunque guardiamo il canale, deve avere
una banda minima di fs/2. E’ Chiaro? Cioè per ottenere alla fine quest’impulso rettangolare di banda fs/2,
tutti e 3 i dispositive e comunque sicuramente il canale, deve avere una banda passante almeno di fs/2,
perché se il canale taglia prima di fs/2 non ci sono miracoli che possono esserci per riportare poi la funzione
di trasferimento di nuovo così sulla cascata. E’chiaro? Quindi questo qua è l’he(t).
Domanda: quindi sembrerebbe risolto il problema, ma noi siamo i soliti ingegneri che appena crediamo che
già il problema è risolto, cominciamo a pensare: dove potrebbe essere il problema ora? Perché se no non
abbiamo che fare. Qua è abbastanza semplice trovare dove si possa applicare questa teoria e questo potete
chiedere aiuto ai controllisti, a chi vi fa controlli automatici. Quindi la questione l’abbiamo posta così:
scegliamo il G(f) come vogliamo, il C(f) è quello che è, dobbiamo progettare un H(f) che mi riesca ad
ottenere alla fine come prodotto quell’impulso rettangolare. Se lo dite al professore Muscato, Arena, non so
chi avete avuto, lui fa un salto così, dice: “Ma siete impazziti!” Non so quanti poli e zeri deve andare a
mettere per ottenere la cascata di 3, cioè per andare a modificare il filtro di ricezione per ottenere poi
proprio quello. Perché quello è un filtro ideale che ha un fronte di discesa infinitamente ripido. Chiaro?
Quindi morale della favola non ci riusciamo a destinazione ad avere un he(t) che sia un sinc nel tempo
oppure questo in frequenza. Chiaro? E questo è un problema.
E’ chiaro il problema? Quindi sto cercando di rispondere alla domanda: quale forma posso dare a
destinazione al segnale giallo? Allora l’amico vostro aveva suggerito il sinc. Teoricamente si, ma l’ingegnere
dopo un po’ di riflessione vi dice no.
Secondo problema. Siccome questo gli è venuto troppo banale, comincia a pensare per cercare qualche
problema ancora più complicato. E dice questo: il seno cardinale è vero che ogni Ts si azzera, però se voi
guardate nell’intorno di Ts, quindi un po’ prima di Ts e un po’ dopo di Ts, il sinc è abbastanza diverso da 0. Lo
vedete che scende molto rapidamente? Il sinc nei multipli di Ts è proprio 0, però un po’ più a destra ed un
po’ più a sinistra è molto diverso da 0. Dice: “Va beh, ma che ci fa? Io non devo campionare al centro in Ts?”
Si, dovrei campionare in Ts, peccato che c’è il solito problema della sincronizzabilità, della deriva dei clock,
quello di cui abbiamo discusso e vi dicevo: ll durata del Ts, del Tb, se trasmettiamo ad 1 Gbps, è di quanto?
Di 1 miliardesimo di secondo. Quindi devo andare a beccare il centro del miliardesimo di secondo. Se lo
sbaglio di poco, non trovo più l’impulso adiacente 0, ma lo trovo con un valore molto più alto e quindi
ritorna l’ISI. Non so se è chiaro.
Allora l’amico vostro aveva suggerito di usare il sinc, che ha quella forma. Giusto? Non gli posso dire no, il
matematico gli direbbe un bel SI. Però il sinc ha questi 2 problemi che intanto lo devo utilizzare in ricezione
e quindi ha una forma di impulso rettangolare nella frequenza e quindi è difficile da ottenere; e secondo che
il sinc vero che ogni Tb si annulla, ma lo 0 lo attraverso molto ripidamente. Quindi basta sbagliare di poco, o
in avanti o indietro, che mi salta il criterio di Nyquist, mi salta tutto quello che ho detto finora, perché in
quell’istante di campionamento non è vero che gli impulsi adiacenti sono 0. Quindi ho una robustezza alla
perdita di sincronismo bassissima, cioè il mi sistema non è assolutamente robusto, perché basta che il
ricevitore e di poco non sincronizzato con la sorgente che ritorna l’ISI. Dice: “Ma come io sto usando il sinc
come he(t)?” Si, però stai campionando fuori dal centro. Chiaro?
Per questo motivo ed ora poi lo vediamo, mi piacerà utilizzare il coseno rialzato, perché il coseno rialzato al
variare di r, questo l’abbiamo già visto quando lo abbiamo fatto come segnale, al variare di r, posso fargli
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attraversare lo 0, in maniera molto più morbida e quindi anche se sbaglio di poco, diciamo il suo contributo
per farmi sbagliare bit è bassissimo, cioè mi disturba poco i bit adiacenti.
Ma torniamo indietro.
Io sto preferendo non seguire i lucidi, cioè i lucidi man mano li stiamo guardando, però vi faccio prima dei
discorsi e poi li andiamo a cercare sui lucidi, perché preferisco prima dirvi dove vogliamo andare a parare.
Eravamo arrivati al discorso che se voglio un sinc nel tempo o un impulso rettangolare in frequenza, ho
bisogno che il canale mi faccia passare fs/2. Quindi praticamente la banda minima, cioè la banda del sistema
necessaria, cioè sistema vuol dire: filtro di trasmissione, filtro di canale e filtro di canale; la banda minima
necessaria per avere a destinazione quell’impulso rettangolare he(f), è fs/2 o, se volete, fs=1/Ts (fs era la
symbol rate) e quindi ho bisogno di una banda minima pari a D/2. Quindi questa è una cosa importantissima
e già da qua lo stiamo vedendo, quindi ripeto: quel sinc lì non è un sinc qualunque, è un sinc con quel Ts. E’
chiaro? Perché si deve annullare ogni Ts. Allora se io voglio annullare l’ISI, ho bisogno di un sistema e quindi
di un canale che abbia una banda almeno pari a D/2. Cioè se io ho un canale che ha una banda di canale di 1
MHz, significa che posso trasmettere con una D ≤ 2 Mbps. Se volessi trasmettere con 4 Mbps avrei bisogno
di 2MHz almeno. Chiaro questo passaggio?
Quindi per trasmettere una symbol rate di D devo prendere un sinc esattamente con t/Ts, dove Ts è proprio
uguale ad 1/D. Quindi he(t) deve essere sinc(t∙D), perché D era 1/Ts. Perché se io prendo un altro sinc, non è
che ve lo posso fare scegliere a voi senza dirvi quant’è la symbol rate? Perché se voi scegliete un altro sinc,
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non si annulla più nei centri dei miei intervalli di simbolo. Quindi il mio sinc si deve annullare preciso al
centro degli intervalli di simbolo. E quindi deve essere quello lì, che occupa una banda pari a D/2. Quindi ho
bisogno di un sistema che mi faccia passare almeno D/2 Hz, per trasmettere D simboli al secondo. Chiaro?
Questo è importantissimo ed è scritto qua:
A questo punto dobbiamo cercare un'altra forma, cioè non ci è piaciuto il sinc. Allora usiamo il coseno
rialzato.
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Il coseno rialzato che è fatto così, vi ricordo che nel coseno rialzato non mi interessa questa formula a
memoria, ma mi interessa solo la forma in frequenza.
Allora devo prendere un coseno rialzato fatto così.
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Queste cose le abbiamo già viste. Questa è la sua forma nel tempo.
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State attenti: può essere un coseno rialzato qualunque? No, deve essere un coseno rialzato che si annulli
ogni quanto? Ogni Ts. Quindi dobbiamo imporre 1/2f0 = Ts. Perché , ripeto, non può essere un coseno rialzato
qualunque, deve essere un coseno rialzato che si annulli nel centro di ogni mio intervallo adiacente. Allora
ci facciamo 2 calcoli, Ts quant’è? Non è 1/D? E da questo scopriamo che f0 (f0 è un parametro del coseno
rialzato lo trovate qua, cioè qua c’è scritto f1 ed f∆ , ma sono legati, ed è f0 ed è questo parametro qua, nella
frequenza), allora troviamo che f0 deve essere pari a quanto? A D/2. Allora deve essere un coseno rialzato
con f0 pari a D/2 per annullare l’ISI. Qual è la differenza fra i vari coseni rialzati? E’ il coefficiente di rolloff, la
r, ve lo ricordate? Però qualunque sia il coefficiente di rolloff, tutti si annullano ogni 1/2f0, quindi il
coefficiente di rolloff non influisce sul fatto di annullamento del bit.
Quindi scrivetevi grosso sul solito poster: l’ISI si annulla fissando f0 uguale a D/2; l’annullamento dell’ISI
non dipende da r.
Quindi quando io chiedo: Come si progetta il filtro a coseno rialzato per annullare l’ISI quando ho una
certa D? Scelgo f0=D/2. Cioè l’r è un optional, è solo un piacere poi posso deciderlo come mi piace.
Ovviamente poi mi converrà scegliere un qualcosa, cioè un rolloff più piccolo, più grande, più dolce, ci
sono anche altri risvolti che ora vediamo, però diciamo che non influenza in maniera categorica, mi dice
che ho un margine al sincronismo un po’ più basso o un po’ più alto. Però se sbaglio l’f0 è inutile; mentre
io sopra devo essere più preciso con il campionamento, con la sincronizzazione, cioè sono fattori esterni,
l’unica condizione di annullamento dell’ISI è l’f0.
Se guardate quel grafico là, quello in frequenza, state attenti perché è un errore tipico da esame orale ed
anche da scritto in qualche caso ho visto ultimamente. Sto guardando il grafico in frequenza, io vi do B e
voi subito fissate f0, a quel punto al variare di r varia l’inclinazione e quindi cambieranno sia l’f1 sia il BΣ.
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Quindi io fisso f0 e poi con il rolloff cambio l’inclinazione cambiando f1 e BΣ. Mentre c’è molta gente,
quindi scrivetelo nel poster nel poster dove NON SI PUO’ FARE, che suonano pure i campanelli di allarme
quando fate queste cose, invece c’è molta gente che mi fa così all’orale:
fissa l’f1 e poi mi dice:
E poi mi dice: o è così, o è così, o è così.. SBAGLIATO! Cioè questo è sbagliatissimo! L’ f1 era un derivato. E’
l’f0 il perno, perché è quello che mi annulla l’ISI. Io blocco l’f0 pari a D/2 e poi gioco con l’r per fare
contento l’amico vostro. Quindi praticamente io blocco l’f0 e tutto ruota intorno l’f0. Chiaro? Dove lo
spettro quanto vale alla frequenza f0? ½. Lì vale ½ ed è bloccato, quindi le coordinate (0,1/2) sono
bloccate: tutto ruota intorno a lì. Chiaro?
A questo punto abbiamo capito come si sceglie l’f0. Che cosa stavamo facendo? Stavamo progettando l’He,
cioè l’impulso formattatore a destinazione. La prima cosa dobbiamo scegliere l’f0 pari a D. A questo punto
arrivate voi e mi dite: “Ma l’r allora come lo scegliamo?” L’ r si sceglie per 2 motivi, cioè con 2
considerazioni:
1) Mi conviene scegliere un r il più grande possibile (r può essere tra 0 ed 1), quindi il più vicino
possibile ad 1. Quindi vi conviene scegliere un r il più vicino possibile ad 1 per fare il sistema più
robusto alla perdita di sincronismo. Quindi vi conviene scegliere l’r il più vicino possibile per fare
intanto il sistema più robusto alla perdita di sincronismo, perché più grande è r, più fiacco è
l’attraversamento nello 0 e quindi se sbaglio di poco non influenzo molto, cioè gli intervalli adiacenti
non risentono molto l’influenza del rumore. Chiaro? Questo è il primo motivo per cui mi conviene l’r
il più grande possibile.
2) L’altro motivo per cui mi conviene l’r il più grande possibile, è per problemi economici diciamo, di
costruibilità del filtro, di realizzabilità del filtro, perché più grande è r, più morbido è il fronte di
salita e di discesa, meno ripido. Quindi più grande è r, più morbido è il fronte di salita e di discesa.
Giusto? E quindi più economico è il filtro. Invece più piccolo è r, più tende all’impulso rettangolare,
cioè alla forma dell’impulso ideale e quindi più poli e zeri ci devo mettere, più difficile è da
realizzare.
Quindi da questo punto di vista, uso l’r il più grande possibile, però l’ingegnere è il più sveglio quando ci
sono i compromessi, cioè non gli basta una cosa che dice: “Più grande è, meglio è”. No! Perché c’è
qualcosa che mi dice più piccolo è e meglio è. E che cos’è? La banda! Perché? Perché più piccolo è r,
meno banda occupa. Quindi più piccolo è r, più piccola e la BΣ e quindi da questo punto di vista era
meglio il sinc. E questo è proprio l’oppio per l’ingegnere, l’ingegnere si realizza quando vede una
manopola che dice: “Se vado verso destra ottimizzo una cosa, se vado verso sinistra ottimizzo l’altra.”
Chiaro? State attenti, perché se diventate così, cioè diventate ingegneri, ma se cominciate a compiacervi
di queste cose siete persi. Chiaro allora questo?
Quindi il coseno rialzato non è che in assoluto (quindi ora vi ripeto guardando dal lucido quello che vi ho
detto) soddisfa il criterio di Nyquist, cioè si annulla ogni Ts, lo soddisfa solo se l’f0 si prende pari a D/2.
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f0 vi ricordo che si chiamava la banda a -6dB.
Ulteriori parametri del filtro, va beh, non vi dimostro queste formulette ma ve le potete ricavare giocando
con le varie definizioni.
Questa è la cosa più importante, si può vedere che BΣ , la banda del filtro, è (1+r) D /2. Quindi per r=0
che cosa ho? Per r=0 che cosa diventa il coseno rialzato? Diventa un sinc ed ho la banda minima possibile.
Quindi per trasmettere, quindi ritorniamo al discorso che dicevamo prima, per trasmettere con una symbol
rate di D, ho bisogno, perché più stretto di così non posso, ho bisogno di una banda di canale pari a D/2. E
però se ho proprio di D/2, devo usare come He il sinc. Chiaro?
Se ho un po’ più di banda di canale, mi posso allargare un po’, posso salire un po’ con l’r, posso quindi avere
un coseno rialzato un po’ più morbido.
Quand’è la banda massima del coseno rialzato? Quando r è uguale a 1. E quanto viene la banda massima
quindi? D. Quindi praticamente il mio coseno rialzato occupa a seconda del rolloff, del r piccolo, mi occupa
fra D/2 e D. E ho un canale più grande di D? Allora dai calcoli vengono cose strane, però se voi vi fate i
calcoletti, se avete un canale con una banda più piccola di D/2, vengono cose strane, come vi vengono cose
strane se il canale ha una banda superiore a D. Però le 2 cose strane si devono leggere in maniera opposta,
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perché se avete una banda troppo piccola, cioè più bassa di D/2, la cosa strana vuol dire che non si può
trasmettere senza ISI.
Se invece avete una banda molto grande, i numeri strani che vi vengono, è che potete utilizzare qualunque
coseno rialzato e quindi poi sceglierete, tanto la banda c’è, sceglierete quello con un r piccolo uguale ad 1.
Cioè anche se vi viene nel calcolo la r = 5, non è che poi nel compito gli scrivete r=5, perché un coseno
rialzato con un r = 5 non lo saprei nemmeno disegnare. Se nel compito vi viene r=5, quindi per r>1, scegliete
r=1; se la r viene < 0 dite: “Non realizzabile”. E’ chiaro o no?
Vi può succedere che il calcolo della r viene fuori dal range 0 – 1, però se vi viene negativo dite: “E’ perché
c’è troppa poca banda e quindi non si può realizzare”; se vi viene >1 dite: “C’è tanta di quella banda!”
Perché a volte capita nei compiti che uno dice: “ Se ho 1 MHz di banda si realizza, se invece ho 1 GHz, viene
un r molto grande ed ho letto in compiti, ve li potrei fare vedere, non si può realizzare: Troppa banda!”
Quindi stiamo parlando di quale problema al solito? Stiamo parlando di come fare l’he(t). Allora l’amico
vostro ha detto sinc e l’abbiamo smontato ed abbiamo detto: No! Troppo difficile. Poi qualcuno ha detto:
coseno rialzato. Ed abbiamo detto: Va bene, ok. Perché il coseno rialzato è una famiglia, un po’ più grande,
che contiene il sinc ma ne contiene anche altri.
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Esiste una famiglia di segnali ... perché l’importante qual è? Che si annulli ad ogni centro d’intervallo. Quindi
vi ho detto infatti: da oggi all’esame se ve ne inventate altri, me li potete dire ed anzi vi metto la lode senza
manco interrogarvi, se vi inventate altri segnali. Va beh, non esageriamo.
Allora una famiglia ancora più grande del coseno rialzato, di cui quindi il coseno rialzato è un caso
particolare e di cui anche il sinc poi è un caso particolarissimo, fatemi dire, è la famiglia dei cosiddetti filtri di
Nyquist.
Quindi i filtri di Nyquist sono fatti così, tramite una definizione nel tempo. Non solo l’ISI si annulla se scelgo
un He(f) fatto così; oppure non solo l’ISI si annulla se scelgo un He(f) fatta così, giusto? Questo è il sinc e
l’altro è il coseno rialzato, ma si annulla scegliendo un He(f) che ha questa forma qua, che è fatto da un
impulso rettangolare di banda quant’è la banda dell’impulso rettangolare? Banda f0, non f1. Perché in un
compito c’è stata una strage legata pure a quello che vi dicevo pure prima, la banda di quell’impulso
rettangolare è f0. Più 2 code fatemi dire, cioè + un Y(f) che gode di questa proprietà qua ... ve lo faccio
vedere graficamente che è più semplice, è più facile da vedersi che da scriversi.
Quindi che è reale e pari intorno ad f =0 e reale dispari intorno ad f=f0.
Ve lo faccio vedere graficamente nel prossimo lucido.
Quindi qualunque filtro di Nyquist, quindi con questa forma, purché f0 sia uguale a D/2.. Chiaro? Qualunque
segnale che abbia uno spettro che gode di questa proprietà e però con f0, pari a D/2, mi annulla l’ISI. Chiaro?
Per esempio prendo un Π(f), quant’ha banda Π(f)? Il secondo quello centrale? f0 . E gli sommo… che è pari
rispetto alla frequenza 0, ed invece, rispetto ad f0, è dispari. Chiaro?
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Quindi qualunque segnale abbia uno spettro fatto dalla somma di un Π(f) fatto così e di un Y(f) di quel tipo,
cioè che abbia proprio questa forma qua, questo è proprio il coseno rialzato, perché il coseno rialzato ha
proprio questa forma, è un caso particolare, ed anche il sinc ha questa forma.
Il sinc com’è fatto? Il sinc ha Π(f) e l’Y quant’è? Ne caso del sinc? Perché il sinc rientra in questa famiglia?
Perché è fatto con un Π(f) + un Y(f) che è nullo. Invece nel coseno rialzato abbiamo un Π(f) come questo ed
un Y(f) che è fatto con quella forma là. Comunque qualunque sia l’Y(f), pari rispetto alla frequenza nulla e
dispari rispetto alla frequenza f0, purché, ripeto, l’f0 sia pari a D/2, questo mi annulla l’ISI.
Il coseno rialzato ha una Y fatta con un coseno: il coseno rialzato è fatto da un impulso rettangolare più
quello.
Attenzione il coseno rialzato non lo dovete guardare, questo c’era in un compito di 3 appelli fa, come
questo dove qua c’è f1 + questo, perché visto così non sarebbe un filtro di Nyquist. Il coseno rialzato lo
dovete guardare così, cioè dovete guardarlo come questo, quindi un po’ più grande fino ad f0 e poi gli
dovete fare questo così e questo così, in maniera tale che la parte centrale glielo sottrae a quello là sopra,
e quindi lo fa scendere. Già in questo punto deve cominciare a scendere il coseno rialzato e chiaro per
tutti o no? Quindi il coseno rialzato lo dovete vedere come un impulso rettangolare di banda f0 e non
banda f1 + un Y(f) che ha questa forma qua.
Invece molti hanno fatto l’errore di vederlo come un impulso rettangolare di banda f1 + uno scarabocchio
di quel tipo, che però non è più dispari rispetto ad f0.
Quindi alla mia domanda: il coseno rialzato è un filtro di Nyquist? Si! Perché? Perché è la somma di un
impulso rettangolare di banda f0+ quella cosa lì. Ci siamo?
[fine 23a lezione]
[inizio 24a lezione]
Ieri abbiamo cominciato a parlare del problema dell’ISI, abbiamo visto che il sistema è questo qui, quello a
cui facciamo riferimento al solito. Se vi ricordate noi vogliamo trasmettere i simboli 0 o 1, binari, che sono
messi all’ingresso, comunque il modulatore PAM immediatamente li trasforma nei simboli an e quindi il
problema è trasferire questi simboli an. Come facciamo? Li usiamo come pesi per moltiplicare poi, cioè per
trasmettere pesati degli impulsi elementari g in trasmissione. Dopo la cascata, filtro di trasmissione che dà
la somma, canale e filtro di ricezione, poi dobbiamo andare a pescare al centro dell’intervallo il valore del
segnale e confrontarlo con la soglia. Abbiamo scoperto, con un po’ di passaggi, che se il segnale d’ingresso è
fatto dagli impulsi elementari g(t) ∙ i pesi an, il segnale in uscita è fatto invece dagli impulsi elementari
he(t)∙an. Quindi per non avere interferenza intersimbolica l’idea è stata quella del primo criterio di Nyquist,
che dice: basta che l’he(t),cioè la forma dell’impulso elementare, abbia la forma di questo segnale giallo;
cioè che quando io lo trasmetto, al centro dell’intervallo sia ovviamente diverso da 0, mentre al centro degli
intervalli adiacenti sia nullo.
