Trasporto attraverso giunzioni estese tra stati di bordo dell`effetto

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Università degli Studi di Genova
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea Specialistica in Fisica
Trasporto attraverso giunzioni estese
tra stati di bordo
dell’effetto Hall quantistico frazionario
Tesi di Laurea Specialistica in Fisica
Sessione di laurea: 29 Settembre 2011
Anno Accademico 2010-2011
Candidato: Giacomo Dolcetto
Relatore:
Prof. Maura Sassetti
Dr. Alessandro Braggio
Correlatore:
Prof. Franco Napoli
2
Indice
Introduzione
5
1 Effetto Hall
1.1 Sistemi elettronici bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Effetto Hall classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elettroni liberi in due dimensioni in campo magnetico
1.2.2 Elettroni vincolati su una barretta Hall . . . . . . . .
1.3 Effetto Hall quantistico intero . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 I livelli di Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Gauge di Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Gauge simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Stati di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Quantizzazione della conduttanza . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Impurezze e disordine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Effetto Hall quantistico frazionario . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Teoria di Laughlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Eccitazioni elementari: quasi-particelle e quasi-buche .
1.4.3 Analogia di plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Statistiche quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Proprietà statistiche delle eccitazioni del fluido Hall .
2 Gli
2.1
2.2
2.3
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9
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11
12
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14
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18
22
24
26
30
31
32
33
34
37
stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
Approccio idrodinamico per la sequenza di Laughlin . . . . . . .
Bosonizzazione dei campi nella sequenza di Laughlin . . . . . . .
Calcolo del propagatore per le eccitazioni cariche di bassa energia
2.3.1 Caso di temperatura nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Caso di temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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53
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63
63
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3 Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
3.1 La probabilità di tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 La corrente di backscattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Principio di bilancio dettagliato per tunneling puntuale . . . . .
3.2.2 Corrente nel limite Ql V kB T . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Corrente nel limite Ql V kB T . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Esperimenti nella geometria di quantum point contact . . . . . . . . . .
3.3.1 Il gruppo di F. Beltram NEST di Pisa . . . . . . . . . . . . . . .
3
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4
INDICE
3.3.2
Il gruppo di M. Heiblum del Weizmann Institute di Israele
4 Trasporto attraverso giunzioni estese
4.1 Ampiezza di tunneling locale . . . . . . . . . . . .
4.2 Probabilità di tunneling attraverso giunzioni estese
4.3 Corrente di backscattering . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Giunzioni estese a temperatura nulla . . . . . . . .
4.5 Giunzioni estese a temperatura finita . . . . . . . .
4.5.1 La conduttanza in regime lineare . . . . . .
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67
69
73
76
80
83
87
A Quantizzazione del campo bosonico di edge
93
B Rate di tunneling puntuale
97
C Principio di bilancio dettagliato per tunneling attraverso una giunzione
estesa
99
Conclusioni
101
Introduzione
Uno dei campi più interessanti e più studiati negli ultimi trent’anni in fisica della materia
condensata è l’effetto Hall quantistico. Questo fenomeno si presenta in sistemi elettronici di dimensionalità ridotta, nei quali emergono su scala macroscopica comportamenti
quantistici della materia. La ricerca teorica in questo settore è stata accompagnata da un
crescente sviluppo tecnologico nel campo dei semiconduttori e ciò ha permesso di osservare
tale fenomeno con sempre maggiore precisione e maggior livello di dettaglio.
L’effetto Hall quantistico si manifesta infatti in un gas elettronico confinato in due dimensioni, tipicamente all’interfaccia di un’eterogiunzione a semiconduttore, soggetto ad
un campo magnetico perpendicolare al piano sul quale si muovono gli elettroni. La natura
quantistica di tale fenomeno emerge per campi magnetici intensi (dell’ordine del Tesla) e
temperature molto basse (al di sotto del Kelvin), e si manifesta nella quantizzazione della
resistenza trasversa, detta resistenza Hall, e nel simultaneo annullamento della resistenza
longitudinale. Da una trattazione quantistica del sistema si dimostra che la presenza di un
campo magnetico perpendicolare al gas bidimensionale ha l’effetto di quantizzare i livelli
energetici in modo simile a quanto avviene nel caso di un oscillatore armonico. Tali livelli
energetici prendono il nome di livelli di Landau e presentano tutti la stessa degenerazione.
Introducendo il filling factor ν, pari al rapporto tra il numero di elettroni del sistema
e la degenerazione dei livelli di Landau, si osserva che la conduttanza trasversa assume
valori multipli interi del quanto di conduttanza elementare in corrispondenza di valori
interi di filling factor. L’effetto Hall quantistico intero può essere compreso attraverso una
trattazione quantistica di un sistema di elettroni non interagenti. Il primo ad osservare
sperimentalmente questo fenomeno fu K. von Klitzing nel 1980 e per questa sua scoperta
fu insignito del premio Nobel per la fisica nel 1985. Due anni più tardi D. C. Tsui e H.
L. Stormer osservarono comportamenti analoghi della resistenza per particolari valori di
filling factor frazionari. Questo comportamento, che costituisce l’effetto Hall quantistico
frazionario, non può essere compreso attraverso una trattazione ad elettroni non interagenti. Trattare il problema di elettroni interagenti soggetti a campo magnetico è tuttavia un
problema intrinsecamente a molti corpi di difficile soluzione. Un primo approccio teorico a
questo fenomeno fu dato da R. Laughlin, che nel 1983 propose una soluzione del problema
in termini di una funzione d’onda variazionale, per la particolare sequenza di filling factor
ν = 1/(2m + 1), con m ∈ N, detta appunto sequenza di Laughlin. Sia gli scopritori D.
C. Tsui e H. L. Stormer sia R. Laughlin ricevettero il premio Nobel per la fisica nel 1998.
Successivamente J. K. Jain, attraverso una generalizzazione della teoria di R. Laughlin,
riuscı̀ a descrivere teoricamente l’effetto Hall quantistico frazionario anche per altri valori
di filling factor.
La conseguenza più importante della teoria sviluppata per l’effetto Hall quantistico frazionario è la comparsa di eccitazioni elementari a carica frazionaria e proprietà di statistica
5
6
Introduzione
non riconducibili nè alla statistica di Bose-Einstein nè a quella di Fermi-Dirac. All’interno
della barretta Hall queste eccitazioni presentano un gap energetico per la loro creazione,
per cui nel bulk il sistema si comporta, a basse energie, come un fluido incompressibile.
Le uniche eccitazioni gapless si trovano in corrispondenza dei bordi del sistema, sui quali
possono esistere quasi-particelle con le stesse proprietà di carica e statistica delle eccitazioni di bulk ma con costi energetici di creazione infinitesimi. Una descrizione sistematica
delle proprietà delle eccitazioni di bulk e di edge nei sistemi Hall è stata proposta da X. G.
Wen attraverso teorie di campo efficaci basate sulla teoria di Chern-Simons. Le proprietà
peculiari degli stati di edge possono altresı̀ essere ben descritte attraverso il cosiddetto approccio idrodinamico, in cui il sistema è visto come un fluido incompressibile le cui uniche
eccitazioni sono deformazioni al bordo, che si identificano proprio con gli stati di edge. Le
eccitazioni di bordo vengono descritte in termini di una teoria bosonica per sistemi elettronici interagenti in una dimensione, nota come teoria di Tomonaga-Luttinger. Inoltre la
presenza del campo magnetico esterno vincola il verso della velocità di propagazione delle
eccitazioni sui bordi, per cui gli stati di edge dell’effetto Hall quantistico frazionario sono
descritti come liquidi di Luttinger chirali.
Le proprietà di trasporto di tali sistemi differiscono sostanzialmente dai sistemi descritti dalla teoria a liquido di Fermi, è quindi importante verificare la bontà delle predizioni
teoriche attraverso misure di trasporto. In questo senso una delle configurazioni sperimentali maggiormente utilizzate per effettuare misure di questo tipo nei sistemi Hall è quella
del cosiddetto quantum point contact. In questa geometria i bordi del sistema vengono
avvicinati attraverso l’accensione di un potenziale di gate esterno, permettendo eventi di
tunneling da un bordo all’altro. Per via della chiralità delle eccitazioni sui bordi, gli eventi
di tunneling attraverso il quantum point contact si manifestano macroscopicamente in una
diminuzione della corrente trasmessa. Le misure sperimentali delle proprietà di trasporto
possono cosı̀ essere confrontate con gli andamenti teorici attesi per i liquidi di Luttinger
chirali, al fine di testare la bontà delle previsioni teoriche. Da queste misure si può inoltre
risalire alle proprietà di carica e statistica delle eccitazioni.
In questo lavoro di tesi ci siamo occupati di descrivere le proprietà di trasporto degli
stati di edge dell’effetto Hall quantistico frazionario per la sequenza di Laughlin, generalizzando i risultati noti nel caso di tunneling attraverso un quantum point contact al caso,
più realistico, di tunneling attraverso giunzioni estese.
Questa generalizzazione vuole andare oltre l’ipotesi troppo riduttiva secondo la quale gli
edge interagiscono solamente attraverso un punto ben preciso del sistema. Attraverso
l’accensione di un potenziale di gate i due edge, inizialmente disaccoppiati, sono posti in
comunicazione, permettendo eventi di tunneling. Questa situazione è schematizzata introducendo un’hamiltoniana di tunneling che permette l’interazione tra i bordi non solo
in un punto ben preciso all’interno del quantum point contact, ma in una regione estesa
spazialmente. Utilizzando un approccio di tipo perturbativo nell’hamiltoniana di tunneling siamo riusciti ad ottenere gli andamenti teorici attesi per la corrente di tunneling
in funzione della differenza di potenziale applicata tra gli edge e della temperatura, in
relazione alle scale di energia intrinseche del sistema, in un regime in cui la corrente di
tunneling costituisce una piccola correzione alla corrente trasmessa. Abbiamo dimostrato
che la natura estesa della giunzione si manifesta in una rinormalizzazione dell’ampiezza di
tunneling efficace; se questa è una costante nel caso di interazione puntuale tra gli edge,
Introduzione
7
nel caso di giunzioni estese essa acquista una dipendenza dal voltaggio e dalla temperatura. Questa rinormalizzazione si ripercuote in un andamento anomalo della corrente
di tunneling rispetto al caso puntuale, che potrebbe spiegare alcuni risultati sperimentali
anomali, non interpretabili attraverso una teoria di tunneling puntuale “nuda”.
Il lavoro di tesi è suddiviso in quattro capitoli.
Nel Capitolo 1 vengono descritti i dispositivi grazie ai quali è possibile creare il gas elettronico bidimensionale. Il gas bidimensionale di elettroni soggetto ad un campo magnetico
esterno viene studiato dapprima da un punto di vista classico, quindi da un punto di vista quantistico. Ciò permette di descrivere l’effetto Hall quantistico intero. Viene quindi
ripercorso l’approccio variazionale di R. Laughlin per descrivere le peculiarità dell’effetto
Hall quantistico frazionario, come la formazione di eccitazioni a carica e statistica frazionaria.
Nel Capitolo 2 viene introdotto il formalismo necessario a descrivere gli stati di edge dell’effetto Hall quantistico frazionario in termini di liquidi di Luttinger chirali. L’approccio
idrodinamico, la bosonizzazione dei campi e la forma del propagatore elettronico in sistemi
correlati sono analizzati in dettaglio.
Il Capitolo 3 è dedicato allo studio delle proprietà di trasporto nella geometria di quantum point contact nel regime di debole tunneling per la sequenza di Laughlin. Il calcolo
della corrente di tunneling è svolto dettagliatamente. L’andamento teorico atteso è in
contrasto col modello a liquido di Fermi, a riprova della forte correlazione presente nel sistema. Vengono inoltre discussi alcuni importanti esperimenti nella geometria di quantum
point contact.
Nel Capitolo 4 sono presentati i risultati più originali di questo lavoro di tesi. In esso
vengono generalizzati i risultati ottenuti nella geometria di quantum point contact per la
sequenza di Laughlin, assumendo che gli edge possano interagire attraverso una regione
estesa spazialmente. Si calcola la corrente di tunneling sotto queste ipotesi e si dimostra
che la natura estesa della giunzione si manifesta nella rinormalizzazione dell’ampiezza di
tunneling. La dipendenza dell’ampiezza efficace e della corrente di tunneling in funzione
della differenza di potenziale applicata tra gli edge e della temperatura viene discussa nel
dettaglio. I risultati relativi all’analisi del tunneling attraverso giunzioni estese a temperatura finita sono nuovi nel panorama dei lavori esistenti sulla tematica e costituiscono
una parte del tutto originale del lavoro di tesi.
8
Introduzione
Capitolo 1
Effetto Hall
In questo Capitolo descriveremo un sistema di elettroni non interagenti liberi di muoversi
