Università degli studi di Roma “La Sapienza”
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Tesi di Laurea Specialistica
Il metodo di Steele nella caratterizzazione di
strutture risonanti a radiofrequenza
Candidato:
Ramon Da Re
Relatore:
Correlatore:
Prof. Luigi Palumbo
Dott. Andrea Mostacci
Secondo relatore:
Prof. Domenico Caputo
Anno accademico 2007-2008
1
Indice
1)Descrizione di una cavità risonante....................
3
Definizione...............................................................
Propagazione di onde e equazioni di Maxwell........
Guida d'onda...........................................................
Autofunzioni di un risonatore cilindrico..................
Calcolo del campo attraverso i vettori potenziali...
Modello di una cavità a singolo modo....................
3
3
5
13
15
24
2)Teoria della misura perturbativa......................... 34
Teoria della misura perturbativa non-risonante.....
Espressione in termini di momenti di dipolo
elettrico e magnetico...............................................
Espressione in termini di polarizzabilità.................
Teoria della misura perturbativa risonante.............
Confronto tra le teorie.............................................
Ancora sul modello circuitale della cavità..............
Legame tra coefficiente di trasmissione e campo
elettrico
per
una
struttura
priva
di
perdite......................................................................
34
40
44
47
52
55
59
3)Prove sperimentali..................................................... 63
Misura dei fattori di forma di Steele e di
Slater........................................................................ 63
Misure effettuate la variare dell'accoppiamento β.. 76
4)Conclusioni.......................................................... 85
5)Ringraziamenti............................................................... 87
2
Capitolo 1
Descrizione di una cavità risonante
Esamina le caratteristiche di una cavità risonante ed i suoi parametri caratteristici.
Definizione
Per cavità risonante s'intende una regione di spazio chiusa, limitata da pareti
perfettamente conduttrici e riempita da un mezzo lineare, omogeneo, isotropo e
non dispersivo. I campi elettromagnetici soluzioni particolari delle equazioni di
Maxwell omogenee costituiscono le sue oscillazioni libere, le quali vengono
chiamate modi di oscillazione della cavità.
La teoria afferma che si ha un'infinità
discreta di modi di oscillazione, in quanto una cavità risonante (limitata nello
spazio) possiede un'infinità discreta di autovalori. Per derivare questi modi di
oscillazione, anche detti modi risonanti, possiamo partire dalla propagazione delle
onde in una guida d'onda cilindrica, quindi la transizione a una cavità viene fatta
chiudendo la guida d'onda con due piatti conduttori. Il risultato di tale operazione
è introdurre delle condizioni al contorno aggiuntive longitudinalmente.
Propagazione di onde e equazioni di Maxwell1
Iniziamo con le equazioni di Maxwell in forma differenziale, che nel vuoto
1 W. Hillert “Hohlaumresonatoren/Cavities Details on the experiments”
R. E. Collin “Foundations fo Microwave Engineering”
C. A. Balanis “Advanced Engineering Electromagnetics”
G. Gerosa, P. Lampariello “Lezioni di campi elettromagnatici”
3
(assenza di cariche o correnti impresse) possono essere espresse in termini dei
campi E e H usando 0 e 0 .
E
= −∂B
∇×
∂t
D
=
∇⋅
nel vuoto
nel vuoto
H
= j ∂ D
∇×
∂t
B
=0
∇⋅
Prendendo
il
rotore
della
nel vuoto
nel vuoto
prima
×E
= −0 ∂ H
∇
∂t
E
=0
∇⋅
H
= 0 ∂ E
∇×
∂t
H
=0
∇⋅
(terza)
equazione,
sostituendo
∂E
∂H
∇×
∇ ×
con la derivata nel tempo della terza (prima) equazione e
∂t
∂t
usando l'identità
2
∇×
a = ∇
∇⋅
∇×
a −∇ a ,
insieme alla seconda e quarta equazione, otteniamo le equazioni differenziali del
campo elettrico e magnetico che governano la propagazione delle onde e.m. nel
vuoto:
2
r , t
1 ∂ E
∇ E
r , t− 2
=0
c
∂ t2
2
r , t−
∇2 H
dove
1 ∂2 H
r , t
=0
2
c
∂t 2
1
=0 0 . Se consideriamo solo onde con una frequenza fissata ω
c2
4
(regime armonico), possiamo esprimere la dipendenza dal tempo esplicitamente
con
r ,t = H
E r , t =
E r e j t , H
r e jt ,
e semplificare l'equazione delle onde inserendo questa soluzione:
∇2
E
r
2
E
r = 0
c2
2
r 2 H
r = 0 .
∇ H
c
2
Guide d'onda
Consideriamo una guida d'onda allineata alla direzione z. Usando le seguenti
espressioni
E=
E x , y e j t −kz
∇ = ∇t
si perviene per il campo longitudinale a:
5
∂2
2
∂z
∇ t E z k 2c E z = 0
2
∇ t H zk c H z = 0
dove si ha la relazione di dispersione della guida d'onda:
2
k = 2 −k 2 ,
c
2
c
e la quantità kc è detta numero d'onda critico e caratterizza la guida d'onda.
Per il calcolo del campo trasversale usiamo la prima (seconda) equazione di
Maxwell. Ciò che otterremo sarà che è sufficiente conoscere i campi longitudinali,
Ez e Hz, dal momento che i corrispondenti campi trasversali, Et e Ht, sono
ottenibili dai primi.
Per il campo elettrico ad esempio si ha
∂Ey
= jkE y
∂z
× E = ∂ E x = − jkE
∇
t y
x
∂z
E = −
∇×
t x
× E = jk E ×e
∇
t t
t
z
E ⋅e = ∇
E ×e = ∇
E × e = ∇
×E ⋅e ,
∇×
z z
z
z
t z
z
t
z z
combinando le due equazioni:
×E
E ×e
t = jk Et ∇
∇
t z
z
e in maniera analoga
×H
H × e .
t = jk H
t∇
∇
t
z
z
Dalla prima e dalla terza equazione di Maxwell abbiamo
6
E ×e = − j H jk E ∇
E = j H
t ×e z
jk E t ∇
t z
z
0
t
t
t z
0
H ×e = j E
t ∇
jk H
t
z
z
0 t
H = − j E × e .
t ∇
jk H
t
z
0
t
z
Tramite semplici calcoli si ricavano le seguenti relazioni:
E ∇
H ×e
jk c2 E t = k ∇
t
z
0
t
z
z
H − ∇
E ×e .
t = k ∇
jk c2 H
t
z
0
t
z
z
Possiamo classificare le possibili onde come segue:
1) kc2 = 0:
Velocità di fase dalla relazione di dispersione:
Impedenza ζ=E/H, allora
•
E =− ∇
H ×e :
∇
t z
t
z
z
v ph =
=
=c
k
0
0
E ≠0 e ∇
H ≠0 : onde ibride HE (se predomina il modo
∇
t
z
t
z
TE) o EH (se predomina il modo TM), usate per deflettere le
particelle cariche in separatori HF
•
2)
E =0 e ∇
H =0 : onde TEM trasversali.
∇
t
z
t
z
k 2c ≠0 :
Non si ha propagazione per
ck c : onde evanescenti (=”sotto cut-
off”)
7
Velocità di fase dalla relazione di dispersione:
k 2c
v ph = c 1
k2
c
L'impedenza dipende dal modo che si propaga:
•
Ez=0: onda TE (trasversa elettrica) o H (perché H z ≠0 )
Impedenza da
•
jk E t = − j 0 H t×ez :
Hz=0: onda TM (trasversa magnetica) o E (perché
Impedenza da
Z 0=
Et
=0
Ht
k
E z ≠0 )
t ×e z= j 0 Et :
jk H
In corrispondenza al numero d'onda critico c'è una frequenza critica,
Z 0=
k
0
c=ck c ,
sotto la quale non c'è propagazione del campo in guida d'onda. Per basse
frequenze la dispersione nella guida d'onda differisce perciò dalla dispersione in
vuoto o in un cavo coassiale (onde TEM). In figura 1 è illustrato il comportamento
dispersivo della guida d'onda, che determina la distorsione di un campo che sia la
sovrapposizione di componenti a frequenza diversa.
Illustrazione 1: Dispersione in
guida d'onda e per un cavo
coassiale
Consideriamo una guida d'onda cilindrica di raggio a. Il campo longitudinale deve
8
soddisfare la seguente equazione delle onde:
∂2 1 ∂
1 ∂2
E zk 2c E z = 0
2
2
2
r
∂r
∂r
r ∂
∂2 1 ∂
1 ∂2
H zk 2c H z = 0 .
2
2
2
∂ r r ∂r r ∂
Il metodo della separazione delle variabili può essere usato per ridurre le
equazioni precedenti a due equazioni differenziali ordinarie. Si assume, quindi,
che esista una soluzione data dal prodotto di due termini dipendenti ciascuno da
una sola variabile: RE,H(r) e θE,H(Φ). Dividendo per Rxθ e moltiplicando il risultato
per r2,
E z r , =R E r E , H z r , =R H r H
2
2
2
r d R r dR
1 d
k 2c r 2 =−
=m2 .
2
R dr
R dr
d 2
Il lato sinistro dell'equazione è funzione solo di r, mentre il lato destro dipende
solo da θ. Perciò questa equazione è valida per tutti i valori delle variabili solo se
entrambi i membri dell'equazione sono uguali ad una costante che è stata
denominata m2. Otteniamo così due equazioni differenziali, una per la dipendenza
angolare della componente longitudinale del campo e l'altra per la dipendenza
radiale. Quest'ultima è detta equazione di Bessel di ordine m, ed il suo integrale
generale è espresso da una combinazione lineare delle funzioni di Bessel di ordine
m di prima specie e Jm(Kcr) e di seconda specie Ym(kcr)
Quindi si ha:
9
d 2
m2 =0
2
d
d 2 R 1 dR
m2
2
k
−
R=0
c
dr 2 r dr
r2
=Acos mBsin m
R r =CJ m k c r DY m k c r .
Con
= e ∂ e 1 ∂ otteniamo per i campi trasversali:
∇
t
r
∂r
r ∂
jk 2c Et =k {
∂ Ez
∂ Hz
1 ∂ Ez
1 ∂ Hz
e r
e }−0 {
e r
e }
∂r
r ∂
∂r
r ∂
t =k {
jk c2 H
∂Hz
∂E
1 ∂Hz
1 ∂Ez
e r
e }0 { z e r
e } .
∂r
r ∂
∂r
r ∂
Le possibili distribuzioni dei campi sono determinate dalle condizioni al contorno
sulle pareti della guida d'onda:
•
E =0 ; E z=0 per r=a
•
H r =0 per r=a
Nel caso dei modi TE si ha (nel problema in esame, la funzione di seconda specie
non è una soluzione fisicamente accettabile perché tende ad infinito per r tendente
a 0):
H z=H mn J m rk c cos m , dove deve essere soddisfatta J m ' ak c =0 (che
equivale a ∂ H z /∂ z=0 per r=a). Con n=1,2,3... e m=0,1,2... sussiste la seguente
10
relazione di dispersione approssimata per le onde TE:
k 2c k 2=
2
2m−3 2 2 4m 23
2
dove
k
a
≈n
−
c
4
4
c2
Con ciò otteniamo per i campi trasversi delle onde TE:
0 m
sin m H mn=Z w , mn H
kc kc r
k
H r =− j J m ' k c r cos m H mn
kc
0
E = j
J m ' k c r cos m H mn0 =−Z w ,mn H r
kc
k m
H = j
J k r sin m H mn
k c kc r m c
k
Z w ,mn =
kc
E r= j
Il modo a frequenza più bassa (modo fondamentale) è il TE11. Per le frequenze di
cut-off si ha: mn=mn c /a ( mn =radice n-esima dell'equazione J m ' =0 )
Per i modi TM si ha:
E z=E mn J m k c r cos m, dove J m k c a=0 (per avere E z =0 in r=a) deve
essere soddisfatto. Sussiste la seguente relazione di dispersione approssimata per i
modi TM:
11
k 2c k 2=
2
c2
con k c a2≈n
2m−1 2 2 4m2−1
−
.