Allora ci siamo posti 2 problemi:
1) Quali tipi di segnali verificano questa condizione? Ed abbiamo visto che va bene il seno cardinale,
anche se poi abbiamo visto che è ideale e poi dà problemi pure sulla sincronizzazione con la
sorgente; abbiamo visto che va bene il coseno rialzato ed abbiamo visto che vanno bene tutti i filtri
di Nyquist, cioè tutti quei segnali il cui spettro è simile al coseno rialzato, però è più generale perché
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è fatto dalla somma di un impulso rettangolare più un segnale che è pari rispetto alla frequenza 0 e
dispari rispetto alla frequenza f0.
2) Abbiamo capito che all’uscita dobbiamo avere questo segnale, per ogni impulso elementare, ma
come facciamo ad ottenerlo? Abbiamo detto che ci sono 2 possibilità; abbiamo detto che se
vogliamo mettere qualunque impulso, cioè se vogliamo essere liberi di mettere qualunque impulso
in ingresso g(t), persino un impulso a banda infinita, che poi quindi verrà tagliato in banda dal
canale, allora dobbiamo agire sul filtro di ricezione calcolandocelo così. Oppure altra alternativa,
l’approccio 2, che ora vediamo, che è molto semplice, siccome il segnale giallo a destinazione è a
banda limitata, per avere quel segnale giallo a banda limitata, l’altro modo è agire sul filtro di
trasmissione, cioè sulla forma dell’impulso, e mettere in trasmissione già lui stesso o qualcosa di
molto simile comunque, cioè mettere un segnale già in trasmissione a banda limitata, in maniera
tale che passa inalterato sul canale e nel filtro di ricezione. Ovviamente il canale un minimo di
ampiezza di banda la deve avere per farlo passare, e quindi me lo ritrovo in ricezione. Dato che in
ricezione comunque deve essere a banda limitata e quindi non limitato nel tempo, quindi gli altri
intervalli li invaderà sicuro, però me lo posso già fare in partenza, con il primo criterio di Nyquist,
cioè che si annulla nei centri di ciascuno intervallo.
Chiaro? Quindi o libertà nel filtro di trasmissione, quindi nella forma dell’impulso di partenza, e gioco
con quello di ricezione; oppure me lo faccio già a banda limitata in trasmissione e me lo ritrovo così,
come l’ho già progettato in trasmissione, me lo ritrovo in ricezione.
E questo è quello che abbiamo visto ieri.
Ovviamente per potersi annullare nei centri degli intervalli adiacenti, si deve annullare ogni Ts, ogni
tempo di simbolo, e quindi non può essere un qualunque seno cardinale, un qualunque coseno rialzato
o un qualunque filtro di Nyquist, ma deve essere uno di questi 3, ma con l’f0 in ciascuno dei 3 pari a D/2.
Quindi l’unica condizione di annullamento dell’ISI è l’f0=D/2, che vuol dire, per esempio nei filtri di
Nyquist, di scegliere questo f0 = D/2, dove D è la symbol rate, e poi questo segnale qua, l’Y(f) che si
somma a questo, quindi la pendenza, se volete, qualunque, cioè qua può essere qualunque cosa, basta
che sia pari rispetto alla frequenza 0 e dispari rispetto ad f0, però può essere qualunque. L’unica
condizione per annullare l’ISI è fare nel filtro un f0 pari a D/2.
Quindi quando io vi chiedo: come si annulla l’ISI? Come si progetta il filtro? Non partite dal rolloff o
dall’Y(f), perché quella è coreografia, cioè la cosa importante è l’f0. Poi le altre cose sono tutte per
problemi economici, per problemi di banda ed altri problemini vari, però intanto il primo requisito è
fare bene l’f0 pari a D/2.
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Secondo approccio.
Se C(f) ∙ H(f), quindi se il canale ed il filtro di ricezione hanno una banda passante fra –Bc e Bc, quindi questo
qua è la cascata di quello che noi non vogliamo modificare, cioè il canale ed il filtro di ricezione, perché
stavolta vogliamo lavorare sul filtro di trasmissione. Quindi questo qua è l’intervallo di frequenze fra -Bc e Bc
dove vogliamo fare passare il nostro segnale.
100
Allora per esempio possiamo usare un impulso formattatore d’ingresso, l’obiettivo è averlo in uscita, ma noi
lo mettiamo in ingresso già a coseno rialzato. Però stando attenti che la BΣ del mio ingresso, deve essere
non oltre la Bc, per potere passare inalterato, giusto? Quindi deve essere BΣ≤ Bc , o comunque conviene
come sapete sceglierla uguale, perché se tanto la banda c’è, preferisco utilizzarla, perché così faccio un
fronte di discesa e di salita più soft, meno ripido. Comunque l’importante è che la BΣ non superi la Bc, la
banda del canale. Perfetto perché se io uso come impulso formattatore questo, quando lo faccio passare
qua: lo faccio passare che vuol dire? Moltiplico G(f)∙C(f)∙H(f), lui non mi altera questo e mi ritrovo in uscita
esattamente di nuovo questo. E quindi soddisfo il primo criterio di Nyquist che vuole l’impulso in uscita
formattato, per esempio, a coseno rialzato. E’ chiaro come funziona? Quindi io mi scelgo BΣ=Bc ed f0=D/2
Qual è il requisito che viene fuori da qua? Che ovviamente la banda del canale, canale vuol dire canale e
filtro di ricezione; la banda del canale, Bc, non deve essere più piccola di f0. Cioè se io voglio trasmettere con
una D = R (supponiamo di essere nel caso di trasmissione binaria), = 2 Mbps. Allora l’f0 quanto me lo faccio?
Come lo progetto? Allora la prima cosa devo fare immediatamente la f0. Quindi f0= D/2=R/2= 1MHz. Giusto?
Questa è la f0. Ovviamente siccome la BΣ è un po’ più grande, cioè è maggiore o uguale, cioè la f0 già è un
punto fisso, che non posso spostare. Quindi con il coefficiente di rolloff posso un po’ giocare con la BΣ, ma
sicuramente la BΣ non la posso fare andare prima dell’f0. Giusto? Cioè la BΣ va oltre l’f0 e per potere
passare questo inalterato dentro il canale, sicuramente deve essere la banda di canale, e questo ve lo scrivo
grosso, la banda di canale deve essere maggiore o uguale della BΣ, ma la BΣ deve essere pure maggiore o
uguale di f0, che è uguale a D/2. Quindi questa è una relazione importante che mi dice che la banda di
canale deve essere maggiore o uguale di D/2. Chiaro?
Quindi se io voglio trasmettere a 2 Mbps, ho bisogno di un canale almeno di 1 MHz. E’ chiaro? Ora lo
vedremo ancora meglio. Quindi D/2, che è l’f0, risulta, e questo è importantissimo, risulta la minima banda
di canale, cioè D/2 è la minima banda di canale per trasmettere un flusso di D simboli al secondo. Cioè se io
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voglio trasmettere in qualunque contesto, se io voglio trasmettere ad 1 Mbps, ho bisogno di un canale di
almeno 500 KHz, per forza, se no non si può trasmettere. Chiaro?
Allora facciamoci 2 conticini. Prima questo schema non c’era nei miei lucidi ed ogni volta nei compiti i vostri
colleghi più anziani si dovevano fare questo conticino che vi sto per fare ogni volta, con il 50% di probabilità
di sbagliare, data la tensione del compito e problemi vari. Invece ora ve l’ho messo qui e forse c’è pure sul
formulario, e quindi siamo a posto.
.
Allora supponiamo di considerare quindi una trasmissione con codice di linea NRZ, ora poi vi dico perché sto
dicendo NRZ, e voglio trasmettere D simboli al secondo, e voglio usare il coseno rialzato che mi comprende
anche il seno cardinale.
Ok, i casi sono questi:
se io ho una banda di canale maggiore di D, ponendo banda di canale uguale a BΣ, cioè io mi faccio i calcoli
ponendo BΣ, che è la banda del mio filtro, uguale a tutta quella disponibile. Giusto? Quindi la impongo
uguale a quella del canale. Chiaro? Intanto la impongo così e vedo che cosa mi viene fuori. Quindi io
impongo che il mio filtro occupi tutta la banda disponibile del canale. Mi faccio 2 calcoli ... allora se la banda
del canale è maggiore di D, questo è quello che vi dicevo la scorsa volta, vi dicevo ieri, mi faccio il calcolo lì
dell’r, quindi mettendo al posto di BΣ Bc, mi faccio il calcolo e mi viene un r >1. Cosa vuol dire? E’ un r
strano, perché sappiamo che l’r deve essere compreso tra 0 ed 1, però non è che si dice: il filtro non si può
102
fare! Invece siccome poi a scendere ci siamo, a diminuire ci siamo, perché se a me viene un certo r,
qualunque altro r più piccolo, mi dà un filtro più stretto che passa meglio nel canale. E’ chiaro? Cioè se io
prendo un r più piccolo, il filtro mi viene più stretto e quindi passa meglio nel canale. Quindi è solo
questione che spendo un po’ di più perché devo fare un fronte di salita e di discesa più ripidi, ma comunque
passa meglio nel canale.
Quindi se l’r da questo calcolo mi viene maggiore di 1, qualunque r compreso tra 0 ed 1 va bene. Cioè è il
caso che vi dicevo ieri che ho molta banda, troppa banda, e quindi se la banda di canale è superiore a D
qualunque filtro mi va bene. Quando dico filtro vuol dire la forma in frequenza dell’He(f), cioè in ricezione e
questo discorso vale poi in tutti e due gli approcci, cioè poi posso agire sia sul filtro in ricezione che sul filtro
in trasmissione.
Ok, in questo caso qualunque filtro va bene, però ovviamente sarei un folle a scegliermi un r piccolo, mi
conviene scegliermi la r uguale ad 1. Quindi quando nel compito vi viene un r=7.85, non mi dovete scrivere
7.85 perché non esiste, perché io poi vi dico: me lo disegnate un coseno rialzato con un r=7.85? Non si
può disegnare. Quindi non mi dovete scrivere 7.85, non mi dovete scrivere: NON SI PUO’ FARE IL FILTRO
PERCHE’ SIAMO FUORI DAL RANGE 0 – 1; mi dovete dire va bene qualunque filtro, scelgo r=1, perché poi
lo dovete progettare il filtro, quindi un numero me lo dovete dare, quindi scelgo r=1. E sempre f 0=D/2,
sull’f0 pari a D/2 siamo d’accordo ed è una cosa specifica, là non c’è che discutere.
Se Bc è compreso fra D/2 e D mi viene un valore di r, per esempio mi viene r=0.40. Allora andrebbe bene
qualunque filtro con r compreso tra 0 e 0.40, però ovviamente io scelgo 0.40 perché è quello più grande
possibile e quindi più economico. Chiaro? Quindi in questo caso esiste il filtro pure qua e scegliamo quello
che ha l’r piccolo, quindi il rolloff, dato dalla formula quella là sopra.
Se invece abbiamo una banda di canale minore di D/2, abbiamo detto che il canale non è sufficiente per
supportare la trasmissione a D simboli al secondo ed infatti da questo calcolo mi viene un r minore di 0 e
quindi non è possibile trovare un filtro che mi posso eliminare l’ISI, cioè l’ISI là ce l’avrò, perché il canale mi
altera il segnale irrimediabilmente. Chiaro questo schema?
103
Vi aggiungo ora un minimo di complessità in più ora. Prima non ve l’ho detto però abbiamo parlato di codici
di linea NRZ. Perché NRZ? Perché gli NRZ trasmettono un simbolo per ogni tempo di bit, o meglio
trasmettono un impulso per ogni tempo di bit. Si potrebbero fare dimostrazioni molto più formali, ma li
eviterei, perché riusciamo ad arrivarci con i discorsi che abbiamo già fatto sui codici di linea, sappiamo che
gli RZ ed il codice Manchester richiedono una banda doppia rispetto agli NRZ. Quindi vi scrivo quest’altra
tabellina qua, per tenere conto dei codici RZ e Manchester. Cioè se usiamo questi codici, abbiamo bisogno
di una banda doppia, cioè c’è un fattore 2 da tutte le parti.
Quindi praticamente abbiamo ... ho fatto un copia incolla di prima cambiando solo qualche piccola
formuletta, cioè i limiti del canale qua non sono fra D/2 e D, ma sono fra D e 2D. Cioè se voi usate gli RZ o
usate il Manchester, avete bisogno almeno di una banda di canale D e non più D/2, cioè tutto il doppio.
Chiaro? Quindi se voi usate gli RZ o il Manchester che richiedono una banda doppia, non vi è più sufficiente
una banda di canale pari a D/2, ma è necessario avere una banda di canale pari al doppio, cioè a D. E quindi
ho riscritto le stesse cose di prima mettendo un 2 da tutte le parti. Chiaro?
Se l’esercizio vi dice: volete trasmettere una symbol rate di D, di quanto avete bisogno come banda
minima di canale? E’ D/2. Però poi, se vi si dice progettatelo, dovete dire che utilizzate un NRZ. Se invece
nel testo c’è scritto di utilizzare o c’è scritto esplicitamente o c’è scritto per via indiretta, di utilizzare un RZ
oppure un Manchester, non è più giusta la risposta D/2, ma dovete dire almeno D.
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Se siamo, e questo già lo avevamo accennato ieri, se siamo invece sotto D/2 o sotto D, anche qua c’è che vi
dovrei fare i 2 discorsi in parallelo per gli NRZ e per gli RZ, fatemelo fare solo per gli NRZ poi c’è sempre un 2
da mettere da qualche parte, che poi lo troveremo solo nella formula finale; per ora quindi ragioniamo solo
sugli NRZ. Quant’è la banda minima? D/2.
Allora supponiamo di fare trasmissione binaria, quindi quant’è la banda minima? R/2. Allora se abbiamo un
canale che ha almeno R/2, siamo felici e contenti e le cose vanno bene. Se però il canale non è sufficiente,
abbiamo detto l’unico modo per potere continuare a trasmettere in una banda più piccola è la codifica
multilivello, raggruppando a gruppi di l bit.
Allora io fino ad un paio di anni fa mi fermavo qua e poi per gli esercizi vi dovevate inventare voi le formule,
cioè si dovevano calcolare, sono 2 formulette da calcolare per progettare l piccolo. Qua poi, ad un certo
punto, ho voluto fare uno sforzo ed ho trovato delle formulette che magari possono sembrare difficili, e non
è che si devono imparare a memoria, me le dovete ricavare oppure basta ragionarci un minuto che uno le
ricava. Chiaro? Però intanto ve l’ho scritte qua perché nel compito potete decidere se ragionare e quindi
ricavarvele oppure utilizzarle però dovete averle già studiate e saperle utilizzare. Allora vediamo di arrivare
a queste formulette. Quindi se noi raggruppiamo a l a l i bit, la banda minima ... sto scrivendo formule come
se scrivessi codice Matlab, come se stessi programmando, mi sto calcolando delle formulette in sequenza,
come se stessi scrivendo una funzione: gli mettete l’input e vi calcolate l’output. Cioè siamo a questi livelli di
difficoltà di lettura, fatemi dire.
Allora la banda minima l’ho indicata con BMINbin , che era l’R/2 per segnalazione NRZ e l’R per segnalazioni
RZ e Manchester. Allora se uso l, cioè se raggruppo a l a l, riduco di un fattore l la banda minima. E quindi
indichiamo con BMINl quella della codifica multilivello a gruppi di l. Allora l come me lo calcolo? Cioè devo
imporre BMINbinl≤ Banda del canale e quindi mi calcolo la l da qua, però la l mi verrà un valore con la
105
virgola, supponiamo che mi venga l=4.75. Chiaro la l cosa vuol dire? Prende e mi fa ridurre lo spettro per
farlo passare dentro la banda del canale. Allora se mi viene 4.75, a parte quello che c’è scritto qua,
ragioniamoci un attimo, l è un numero intero, non è che posso raggruppare 4.75 bit? Devo prendere o 4 o
5. Se io prendo 4… a volte mi capita che nei ricevimenti mi si viene a chiedere... questa approssimazione per
difetto o per eccesso capiterà più volte nel corso, dice: Come mi conviene approssimare per difetto o per
eccesso? Dipende dal singolo caso e non vi conviene impararlo a memoria, perché se no poi ve lo scordate e
sbagliate, a parte che qua ve l’ho dato nella formula, ci dovete un minimo ragionare. Se voi scegliete l =4,
state raggruppando un po’ meno e quindi la banda è un po’ più grande di quella che doveste avere, quindi
non basta; se invece prendete 5, si stringe un po’ di più e passa meglio. Chiaro? Quindi scegliamo 5. Quindi
prendiamo l=5. Se potessimo prendere 4.75, otterremo uno spettro preciso uguale a quello disponibile, a
quello del canale. Siccome stiamo facendo un po’ di più, cioè 5, lo stiamo facendo un po’ più piccolo.
Prendendolo però un po’ più piccolo come spettro minimo, avremo un po’ più spazio, un po’ di margine, per
fare la codina del coseno rialzato, per poter scegliere quindi un r, un rolloff, perché questa è la minima, cioè
sarebbe l’f0; sto ragionando io sulla banda minima quella di f0. Poi, a questo punto, se mi resta un po’ di
spazio, posso un po’ allargare il rolloff con il coefficiente di rolloff, e quindi posso occupare poi tutta la
banda di canale facendo un filtro più economico. Quindi l’aver scelto un po’ di più mi dà questo spazio.
Quindi una volta scelto l, possiamo calcolare il coefficiente di rolloff. Se per caso l mi fosse venuto già dai
calcoli preciso 5, a quel punto per forza il sinc dovevo usare, perché l’f0 sbatteva sulla banda di canale e non
avevo più possibilità di allargare il coseno rialzato. Se invece mi viene 4.75, quindi il canale è qua, è così,
questa è la banda disponibile di canale, invece l’f0 poi a questo punto verrà messo qua, avendo
approssimato a 5, giusto? E quindi avendolo stretto leggermente. Quindi a questo punto io potrò avere un
filtro a coseno rialzato fatto così, per avere la BΣ uguale alla banda di canale, cioè potrò progettarmi un r, l’r
come me lo progetto? Imponendo BΣ uguale alla banda di canale. Quindi per scegliermi l lavoro sulla banda
minima, cioè lavoro utilizzando l’f0 che era uguale a R/2. Quindi per la scelta di l sto lavorando sulla banda
minima, che è uguale ad f0, che è uguale ad R/2. Chiaro o no? Quella è la banda minima.
Po, invece, a questo punto scelto l, posso lavorare imponendo BΣ=Bc e quindi mi applico le formule che
avevo prima, sia nel caso dell’NRZ, sia nel caso del’RZ, e mi posso calcolare l’r piccolo per avere la BΣ=Bc.
Chiaro? Quindi per l’r la formula è questa. Mentre l’f0 sarà R/2l e R/l.
106
A questo punto mi posso calcolare l’efficienza del mio codice, come si calcolava l’efficienza del mio codice?
L’efficienza del codice era la bit rate, vi ricordate l’efficienza del codice? Era quanti bit riesco a trasportare
per unità di banda, quindi era la bit rate diviso la banda utilizzata, quindi R/BΣ. E quindi l’efficienza del mio
codice sarà 2l/(1+r)e l/(1+r). Ricordiamo però che questa efficienza deve essere minore uguale dell’ηmax,
cos’era l’ηmax? Era derivata dalla condizione di Shannon, cioè era C/B, cioè il log2(1+S/N), questa è
l’ηmax. Chiaro? Ora in effetti non c’è bisogno di verificare a posteriori questa, piuttosto che verificarla a
posteriori nel compito, che vi fa perdere un quarto d’ora e poi alla fine restate delusi perché magari non è
verificata, vi conviene verificarla a priori, o meglio secondo me, poi fate come volete, non vi conviene
verificare questa condizione, perché per verificare questa condizione avete dovuto fare tutti questi passaggi;
invece vi conviene verificare, già subito all’inizio dell’esercizio, R≤C, che è uguale alla B ∙log2(1+S/N). Cioè
piuttosto ad andare a ragionare sull’efficienza.. va beh, l’efficienza è ovvio che deve essere minore o uguale
dell’efficienza massima, ma comunque questa formula deriva da quella.
Quindi quando vi si dà un esercizio e vi si dice, ora poi lo faremo l’esercizio: “Vogliamo trasmettere una bit
rate di 5 Mbps”. E poi probabilmente vi do nell’esercizio vari casi: se la banda di canale è così, se la banda di
canale è così; allora ci sarà per esempio un caso in cui vi si dice: “In un canale con banda di canale uguale a
1.5 MHz e con un rapporto segnale rumore di 15 lineare.” Chiaro? Allora domanda: “ Si può trasmettere
senza ISI?” Allora voi dite: siccome abbiamo R=5 Mbps abbiamo e supponiamo di volere utilizzare un NRZ
unipolare. Allora domanda: si può trasferire? NO! Perché avremmo bisogno di una banda di canale di
almeno 2.5 MHz. Qua potrebbe finire l’esercizio.