in due direzioni spaziali, soggetti ad un campo magnetico. La fisica di questo sistema si
inquadra nell’ambito dell’effetto Hall. Cominceremo descrivendo come sia possibile creare
un gas elettronico bidimensionale (2DEG). Alla descrizione classica del sistema seguirà
quindi la descrizione quantistica, che ci porterà ad introdurre la fisica dell’effetto Hall
quantistico intero (IQHE) e frazionario (FQHE) [1, 2].
1.1
Sistemi elettronici bidimensionali
I progressi nello studio della fisica dell’effetto Hall sono intimamente legati allo sviluppo
tecnologico che ha reso possibile la realizzazione di gas elettronici bidimensionali. Per
creare questi sistemi vengono utilizzati principalmente dispositivi a semiconduttore. Il
primo esperimento in cui venne osservata la formazione di un gas elettronico bidimensionale sfruttava un MOSFET al silicio [3]. L’abbandono di questi dispositivi in favore di
eterogiunzioni a semiconduttore [4] fu dovuto alla necessità di trovare di materiali più puri
e con maggiori mobilità elettroniche che permettessero di osservare la ricca fenomenologia
dell’effetto Hall. Nel seguito descriveremo in che modo queste strutture riescano a confinare il moto elettronico dando vita al 2DEG.
Consideriamo l’eterogiunzione più studiata ed utilizzata, quella tra GaAs e Alx Ga1−x As,
con x che varia tra 0 e 1. Il gap tra banda di conduzione e banda di valenza nel Alx Ga1−x As
aumenta con la percentuale di alluminio presente, mentre la struttura reticolare rimane
pressoché immutata garantendo la presenza di pochissime impurezze dovute a difetti reticolari all’interfaccia. Un diagramma delle bande dei due materiali è mostrato in Fig.
1.1(a). Consideriamo cosa accade quando mettiamo in contatto un semiconduttore GaAs
drogato p con un semiconduttore Alx Ga1−x As drogato n [5]. Lo squilibrio nella distribuzione di carica all’interfaccia dell’eterogiunzione causa un moto diffusivo di cariche da
un semiconduttore all’altro, fino al raggiungimento di un unico livello di Fermi. Nei pressi della giunzione restano una regione carica negativa, dovuta alla presenza di accettori
ionizzati non neutralizzati, ed una regione carica positiva, dovuta alla presenza di donatori ionizzati non neutralizzati. Si crea cosı̀ un potenziale che modifica il profilo delle
bande. La situzione energetica all’equilibrio è riportata in Fig. 1.1(b). In questo modo
nelle immediate vicinanze dell’interfaccia, dal lato drogato p, si viene a creare una buca
di potenziale molto sottile. Se il livello di Fermi cade all’interno della buca esistono degli
9
10
Effetto Hall
Figura 1.1: (a) Schema dell’energia di banda per GaAs e Alx Ga1−x As. (b) Eterogiunzione:
all’equilibrio si raggiunge un unico livello di Fermi del sistema, le bande si piegano e
all’interfaccia può formarsi il 2DEG.
elettroni di conduzione all’interfaccia.
L’estensione ridotta di questa buca di potenziale produce effetti di quantizzazione. Se
consideriamo che la giunzione si formi nel piano xy, il potenziale prodotto dalla buca sarà
funzione della sola variabile z. L’equazione di Schrödinger per un elettrone con massa
efficace me all’interno della buca è data da
~2 2
−
∇ + V (z) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z),
(1.1)
2me
dove con V (z) indico il potenziale della buca. L’equazione si risolve per separazione di
variabili ponendo ψ(x, y, z) = ξ(x, y)ϕ(z) con un ansatz ad onda piana nel piano xy
ξ(x, y) ∝ eikx x eiky y .
Inserendo questa funzione d’onda in Eq. (1.1) si ottiene
2
~
2
2
2
k + ky − ∂z + V (z) ξ(x, y)ϕ(z) = Eξ(x, y)ϕ(z).
2me x
(1.2)
(1.3)
La separazione di variabili permette di trovare un’equazione unidimensionale per ϕ(z)
~2 2
∂ + V (z) ϕ(z) = i ϕ(z),
(1.4)
−
2me z
1.2 Effetto Hall classico
11
con i livelli energetici i discretizzati dal potenziale generato dalla buca e determinati dalla
forma analitica del potenziale. Gli autovalori energetici in 1.1 sono quindi
Ei (kx , ky ) =
~2
kx2 + ky2 + i .
2me
(1.5)
Nel piano xy il gas di elettroni può muoversi liberamente, mentre risulta confinato nella
direzione ẑ. Se l’energia di Fermi cade tra il primo e il secondo livello energetico discretizzato, a patto che la separazione tra i livelli sia molto maggiore delle altre scale energetiche
del sistema che tendono ad allargare e sovrapporre i diversi livelli, il gas può considerarsi completamente confinato lungo l’asse ẑ. In questo modo è possibile creare un gas di
elettroni bidimensionale.
1.2
Effetto Hall classico
L’effetto Hall classico è noto fin dal 1879 quando Hall mostrò che la resistenza trasversa
RH di un sottile strato metallico, comunemente chiamato barretta Hall, varia linearmente
con l’intensità di un campo magnetico perpendicolarmente allo strato [6]. Per comprendere
questo effetto è sufficiente utilizzare il modello di Drude per il trasporto diffusivo [5, 7, 8].
Nel seguito si considerano gli elettroni di carica −e e massa efficace me vincolati a muoversi
~ orientato lungo l’asse ẑ.
nel piano xy e il campo magnetico B
1.2.1
Elettroni liberi in due dimensioni in campo magnetico
Per cominciare consideriamo un sistema di N elettroni liberi di muoversi nel piano xy
e soggetti ad un campo magnetico esterno diretto lungo ẑ. Il sistema è descritto dalla
lagrangiana1
N h
i
X
e
me
L=
ẋi 2 + y˙i 2 − (Ax ẋi + Ay y˙i ) ,
(1.6)
2
c
i=1
~ = (Ax , Ay , Az ) è il potenziale vettore e c è la velocità della luce. Per riprodurre un
dove A
campo magnetico di intensità B diretto nella sola direzione ẑ occorre esplicitare il gauge;
scegliendo ad esempio quello simmetrico
~ = B (−y, x, 0)
A
2
(1.7)
la lagrangiana diventa
L=
N X
me
i=1
2
2
ẋi + y˙i
2
eB
−
(−yi ẋi + xi y˙i ) ,
2c
(1.8)
da cui è immediato ricavare le equazioni di Eulero-Lagrange
ẍi = −
1
eB
y˙i ;
me c
Adotto le unità di misura del sistema cgs.
y¨i =
eB
ẋi .
me c
(1.9)
12
Effetto Hall
Si noti come emerga in maniera naturale una frequenza caratteristica del sistema, detta
frequenza di ciclotrone
eB
.
(1.10)
ωc =
me c
La soluzione generale delle equazioni del moto è
xi (t) = Xi + ri cos (ωc t + δi ) ,
yi (t) = Yi + ri sin (ωc t + δi ) ,
(1.11)
ossia un moto circolare di raggio ri , che dipende dalla velocità della particella, con velocità
angolare ωc attorno al centro Ri = (Xi , Yi ). Un elettrone vincolato a muoversi in un piano,
in assenza di campo elettrico e soggetto ad un campo magnetico si muove quindi su piani
~ percorrendo orbite circolari, risultato ben noto dalla fisica
normali alla direzione di B
classica.
1.2.2
Elettroni vincolati su una barretta Hall
Consideriamo adesso il sistema appena discusso soggetto, oltre che ad un campo magnetico
diretto lungo ẑ, anche ad un campo elettrico, che assumo diretto lungo x̂. Inoltre consideriamo gli elettroni vincolati all’interno di una barretta Hall di dimensioni Lx e Ly . Il
sistema è schematizzato in Fig. 1.2. L’equazione del moto per gli elettroni che si muovono
Figura 1.2: Rappresentazione schematica della barretta Hall. Gli elettroni risentono di
un campo magnetico orientato lungo l’asse ẑ e di un campo elettrico lungo l’asse x̂. La
forza di Lorentz causa un accumulo di carica sui bordi del campione diretti lungo l’asse
x̂. All’equilibrio il campo elettrico prodotto da tale distribuzione di carica si oppone
completamente alla forza di Lorentz, col risultato che la componente jy della densità di
corrente è nulla.
~ e al campo magnetico
nel piano con momento p~ = (px , py ) soggetti al campo elettrico E
~ è
B
!
~
d~
p
p
~
∧
B
p~
~+
= −e E
− .
(1.12)
dt
me c
τ
Con τ si intende il tempo di rilassamento che dà il tempo medio di scattering tra un
urto e il successivo. I primi due termini nel membro di destra di Eq. (1.12) si riferiscono
1.2 Effetto Hall classico
13
alla forza di deriva e alla forza di Lorentz, mentre l’ultimo è una tipica forza viscosa
proporzionale alla velocità che nel modello di Drude a tempo di rilassamento tiene conto
dei diversi processi di scattering degli elettroni. Questi sono riconducibili alle impurezze,
all’interazione con i fononi e all’interazione tra gli elettroni stessi. Introducendo la densità
di corrente
~j = − ene p~
(1.13)
me
p
ed in condizioni stazionarie d~
dt = 0, l’Eq. (1.12) si può riscrivere
eB
me
eB
me
jx +
Ey =
jy −
τ jy ,
τ jx ,
Ex =
ne e 2 τ
me c
ne e2 τ
me c
(1.14)
dove ne = N/Lx Ly è la densità elettronica bidimensionale. In assenza di campo magnetico
la densità di corrente è parallela al campo elettrico e sussistono le relazioni
~ = ρ0~j;
E
~
~j = σ0 E,
dove la resistività
ρ0 =
(1.15)
me
ne e 2 τ
(1.16)
e il suo inverso, la conducibilità σ0 = ρ−1
0 , sono le costanti di proporzionalità tra campo
elettrico e densità di corrente.
In presenza di un campo magnetico le cariche risentono della forza di Lorentz e la densità
di corrente non è più parallela al campo elettrico; si crea una densità di corrente trasversa
che tende ad accumulare cariche sui bordi del campione fino al raggiungimento di una
situazione di equilibrio tra la forza elettrica che viene generata da questa distribuzione
di cariche e la forza di Lorentz. Non è più possibile legare campo elettrico e densità di
corrente attraverso un numero e si rende necessario introdurre un tensore di resistività
ρxx ρxy
ρ=
(1.17)
ρyx ρyy
e analogamente un tensore di conducibilità
σxx σxy
σ=
,
σyx σyy
(1.18)
inverso del tensore di resistività nel senso matriciale σij = ρ−1
Per confronto diretto con Eq. (1.14) si ottiene
ρ = ρ0
1
−ωc τ
ωc τ
1
me
ne e2 τ
− nB
e ec
=
B
ne ec
me
ne e2 τ
ij
.
!
.
(1.19)
Si può quindi identificare una resistività longitudinale
ρL ≡ ρxx =
m
ne e 2 τ
(1.20)
ed una resistività trasversa, detta resistività Hall,
ρH ≡ ρxy =
B
ne ec
(1.21)
14
Effetto Hall
lineare nel campo magnetico.
Negli esperimenti si parla non tanto di quantità locali come la resistività e la conducibilità,
ma di quantità globali facilmente misurabili come la resistenza e la conduttanza. Queste
sono in generale legate alle quantità locali da leggi di scala: dalla seconda legge di Ohm
si ha R = ρL/S, con L lunghezza del conduttore e S la sua sezione. Per un conduttore
d-dimensionale la sezione scala dimensionalmente come [L]d−1 , per cui da un punto di
vista dimensionale resistenza e resistività sono legate dalla relazione [9]
[R] ∼ [ρ][L]2−d .
(1.22)
Si vede subito come il caso d = 2, che stiamo considerando, sia particolare: infatti parlare
di resistività o di resistenza è equivalente. In realtà queste due grandezze sono legate da
un fattore geometrico adimensionale f (Lx /Ly ); esso sarà funzione delle lunghezze caratteristiche del sistema per cui in generale si avrà R = f (Lx /Ly )ρ.
Per una barra Hall di dimensioni Lx e Ly la resistenza longitudinale e la resistenza Hall
sono date da
Lx
Lx me
B
RL ≡
ρxx =
,
RH ≡ ρH =
.
(1.23)
2
Ly
Ly ne e τ
ne ec
Quindi la resistenza longitudinale dipende dalla geometria del sistema, la resistenza Hall
è invece universale. Nel caso di campione puro, in cui cioè non si ha scattering, si ha
τ → ∞ e quindi RL → 0. Inoltre, dalla definizione di conducibilità, si ha che in questo
limite anche σxx risulta essere nulla. Si noti che RL non permette di determinare il segno
dei portatori, dipendendo quadraticamente dalla carica, mentre RH permette di discriminare tra cariche positive e negative; lo scopo di E. H. Hall nel 1879 era proprio riuscire a
ricavare il segno dei portatori con misure di resistenza trasversa.
1.3
Effetto Hall quantistico intero
Nel 1980 K. von Klitzing [10], facendo misure di effetto Hall con campi magnetici intensi
(da 3 T a 10 T) a basse temperature (' 1.5 K), osservò un andamento anomalo della resistenza Hall in funzione del campo magnetico. Fu la prima osservazione sperimentalmente
di effetti quantistici nella fisica dell’effetto Hall.
L’andamento lineare previsto dalla trattazione classica delle sezioni precedenti viene completamente disatteso. Si osserva invece una quantizzazione della resistenza Hall, in cui i
valori dei plateaux sono determinati da
RH =
1 h
,
n e2
n ∈ N,
(1.24)
in termini del numero naturale n, in corrispondenza dei quali si osserva anche la caduta a
zero della resistenza longitudinale (Fig. 1.3). Entrambi questi andamenti anomali possono
essere spiegati attraverso una trattazione quantistica del sistema.
1.3.1
I livelli di Landau
Consideriamo ora il sistema delle sezioni precedenti non più dal punto di vista classico
ma trattandolo quantisticamente. L’hamiltoniana per una particella in campo magnetico
1.3 Effetto Hall quantistico intero
15
Figura 1.3: Effetto Hall quantistico intero: Struttura a plateaux secondo la sequenza (1.24)
della resistenza Hall e corrispondente caduta a zero della resistenza longitudinale. Tratto
da [11]
è ottenuta da quella di particella libera attraverso una ovvia sostituzione [12], in cui si
~ = p~ + e A(~
~ r)
scrive il momento cinetico nella sua forma gauge-invariante Π
c
~ r),
~ = p~ + e A(~
p~ 7−→ Π
c
H0 7−→ H =
Π2
2me
=
2
~ r)
p~ + ec A(~
2me
.
(1.25)
Il momento cinetico, proprio perché invariante di gauge, ha significato fisico ed è legato
alla velocità della particella
~ r)
Π(~
~r˙ =
.
(1.26)
me
Si noti che, poiché il potenziale vettore dipende dalla posizione, l’hamiltoniana in presenza di campo magnetico non è più invariante per traslazioni spaziali e conseguentemente il
momento p~ coniugato a ~r non è più una quantità conservata. Per condurre una trattazione quantistica del sistema occorre imporre le condizioni di commutazione standard sugli
operatori di momento e posizione
[x, px ] = [y, py ] = i~
[x, y] = [px , py ] = [x, py ] = [y, px ] = 0;
(1.27)
queste si traducono nelle relazioni di commutazione per il momento gauge-invariante
e~ ∂Ay
∂Ax
[Πx , Πx ] = [Πy , Πy ] = 0,
[Πx , Πy ] = −i
−
.
(1.28)
c
∂x
∂y
La scelta di gauge non influenza le parentesi di commutazione
r
e~
~2
~c
[Πx , Πy ] = −i B = −i 2 ,
lB =
,
c
eB
lB
(1.29)
16
Effetto Hall
dove è stata introdotta la scala di lunghezza fondamentale del sistema, la lunghezza
magnetica lB . Per trovare lo spettro energetico è conveniente introdurre gli operatori
scaletta