4
4
Con ciò otteniamo per i campi trasversali dei modi TM:
k
J ' k r cos m E mn
kc m c
0 m
E
Hr= j
J m k c r sin m E mn=−
kc kc r
Z w ,mn
k m
E = j
J k r sin m E mn
kc k c r m c
0
E
H = j
J m ' k c r cos m E mn= r
kc
Z w , mn
k
Z w ,mn = c
k
E r=− j
Il modo fondamentale è il TM01, con E =H r =0 , ed è usato negli acceleratori
lineari per accelerare particelle ultra relativistiche.
Illustrazione 2: Configurazione del campo per il modo TM01
12
Autofunzioni di un risonatore cilindrico
Se inseriamo piatti conduttori nella guida d'onda perpendicolari alla direzione z,
l'onda incidente viene riflessa completamente e si stabilisce un'onda stazionaria.
Sfruttando l'espressione dei campi ricavata per la guida d'onda cilindrica, e
combinando un'onda diretta e un'onda inversa, si ottengono i campi nel risonatore
imponendo le condizioni al contorno.
Per soddisfare le condizioni al contorno longitudinali dobbiamo imporre la
condizione k=pπ/l (in tal modo la cavità ha lunghezza pari ad un multiplo di una
semi-lunghezza d'onda in guida). Inserendo le autofunzioni della guida d'onda
cilindrica, il campo longitudinale diventa (i pedici m, n e p denotano il numero di
variazioni di semi-lunghezza d'onda nelle tre direzioni coordinate):
Modi TE mnp :
H z =H mn J m k c r cos msin p /lz e j
Modi TM mnp :
E z= E mn J m k c r cos m cos p /lz e
mnp
t
j mnp t
Per le frequenze si ha: mnp =c /a2 p /l 2
La formula per le frequenze di risonanza può essere scritta come un'equazione
lineare come segue:
c 'mn 2 c 2 2 d 2
df =
p
2
l
d =2a :diametro della cavità
:zero della funzione di Bessel o della sua derivata
2
'
mn
13
Nelle tabelle seguenti vengono elencati gli zeri della funzioni di Bessel e delle
derivate prime necessarie a calcolare le frequenze di risonanza:
n
0n
1n
2n
3n
4n
5n
1
2,40482
3,83171
5,13562
6,38016
7,58834
8,77148
2
5,52007
7,01559
8,41724
9,76102
11,06471 12,33860
3
8,65372
10,17347
11,61984
13,01520
14,37254 15,70017
4
11,79153
13,32369
14,79595
16,22347
17,61597 18,98013
Tabella 1: Zeri ξmn di Jm(ξmn)=0 (n=1,2,3,4) della funzione di Bessel Jm(x)
n
0n '
1n '
2n '
3n '
4n '
5n '
1
3,83171
1,84118
3,05424
4,20119
5,31755
6,41562
2
7,01559
5,33144
6,70613
8,01524
9,28240 10,51986
3
10,17347
8,53632
9,96947
11,34592
12,68191 13,98719
4
13,32369
11,70600
13,17037
14,58585
15,96411 17,31284
Tabella 2: Zeri ξ'mn della derivata J'mn(ξ'mn)=0 (n=1,2,3,4) della funzione di Bessel
Jm(x)
L'eguaglianza degli zeri 0n e 1n ' indica che la derivata della funzione di
Bessel di ordine zero coincide con la funzione di Bessel del primo ordine:
d
J x = J 1 x .
dx 0
Perciò i corrispondenti modi TE e TM hanno la stessa frequenza di risonanza
14
(vengono anche detti modi degeneri):
f TE = f TM per valori arbitrari di n e p .
0np
1np
Calcolo del campo attraverso i vettori potenziali
Un altro modo per ricavare i campi in una guida d'onda cilindrica, e quindi in
cavità come poc'anzi esaminato, è ricorrere ai vettori potenziali ausiliari
A e F.
Il vettore potenziale magnetico è definito come segue:
In una regione priva di sorgenti, la densità di flusso magnetico
B è sempre
solenoidale, che significa che ha divergenza nulla. Questo comporta che può
essere rappresentata come il rotore di un altro vettore, perché obbedisce
all'identità vettoriale
∇
×
∇⋅
A=0
dove
A è un vettore arbitrario. Definiamo perciò
1
H A = ∇
×A
EA = − j
A
dove la seconda uguaglianza vale ameno del gradiente di un potenziale scalare
elettrico arbitrario, funzione della posizione.
Il vettore potenziale elettrico
F è così definito:
è sempre
In una regione priva di sorgenti, la densità di flusso elettrico D
solenoidale, cioè ha divergenza nulla, perciò può essere rappresentata come il
15
rotore di un altro vettore perché obbedisce all'identità vettoriale
×
∇⋅−
∇
F = 0
dove
F è un vettore arbitrario. Definiamo perciò
1
EF = − ∇
×F
HF = − j F
dove l'ultima eguaglianza vale a meno di un potenziale scalare magnetico
arbitrario, funzione della posizione.
Vediamo il calcolo per i modi TM (stiamo parlando di modi trasversi magnetici
rispetto a z). Tali modi possono essere derivati imponendo:
A = e z Az r , , z
F=0
Il vettore potenziale
A deve soddisfare l'equazione delle onde che riscriviamo:
∇ 2 A z r , , zk 2 Az r , , z = 0.
Espandendo tale equazione in coordinate cilindriche, si ha:
2
∂ Az
2
2
1 ∂ Az 1 ∂ A z ∂ Az
2
2
Az = 0 ,
2
2
2
r
∂r
∂r
r ∂z
∂z
la cui soluzione per la geometria considerata è:
16
Az r , , z = [ A1 J m k r r B1 Y m k r r ]
− jk z z
x [C 2 cos mD2 sin m][ A3 e
B3 e
jk z z
,
]
(come si vede la componente longitudinale è la soluzione per onde viaggianti) con
2
2
k r k z = k
2
.
Le costanti A1, B1, C2, D2, A3, B3, m, kr, kz possono essere trovate usando le
condizioni al contorno
1) E r r =a , , z = 0
o
2) E z r=a , , z = 0
3) I campi devono essere finiti ovunque
4) I campi devono ripetersi ogni 2 radianti in
In accordo con la condizione 3), B1=0 in quanto Ym(r=0)=∞. In più, in accordo
con la 4),
m=0,1 ,2 ,3 , ...
Considerando onde che si propagano solo nella direzione delle z positive, il
potenziale A si riduce a:
− jk z z
A +z r , , z = Bmn J m k r r [C 2 cos m D 2 sin m ]e
.
Gli autovalori di kr possono essere ottenuti applicando la condizione 1) o la 2). Si
ha:
17
E +z =− j
1
∂2
2 k 2 A+z
∂ z
k 2r
− jk
= − jB mn
J m k r r [C 2 cos m−D2 sin m ]e
z
z
Per soddisfare la condizione al contorno 2) si ottiene:
J m k r a =0 k r a= mn k r =
mn
a
Facendo uso delle relazioni trovate, k z può così essere scritto:
2
i) k −k = k − mn
a
2
k z mn =
2
r
2
quando k>k r=
ii) 0
iii) − j k −k =− j
2
r
2
quando k=k c =k r=
mn
a
quando k k r=
mn
a
2
mn
−k 2
a
Il cutoff è definito quando (kz)mn=0. Perciò, in accordo alla ii):
k c = c = 2 f c = k r =
o
f c mn =
mn
2 a
.
18
mn
a
mn
a
2
2
2
2
k
k
f
) k −k =k 1− r =k 1− c =k 1− mn =k 1− c
k
k
ka
f
quando f f c = f c mn
) 0
quando f = f c = f c mn
2
k z mn =
2
r
2
) − j k −k =− jk
2
r
=− jk
2
kr
−1=− jk
k
2
2
kc
−1= m −1
k
ka
fc
−1
f
quando f f c = f c mn
2
a)
g mn =
2
2
fc
1−
f
b) ∞
=
2
fc
1−
f
quando f f c = f c mn
quando f = f c = f c mn
Le componenti del campo elettrico e magnetico possono essere così scritte:
2 +
k k
1 ∂ Az
− jk z
E =− j
=−Bmn r z J m ' k r r [C 2 cos m D2 sinm ]e
∂r ∂ z
2 +
mk z
1 1 ∂ Az
E +=− j
=−Bmn
J k r [−C 2 sin mD2 cos m] x
∂ ∂ z
r m r
− jk z
e
k 2r
1
∂2
+
2
+
E z =− j
2 k Az =− jB mn
J k r [C 2 cos m−D2 sin m ] x
∂ z
m r
+
r
z
z
− jk z z
e
+
1 1 ∂ Az
m1
− jk z
H =
=B mn
J k r [−C 2 sin m−D2 cos m]e
r ∂
r m r
+
k
1 ∂ Az
− jk z
+
H =−
=−B mn r J m ' k r r [C 2 cos m D2 sin m ] e
∂r
+
H z =0
∂
'=
.
∂k r r
+
r
z
z
19
L'impedenza dell'onda nella direzione delle z positive può essere scritta come
+z TM
w mn
Z =
E +r
E +
H
Hr
=−
+
=
+
k z mn
,
che con l'aiuto delle espressioni di (kz)mn scritte sopra si riduce a:
2
2
2
f
f
f
k
' )
1− c =
1− c = 1− c
f
f
f
quando f f c = f c mn
TM
Z z
w mn =
') 0
quando f = f c = f c mn
2
− jk
')
fc
−1
f
2
fc
−1=− j
f
=− j
2
fc
−1
f
quando f f c = f c mn
Accenniamo solo che per ricavare i modi TE rispetto a z si procede analogamente
ai modi TM, considerando che deve aversi:
A=0
F =e z Fz r , , z
e il vettore potenziale elettrico
F deve soddisfare l'equazione delle onde così
riscritta:
2
2
∇ F z r , , z k F z r , , z=0.
20
Vediamo rapidamente il calcolo del campo in cavità, sempre esemplificando il
solo caso dei modi TMmnp.
Riscriviamo Az come abbiamo fatto per la guida d'onda, ma considerando che la
componente longitudinale deve esprimere una dipendenza da z che è quella per le
onde stazionarie:
A z r , , z = Bmn J m k r r [C 2 cos m D2 sin m ]
x [C 3 cos k z z D3 cos k z z ]
dove
mn
a
m=0,1,2...
kr =
Per il campo elettrico si ha:
2
1 1 ∂ Az
E r , , z =− j
r ∂ ∂ z
=− jB mn
m z 1
J k r [−C 2 sin m D2 cos m]
r m r
x [−C 3 sin k z z D3 cos k z z ]
Applicando la condizione di annullamento del campo elettrico tangenziale ai piatti
di chiusura:
E 0r a ,02 , z=0
=− jB mn
mk z 1
J k r [−C 2 sin m D2 cos m]
r m r
x [−C 3 0D3 1] = 0 D 3=0
21
E 0r a ,02 , z =l
= jB mn
mk z 1
J k r [C 2 sin mD2 cos m][C 3 sin k z l]=0
r m r
sin k z l = 0 k z l=arcsin 0= p
k z=
p
l
p=0,1,2 ,3 ,...
La frequenza di risonanza è ottenuta usando:
2
2
mn
p
k k =
=2r
a
l
2
r
2
z
ovvero:
f r TM
mnp =
1
2
2
mn
p
a
l
2
m=0,1,2 ,3.. n=1,2 ,3 , ... p=0,1 ,2,3 ,...
In definitiva
A z r , , z =B mnp J m k r r [C 2 cos m D 2 sin m]cos k z z
I corrispondenti campi elettrici e magnetici sono:
22
E =− j
∂ 2 Az
k k B
1
= j r z mnp J m ' k r r [C 2 cos mD2 sin m]
r ∂ r ∂ z
r
xsink z z
2
m k z B mnp 1
1 1 ∂ Az
E =− j
=− j
J k r [C 2 sin m− D2 cos m]
r r ∂ ∂ z
r r m r
xsink z z
E z =− j
H r=
k 2r
1
∂2
2
−k
=
j
B k 2k 2r A z= jk 2r r B mnp Az
r
r ∂ z 2
r mnp z
1 1 ∂ Az −mB mnp 1
=
J k r [ C 2 sin m−D 2 cos m]cos k z z
r ∂
r m r
H =
−1 ∂ A z −k r
=
B J ' k r r [C 2 cos m D2 sin m]cos k z z
∂r
mnp m
H z=0
Nel caso dei modi TE si procede partendo dal vettore potenziale Fz:
F z r , , z = Amn J m k r r [C 2 cos m D2 sin m ]
x [C 3cos k z z D 3 sin k z z ]
dove
' mn
a
m=0,1,2 ,3 , ...
k r=
Quindi
si
procede
analogamente
ai
modi
TM,
lasciando
al
lettore
l'approfondimento per cui si rimanda alla bibliografia indicata ad inizio capitolo.