Oppure se la Telecom che vi ha commissionato questo vi ha promesso molti soldi, allora voi dite: “Un
momento, ora qualche cosa la troviamo, non è che ci arrendiamo così!”. Allora dite: Possiamo usare un
multilivello. Però prima di fare i conti del multilivello oppure fare illudere la Telecom o illudervi voi stessi,
prima di tutto verificate che la capacità del canale è sufficiente a supportare i 5 Mbps, cioè se la condizione
107
di Shannon è verificata. Allora subito ci calcoliamo la capacità di canale, stiamo verificando se è sufficiente a
trasportare 5 Mbps. Allora la capacità di canale è B∙log2(1+S/N) , che è 1.5 MHz ∙ log216. Quanto fa il
log216? 4. 4 ∙1.5 fa? 6 Mbps. Quindi ci possiamo riuscire. Quindi non fate tutti i calcoli e ragionare poi sulla
η e sulla ηmax, potete farvi, tanto è la stessa cosa, farvi un calcolo a priori sulla capacità di canale perché
tanto è uguale, è equivalente ragionare sull’ η e sulla ηmax oppure sulla R e sulla C, quindi ragioniamo sulla
C. Dice questo canale può supportare 6 Mbps, se voi aveste trovato 4 Mbps, già avreste detto: “Nemmeno il
multilivello ci può!” Perché non ci po’ il multilivello? Perché e questo ve lo dice Shannon, avreste bisogno di
“troppi livelli”, per la quantità di rumore che c’è, cioè c’è troppo rumore, giusto? Ci sarebbe stato troppo
rumore e quindi il campanellino che vi suonava Shannon vi diceva: “Guarda, non puoi trasmetterli 5 Mbps!”.
Ma il motivo vero qual era? Perché c’è troppo rumore o c’è troppa poca banda, perché tanto sono tutti
ingredienti della stessa formula, o il segnale me lo stai volendo trasmettere con troppa poca potenza, cioè
hai B basso oppure S basso oppure N molto alto, per potere fare il furbo mettendo livelli, perché avreste
bisogno di troppi livelli e per il fatto che il segnale ha una bassa potenza o per il fatto che c’è molto rumore
poi, avreste una bit error rate enorme. Non so se è chiaro?
Supponiamo un attimo che sbagliate con la calcolatrice e trovate 4, oppure vi davo dei numeri un po’ diversi
e vi veniva 4. Allora se vi fosse venuto 4, è inutile che vi inventavate tecniche strane, codifiche, MP3,
compressioni, cioè qualunque cosa non avrebbe potuto risolvere il problema. Anzi no, l’MP3 SI, perché
l’MP3 vi riduceva la bit rate, cioè facendo compressione si. Però codifiche di canale strane non vi avrebbero
risolto il problema. Perché il canale con quella capacità più di 4 Mbps non li può trasferire. Quindi se voi
volete trasferire a 5, non l’avreste potuto fare. Quindi voi all’orale mi avreste detto questa storia. Oppure
alla Telecom gli avreste raccontato questa storia, ma poi la Telecom o io all’orale, vi avrei detto: Ma perché?
Perché c’è Shannon! Si, ma chi è Shannon? Cioè quale sarà il motivo? Se poi uno devo risolvere il problema
deve sapere qual è la causa, per poi agire da qualche altra parte.
Allora il motivo è questo: c’è troppo rumore, il segnale vi è arrivato troppo attenuato e/o il canale ha una
banda troppo piccola. E’ chiaro? Questo il problema.
Quindi ripeto: c’è troppo rumore, oppure il segnale è arrivato a destinazione troppo attenuato, oppure c’è
una banda troppo stretta. Così tanto, questi 3 fattori, che io vi dico, io Telecom, io professore che vi
interrogo, così tanto che la soluzione che vi leggo negli occhi che è quella del multilivello non funziona.
Perché? Perché dovreste mettere un numero così elevato di livelli, in così poco spazio, in un ampiezza
troppo piccola, l’ampiezza da cosa è dettata? Dal livello del segnale, dalla potenza del segnale, cioè per
avere questa potenza di segnale i livelli vengono molto fitti. Per avere una certa potenza del segnale, di 1
mW, i livelli li dovete mettere vicini vicini vicini. Se il segnale avesse una potenza a disposizione di 1 MW,
potreste mettere i livelli: uno qua, uno al secondo piano, uno al primo piano. Ma se avete quella S piccolina,
di 1 mW, i livelli li dovete mettere tutti vicini, ed a causa del rumore cha avete i numeri che arrivano sono
numeri random, cioè vi arrivano cose pazzesche: invece del primo livello vi arriva l’ottavo, invece del sesto
livello vi arriva il primo. Chiaro?
Quindi proprio perché abbiamo una banda bassa, cioè la banda bassa vi costringe a mettere troppi livelli,
la potenza bassa vi costringe a metterli troppo vicini, questa è la cosa importante che vi dovete scrivere;
la banda bassa vi costringe ad utilizzare molti livelli; la potenza del segnale bassa ve li fa troppo vicini e la
potenza del rumore alta, rende inaccettabile questa soluzione, perché vi causa una probabilità di errore
troppo alta. E’ chiaro per tutti?
108
Allora poi non vi viene l’esercizio, venite da me alla cattedra e mi dite: “Professore ma può essere che mi sta
venendo 4 e non mi risulta niente?” ed io vi dico: “No, non è possibile, rifate i conti”. Allora rifate i conti e
scoprite che invece era 6. Allora con 6 si può fare invece. A quel punto lo progettate: come si progetta?
Allora si progetta così: l’l lo facciamo con la formula di prima, com’era la formula di prima? Bmin che è R/2,
perché stiamo usando l’NRZ unipolare, per ora, al momento, R/2 / B di canale, quant’è la banda di canale?
1.5. Quindi R/2 era 2.5 diviso 1.5 quanto fa? Me lo dite voi? 5/3, non è un numero ingegneristico 5/3.
Quanto fa 5/3? 1.66 e quindi prendiamo l’estremo superiore e viene 2. OK? Quindi prendiamo 2. A questo
punto abbiamo fatto l.
A questo punto possiamo progettare r piccolo, perché avendo preso un po’ di più, cioè invece di 1.66
prendiamo 2, abbiamo un po’ di margine per allargare il nostro filtro con il rolloff. Quindi ci calcoliamo a
questo punto l’r, che forse era qua: siccome stiamo facendo l’NRZ viene 2BΣD-1 .
r=2BΣD-1
2BΣ è la banda di canale e quindi fa 3.
D è R/l, quindi sarà? 5/2= 2.5 .
r=(32.5 - 1) ? 0.2
Quindi questo è l’r. Ci siamo scordati la cosa più importante, ma non l’ho nemmeno letta perché non c’è
nemmeno da discutere: quanto lo prendo l’f0? D/2, non R/2 stavolta. Quindi D era 2.5 diviso 2 è uguale a
1.25 MHz e quindi questi sono i 3 valori che dovevo progettare. Chiaro?
Poi tutti gli altri se li volete calcolare li calcolate, l’ fΔ, l’f1, tutti gli altri parametrini del filtro, ma sono tutti
derivati. E’ chiaro per tutti allora come si fa la progettazione?
L’amico vostro si chiedeva: “Ma se fosse stato RZ e non NRZ, che cosa sarebbe successo?”
Shannon non mi risponde, non mi dice con una soluzione va bene o con una soluzione non va bene o cose
del genere. Shannon mi dice: “Hai la possibilità di farlo oppure non hai la possibilità di farlo”. Se Shannon
mi dice hai la possibilità di farlo, non è detto che tutte le soluzioni mi permettono di farlo. Giusto? Quindi se
Shannon mi ha detto: “Lo puoi fare”; poi magari con l’NRZ ce l’ho fatta, con l’RZ magari non ce l’avrei fatta.
Non c’è la possibilità in Shannon di dire: “ Guarda se trovo l’RZ e faccio questa codifica e faccio quest’altra,
va bene o no?” Shannon o me lo esclude: è inutile che continui perché non lo puoi fare in nessun modo;
oppure mi dice: c’è qualche modo per farlo. Chiaro?
109
A questo punto viene fuori quella tabellina che vi avevo già fatto vedere. Cioè io questa qua non la voglio
imparata a memoria. Vi riassume tutto quello che abbiamo detto finora. Allora tipo compilatore C o
programma Matlab, vi andate a guardare queste cose. Comunque in questa tabella trovate il riassunto di
tutto ciò che è stato detto, cioè è inutile ripeterla perché tutto ciò che abbiamo detto lo trovate
schematizzato in questa tabella. Però non sperate di poter fare il compito senza avere studiato e
guardando questa tabella. Quindi provatela, studiatevi l’esercizio che abbiamo fatto e poi ci riuscirete. So
che questo tipo di esercizi sono i più facili in assoluto di tutto lo scritto. Quindi se vi capitano queste
esercizi siete fortunati, solo che mi hanno fatto accorgere ieri, proprio con il ricevimento di ieri, che è un
po’ di tempo che non escono questi esercizi.
110
Allora non contento di questo, di tutto quello che abbiamo fatto finora, quindi Nyquist cosa ha detto finora?
Ha detto che l’impulso a destinazione o si allarga o è già allagato di per sé, perché passa da un canale
stretto, a banda stretta, quindi l’impulso nel tempo si allargherà.
Allora per evitare l’ISI la prima idea che ha avuto Nyquist è stata questa: fare un impulso formattatore con la
forma dell’impulso quello giallo, fatemi dire, tipo sinc. Chiaro? Ed abbiamo fatto tutte queste belle cose ed
abbiamo detto che l’ISI si può eliminare, però abbiamo bisogno di una banda di canale pari a D/2 o R/2 che
sia.
Poi a questo punto Nyquist ha avuto un’altra idea ed ha detto: ovviamente l’ISI, se riusciamo ad eliminarlo,
ben venga e siamo felici e contenti; però se ammettiamo l’ISI, quindi un minimo di interferenza
l’ammettiamo, quindi introducendo in modo controllato l’ISI, una quantità prefissata di ISI, quindi non
utilizzando un sinc o un coseno rialzato che si annulla nei centri degli intervalli, il ricevitore può cancellarlo e
recuperare i dati senza alcun errore. Quindi anche se il canale ha banda più piccola di D/2 e quindi il primo
criterio di Nyquist non si può applicare, e quindi si introduce un po’ di ISI, se la quantità di ISI che introduco
riesco a controllarla, il ricevitore può cancellarla.
Ora tutti questi vari “può” che ho detto e il come farlo, non ve lo dico perché se no vi dovrei fare altre 2 o 3
lezioni tutte simili a queste cose qua.
Quindi il secondo criterio di Nyquist solo enunciato, cioè sappiate che esiste questa possibilità. Quindi se
un giorno la Telecom vi ha promesso soldi e voi gli avete detto non si può fare, invece di rinunciare al
contratto, vi andate a studiare queste cose sul secondo criterio di Nysquist e magari c’è speranza che
funzioni.
111
Quindi con questa tecnica si può raddoppiare la velocità dei bit oppure trasmettere su un canale di metà
banda. Quindi con questa tecnica posso ottenere una velocità di bit raddoppiata oppure trasmettere su un
canale con banda non pari a R/2, ma R/4.
Terzo criterio di Nyquist.
L’effetto dell’ISI si può eliminare, scegliendo un he(t), qua non so perché mi sono venuti i caratteri molto
piccoli, comunque i lucidi ce li avete e ve li sto leggendo ora io.
Allora il terzo criterio di Nyquist dice che l’ISI si può eliminare se l’he(t), quindi vi dà un altro modo per
scrivere l’he(t), quindi non per forza deve essere fatta secondo il primo criterio di Nyquist, cioè tipo sinc,
coseno rialzato o filtro di Nyquist, ma se voi lo scegliete verificando queste 2 proprietà, cioè.. vi ricordate le
proprietà del primo criterio di Nyquist? Che doveva essere non nullo nell’istante 0 e poi si doveva annullare
ogni Tb. Oppure invece, se voi la scegliete così che l’integrale dell’impulso sull’intervallo centrale,
ovviamente sia non nullo. Quindi abbiamo un impulso che nell’intervallo centrale, quello dove c’è il t=0, sia
non nullo; mentre negli intervalli adiacenti, integrale sia nullo, quindi sia un po’ positivo ed un po’ negativo
nello stesso intervallo per essere l’integrale nullo, l’ISI si può eliminare pure. Ok? E quindi anche questo
criterio di Nyquist mi permette di eliminare l’ISI. Chiaro per tutti? Ci siamo allora?
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A questo punto diamo un motivo a tutto quello che abbiamo fatto finora, specialmente alla parte di teoria
della probabilità, variabile aleatorie e processi aleatori; cioè vi ho dovuto fare tutta quella parte corposa, a
causa di questo, quindi c’è un motivo, che però è proprio il motivo portante di tutte le scelte che abbiamo
fatto finora, cioè tutto ciò che abbiamo detto, è tutto finalizzato proprio a questo, a finalizzare la bit error
rate. Allora ragioniamo.
Se vedete la differenza rispetto all’ISI, nell’ISI supponiamo il rumore di canale nullo, invece qua ci andiamo a
mettere pure dentro il rumore di canale.
Allora questo è il nostro solito schema. Quello su cui ci andremo a focalizzare, a questo punto è la ricezione.
Il canale che cosa fa? Allora fa 2 azioni brutte, fatemi dire: attenua, purtroppo non allo stesso modo tutte le
frequenze, ma ha una sua funzione di trasferimento, quindi alcune frequenze le attenua di più, alcune
frequenze le attenua di meno. Questo è fondamentale, cioè il canale fa 2 cose: attenua con distorsione,
introduce distorsione voglio dire con una funzione di trasferimento e poi introduce rumore. Chiaro?
Finora, quando abbiamo parlato dell’ISI, abbiamo parlato della prima cosa, cioè abbiamo parlato della
funzione di trasferimento del canale, che tratta in maniera diversa le varie frequenze, alcune attenuandole,
alcune no e questo il canale lo fa sicuramente, cioè si comporta come un filtro che tratta le frequenze in
maniera diversa. Purtroppo oltre a questo, il canale ... quindi già l’x0(t) è il segnale distorto dal filtro di
canale. Però oltre a questo, dicevo, il canale introduce pure rumore. Quindi il segnale che mi arriva in
113
ricezione non è x0(t), che ha già tutti i suoi problemi di ISI, tutte le cose che abbiamo visto finora; ma mi
arriva x(t), che è l’x0(t) + l’aggiunta del rumore di canale. Il rumore di canale lo supporremo AWGN, cioè
supporremo per semplicità che sia additivo, bianco, cosa vuol dire? Che ha uno spettro costante su tutte le
frequenze, che poi non sarà proprio white? Perché sarà rumore termico, però abbiamo visto che il rumore
termico lo possiamo approssimare come white. Gaussian, con tutte le proprietà del gaussiano che abbiamo
visto nei processi stocastici. Noise. Va bene, quindi questo era lo scenario.
Cercheremo un procedura generale per il calcolo della probabilità che un simbolo di informazione a valle del
decisore sia errato, perché poi vi ricordo che metteremo un filtro di ricezione, perché mettiamo un filtro di
ricezione? Almeno un motivo, perché poi altri motivi poi li vedremo. Perché se non li mettessimo,
entrerebbe un rumore a potenza infinita, giusto? Il filtro di ricezione serve per limitare il più possibile il
rumore. Quindi poi otteniamo un segnale analogico r0(t), che andiamo a prelevare quando? Ogni centro di
tempo di simbolo. Quindi l’r0(t) lo andiamo a campionare ogni centro di tempo di simbolo. Chiaro? Ed
otteniamo l’r0(tk). Cioè otteniamo una sequenza di valori, che andremo a confrontare con una soglia per
farci decidere se sono uno 0 o un 1, oppure per esempio se abbiamo un multilivello, quale simbolo è?
Quindi useremo un dispositivo a soglia che confronterà l’ingresso con una soglia, o con più soglie se è un
multilivello, per esempio per ora faremo solo trasmissione binaria, solo alla fine poi estenderemo al
multilivello; comunque per la trasmissione binaria lui mi dirà: se è sopra soglia mi dice 0 se è sotto soglia mi
dice 1. E fino a qua sembra facile la cosa.
Nelle trasmissioni polari, la soglia la metto a 0, giusto? Perché il bit 1 lo faccio +A ed il bit 0 lo faccio –A.
Quindi se io trasmetto così:
Vuol dire che sto trasmettendo un 1 ed uno 0, chiaro? Se c’è un rumore basso, così, mi arriverà questo
segnale qua rumoroso:
Se c’è invece un rumore molto alto:
Devo confrontarlo con questa soglia, VT ed allora il bit … non è che confronto tutto il segnale! Questo
scrivetevelo grosso! Perché all’esame mi capita di chiedere: Quale segnale confronto con la soglia? Non è
che lo confronto tutto, lo confronto solo nell’istante centrale. Quindi confronterò solo questo valore qua
e questo valore qua. Confronterò quei 2 valori. Questo che è il mio segnale prelevato all’istante centrale e
questo che è il valore prelevato all’istante centrale. Allora questo lo leggo 1, perché è sopra soglia e
questo lo leggo pure 1 perché è sopra la soglia. E’ chiaro?
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Quindi io riceverò 1 e 1, vedete sono stato veramente sfortunato perché qua è stato quasi tutto qua sotto,
però giusto quando l’ho prelevato era sopra soglia. Chiaro?
Perché ho sbagliato bit? Cioè quand’è che sbaglio? Cominciamo a ragionare su questo.
Perché c’è stato un rumore pari a quanto? Cioè superiore alla distanza fra il valore corretto e la soglia.
Giusto? Quindi c’è stato un rumore superiore a quella distanza.
Utilizzeremo come filtro di ricezione, il cosiddetto filtro adattato che ora vedremo, che è un dispositivo per il
riconoscimento ottimo di un impulso isolato con forma nota g(t), a cui si è sommato il rumore di canale.
Detto così per ora non significa quasi niente. Cominciamolo a vedere questo filtro adattato.
Allora l’idea del filtro adattato è questa, che, se volete, per enorme fortuna, può venire fuori esattamente
da questo disegno qua. Allora noi dobbiamo concentrare tutti i nostri sforzi, cioè un momento: intanto gli
errori a cosa sono dovuti? Sono dovuto alla presenza del rumore. Giusto? In particolare noi poi andremo a
calcolare la bit error rate, ma la bit error rate si fa sui bit, ma prima il problema è il rapporto segnale –
rumore, perché se c’è molto rumore, rispetto al segnale, avremo degli errori ovviamente.
Però notiamo una cosa. Io qua vi dicevo siamo stati veramente sfortunati. Perché a me non interessa il
rapporto segnale rumore in assoluto, ma mi interessa il rapporto segnale rumore negli istanti di prelievo del
mio segnale. Giusto? Ci viene questa idea: a noi interessa solo negli istanti in cui preleverò il segnale.
Chiaro? Quindi noi dobbiamo massimizzare il nostro segnale in quell’istante. Anche se poi il segnale ha una
potenza bassa negli altri istanti, se però riuscissimo ad avere un segale potentissimo in quell’istante, là
fregheremmo il rumore.
115
E’ come lo zito che vuole fare bella figura con la zita, può stare strigato tutto il giorno, l’importante che si
veste bene quando esce con lei, o viceversa, cioè là massimizziamo il rapporto segnale rumore. Quindi noi il
segnale lo teniamo, cioè a parità di sporco complessivo, l’importante è dare il massimo nel momento in cui
si esce con la zita, la stessa cosa qua; a parità di potenza media del segnale, io questa potenza media del
segnale la concentro tutta nell’istante media in cui campiono, ottengo un rapporto segnale rumore medio
che è sempre lo stesso, però il rapporto segnale rumore in quell’istante è molto alto. E’ chiaro o no? Questo
è il filtro adattato, cioè si basa su questo, io vi devo fare questi esempi per farvi capire le cose, perché se no
non capite.
Allora a questo punto, faremo proprio questo, cioè metteremo un filtro, cioè il filtro di ricezione metteremo
per massimizzare il rapporto segnale rumore nell’istante di prelievo del segnale.
Allora la situazione è questa: supponiamo per un attimo, com’è che per l’ISI abbiamo dimenticato il rumore
di canale, supponiamo per un attimo che ci scordiamo del c(t), della funzione di trasferimento di canale,
dell’attenuazione del canale; e quindi supponiamo che mi arrivi direttamente lì, al +, mi arrivi g(t), la forma
dell’impulso, chiaro?
E supponiamo che vogliamo trasmettere un bit 1, no un bit, un simbolo an = +1, 1 volt.
Quindi l’x0(t), stiamo supponendo questo qua, supponiamo che sia +1 ∙ g(t).
Qua si aggiunge il rumore bianco, che ha spettro N0/2.
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L’r0, che è proprio il segnale critico, quello che poi dobbiamo andare a campionare, l’r0 sarà fatto da
+ n(t).
g0
Dove in particolare g0 è g, siccome posso applicare le solite cose, il principio di sovrapposizione degli effetti
e cose del genere; quindi se ci fosse solo il segnale avrei solo g0 se no avrei solo n(t). Quindi l’r0 è fatto
dall’uscita dovuta solo al g, a questo qui, e dall’uscita dovuta solo al rumore, che chiamiamo g0 e n(t). g0 a
quanto è uguale? Sarà g convoluto h.
Il rumore invece è un problema, perché tira fuori le cose che sopportiamo meno, che sono i processi
aleatori. Comunque sicuramente dell’n(t), sappiamo che lo spettro dell’n(t) a valle di un sistema lineare
tempo invariante, sarà:
Chiaro?
Domanda: l’n(t) è bianco?
No! Perché ormai il bianco l’ha perso, perché moltiplicando per l’H(f) non sarà più costante su tutte le
frequenze.
Domanda: è gaussiano?