lB
~
†
†


Πx = √2lB (a + a )
a = √2~ (Πx + iΠy )
⇔
.
(1.30)


Πy = √i~ (a − a† )
 a = √lB (Π − iΠ )
x
y
2l
2~
B
Sostituendo queste relazioni nella (1.25) si riesce a quantizzare l’hamiltoniana in modo
simile a quanto accade nel caso di un oscillatore armonico unidimensionale
H = ~ωc
1
a a+
2
†
.
(1.31)
Autostati dell’hamiltoniana di singola particella sono quindi gli stati con numero d’occupazione definito {|ni}; gli operatori scaletta agiscono su questi stati con le regole
usuali
a|0i = 0,
a†
|ni = √ |0i,
n!
a|ni =
√
n|n − 1i,
a† |ni =
√
n + 1|n + 1i.
(1.32)
Lo spettro energetico {n } è quindi dato da
1
;
n = ~ωc n +
2
(1.33)
questi livelli energetici prendono il nome di livelli di Landau (LL).
Si nota subito che i livelli di Landau sono degeneri. Infatti una particella in due dimensioni
presenta due gradi di libertà, che nella descrizione quantistica sono associati a due distinti
numeri quantici; poiché l’hamiltoniana di Eq. (1.31) dipende dal solo numero quantico di
occupazione n, risulta che tutti gli stati con n fissato e secondo numero quantico diverso
hanno la stessa energia. Per descrivere pienamente il sistema occorre individuare questo
secondo numero quantico.
Nelle prossime sezioni verranno discussi separatamente il gauge di Landau e il gauge
simmetrico. Vedremo che la scelta del gauge porta ad individuare il secondo numero
quantico necessario a descrivere pienamente il sistema e influenza la forma analitica delle
funzioni d’onda, lasciando immutato lo spettro energetico.
1.3.2
Gauge di Landau
Nel caso in cui si scelga il gauge di Landau
AL (~r) = (−By, 0, 0)
(1.34)
si può individuare il secondo numero quantico nella componente lungo x̂ del momento.
L’hamiltoniana in questo caso diventa
1
HL =
2me
eB 2
1 2
px −
y +
p
c
2me y
(1.35)
1.3 Effetto Hall quantistico intero
17
ed essendo indipendente dalla coordinata x risulta che px = ~k è una quantità conservata.
Imponendo condizioni periodiche lungo x̂ si ottiene la discretizzazione del momento k
k=
2π
m,
Lx
(1.36)
con m intero. Le funzioni d’onda del sistema saranno quindi del tipo
eikx
ψn,k (x, y) = √ ϕn,k (y),
Lx
(1.37)
con forma tipo onda piana lungo x̂. Inserendo la (1.37) nella (1.35) si ha
"
#
p2y
1
2
2 2
+ me ωc y − klB
ϕn,k (y) = n ϕn,k (y),
2me 2
(1.38)
che corrisponde all’equazione di Schrödinger per un oscillatore armonico unidimensionale
2 . Le soluzioni sono
con centro in ȳk = klB
ϕn,k (y) = Hn
y − ȳk
lB
−
e
(y−ȳk )2
4l2
B
,
(1.39)
con Hn (y) i polinomi di Hermite.
La soluzione generale (1.37) risulta quindi localizzata lungo ŷ e delocalizzata lungo x̂. La
distanza tra due centri dell’oscillatore con momenti adiacenti vale
∆y = ȳk+1 − ȳk =
2
2
2πlB
2πlB
(m + 1 − m) =
.
Lx
Lx
(1.40)
Poiché si ha completa delocalizzazione lungo la direzione x̂, si può attribuire ad ogni stato
una superficie efficace occupata
2
σ = ∆yLx = 2πlB
.
(1.41)
Con questi ragionamenti è anche possibile calcolare la degenerazione di ogni livello di
Landau. Per la direzione ŷ si considerano come stati accessibili solo quelli descritti da
2 all’interno della barretta Hall, ossia
funzioni con il centro dell’oscillatore ȳk = klB
2
< Ly .
0 < klB
(1.42)
Questa relazione, insieme alla quantizzazione (1.36), porta alla relazione
0<m<
Lx Ly
2 .
2πlB
(1.43)
Tutti gli stati appartenenti allo stesso livello di Landau n e con diverso numero quantico
m hanno la stessa energia, per cui la degenerazione di ogni livello di Landau risulta pari
al numero di valori ammissibili per m, ossia
Ndeg = mmax =
Lx Ly
2 .
2πlB
(1.44)
18
Effetto Hall
Riprendendo l’Eq. (1.44) per la degenerazione di ogni livello di Landau, si può riscrivere
Ndeg =
Lx Ly
Lx Ly B
φ
,
=
=
2
2
φ0
2πlB
2πlB B
(1.45)
in cui φ rappresenta il flusso del campo magnetico attraverso tutto il campione e
2
φ0 = 2πlB
B=
hc
e
(1.46)
definisce il quanto elementare di flusso. Il rapporto tra il numero di elettroni N del sistema
e la degenerazione di ogni livello di Landau
ν=
ne hc
N
=
Ndeg
eB
(1.47)
definisce il filling factor, quantità che come vedremo è fondamentale per la descrizione del
sistema. Il filling factor descrive l’occupazione dei livelli di Landau: indicando con [ν]
la parte intera di ν, si ha che i primi [ν] livelli di Landau sono completamente occupati,
mentre il livello ([ν] + 1)-esimo risulta parzialmente occupato con (ν − [ν]) Ndeg elettroni.
Quando ν ∈ N i primi ν livelli sono completamente occupati mentre il (ν + 1)-esimo è completamente vuoto; se si vuole aggiungere un elettrone al sistema occorre superare un gap di
creazione dato dalla differenza energetica tra l’ultimo livello pieno e il primo vuoto, pari a
~ωc . Ciò significa che per valori interi del filling factor il sistema è di fatto incompressibile.
1.3.3
Gauge simmetrico
Nel caso del gauge simmetrico
B
AS (~r) = (−y, x, 0),
2
1
HS =
2me
"
eBy
px −
2
2
#
eBx 2
+ py +
2
(1.48)
non è immediato scegliere un secondo numero quantico con il quale completare la descrizione del sistema. A tale scopo si può procedere analogamente a quanto fatto per il
momento gauge-invariante, definendo l’operatore che chiameremo di pseudo-momento
~ = p~ − e A(~
~ r);
Φ
c
(1.49)
tale operatore non ha senso fisico, poiché dipende dalla scelta del gauge, e ci aspettiamo
quindi che non compaia nella scrittura di osservabili fisiche.
~ eΦ
~ possiamo riscrivere
In termini di Π
p~ =
~ +Φ
~
Π
,
2
~ r)
~ −Φ
~
A(~
Π
=
.
c
2e
(1.50)
La scelta del gauge simmetrico assicura che valgano le parentesi di commutazione
[Πx , Φx ] = [Πy , Φy ] = [Πx , Φy ] = [Πy , Φx ] = 0
[Φx , Φy ] = i
~2
2 .
lB
(1.51)
1.3 Effetto Hall quantistico intero
19
Sempre seguendo quanto fatto precedentemente, si possono definire dei nuovi operatori
scaletta


lB
~
†
†


b = √2~ (Φx + iΦy )
Φx = √2lB (b + b )
⇔
.
(1.52)


 b = √lB (Φ − iΦ )
Φy = √i~ (b − b† )
x
y
2l
2~
B
Le relazioni di commutazione (1.51) si traducono nelle relazioni
[a, a† ] = [b, b† ] = 1,
[a, b] = [a† , b] = [a, b† ] = [a† , b† ] = 0
(1.53)
dalle quali risulta che gli operatori scaletta appena introdotti commutano con l’hamiltoniana (1.31). Come all’operatore a† a abbiamo associato il numero quantico n attraverso la
relazione a† a|ni = n|ni, possiamo fare lo stesso per associare il secondo numero quantico
m all’operatore b† b attraverso la relazione b† b|mi = m|mi. Possiamo quindi descrivere
il sistema attraverso questi due numeri quantici; in particolare lo stato quantistico del
sistema risulta scrivibile come prodotto tensore dei due vettori
|n, mi = |ni ⊗ |mi
(1.54)
HS |n, mi = n |n, mi
(1.55)
con energia
e degenerazione in m, con n, m ∈ N. Gli operatori scaletta agiscono sulla base di autostati
√
√
b|n, mi = m|n, m − 1i,
b† |n, mi = m + 1|n, m + 1i
(1.56)
ed è quindi possibile definire tutti gli stati a partire dal livello fondamentale
n † m
b
a†
√
|0, 0i,
a|0, mi = 0,
b|n, 0i = 0.
|n, mi = √
n!
m!
(1.57)
Volendo ricavare le funzioni d’onda hx, y|n, mi, è necessario riscrivere le (1.57) come
equazioni differenziali. Ricordando le varie relazioni tra operatori, si può ad esempio
riscrivere
√ lB
lB
lB h
e
e i
x − iy
px + Ax − i py + Ay = −i 2
,
a = √ (Πx −iΠy ) = √
(∂x − i∂y ) +
c
c
2
4lB
2~
2~
(1.58)
dove nell’ultimo passaggio è stata esplicitata la scelta del gauge simmetrico. E’ conveniente
passare dalle due coordinate cartesiane x e y alla coordinata complessa z



z = x − iy
x = z+z̄


2


 z̄ = x + iy

y = i z−z̄
2
.
(1.59)
∂x +i∂y ⇔
∂
=
∂
=
∂
+
∂¯


x


2


∂¯ = ∂x −i∂y
¯
∂y = −i(∂ − ∂)
2
In questo modo si può scrivere
a|0, mi = 0 ⇒
z
+ lB ∂¯ φ0,m (z, z̄) = 0
4lB
(1.60)
20
Effetto Hall
che ammette la soluzione generale
φ0,m (z, z̄) = f (z)e
−
|z|2
4l2
B
,
(1.61)
¯ (z) = 0. In pratica la soluzione
dove f (z) è una qualsiasi funzione analitica, ossia tale che ∂f
non è completamente determinata proprio per via di questa arbitrarietà, connessa alla
libertà che abbiamo, per ora, sul secondo numero quantico m. Seguendo quanto fatto in
(1.58) si possono riscrivere tutti gli operatori scaletta in rappresentazione posizione nella
coordinata complessa