23
Modello di una cavità a singolo modo
Definiamo le quantità caratteristiche nel caso del risonatore “scarico”.
Consideriamo un circuito equivalente RLC parallelo. Scriviamo le relazioni per
tensioni e correnti:
−V C =V R=U L ,
C
dV C
=I C ,
dt
V L =L
dI L
dt
I C =I RI L
Queste conducono all'equazione differenziale che governa il circuito:
d2 V
1 dV
1
V =0
2
RC dt LC
dt
Definiamo le quantità seguenti:
Costante di tempo =RC
1
LC
2 x Energia immagazzinzata 2 W 0 W
Fattore di merito Q0=
=
=
Potenza dissipata in un periodo T P
P
Pulsazione di risonanza 0=
Per un circuito debolmente smorzato (caso oscillante) si ha:
−
V t=V 0 e
t
2
L'energia immagazzinata è:
24
e
j 0 t 0
t
1
1 −
W = C∣V∣2= e CV 20 ,
2
2
e la potenza dissipata è:
P=
dW
1
=− W
dt
Otteniamo così un'altra espressione del fattore di merito:
Q=
0 W
R
=0 =0 RC =
P
0 L
Se usiamo un generatore di corrente esterno per forzare le oscillazioni,
I ext = I ext e
jt
, la nuova relazione per le correnti è:
I C I ext =I RI L
ed abbiamo di conseguenza una nuova equazione differenziale non omogenea:
d 2 V 0 dV
1 dI ext
2
V
=
0
C dt
dt 2 Q0 dt
Usando per la tensione V =V e j t , si ottiene la soluzione disomogenea
complessa:
I ext
R I ext
C
V =
=
j 0
0
20−2
1 jQ 0
−
Q0
0
j
25
≪ 0
≈
R I ext
12jQ0
Individuiamo modulo e fase:
∣V∣=
R I ext
1Q
R I ext
≪ 0
2
≈
2
0
2
14Q
tan =Q0 ≈2Q0
0
Il fattore di merito della cavità scarica può essere determinato dalla misura della
così detta banda a metà potenza dalla curva di risonanza.
Q 0=
0
,
H
H = banda corrispondente a V =
V max
2
.
Vediamo il caso della cavità accoppiata a una guida d'onda. Esistono tre metodi
basilari per accoppiare una guida d'onda ad una cavità ad alta frequenza:
1. Accoppiamento magnetico (o loop coupling)
2. Accoppiamento elettrico (pin coupling)
3. Accoppiamento diretto alla guida d'onda (hole coupling)
La figura seguente illustra il caso di accoppiamento magnetico.
26
L'obiettivo di un accoppiatore efficiente è di consegnare la potenza proveniente
dal generatore di segnale alla cavità idealmente senza che avvengano riflessioni.
Per ottenere ciò, è necessario che la guida d'onda sia terminata con la sua
impedenza caratteristica (tipicamente di 50 Ω). In generale l'impedenza della
cavità è complessa, divenendo puramente resistiva solo in condizioni di risonanza,
ed in tal caso viene chiamata shunt-impedance Rs=Z(ω0). Una grandezza usata per
caratterizzare l'entità dell'accoppiamento guida-risonatore è il coefficiente di
accoppiamento, dato dal rapporto tra l'impedenza Rs riportata nel circuito primario
e l'impedenza caratteristica della guida d'onda:
=
Rs
n2 Z 0
La presenza della linea di trasmissione esterna determina un carico sul risonatore
che ci porta a definire un nuovo fattore di merito in questo modo:
1 1
1
= 2
R RS n Z 0
27
1 1
1
=
Q Q 0 Qext
Il fattore di merito scarico Q0 viene ridotto a Q dalla presenza del fattore di merito
esterno Qext. Tenendo in conto la dissipazione esterna, si ottengono le seguenti
relazioni (Pwall è la potenza dissipata sulle pareti del risonatore):
Qext =
0 W
P ext
=
Q=
0 W
P wall P ext
Q0 P ext
R
=
= 2S
Q ext P wall n Z 0
Si distinguono tre casi:
1.
1 : sottoaccoppiamento, QQ 0 /2
2.
=1 : accoppiamento critico, Q=Q 0 / 2 assenza di riflessioni
3.
1 : sovraccoppiamento, QQ0 /2
Una volta noto il coefficiente di accoppiamento si può ricavare il fattore di merito
non caricato dal fattore di merito loaded misurato:
Q 0=1 Q .
Nel caso di accoppiamento critico non si hanno riflessioni (alla risonanza) e
idealmente tutta la potenza incidente proveniente dal generatore, P+, viene
dissipata all'interno del risonatore, comparendo nel bilancio energetico sotto
forma di Pwall. La ragione di ciò è che l'onda irradiata dal risonatore verso il
generatore di segnale e l'onda riflessa al meccanismo di accoppiamento hanno
eguale ampiezza e sono in controfase, ciò determinando una interferenza
distruttiva. Sotto tali ipotesi, la potenza Pext viene definita come la potenza
irradiata all'esterno della cavità quando il generatore di segnale viene spento2. Se
invece sono presenti riflessioni, si distingue tra:
•
Sottoaccoppiamento: l'onda irradiata dalla cavità è in controfase rispetto
2 T. P. Wangler “RF Linear Accelerators”
28
all'onda riflessa ma ha ampiezza inferiore.
•
Sovraccoppiamento: prevale il campo irradiato dalla cavità sull'onda
riflessa.
In caso di riflessioni abbiamo l'onda incidente, denotata da
riflessa denotata da V - e I - .
V + e I + , e l'onda
Il coefficiente di riflessione complesso è definito
come:
Z /Z 0−1
V
S 11= + =
Z /Z 01
V
dove Z è l'impedenza di terminazione della linea. Nel caso di risonanze non
sovrapposte, abbiamo gli elementi per esplicitare il calcolo dello S11:
Z cav
−1
Z /Z 0−1 n Z 0
1 jQ 0
−1− jQ 0
S 11=
=
=
=
Z /Z 01 Z cav
1 jQ 0
1
−1
2
1 jQ 0
n Z
2
−1
0
dove si è fatto uso di =
Rs
2
n Z0
.
A rigore ciò è vero solo in corrispondenza della locazione dell'accoppiatore. Se la
misura
del
coefficiente
di
riflessione
viene
effettuata
a
distanza
l
dall'accoppiatore , va tenuto in conto un fattore moltiplicativo e−2jkl , che
introduce un termine di fase aggiuntivo pari a due volte il ritardo di propagazione
dell'onda nella linea di trasmissione lunga l. Tale fattore dipende dalle proprietà
del conduttore (induttanza L' e capacità C' per unità di lunghezza, trascurando le
perdite ohmiche), nonché dalla frequenza, attraverso il numero d'onda k=ω/vph=
ω√L'C'.
29
Consideriamo ora una cavità accoppiata in ingresso e uscita a due guide d'onda
entrambe terminate con un carico adattato di 50 Ω (potrebbero essere due cavità).
D'ora in poi consideriamo:
•
p
V : tensione ai capi dell'induttanza che rappresenta l'accoppiamento
della guida 1 con la cavità (porta uno);
•
V out : tensione ai capi dell'induttanza che rappresenta l'accoppiamento
come sopra ma per la guida 2 (porta due);
•
•
•
V + : tensione del generatore;
S11: coefficiente di riflessione alla porta uno;
n 21,2 =
Rs
, è il rapporto di forma del trasformatore che rappresenta
Z 0 1,2
l'accoppiamento guida-cavità alla porta 1 o 2; Rs è la shunt-impedance
vista precedentemente; 1,2 è il coefficiente di accoppiamento tra campo
in guida e campo in cavità, alla porta 1 o 2.
•
Ztot: impedenza data dal parallelo dell'impedenza della cavità Z cav
e
l'impedenza Z0 della guida d'uscita, riportato nel circuito d'ingresso
dividendo per n12.
Consideriamo le potenze in gioco nel circuito equivalente:
30
Potenza dissipata nella cavità: Pwall =
[ V p ]2 n 21
2R s
[ V p ]2
Potenza dissipata nei circuiti esterni: Pext1 =
2Z 0
2
[ V p ] 2 n1
P ext2=
2Z 0 n22
Potenza totale dissipata: Ptot =P wall P ext1P ext2
n 21 C [ V p]2
L'energia immagazzinata nel risonatore è U=
.
2
Il fattore di merito caricato del risonatore viene ora facilmente ricavato:
Q=
0 U
1
1
1
=
Ptot
Q0 Qext1 Qext2
−1
dove
Q 0=
0 U
,
P wall
Qext1 =
0 U
,
P ext1
Qext2 =
0 U
Pext2
ed introducendo i fattori di accoppiamento:
1=
P ext1 Q 0
=
,
Pwall Qext1
2=
può essere così riscritto:
Q=
Q0
.
11 2
31
P ext2 Q 0
=
P wall Qext2
Come fatto in precedenza, cerchiamo anche per questa configurazione il
coefficiente di riflessione, a cui aggiungeremo il coefficiente di trasmissione.
Scriviamo espressamente le tensioni prima definite:
V p = V + 1S 11
n1
n1
V out = V p
= V + 1S 11
n2
n2
Scriviamo l'impedenza totale:
2
Z tot =
2
−1
n1 n1 1
Z cav n 22 Z 0
=
1 Z 0
12 jQ 0
Per il coefficiente di riflessione si ha:
S 11
Z tot
−1
Z0
−1−2 − jQ 0
=
= 1
,
Z tot
112 jQ 0
1
Z0
quindi l'assenza di riflessioni comporta che alla risonanza si debba avere
1=12 , e poiché i coefficienti di accoppiamento sono positivi, è richiesto
che la guida d'onda di input sia sovraccoppiata.
Servendosi di quanto finora scritto, si ricava il coefficiente di trasmissione:
S 21 =
n
2 1
n1
V out
= 1S 11 1 =
+
n2
112 jQ 0 n2
V
.
=
2 1
2
2 1 2
=
112 jQ 0 1
112 jQ 0
32
Capitolo 2
Teoria della misura perturbativa
Espone le teorie della misura del campo elettromagnetico in cavità derivate da C.
W. Steele e J. C. Slater. L'ultima parte approfondisce il modello RLC della cavità
visto nel capitolo precedente.
Teoria della misura perturbativa non-risonante
La teoria della misura perturbativa non risonante è un efficace strumento che
viene incontro all’esigenza di misurare il campo elettromagnetico in strutture che
non supportano campi stazionari, o che comunque vengono fatte lavorare sotto
condizioni di non risonanza.
La formula ricavata da C.W.Steele3 permette di calcolare il campo elettrico e il
campo magnetico in una cavità qualsivoglia –in linea di principio il dispositivo
potrebbe essere un risonatore, una guida d’onda o una linea di trasmissionemisurando la variazione del coefficiente di riflessione alla porta di ingresso
mentre un oggetto perturbante viene fatto scorrere lungo l'asse della cavità.
Le ipotesi che consentono questo tipo di misura sono:
-
L’energia non può entrare o uscire dalla cavità se non attraverso la porta
di test;
-
Solo un modo è presente alla porta di test;
-
La frequenza operativa è mantenuta costante durante la misura;
-
Le perdite avvengono dentro la cavità e i materiali usati sono lineari e
3 C. W. Steele “A Nonresonant Perturbation Theory”
33
isotropi;
-
La superficie di integrazione S è situata tra le pareti della cavità, eccetto
per la porta di test.