Si! Perché la proprietà di gaussianità si trasferisce dall’ingresso all’uscita dei sistemi lineari tempo
invarianti.
Quindi sappiamo queste 2 cose: sappiamo che l’r0 è fatto da g0 + n(t), g0 è questa ed n(t) ha questo spettro.
Quindi abbiamo trovato quella formula là sopra. L’r0(t) era la sovrapposizione di quei 2.
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Poi andiamo a campionare in un istante t0, che è il centro dell’intervallo e quindi troveremo:
Ora attenzione, io voglio calcolare la potenza segnale rumore, ma non del mio segnale e del rumore, ma del
mio segnale all’istante t0 e del rumore all’istante t0. Cioè non mi interessa quant’è la potenza del mio
segnale in altri istanti, mi interessa in t0.
Allora la potenza del segnale in t0 sarà questa:
Mentre la potenza del rumore in t0 sarà questa qua:
Proprio la definizione di potenza di rumore il valore quadratico medio.
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A questo punto mi posso calcolare il rapporto segnale rumore all’istante t0. Mi avete seguito o no?
Quindi io non sto calcolando il rapporto segnale rumore in generale, sto calcolando il rapporto segnale
rumore all’istante t0.
Allora facendo 2 calcoli, facendo il rapporto mi viene questo η
Uguale al rapporto segnale rumore all’istante t0, che è questo qua.
Quindi ora devo massimizzare, cioè devo giocare sul filtro di ricezione, quindi sull’h(t), per ottenere il
massimo di questo. E’ chiaro? E’ questo che devo massimizzare ma in t0.
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Si può dimostra che, e questo è un regalo di Natale che vi faccio, cioè questa parolina “si può dimostrare
che” è musica per le vostre orecchie, perché se vi avessi detto “dimostriamo che”, vuol dire che qua
facevamo natale, no notte, per dimostralo!
Allora si può dimostrare che il rapporto segnale rumore massimo che posso ottenere è questo qua
Quindi riesco a calcolare qual è il massimo rapporto segnale rumore che posso ottenere.
[fine 24a lezione]
[inizio 25a lezione prima parte]
Allora stavamo facendo l’ultima parte di questa macrolezione è quella relativa al calcolo della bit error rate
o symbol errore rate per il segnale multilivello. Quindi stiamo facendo riferimento al solito sistema di questo
tipo e ci stiamo concentrando sul ricevitore, perché è il ricevitore che deve avere un filtro di ricezione per
ridurre il più possibile il rumore e metteremo un filtro di ricezione il più possibile con una banda non
superiore a quella del segnale, perché il segnale ha una certa banda e gli metto un filtro di ricezione proprio
di quella banda, perché tanto è inutile allargare ancora di più il filtro di ricezione perché tanto farei entrare
solo rumore.
Però avevamo in mente di utilizzare, fino alla penultima lezione un filtro, di ricezione abbastanza passabasso ideale, cioè diciamo facciamo passare esattamente senza distorcere il segnale che ci arriva. Ora invece
alla fine nella scorsa lezione cu è venuto in mente un filtro di ricezione particolare, e di questo stavamo
parlando, che è il filtro adattato; che ha come obiettivo quello di distorcere il segnale ricevuto per
massimizzare la sua potenza nell’istante di campionamento. Giusto? Perché non mi interessa che abbia una
potenza uniforme o costante su tutto l’intervallo del tempo di bit, ma mi interessa che sia molto più forte
del rumore nell’istante di campionamento.
Quindi a parità di energia per bit, a parità di potenza consumata in trasmissione, io deformo il mio segnale
massimizzandolo nell’istante di campionamento, in maniera tale che in quell’istante il rapporto segnale
rumore sia massimo. Tanto là io lo vado a guardare, perché poi con il campionatore lro(t) mi diventa l0r(tk),
quindi lo vada a prelevare in ogni istante tk ed è quel valore che poi vado a passare nel decisore a soglia per
decidere se è un bit 0 o è un bit 1. Chiaro? E quindi siamo arrivati. Quindi vediamo il filtro adattato come
funziona.
Allora il filtro adattato abbiamo detto che ... intanto stiamo supponendo che il canale stavolta sia ideale dal
punto di vista dell’attenuazione sulle frequenze, cioè che non distorca il segnale, cioè che tratti tutte le
frequenze allo stesso modo. Chiaro? Al contrario di quello che abbiamo supposto con l’ISI, in cui abbiamo
120
supposto che il canale era una funzione di trasferimento; qua stiamo supponendo che il canale non alteri il
contenuto frequenziale, ma introduca solo rumore.
Quindi in ingresso al nostro filtro di ricezione avremo il segnale g(t), che è esattamente quello che è stato
trasmesso, quindi non alterato dal canale, e poi in più c’è solo il rumore gaussiano bianco, w(t).
Quindi stiamo supponendo per ora, fra l’altro, di considerare un solo impulso, quindi supponiamo di
trasmettere un solo bit, che venga formattato con l’impulso formattatore g(t). Quindi se viene formattato
con g(t) mi arriverà g(t) pure a destinazione sommato con il rumore gaussiano bianco.
E quindi abbiamo visto la scorsa volta che l’r0(t) si può considerare come la sovrapposizione del contributo
dell’impulso, del segnale dati diciamo, g0(t), che non è altro che l’impulso formattatore originale passato dal
filtro di ricezione h(t). Vedete qua sotto:
E poi abbiamo il rumore, il contributo del rumore che chiamiamo n(t), ma che proviene dal w(t), quindi dal
rumore gaussiano bianco, che passa attraverso l’h(t), attraverso il filtro adattato. Quindi attraverso questo
filtro adattato passeranno assieme, il contributo del segnale ed il contributo del rumore. Il rumore era
bianco, ora non lo è più. Bianco vuol dire che era costante su tutte le frequenze, ma al momento in cui lo
moltiplichiamo con la h(t) non sarà più bianco, ma era gaussiano e continuerà ad essere gaussiano.
Quindi a valle del filtro il rumore lo possiamo caratterizzare con le formule di filtraggio di processi aleatori.
Abbiamo praticamente il nostro segnale utile che è questo qui, e la nostra componente di rumore il cui
spettro è questo.
Lo campioniamo, cioè non mi interessa ragionare su tutta t, ma solo sull’istante di campionamento t0. A
questo punto facciamo 2 passaggi banali e ci calcoliamo la potenza del segnale e la potenza del rumore da
questi 2 passaggi e possiamo calcolare finalmente il rapporto segnale rumore, attenzione, all’istante t0, cioè
non il rapporto segnale rumore come l’abbiamo sempre visto finora, ma il rapporto segnale rumore in
quell’istante. Chiaro? Ed è questo che si deve andare a massimizzare.
Va bene? Quindi questo è il rapporto segnale rumore. Quindi abbiamo dimostrato che il rapporto segnale
rumore all’istante di campionamento da parte del decisore a soglia è questo, qua ce l’avete copiato per
benino. Ed infine si può dimostrare che (qua c’eravamo lasciati la scorsa volta) questo rapporto segnale
rumore sicuramente è minore o uguale di un certo valore. Quindi oltre quel valore non è possibile andare
che è quel 2EgN0 , che ora vediamo che cosa è.
Ma addirittura si può dimostrare che usando un filtro adattato, che ora vi dico cos’è, cioè come è definito,
riesco ad ottenere il rapporto segnale rumore all’istante di campionamento massimo. Chiaro? Quindi il
rapporto segnale rumore è minore uguale di quel valore là, cioè oltre quello non si può andare; ma usando
un filtro adattato, che ancora non mi è chiaro che cos’è e l’avrei capito bene se avessi fatto tutta una
dimostrazione che vi ho saltato, chiaro? Sarebbe venuto fuori dalla dimostrazione, ma ora io ve lo do
semplicemente come definizione. Comunque usando come filtro di ricezione il filtro adattato, riesco a
raggiungere il valore massimo del rapporto segnale rumore. E’ chiaro?
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Quindi praticamente il filtro adattato, che ora vediamo come si fa, come si crea, è quel filtro di ricezione che
distorce il segnale, quindi non è un filtro ideale, ma è un filtro che distorce il segnale d’ingresso, al fine di
massimizzare il rapporto segnale rumore all’istante di campionamento. E’ chiaro?
Quindi il filtro adattato è quel filtro che distorcendo il segnale d’ingresso, riesce a massimizzare il rapporto
segnale rumore nell’istante di campionamento.
Probabilmente non si vede, forse ora da un lucido si vedrà come lavora, però ovviamente doveva distorcerlo
il segnale d’ingresso, perché si crea un picco sull’istante di campionamento in maniera tale che negli istanti
di campionamento la potenza del segnale sia il più alto possibile rispetto alla potenza del rumore. Chiaro?
Quindi quello che era il valore massimo del rapporto segnale rumore, viene raggiunto usando come filtro di
ricezione il filtro adattato.
Le cose da sapere sono: intanto come si fa il filtro adattato che ora vediamo, ma ve lo dico, cioè, ripeto,
dalla dimostrazione sarebbe venuto fuori, io vi dico semplicemente come si fa; e poi qual è il valore
massimo e quindi che è 2EgN0 ed ora vi dico che cos’è Eg.
Eg è l’energia dell’impulso formattatore. Quindi se usate un impulso formattatore rettangolare è l’energia e
l’energia dell’impulso formattatore rettangolare, quindi l’energia di un Π. Se usate un sinc è l’energia del
sinc. Se usate un coseno rialzato è l’energia del coseno rialzato. Se usate un triangolo è l’energia del
triangolo. Se usate un codice RZ, l’impulso formattatore è metà e quindi sarà di metà.
Quindi Eg, la definizione di energia, è l’integrale
Dell’impulsino formattatore, quello che si usa dopo il modulatore PAM, cioè in trasmissione per formattare
il singolo bit. E questo è l’Eg.
N0/2 che cos’è invece? E’ l’ampiezza dello spettro del rumore.
Quindi notiamo che, poi lo vedremo negli esercizi che faremo, il rapporto segnale rumore che otterremo
non dipende, che poi tutto là si gioca, i conti si fanno lì, da quel rapporto segnale rumore dipenderà la BER;
perché è lì che il decisore a soglia lavora, sul valore di quel segnale che è disturbato da quel rumore in
quest’istante, quindi i giochi nascono là.
Allora il rapporto segnale rumore che otterremo con il filtro adattato, non dipende dalla forma (questo lo
vedremo anche negli esercizi), non dipende dalla forma dell’impulso formattatore, chiaro? Non dipende
dalla forma dell’impulso formattatore, ma dipende dalla sua energia, perché tanto dell’impulso
formattatore ne resta poco, perché tanto lo distorcete. E’ chiaro?
Quindi il rapporto segnale rumore massimo o se volete proprio quello che ottenete con il filtro adattato,
non dipende dalla forma dell’impulso, ma dipende semplicemente da quanto energia ci mettete in
quest’impulso formattatore. Poi se ce la mettete in un impulso rettangolare, in un triangolo, in uno sgorbio,
o quello che volete, perché tanto è la stessa cosa, perché voi spendete tot di energia e poi c’è il filtro
adattato che ora vediamo come funziona, che, diciamo, poi se la giostra lui quest’energia e se la va a
mettere in particolare modo sull’istante di campionamento.
122
Quindi dell’impulso formattatore g(t) originale rimane poco, rimane solo la sua energia, perché stiamo
lavorando a parità di energia, non è che lui può creare nuova energia. Prende quell’impulso se lo aggiusta
un po’ per massimizzare l’energia nell’istante di campionamento. Chiaro? Quindi dipende solo dall’energia
dell’impulso formattatore.
Poiché si campiona ogni Tb, consideriamo t0 uguale al tempo di bit, o comunque t0 è l’istante in cui andiamo
a campionare; comunque noi andremo a lavorare ogni Tb .
Il filtro adattato è un filtro di ricezione ottimo, è il filtro che massimizza SNR all’istante di campionamento in
ricezione e questo l’abbiamo detto.
Allora si può dimostrare e sarebbe venuto fuori dalla dimostrazione complessiva di tutto questo discorso,
ma io vi do solo il risultato, che il filtro adattato che massimizza il rapporto segnale rumore ... cioè come lo
facciamo questo filtro adattato? Vi devo dire come si fa l’h(t)? Cioè la sua funzione di trasferimento h(t)o
H(f) se siamo in frequenza. Per ottenere il rapporto segnale rumore massimo, devo prendere un H(f), cioè
una funzione di trasferimento del filtro di ricezione, uguale a k, che è un coefficiente che poi lo mettiamo
sempre ad 1, comunque è l’amplificazione del filtro, ma poco importa;
123
Questa qua è quindi la funzione di trasferimento del filtro adattato, dove G(f) che cos’è? G(f) era la funzione
di trasferimento del filtro di trasmissione o comunque dell’impulso formattatore, di quello che dava
l’impulso formattatore e per questo si chiama adattato.
Quindi l’H(f) è quella oppure l’h(t) del filtro adattato è facendo l’antitrasformata, sempre questa costante k
che direi la possiamo mettere ad 1 ma è solo una manopolina che abbiamo in ricezione semplicemente, ma
capite che non altera niente, è un amplificazione su tutte le frequenze. Quindi
E da qua si capisce ora perché si chiama filtro adattato. Allora praticamente dobbiamo prendere come h(t),
che cosa? La stessa forma dell’impulso formattatore g, ribaltato, vedete che c’è una –t invece di +t? Quindi
ribaltato rispetto alla sua origine, quindi con l’asse dei tempi invertito, e traslato di Tb. E’ chiaro? Quindi
prendiamo per farci l’ h(t), prendiamo l’impulso formattatore lo ribaltiamo rispetto all’asse Y e lo trasliamo
di Tb. Quindi spesso coinciderà con lo stesso g(t)! Perché coinciderà con lo stesso g(t)? Perché per esempio
se il g(t) fosse stato un impulso rettangolare, fatto così:
Il g(t) ribaltato sarebbe stato, vedete, a sinistra. Quindi il g(-t) sarebbe stato così e l’h(t) sarebbe stata di
nuovo traslata di Tb, traslando quello, il g(-t) in Tb, avremmo avuto l’h(t) di nuovo fatto così. Giusto? Ci
siamo? Però questo è venuto così perché è un impulso rettangolare, in certi casi non è detto che coincida
con l’impulso g(t) originale, chiaro? Perché non vi sto dicendo h(t) = g(t)!
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Vi sto dicendo di ribaltarlo e di traslarlo. Quindi se per esempio era un triangolo magari sarebbe venuto
diverso, oppure vi ricordate l’impulso del Manchester com’era fatto? + - nel momento in cui lo ribaltate vi
viene - +, se lo traslate vi resterà -+. Chiaro?
Quindi non vi convincete che l’h(t) è uguale a g(t)! Cioè l’impulso g(t) rettangolare coincide con l’h(t), però
non è detto. Voi dovete fare sempre questa operazioncina di ribaltamento e di traslazione. Chiaro?
Benissimo! Quindi se prendete l’h(t) facendo questa operazione qua, cioè prendete il g(t), lo ribaltate e lo
traslate, ottenete l’h(t), a quel punto massimizzate il rapporto segnale rumore nell’istante di
campionamento.
Perché si chiama filtro adattato? Perché adattato alla forma dell’impulso formattatore. Giusto? Si chiama
filtro adattato perché adattato alla forma dell’impulso formattatore, cioè non c’è un h(t) ottima in generale.
Cioè voi telefonate al trasmettitore e gli dite: “Tu che stai utilizzando?”. “Impulsi triangolari”. Benissimo,
allora vi progettate l’h(t) opportunamente dall’impulso triangolare. Chiaro?
Allora vediamo la forma della risposta all’impulso h(t) com’è? Allora se guardiamo da là sopra, il g0, quindi
stiamo calcolando ora nell’istante di campionamento qual è la forma dell’impulso, lasciando perdere il
rumore, che forma ha l’impulso formattatore non affetto da rumore. Perché quello mi dà la potenza del
segnale, poi c’è pure la potenza del rumore che è quella che è. Allora vediamo la potenza del segnale che
forma ha.
Allora g(t) era l’impulso originale, fate la convoluzione con l’h(t) che è l’impulso adattato, calcolato con la
formula che trovate là, in alto a destra, cioè ribaltando e traslando e vi viene g0(t). Quindi g0(t) praticamente
è la componente del segnale qua, cioè il g(t) convoluto l’h(t).
125
La forma dell’h(t), dell’impulso nel filtro adattato è nell’esempio che vi ho fatto prima, ripeto non è una cosa
generale, se il g(t) fosse quello, l’impulso rettangolare, voi lo dovete ribaltare traslare e ritorna questo h(t).
Se poi vi calcolate il g0(t), il g0(t) sarà la convoluzione fra l’h(t) che è questo ed il g(t) che è questo; g0(t) è la
convoluzione dell’impulso rettangolare e dell’altro impulso che è stato ottenuto ribaltando e traslando e
viene un triangolo, centrato in Tb. Quindi come vedete stiamo deformando il nostro impulso originale, non
abbiamo più un impulso rettangolare, ma lo stiamo deformando per massimizzare il suo valore qua.
Quant’è l’energia di questo segnale? A parte il k, per un attimo consideratelo 1, l’energia di questo segnale è
… allora guardate, questo valore vale proprio Eg, perché vale Eg questo valore? Perché ottenuto dalla
convoluzione del segnale per se stesso, e se vi ricordate la convoluzione come si faceva? Prendete un
segnale, l’altro ribaltato e traslato lo fate passare così, e quel valore di picco è quando i 2 segnali sono
coincidenti. Se i 2 segnali sono coincidenti, la convoluzione come ve la calcolate? Come l’area sotto che
cosa? L’area sotto il prodotto dei 2 segnali, che sarebbe il segnale per se stesso, quindi sotto il modulo al
quadrato del segnale che praticamente è questa qua. Cioè se voi vi andate a fare la convoluzione di
g(t)*h(t), quando sono completamente sfasati viene 0, poi cominciano ad entrare, cominciano ad entrare.
Quando vanno a coincidere, la convoluzione viene proprio quella, perché sarà l’area sotto il prodotto dei 2
segnali. Quindi un segnale per l’altro segnale, che è stato guarda caso proprio ribaltato e traslato
esattamente come fa la convoluzione (non è una dimostrazione, è tanto per darvi un’idea), quindi un
segnale che l’altro è se stesso ribaltato e traslato, quando coincidono, il loro prodotto mi viene il modulo al
quadrato, e poi faccio l’area e quindi è proprio l’energia.
Quindi il valore massimo di questo segnale all’uscita del filtro di ricezione, quindi del g0(t0), è la funzione
calcolata in Tb, perché? Perché stiamo facendo la convoluzione dello stesso segnale, però uno dei 2 prima lo
dovete ribaltare; quando lo traslate in Tb, vanno a sovrapporsi. Per darvi proprio la formuletta quella a cui
siamo abituati noi: w3 τ=w1(τ)*w1(τ) e stiamo prendendo come τ, τ=Tb.
Quindi per τ = Tb, se vi fate un conticino è proprio uguale all’Eg, kEg. chiaro?
Vi potete fare un conticino: prendete un impulso rettangolare, fate la convoluzione con se stesso
(quell’impulso rettangolare, quello che vi avevo disegnato prima), lo dovete ribaltare, che ancora la
convoluzione in 0 quanto vale? Se io lo ribalto e lo traslo di 0, verrà 0. Perché stanno cominciando ad
intersecarsi però non si intersecano. Man mano che si cominciano ad intersecare, l’area cresce, cioè la
convoluzione cresce; arrivata ad una traslazione di Tb, i 2 impulsi vanno a coincidere ed il valore proprio
della convoluzione è proprio kEg. E quindi poi viene proprio Eg/2N0, che è proprio la formula che dicevamo
prima.
Comunque questa formula che ora ve l’ho fatta vedere per l’impulso rettangolare, vale per qualunque
forma dell’impulso. E’ chiaro? Per qualunque forma dell’impulso.
Quindi usando il filtro adattato otteniamo il rapporto segnale rumore, attenzione che qua c’è non un errore
ma una dimenticanza, non c’era bisogno di specificarla perché comunque si capisce dal resto dei lucidi; è il
rapporto segnale rumore all’istante di campionamento, qua avrei dovuto scrivere. Giusto? Non è il rapporto
segnale rumore, cioè il rapporto segnale rumore rimane lo stesso. Il rapporto segnale rumore non viene
alterato dal filtro di ricezione, a parte se io metto un k diverso da 1, amplifica e quindi mi altera l’energia;
però a k unitario, il rapporto segnale rumore non viene alterato, ma l’energia viene concentrata tutta
sull’istante t0. Vedete che ce l’avete concentrata di più sull’istante Tb? Cioè nell’istante di campionamento?
126
Quindi il filtro adattato mantiene il rapporto segnale rumore uguale, lo massimizza nell’istante t0,
nell’istante di campionamento, E’ chiaro per tutti? Ci siamo?
E quindi non dipende dalla forma di g(t), ma dipende solo dalla sua energia.
Fra l’altro, e questo ve l’ho già detto, il filtro adattato è non lineare, cioè lui applica delle distorsioni, perché
non conserva la forma d’onda del segnale d’ingresso, la distrugge. Però la distrugge per massimizzare il
rapporto segnale rumore nell’istante di campionamento.