√ z
¯


√
2
+
l
∂
a
=
−i

B

z = i√2lB (a − b† )


4l∗B


√


 a† = i 2 z − lB ∂
z̄ = i 2lB (b − a† )
4lB
⇔
(1.62)
√
∗
∂ = 2√i2l (b + a† ) .


b = −i 2 4lz B + lB ∂


B



 ∂¯ = √i (a + b† )

√ 
2 2lB
 b† = i 2 z − lB ∂¯
4lB
A questo punto si può risolvere
b|n, 0i = 0 ⇒
z̄
+ lB ∂ φn,0 (z, z̄) = 0,
4lB
(1.63)
che ammette la soluzione generale
−
φn,0 (z, z̄) = g(z̄)e
|z|2
4l2
B
,
(1.64)
dove g(z̄) è una qualsiasi funzione antianalitica, ossia tale che ∂g(z̄) = 0. Nuovamente,
esiste un’arbitrarietà legata al non aver fissato il numero quantico n. Tuttavia si è ottenuto
che φ0,0 (z, z̄) deve rispettare
−
φ0,0 (z, z̄) ∼ e
|z|2
4l2
B
,
(1.65)
con un prefattore che deve essere sia analitico, da Eq. (1.61), sia antianalitico, da
Eq. (1.64), il che implica che il prefattore consiste semplicemente di una costante di
normalizzazione
|z|2
− 2
1
φ0,0 (z, z̄) = q
(1.66)
e 4lB .
2
2πlB
Da questa è possibile ricavare tutte le funzioni d’onda hz, z̄|n, mi applicando l’Eq. (1.57)
in rappresentazione posizione. Per quel che riguarda le funzioni d’onda del livello fondamentale n = 0 si ha
2
2
b†
φ0,m (z, z̄) = √
m!
=
φ0,0
i
√
2lB
√
m − |z|
2
2m
z
e 4lB
¯
q
= √
− lB ∂
4lB
2
m!
2πlB
m
im
1
m
q
z e
2 m!
2πlB
−
|z|2
4l2
B
.
(1.67)
1.3 Effetto Hall quantistico intero
21
Si noti che il numero quantico m è associato al momento angolare
L = xpy − ypx = −i~(x∂y − y∂x ).
(1.68)
Quest’ultimo può essere riscritto in termini degli operatori scaletta sfruttando le relazioni
(1.59) e (1.62)
L = −i~(x∂y − y∂x ) = ~(z̄ ∂¯ − z∂)
= ~ b† b − a† a .
(1.69)
E’ cosı̀ possibile dimostrare che
L|n, mi = ~(m − n)|n, mi.
(1.70)
Si può inoltre verificare che la distribuzione√di probabilità |φn,m |2 risulta molto piccata
all’interno di una circonferenza di raggio lB 2m. Se si considera un campione di forma
circolare con raggio R, si ottiene un vincolo sul valore massimo che può assumere m; tale
valore è determinato dal requisito
√
lB 2m ≤ R.
(1.71)
Ciò corrisponde ad un vincolo sul valore massimo che può assumere il numero quantico m
m≤
R2
2 .
2lB
(1.72)
Ogni LL avrà quindi degenerazione pari a
Ndeg = mmax =
φ
πR2 B
R2
=
=
,
2
2
φ0
2lB
2πlB B
(1.73)
pari a Eq. (1.45), come ovvio essendo la differenza tra le due valutazioni riconducibili
ad una differente scelta di gauge. Allo stesso modo, essendo ne = N/(πR2 ) la densità
elettronica bidimensionale del campione circolare, il filling factor vale
ν=
N
N
ne hc
2
=
2πlB
=
,
2
Ndeg
πR
eB
(1.74)
in accordo con Eq. (1.47).
Invertendo quest’ultima relazione si scopre che si può riscrivere la resistenza Hall in termini
del filling factor
B
1 h
RH =
=
.
(1.75)
ne ec
ν e2
La fisica del sistema non è influenzata dalla scelta del gauge ed uno dei risultati più
rilevanti a cui siamo giunti è che la resistenza Hall può essere scritta come
RH =
1 h
ν e2
(1.76)
in termini del filling factor ν. Si noti però che questa relazione permette di comprendere
il risultato sperimentale riportato in (1.24) solo per valori interi del filling factor, ossia
solo quando si abbia a che fare con un LL completamente occupato e il successivo LL
22
Effetto Hall
completamente vuoto. Vedremo che per comprendere pienamente la quantizzazione della
resistenza Hall e la caduta a zero della resistenza longitudinale è necessario considerare la
presenza di impurezze. Si può infatti dimostrare che, per via dell’invarianza traslazionale,
in una barretta Hall pura la relazione tra resistenza Hall e campo magnetico è sempre
lineare [13]. La presenza delle impurezze rompe questa invarianza e permette quindi di
spiegare le evidenze sperimentali dell’IQHE. Tuttavia, anche nel caso di campione puro,
l’invarianza traslazionale è comunque distrutta dalla dimensionalità finita del sistema.
Prima ancora di analizzare il contributo delle impurezze studiamo quindi quali effetti
comporti la presenza dei bordi del sistema sulle proprietà di trasporto.
1.3.4
Stati di bordo
Per tenere conto della finitezza del sistema è necessario aggiungere un contributo all’hamiltoniana che riproduca gli effetti di confinamento che assumiamo lungo l’asse ŷ
H=
Π2
2me
=
2
~ r)
p~ + ec A(~
2me
+ Vconf (y).
(1.77)
Tale sistema è ancora invariante per traslazioni lungo l’asse x̂, per cui una scelta conveniente è il gauge di Landau con soluzioni dell’equazione di Schrödinger del tipo
eikx
ψn,k (x, y) = √ ϕn,k (y).
Lx
(1.78)
Nuovamente si riesce a ricavare un’equazione differenziale per la sola funzione ϕn,k (y)
#
"
p2y
1
(1.79)
+ me ωc2 (y − ȳk )2 + Vconf (y) ϕn,k (y) = n ϕn,k (y),
2me 2
dove adesso compare anche il contributo dovuto al confinamento. Ricordando che le auto2 , e assumendo che il potenziale di
funzioni nel caso Vconf (y) = 0 sono centrate in ȳk = klB
confinamento sia adiabatico, ossia vari sensibilmente su scale di lunghezza molto maggiori
di quella magnetica
lB |∂y Vconf (y)| ~ωc ,
(1.80)
è possibile approssimare attorno al centro ȳk
Vconf (y) ' Vconf (ȳk ) + O (∂y Vconf (y))
(1.81)
dove Vconf (ȳk ) rappresenta il valore del potenziale in ȳk . Inserendo questa espressione in
Eq. (1.79) si ottiene
"
#
p2y
1
2
2
+ me ωc (y − ȳk ) + Vconf (ȳk ) ϕn,k (y) ' n ϕn,k (y),
(1.82)
2me 2
che porta alle stesse autofunzioni ottenute nel caso di sistema infinito, ma con autovalori
traslati
1
n (ȳk ) = ~ωc (n + ) + Vconf (ȳk ).
(1.83)
2
1.3 Effetto Hall quantistico intero
23
Finora non abbiamo esplicitato la forma analitica di Vconf (y). Per simulare l’effetto del
confinamento occorre che tale potenziale sia nullo nel bulk e cresca avvicinandosi ai bordi. All’interno del bulk gli autovalori dell’energia risultano quindi essere i LL, mentre
in prossimità dei bordi è necessario tener conto del termine aggiuntivo di confinamento.
L’effetto risultante è il piegamento dei livelli energetici spostandosi dal bulk verso i bordi.
Lo spettro energetico è riportato in Fig. 1.4.
Figura 1.4: Spettro energetico prodotto dal potenziale di confinamento Vconf (y). Nel bulk
i livelli di Landau sono imperturbati. Il potenziale di confinamento modifica invece il
profilo delle bande attorno ai bordi, sui quali risulta possibile l’esistenza di eccitazioni
gapless.
Consideriamo il caso dell’IQHE, per cui RH = ν1 eh2 con ν ∈ N, in cui l’energia di Fermi
giace tra due LL successivi. Nel bulk non sono ammesse eccitazioni di bassa energia,
perché continua ad esistere un gap energetico che impedisce eccitazioni a meno di pagare
un costo energetico pari a ~ωc . In prossimità dei bordi la situazione cambia radicalmente:
il piegamento dei livelli permette l’esistenza di eccitazioni gapless vicino ai bordi della
barretta. Vedremo nei prossimi capitoli che gli stati di bordo di un sistema Hall quantistico
sono fondamentali per spiegare la dinamica di bassa energia del sistema.
In particolare gli stati di bordo in una barretta Hall hanno natura chirale, ossia la velocità
delle eccitazioni sul bordo ha segno definito e le velocità sui due bordi hanno segno opposto.
Infatti la velocità delle eccitazioni è data da
vn (ȳk ) =
l2 ∂n (ȳk )
1 ∂n (ȳk ) ∂ ȳk
1 ∂n (ȳk )
=
= B
.
~ ∂k
~ ∂ ȳk ∂k
~ ∂ ȳk
(1.84)
24
Effetto Hall
Questo porta a concludere che
vn (ȳk ) = −vn (−ȳk ).
(1.85)
(bulk)
In particolare nel bulk si ha vn
= 0 mentre le velocità sui due bordi sono non nulle e
(+)
(−)
opposte vn = −vn e si parla di left-movers e right-movers a seconda del segno della
velocità.
Gli stati di bordo di un sistema Hall con ν ∈ N sono interpretabili come liquidi di Fermi
chirali [14] e sono il fenomeno distintivo dell’effetto Hall quantistico, poiché nascono dalle
caratteristiche peculiari della fisica di tali sistemi: ridotta dimensionalità, forti campi
magnetici e confinamento.
1.3.5
Quantizzazione della conduttanza
Abbiamo appena visto che nel sistema la corrente scorre solo lungo i bordi, mentre gli
elettroni nel bulk non contribuiscono al trasporto, avendo velocità di gruppo nulla. Consideriamo la barretta Hall di Fig. 1.5 sottoposta ad una differenza di potenziale V . Tale
Figura 1.5: Barretta Hall sottoposta ad un campo magnetico uscente. La chiralità degli
edge fà si che l’edge superiore risenta del potenziale µL e quello inferiore del potenziale
µR . La relazione tra i potenziali chimici e la differenza di potenziale applicata è data da
Eq. (1.86).
differenza di potenziale corrisponde alla differenza tra i potenziali chimici dei due edge
−eV = µL − µR .
(1.86)
A causa della natura chirale degli edge tutti i left-movers risentono del potenziale chimico
µR , mentre tutti i right-movers risentono del potenziale chimico µL . Utilizzando un’interpretazione semiclassica si può ricavare la corrente che scorre nel campione. Etichettiamo
con + (−) l’edge su cui sono presenti i right(left)-movers. La corrente che scorre sui due
1.3 Effetto Hall quantistico intero
25
bordi del campione si può ricavare sommando su tutti gli stati occupati pesati con la loro
probabilità di occupazione
I± = −
e X X (±)
e X X ∂n (k) (±)
vn (k)n(±) (n (k)) = ∓
n (n (k))
Lx n
~Lx n
∂k
k≥0
e Lx
=∓
~Lx 2π
XZ
n
0
∞
k≥0
∂n (k) (±)
eX
dk
n (n (k)) = ∓
∂k
h n
Z
∞
dEn(±) (E)
(1.87)
n (0)
dove la probabilità di occupazione dello stato ψn,k è data da
n(±) (n (k)) =
1
1 + eβ (n (k)−µL,R )
,
(1.88)
con β = 1/kB T . Nel limite di temperatura nulla la probabilità di occupazione è data da
n(±) (n (k)) = Θ (µL,R − n (k)) ,
T =0
(1.89)
dove Θ(x) è la funzione di Heaviside, che vale 1 se x > 0 e vale 0 se x < 0, per cui la
corrente totale nel limite di temperatura nulla è data da
occ
eX
I = I+ + I− = −
h n
Z
µL
µR
e
dE = −ν (µL − µR )
h
e2
V,
(1.90)
h
avendo utilizzato la relazione tra i potenziali chimici e il bias applicato. In quest’ultima
relazione è possibile identificare la conduttanza del sistema
=ν
G=ν
e2
.
~
(1.91)
Si vede che ogni LL occupato porta un contributo pari a e2 /h alla conduttanza, per cui,
avendo un numero ν ∈ N di LL occupati, si ritrovano i corretti valori dei plateaux in
corrispondenza di filling factor interi.
L’analogia con sistemi unidimensionali come i fili quantici è evidente: la formula di
Landauer [15, 16] a temperatura nulla porta all’espressione per la conduttanza
G=
e2 X
Tn (EF ),
h n
(1.92)
dove la somma avviene su tutti i canali unidimensionali che portano corrente e Tn (EF )
rappresenta il coefficiente di trasmissione per l’n-esimo canale valutato all’energia di Fermi.
Nel caso in cui non ci siano fenomeni di backscattering si ha Tn (EF ) = 1, per cui non
esistono componenti riflesse della corrente, si ottiene
G=n
e2
,
h
(1.93)
con n ∈ N, identica all’espressione appena ottenuta in (1.91) per il sistema Hall nel caso
di filling factor interi. In questo senso gli stati di bordo dell’IQHE possono essere visti
26
Effetto Hall
come canali quantistici unidimensionali a trasmissione ideale.
La trasmissione perfetta è conseguenza diretta della chiaralità degli edge. A seguito della
riflessione la velocità dell’eccitazione sul bordo cambia segno, per cui se un left-mover