Figura 1 Cavità sotto misura
La figura 1 mostra una sezione trasversa della cavità sotto misura. Essa può avere
qualsiasi dimensione o forma e può essere con o senza perdite. La cavità, nella
trattazione seguente, è considerata come insieme del risonatore, del carico e della
guida d’onda che li connette.
La formulazione base di questa teoria è simile al teorema di reciprocità di Lorentz
e alla teoria sviluppata da Jaynes4 per calcolare la variazione dell’impedenza di
ingresso della cavità quando viene modificata. Grazie al teorema di reciprocità si
riesce a stabilire una relazione tra i campi perturbati e imperturbati presenti
internamente alla regione R (figura 1) e i campi alla superficie S che delimita la
regione suddetta. La trattazione di Steele consente di ricavare un'equazione che
collega la variazione del coefficiente di riflessione misurato alla bocca di ingresso
della struttura con il campo imperturbato nella posizione del perturbante.
Due campi elettromagnetici diversi sono considerati nella regione R: l’uno, in
assenza dell’oggetto perturbante, designato dalle componenti elettriche e
4 E. T. Jaynes “Application of reciprocity theorem to design of coupling system”
34
magnetiche
da
E0 e H 0 ; l’altro, in presenza dell’elemento perturbante, designato
. Questi due campi hanno la stessa frequenza.
Ee H
Definiamo il vettore
p :
−E
× H 0
p = E0 × H
nella regione R e sulla superficie S. Per prima cosa si deve relazionare
la superficie S a
(1)
p lungo
p nel volume attraverso il teorema della divergenza:
p dV
∫S n⋅p ds = ∫V ∇⋅
(2)
n è la normale alla superficie S rivolta verso l’esterno. Nei paragrafi
dove
seguenti, gli integrali in (2) sono sviluppati in una forma adatta alle misure
perturbative.
Consideriamo l’integrale al primo membro di (2). Supponiamo di dividere la
superficie S in due parti: S1, la parte che attraversa la guida d’onda alla porta di
ingresso; S2, la parte interamente contenuta nelle pareti della cavità. Assumiamo
che le pareti della cavità attenuino il campo elettromagnetico così efficacemente
che, sulla superficie S2 si abbia:
=H
= p = 0 .
E0 = H 0 = E
Perciò
∫S n⋅p ds = ∫S n⋅p ds
1
Sulla superficie S1, usando (1) si ha:
−n⋅
n⋅p =
n⋅ E0× H
E × H 0
35
(3)
n×E
⋅H 0
n⋅p = n× E0 ⋅H−
n⋅p = n× E0s ⋅H s−
n × Es ⋅H0s .
(4)
In (4), il pedice s denota le componenti del campo alla superficie piana S1.
Supponiamo che su S1, E0 e H 0 siano composti interamente da un singolo
modo in guida d’onda, e che
siano composti dello stesso modo in guida
Ee H
devono avere la stessa direzione,
d'onda. In ogni punto di S1, quindi, E0 e E
devono avere la stessa direzione. In una guida a singolo
come anche H 0 e H
su una sezione trasversa devono essere
modo, le componenti di campo
Ee H
perpendicolari
l’una
all’altra.
In
(4),
i
n × E0s e
n × Es sono
vettori
perpendicolari a E0s e E s , ma sono paralleli a H0s e H s . Perciò, (4) diviene
n⋅p = E s H 0s −E 0s H s
(5)
dove E0s, H0s, Es e Hs sono scalari. In generale, questi campi contengono onde
incidenti e riflesse attraverso la guida d’onda, e possono essere espressi come
E0s = (1 + S110)E0si
(6)
H0s = (1 - S110)H0si
(7)
Es = (1 + S11)Esi
(8)
Hs = (1 – S11)Hsi
(9)
dove S110 e S11 sono rispettivamente i coefficienti di riflessione alla porta S1 in
assenza e in presenza dell’oggetto perturbante. In queste equazioni il pedice i
denota l’onda incidente alla porta 1. Quando la (5) viene combinata con tali
equazioni e si nota che
Esi/Hsi = E0si/H0si ,
36
il risultato è
n⋅p = S11−S 110 E 0si H si E si H 0si
(10)
Le componenti del campo in (10) sono scelte in maniera da avere fase nulla sul
piano di riferimento S1, senza che ciò provochi una perdita di generalità.
in (10) sono
Dal teorema di Poynting e dal fatto che le componenti di
Ee H
perpendicolari l'una all'altra, si ha che
∫S1 E 0si H siE si H 0si ds = 2 P 0i Pi = 2P i
(11)
In (11) si è considerato P0i=Pi , dove P0i e Pi sono i livelli di potenza nelle onde
incidenti che passano attraverso S1, in assenza e in presenza dell'oggetto
rispettivamente.
Quando si combinano (3), (10), (11) il risultato è
∫S n⋅p ds = 2Pi S 11
.
(12)
Consideriamo ora il secondo membro di (2). Da (1)
p = ∇⋅
E × H
E
−∇⋅
× H 0 ,
∇⋅
0
che per mezzo di una identità vettoriale diventa
p = ∇
× E ⋅H
×H
×
× H ⋅E
− ∇
⋅E0 − ∇
∇⋅
E ⋅H 0 ∇
0
0
Quando le equazioni di Maxwell, date da
37
(13)
E
= − j H
∇×
e
H
=
∇×
i c j
E=
i c id =
it
sono sostituite dentro la (13), essa diventa
p = − j − H ⋅H
∇⋅
E⋅it0 − E0⋅i t
a
p
0
(14)
i c , id ,
i t sono rispettivamente le densità di corrente di conduzione,
dove
spostamento e totale.
Per il teorema di reciprocità di Lorentz si può affermare che nella regione R fuori
dall'oggetto perturbante si ha che
p = 0 ,
∇⋅
poiché in ogni punto di detta regione la conducibilità, la permittività e la
permeabilità sono le stesse con o senza l'oggetto perturbante. Come risultato si ha
p dv = ∫
∫V ∇⋅
V
p dv
∇⋅
p
(15)
dove V è il volume dell'intera regione R, e Vp è il volume occupato dall'elemento
perturbante.
Quando (2), (12), (14) e (15) vengono combinate, il risultato è
⋅it0 − E0⋅
] dv .
2P i S 11 = ∫Vp [ E
i t − j a − p H 0⋅H
38
(16)
Espressione in termini di momenti di dipolo elettrico e magnetico
Se l'oggetto perturbante è abbastanza piccolo rispetto alla lunghezza d'onda, il suo
campo di scattering consiste per intero della radiazione di un momento di dipolo
elettrico e momento di dipolo magnetico. Per un oggetto siffatto, il secondo
membro della (16) può essere sostituito con una espressione in termini di momenti
di dipolo.
Il primo passo della derivazione è mostrare che la variazione del coefficiente di
riflessione causata dall'elemento perturbante dipende dai momenti di dipolo
elettrico e magnetico che esso stabilisce, ma è indipendente dalle sue proprietà.
Combinando (3), (5) e (12) otteniamo
2P i S 11=∫S E s1 H 0s1 −E 0s1 H s1 ds
1
(17)
Ora, supponiamo che EΔs e HΔs siano le componenti del campo elettrico e
magnetico diffuse dall'elemento perturbante, che giacciono sul piano S1 che taglia
la guida d'onda d'ingresso. Allora
Es = EΔs + E0s
Hs = HΔs + H0s
e quando queste equazioni sono sostituite nella (17) il risultato è
2P i S 11 = ∫S E s H 0s−E 0s H s ds
1
(18)
Si possono esprimere EΔs e HΔs in termini dei momenti di dipolo elettrico e
, come
magnetico,
Pe M
39
C2⋅M
E s = C1⋅P
(19)
C4⋅M
H s = C3⋅P
(20)
In (19) e (20) i vettori C1 , C2 , C3 , C4 rappresentano l'accoppiamento tra i
momenti di dipolo e le componenti del campo nel piano S1.
Quando (18), (19) e (20) vengono combinate, il risultato è
2P i S 11 = k1⋅
P k2⋅M
(21)
dove
k1 = ∫S1 H 0s1 C1−E 0s1 C3 ds
(22)
k2 =
(23)
e
∫S1 H 0s1C2−E 01s C4 ds
Le equazioni (22) e (23) mostrano che k1 e k2 sono totalmente indipendenti
dall'oggetto perturbante. E' evidente dalla (21) che la variazione del coefficiente di
riflessione dipende dalle proprietà dell'oggetto perturbante solo nella misura in cui
esse influiscono sui momenti di dipolo elettrico e magnetico.
Per valutare
k1 , scegliamo un oggetto perturbante che consiste in due sfere
identiche separate l'una dall'altra e connesse da un filo fine, il tutto perfettamente
conduttore. La distanza tra le sfere è abbastanza grande rispetto al raggio. Poiché
il dispositivo è perfettamente conduttore, i campi elettrico e magnetico in sua
presenza, E e H, sono nulli al suo interno, col risultato che la (16) diventa
2P i S 11 = −∫Vp E0⋅
i t dv .
(24)
Poiché E0 è considerato uniforme attraverso lo spazio occupato dall'oggetto
40
perturbante, (24) diviene
2P i S 11 = − E0⋅∫Vp
i t dv = −E0⋅ I t l
(25)
dove It è la corrente totale che fluisce lungo il filo, e l è un vettore la cui
direzione è quella dell'oggetto perturbante e il cui modulo è la sua lunghezza. Se
Q è la carica di una delle sfere, allora
I t l = j Q l
e poiché
P = Q l ,
allora
.
I t l = j P
(26)
Combinando (25) e (26) otteniamo
.
2P i S 11 = − E0⋅ j P
(27)
Dal momento che il dipolo, agendo sotto un campo elettrico, produce un momento
magnetico nullo, è evidente confrontando (21) e (27) che
k1 = − j E0 .
Per valutare
k2
(28)
scegliamo un oggetto perturbante consistente in un anello di
filo perfettamente conduttore, potendo così ancora applicare la (24). Considerando
che It rappresenti la corrente totale nel filo, e assumendola costante su tutto
l'anello, la (24) diventa
41
.
2P i S 11 = −I t ∮ E0⋅dl
(29)
Il flusso magnetico Φ concatenato all'anello è dato da
= A 0 H 0⋅
n
n è il vettore normale al piano dell'anello, e A è l'area racchiusa da esso.
dove
Perciò
∮ E0⋅dl = − j = − j 0 A H 0⋅n
.
(30)
Combinando (29) e (30) otteniamo
2P i S 11 = − j 0 A H 0⋅
n
è dato da
e poiché il momento di dipolo magnetico M
= I t An ,
M
allora
H 0 .
2P i S 11 = − j 0 M⋅
(31)
Confrontando (21) e (31) osserviamo che
k2 = j 0 H 0 .
(32)
I valori di k1 e k2 mostrati in (28) e (32) sono completamente indipendenti
dall'oggetto perturbante. Quando questi valori sono sostituiti nella (21) il risultato
42
è
H 0 .
2Pi S 11 = − j E0⋅P −0 M⋅
(33)
Espressione in termini di polarizzabilità
Il concetto di polarizzabilità5 può essere applicato ad alcune classi di oggetti
perturbanti. Tali oggetti hanno la proprietà, nel momento in cui sono posti
all'interno di un campo elettrico variabile sinusoidalmente, di eccitare un
momento di dipolo elettrico ma nessun momento di dipolo magnetico. All'inverso,
se vengono posti in un campo magnetico variabile sinusoidalmente, eccitano un
momento di dipolo magnetico ma nessun momento di dipolo elettrico. Gli oggetti
perturbanti comunemente usati per le misure di campo hanno questa proprietà. Ci
sono due vantaggi ad usare il concetto di polarizzabilità connesso alle misure
perturbative di campo. Innanzitutto, la formulazione è più facilmente utilizzabile
della (16) o la (33). Secondariamente, permette di usare formule note in letteratura
per la polarizzabilità di vari oggetti perturbanti di diversa forma6.