A questo punto ora abbiamo quest’altro elemento del filtro adattato. Abbiamo definito che cos’è il filtro
adattato, che massimizza il rapporto segnale rumore e questo ci fa piacere averlo fatto, perché ? Perché già
intuiamo, ma ancora non abbiamo chiaro perché e come, che era giusto in qualche modo massimizzare il
rapporto segnale rumore all’istante di campionamento. Perché in qualche modo, non sappiamo come, ci
conviene nell’istante di campionamento avere un’energia forte del segnale ed una potenza del rumore
bassa. Chiaro? Quindi ci farà comodo sicuramente.
A questo punto ricominciamo da 0.
Io ho preferito rispetto ai lucidi dell’anno scorso, comunque a come fa il libro, ho preferito enuclare la parte
del filtro adattato, perché non riuscite a farla senza parlare di questo. Così è un argomentino che per ora ce
lo troviamo, perché prima mi spezzava tutto il discorso delle bit error rate. Invece, ora a questo punto,
ricominciamo da 0 e ci calcoliamo la BER.
127
Allora che cosa dobbiamo fare? Dobbiamo calcolare qual è la probabilità di errore sul bit, questo è ora il
discorso. Domanda, vi chiedo prima di vedere come si calcola: da cosa dipende questa probabilità di errore
sul bit? Quand’è che sbaglio bit? Quando se io trasmetto un 1, per esempio, pensate all’NRZ unipolare, cioè
0 per il bit 0, A per il bit 1; quand’è che sbaglio bit? Se ho trasmesso un 1 e lo leggo 0? Quando si è avuto un
rumore nell’istante di campionamento, ormai ragioniamo solo nell’istante di campionamento, non me lo
fate ripetere ogni volta, però concentriamoci a quel punto solo nell’istante di campionamento. Quando si
sovrappone un rumore, negativo, giusto? Perché mi fa scendere il valore, perché se è positivo, meglio
ancora; negativo così forte da farmi arrivare un segnale più basso della soglia. E’ questo tutto il problema.
Quindi io trasmetto +A, fino a quando mi arriva sopra il valore A/2 lo leggo ancora 1, bit 1. Se invece mi
arriva sotto la soglia, sotto A/2, lo leggerò come bit 0. Quindi praticamente quand’è che sbaglio il bit 1?
Quando mi si sovrappone un rumore negativo (perché il rumore ha valore medio nullo, quindi può essere
positivo o negativo), un rumore negativo così forte da farmi scendere il segnale al di sotto della soglia.
Quindi un rumore, fatemi dire, in questo esempio che vi ho fatto, minore di quanto? Di –A/2, giusto? Perché
devo scendere più di A/2 sotto. Questo vale per il bit 1.
Per il bit 0, invece, quand’è che lo leggo 1? Quando c’è rumore così alto, così positivo, che mi fa superare la
soglia. Quindi quando c’è un rumore più grande di A/2, di +A/2.
Allora ve lo dico prima a parole per farvi capire dove voglio andare a parare, perché poi la lezione è tutta
questa, a parte qualche formuletta.
128
Quindi supponiamo che io voglia trasmettere il bit 1. Trasmesso questo mi arriverà qualcosa di questo tipo
qua
Lavoro solo sull’istante di campionamento, quindi non mi interessa il resto. Lo leggo bit 0 se il rumore, n(t0)
fatemi dire, è minore di –A/2. Quindi se è minore di –A/2, scenderò sotto la soglia che metto qua ad A/2,
giusto? Perché era A, gli sommo un valore più basso –A/2 e quindi mi scende sotto la soglia e lo leggo come
bit 0. Chiaro? Qual è la probabilità che succeda questo? Con questo disegnino vi anticipo tutto il discorso e
poi lo andiamo rivedendo. Qual è la probabilità che il rumore sia minore di –A/2? Allora siamo qua nel
campionatore e nel decisore, il rumore è già passato dal filtro h(t). Il filtro h(t) ha alterato il fatto del bianco,
la caratteristica del bianco, cioè non è più bianco. Ma ha mantenuto che cosa? Il fatto che è gaussiano.
Chiaro? Gaussiano vuol dire che per qualunque ennupla di istanti sono congiuntamente gaussiane ecc…
però vale anche per il singolo istante così:
Questa è la f piccolo del rumore. Maggiore è l’N0, cioè maggiore è la potenza del rumore, più larga sarà la f
piccolo, però sempre centrata nell’origine, centrata in 0, perché il rumore ha media nulla. Lo vedete? E’
gaussiano a media nulla? Sarà così, poi può cambiare la varianza, ma il rumore è sempre centrato in 0.
Allora qual è la probabilità di errore sul bit 1?
Pr(1→0), che trasmetto l’1 e ricevo lo 0? Qual è? Quand’è che succede che trasmetto l’1 e ricevo lo 0?
Quando il rumore è minore di –A/2. E’ chiaro?
Pr(n(t)<-A/2)
E quindi come si calcola per una gaussiana la probabilità che il rumore è minore di –A/2? Metto qua –A/2 e
sarà quest’area.
Lo stesso discorso lo ripeterò per il bit 0, però fatto al contrario: è l’altra area.
Allora se è chiaro questo, ora dovrebbe essere abbastanza chiaro il modo per calcolarmi la bit error rate.
129
Allora seguiremo questo schema: prima calcoleremo la bit error rate con le conoscenze nostre, poche, o
diciamo i nostri ricordi, di variabili aleatorie e processi aleatori. Quindi in generale ci calcoliamo la BER
facendo considerazioni di questo tipo. Poi ce la calcoleremo in presenza di rumore gaussiano bianco, quindi
prenderemo la gaussiana e la calcoleremo con l’area della gaussiana. Perché non è che si assume che il
rumore sia gaussiano bianco! Lo facciamo in generale, per qualunque tipo di rumore. Poi diciamo: se il
rumore è gaussiano bianco? E lo costruiamo per il gaussiano bianco. Poi diciamo: e se usiamo il filtro
adattato? E lo calcoleremo per il filtro adattato. E poi lo faremo, una volta che troveremo una bella
formulona grossa così, l’applicheremo a tutti i sistemi di trasmissione in banda base che conosciamo ora e
che poi riprenderemo questa formula pure quando faremo le modulazioni digitali. Chiaro? Questo è lo
schema che utilizzeremo.
Chiamiamo Ts il nostro tempo di simbolo, che può essere Tb se era in binario o comunque Ts se siamo nel
multilivello. Attenzione a non confonderci sui simboli, state attenti qua.
Allora chiamiamo s(t) il generico segnale trasmesso sull’intervallo di segnalazione da 0 a Ts. E’ il simbolo che
ho trasmesso che avrà la forma del g(t) ed il valore dato da chi? Dal modulatore PAM. Giusto? E’ il simbolo
che ho trasmesso per il bit 1 o per il bit 0.
Là l’s(t) lo chiamo s1 per rappresentare il bit 1 e s2 per rappresentare il bit 0. Qua lo sto facendo per il
binario, poi per il multilivello poi lo vediamo dopo.
130
r01(t) è il segnale ricevuto per un simbolo e r02(t) è il segnale ricevuto per l’altro simbolo. Che differenza c’è
rispetto al primo? C’è la sovrapposizione del rumore. Quindi io a fronte di s1 riceverò r01, a fronte di s2
riceverò r02.
Dopo di che l’r0 lo campiono, lo campiono in t0 giusto? Allora chiamerò r01(t0), stavolta r0(t0) non è più un
segnale, è un numero, è il valore campionato. Giusto? Il valore campionato. Allora il valore campionato lo
chiamo r01(t0) e r02(t0). Il primo è quello ottenuto se ho trasmesso un bit 1 ed il secondo è quello ottenuto se
ho trasmesso il bit 0. Ovviamente quell’r0(t0) è una variabile aleatoria. Giusto? Quel numero che io
campiono, quel valore che io campiono, è una variabile aleatoria.
Allora per semplificare la notazione, vi dicevo, scordiamoci perché è inutile che me lo fate ripetere ogni
volta “All’istante di campionamento t0”, chiamiamo molto semplicemente r01 ed r02 i valori ricevuti quando
trasmetto rispettivamente il bit 0 ed il bit 1. Chiaro? Allora quand’è che faccio errori? Quand’è che sbaglio il
bit? Quando questo valore che ricevo, che voleva rappresentarmi il bit 1, quando questo valore è più piccolo
di VT, della tensione di soglia. L’r01 cos’è? E’ il valore che io ricevo quando il mittente mi voleva trasmettere il
bit 1. Quindi se l’r01 è più piccolo della tensione di soglia di VT, allora sbaglio, perché io lo leggo come bit 0.
Viceversa quand’è che sbaglio a fronte della trasmissione del bit 0? Quando l’r02 che mi arriva, cioè quando
io ricevo un r02 più grande della soglia. Chiaro?
Quindi quando io trasmetto il bit 1, ricevo l’r01; questo r01 mi piacerebbe che fosse sopra la soglia, in modo
da continuare ad interpretarlo come bit 1. Sbaglio se l’r01 è più sotto della soglia, minore di VT. Oppure
sbaglio pure quando trasmetto il bit 0, mi arriva l’r02 e l’r02 è maggiore di VT della soglia, perché lo leggerò
come bit 1, mentre era stato trasmesso bit 0.
Se questo è chiaro, a questo punto questa mega formulaccia dovrebbe essere solo un formalismo.
131
Quindi da qualche parte ci servirà la f piccolo, quindi la distribuzione del valore ricevuto, la funzione densità
di probabilità, del valore ricevuto r0 quando ho trasmesso un bit 1 e la funzione densità di probabilità
quando ho trasmesso il bit 0.
Ora ve la disegno subito.
Tanto per cambiare esempio facciamo l’NRZ polare. Come funziona l’NRZ polare? Che il bit 1 me lo
trasmette con +A ed il bit 0 me l trasmette con –A.
Supponendo che il canale non alteri niente, il canale prima del rumore, giusto? Cioè escluso il rumore.
Quindi se trasmette +A mi arriva +A + o – il rumore, giusto? Perché supponiamo che non ci sia né
amplificazione né attenuazione, per avere gli stessi valori. Quindi se io trasmetto +A, ricevo +A, in assenza di
rumore. Chiaro? Stiamo supponendo che in assenza di rumore il canale mi trasmette esattamente lo spettro
senza attenuare o senza amplificare.
Allora guardate, supponiamo che è stato trasmesso il bit 1, quindi stiamo facendo la f(r0|bit1). Il valore
atteso dato che il rumore è a media nulla, può essere o positivo o negativo, ma il valore atteso di ricezione
quant’è? Sarà +A, sarà il valore stesso che trasmetto, perché poi gli si somma o un valore positivo o un
valore negativo.
Avremo una distribuzione fatta così
132
Quindi questa è la f(r0|bit 1).
Ho trasmesso il bit di trasmissione 1, riceverò il valore più probabile è A, poi però gli si sommerà un rumore
che può essere o positivo o negativo a media nulla.
Questa discussione che stiamo facendo è per qualunque forma della funzione densità di probabilità del
rumore, però fatemela fare a campana, gaussiana. Chiaro?
Quindi praticamente la variabile aleatoria che io ricevo, il campione che io ricevo, sarà che cosa? La somma
del s01 + n(t). Giusto? Questo è il campione che io ricevo. L’s01 vale +A ed invece questo qua ha una
distribuzione gaussiana.
Quindi la distribuzione dell’r0 sarà questa. Sarà una gaussiana la stessa del rumore, traslata intorno al valore
+A. Giusto? Sarà una gaussiana non più a valore medio nullo, ma sarà una gaussiana a valore medio +A.
chiaro?
Quindi il valore che io ricevo è una variabile aleatoria, avrà la stessa distribuzione del rumore, traslata di +A.
Chiaro?
Poi invece, qual è la distribuzione del valore che io ricevo quando viene trasmesso il bit 0? Quando viene
trasmesso il bit 0 sarà la stessa distribuzione del rumore, però traslata di –A, perché stiamo parlando di NRZ
polare. Perché –A è il valore che si avrebbe a rumore nullo. Chiaro?
Quindi la distribuzione del valore che ricevo, quando ho trasmesso il bit 0, sarà la stessa del rumore traslata
di –A.
Chiaro?
Domanda che è simile a quella che avevo fatto prima: quando è che sbaglio il bit 1? Con quale probabilità?
Sbaglio il bit 1.. allora dov’è la soglia? La soglia è a 0 e qua.
133
Questa area qua è la probabilità di errore del bit trasmesso uguale ad 1. Siete d’accordo o no? Questa qua è
la probabilità che ho trasmesso +A ed ho ricevuto un valore sotto soglia. Questo è fondamentale, perché se
non capite questo, poi ho visto dagli esami, che uno si scoraggia vedendo le formule che stanno per
apparire e dice: “Va beh, non abbiamo capito niente”. E la BER passa così: “Speriamo che non me la
chiede”. Solo che per me è la cosa più importante del corso forse, è il punto di arrivo del corso al bit error
rate. Perché tutto quello che facciamo è per andare minimizzare la BER, quindi la dovete sapere.
Allora l’area blu mi dice qual è la probabilità di ricevere un valore sotto soglia e quindi interpretarlo come
0, quando ho trasmesso il bit 1.
La soglia nella polare la metto a 0, perché la soglia la devo mettere sempre a metà fra il valore del bit 0 ed il
valore del bit 1. Invece per esempio nella unipolare la soglia VT l’avrei messa ad A/2. Chiaro? Avrei potuto
disegnare la cosa per l’unipolare. Allora quell’area blu mi dà la probabilità di sbagliare un bit 1. Siete
d’accordo o no? Quindi la probabilità di errore dato per certo che ho sbagliato un bit 1. Allora l’area blu mi
dà la probabilità di interpretare male il bit 1, cioè dato per certo che trasmetto il bit 1 e di leggerlo come 0.
Analogamente l’area rossa, questa qua, è la probabilità di errore quando il bit di trasmissione è uguale a 0.
Quindi quell’area rossa è la probabilità di interpretare male il bit 0 e leggerlo come 1. E’ chiaro?
Quindi l’area blu mi dice qual è la probabilità di sbagliare il bit 1, l’area rossa qual è la probabilità si sbagliare
il bit 0.
Domanda: qual è la probabilità di sbagliare un bit? Voi che siete esperti di teoria della probabilità? La
somma mi sembra un po’ riduttivo. Cosa dice il teorema della probabilità totale? La probabilità di
sbagliare un bit è la somma pesata di sbagliare il bit 1 e di sbagliare il bit 0, però rispettivamente pesate
per la probabilità di avere trasmesso il bit 1 e per la probabilità di avere trasmesso il bit 0.
Quindi la probabilità di errore complessiva è la probabilità di sbagliare il bit 1 pesata per la probabilità di
averlo trasmesso, più la probabilità di sbagliare il bit 0 pesata per la probabilità di averlo trasmesso. Quindi è
l’area blu per la probabilità di trasmettere un 1, più l’area rossa per la probabilità di trasmettere uno 0.
L’area blu e l’area rossa mi pare che voi la sapete calcolare perché è l’area per una gaussiana. Ancora siamo
nella teoria pura, però quando poi vi dico: “facciamo per la gaussiana”, vi prendete le famose tabelline e la
sappiamo calcolare l’area blu e l’area rossa.
Quindi la BER nel caso di una trasmissione binaria è l’area blu per la probabilità di trasmettere il bit 1, più
l’area rossa per la probabilità di trasmettere il bit 0.
134
Questo che vi ho detto è dove voglio arrivare.
Allora queste 2 s piccolo, quelle che ho disegnato a forma di campana, di gaussiana, da cosa dipendono?
Intanto dipendono dalla caratteristica del disturbo introdotto nel canale: se è gaussiano, se non è
gaussiano. Perché io potrei darvi un esercizio con un rumore distribuito uniformemente oppure potrebbe
essere qualunque tipo di rumore, non per forza deve essere gaussiano. Comunque dipendono dalla pdf
del rumore. Dipendono dai filtri utilizzati. Perché dipendono dai filtri utilizzati? Perché più largo prendo il
filtro più rumore introduco e quindi è maggiore la potenza del rumore, perché io con il filtro di ricezione
che cosa faccio? Non quello adattato quello che conoscevamo. Lo faccio il più stretto possibile per
diminuire la potenza del rumore, ma la potenza del rumore che cos’è? La potenza è il valore quadratico
medio. Ma siccome il rumore ha media nulla, il valore quadratico medio coincide con la varianza. Quindi
praticamente la potenza del rumore è proprio la larghezza della gaussiana e capite bene che più larga è la
gaussiana, più è quell’area. Chiaro? Quindi mi conviene avere una campana molto stretta.
Dipende dal rilevatore utilizzato e poi dal tipo di segnale binario trasmesso. Oppure dipende se per
esempio ho più bit 1 o più bit 0, dal tipo di segnale, dalla forma dell’impulso, da tutte queste cose.
Quindi poi faremo alla fine, una volta trovata la formula, faremo una carrellata per tutti i tipi di segnali che
conosciamo (polare NRZ, polare RZ, AMI, Manchester, e cose del genere), applicheremo poi la formula per
tutti questi segnali. Non vi preoccupate, perché poi ci saranno una ventina di lucidi di carrellata di tutte
queste cose, voi non le dovete sapere a memoria, figuriamoci le dimostrazioni, ma ci serviranno solo le
formule che ho già riportato nel vostro formulario e quindi poi le troverete nel formulario. Chiaro? Quindi
voi tutta questa parte qua me la dovete raccontare all’esame, però una volta trovata la formula finale, non
mi interessa l’applicazione ai singoli casi, poi ve lo dirò da dove potete non leggere più i lucidi.
135
Allora praticamente rileggiamo quello che già vi ho detto e poi facciamo pausa.
Allora in assenza di rumore l’r0 viene maggiore di VT se ho trasmesso il bit 1, oppure se trasmetto lo 0, l’r0 mi
viene sotto la soglia. Siamo a posto se è così.
Quando invece c’è rumore, praticamente la probabilità di errore quando ho trasmesso il bit 1, è l’area fra -∞
e VT, cioè l’area blu. Chiaro? Invece se trasmetto il simbolo 0, è la probabilità che il simbolo che ricevo sia
maggiore della soglia, quindi sarebbe l’area rossa.
Quindi queste sono le 2 probabilità di errore quando trasmetto il bit 1 e quando trasmetto il bit 0.
136
A questo unto applichiamo il teorema della probabilità totale. Qua addirittura vi ho messo una soglia
qualunque, ma è proprio il disegno che vi ho fatto prima, cioè non ho dato per scontato che la soglia sia al
centro, ho detto: “Se la soglia fosse questa, viene quella cosa lì”. Alla fine la BER per il teorema della
probabilità totale è:
la probabilità di errore dato per certo che trasmetto il bit 1 per la probabilità di trasmettere il bit 1 + la
probabilità di errore dato per certo che ho trasmesso il bit 0 per la probabilità di trasmettere il bit 0.
Se i simboli sono equiprobabili, però voi non lo mettete il fatto dell’equiprobabilità come unica formula,
perché se poi mi capita di mettere nel compito simboli non equiprobabili, mi sbagliate il compito. La
formula generale questa qua, poi se non vi dico niente, prendiamo i simboli equiprobabili.
[fine 25a lezione prima parte]
[inizio 25a lezione seconda parte]
Il difficile è stato fatto, il difficile è passato. Ora facciamo dei casi particolari, cioè prendiamo la formula e la
cominciamo a fare nel caso particolare del rumore gaussiano e nel caso particolare ancora del filtro
adattato.
137
Allora vediamo il rumore gaussiano. Quindi supponiamo che il rumore introdotto dal canale sia un processo
stazionario gaussiano in senso lato e a media nulla.
Il ricevitore, ad eccezione del dispositivo di decisione, che ovviamente non è lineare, supponiamo che sia
lineare. Allora se è vero questo, il rumore in uscita per tutte le cose che abbiamo visto nei processi aleatori e
nel filtraggio di processi aleatori, in particolare processi aleatori gaussiani, abbiamo visto che all’uscita sarà
ancora gaussiano e a media nulla.
L’r0 =s0+n0 all’istante t0.
Il simbolismo è quello di prima.
Quindi s01 e s02 sono le forme d’onda che usiamo per rappresentare il bit 1 ed il bit 0 rispettivamente e
quindi diciamo sono note, sono un dato del problema.
138
Il campione r0 sarà anche esso gaussiano l’abbiamo visto, con valore medio s01 oppure s02, chiaro? Come vi
dicevo prima, sarà gaussiano con valore medio +A e –A se usiamo l’NRZ polare; oppure se usiamo l’NRZ
unipolare sarà media +A e 0.
E quindi possiamo scrivere stavolta non in maniera simbolica, ma possiamo scrivere la formula delle
funzioni densità di probabilità, vi ricordate quelle che vi avevo fatto come campane? Quelle erano f
qualunque, ora a questo punto se è gaussiana hanno una forma ben precisa che è quella della gaussiana.
Allora se io trasmetto l’s1 riceverò che cosa? Un simbolo r0 con quella densità lì. Giusto? Quindi se io
trasmetto l’s1 ricevo un simbolo r0 con quella densità lì. In particolare la densità di probabilità del simbolo
ricevuto a fronte di avere trasmesso il bit 1, quindi qua è trasmissione uguale al bit 1, il valore ricevuto sarà
distribuito con una gaussiana, stavolta possiamo dire che è una gaussiana a media s01. Come vi dicevo
prima: a media +A o a media –A, quello che era. Quindi a media s01 e a varianza σ02 . σ02 è la varianza, o se
volete la potenza del rumore. Chiaro? Mentre se trasmetto il bit 0, quindi Tx = 0, i valori ricevuti avranno una
distribuzione di quel tipo là, che sarà una gaussiana a media s02 ovviamente e la stessa varianza di prima.