sul bordo superiore viene riflesso da un’impurezza si trasforma in un right-mover. Ma
i right-mover, proprio a causa della chiralità degli edge, possono esistere solo sull’edge
inferiore, per cui l’unico modo in cui un’eccitazione su un bordo possa essere riflessa è che,
attraverso un evento di tunneling, finisca sul bordo opposto. Se la larghezza della barretta
è molto maggiore della lunghezza magnetica, la probabilità di tunneling da un bordo
all’altro risulta esponenzialmente soppressa2 ; di conseguenza la componente di corrente
riflessa è praticamente nulla e gli edge possono considerarsi a trasmissione perfetta, a
prescindere dalla distribuzione delle impurezze. Per questo motivo si utilizza l’effetto Hall
quantistico intero per definire l’attuale standard di resistenza: i valori della resistenza in
corrispondenza dei plateaux sono indipendenti dalla distribuzione di impurezze e rendono
le misure estremamente accurate e facilmente riproducibili (con un errore di circa una
parte in 109 ).
Tuttavia il ruolo delle impurezze è fondamentale per spiegare le evidenze sperimentali che
fin qui non siamo riusciti a giustificare in maniera completa, come l’esatta struttura dei
plateaux della resistenza Hall. Infatti nonostante sia stato discusso il valore dei plateaux,
non abbiamo chiarito il motivo per cui essi abbiano una certa larghezza al variare del
filling factor. La prossima sezione è quindi dedicata ad una descrizione semiclassica del
ruolo delle impurezze nella fisica dell’IQHE.
1.3.6
Impurezze e disordine
Introducendo delle impurezze nel campione si rompe completamente l’invarianza per traslazioni. L’hamiltoniana di singola particella conterrà anche un termine dovuto all’interazione con le Nimp impurezze
2
~ r)
p~ + ec A(~
H=
+ Vconf (y) + Vimp (~r),
(1.94)
2me
con il potenziale delle impurezze dato da
Nimp
Vimp (~r) =
X
~ i ),
v(~r − R
(1.95)
i=1
~ i } descrive la distribuzione delle impurezze all’interno del campione e v(~r − R
~i)
dove {R
~i.
descrive l’interazione tra l’elettrone in ~r e l’impurezza in R
Si può dimostrare che per un dato autavalore dell’hamiltoniana (1.94) i corrispondenti
autostati risultano tutti localizzati o tutti estesi [17]. In un sistema bidimensionale disordinato in assenza di campo magnetico tutti gli stati sono localizzati [17] e la conduttanza
è nulla. In presenza di un campo magnetico si riescono invece a creare degli stati estesi
che contribuiscono alla conduttanza. Per convincersi della rilevanza del ruolo delle impurezze nella descrizione dell’IQHE occorre prima di tutto considerare in quale modo la loro
presenza all’interno del campione modifichi la densità degli stati (DOS) (Fig. 1.6). La
2
Vedremo nei capitoli 3 e 4 come sia possibile avere eventi di tunneling da un edge all’altro avvicinando
gli stati di edge attraverso un potenziale di gate. In questo caso la conduttanza non è più quantizzata ma
sarà in generale minore del valore atteso, a causa di un termine di backscattering.
1.3 Effetto Hall quantistico intero
27
Figura 1.6: a) DOS del sistema senza impurezze. b) DOS del sistema con impurezze.
densità degli stati in un campione puro è data da
X
δ(E − n ),
D(E) = Ndeg
(1.96)
n
con {n } energie dei LL date da Eq. (1.33). Si può dimostrare [18] che la presenza di impurezze all’interno del campione causa uno sparpagliamento delle delta in energia a causa
dello scattering da impurezze, producendo una DOS con picchi ancora centrati sulle energie n come mostrato in Fig. 1.6(b). Vicino al centro dei picchi della DOS gli stati sono
delocalizzati e contribuiscono alla conduttanza, mentre sulle code gli stati sono localizzati
e non partecipano al trasporto di corrente.
Non dimostreremo questi risultati, ma ci si può convincere di quest’ultima affermazione
utilizzando un’interpretazione semiclassica di tipo percolativo [1]. La presenza delle impurezze modifica il potenziale all’interno del campione; questo presenta valli e picchi più o
meno profondi a seconda del segno e dell’intensità del potenziale prodotto dalle impurezze,
come mostrato schematicamente in Fig. 1.7. All’aumentare dell’energia di Fermi le valli
cominciano via via ad essere occupate. Finché poche valli sono occupate, esse risultano
scorrelate e la probabilità che una particella iniettata ad un estremo del campione raggiunga l’altro estremo effettuando tunneling da una valle all’altra è trascurabile. Gli stati
del sistema sono quindi localizzati e non possono contribuire alla conduttanza del sistema.
Aumentando l’energia di Fermi si popolano regioni sempre più estese, finché ad un certo
punto gli estremi della barretta risulteranno in contatto tra loro. In questo caso un elettrone iniettato in un estremo può raggiungere l’estremo opposto muovendosi all’interno
delle regioni di stati occupati. Tali stati risultano quindi estesi.
In quest’ottica è possibile spiegare qualitativamente le evidenze sperimentali contenute
in Fig. 1.3. Si consideri Fig. 1.8, che rappresenta quel che accade variando il campo
magnetico, e quindi l’energia di Fermi, rispettivamente alla DOS, alla popolazione delle
valli appena discussa e alla resistenza longitudinale e Hall. La colonna (a) rappresenta
28
Effetto Hall
Figura 1.7: Rappresentazione schematica del potenziale prodotto dalla distribuzione di
impurezze all’interno del campione
Figura 1.8: Dall’alto verso il basso: DOS in presenza di impurezze, rappresentazione del
potenziale prodotto dalla distribuzione di impurezze, andamento della resistenza Hall (in
blu) e longitudinale (in rosso) al variare del campo magnetico. Da sinistra verso destra
(a-c): situazione al diminuire del campo magnetico.
la situazione in cui l’energia di Fermi si trova a metà tra l’(n − 1)-esimo LL, che risulta
quindi completamente pieno, e l’n-esimo LL, completamente vuoto. La resistenza Hall è
quantizzata mentre la resistenza longitudinale è nulla, poiché gli stati sono localizzati.
Abbassando il campo magnetico, colonna (b), si comincia a riempire l’n-esimo LL. Le
1.3 Effetto Hall quantistico intero
29
valli del potenziale prodotto dalle impurezze cominciano via via a popolarsi, ma gli stati
restano localizzati, perciò le componenti della resistenza sono inalterate.
Abbassando ancora il campo magnetico, colonna (c), si riempie l’n-esimo LL. L’energia
di Fermi cade ora al centro dei picchi della DOS. Le valli si sono popolate in maniera
tale per cui gli stati risultano estesi. Questi stati estesi contribuiscono alla conduttanza,
e quindi alla resistenza: la resistenza longitudinale esibisce un picco ed è diversa da zero
fintanto che esistono degli stati estesi, mentre la resistenza Hall, che dipende da tutti gli
stati estesi occupati, esibisce una transizione quantistica [19] da un plateaux al successivo,
come osservato in Fig. 1.3.
Introducendo le impurezze all’interno del campione siamo finalmente riusciti a comprendere tutti gli aspetti fondamentali che caratterizzano l’IQHE [14, 16]. Per questo fu una
grande sorpresa per Tsui, Stormer e Gossard quando nel 1983 [20] osservarono un plateaux
della conduttanza per ν = 1/3.
Una spiegazione di tale fenomeno è inconciliabile con la teoria finora elaborata per descrivere l’IQHE. Dal 1983 ad oggi la gamma di valori di ν per i quali si osservano le
Figura 1.9: Quantizzazione della resistenza, con la tipica struttura a plateaux accompagnata dalla caduta a zero della resistenza longitudinale, per diversi valori di ν: oltre a
plateaux in corrispondenza di valori interi di ν (IQHE) si osservano plateaux in corrispondenza di valori di ν frazionari (FQHE). La retta tratteggiata corrisponde all’andamento
lineare nel campo magnetico atteso classicamente per la resistenza Hall.
caratteristiche tipiche dell’effetto Hall quantistico si è ampliata (vedi Fig. 1.9): a valori
appartenenti alla sequenza del tipo
ν=
1
,
2m + 1
m ∈ N,
(1.97)
30
Effetto Hall
detta sequenza di Laughlin [21], sono seguite altre frazioni, appartenenti alla sequenza
ν=
p
,
2mp ± 1
m ∈ N,
p ∈ Z,
(1.98)
detta sequenza di Jain [22]. Entrambe le sequenze hanno denominatori dispari; sono però
presenti anche frazioni non inquadrabili in queste due, come ν = 25 [23], con denominatori
pari.
Come per spiegare i risultati sperimentali osservati per la resistenza si è reso necessario
metter da parte il modello idealmente puro e considerare un campione con impurezze, allo
stesso modo, se vogliamo cercare di dare una spiegazione della fenomenologia di questo
nuovo effetto, sarà necessario tener conto di qualche altro tipo di interazione all’interno del
sistema che renda conto della comparsa dei plateaux anche per valori non interi del filling
factor. Questa interazione non è dovuta alle impurezze, perché tale effetto, che prende il
nome di effetto Hall quantistico frazionario (FQHE) per distinguerlo dall’IQHE, si osserva
meglio in campioni estremamente puri.
Nella prossima sezione vedremo come tenendo conto dell’interazione coulombiana tra gli
elettroni, che finora abbiamo trascurato, sia possibile giustificare la fenomenologia del
FQHE.
1.4
Effetto Hall quantistico frazionario
Nel quadro teorico fin qui elaborato le differenze tra il caso intero e frazionario sono sostanziali. Nel primo caso si hanno ν LL completamente occupati, il livello fondamentale
del sistema è non degenere ed un’eccitazione può essere creata solo a patto di spendere un
costo energetico di salto pari a ~ωc ; il sistema è quindi incompressibile, e abbiamo visto che
proprio l’incompressibilità del sistema permette di giustificare gli effetti di quantizzazione
osservati.
Nel caso di filling factor non intero (consideriamo d’ora in avanti ν < 1 dove sono state
osservate la maggior parte delle frazioni d’interesse) il livello fondamentale è degenere,
poiché due stati descritti dalla sequenza di numeri quantici {|n = 0, mi i} e {|n = 0, m0i i}
corrispondono a diverse configurazioni del sistema con la stessa energia energia; il sistema
presenta quindi eccitazioni gapless e non soddisfa il requisito di incompressibilità richiesto
per osservare effetti di quantizzazione.
Per spiegare la quantizzazione della resistenza Hall a ν = 1/3 è necessario tener conto dell’interazione coulombiana tra le particelle. L’hamiltoniana per un sistema bidimensionale
di elettroni interagenti in campo magnetico è data da
H=
2
~ r)
p~ + ec A(~
2me
N
1 X
e2
+
,
2
|~ri − ~rk |
(1.99)
i6=k
con costante dielettrica del semiconduttore utilizzato come supporto per il 2DEG. Cercare
di risolvere il problema con la teoria delle perturbazioni [12] è del tutto inutile: infatti la
degenerazione dello stato a N elettroni per la sequenza di Laughlin vale
1 Ndeg
νN
(1.100)
=
N
N
1.4 Effetto Hall quantistico frazionario
31
ed è talmente grande per un sistema macroscopico con N ∼ 1010 che rende un simile
approccio del tutto irrealizzabile. Ciò non accade se ν ∈ N, in quanto il livello fondamentale
nel caso intero è non degenere e si può utilizzare la teoria delle perturbazioni per studiare