I momenti di dipolo elettrico
= ∫
Vp
(polarizzazione) dV
e magnetico possono
essere espressi da
P = 0 [ e ]⋅E0
= [ m ]⋅H 0
M
dove αm e αe sono tensori di polarizzabilità. Quando queste equazioni sono
5 R. E. Collin “Field Theory of Guided Waves”
6 R. E. Collin op. cit.
43
sostituite nella (33), il risultato è
2P i S 11 = − j [0 E0⋅[e ]⋅E0−0 H 0⋅[m ]⋅H 0 ] .
(34)
In pratica è molto più semplice usare polarizzabilità scalari che tensori di
polarizzabilità. Ciò può essere fatto per una classe di oggetti perturbanti più
ristretta, e cioè quella composta da oggetti con simmetria di rotazione intorno a
una asse, simmetria rispetto a un piano normale all'asse, e polarizzabilità elettriche
e magnetiche scalari nella direzione dell'asse e ortogonale all'asse. Una
polarizzabilità è scalare se i campi elettrici e magnetici determinano un
corrispondente momento di dipolo elettrico e magnetico allineato al campo. Per
tali oggetti si trova facilmente che la (34) si riduce a
2P i S 11 = − j [0 e E 20−0 m H 20 ]
(35)
dove
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e E 0 = ep E 0 cos e en E 0 sin e = ep E 0z en E 0t
2
2
2
2
,
2
m H 0 = mp H 0 cos m mn H 0 sin m = mp H 0z mn H 0t .
(36)
(37)
Si ribadisce a proposito del concetto di polarizzabilità, che la formulazione
semplificata ora vista è valida limitatamente ad oggetti quali i dielettrici perfetti,
che hanno cioè gli elementi del tensore di polarizzazione indipendenti dalla
posizione e dal valore del campo elettrico. Nel caso il materiale sia anche
isotropo, è possibile pervenire in maniera semplice all'espressione della
polarizzabilità considerando che il campo dalle molecole del materiale sia
puramente dipolare; che i dipoli siano distribuiti uniformemente; che il loro
momento sia diretto parallelamente al campo esterno, e che i momenti delle varie
molecole siano uguali tra loro. Dalla relazione di Lorentz (dove E l è il campo
locale e
P l'intensità di polarizzazione, o momento di dipolo per unità di
44
volume)
P
E l =
E
3 0
dal momento che vale la relazione seguente (dove n è il numero di molecole per
unità di volume e la polarizzabilità unitaria):
P
P=n
p=n e El =n e
E
P=
30
n e
E =0
E =0 r −1
E
n e
1−
30
−1
e =3 0 r
n r 2
che è la relazione di Clausius-Mossotti7
Va sottolineato che la formula (35) vale solo se i campi elettrico e magnetico sono
polarizzati linearmente nel punto della perturbazione, altrimenti si deve ricorrere
alla formula più generale (34).
In (36) e (37), θe e θm sono gli angoli tra l'asse dell'oggetto perturbante e i campi
elettrici elettrici e magnetici impressi, rispettivamente. I termini αep, αen, αmp, e αmn
sono le polarizzabilità scalari, con αep e αmp presi paralleli all'asse dell'oggetto
perturbante, e αen e αmn presi normali all'asse.
Per separare le componenti del campo longitudinale e trasversale sono necessari
due oggetti di forma differente, ad esempio un cilindretto e un disco. Allo scopo di
determinare sia il campo magnetico che il campo elettrico, devono essere svolte
due successive misure usando rispettivamente l'oggetto magnetico e l'oggetto
dielettrico come perturbanti, allo stesso modo del caso risonante. Per questo
metodo non risonante, essendo più generale, non è importante se la cavità sia in
7 C. Mencuccini, V. Silvestrini “Fisica II Elettromagnetismo e Ottica”
45
risonanza o non lo sia8.
Teoria della misura perturbativa risonante9
Dal teorema di Boltzmann-Ehrenfest sappiamo che in un dispositivo privo di
perdite, operante in modo lineare e periodico, il prodotto tra energia e tempo di
periodo è invariante per deformazioni adiabatiche. Questo principio è stato
adattato alle cavità risonanti da Maclean10 nella forma:
UT = cost .
Che significa anche:
dU
dT
d
=−
=
,
U
T
dove ω=2πf. Se rappresentiamo una cavità come un circuito RLC, la frequenza
angolare di risonanza è ω=1/√LC, così che se C varia lentamente nel tempo di un
periodo (oscillazione adiabatica), ossia ∆C/C molto piccolo, si ha:
d
1 dC
=−
.
2 C
L'energia immagazzinata è data da:
8 H. Klein “Basic Concepts I” CERN-SOA
9 J. C. Slater “Microwave Electronics”
10 W. R. Maclean “The Resonator Action Theorem, Quarterly of Applied Mathematics”
46
(38)
U =
2
1
1 q0
CV 20 =
2
2 C
dove q0 è la massima carica nella capacità e V0 è la massima tensione del
capacitore. Per una variazione adiabatica di C:
dU
1 dC
=−
U
2 C
che confrontata con la (38) dà:
d dU
=
.
U
(39)
In una cavità in risonanza, l'energia immagazzinata nel campo elettrico e quella
immagazzinata nel campo magnetico sono uguali. Se si introduce una piccola
perturbazione nel volume della cavità, l'equilibrio tra energia elettrica e magnetica
viene rotto e la frequenza di risonanza subisce uno spostamento necessario a
ripristinarlo.
Vediamo come scrivere la (39) in maniera da poterla impiegare per le misure in
cavità. Scriviamo i campi imperturbati come segue (sono eccitati alla frequenza
ω0):
j t
j t
,
E0 e
e H 0 e
0
0
mentre per i campi perturbati scriviamo (eccitati alla frequenza ω):
47
e j t ,
e j t e
e j t = 0
M
D
E
P
B e j t = 0 H
= −1 H
0 r −1 E
eM
(oggetto
P=
0
r
dove
lineare,
omogeneo,
stazionario, isotropo, non dispersivo) sono le polarizzazioni elettrica e magnatica,
uguali ai corrispondenti momenti di dipolo per unità di volume.
Poiché si ha J = 0 , =0 , scriviamo così le equazioni di Maxwell:
H = ∂ E 0 = j E
∇×
0
0
0 0 0
∂t
E = − ∂ H 0 = − j H
∇×
0
0
0 0
0
∂t
Moltiplichiamo la prima equazione per
applichiamo l'identità
×H
= ∂D = jD
∇
∂t
E
= −∂B = − j
∇×
B .
∂t
E∗0 e la seconda per
H∗0 ,
×
a ×
a e sostituiamo i rotori
a⋅ ∇
b = ∇⋅
b b⋅ ∇×
dei campi imperturbati con le rispettive derivate nel tempo:
H
× E∗0 − j 0 0 H∗0⋅H
= j E∗0⋅D
∇⋅
∇⋅
E × H∗0 j 0 0 E∗0⋅
E = − j H∗0⋅
B .
Integrando sul volume della cavità e applicando il teorema della divergenza si
ottiene:
∯∂V H ×E∗0 ⋅d A − j 0 0∭V H∗0⋅H dV
48
dV
= j ∭V E∗0⋅D
∯∂V E × H∗0 ⋅d A j 0 0∭V E∗0⋅E dV
= − j ∭V H∗0⋅
B dV .
Gli integrali di superficie scompaiono perché rappresentano il flusso di un vettore
parallelo alla superficie di integrazione (per le condizioni al contorno).
Esplicitando i valori dei vettori di polarizzazione e magnetizzazione:
dV
dV = 0∭ E∗0⋅E
dV ∭ E∗0⋅
− 0 0∭V H∗0⋅H
P
V
V
∗
dV = − 0∭ H∗0⋅H
dV − ∭ H∗0⋅M
0 0∭V E0⋅E
dV .
V
V
Moltiplichiamo la prima per ω, la seconda per ω0, e le sommiamo facendo le
approssimazioni per un elevato fattore di merito (ω ω0≃ ω2) e per una pallina di
∗
E ≈∣E 0∣2 :
piccolo volume E0⋅
20 −2
2
=
∭V
P
∗
H∗0⋅M
E0⋅P−
dV
∭V ∣E 0∣ dV
2
=
∭V
P
∗
H∗0⋅M
E0⋅P−
dV
2U
≈2
(40)
0
La frequenza di risonanza si accresce se la perdita di volume nella cavità riguarda
una regione dove il campo magnetico è intenso, viceversa se il campo elettrico è
più intenso la frequenza decresce. Si può visualizzare questo comportamento
ricorrendo alla similitudine circuitale, se si identifica una perdita di induttanza
efficace dove il campo magnetico è elevato e un aumento della capacità efficace
dove il campo elettrico è elevato.
Se in una cavità pill-box introduciamo una perturbazione sotto forma di una
49
sferetta guidata lungo l'asse longitudinale, avvalendoci di11:
30 r −1
P = 0 r −1
E =
E0
r2
= −1 H
=
M
0
r
3 0 r −1
H 0
r 2
riscriviamo la (40):
3V −1
−1
= − P 0 r
∣E0∣2− 0 r
∣H 0∣2
4U
r 2
r 2
Pallina dielettrica con r=1
r −1
∣E0∣2
2 1
−4 r
∣E ∣
= −e 0
r 2 0 0 4U
4U
3
2
∣ E ∣
= −k SL 0
U
(41)
dove con αe si è indicata la polarizzabilità elettrica dell'oggetto perturbante.
Il kSL può essere calcolato usando una delle relazioni seguenti:
k SL
−1
∣ ∣ ∣E∣2
=
0 U
11 H. Klein “Basic Concepts I”
50
−1
tan S21 ∣E∣2
=
2Q L
U
.
Confronto tra le teorie
Maier e Slater12 hanno derivato formule che mostrano la variazione della
frequenza di risonanza risultante dall'uso di sferoidi schiacciati e allungati come
oggetti perturbanti. Le formule mostrano la variazione della frequenza in funzione
della dimensione e della forma di ognuno di questi oggetti per campi elettrici e
magnetici paralleli o normali al loro asse. Maier e Slater hanno fornito inoltre un
insieme di curve calcolate da queste formule. Ogni curva mostra come la
variazione della frequenza dipenda dalla forma dello sferoide quando questo
perturba un campo magnetico o elettrico parallelo o normale al suo asse. Gintzon 13
ripete sia le formule che le curve di Maier e Slater.
Usando le formule presentate in precedenza, si può calcolare la variazione del
coefficiente di riflessione che risulta quando un conduttore sferoidale viene usato
come perturbante nella tecnica non risonante. Per ogni combinazione di campi
elettrici e magnetici, nel punto della perturbazione, si può eseguire questo calcolo
in due modi. Il primo consiste nell'usare direttamente la (16). L'altro è usare (35),
(36), (37) e per le polarizzabilità αep, αen, αmp, e αmn, impiegare le formule fornite
da Collin. Ad ogni modo risulta che la quantità S11-S110 per la tecnica non risonante
varia linearmente con la quantità
(ω02 - ω2)/ ω02
per la tecnica risonante di Slater, con le variazioni della dimensione e della forma
dell'oggetto perturbante, e le variazioni della direzione e della intensità dei campi
elettrici e magnetici nel punto della perturbazione. Come risultato, le curve di
Maier e Slater per uno sferoide conduttore si applicano egualmente bene alla
tecnica della perturbazione non risonante.
12 L. C. Mayer Jr. e C. J. Slater “Field strenght measurements in resonant cavities”
13 E. L. Gintzon “Microwave Measurements”
51
Vediamo come dimostrare l'equivalenza delle teorie di Steele e Slater, nel caso di
strutture ad onda stazionaria, dove -come c'è da attendersi- le due teorie devono
convergere. Scriviamo la (35) in modulo considerando che le misure bead-pull per
noi significative vanno a perturbare solo il campo elettrico sull'asse longitudinale
della cavità:
P i∣ S 11∣ = 0 k ST ∣E∣2
k ST =
0 e
.
4
Sviluppiamo le grandezze |ΔS11| e δ come segue:
1−S 211i
Q0
∣ S 11∣ =
,
2 1Q L 2
=
f
f
− 0 ≃2
,
f0 f
0
valida in prossimità della risonanza. Sostituendole nella (42) si ha:
P wall Q0
= 0 k ST ∣E∣2 .