Chiaro?
Vi ho ripetuto la stessa cosa che avevamo visto prima della pausa, però mettendo al posto della f piccolo,
che là era indicata, poteva essere qualunque, ho messo le gaussiane. σ02 non è altro che la potenza del
rumore, perché vi ricordo che sarebbe la varianza del rumore, ma siccome il rumore ha media nulla, la
varianza come si trova? Si trova: valore quadratico medio – media al quadrato. Se la media è 0, la varianza è
uguale al valore quadratico medio, cioè uguale alla potenza. Quindi il rumore ha varianza pari alla potenza.
Quindi infine andando a sostituire nella formula di prima in giallo, in quella generale, quella del teorema
della probabilità totale, ottengo questo.
139
Questa era la formula generale. Vi ricordate? La probabilità di errore sul bit era la probabilità di errore
quando trasmetto il bit 1 per la probabilità di trasmettere il bit 1 + quella del bit 0. A questo punto vado a
sostituire ed ho messo al posto di “probabilità di trasmettere il bit 1”, gli metto ½; la “probabilità di
trasmettere il bit 0” gli metto pure ½; e poi alle f piccolo gli sostituisco le gaussiane. Chiaro?
Quindi questa è la formula generale della BER nel caso di bit equiprobabili e rumore gaussiano bianco.
Chiaro? Quindi prima abbiamo fatto il caso generale, poi abbiamo messo i bit equiprobabili e quindi è
apparso ½ ed ½, e poi abbiamo messo ora le f piccolo del rumore gaussiano bianco. Mi state seguendo sul
percorso logico che sto facendo? Cosa manca ancora da particolarizzare? Da mettere dentro? Il filtro
adattato. Cioè voglio vedere ora nel caso di filtro adattato che cosa succede.
Quindi praticamente questa qua è la formula che abbiamo trovato prima.
Questo lucido lasciatelo magari per chi non ha seguito la lezione, ma già voi lo sapete, cioè quell’integrale
che cos’è? Vedete è fatto fra -∞ e VT, poi lo faremo pure negli esercizi. Quindi per esempio, questo qua è
relativo al bit 1.. preferisco piuttosto che seguire i lucidi, dove ho fatto copia incolla di quello delle variabili
aleatorie, ve lo faccio vedere ma è quello che abbiamo già detto.
140
Quindi una gaussiana sarà centrata qua, sull’s01 e quindi è quest’area qua. Vedete? L’area in rosso è la
probabilità di sbagliare il bit 1. Quindi quell’integrale è quell’area in rosso … è inutile che ve le andate a
cercare da queste cose, ve le andate a vedere come abbiamo fatto con le variabili aleatorie, è la probabilità
che una variabile aleatoria gaussiana sia minore o uguale di un certo valore. Chiaro?
Quindi lo sappiamo fare.. cioè la risposta è in questo lucido, però è inutile che facciamo lo stesso
ragionamento che abbiamo fatto prima. Quindi sappiate che si calcola utilizzando quello che abbiamo fatto
per le variabili aleatorie gaussiane.. con l’error function oppure con la funzione Φ, con la funzione Q, le cose
che abbiamo fatto per le variabili aleatorie gaussiane. Comunque praticamente utilizzando quello che
abbiamo fatto per le variabili aleatorie gaussiane, se vi ricordate, c’è scritto qua oppure ve lo potete andare
a vedere, praticamente la probabilità che una variabile aleatoria gaussiana sia minore di una certa soglia,
una variabile aleatoria gaussiana a media s01 e deviazione standard σ0, la probabilità, cioè quell’integrale là
sopra che ho messo nel cerchio, cioè la probabilità di avere quell’area rossa che vi ho indicato là prima, è
Ve lo ricordate che c’era una cosa del genere? L’abbiamo fatto quando abbiamo fatto le variabili aleatorie
gaussiane, questo proprio ho fatto un copia incolla da prima.
Più 1/2 l’altro integrale che c’è a destra
E’ chiaro o no? Ci siamo? Cioè sto calcolando le 2 aree del lucido prima della pausa, quella rossa e quella
blu. Chiaro? Quindi ½ l’area rossa + ½ l’area blu. L’area rossa e l’area blu della gaussiana si calcolano con la
Q. Ci siamo?
141
Qual è la posizione della soglia VT? Ci sono dimostrazioni qua, lunghe quanto si vuole, ma alla fine si scopre,
non è un grande risultato che la soglia deve essere il valore medio tra l’s01 e l’s02.
Quindi la soglia ottima sta a metà fra l’s01 e l’s02, cioè fra il simbolo che rappresenta il bit 1 ed il simbolo che
rappresenta il bit 0.
142
Allora se andate a mettere VT=s01 +s022, se volete vi fate i conticini, ma sono 2 passaggetti banali, si
semplificano un po’ di cose e viene
Viene questo passaggio. Se volete potete mettere radice quadrata di quelli al quadrato
Chiaro? Allora praticamente questa qua la probabilità di errore, la BER… a parte la formuletta vorrei che
non vi perdeste sul filo logico che sto seguendo: la BER io l’ho calcolata prima in generale, poi abbiamo
messo i bit equiprobabili, poi abbiamo messo il rumore gaussiano, ora stiamo andando a mettere il quella
formula del rumore gaussiano, stiamo andando a mettere pure la soglia ottima, cioè quella che sta a metà
fra l’s1 e l’s2 e quindi questa è la formula della BER in questo caso, cioè rumore gaussiano e soglia ottima.
Chiaro? E viene questa qua.
Ora guardate che cosa facciamo. Osservazione: la Q, se vi ricordate il grafico della Q, che è 1 – Φ fra l’altro,
Φ che cos’era? Era la cumulativa della gaussiana normale standard, quella a media nulla e varianza unitaria.
Quindi se la Φ è sempre crescente la Q è sempre decrescente. Allora siccome noi vogliamo una probabilità
143
di errore minima, per avere una probabilità di errore minima, l’argomento della Q deve essere massimo.
Chiaro? Quindi dato che la Q è decrescente possiamo ulteriormente minimizzare la BER, massimizzando
l’argomento della Q.
Allora guardate quell’argomento della Q. Sopra che cosa c’è? Al numeratore? C’è il quadrato di che cosa? Di
s01 – s02. Cosa sono s01 – s02 ? Sono le forme d’onda usate per rappresentare rispettivamente il bit 1 ed il bit
0. Quindi per esempio unipolare NRZ, quant’è s01? Quella del caso che vi ho fatto? s01 è l’impulso
rettangolare e s02 quant’è? 0! Giusto? Poi polare NRZ per esempio. L’s01 quant’è? E’ un impulso rettangolare,
l’s02 quant’è? Un impulso rettangolare negativo. La loro differenza sarà che cosa? 2 volte l’impulso
rettangolare. Chiaro? Quindi quell’s s01 – s02 è la differenza fra le 2 forme d’onda usate per i 2 simboli, al
quadrato? Che vuol dire al quadrato? Ora poi vediamo.
Sotto invece abbiamo la σ02, che cos’è a parte il 4? E’ la varianza del rumore, cioè la potenza del rumore.
Chiaro?
Obbiettivo: vogliamo trovare quel particolare filtro di ricezione, che massimizzi l’argomento della Q, e
siccome la Q è decrescente così si minimizza la BER. A parte il 4 che non c’è che massimizzare o minimizzare,
praticamente voglio massimizzare quel rapporto là. Vi ricordate che io per facilità di simboli gli ho tolto il t0,
ma qua stiamo lavorando all’istante t0, giusto? Quindi praticamente quello là è il segnale differenza
calcolato in t0 al quadrato, diviso la potenza del rumore. Chiaro?
Quello lì praticamente non è altro che la potenza istantanea o, se volete, la potenza del segnale differenza in
quell’istante, nell’istante di campionamento. Quindi sto trovando parole che vi ho già ripetuto un’ora fa,
cioè man mano che parlo ho la sensazione di avervele già dette queste cose. Cioè è questo qua un rapporto
potenza del segnale differenza diviso potenza del rumore. Giusto? Questo è. Quindi sto scoprendo che per
minimizzare la BER devo massimizzare, cioè c’è scritto là, non è che me lo sto inventando io, devo
massimizzare il rapporto segnale rumore, dove per segnale però indico il segnale differenza fra che cosa?
Fra le 2 forme d’onda utilizzate per il bit 1 ed il bit 0.
Quindi ripeto è importantissimo questo. Da questo lucido scopro che siccome la Q è decrescente, per
minimizzare la BER, devo massimizzare l’argomento della Q, ma vedo che l’argomento della Q è, a parte il
4, il rapporto segnale rumore all’istante t0. Però di quale segnale stiamo parlando? Del segnale differenza,
fra s01 e s02, fra le 2 forme d’onda utilizzate per il bit 1 e per il bit 0. E quella è la potenza istantanea del
rumore.
A questo punto mi viene un’idea, perché io all’inizio della lezione avevo fatto una cosa che non c’entrava
niente, sembrava una mia follia, che non centrava niente con il corso, con quello che stiamo facendo; mi
viene un’idea. Dico questo: io voglio massimizzare il rapporto segnale rumore in un istante. Cosa posso
usare per massimizzare il rapporto segnale rumore in un istante? Il filtro adattato, cioè l’abbiamo appena
fatto ce lo ricordiamo. Giusto? Adattato a chi? Cioè l’h(t) come si calcolava? Vi ricordate? Traslavate e
ribaltavate la forma dell’impulso del segnale di cui calcolo la potenza. Qui però il segnale è il segnale
differenza. Quindi io devo usare un filtro adattato al segnale differenza. E va beh, poco importa. Chiaro?
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Per esempio se uso un NRZ unipolare, il segnale differenza è un impulso rettangolare, perché sarà l’impulso
rettangolare – lo 0. Giusto? Quindi se io uso un impulso NRZ unipolare, la differenza è l’impulso
rettangolare. Se uso un NRZ polare, il segnale differenza sarà un impulso – un impulso negativo e quindi
sarà 2 volte l’impulso. E va beh, poco importa. E’ chiaro? Quindi devo usare un filtro adattato al segnale
differenza. A quel punto vi chiedo: quanto viene il rapporto segnale rumore se viene massimizzato? Vi
ricordate quant’era il rapporto segnale rumore? Se uso il filtro adattato, massimizzo il rapporto segnale
rumore e viene Eg/2N0. Allora a parte l’N0/2, l’Eg che cos’è? E’ l’energia del segnale quello che adatto, in
questo caso sarà l’energia del segnale differenza. E’ chiaro?
Quindi l’Eg sarà l’energia del segnale differenza, perché io sto adattando il filtro al segnale differenza, non ad
un singolo impulso ma alla differenza fra 2 impulsi.
Quindi per quella cosa che abbiamo visto, posso prendere un filtro adattato h(t) che è c(t) ... e poi quella
formula di prima, vi ricordate la formula di prima? C’era g(-t+Tb), qua abbiamo g(-t+t0), però applicata al
segnale differenza s1 – s2.
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Allora in questo caso, massimizziamo il rapporto segnale rumore, che mi verrà, vedete il rapporto segnale
rumore massimo? Sarà
Qua Eg lo chiamiamo Ed. Quindi è Ed che cos’è? E’ l’energia del segnale differenza fra i 2 impulsi: quello usato
per rappresentare il bit 1 e quello usato per rappresentare il bit 0. Quindi voi prendete i 2 impulsi, quello
usato per rappresentare il bit 1, quello usato per rappresentare il bit 0, vi fate la differenza e vi calcolate
l’energia di questo nuovo impulso differenza. Quindi questo è il rapporto segnale rumore massimo.
Torniamo alla formula della BER. Vi ricordate la formula della BER? Quella con la Q? Abbiamo scritto BER =
Q di questo argomento. Va beh, il 4 lo lasciamo. Questo qui è il rapporto segnale rumore, se uso il filtro
adattato lo massimizzo. Lo massimizzo a questo valore e quindi praticamente usando il filtro adattato
massimizzo questo argomento che diventa questo e quindi minimizzo la BER. Chiaro?
Quindi questa è la BER quando uso un filtro adattato al segnale differenza che mi massimizza il segnale
differenza e quindi mi minimizza la BER. Chiaro?
Praticamente ho scoperto che nel passaggio prima che la BER era Q di radice quadrata, a parte il 4, di un
rapporto segnale rumore. Quindi nel passaggio precedente avevamo trovato che la probabilità di errore sul
bit, la BER, era Q della radice quadrata di un rapporto segnale rumore, siccome voglio minimizzare la BER,
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devo massimizzare il rapporto segnale rumore. Allora uso il filtro adattato e se uso il filtro adattato e vi dico
pure come farlo, come prenderlo, l’h(t) quello là sopra, se uso il filtro adattato, so quanto mi viene il
rapporto segnale rumore, perché non è “non più di” , ma è proprio “uguale a”: Ed/N02.
E quindi se al posto del rapporto segnale rumore che c’era dentro la Q, dentro la radice quadrata gli vado a
mettere proprio quello, trovo il rapporto segnale rumore massimo e quindi la BER minima.
Quindi quella là sotto
è la BER per qualunque codice di linea, quando il rumore è gaussiano bianco e quando uso il filtro adattato.
E’ chiaro?
Praticamente le 2 formule importanti sono … prima ho trovato la formula quando il rumore era non
gaussiano bianco e veniva una certa formulona, grossa così. Poi comunque noi negli esercizi useremo
sempre il rumore gaussiano bianco, quindi rumore gaussiano bianco vuol dire che la formula è quella in
grigio.
Chiaro? Quella è una formula se usate qualunque filtro. Se invece usate il filtro adattato, diventa questa
gialla qua in fondo.
Quindi abbiamo in grigio ed in giallo, le 2 formule importantissime, sempre per la BER, una qualunque sia
il filtro in ricezione ed una con il filtro adattato. Chiaro?
Ora a questo punto comincia un film praticamente, cioè uno dice: data questa formula unipolare NRZ la
forma dell’impulso com’è? Per il bit 1? E per il bit 0? Mi calcolo la differenza, mi calcolo l’energia, mi calcolo
la soglia ottima e tutte queste belle cose e mi trovo la BER in assenza di filtro adattato e con filtro adattato.
Chiaro? Potrei farlo per tutti i codici di linea.
Allora noi non possiamo approfondire le singole cose, praticamente allo scritto dovete sapere usare queste
formule, addirittura non solo per quelle che io vi do, ma alcune volte, poi lo vedremo negli esercizi,
dovremo ripartire da questa. Perché io vi potrei dare nell’esercizio una forma di bit, l’s01 e l’s02, fatte come
voglio. Chiaro? Quindi non per forma dobbiamo partire dalle forme dei singoli codici di linea, però
potrebbe essere che partiamo pure dalle formule dei singoli codici di linea.
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Quindi noi i ludici che seguono li utilizzeremo solo come formulette appiccicate nel formulario. Quindi da
non sapere né dimostrare né imparare a memoria. Chiaro? Cioè la teoria finisce qua, fatemi dire e poi
riprende con un grafico finale o con delle considerazioni finali di confronto fra i vari codici. Perché, se vi
ricordate, eravamo rimasti in sospeso, i codici di linea li abbiamo confrontati per tante cose, per la
sincronizzabilità, per la banda, ecc.., vi ricordate che trovavamo sempre la condizione di normalizzazione?
La A? La calcolavamo imponendo la potenza dei codici di linea uguale ad 1. Perché? Per poterli
confrontare proprio qua. Perché sarà meglio un codice di linea più robusto al rumore. Cioè l’ultimo
parametro di confronto dei codici di linea sarà la loro BER. A parità di potenza di tutti, qual è il più
robusto al rumore. Cioè qual è quello che mi dà una BER più bassa. Chiaro?
Allora fino a qua la teoria si deve sapere, cioè mi dovete spiegare bene o come funziona il filtro adattato e
quella è una domanda, oppure come si calcola la BER, facendo le gaussiane, facendovi l’area, la formula
della probabilità totale ed arrivando a queste formule qua.
A questo punto guardiamo solo i titoli.
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Quell’Eb che trovate là, tanto per saperlo e dobbiamo poi saperlo utilizzare, perché poi lo troveremo
dappertutto, ci sarà sempre in tutte le formule che troveremo. Eb è l’energia media per bit. Cosa vuol dire
energia media per bit? Come si calcola la media? Scrivetelo non per questo, ma in generale, l’Eb, l’energia
media per bit, cioè questa qua vedete? Sarà l’energia media per bit del bit 1 per la probabilità del bit 1 +
l’energia media per bit del bit 0 per la probabilità del bit 0.
Esercizio: Supponiamo di avere NRZ unipolare, formattazione ad impulso rettangolare. Poi Pr(bit 1)= 1/3 e
Pr(bit 0)=2/3. Chiaro? Quindi 1/3 dei bit sono 1 e 2/3 dei bit sono 0.
Allora questo qua è il simbolo usato per il bit 1:
Quant’è l’energia Eb1?
Quindi l’energia usata per rappresentare il bit 1 sarà A2Tb. Giusto? E’ l’area sotto il segnale al quadrato.
Poi com’è la forma d’onda per rappresentare il bit 0?
E’ uno 0, perché è un NRZ unipolare, il bit 0 lo rappresentiamo con lo 0. Quant’è l’energia associata alla
condizione bit 0? Quindi Eb0?
Sarà 0. Giusto? A questo punto l’Eb, sarà la media pesata di quelle 2 energie dice: tanta ne spendo per il bit
1, tanta ne spendo per il bit 0, però pesate per la probabilità del bit 1 e del bit 0. Quindi alla fine qua per
esempio quanto viene questa? Sarà 1/3 A2 Tb. Chiaro?
Vi ho fatto questo, per esempio qua nel lucido c’era scritto ½ A2 Tb, perché qua si supponevano i bit
equiprobabili. Chiaro?
Vi faccio un altro esercizio. Supponiamo per esempio che sia polare NRZ. Cosa cambia? Cambia che il
simbolo s02 come è fatto per il polare NRZ?
Il simbolo 0 lo rappresento così. Chiaro? Il simbolo 0 lo rappresento con il –A. Quindi quant’è l’energia
associata al bit per trasmettere un bit 0? Sarà A2 Tb. Perché devo fare sempre il segnale al quadrato che fa A2
150
per Tb. E quindi l’Eb quanto fa stavolta? A2Tb qualunque sia la probabilità del bit 1 e del bit 0. Quindi l’Eb
totale viene A2Tb. E’ chiaro come si calcola l’energia media per bit?
Ora un problema grosso del formulario qua, perché non è che il formulario lo potevo fare per tutti i casi
possibili ed immaginabili, però per qualche caso ve l’ho voluto fare, perché così se siete fortunati trovate
il caso giusto. Però state attenti nell’uso del formulario qua, perché se io vi dico NRZ unipolare ma con
l’impulso formattato a triangolo, vi dovete fare l’energia del triangolo. Quindi non dove usare la formula
che trovate nel formulario! Quindi io nel formulario ho scritto espressamente: NRZ unipolare con impulso
formattato ad impulso rettangolare. Se qualcosa cambia, dovete ripartire da questa formula qua per
calcolarvi la Eb. Chiaro?
Poi voi praticamente alla fine dovete farmi questo grafico qua, cioè non mi interessano le formule, ma mi
interessa il confronto con tutti i codici di linea con questo grafico.
Questo grafico com’è fatto? E’ fatto in ascissa Eb/N0, quindi energia media per bit su N0. Quindi stiamo
confrontando i codici a parità di rumore ed anche a parità di energia per bit. Quindi quando 2 codici hanno
la stessa energia per bit e a parità di rumore, la probabilità di errore su bit che era Q(Eb/N0), nel caso di
NRZ unipolare in banda base, viene questa curva rossa.
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Quindi voi man mano mi dovete fare queste curve alla fine, cioè di queste cose qua, non mi dovete sapere
le formule, però dovete dirmi, cosa c’è in ascissa, cosa c’è in ordinata e le curve come sono messe e quindi
poi vediamo qual è meglio dell’altro.
Quindi questo qua è l’unipolare NRZ.
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Poi si vede la polare. La polare viene questo con filtro passa-basso ideale, mentre questo qua è con filtro
adattato. La soglia la mettiamo a 0 stavolta nella polare. Qual è la differenza con l’unipolare? Con
153
l’unipolare c’era Eb/N0, qua in più c’è questo 2. E quindi troviamo che avevate trovato e non avevamo capito,
quando abbiamo fatto i codici di linea, ora si capisce: “A parità di BER il sistema con segnalazione polare ha
prestazioni migliori rispetto all’unipolare, in quanto richiede un rapporto Eb/N0, di quel fattore 2, che quindi
è 3dB inferiore.” Quindi praticamente uno può fare: fissa uno e trova l’altro o viceversa. Comunque a parità
di BER posso consumare meno energia per bit. Perché? Perché se vi ricordate la sprecavo per la media pure.
Perché nell’unipolare c’è una media sprecata. Quindi qua praticamente io riesco ad ottenere la stessa BER,
con un energia per bit di 3dB più bassa, che non è male. Non è male perché nel cellulare la batteria mi dura
di più, è bene consumare meno per il mondo, chiaro? Chi si inventa un codice di questo tipo, ha una marcia
in più rispetto a quello di prima. Perché? Ottiene le stesse prestazioni con un consumo energetico più basso,
oppure viceversa, consumate lo stesso ma ottenete una BER molto più bassa. Quindi è più ecologica la
polare perché a parità di BER consumo 3 dB in meno di energia.