diversi tipi di eccitazioni elettroniche. D’altra parte si potrebbe pensare di invertire il
ragionamento, cioè di considerare lo stato elettronico correlato e trattare il termine cinetico
come una perturbazione a tale stato [24]. Tuttavia anche questa strada non dà i risultati
sperati, perché lo stato fondamentale elettronico è costituito da un cristallo di Wigner; gli
elettroni cosı̀ organizzati rompono la simmetria spaziale dando vita ad eccitazioni gapless,
in contrasto con le proprietà di incompressibilità attese.
Come fare? Utilizzare la teoria del liquido di Fermi non è possibile a causa degli effetti
di forte correlazione. La via proposta da Laughlin nel 1983 [21] e che gli valse il Nobel
nel 1998 insieme ai già citati scopritori del FQHE è di proporre una funzione d’onda dello
stato fondamentale del sistema che rispetti i vincoli richiesti dal principio di esclusione di
Pauli, dalle condizioni di analiticità e dall’invarianza per traslazioni. Attraverso il principio
variazionale si andranno quindi a fissare i parametri liberi di questa funzione d’onda di
prova.
1.4.1
Teoria di Laughlin
La funzione d’onda proposta da Laughlin per descrivere il livello fondamentale di N
elettroni interagenti nel caso ν = 1/(2m + 1) è [21]
1
−4
ψ (N ) ({zi , z̄i }) = ΠN
i<j (zi − zj )e
PN
k=1
|zk |2
,
(1.101)
dove la lunghezza magnetica è stata assorbita in una ridefinizione delle coordinate complesse delle particelle zi /lB → zi . Per convincersi della bontà di questa scelta, consideriamo
le funzioni d’onda di singola particella ricavate nella sezione 1.3.3, derivanti dalla scelta
del gauge simmetrico. Tale scelta appare come la più conveniente, in quanto il potenziale
coulombiano gode di simmetria sferica. Nel caso in cui solo il primo LL sia occupato la
funzione d’onda di singola particella è del tipo (vedi Eq. (1.67))
φ0,m (z, z̄) ∼ z m e−
|z|2
4
.
(1.102)
Nel caso di due particelle la funzione d’onda sarà sovrapposizione delle funzioni d’onda di
singola particella
1
2
2
(1.103)
ψ (2) (z1 , z2 , z̄1 , z̄2 ) = f (z1 , z2 )e− 4 (|z1 | +|z2 | ) ,
con f (z1 , z2 ) funzione analitica. Poiché il potenziale coulombiano dipende solo dalla
coordinata relativa, la funzione d’onda, omettendo costanti di normalizzazione, sarà del
tipo
1
2
2
ψ (2) (z1 , z2 , z̄1 , z̄2 ) = f (z1 − z2 )e− 4 (|z1 | +|z2 | ) .
(1.104)
Occorre infine che sia rispettato il principio di Pauli, secondo il quale la funzione d’onda deve soddisfare3 ψ (2) (z1 , z̄1 , z2 , z̄2 ) = −ψ (2) (z2 , z̄2 , z1 , z̄1 ). Si giunge cosı̀ alla funzione
d’onda
1
2
2
m ∈ N,
(1.105)
ψ (2) (z1 , z2 , z̄1 , z̄2 ) = (z1 − z2 )2m+1 e− 4 (|z1 | +|z2 | ) ,
3
Avendo supposto che gli elettroni siano completamente polarizzati, la parte di spin è simmetrica; per
il principio di Pauli la parte spaziale deve quindi essere antisimmetrica.
32
Effetto Hall
che rispetta i requisiti di analiticità, invarianza per traslazioni e soddisfa il principio di
Pauli. L’estensione a N elettroni è immediata
1
2m+1 − 4
ψ (N ) ({zi , z̄i }) = ΠN
e
i<j (zi − zj )
PN
k=1
|zk |2
m ∈ N.
(1.106)
Questa funzione rispetta tutti i requisiti che ci eravamo imposti ma non abbiamo ancora
dimostrato che corrisponda effettivamente alla funzione d’onda del livello fondamentale
di un sistema Hall frazionario. A tale scopo si osservi nuovamente la funzione d’onda di
singola particella del primo LL, Eq. (1.102). Lo zero di ordine più alto si ha nel caso in
cui il numero quantico m è massimo, cioè per m = Ndeg , nel qual caso la funzione d’onda
di singola particella vale
φ0,Ndeg (z, z̄) ∼ z Ndeg e−
|z|2
4
,
(1.107)
ossia presenta uno zero di ordine Ndeg in z. Per analogia si può vedere che in Eq. (1.106)
lo zero di ordine più alto in zi ha ordine (2m + 1)(N − 1) e ci si aspetta quindi che
quest’ordine corrisponda proprio alla degenerazione. In base a questo ragionamento nel
limite termodinamico (N − 1 ≈ N ) deve valere
(2m + 1)N = Ndeg ⇒
N
1
=ν=
.
Ndeg
2m + 1
(1.108)
La funzione d’onda di Laughlin descrive molto efficacemente la funzione d’onda del livello fondamentale di un fluido Hall con filling factor ν a patto di fissare il parametro
1
[25]. Il livello fondamentale risulta fortemente
variazionale m con la condizione ν = 2m+1
correlato per via della presenza di zeri di ordine 2m + 1 nella funzione d’onda, per cui gli
elettroni sono forzati a stare ben separati uno dall’altro. Proprio con queste argomentazioni Laughlin mostrò che la funzione d’onda da lui proposta ha energia minore del cristallo
di Wigner.
Attraverso la sua funzione d’onda variazionale4 egli riuscı̀ a spiegare il FQHE per valori
di filling factor appartenenti alla sequenza in Eq. (1.97), che proprio per questo motivo
prende il nome di sequenza di Laughlin.
Un altro modo per convincersi che la funzione proposta minimizzi davvero l’energia del
sistema è quello che sfrutta il metodo degli pseudopotenziali di Haldane, ma non lo discuterò qui, rimandando alla bibliografia [1]. Attraverso tale metodo si riesce anche a
dimostrare che le eccitazioni del livello fondamentale hanno un gap di creazione, e il sistema si comporta come un fluido incompressibile proprio come ci si aspetta in presenza di
un plateaux della resistenza Hall.
Una volta che si è convinti che la funzione d’onda proposta descriva effettivamente il livello
1
fondamentale di un sistema Hall con ν = 2m+1
, si ha la possibilità di descrivere non solo
il livello fondamentale ma anche le eccitazioni elementari del sistema.
1.4.2
Eccitazioni elementari: quasi-particelle e quasi-buche
Eccitazioni elementari del sistema si possono ottenere aggiungendo, o rimuovendo, carica
dal sistema, oppure variando il campo magnetico esterno, e quindi il flusso. Variazioni di
4
L’unico parametro della funzione d’onda che si può effettivamente variare per ottenere il livello fondamentale è proprio il numero naturale m, essendo la dipendenza dalle coordinate fissata dai vincoli
discussi.
1.4 Effetto Hall quantistico frazionario
33
flusso corrispondono a variare la degenerazione del sistema secondo Eq. (1.45), che come
visto è legata agli zeri di ordine più alto nella funzione d’onda di Laughlin. Si consideri
allora l’ansatz per la funzione d’onda che descrive l’aggiunta di un quanto di flusso in z0
rispetto al livello fondamentale
(N )
ψqh (z0 , {zi , z̄i }) = ΠN
(zj , z̄j ).
i=1 (zi − z0 )ψ
(1.109)
Lo zero di ordine massimo in zi , e quindi la degenerazione del LL, è aumentato di un’unità,
per cui occorre che a questa eccitazione sia associata una carica tale da mantenere costante
il filling factor secondo l’Eq. (1.108)
(2m + 1)∆N = ∆Ndeg = 1 ⇒ ∆N =
1
.
2m + 1
(1.110)
Il risultato sorprendente al quale siamo giunti è che l’eccitazione elementare del sistema
che si ottiene aggiungendo un quanto di flusso, che chiameremo quasi-buca, porta una
carica frazionaria pari a
e
= νe = e∗ .
(1.111)
Qqh =
2m + 1
Con gli stessi ragionamenti, a partire dall’ansatz
(N )
ψqp (z0 , {zi , z̄i }) = ΠN
({zj , z̄j }),
i=1 (zi ) (2∂i − z0 ) ψ
(1.112)
si dimostra che questa funzione d’onda descrive un’eccitazione, detta di quasi-particella,
che porta anch’essa una carica frazionaria, opposta a quella della quasi-buca
Qqp = −
e
= −νe = −e∗ .
2m + 1
(1.113)
Un modo efficace di descrivere queste eccitazioni è di sfruttare l’analogia che Laughlin
notò esistere tra il fluido Hall ed un plasma classico ad una componente.
1.4.3
Analogia di plasma
Studiamo in dettaglio questa analogia tra il sistema Hall ed un plasma.
La densità di probabilità associata alla generica configurazione {zi , z̄i } delle N particelle
può essere scritta come
P ({zi , z̄i }) = |ψ (N ) ({zi , z̄i })|2 ∼ e−βU ({zi ,z̄i }) ,
con β =
2
2m+1
(1.114)
e
U ({zi , z̄i }) = −(2m + 1)2
N
X
i<j
N
ln |zi − zj | +
2m + 1 X
|zk |2 .
4
(1.115)
k=1
Interpretando la funzione U ({zi , z̄i }) come una sorta di hamiltoniana fittizia del fluido
Hall, l’analogia col plasma è lampante: la stessa hamiltoniana descrive infatti un plasma
classico bidimensionale a una componente costituito da particelle di carica 2m + 1. Il
primo termine descrive la repulsione tra le particelle cariche del plasma mentre il secondo
tiene conto dell’interazione con un background di carica opposta, secondo il modello a
34
Effetto Hall
Jellium [16]. Reintroducendo la lunghezza magnetica e sfruttando l’equazione di Poisson
si ottiene che la densità di carica di background è data da
1 2 |z|2
1
¯ z̄) = − 1 .
ρb = − ∇
=
4∂ ∂(z
(1.116)
2
2
2
2π
4lB
8πlB
2πlB
Imponendo che il sistema sia ovunque localmente neutro e ricordando la definizione (1.29)
di lunghezza magnetica si ottiene
ρb + ne (2m + 1) = 0 ⇒
1
2
= 2πlB
ne = ν
2m + 1
(1.117)
e si ritrova quindi il vincolo su m affinché la funzione d’onda variazionale descriva effettivamente il livello fondamentale di un fluido Hall appartenente alla sequenza di Laughlin.
L’analogia di plasma ci permette di interpretare le eccitazioni elementari del fluido Hall
come eccitazioni elementari del plasma. Il livello eccitato corrispondente alla quasi-buca
produce nell’hamiltoniana fittizia un termine aggiuntivo, come se le particelle del plasma
interagissero con un’impurezza di carica unitaria
U ({zi , z̄i }) −→ U ({zi , z̄i }) + V (z0 , {zi }),
V (z0 , {zi }) = −(2m + 1)
N
X
ln (|zi − z0 |) .
i=1
(1.118)
L’impurità viene schermata dalle particelle del plasma, in modo da mantenere la neutralità
di carica almeno in maniera locale. Poiché le particelle di plasma, che sono elettroni, hanno
in questo modello carica (2m + 1), le eccitazioni elementari, che in questo modello hanno
carica unitaria, risultano in realtà avere carica frazionaria data da Eqs. (1.111), (1.113).
La fisica del FQHE apre quindi possibilità affascinanti legate alle proprietà di queste
eccitazioni. Esse sono un effetto intrinsecamente legato al problema a molti corpi che
stiamo considerando [26]. Al di fuori del fluido di elettroni fortemente correlati le quasiparticelle e le quasi-buche non possono esistere. Ciò detto, all’interno del fluido Hall le
quasi-particelle e le quasi-buche possono invece essere trattate come oggetti ben definiti.
Per mantenere la neutralità totale del sistema le quasi-buche e le quasi-particelle devono
essere create in coppia. Da studi numerici si dimostra che le eccitazioni del sistema hanno
un gap di creazione, come atteso visto che il sistema deve essere incompressibile.
Oltre ad avere carica frazionaria queste eccitazioni sono sorprendenti anche per quanto
riguarda la statistica: non sono nè bosoni nè fermioni, ma appartengono alla classe più
ampia degli anioni [27, 28, 29]. Nella prossima sezione vedremo come le proprietà di
statistica derivino dalla bassa dimensionalità del sistema.
1.4.4
Statistiche quantistiche
In d = 3 dimensioni l’algebra del momento angolare di spin è non commutativa. In d = 2
essa è invece commutativa, essendoci solo un generatore del momento angolare di spin,