2
0 1Q
L
Essendo Q0 =
0 U
, si perviene a:
P wall
∣E∣2
= k ST
1Q L 2 .
0
U
Scriviamo così il fattore di scala dell'equazione di Slater:
52
(42)
k SL = k ST 1Q L
2
,
(43)
quindi si ottiene l'espressione cercata:
2
∣E ∣
= k SL
.
0
U
Ammesso di porsi in condizione di misura QLδ<<1, le costanti di scala delle
equazioni di Steele e Slater coincidono. Il grafico seguente mostra che la
condizione suddetta equivale a scegliere un oggetto perturbante tale che la
perturbazione sia dell'ordine delle decine di kHz.
Illustrazione 3: KST/KSL (teorico) al variare di β, per una cavità con fattore di
merito Q0=8000
53
Le misure vengono effettuate in una cavità cilindrica di cui conosciamo il fattore
|E|2/U e possiamo misurare il fattore di merito Q0, nonché il coefficiente di
riflessione S11, perturbato e imperturbato. La Δω/ω è la differenza percentuale tra
la frequenza di risonanza imperturbata e quella dovuta all'oggetto perturbante
posto al centro della pill-box.
Peraltro, nell'ipotesi suddetta QLδ<<1, che è necessaria per potersi riportare
all'espressione canonica della formula di Slater (valida nel caso di oggetto
perturbante di diametro molto inferiore alla lunghezza d'onda), si ha che la fase
del coefficiente di riflessione, pari a (la seconda uguaglianza viene dalla formula
di Steele):
= ∓
S11
si riduce al fattore costante
−arctan QL = − −2 E ,
2
2
−/2 (se delta è positivo) più una oscillazione che
caratterizza la misura perturbativa (tanto meno influente quanto più bassa è la
qualità della risonanza e tanto più vicini siamo alla frequenza di risonanza del
modo in esame). Del resto, se il campo elettrico assiale (il fasore) che stiamo
considerando è un vettore reale, la sua fase
E è nulla. L'unica maniera di
estendere la teoria non-risonante di Steele anche alle strutture ad onda stazionaria,
è porsi in condizioni di misura tali da rispettare il vincolo Q Lδ<<1, e tenere
presente l'errore di fase residuo insito nel metodo.
Ancora sul modello circuitale della cavità
Nel calcolo sviluppato al paragrafo precedente in cui siamo pervenuti alla formula
di Slater dalla formula di Steele, si è fatto uso implicitamente del modello
54
circuitale della cavità a singolo modo, nell'ipotesi che la frequenza di misura fosse
quella di risonanza della cavità imperturbata ω0. Abbiamo usato un'espressione
della variazione del coefficiente di riflessione all'ingresso del risonatore, che ora
scriviamo per intero servendoci dei concetti già delineati nel capitolo di
introduzione ai risonatori, usando una simbologia ad hoc parzialmente diversa da
da quella usata finora.
Avevamo visto che il coefficiente di riflessione alla porta uno è il seguente, nel
caso generale in cui siano presenti due guide d'onda accoppiate alla cavità:
Z tot
−1
Z0
−1−2 − jQ 0
S 11 =
= 1
Z tot
112 jQ 0
1
Z0
La variazione dello S11 legata alla presenza di un elemento perturbante all'interno
della cavità può così essere espressa, mettendoci nella situazione di misura ad una
frequenza ωmis diversa dalla risonanza imperturbata ω0 (i pedici “ris”, “p” e “u”
significano rispettivamente: risonanza, perturbato, imperturbato):
S 11,0=
=
1−2−1
121
mis ris , p
−
ris , p mis
0 =
mis ris ,u
−
ris ,u mis
55
usando tale notazione si perviene a:
S 11=S 11, p−S 11, u=
S 11,0− jQ L S 11,0− jQ L 0
−
1 jQ L
1 jQ L 0
(44)
=
jQ L 0−1S 11,0
1 jQ L 1 jQ L 0
Esplicitiamo modulo e fase:
∣ S 11∣=
QL 1S 11,0 ∣ 0−∣
1 Q 1 Q
2
L
S 21=
2
L
0
segno 0−−atan Q L −atan Q L 0
2
Tale relazione si riduce alla formula già nota dove la frequenza di misura sia
quella imperturbata ωris,u (prima anche menzionata come ω0), avendosi infatti
l'annullamento del termine di disaccordo in frequenza δ0:
mis = 0 S 11=
− jQ L
1S 11,0
1 jQ L
(45)
Analogamente procediamo per determinare la variazione del coefficiente di
trasmissione determinata dall'oggetto perturbante. Scriviamo prima:
56
S 21,0=
2 1 2
112
e riallacciandoci a quanto già visto nell'introduzione alle cavità risonanti:
S 21 =
2 1 2
.
112 jQ 0
Banalmente:
S 21=S 21, p−S 21,u=
S 21,0
S 21,0
jQ L S 21,0 0−
−
=
1 jQ L 1 jQ L 0 1 jQ L 1 jQ L 0
(46)
Esplicitiamo modulo e fase:
∣ S 21∣=
QL S 21,0∣ 0−∣
1 Q 1Q
2
L
S 21=
2
L
0
segno 0 −−atan Q L −atan Q L 0
2
Ancora una volta, ponendosi alla frequenza di risonanza imperturbata si ha:
mis =ris , u S 21=
− jQ L
S
1 jQ L 21,0
(47)
Come si constata facilmente confrontando (43) e (45), o (44) e (46), sussiste il
seguente legame:
57
S 21= S 11
S 21,0
2 1 2 112
= S 11
= S 11 2 ,
1S 11,0
112
2 1
1
(48)
equazione che, sostituita nella (35), ci permette di pervenire ad una formula di
Steele per le misure in trasmissione (si noti bene che la validità e ristretta alle sole
strutture risonanti):
2P i S 21 = − j
2
[0 e E 20−0 m H 20 ]
1
(49)
Vale la pena accennare che ricorrendo alla formula di Slater ed alla (46) si trova
ancora la (48) in modulo, scritta per le misure effettuate alla frequenza di
risonanza imperturbata (considerando l'approssimazione per QLδ<<1):
21≈− jQ L S 210 = − jQ 0
Q0 = 0
2 1 2
1122
U
U
= 0
= 0
P wall
P i 1−S 2110 −S 2210
P i
= 0
Pi
U
2 1
U
4 1
=
1122
,
2
112
dove si è espressa la potenza media dissipata in cavità come la potenza media
incidente (proveniente dal generatore) meno la somma della potenza riflessa alla
porta uno e di quella emessa nella guida due.
58
Dalla formula (40), considerando il campo uniforme nell'elemento perturbante:
V
=P
P
p
V
=M
M
p
H∗0
P⋅E∗0 − M⋅
≈
2 U
infine
2P i∣ S 21∣ = 0
2
H *0 .
P⋅E*0− M⋅
1
Legame tra coefficiente di trasmissione e campo elettrico per una
struttura priva di perdite
La matrice di scattering per una struttura 2-porte generica è così definita:
V -1=S 11 V 1+S 12 V +2
V -2 =S 21 V +1 S 22 V +2
dove S11 è il coefficiente di riflessione alla porta uno, definito se le guida d'onda
due viene terminata con un carico accordato. Consideriamo il caso di una struttura
2-porte priva di perdite. Per la conservazione dell'energia, la potenza entrante
nella struttura deve essere eguale alla potenza che ne esce:
∣V -1∣2∣V -2∣2=∣V +1∣2∣V +2∣2
59
2
2
n=1
n=1
∑∣V +n∣2 =∑ ∣V -n∣2 .
In altre parole, scegliendo arbitrariamente V2+=0:
2
∑ ∣S n1 V +1∣2=∣V +1∣2
n=1
S 11 S *11S 21 S *21=1
Se sviluppiamo i calcoli nella forma
2
2
n=1
n=1
∑∣S n1 V 1+S n2 V +2∣2=∑ S n1 V +1 S n2 V +2 S n1 V +1 S n2 V +2 *=∣V +1∣2∣V +2∣2
e considerando arbitrariamente
2
1. V1+=V2+
∑ S n1 S *n2S *n1 S n2 =0
n=1
2
2. V1+=jV2+ (V2+ reale)
∑ S n1 S *n2 −S *n1 S n2=0
n=1
e poiché entrambe V1+ e V2+ sono diversi da zero, perché le relazioni precedenti
valgano deve aversi
2
∑ S n1 S *n2=0
.
n=1
Sfruttiamo le relazioni precedenti e il fatto noto che per una giunzione reciproca si
ha S12=S21. Differenziando il coefficiente di riflessione S11,u=|S11,u|ejΦS11, si ha:
S 11=∣S 11∣ j∣S 11∣S11 e
j S11
In virtù della formula di Steele possiamo scrivere, accorpando in k la potenza
incidente:
60
S 11=k∣E∣2 e j2 =∣S 11∣ j∣S 11,u∣ S11 e j
S 11=k ∣E∣2 e j2 =∣S 22∣ j∣S 22,u∣ S22 e j
E
S11
E
S22
Eguagliando le fasi e sommando le espressioni precedenti, sfruttando la relazioni
tra le fasi valida a meno di costanti S21= S11S11 / 2 , si ottiene:
E =
S21 , u 1
∣S ∣ S11
∣S ∣ S22
atan 11,u
atan 22, u
2
4
∣S 11∣
∣S 22∣
,
relazione che lega la fase del campo alla fase del coefficiente di trasmissione
imperturbato più una funzione di S11 e S22. Differenziando S21,u=|S21,u|ejΦS21 e
prendendo il modulo:
∣S 11,u∣2
∣ S 21∣=
∣S 11∣2−∣S 21,u∣2 2 S21
2
1−∣S 11,u∣
=
∣S 11, u∣2
2
1−∣S 11,u∣
k 2∣E∣4 −∣S 11,u∣2 2 S11 −∣S 21,u∣2 2 S21
Esplicitando rispetto ad |E|2:
2
∣E∣ =
2
2
2
2
2
∣ S 21∣ S21 1−∣S 11, u∣ ∣S 11, u∣ S11
∣S 11,u∣2
1−∣S 11, u∣2
k 2∣S 11, u∣2
1−∣S 11,u∣2
= f 1 S 11 ∣ S 21∣ S21 1−∣S 11, u∣ f 2 S 11
2
2
2
che lega il modulo quadro di Ez al modulo della variazione del coefficiente di
trasmissione e alla variazione della fase di esso, e a due funzioni del coefficiente
61
di riflessione. Sfruttando la relazione
∣S 11∣= k 2∣E∣4−∣S 11, u∣2 2 S11 , si può
sostituire il valore ora trovato per |E|2 nella relazione di fase di E, e trovare così
un'espressione che rapporta la fase del campo: alla fase del coefficiente di
trasmissione imperturbato ΦS21,u, alla variazione della fase dello stesso ΔΦS21, e al
modulo |ΔS21|.
Il calcolo ora svolto era inteso a mostrare il legame tra campo elettrico e
coefficiente di trasmissione per una struttura priva di perdite, e quindi ideale. Le
formule trovate non hanno perciò un'applicazione pratica immediata nelle
strutture a microonde normalmente studiate, ma possono fornire indicazioni s
riscontro di ulteriori formule da sviluppare tenendo in conto i fattori di perdita. Ad
ogni modo, si possono ritenere una discreta approssimazione nel caso di strutture
superconduttrici.
62
Capitolo 3
Prove sperimentali
Il questo capitolo si riportano i dati commentati relativi alle esperienze
sperimentali seguite alla elaborazione teorica del problema e volte a verificare la
validità delle considerazioni viste finora.
Misure dei fattori di scala di Steele e di Slater
Le misure sono state svolte su un risonatore cilindrico (o pill-box) operante in
banda S, cioè alle frequenze intorno ai 3 Ghz. Nella prima misura sono stati
impiegati tre oggetti perturbanti dielettrici di dimensione diversa, ma scelti in
maniera da perturbare il solo campo elettrico in asse alla cavità. L'obiettivo della
prova era mettere in evidenza il legame (43) , che ripetiamo
2
k SL = k ST 1Q L .