Poi c’è la bipolare, tipo l’AMI. Stavolta ho 2 soglie +A/2 e –A/2, una per i bit positivi ed una per quelli
negativi. Perché io trasmetto per la polare +A e –A, i bit 1. Ed anche qua ho un 3/2 davanti, vedete? Questo
qua con filtro passa-basso e questo con filtro adattato ed ho un coefficiente 3/2. Quindi la BER di una
segnalazione bipolare è pari a 3/2 quella relativa ad una segnalazione unipolare. Quindi a parità di energia
ho una BER un po’ più grande. Chiaro?
E’ chiaro allora il discorso finora? Abbiamo fatto teoria della probabilità, variabili aleatorie, processi aleatori,
per aggiungere un elementino di confronto sui codici di linea. Lo faremo anche per le modulazioni. Abbiamo
un elemento di confronto molto importante, possiamo dire che un codice di linea è meglio dell’altro, pure in
base alla probabilità di errore sul bit.
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L’ultima cosa, ma a questo punto è molto semplice e solo una banale estensione, è su codici di linea
multilivello. Il grosso, il difficile, è stato fatto, qua ci possiamo rilassare.
Noi abbiamo visto in particolare quello polare, vi ricordate quello polare? Cioè se avevamo 8 simboli, se
raggruppavamo a 3 a 3 i bit, avevamo 8 simboli, come li rappresentavamo questi 8 bit? Con -7,-5,-3,1,+1,+3,+5,+7. Chiaro? Quindi abbiamo questo sistema qua. Il ricevitore sarà simile a quello del sistema
binario, cioè quello schema là è uguale, ho fatto un copia incolla. Però gli esperti di settimana enigmistica
possono notare delle differenze fra questo e quello di prima, fra l’altro le dovreste trovare ricordando a
memoria quello di prima. E’ molto semplice comunque perché è tutto uguale, l’unica differenza che c’è
rispetto a quello binario, dov’è? Che giocatori di settimana enigmistica siete? Sul decisore a soglia. Il
decisore a soglia avrà stavolta tante soglie, per esempio per -7 e -5, il -7 mi rappresenta un simbolo, il -5 mi
rappresenta un altro simbolo, gli metto una soglia dove? A -6. Quindi se mi arriva qualcosa sotto il -6, lo
prendo come un simbolo, se mi arriva qualcosa fra +6 e +4 lo prendo come un altro simbolo.
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Allora il -7 mi rappresenta per esempio il simbolo 010, il -5 mi rappresenta 011, il – 3 mi rappresenta 001 e
così via. Allora io quante soglie userò per 8 simboli? 7? Giusto! Chiaro? Quindi metto queste 7 soglie per
separare gli 8 simboli e dove le metto? Al centro fra -7 e -5, quindi a -6, a -4, -2,0,+2,+4,+6. Quindi se mi
arriva un valore compreso fra -6 e -4 lo leggo come un simbolo, fra -4 e -2, lo leggo come un altro simbolo e
così via. Chiaro?
Quindi il modulatore PAM multilivello l’abbiamo visto.
Allora possiamo associare ... vi ricordate? L’abbiamo fatto l’n PAM, il modulatore multilivello PAM, associa,
per esempio a gruppi di 3 bit, ad ogni 3 bit associa un valore. Questa associazione qua la posso fare come
vogliamo. Giusto? Potrei fare con quella per esempio naturale, oppure posso farlo con la Gray. Perché lo
faccio con la codifica Gray? Perché così i livelli adiacenti differiscono di un solo bit e quindi sbagliando un
livello sbaglio un solo bit. Uno dice: “Io potrei sbagliare 2 livelli o 3 livelli, fare un salto enorme?” Se
abbiamo tanto di quel rumore che vi fa saltare di tanti livelli a quel punto è meglio non trasmettere. Quindi
io suppongo che il rumore ci sia, però fra 2 livelli adiacenti. Quindi praticamente un rumore che mi fa saltare
di 2 livelli lo considero trascurabile, perché se ho rumore così forte che qualunque livello è possibile è
inutile che siamo qua a discutere di queste cose, cioè ce ne andiamo a fare scommesse che è meglio.
[fine 25a lezione seconda parte]
[inizio 26a lezione]
157
Ieri abbiamo calcolato la BER per una trasmissione in banda base digitale binaria. Abbiamo visto che questa
è la formula generale, poi l’abbiamo fatta quando il rumore è gaussiano, poi l’abbiamo fatta quando la soglia
(per soglia prendiamo quella ottima) e quindi a metà fra i 2 livelli rappresentativi del bit 0 e del bit 1.
Abbiamo visto poi che è possibile minimizzare la BER, massimizzando l’argomento della funzione Q e
siccome la Q è decrescente basta minimizzare il suo argomento, e questo si fa applicando un filtro adattato
al segnale differenza fra le 2 forme d’onda che servono per rappresentare il bit 0 ed il bit 1. Dopo di che ci
siamo fatti una carrellata di BER per vari tipi di segnalazione di codici di linea.
Eravamo arrivati qua. Abbiamo detto che se invece utilizziamo un codice di linea multilivello, vediamo di
calcolare la symbol error rate, perché là si parla di simboli, e poi dalla symbol error rate vediamo di derivare
la BER. Perché poi sempre bit vogliamo trasportare e quindi ci interessa calcolare la probabilità di errore sul
bit, cioè il fatto di passare al multilivello e poi alla fine di ritornare alla trasmissione binaria, è solo, fatemi
dire, un incidente di percorso, cioè solo un escamotage tecnico, ma a noi interessa ai morsetti di uscita, cioè
la BER.
Allora come funzionava? Intanto il multilivello come funziona? Funziona che dobbiamo creare una tabellina
di conversione, che raggruppa i bit a l a l, per esempio l=3, quindi 3 bit li unisce e mi dà un simbolo. Se
raggruppiamo per esempio a 3 a 3 i bit abbiamo 8 simboli possibili. E quindi avremo un certo numero di
simboli. Quindi il ricevitore, su cui ci stiamo concentrando, sarà molto simile a quello del binario, della
trasmissione binaria, tranne che il rilevatore a soglia sarà con l-1 soglie, piuttosto che con una soglia sola,
perché dobbiamo discriminare fra L grande livelli.
Come funziona il modulatore PAM? Vi ricordo, ma l’abbiamo già fatto. Allora si può fare in vari modi,
teoricamente si potrebbe associare un livello a qualunque tripletta di bit, quella che ci viene più immediata
è la codifica naturale, però scopriamo (questo l’abbiamo già detto comunque), scopriamo per esempio che
questo e questo, questi 2 simboli, differiscono per 2 bit e quindi la probabilità di perdita per simbolo, cioè di
quel simbolo, per esempio trasmettiamo il primo cerchiato in rosso, sbagliamo e riceviamo il secondo, mi
causa un errore su 2 bit. Chiaro?
Invece su uso quella Gray sbagliare un simbolo supponendo che l’errore sia sempre tra simboli adiacenti,
che non ci sia un rumore così forte che mi fa saltare 2 o 3 simboli, quindi se l’errore è fra simboli adiacenti,
sbagliare un simbolo vuol dire sbagliare un bit. E questo ha di buono 2 cose: intanto perché a parità di
probabilità di errore per simbolo, mi minimizza la probabilità di errore per bit. Giusto? E’ la cosa migliore,
perché sbaglio un simbolo e sbaglio un solo bit, se no ne sbaglierei più di 1. Questo da un punto di vista
culturale.
Da un punto di vista nostro, pratico e degli esami, è molto più semplice perché storicamente calcoleremo
la probabilità di errore per simbolo e poi scriveremo uguale alla probabilità di errore per bit. Giusto?
Perché sbagliare un simbolo vuol dire sbagliare un bit. Chiaro? Se no dovremmo andare a considerare
quali sono i simboli che mi causano un errore di 2 bit, quali sono i simboli che me ne causano 3, pesare le
probabilità, cioè fare una cosa complicatissima. Chiaro? Invece il passaggio, da probabilità di errore per
simbolo a probabilità di errore per bit, intanto nella codifica Gray è immediato, perché sono uguali le 2
probabilità di errore. E’ chiaro? Perché sbagliare un simbolo, usando la codifica Gray, equivale a sbagliare un
bit solo. E quindi ci conviene per tanti motivi usare la codifica Gray.
Quindi questa è la codifica Gray, non la pretendo a memoria perché non me la ricordo nemmeno io a
memoria. Due cose solo dovete tenere in considerazione che il primo bit non lo mettete prima, perché il
primo bit mi rappresenta il segno; gli altri bit li dovete fare, quindi solo per i valori positivi inizialmente, in
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maniera che differiscano di un solo bit per simbolo. Quindi fate: 00, 01, 11, 10 . Chiaro? Dopo di che là gli
mettete il segno 1 e poi ribaltate, quindi fate quelli di sotto in maniera simmetrica perché il valore assoluto
deve essere uguale e quindi li dovete fare in maniera simmetrica. Quindi dovete rispettare al contrario la
stessa sequenza sotto per valori negativi. Giusto? E poi ci mettete il bit 0 di segno qua sotto. Chiaro?
Quindi queste 2 cose dovete rispettare quando vi si chiede la codifica Gray, non è che dovete imparare a
memoria questa e poi se vi chiedo quella a 4 bit non la sapete. Quindi dovete saperla generale.
Questa è la Gray naturale, esiste anche quella a complemento a 2, ma ce ne possiamo inventare altre mille
oggi stesso.
Quella a complemento a 2 sappiate che c’è qua la definizione però sapete che quando vi scrivo facoltativo
significa che …
Ve l’ho scritto per curiosità, per dirvi che ne possono esistere tante altre, quindi sappiate che esiste per
esempio quella a complemento a 2.
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Allora il dispositivo di decisione, vediamo come funziona. Funziona in questo modo: entra un valore y, che è
un numero, che cos’è questo numero qua? Da dove viene? E’ l’uscita del filtro di ricezione, campionata
all’istante t0. Quindi quel valore lì, io lo devo confrontare con tutte le soglie per capire qual è il simbolo
giusto.
E quindi, confrontandolo con le L-1 soglie, deciderò quale degli L valori mi è arrivato.
Per esempio per l = 2. Vi sto facendo lo stesso discorso che abbiamo fatto ieri che già dovrebbe essere
chiaro, ce lo stiamo ripassando facendolo sul multilivello.
Allora supponiamo che io trasmetta -3α oppure – α oppure + α oppure +3 α. Dove α è una costante di
amplificazione. A questi si sommerà un certo rumore n. Chiaro? Quindi mi arriverà come campione, mi
arriverà un -3 α, un – α, un α, un +3 α, però sommata una certa variabile aleatoria. Una certa variabile
aleatoria che sarà distribuita in maniera gaussiana, con una certa varianza o una certa potenza, perché sono
uguali dato che la media è nulla. Questo quindi se io trasmetto i bit -3,-1,+1 e +3.
A questo punto guardate qua ora, state attenti. Quindi se non ci fosse rumore io riceverei o il valore -3 α o il
valore – α o il valore + α o il valore 3 α. Chiaro? Siccome c’è un rumore si aggiungerà, per esempio il + 3 α +
n, +3 α è un valore determinato, + n mi diventa una variabile aleatoria a media +3 α, ma con la forma, con la
pdf, della gaussiana di n, del rumore. E’ chiaro questo? Questo dovrebbe essere chiaro anche da ieri.
Dove σy è la deviazione standard della gaussiana, quindi mi dice quanto si apre la gaussiana. A questo punto
ora guardate qua. Queste qui, che vi ho indicato io, sono le L-1, in questo caso le 3 soglie di decisione, e
quindi per esempio qual è la probabilità si sbagliare il simbolo -3?
161
Sarà quest’area qua. Ovviamente fino all’infinito, però ormai già là è trascurabile. Quindi quell’area mi dà la
probabilità di sbagliare il simbolo -3 e di interpretarlo come simbolo -1. Chiaro? Poi qual è la probabilità di
sbagliare il simbolo -1? Sarà o di scendere sotto questa soglia, o di andare sopra questa soglia qua. Perché
se scendo sotto la soglia lo vedo come simbolo -3, se vado oltre l’altra soglia lo leggo come simbolo +1. E’
chiaro? Quindi qua per i simboli centrali ho la somma di 2 aree, che mi danno la probabilità di errore sul
simbolo, mentre per il primo e per l’ultimo avrò solo un’area ciascuno. Chiaro?
Quindi praticamente la probabilità di errore sul simbolo complessiva, quale sarà? Ora poi ci sarà scritta,
intanto diciamola a parole. Sarà un’area, l’area che c’era disegnata prima, per la probabilità di emettere il
simbolo -3; + queste 2 aree in rosso per la probabilità di emettere il simbolo -1; + altre 2 aree per la
probabilità di emettere il simbolo +1 e + l’ultima area, quella a destra, di sbagliare il simbolo +3 per la
probabilità di emettere il simbolo +3.
In tutto quante aree sono? Quelle che mi contano la probabilità di errore sul simbolo? Saranno 6 aree.
Giusto? Sono 6 aree. Ciascuna ovviamente con un significato diverso: vi ricordate ieri dicevamo per il
teorema della probabilità totale, la probabilità di errore sul bit, sono le 2 aree pesate per la probabilità di
emettere o il bit 0 o il bit 1. Qua queste 6 aree dovremo pesarle per le probabilità di mettere il simbolo -3, il
simbolo -1, il simbolo +1 ed il simbolo +3. Chiaro? E’ la somma pesata di queste 6 aree. Chiaro? Se è chiaro
questo ora sarà liscio tutto il resto.
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Il calcolo della probabilità di errore procede analogamente all’analisi fatta per il caso binario. La probabilità
di sbagliare un simbolo è uguale alla somma delle probabilità, con il teorema della probabilità totale, delle
probabilità di avere trasmesso uno dei possibili L livelli ed aver deciso per un livello sbagliato. A questo
punto dovrei pesarle per le probabilità di emettere un simbolo, se supponiamo che i simboli siano
equiprobabili, si ricava la formula della probabilità di errore sul simbolo, che ora vedremo scritta meglio
dopo.
Una cosa che mi piacerebbe ottenere e così faremo, mi piacerebbe avere questa probabilità di errore sul
simbolo in funziona di che cosa? Della distanza dei vari simboli. Perché ovviamente più lontani sono,
fatemi dire, il -3 α, il – α, il + α e il +3 α, quindi più lontane sono centrate le 4 gaussiane, più piccole sono
quelle aree. Chiaro? Quindi più lontano io metto i simboli fra di loro, più difficile è che sbaglio da un
simbolo all’altro ovviamente. Quindi mi piacerà calcolarli in funzione di questa distanza.
Perché in generale, per i vari sistemi di trasmissione numerica, è ragionevole pensare che la Symbol Error
Rate o la BER, comunque le prestazioni, a parità di rumore siano migliori se allontano i simboli.
Che succede però se allontano i simboli? Dove pago? Nella potenza di trasmissione! Perché per allontanare i
simboli devo trasmettere con un coefficiente α, quindi con un amplificazione, maggiore.
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Quindi le aree che mi danno la misura della probabilità di errore sul simbolo singolarmente sono quelle 6
aree là. Su questo siamo d’accordo che sono quelle 6 aree? Che mi danno la probabilità di errore sul
simbolo? Perché di ciascuna è la probabilità, dato per certo che ho trasmesso un simbolo, di superare la
soglia e quindi leggerlo come l’altro simbolo. Lo vedete, anche da qua, che se io allontano le gaussiane
quelle aree diminuiscono e quindi la probabilità di errore sul simbolo diminuisce. Quindi calcoleremo noi la
probabilità di errore sul simbolo e poi solo alla fine passeremo alla BER, cioè alla probabilità di errore sul bit.
Allora la probabilità si errore sul simbolo è, per come ho fatto le cose, è la probabilità di, dato per certo che
ho trasmesso … allora teorema della probabilità totale, per tutti i simboli possibili, la probabilità che ho
trasmesso un certo simbolo ai e che ricevo o interpreto, fatemi dire, un simbolo diverso da quello giusto, da
quello ai, pesata per la probabilità di avere trasmesso il simbolo ai. Se supponiamo che i simboli sono
equiprobabili, questa probabilità sarà 1/L. Giusto? La probabilità di trasmettere un simbolo, è uguale per
tutti ed è pari ad 1/L e quindi possiamo scrivere questo.
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Quante aree ho? Saranno 2∙(L-1) aree, giusto? Perché siccome abbiamo L-1 soglie, le aree saranno una da
una parte ed una dall’altra, rispetto alle soglie e quindi abbiamo 2 volte (L-1) aree. Fratto L per che cosa? La
singola area, quindi questo l’abbiamo scritto così, la singola area è l’area della gaussiana, tanto sono tutte
uguali le aree; concentratevi su una sola gaussiana, su una sola campana, quindi una singola area si calcola
con la formula con la formula Q(ασy). Dove α che cos’è? Se noi per esempio prendiamo quella azzurra,
quant’è questa distanza qua? Oppure lo vediamo su quella rossa dove si vede ancora meglio. Quant’è
questa distanza qua? E’ α che è la distanza fra il valore medio e la soglia. Cioè noi stiamo calcolando, cioè
questa cosa qui, vista su una singola gaussiana, se questa è la soglia, quest’area qua, quell’area che ho
colorato in rosso, è la Φ di che cosa? Della x – il valore medio fratto la deviazione standard. Poi ve l’andate a
vedere, comunque quella distanza lì, cioè x – il valore medio, là, in quella figura è proprio α. Dove α
praticamente è, io ve l’ho chiamato come fattore di amplificazione che potete dare al simbolo, ma
praticamente è la semidistanza fra 2 simboli consecutivi.
Quindi stiamo scoprendo una formula molto importante ed ora l’approfondiremo un attimo, che mi lega la
probabilità di errore sul simbolo a che cosa? All’α o al 2α, fatemi dire, comunque ad una distanza fra i
simboli. Quindi da qui riesco immediatamente a capire quanto la symbol error rate, cioè la probabilità di
errore sul simbolo, dipende dalla distanza fra i vari simboli. Quindi più lontani metto i simboli, siccome la Q
è una funzione decrescente, più bassa è la symbol error rate. Quindi al posto di α, se volete, posso mettere
d/2, dove con d indico la distanza fra i vari simboli.
Poi ho voluto mettere questo circa 2, tanto per farvi un po’ di conticini facili facili, perché per L, L sono il
numero di simboli, cioè io vi ho fatto l’esempio a 2 bit, ma non è che si raggruppa a 2 bit; se si raggruppa ad
8 bit, per esempio, L viene quanto? 28 fa 256.
Quindi L-1/L , 255/256 fa circa 1. Chiaro? Quindi quanto L è abbastanza grande ed è normalmente grande, L 1 /L si può considerare circa pari ad 1 e quindi praticamente abbiamo che la symbol error rate è circa 2 volte
la funzione Q, calcolata sulla d fratto 2σy. Questa è una formula molto importante.
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A questo punto calcoliamo la probabilità di errore sul bit, quindi quella era la probabilità di errore sul
simbolo. Mi dispiace che non ve l’ho fatta in un riquadro giallo, ma voi eventualmente mettetela in un
riquadro perché quella è una formula molto importante, perché mi permette di calcolare la probabilità di
errore sul simbolo.
Quindi a valle del decisore e il decisore è quello che sbaglia, giusto? E’ quello che fa l’errore sul simbolo, si
usa poi il blocco di decodifica, che è quello lì, che praticamente a fronte di un simbolo, mi dà poi gli l piccolo
bit. Se è stata utilizzata una codifica Gray e trascurando l’evento errore tra livelli non adiacenti; quindi se è
stata utilizzata una codifica Gray e trascuriamo la possibilità di sbagliare 2 simboli, di saltare 2 livelli,
abbiamo che l’errore sul bit coincide con l’errore sul simbolo. Si può ricavare banalmente voglio dire. Quindi
la probabilità di errore sul bit è l volte più piccola della probabilità di errore sul simbolo, perché se voi
sbagliate un simbolo di 8 bit, sbagliate un solo bit su 8. Quindi se voi sbagliavate un simbolo su 100 e però
poi sbagliate un bit su 8, vuol dire che sbagliate un bit su 800. Non so se sono stato chiaro.
Se questo è un simbolo, un simbolo, un simbolo e un simbolo e poi avete 1 e 2, 1 e 2, 1 e 2, 1 e 2; se avete
una probabilità di errore sul simbolo, di ¼, vuol dire che sbagliate un simbolo. Ma qual è la probabilità di
sbagliare un bit? Cioè qual è la probabilità che sbagliare ad esempio questo bit? Sarà poi ½ di sbagliare
quel simbolo. Chiaro? E quindi sarà la probabilità di errore sul simbolo ulteriormente divisa per il numero di
bit all’interno di quel simbolo. E’ chiaro per tutti? Ci siamo? Un discorso che va di moda, se casca una
mattonella da là sopra in un’aula, c’è una probabilità di 1/100 che casca giusto giusto in quest’aula. Però una
volta che casca in quest’aula c’è, se qua ci siamo 150 persone, c’è la probabilità di 1/150 di quell’1/100 che
casca sulla mia testa. Giusto? Quindi dobbiamo dividere la probabilità del gruppo ancora sul simbolo.
La probabilità di errore sul bit va applicata come la probabilità di errore sul simbolo, diviso l, oppure l
piccolo non è altro che il log2L e quindi alla fine viene questa formula qua
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Chiaro? Quindi ho calcolato la probabilità di errore prima sul simbolo e poi sul bit, quando uso una codifica
multilivello.
Po c’è sempre la solita approssimazione L-1/L potete approssimarlo ad 1.