che ovviamente commuta con se stesso. Per questo motivo non si avrà quantizzazione di
S, come avviene in d = 3, e lo spin può a priori assumere valori qualsiasi. Dal teorema
spin-statistica segue che se in d = 3 le particelle quantistiche sono classificabili in bosoni e
fermioni a seconda della loro statistica, in d = 2 la varietà di statistiche quantistiche può
in principio essere molto più ampia.
1.4 Effetto Hall quantistico frazionario
35
Il termine statistica quantistica si riferisce alla fase acquistata dalla funzione d’onda quando le due particelle identiche sono trasportate adiabaticamente fino a dar luogo allo scambio. Si consideri lo spazio delle configurazioni di due particelle identiche. Proprio perché
indistinguibili si ha che
(~r1 , ~r2 ) ≡ (~r2 , ~r1 ) ,
(1.119)
~ = ~r1 +~r2 e relativa ~r = (~r1 −~r2 )/2
o anche, in termini delle coordinate del centro di massa R
~ ~r ≡ R,
~ −~r ,
R,
(1.120)
cioè esse corrispondono alla stessa configurazione. Allora lo spazio delle configurazioni del
sistema di due particelle identiche è ottenuto quozientando la coordinata relativa rispetto a
Z2 : in questo modo non si conta due volte la stessa configurazione. Inoltre vanno eliminati
dallo spazio delle configurazioni anche i punti che corrispondono alla coincidenza di due o
più particelle, ossia quelli con ~r = 0, in modo da essere in grado di determinare se le due
particelle sono state scambiate. Cerchiamo adesso di capire cosa differenzi il caso d = 2
dal caso d = 3.
Tre dimensioni
In tre dimensioni la coordinata relativa delle due particelle vive su una sfera senza il centro,
i cui punti diametralmente opposti sono identificati. Se le due particelle vengono scambiate
tenendo invariata la loro distanza, lo scambio può essere visto sulla superficie sferica con
un percorso che ha per estremi due punti tra loro equivalenti. Ad ogni scambio la funzione
d’onda delle due particelle acquista una certa fase. Si possono verificare sostanzialmente
a
b
c
Figura 1.10: Tre dimensioni: lo scambio di due particelle può essere visto come un percorso
su una superficie sferica che congiunge punti equivalenti. a) nessuno scambio. b) uno
scambio. c) due scambi.
tre casi, riportati in Fig. 1.10.
36
Effetto Hall
• a) nessuno scambio: il percorso può essere ridotto con continuità ad un punto, per
cui la fase acquistata dalla funzione d’onda è nulla;
• b) uno scambio: il percorso non può essere ridotto con continuità ad un punto, per
cui sorge un fattore di fase non banale eiθ ;
• c) due scambi: sorge un fase eiθ eiθ = e2iθ ; tuttavia il percorso può nuovamente essere
ridotto con continuità ad un punto, per cui la fase acquistata dalla funzione d’onda
deve essere nulla come nel caso (a).
Poiché il percorso indotto da due scambi è topologicamente equivalente al percorso che
corrisponde a non aver effettuato scambi, si ha che
e2iθ = 1,
(1.121)
per cui deve essere θ = 0, che corrisponde al caso di bosoni, o θ = π, che corrisponde al
caso di fermioni.
In tre dimensioni le particelle ammettono quindi solamente statistica intera, bosonica
(θ = 0) o fermionica (θ = π).
Due dimensioni
In due dimensioni le cose cambiano. La coordinata relativa delle due particelle vive su un
cerchio senza il centro i cui punti diametralmente opposti sono identificati.
Analizziamo nuovamente i casi di nessuno, uno o due scambi, riportati in Fig. 1.11, questa
volta in due dimensioni.
a
b
c
Figura 1.11: Due dimensioni: lo scambio di due particelle può essere visto come un percorso
su un cerchio senza centro che congiunge punti equivalenti. a) nessuno scambio. b) uno
scambio. c) due scambi.
• a) nessuno scambio: il percorso può essere ridotto con continuità ad un punto, per
cui la fase acquistata dalla funzione d’onda è nulla;
1.4 Effetto Hall quantistico frazionario
37
• b) uno scambio: il percorso non può essere ridotto con continuità ad un punto, per
cui sorge un fattore di fase non banale eiθ ;
• c) due scambi: sorge una fase eiθ eiθ = e2iθ ; a differenza del caso d = 3, questo percorso non può essere riportato con continuità ad un punto per cui non è topologicamente
equivalente al percorso del caso (a).
Cade quindi il requisito θ = 0, π trovato in d = 3, ma θ può a priori essere qualsiasi. Le
particelle in due dimensioni sono dette anioni appunto perché possono in principio avere
any statistics. La statistica è legata al parametro θ ∈ [0, 2π)
ψ(2, 1) = eiθ ψ(1, 2);
(1.122)
per θ = 0, π si ritrovano rispettivamente la statistica bosonica e fermionica.
1.4.5
Proprietà statistiche delle eccitazioni del fluido Hall
Le quasi-buche e le quasi-particelle che abbiamo visto essere le eccitazioni elementari del
fluido Hall hanno statistica frazionaria. Questo può essere visto in analogia al modello del
tubo di flusso per gli anioni [28]. Consideriamo due quasi-buche di carica Qqh = e∗ generate
come eccitazioni del fluido Hall con filling factor ν. Abbiamo visto che ogni quasi-buca
porta un quanto di flusso magnetico (vedi Eq. (1.109)). Possiamo cosı̀ vedere la quasibuca come un oggetto di carica e∗ al quale è attaccato un solenoide infinitamente lungo
e di sezione infinitesima che porta un flusso φ0 . Questa situazione può essere riprodotta
immaginando che la quasi-buca produca un potenziale vettore fittizio ~a(~r) tale che per
ogni percorso chiuso γ che racchiude la quasi-buca si abbia
I
~a(~r)d~r = φ0 .
(1.123)
γ
Quando una quasi-buca compie un giro attorno all’altra quasi-buca ritornando nella posizione iniziale, la fase acquistata dalla funzione d’onda è legata alla fase Aharanov-Bohm
[9]
I
Qqh
Qqh
e∗ hc
exp i
d~r~a(~r) = exp i
φ0 = exp 2πi
= exp (2iνπ) .
(1.124)
~c γ
~c
hc e
Poiché questa operazione corrisponde in realtà ad un doppio scambio, la fase acquistata
dalla funzione d’onda in seguito ad uno scambio è data da
θqh = νπ =
π
.
2m + 1
(1.125)
Se invece un elettrone compie un giro attorno ad una quasi-buca, la fase acquistata è
banale; si possono infatti ripetere gli stessi ragionamenti, sostituendo in Eq. (1.124)
Qqh → Qe . Similmente si dimostra che l’angolo statistico delle quasi-particelle è lo stesso
delle quasi-buche. In questo modo abbiamo dimostrato che le eccitazioni elementari del
fluido Hall appartenente alla sequenza di Laughlin hanno carica e statistica frazionaria.
Per quel che riguarda la parte originale di questo lavoro di tesi è sufficiente conoscere
38
Effetto Hall
le proprietà di sistemi Hall appartenenti alla sequenza di Laughlin. Tuttavia gli stessi
argomenti possono essere estesi [22] per descrivere le funzioni d’onda e le eccitazioni di
sistemi Hall appartenenti alla sequenza di Jain. I risultati principali sono nuovamente
costituiti da eccitazioni a carica e statistica frazionaria
Qqh =
e
,
|2mp + 1|
θqh = θqp = π
Qqp = −
e
;
|2mp + 1|
2m(p − 1) + 1
.
2mp + 1
(1.126)
(1.127)
Capitolo 2
Gli stati di edge nell’effetto Hall
quantistico frazionario
Nel Capitolo 1 si è visto come la teoria di Laughlin riesca a cogliere le caratteristiche principali della fisica del FQHE. Un metodo intuitivo per descrivere le eccitazioni del sistema
al bordo è l’approccio idrodinamico, nel quale si sfrutta la proprietà di incompressibilità
del fluido Hall per descrivere le eccitazioni in termini di un campo bosonico, introducendo
la tecnica conosciuta come bosonizzazione [30]. Tale approccio trova un’applicazione particolarmente intuitiva nell’ambito della sequenza di Laughlin, sebbene sia generalizzabile
anche alla sequenza di Jain [31].
Va osservato che per trattare il problema in maniera più sistematica conviene introdurre
teorie di campo efficaci per il bulk e da queste ottenere le teorie efficaci valide al bordo
del sistema [32]. Esse sono utili se si vuole dare una descrizione del sistema senza tuttavia
entrare nei dettagli microscopici. La strategia è quella di costruire una teoria efficace che
rispetti tutti i vincoli e le simmetrie del sistema, in modo da riuscire a derivare le caratteristiche universali della fisica di bassa energia dei sistemi Hall [31, 33, 34]. Poiché la parte
originale di questo lavoro di tesi prende in considerazione la sola sequenza di Laughlin,
che è ben descritta dal modello idrodinamico, mi limiterò a discutere le eccitazioni di edge seguendo questo approccio, rimandando alla letteratura per approfondire lo studio di
teorie di campo efficaci applicate al FQHE [31, 33].
2.1
Approccio idrodinamico per la sequenza di Laughlin
Per descrivere gli stati di bordo costruiamo una teoria di bassa energia partendo dal
presupposto che gli stati Hall frazionari si comportino come un fluido incompressibile,
per cui le sole eccitazioni possibili sono deformazioni del fluido Hall al bordo. Queste
deformazioni si propagano come onde sui bordi e vengono identificate con gli stati di edge,
le uniche eccitazioni del sistema a bassa energia.
Si consideri una goccia con filling factor ν = 1/(2m + 1) vincolata a stare entro i bordi
della barretta Hall da un potenziale di confinamento generico Vconf (y). Senza esplicitare
la forma analitica di questo potenziale, è sufficiente richiedere che esso rispetti i requisiti
già discussi nel corso del Capitolo 1, ossia di essere nullo nel bulk e crescere avvicinandosi
ai bordi. Il potenziale di confinamento produce un campo elettrico E(y) = −∂y Vconf (y)
ortogonale ai bordi della barretta ed uscente da essi. La situazione è schematizzata in
39
40
Gli stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
Fig. 2.1. Il campo elettrico produce una corrente, ortogonale al campo elettrico medesimo
y
E
v
B
W/2
x
J
v
-W/2
E
Figura 2.1: Goccia di fluido Hall. Il campo elettrico prodotto dal potenziale di confinamento in prossimità dei bordi crea una densità di corrente che si propaga con velocità
opposte sui due bordi per via della presenza del campo magnetico (uscente dalla figura).
Le eccitazioni neutre del sistema corrispondono ad onde di densità che si propagano sui
bordi.
e al campo magnetico, che scorre sui bordi del campione. Sfruttando la relazione
Jx (y) = σxy Ey (y),
σxy = ν
e2
h
(2.1)
tra la densità di corrente lungo x̂ e il campo elettrico diretto lungo ŷ si ottiene che sui
bordi scorre una corrente pari a
Jx (±W/2) = σxy Ey (±W/2) = ±σxy E
(2.2)
avendo supposto che il modulo del campo elettrico di confinamento sui bordi sia lo stesso.
Si può cosı̀ ricavare la velocità con la quale si propagano le onde sul bordo della goccia
Jx (±W/2) = ±σxy E = −ne ev(±W/2)
E σxy E
⇒ v(±W/2) = ∓
= ∓ = ∓v,
ne e
B
E v ≡ .
B
(2.3)
L’onda si propaga quindi con velocità opposte sui due bordi e si ritrova che gli stati di
edge hanno una determinata chiralità.
Consideriamo per semplicità l’edge sul quale le eccitazioni si propagano progressivamente1 .
La deformazione h+ (x, t) del bordo deve essere tale da mantenere costante l’area della
1
Etichetto con + (−) le grandezze associate al modo progressivo (regressivo).
2.1 Approccio idrodinamico per la sequenza di Laughlin
41
goccia, in modo da non violare il requisito di incompressibilità. Ad una deformazione del