I modi scelti per la misura sono i primi tre in ordine di frequenza di risonanza per
il risonatore suddetto: TM010, TM011, TM020. La misura perturbativa è stata eseguita
con il perturbante posto ad un quarto della lunghezza del risonatore, in tal modo
prendendo il massimo del campo per i modi TM010 e TM020, ma posizionandosi a
metà dell'ampiezza massima per il modo TM011. Tale scelta è stata dettata dalla
necessità di ottenere un effetto perturbante adeguato (proporzionale all'intensità
63
del campo elettrico) senza incappare in errori di misura legati alla vicinanza delle
pareti interne della cavità (effetti immagine), essendo il campo del TM 011 massimo
proprio in prossimità dei piatti di chiusura del risonatore. Il campo irradiato
dall'elemento perturbante verso le pareti conduttrici, sperimenta delle riflessioni.
Ai fini dell'analisi elettromagnetica, ponendosi in un punto di osservazione nella
cavità, è come se fossero presenti oltre alla sorgente reale, delle sorgenti virtuali dette immagini- che tengono in conto gli effetti di riflessione14.
Illustrazione 4: Rappresentazione degli effetti di immagine
dovuti alla presenza delle pareti del risonatore
Inoltre, il campo elettromagnetico presente in prossimità dei piatti di chiusura
sperimenta un distorsione dovuta alla prossimità delle antenne dei accoppiamento.
Le formule usate per ricavare i fattori di scala per le formule di Slater e Steele
sono le seguenti:
14 C. A. Balanis “Advanced Engineering Electromagnetics”
64
k SL =
k ST =
ris , u
∣E∣2
U
(1)
∣ S 11∣
1−∣S 11, u∣2 Q0
∣E∣2
U
dove si ha
= ris, u− ris , p :differenza tra frequenza di risonanza perturbata
e imperturbata
∣ S 11∣=∣S 11, p ris ,u −S 11, p ris , p ∣ :differenza tra il coefficiente di riflessione
perturbato, calcolato alla frequenza di risonanza imperturbata, e
lo stesso calcolato alla frequenza di risonzanza perturbata
∣S 11,u∣ : coefficiente di riflessione imperturbato calcolato alla frequenza
di risonanza imperturbata
∣E∣2
Il fattore
rappresenta il campo elettrico assiale normalizzato all'energia
U
media contenuta nel risonatore, ed è noto dalla letteratura:
|Ez|2/U
TM010
TM011
2
1,73923E+15 [V /J]
TM020
2
7,9610E+14 [V /J]
4,0486E+15 [V2/J]
Tabella 3: Modulo quadro del campo E assiale normalizzato all'energia
immagazzinata
Nelle illustrazioni seguenti è visibile l'andamento del coefficiente di riflessione
65
misurato alla bocca d'ingresso della cavità, nel caso di oggetto perturbante posto
come detto ad un quarto della lunghezza, operante nei modi TM 010,011,020. In rosso
il coefficiente imperturbato, in blu quello perturbato. Le immagini esemplificano
il comportamento per i tre oggetti perturbanti, per i quali si ha uno scostamento
Δω tra le frequenze di risonanza perturbata e imperturbata decrescente con le
dimensioni dell'oggetto (idealmente, al tendere dell'oggetto a un punto materiale
la perturbazione è nulla e il comportamento è quello della cavità scarica). Il dato
visivo si riflette nei dati numerici riportati in tabella 7.
Illustrazione 2: Modulo di S11 rispetto alla frequenza. Modo TM010
66
Illustrazione 3: Modulo di S11 rispetto alla frequenza. Modo TM011
Le misure sono state effettuate con l'oggetto nella posizione detta, ed esplorando
un intervallo di frequenze attorno alla frequenza di risonanza imperturbata, che sia
almeno ampio da contenere la curva di risonanza nella sua separazione massima
dalla posizione corrispondente ad oggetto fuori dalla cavità.
Illustrazione 4: Modulo di S11 rispetto alla frequenza. Modo TM020
Nella tabella 2 è riportato il risultato del calcolo dei fattori di Steele e Slater,
computati attraverso una routine numerica, che prende in ingresso
67
i dati
sperimentali e restituisce i valori dei fattori di merito, dei coefficienti di
accoppiamento guida-cavità e dei fattori di Steele e Slater secondo la (1). Tale
routine opera un'interpolazione con parametri liberi β, f0 e Q0 , usando come
funzione interpolatrice l'espressione del coefficiente di riflessione già vista:
S 11=
−1− jQ 0
.
1 jQ 0
Come si vede, per un oggetto perturbante via via più piccolo si ottiene una
migliore approssimazione tra i fattori di Steele e Slater. Idealmente, ci
attenderemmo una stabilità dei fattori di forma al variare del modo in cavità,
essendo il fattore di forma dipendente dalla geometria e dalle proprietà elettriche
del materiale di cui è fatto l'oggetto perturbante. Di ciò bisogna tenere conto nelle
misure delicate, dove si rende necessario ricalibrare l'oggetto perturbante.
Mod
o
kST(grande)
σ
kST(medio)
σ
kST(piccolo)
σ
1,6045E-20
7E-24
7,698E-21
2E-24
1E-22
1,909E-20
8E-23
1,006E-20
7E-23
TM02 2,4819E-20 3E-24
1,5959E-20
4E-24
7,265E-21
5E-24
TM01 2,4153E-20 6E-24
0
TM01
4,85E-20
1
0
Mod
o
kSL(grande)
kSL(medio)
kSL(piccolo)
TM01
5,066E-20
3E-23
1,9783E-20
8E-24
7,939E-21
4E-24
5,128E-20
7E-23
1,933E-20
3E-23
9,87E-21
4E-23
TM02 5,0869E-20 6E-24
1,9459E-20
3E-24
7,602E-21
7E-24
0
TM01
1
0
Tabella 4: Valori di kST e kSL per i modi TM010,011,020 e tre perturbanti diversi
68
Se moltiplichiamo i fattori di Steele per
1Q
L
2 , e calcoliamo la differenza
percentuale con il corrispondente fattore di Slater, otteniamo:
Oggetto grande
Modo
k St 1Q L 2
k Sl −k StCorr /k Sl
TM010
5,0279E-020
(0,75±0,09)%
TM011
5,0478E-020
(1,56±0,26)%
TM020
5,0358E-020
(1,00±0,02)%
Tabella 5: Fattore di Steele corretto e confronto con fattore di Slater (oggetto
grande)
Oggetto medio
Modo
k St 1Q L 2
k Sl −k StCorr /k Sl
TM010
1,9704E-20
(0,40±0,06)%
TM011
1,9202E-20
(0,66±0,45)%
TM020
1,9257E-20
(1,00±0,03)%
Tabella 6: Fattore di Steele corretto e confronto con fattore di Slater (oggetto
medio)
Oggetto piccolo
Modo
k St 1Q L 2
k Sl −k StCorr /k Sl
TM010
8,0066E-021
(-0,80±0,06)%
TM011
1.0079E-020
(1,98±0,79)%
TM020
7,5134E-021
(1,16±0,12)%
Tabella 7: Fattore di Steele corretto e confronto con fattore di Slater (oggetto
69
piccolo)
I fattori di merito “scarichi” (=unloaded), i coefficienti di accoppiamento e i
conseguenti fattori di merito “caricati” (=loaded) sono per i tre modi:
Modo
Q0
σ
β
σ
QL=Q0/(β+1)
σ
5
0,17615
0,0000
5
10359,2
4,3
TM011 8979,4 3,
1
0,26777
0,0000
7
7082,8
2,5
TM020 15198
2,5462
0,0006
4285,7
9,1
TM010 12184
3
Tabella 8: Fattori di merito e coefficienti di accoppiamento
Il termine di disaccordo =
f ris ,u f ris, p
−
viene di seguito riportato:
f ris , p f ris , u
Modo
δ(grande)
σ
δ(medio)
σ
δ(piccolo)
σ
TM010
1,762E-4
1E-7
6,882E-5
3E-8
2,762E-5
1E-8
TM011
4,082E-5
5E-8
1,539E-5
3E-8
7,858E-6
3E-8
TM020 4,1194E-4
5E-8
1,576E-4
3E-8
6,156E-5
5E-8
Tabella 9: Disaccordo di frequenza tra caso perturbato e imperturbato
In figura (4) sono illustrati i rapporti tra i fattori di forma visti in tabella 2
(rappresentati dagli asterischi), nonché gli andamenti teorici degli stessi rapporti
(rappresentati con tratto continuo) così ottenuti (considerando i fattori di merito di
tabella 3):
70
k ST
1
=
k SL 1Q L 2
Illustrazione 5: Rapporto KST/KSL rispetto a δ
E' evidente che tanto più basso è il fattore di merito caricato QL, tanto meglio si
approssimano i due fattori kSt e kSl per un intervallo di frequenze più esteso.
Come si evince dal grafico, il modello teorico ben approssima l'andamento
sperimentale specialmente per i modi TM010,020. Nel caso del TM011 con ogni
probabilità la discordanza è dovuta all'aver effettuato la misura non esattamente in
L/4, ma nelle vicinanze: ciò non costituisce un problema per i modi TM010,020,
perché nei due casi il campo elettrico assiale è costante, mentre essendo il campo
71
E assiale del TM011
E TM
z
011
= E 0 cos
z
L
la misura risulta affetta da un errore superiore. L'illustrazione 3 mostra infatti che
le curve relative ai diversi perturbanti sono quasi sovrapposte contrariamente agli
altri modi. Ciò porta a ritenere comunque accettabile l'andamento riscontrato in
virtù di un intervallo di confidenza più lasco.
Dulcis in fundo, possiamo considerare la controprova delle misure viste finora, e
della teoria che le supporta, attraverso il confronto tra il modulo quadro del campo
elettrico in asse al risonatore, ottenuto per via teorica, e la stessa grandezza
estrapolata dai dati sperimentali attraverso la formula:
∣E z∣2
∣ S 11∣
=
U
1−∣S 11,u∣2 Q0 k St
dove il modulo del ΔS11 è il risultato di cinque misure di Steele eseguite alla
frequenza di risonanza imperturbata, mentre i fattori restanti sono stati calcolati
numericamente attraverso l'interpolazione dei dati sperimentali raccolti in
precedenza, come sopra spiegato.
72
Illustrazione 6:
∣E z∣2
lungo l'asse z del risonatore, modo TM010
U
Illustrazione 7:
∣E z∣2
lungo l'asse z del risonatore, modo TM011
U
73
∣E z∣2
Illustrazione 8:
lungo l'asse z del risonatore, modo TM020
U
Oggetto grande
TM010
σ
TM011
1,7292E+15 4E+11 6,3852E+14
σ
TM020
σ
4E+11
4,0357E+15
1E+11
σ
TM020
σ
6E+11
4,0389E+15
8E+11
σ
TM020
σ
6E+11
3,4981E+15
3E+12
Oggetto medio
TM010
σ
TM011
1,6979E+15 2E+12 6,7859E+14
Oggetto piccolo
TM010
σ
0,0000E+00
1,399E+15 3E+15 4,426E+14
Tabella 10:
∣E∣2
di picco misurato per i tre oggetti perturbanti e i tre modi
U
TM010,011,020
Non dovrebbe stupire il dato lampante che vede il risultato teorico (linea nera
tratteggiata in alto nelle illustrazioni) sempre superare in ampiezza il campo
74
misurato, per qualsivoglia modo risonante. Infatti le condizioni ideali di
conducibilità del rame non sono riproducibili, di fatto; non vengono tenute in
conto le rugosità del materiale, le perdite da fessure nelle giunzioni dei diversi
elementi del risonatore, ed altre non idealità, le quali determinano ulteriori fattori
di perdita. Sorprende, al contrario, la grande variabilità del campo dovuta al
diverso elemento perturbante, cosa non prevista dalla teoria, ma in parte
immaginabile per le non idealità di cui si è detto. Si riscontra regolarmente il fatto
che le migliori approssimazioni della stima teorica sono ottenute con l'oggetto più
grande. In particolare, il risultato migliore si ha nel modo TM020. Per quantificare
quanto riscontrato, si riporta in tabella 9 lo scarto percentuale:
∣E∣2max ,teo ∣E∣2 max , mis
−
U
U
2
∣E∣ max ,teo
U
TM010
Grande
Medio
Piccolo
0,5%
3%
19%
TM011
Grande
Medio
Piccolo
20%
15%
44%
TM020
Grande
Medio
Piccolo
0,3%
0,2%
13%
∣E∣2
misurato e teorico (massimi) , per
U
tre modi TM010,011,020 e i tre perturbanti
Tabella 11: Differenza in percento tra
75
Misure effettuate al variare dell'accoppiamento β
In un secondo tempo sono state effettuate delle misure di S 11 come sopra descritto,
ma facendo variare l'entità dell'accoppiamento β, cosa che può essere conseguita
variando la lunghezza delle antennine di “pin coupling”, o come nel caso presente,
facendo ruotare l'antenna nel foro di accesso alla cavità, intorno a una delle due
viti di fissaggio, mentre l'altra è stata rimossa. Dove non si riusciva ad ottenere
una sufficiente escursione del β si è ricorsi allo spostamento dell'antenna su un
altro dei fori di accesso praticati sui piatti di chiusura del risonatore. Quello che ci
attendiamo da questa misura è che i fattori di merito Q0 e i fattori di disaccordo in
frequenza δ siano costanti al variare dell'accoppiamento. Di seguito si riportano i
dati tabellati, ricavati per interpolazione del coefficiente di riflessione, come
prima spiegato.