Questo lucido vi sembra complicato perché mi sono dimenticato di metterci le animazioni, però non vi
preoccupate e poi più che altro mi interessano le 3 definizioni, poi i calcoletti sono molto banali.
Definiamo Es l’energia media del segnale rappresentante un simbolo. Quindi quando io trasmetto un
simbolo, trasmetto una certa energia Es. Quindi Es era l’energia media sul simbolo.
Poi Eb è l’energia media per singolo bit ricevuta. Ovviamente se io trasmetto una certa energia, per
trasmettere un simbolo, siccome questo simbolo è fatto la l bit, cioè io da questo simbolo ricaverò
direttamente l bit, questa energia che io spendo per trasmettere un simbolo è come se la utilizzassi, come
se la dividessi, per l volte tanto per ciascun bit. E’ come dire: se io spendo una certa energia per portare
quel mio Hard Disk portatile che uso io, se però poi faccio il conto: mi conviene o non mi conviene? Se io mi
faccio il conto di quante cose ci sono in quell’Hard Disk e quindi dico per una singola cosetta, per ogni
singolo file che c’è, quant’è l’energia che spendo? Sarà l’energia complessiva diviso il numero di cose che ci
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sono là dentro. Quindi se io uso un multilivello e spendo un’energia 100, ma poi quel 100 mi rappresenta
1000 bit, vuol dire che quel 100 è ben speso. Chiaro? Quindi la vera energia che io spendo è Es, cioè
l’energia per simbolo, però poi siccome l’energia per simbolo mi rappresenta l bit, mi dà al ricevitore
un’energia che è Es/l. E’ chiaro il discorso? Quindi non è che io trasporto i singoli bit, io trasporto un
simbolo, però siccome quel simbolo contiene l bit, l’energia che io spendo per quel simbolo diviso l è poi
praticamente l’energia che sto spendendo per ciascun bit. Chiaro?
Eg invece è quella di ieri, è l’energia dell’impulso formattatore in trasmissione. Che vuol dire l’energia
dell’impulso formattatore? Il modulatore PAM a più livelli come funziona? Prende un impulso formattatore
che ha un energia di Eg e quell’impulso poi lo moltiplica per +7, per +5, per +3, per +1, per -1, per -3, per -5,
per -7, ed ottengo un impulsone molto più grosso perché l’ho amplificato del valore del simbolo che volevo
trasmettere. Chiaro? Quindi Eg è l’impulsino elementare di che cosa? Del filtro di trasmissione. Poi però
siccome in ingresso gli metto il simbolo, trasmetterò un’energia che dipende dal tipo di simbolo che voglio
trasmettere.
Allora facciamoci un conticino. Es la sappiamo calcolare? Qua sto facendo il conto generico per L simboli. Es
la so calcolare? Allora è l’energia media per simbolo. Ve lo faccio io numericamente, non so se poi dopo ci
sono dei numeri, degli esercizi.
Però ve lo faccio numericamente. Quindi se per esempio ho +7, +5, +3, +1, -1, -3, -5, -7. Se questi sono gli 8
possibili simboli, io che cosa trasmetterò? Trasmetterò uno di questi possibili simboli. Allora l’energia media
per simbolo, sarà il valore medio delle 8 energie, come abbiamo fatto ieri per il binario. Cioè io per ogni
simbolo spenderò un’energia, qual è l’energia media? Sarà la media aritmetica, dato che sono tutti simboli
equiprobabili, la media aritmetica di quest’energia.
Quindi praticamente avrò, per esempio il simbolo +1 quanto mi fa spendere di energia? Siccome io cosa
trasmetto? Trasmetterò +1 ∙ g(t). Giusto? Cioè io quando trasmetto moltiplicherò il g(t) o per +1 o per +3 per
+5 e così via. Allora il simbolo +1 che energia mi fa spendere? Sarò 12 per l’energia di g(t). Quindi mi fa
spendere 12 per Eg. -1 quanto mi fa spendere di energia? (-1)2 per l’energia di Eg e quindi sempre 1 per Eg. -7
quanto mi fa spendere? (-7)2 per l’energia di Eg e quindi sarà 72 per Eg. E così via. Quindi praticamente
siccome i simboli sono simmetrici, avrò: 2 volte +12∙Eg (perché devo prendere quello positivo e quello
negativo), ci siete? Sto facendo la media aritmetica di tutti quelli che ho scritto qua. Quindi è la somma di
tutti quelli diviso L, perché sono L simboli.
A questo punto Eb, applicando.. se vi ho convinto su questo penso che vi convincerò anche su questo Eb,
perché uso questa formula qua. Eb è l’energia del simbolo diviso il numero di bit che stanno dentro il
simbolo. Qua ovviamente l’ultimo passaggio sono formulette da wikipedia, cioè basta che cercate somma
dei primi n numeri o qualche cosa del genere, vi esce questa formulettina qua. Comunque Eb la potete
ricavare direttamente da là dividendo per l piccolo o dividendo per il logaritmo in base 2 di L grande e
questo è l’Eb.
Allora praticamente questa formula qua è la probabilità di errore sul bit, che è esattamente quella di ieri,
cioè è molto simile a quella di ieri. A parte che c’è L-1, L, però è molto simile a quella di ieri. Posso fare i
discorsi di ieri, dove la d è la differenza. Se applico il filtro adattato al segnale differenza e dico tutte quelle
belle cose che ho detto ieri, si può dimostrare ma non ci pensate nemmeno a dimostralo cioè è così, si può
dimostrare che la probabilità di errore sul bit per una multilivello viene questa qua.
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Ed infine, se ci ricaviamo Eg da qua e la andiamo a mettere qua, alla fine otteniamo questa formulona
importantissima. Che praticamente mi dice qual è la probabilità di errore sul bit in funzione del solito Eb/N0.
Pure ieri abbiamo visto la probabilità di errore sul bit per le varie codifiche di linea, la polare, l’NRZ, l’RZ,
tutte quelle belle codifiche di linea, in funzione di Eb/N0. Quindi praticamente siamo riusciti ad ottenere una
formula simile a quella di ieri, che mi permette di ottenere la probabilità di errore sul bit stavolta utilizzando
la codifica multilivello a L grande livelli, in funzione di nuovo di Eb/N0.
A questo punto ragioniamo un attimo, ragioniamo. Abbiamo queste 2 formule una è con l’uguale e l’altra è
quella approssimata, ragioniamo su una delle 2.
Allora vorrei confrontare i vari sistemi di trasmissione, per confrontarli, consideriamo trascurabili i fattori
moltiplicativi. Quindi solo la Q(x) ed in particolare andiamo a guardare solo l’argomento della Q(x).
Allora guardate, che differenza c’è fra la PAM binaria, cioè quella che abbiamo visto ieri, e questa? C’è un
fattore, quello messo fra parentesi, perché lì c’era 2Eb/N0, mentre qui c’è 2Eb/N0 ∙ quel fattore:
Quindi praticamente se io uso un multilivello, ho una probabilità di errore sul bit, che è simile a quella di
prima però c’è questo fattore in più. Cosa mia aspetto?
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Il grafico di sotto è quello per la PAM binaria, la polare binaria. Invece quello di sopra è la polare multilivello
a 4 livelli. Ci siamo?
In ordinata c’è la probabilità di errore sul bit, allora scopriamo che per esempio: per avere la stessa
probabilità di errore sul bit, se voglio usare il multilivello, devo avere un Eb/N0 di 4 dB in più. Per il 4 dB c’è
una tabellina, per L=4 vi fate il conticino di quest’η, di questo coefficiente e viene 4 dB. Quindi praticamente
se voi volete usare la multilivello a 4 livelli, per ottenere la stessa probabilità di errore, dovete avere
un’Eb/N0 di 4 dB in più.
Eb/N0 che vuol dire? Che se N0 è lo stesso, cioè a parità di rumore, N0 è la potenza del rumore, a parità di
rumore dovete fare Eb, cioè un’energia media per bit molto maggiore. Perché? Ripeto quello che abbiamo
detto prima, quando abbiamo voluto fare i furbi cioè abbiamo: la banda è piccola ed allora per farlo passare
nella banda piccola usiamo un multilivello. Giusto? E addirittura possiamo usare un multilivello con tanti
livelli, perché più livelli usiamo più stringiamo la banda. Giusto?
E quindi potremmo passare sul nostro modem a 56 kbps, possiamo passare anche un Terabit al secondo!
Però stiamo scoprendo qua qual è il rovescio della medaglia in maniera quantitativa, mentre prima vi avevo
detto c’era la capacità di canale, vi avevo fatto dei discorsi abbastanza vaghi, qua ve lo sto dicendo in
maniera quantitativa. Vi sto dicendo che se usate ... forse viene meglio se lo vediamo sulla linea verticale. Se
usate 4 livelli invece di 2, quindi raggruppate a 2 a 2 i bit, se usate 4 livelli a parità di Eb/N0, quindi a parità di
energia per bit e a parità di rumore, ottenete una probabilità di perdita molto più alta. Chiaro?
Ripeto. Se volete passare da un canale a banda più stretta e quindi volete utilizzare il multilivello, state
attenti, perché a parità di energia spesa per trasmettere, Eb, e a parità di rumore, N0, avete una probabilità
di errore sul bit molto più alta. Chiaro? Qua ancora c’è L=4, cioè abbiamo raggruppato a 2 a 2.
Oppure, viceversa, se lo vogliamo vedere sulla parte orizzontale, perché poi la Telecom se vi assume vi
chiede: “Io voglio 10-8 di probabilità di errore sul bit”. Allora per avere la stessa probabilità di errore sul bit,
dovete barare di potenza, cioè dovete mettere una potenza molto più alta di trasmissione, perché il rumore,
l’N0, è quello che è, dovete mettere un Eb molto più alto, perché dovete recuperare 4 dB per ottenere la
stessa probabilità di errore sul bit. Ci siamo?
Perché ci dovete mettere questa potenza in più per mantenere la stessa probabilità di errore sul bit? Perché
una cosa è trasmettere 2 livelli soli, belli lontani, una cosa è mettere 100 livelli, perché 100 livelli sono tutti
fitti fitti. Quindi per mantenere la stessa probabilità di errore sul bit, questi 100 livelli, poi 100 non è
possibili perché deve essere potenza di 2, quindi 128 livelli, 256 livelli quelli che sono; dovete metterli, per
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avere una probabilità di errore sul bit equivalente a quella del binario, dovete allontanarli di molto. Dovete
aumentare la distanza fra i livelli e quindi per allontanarli dovete usare molta più potenza. Chiaro?
Questo è il prezzo che si paga per ottenere un guadagno in termini di banda. Quindi io volevo arrivare a
questo ed io ho fatto tutta la parte di teoria della probabilità, variabili aleatorie, processi aleatori, per
arrivare proprio a questo ludico qua, che è un punto di arrivo, poi lo vedremo anche per le modulazioni una
cosa del genere. Perché se no sembrava tutto rose e fiori, cioè che uno dice: “Aumento il numero di livelli e
calo con la banda”. Si paga qui, in termini di probabilità di errore sul bit. Quindi è inutile che fate i furbi,
comunque c’è la formula di Shannon della capacità di canale, che questa cosa ve la dice in maniera più
grossolana, ma ve la dice.
Qua vi ho messo un esempietto, un esempio stavolta con i numeri giusti. Quindi se noi abbiamo 4 livelli,
allora l’energia per simbolo ... sono 4 livelli li sto facendo così: -3, -1, +1, +3. Giusto? Quindi l’energia per
simbolo sarà la somma delle 4 energie: quanto spendo per trasmettere il simbolo +3V? 9Eg. Poi li sommo
tutte: 9Eg+Eg+Eg+9Eg; quindi li sommo e li divido per 4 per calcolarmi l’energia media per simbolo. Quindi
l’energia media per simbolo sarà 5 Eg. Quindi io mediamente, se i simboli sono equiprobabili, trasmetterò
un’energia per simbolo, sprecherò una quantità di energia per simbolo, pari a 5 volte Eg. Perché per
trasmettere il simbolo +1, trasmetto Eg; per trasmettere il simbolo -1, trasmetto Eg; però quando mi capita la
disgrazia di trasmettere +3, trasmetto 9 Eg.
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Poi ci sono tante cose che sono fuori luogo in questo contesto di fondamenti di telecomunicazioni, c’è poi la
possibilità per esempio di fare delle codifiche in cui i simboli più probabili me li faccio con i livelli più bassi.
Giusto? E spreco meno energia, per esempio. Oppure posso fare i simboli più probabili ... posso farlo a
Variable Length Code, si chiama, cioè non tutte le parole di codice tutte con lo stesso numero di bit, ma
posso fare alcune parole di codice con più bit magari e alcune parole di codice con meno bit. Ci sono tante
cose, per esempio la codifica MPEG sfrutta questo tipo di codifica, che si chiama VLC, per risparmiare bit.
Cioè una volta capito questo, che sono i fondamenti, poi c’è la Teoria dell’Informazione, che è una scienza
infinita, in cui si lavora per cercare di risparmiare l’energia associata al singolo simbolo, al singolo bit.
Quindi a pari energia Eg la probabilità di errore è paragonabile a quella del caso binario.
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Lascerei perdere questo esempio.
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L’ultimissima cosa, l’ultimo concetto, è banale.
Allora definiamo pure il concetto di potenza, perché poi serve negli esercizi, negli scritti. Quindi noi finora
abbiamo parlato di energia media per bit o per simbolo. Però ovviamente più alta è la bit rate o più alta è la
symbol rate, più consumo ovviamente, perché quella è una misura dell’energia per bit, per il singolo bit o
per il singolo simbolo.
Allora se noi chiamiamo R la bit rate, definiamo la potenza ricevuta come l’energia per bit ricevuta
moltiplicata la bit rate. Quindi quello là mi da la potenza in ricezione, che è l’energia per bit ricevuta per la
bit rate. Chiaro?
Un’altra cosa che ci interessa pure è questa: finora in tutta questa trattazione qua abbiamo considerato il
canale come ideale, cioè che non ha attenuato nulla; se invece il canale attenua con un’attenuazione γ,
un’attenuazione di potenza di γ, la potenza trasmessa è uguale alla potenza ricevuta per l’attenuazione, per
γ. Chiaro?
Tutte queste belle formule che abbiamo fatto sono state fatte tutte al ricevitore.
Ora la domanda è: l’Eb, che vi ho calcolato, che appare nelle formule, è l’energia per bit in ricezione. Quindi
io ho una probabilità Pb, probabilità di errore sul bit, uguale alla Q( di qualcosa, dove c’è qua l’Eb), quell’Eb è
l’energia media per bit in ricezione, giusto? Quindi se io voglio ottenere una probabilità di errore sul bit x,
devo fare in modo da fare arrivare in ricezione quell’energia per bit; o se volete fare arrivare questa P R, cioè
quella potenza ricevuta. Chiaro?
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Ma ora la domanda è: se il canale attenua e voglio PR in ricezione, con che potenza devo trasmettere? Cioè
nel Wi - Fi, per dire, voi potete modificare con i settaggi della schedina Wi – Fi la potenza di trasmissione.
Perché? Perché voi volete una certa probabilità di errore sul bit in ricezione e quindi, a secondo
dell’attenuazione di canale, uno può modificare la potenza in trasmissione: uno se la mette al 100% così non
sbaglia mai, però consuma più batteria ovviamente. Chiaro?
Quindi con questa formula io dico: per avere una certa potenza in ricezione, che potenza devo avere in
trasmissione? La potenza in trasmissione sarà PR∙γ, dove γ è attenuazione di canale in potenza.
L’ultima cosa vi volevo dire, perché a questo punto vi sorge una domanda: “Lei ha fatto il furbo, ci ha detto 2
cose diverse e contrastanti in 2 lezioni diverse.” Perché io un una lezione, ieri, vi ho detto usiamo un filtro di
trasmissione uguale al filtro di ricezione, usiamo un filtro di ricezione h(t) uguale (a parte la costante), al
filtro di trasmissione, h(t)=g(-t+Tb). Chiaro? Cioè vi ho detto come si progetta il filtro di ricezione, per avere il
filtro adattato e quindi massimizzare il rapporto segnale rumore e quindi minimizzare la BER. E ci siete
convinti e vi è piaciuto.
Un paio di lezioni prima, invece, vi ho detto di fare il filtro di ricezione, quindi l’h(t), che abbiamo chiamato
he(t), vi ho detto di farlo a coseno rialzato. Perché? Per eliminare l’ISI. Allora voi mi dite: “Eliminiamo l’ISI o
abbassiamo la BER”. Cioè lo facciamo in un modo o lo facciamo nell’altro? E’ chiara la domanda? Perché io
voglio il filtro di ricezione una volta a coseno rialzato ed una volta lo voglio filtro adattato. Chiaro?
Allora c’è un modo per ottenerli tutti e due contemporaneamente, perché ho parlato del filtro adattato a
cuor leggero senza pensare all’ISI? Perché ho pensato ad un canale a banda infinita, cioè io ho detto di non
considerare la banda del canale, di considerare solo il rumore bianco gaussiano. Invece quando abbiamo
fatto l’ISI vi ho detto: supponiamo di considerare il canale a banda limitata e trascuriamo il rumore di
canale. Cioè nello spettro una volta l’uno e una volta l’altro.
E se ci sono tutti e due invece? Cioè che il canale è a banda limitata e c’è pure il rumore del canale, cosa
faccio? E’ chiara la domanda o no?
Allora praticamente il discorso è questo, ve lo dico a parole, non ci voglio perdere troppo tempo, perché
io all’orale ve le chiederò separatamente, perché poi le cose si complicano, io vi sto facendo i fondamenti,
non vi sto facendo le cose evolute. Vi ricordate approccio 1 ed approccio 2? Detto in poche parole,
nell’approccio 1 il coseno rialzato lo voglio alla fine, nell’approccio 2 il coseno rialzato lo metto all’inizio.
Ma perché? Perché praticamente diciamo che in tutte e due i casi voglio un coseno rialzato alla fine.
Chiaro? L’obiettivo era avere l’impulso formattatore a destinazione a coseno rialzato. Ora però ci sto
mettendo un vincolo in più, voglio che valga la prima formula. Allora se io praticamente metto, ma detto
in poche parole, senza tanti simbolismi, se io faccio così:
qua c’è il filtro di trasmissione, poi va sul canale e poi va sul filtro di ricezione. Allora se io qua gli metto,
fatemi dire, una radice del coseno rialzato, faccio contenti tutti e due, una radice in frequenza, stiamo
parlando di frequenza. Chiaro? Invece di metterci tutto il coseno rialzato all’ingresso oppure tutto il
coseno rialzato alla fine, io gli metto una radice quadrata del coseno rialzato all’ingresso ed una radice
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quadrata del coseno rialzato alla fine, quindi i 2 filtri di trasmissione e ricezione li metto tutti e due a
radice di coseno rialzato, che cosa mi succede? Succede che il coseno rialzato è a banda limitata e quindi il
canale nella zona del coseno rialzato è ideale. Allora il prodotto He(f) sarà radice del coseno rialzato di f
per 1, perché questo qua è il canale, per la radice di nuovo del coseno rialzato di f, e quindi l’He(f) mi fa
coseno rialzato di f. Chiaro?
Il coseno rialzato lo devo progettare, vi ho detto nell’approccio 2, in maniera tale da poter passare liscio
nel canale. Cioè nell’approccio 2, il G(f), il filtro di trasmissione, lo dovevo mettere con un Bσ in maniera
tale che doveva essere più piccolo della banda di canale e quindi dove c’è il coseno rialzato, il canale vale
1, è ideale. Chiaro? Stiamo parlando di approccio 2, piuttosto che fare all’ingresso un coseno rialzato, il
canale ideale ed all’uscita ci metto un filtro di ricezione pari ad 1, e mi gioco il filtro adattato, cioè ho
perso il filtro adattato; quel G(f), mi metto una radice quadrata di G(f) all’ingresso ed una radice quadrata
di G(f) all’uscita. In maniera tale che il prodotto fa sempre coseno rialzato e quindi Nyquist è contento con
tutte le sue cose dell’ISI, ma avendo radice quadrata del coseno rialzato e radice quadrata del coseno
rialzato ho pure verificato il filtro adattato, perché la ricezione è uguale alla trasmissione ribaltata e
traslata. Non so se è chiaro?
Cioè io vi chiedo solo Nyquist, voi mi dite: “Mettiamo qua un filtro di trasmissione G(f) pari al coseno
rialzato”. Ed io vi dico: “Ed in ricezione?” E voi: “No, non mettiamo niente, cioè l’H(f) lo mettiamo filtro
passa-basso ideale”. E io: “E così non è adattato!” Allora voi mi dire: “Ed allora che facciamo?” Io: “Allora
lo facciamo adattato!” Adattato voi mi fate un impulso qualunque in trasmissione ed in ricezione fate
quello adattato, cioè ribaltato e traslato. E non va bene nemmeno perché non è di Nyquist.
Invece se voi mettete in trasmissione, cioè qua, una radice quadrata della G(f) e qua gli mettete una
radice quadrata di G(f) di nuovo, tutte e due le G(f) a coseno rialzato, a questo punto è la stessa cosa. Cioè
invece di mettere tutto il G(f) in trasmissione mettete una radice quadrata in trasmissione ed una radice
quadrata in ricezione, così l’accoppiata fa sempre coseno rialzato e Nyquist è contento, però vale pure che
il filtro di ricezione è adattato al filtro di trasmissione.
E’ chiaro come si mettono assieme le 2 cose allora?
[fine 26a lezione prima parte, seconda esercizi]
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