Oggetto piccolo:
76
TM010
β
δ
KST
KST(corr)
KSL
TM011
β
δ
TM020
KST
KST(corr)
KSL
β
δ
KST
KST(corr)
KSL
6,5293E-21
0,1759
1,7016
6,7205E-21
2,3627E-5
5,5951E-6
6,7923E-21
6,9466E-21
6,9478E-21
7,0281E-21
2,4319
5,2655E-5
6,282E-21
6,4493E-21
6,5027E-21
6,0389E-21
0,1521
2.9986
6,1963E-21
2,1823E-5
4,2237E-6
6,2736E-21
5,1476E-21
5,1478E-21
5,3055E-21
1,2866
5,1833E-5
6,0179E-21
6,36E-21
6,4012E-21
5,9758E-21
0,1151
2,4284
6,1402E-21
2,1721E-5
4,8973E-6
6,2444E-21
6.076E-21
6.0765E-21
6,1516E-21
1,0214
5,2344E-5
5,9559E-21
6,3926E-21
6,4644E-21
6,3049E-21
0,8969
0,9112
6,3687E-21
2,2246E-5
5,3879E-6
6,3952E-21
6,1793E-21
6,1813E-21
6,7678E-21
1,7908
5,2004E-5
6,1184E-21
6,3566E-21
6,4224E-21
6,6034E-21
0,7684
1,9782
6,687E-21
2,3327E-5
5,0204E-6
6,706E-21
6,1173E-21
6.118E-21
6,3062E-21
1,1651
5,2412E-5
6,0396E-21
6,429E-21
6,4727E-21
Tabella 12: δ e fattori di Steele e Slater al variare dell'accoppiamento β, oggetto
piccolo
Fattore di merito scarico Q0
β
TM010
β
TM011
β
TM020
0,1759
12134
1,7016
8975,3
2,4319
15142
0,1522
12135
2,9986
9033,7
1,2866
15085
0,1151
12125
2,4284
9011,8
1,0214
15055
0,8969
12161
0,9112
9042,1
1,7908
15120
0,7684
12099
1,9782
9064
1,1651
15071
-------
15095±36
x ±
--------
12131±22
--------
9025±34
Tabella 13: Fattori di merito Q0 al variare dell'accoppiamento β, oggetto piccolo
77
Illustrazione 9:δ al variare di β , oggetto piccolo
Illustrazione 10: KST/KSL al variare di β ,oggetto piccolo
78
Come si evince dall'illustrazione 9 le previsioni sulla costanza di δ al variare
dell'accoppiamento sono sostanzialmente rispettate, per quanto nel modo TM010 si
sia riscontrata una variabilità maggiore, fatto comunque da ricondurre al
particolare set di misura.
Nell'illustrazione 10 è stato riportato il rappresentato il rapporto tra i fattori di
forma di Steele e Slater, per i vari modi considerati (oggetto piccolo). Come
atteso, al crescere dell'accoppiamento il rapporto KST/KSL
tende all'unità,
diminuendo il fattore QLδ, pari a Q0δ/(β+1), in virtù della formula già menzionata
K ST /K SL =1/ 1Q L 2 . In particolare, questo vale quanto più conta il fattore
di merito rispetto al δ, cioè per i modi più perturbati: infatti tanto più il fattore di
disaccordo δ dalla risonanza imperturbata è “piccolo”, tanto meno conta un
oscillazione del fattore di merito caricato QL in un intorno di valori con eguale
ordine di grandezza. Ciò dovrebbe essere indicato da una pendenza più accentuata
delle rette di regressione, rappresentate con tratteggio grossolano in figura,
corrispondenti ai modi TM010,020, che, come è evidente da tabella 10 e illustrazione
9, sono maggiormente perturbati del modo TM011. Sempre dall'illustrazione 9 si
può apprezzare la maggiore dispersione del misurando nel modo TM011 rispetto
agli altri casi.
79
Oggetto medio:
Fattore di merito scarico Q0
β
TM010
β
TM011
β
TM020
0,8048
12109
0,0756
8973
6,5515
15232
0,1242
12191
0,2484
8951,5
0,6558
15150
0,1696
12181
0,1672
8952
2,4398
15176
0,1016
12151
2,0481
9074,4
21,2510
17031
1,0187
12098
0,9606
9003,7
10,1190
16415
-------
15801±870
x ±
--------
12146±42
--------
8991±51
Tabella 14: Fattori di merito Q0 al variare dell'accoppiamento β, oggetto medio
Si noti la maggiore dispersione dei valori del fattore di merito scarico, ottenuto
per interpolazione del coefficiente di riflessione, come sopra spiegato, rispetto alle
misure effettuate con il perturbante più piccolo, particolarmente per il modo
TM020,
questo
probabilmente
in
ragione
della
forte
condizione
di
“sovraccoppiamento” (accoppiamento maggiore di uno) che determina una
perturbazione del campo in cavità più pesante che negli altri casi; comunque, in
linea teorica, per definizione ci aspetteremmo che a variare fosse il fattore di
merito QL e non quello scarico Q0.
80
TM010
β
δ
KST
KST(corr)
KSL
TM011
β
δ
KST
KST(corr)
KSL
TM020
β
δ
KST
KST(corr)
KSL
1,7947E-20
0,8048
0,0756
1,9775E-20
6,8955E-5
1,0979E-5
1,9823E-20
3,4432E-21
3,4476E-21
1,3791E-20
6,5515
1,5203E-4
1,7059E-20
1,7843E-20
1,8775E-20
1,2967E-20
0,1242
0,2484
1,6044E-20
6,7194E-5
1,1906E-5
1,9317E-20
1,4628E-20
1,4681E-20
1,4955E-20
0,6558
1,5532E-4
1,0737E-20
1,8657E-20
1,9181E-20
1,3961E-20
0,1696
0,1672
1,6954E-20
6,6162E-5
1,3785E-5
1,902E-20
1,6294E-20
1,6385E-20
1,7315E-20
2,4398
1,5595E-4
1,5719E-20
1,9081E-20
1,9259E-20
1,4824E-20
0,1016
2,0481
1,8381E-20
6,6468E-5
1,5812E-5
1,9108E-20
1,9448E-20
1,9470E-20
1,9861E-20
21,251
1,5452E-4
1,6545E-20
1,6660E-20
1,9082E-20
1,7963E-20
1,0187
0,9606
1,9376E-20
6,7473E-5
1,3621E-5
1,9397E-20
1,6732E-20
1,6764E-20
1,7110E-20
10,119
1,5135E-4
1,7038E-20
1,7458E-20
1,8691E-20
Tabella 15: δ e fattori di Steele e Slater al variare dell'accoppiamento β, oggetto
medio
Nei grafici seguenti si riportano ancora, come per l'oggetto piccolo, gli andamenti
del fattore di disaccordo δ e del rapporto tra i fattori di forma di Steele e Slater al
variare dell'accoppiamento β.
81
Illustrazione 11: δ al variare di β , oggetto medio, modi TM010,011
Illustrazione 15: δ al variare di β , oggetto medio, modo TM020
82
Illustrazione 16: KST/KSL al variare di β ,oggetto medio, modi TM010,011
Illustrazione 17: KST/KSL al variare di β ,oggetto medio, modo TM020
Ancora una volta si riscontra la costanza del fattore δ al variare delle condizioni di
83
accoppiamento e in specie da fig. 12 si attesta che il valore oscilla intorno a
1,54E-4 con una deviazione standard di 0,2E-4, per un intervallo di
accoppiamento esteso da 0 a 20. Da fig. 14 si può apprezzare l'andamento del
rapporto dei fattori di forma, calcolati tramite interpolazione e confrontarlo con
l'andamento teorico (rappresentato dal tratteggio fine),
1Q L −1/ 2 . Come si
è già accennato commentando i dati di tabella 12, al crescere di beta l'andamento
misurato tende a staccarsi da quello teorico, visti i fattori di merito molto più
elevati per i due valori di accoppiamento più alti.
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Capitolo 4
Conclusioni
Lo scopo della tesi era stabilire l'applicabilità della teoria della perturbazione di
Steele, impiegata precipuamente nella caratterizzazione di strutture incapaci di
supportare pattern stazionari, o fatte lavorare volutamente lontano dalla
condizione di risonanza, nelle quali non trova applicazione la teoria di Slater della
perturbazione risonante. La ratio di siffatto studio è la possibilità di ricorrere ad
una teoria unificata che abbia maggiore generalità rispetto alla collaudata tecnica
di misura basata sulla teoria di Slater, in vista della caratterizzazione rigorosa di
strutture ibride, per metà risonanti e per metà ad onda viaggiante, studiate dal
gruppo di lavoro composto da ricercatori dell'Università “La Sapienza” di Roma e
dei Laboratori Nazionali di Fisica Nucleare, I.N.F.N di Frascati (RM), e
coordinato dal Prof. Luigi Palumbo. Quello che il lavoro teorico svolto ha
mostrato è l'equivalenza delle teorie di Steele e Slater nell'ambito di strutture
risonanti, a patto di considerare impurità perturbanti di piccola entità. Attraverso il
modello di risonanza RLC, si è ricavata una formula di Steele che prevede la
misura del coefficiente di trasmissione in luogo del coefficiente di riflessione, per
poter svolgere misure in trasmissione in cavità risonanti. Tra gli sviluppi futuri ci
sarà da compiere una trattazione elettromagnetica per ottenere un'estensione di
detta formula alle strutture ad onda viaggiante, cosa che prevedibilmente
necessiterà il ricorso ad uno studio che passi attraverso un metodo per relazionare
i campi nel volume della struttura a quelli sulla superficie che racchiude detto
volume, diverso dal teorema di reciprocità, usato da Steele nella sua
dimostrazione. Le misure sperimentali hanno mostrato la convergenza dei fattori
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di Steele e Slater che ci attendevamo, al diminuire delle dimensioni dell'oggetto
perturbante, anche se la calibrazioni degli oggetti di piccola dimensione, per la
misura di Steele si dimostra piuttosto delicata, in virtù della maggiore rumorosità.
In particolare, le misure di Steele svolte su un risonatore cilindrico hanno
evidenziato che le migliori approssimazioni del valore teorico del campo elettrico
in asse alla cavità si ottengono con gli oggetti perturbanti più grandi, segno che il
rumore inficia la calibrazione del perturbante e con ogni probabilità la stessa
misura in riflessione di Steele. Alla luce di questo assume ancora maggiore
rilevanza la possibilità di sfruttare una tecnica risonante e non-risonante per
svolgere misure in trasmissione.
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Ringraziamenti
Desidero ringraziare il mio relatore, Prof. Luigi Palumbo, per la possibilità di
svolgere questo lavoro, nonché il Dott. Andrea Mostacci, mio correlatore, e il
Dott. Luca Ficcandenti per la preziosa attenzione prestatami. Ringrazio anche il
Dott. David Alesini per il suo interessamento.
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