bordo corrisponde una deformazione della densità secondo
ρ+ (x, t) = ne h+ (x, t),
ne = ν
B
.
φ0
(2.4)
L’equazione di continuità
∂t ρ+ (x, t) + v∂x ρ+ (x, t) = 0
(2.5)
descrive la propagazione delle onde di densità sul bordo progressivo.
All’onda di densità all’istante t è associata un’energia elettrostatica dovuta all’accoppiamento tra il campo elettrico di confinamento E, che assumiamo costante nelle immediate
vicinanze del bordo, e la densità di carica unidimensionale sul bordo. L’energia elettrostatica della deformazione di densità al bordo determina l’hamiltoniana, che è data
da
Z
1 L
H+ =
dx eh+ (x)ρ+ (x)E
2 0
Z
πv L
=
dxρ2+ (x).
(2.6)
ν 0
Ragionando analogamente per il modo regressivo descritto dall’equazione
∂t ρ− (x, t) − v∂x ρ− (x, t) = 0
si ottiene
πv
H− =
ν
Z
(2.7)
L
dxρ2− (x).
(2.8)
0
Passando in trasformata di Fourier e imponendo condizioni periodiche al contorno ρ+ (0) =
ρ+ (L), che si traducono nella quantizzazione del momento
k=
2π
m
L
m ∈ Z,
(2.9)
si può riscrivere l’hamiltoniana in Eq. (2.6) come una somma nello spazio dei momenti
H+ =
2πv X
πv 2
ρ+,k ρ+,−k +
N ,
Lν
Lν +
(2.10)
k>0
avendo utilizzato le convenzioni
Z L
ρk =
dxe−ikx ρ(x),
0
ρ(x) =
1 X ikx
e ρk .
L
(2.11)
k
Si noti che in Eq. (2.10) è stato separato il contributo dei modi plasmonici dal contributo
dei cosiddetti modi zero, essendo
Z
N+ =
L
dxρ+ (x) = ρ+,0 ,
0
(2.12)
42
Gli stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
il numero di elettroni sull’edge rispetto ad un valor medio N . L’equazione di propagazione
delle onde di densità (2.5) si traduce in
ρ̇+,k = −ivkρ+,k
(2.13)
nello spazio dei momenti. Per quantizzare la teoria occorre imporre le relazioni di commutazione tra le coordinate ρ+,k e i corrispondenti momenti coniugati π+,k
[ρ+,k , π+,q ] = iδk,q .
(2.14)
I momenti π+,k possono essere ricavati dalle equazioni di Hamilton
π+,k =
2πi
ρ+,−k
Lνk
k 6= 0.
(2.15)
Imponendo che sia soddisfatta l’Eq. (2.14) si ottengono le parentesi di commutazione per
il campo di densità
[ρ+,k , ρ+,q ] = −
Lνk
Lνq
[ρ+,k , π+,−q ] =
δk,−q
2πi
2π
[N+ , π+,0 ] = i.
k 6= 0;
(2.16)
(2.17)
Le relazioni di commutazione introdotte definiscono l’algebra U (1) di Kac-Moody [35], che
si ritrova nella descrizione di sistemi elettronici unidimensionali interagenti, il cosidetto
liquido di Tomonaga-Luttinger [36, 37]. Si noti che si ha un ulteriore vincolo dovuto alla
chiralità degli edge: infatti nel contesto della fisica dell’effetto Hall si introducono i liquidi
di Tomonaga-Luttinger chirali (χLL).
Riusciamo cosı̀ a descrivere le eccitazioni di bassa energia del sistema di elettroni interagenti attraverso una teoria unidimensionale di bosoni liberi [30].
Si possono riformulare le relazioni precedenti introducendo gli operatori bosonici di creazione e distruzione per k 6= 0
r
r
2π
2π
†
b+,k =
ρ+,−k ,
b+,k =
ρ+,k ,
(2.18)
Lνk
Lνk
tali da soddisfare
[b+,k , b†+,q ] = δk,q .
(2.19)
Con queste definizioni si può riscrivere l’hamiltoniana di edge
H+ = v
X
kb†+,k b+,k +
k>0
πv 2
N ,
Lν +
(2.20)
dalla quale si deduce che l’operatore b†+,k crea un plasmone di energia vk e impulso k,
mentre l’operatore b+,k distrugge un plasmone di energia vk e impulso k.
Per l’edge regressivo, descritto dall’hamiltoniana
H− =
πv 2
2πv X
ρ−,k ρ−,−k +
N
Lν
Lν −
k>0
(2.21)
2.2 Bosonizzazione dei campi nella sequenza di Laughlin
43
essendo N− = ρ−,0 pari al numero di elettroni sull’edge rispetto ad un valor medio N ,
valgono gli stessi ragionamenti, ma l’equazione di propagazione delle onde regressive è
ρ̇−,k = ivkρ−,k .
(2.22)
Le equazioni di Hamilton portano alla definizione dei momenti coniugati alle coordinate
ρ−,k
2πi
ρ−,−k
(2.23)
π−,k = −
Lνk
con
[ρ−,k , π−,q ] = iδk,q ,
[N− , π−,0 ] = i.
(2.24)
Da queste si possono calcolare le parentesi di commutazione per il campo di densità
[ρ−,k , ρ−,q ] = −
Lνk
δk,−q
2π
k 6= 0.
Conviene introdurre gli operatori di creazione e distruzione
r
r
2π
2π
†
ρ−,k ,
b−,k =
ρ−,−k
b−,k =
Lνk
Lνk
(2.25)
(2.26)
che soddisfano
[b−,k , b†−,q ] = δk,q .
(2.27)
Queste definizioni portano a riscrivere l’hamiltoniana per l’edge regressivo nella forma
X †
πv 2
H− = v
kb−,−k b−,−k +
N
(2.28)
Lν −
k>0
dalla quale si deduce che l’operatore b†−,k crea un plasmone di energia vk e impulso −k,
mentre l’operatore b−,k distrugge un plasmone di energia vk e impulso −k.
Nella prossima sezione definiremo un nuovo campo bosonico legato al campo di densità
che permetterà di scrivere gli operatori di elettrone ψ (e) e di quasi-particella ψ (qp) in forma
bosonizzata [31].
2.2
Bosonizzazione dei campi nella sequenza di Laughlin
L’ingrediente fondamentale per formulare la teoria per le eccitazioni neutre del sistema
è l’operatore densità ρ± (x). Volendo descrivere anche le eccitazioni cariche del sistema
conviene introdurre un nuovo campo bosonico legato al campo di densità dalla relazione
[38]
1
i
ρ± (x, t) = ± ∂x ϕ± (x, t), → ρ±,k (t) = ± kϕ±,k (t).
(2.29)
2π
2π
Dall’equazione di continuità unidimensionale −e∂t ρ± (x, t) + ∂x I± (x, t) = 0 si ricava subito
il legame tra la corrente e il campo bosonico introdotto
I± (x, t) = ±
e
∂t ϕ± (x, t).
2π
(2.30)
Il campo ϕ(x, t), che si rivelerà fondamentale per dare una forma bosonizzata dell’operatore
elettronico e di quasi-particella, può essere scritto in termini degli operatori di creazione
44
Gli stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
e distruzione introdotti in Eq. (2.18). Il calcolo è svolto in dettaglio in Appendice A. La
versione quantizzata dell’operatore di campo bosonico è
ϕ± (x) = ϕ±,0 (x) + ϕ±,p (x),
(2.31)
N±
x + νπ±,0 ,
L
(2.32)
con
ϕ±,0 (x) = ±2π
r
ϕ±,p (x) =
a
i
2πν X
i †
±ikx
∓ikx
− √ b±,±k e
+ √ b±,±k e
e− 2 k .
L
k
k
k>0
(2.33)
dove a rappresenta un cut-off sui momenti necessario per assicurare la convergenza delle
espressioni. L’evoluzione temporale dei campi è fissata dalla chiralità degli edge
ϕ±,p (x, t) = ϕ±,p (x ∓ vt).
(2.34)
Sempre in Appendice A è stato dimostrato che sussistono le relazioni di commutazione
ϕ± (x), ϕ± (x0 ) = ±iπνsign(x − x0 ),
(2.35)
dove d’ora in avanti la dipendenza temporale sarà sottintesa quando i campi si intendono
valutati allo stesso istante. Formulando la teoria in termini di questo campo bosonico
è possibile definire la struttura analitica degli operatori elettronico e di quasi-particella.
Consideriamo l’operatore che descrive un agglomerato di l quasi-particelle. Nel seguito ci
riferiremo a tale entità come l-agglomerato. Cominciamo notando che l’effetto dell’opera(l)
tore ψ± (x) è di diminuire di una carica Ql = −le∗ la densità di carica sul bordo nel punto
x; quanto detto si esprime nella relazione
h
i
(l)
(l)
ρ± (x), ψ± (x0 ) = −νlδ(x − x0 )ψ± (x0 ).
(2.36)
Poiché l’operatore densità soddisfa l’algebra di Kac-Moody, si può dimostrare che vale
ρ± (x), ϕ± (x0 ) = iνδ(x − x0 )
(2.37)
e che per soddisfare Eq. (2.36) l’operatore di l-agglomerato deve potersi esprimere nella
forma [31]
(l)
ψ± (x) ∝ eilϕ± (x) .
(2.38)
Un’espressione più precisa dell’operatore nel limite di lunghezza infinita dell’edge è stata
ricavata in Appendice A
e±ikF x ilϕ±,p (x)
(l)
ψ± (x) = F (l) √
e
,
(2.39)
2πa
dove a è il cut-off introdotto in Eq. (2.31) e kF indica il momento di Fermi lungo l’edge. Il fattore F (l) rappresenta il fattore di Klein per l’l-agglomerato [39]. I fattori di
Klein assicurano le corrette proprietà di statistica per lo scambio di eccitazioni su edge
diversi. Inserendo la (2.34) nella (2.39) si ottiene l’evoluzione temporale dell’operatore di
l-agglomerato
±eikF x ilϕ±,p (x∓vt)
(l)
ψ± (x, t) = F (l) √
e
.
(2.40)
2πa
2.2 Bosonizzazione dei campi nella sequenza di Laughlin
45
Tuttavia per identificare ψ (l) con l’operatore di l-agglomerato è ancora necessario verificare che siano soddisfatte le corrette proprietà di statistica. Richiamando le relazioni di
commutazione in Eq. (2.35) ed utilizzando la relazione [12]
eA eB = eB eA e[A,B]
(2.41)
valida per due operatori A e B che soddisfano [A, [A, B]] = [[A, B], B] = 0 si dimostra che
0
e±ikF x ilϕ±,p (x) (l) e±ikF x ilϕ±,p (x0 )
(l)
(l)
ψ± (x)ψ± (x0 ) = F (l) √
e
F √
e
2πa
2πa
0
e±ikF x ilϕ±,p (x0 ) (l) e±ikF x ilϕ±,p (x) −l2 [ϕ±,p (x),ϕ±,p (x0 )]
= F (l) √
e
F √
e
e
2πa
2πa
(l)
(l)
(l)
(l)
= ψ± (x0 )ψ± (x)e∓iνl
2 πsign(x−x0 )
0
≡ ψ± (x0 )ψ± (x)e∓iθl πsign(x−x ) .
(2.42)
Per quanto detto, l’operatore introdotto in Eq. (2.39) descrive un’eccitazione carica del
sistema che si propaga sul bordo con carica e statistica date da
Ql = −le∗ = −
l
e
2m + 1
l2
π
2m + 1
θl = νl2 π =
m ∈ N.
(2.43)
Si ricavano quindi l’espressione bosonizzata per l’operatore elettronico
(e)
(1/ν)
ψ± (x) ≡ ψ±
e±ikF x i 1 ϕ±,p (x)
eν
(x) = F (1/ν) √
2πa
Qe = −e
θe = π
(2.44)
(2.45)
e l’espressione bosonizzata per l’operatore di quasiparticella
e±ikF x iϕ±,p (x)
(qp)
(1)
e
ψ± (x) ≡ ψ± (x) = F (1) √
2πa
Qqp = −e∗ =
e
2m + 1
θqp = νπ =
π
2m + 1
(2.46)
m ∈ N.
(2.47)
Abbiamo cosı̀ ritrovato le proprietà di carica e di statistica delle eccitazioni cariche. E’
bene notare che le quasi-particelle introdotte nel Capitolo 1 erano definite all’interno del
bulk, dove il sistema è incompressibile per cui le eccitazioni presentano un gap energetico
di creazione. Al contrario le quasi-particelle sui bordi sono gapless e corrispondono alle
eccitazioni cariche di bassa energia del sistema; esse ereditano le stesse caratteristiche di
carica e statistica delle eccitazioni di bulk [40].
Abbiamo fino a questo punto descritto le eccitazioni di bassa energia del sistema Hall,
che possono essere distinte in eccitazioni neutre, date dai modi plasmonici, ed eccitazioni
cariche, che corrispondono a variazioni di carica sul bordo. Ingrediente fondamentale per
descrivere le eccitazioni è il campo bosonico ϕ± (x, t).
Nella prossima sezione calcoleremo il propagatore associato al generico l-agglomerato, che
tornerà utile nel Capitolo 3 per descrivere la propagazione di corrente sugli edge.
46
2.3
Gli stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
Calcolo del propagatore per le eccitazioni cariche di
bassa energia
Le funzioni di Green o propagatori sugli edge sono definiti come
D
E
(l)†
(l)
>
Gl,±
(x, x0 , t, t0 ) = ψ± (x, t)ψ± (x0 , t0 ) ,
(2.48)
D
E
(l)
(l)†
<
Gl,±
(x, x0 , t, t0 ) = ψ± (x, t)ψ± (x0 , t0 ) ,
(2.49)
dove la prima espressione è il propagatore di l-agglomerato di quasi-buche e la seconda è
il propagatore di l-agglomerato di quasi-particelle e h. . . i indica la media termodinamica.
In realtà grazie all’invarianza traslazionale di cui gode il sistema il propagatore dipende
solamente dalla differenza tra le variabili spaziali e temporali. Potremo quindi sempre
ridurre i propagatori nella forma
D
E
(l)†
(l)
>
Gl,±
(x, t) = ψ± (x, t)ψ± (0, 0) ,
(2.50)
D
E
(l)
(l)†
<
Gl,±
(x, t) = ψ± (x, t)ψ± (0, 0) .
(2.51)
Richiamando dalla (2.39) la scrittura dell’operatore di l-agglomerato in forma bosonizzata
si ha
e∓ikF x D −ilϕ±,p (x,t) ilϕ±,p (0,0) E
>
Gl,±
(x, t) =
,
(2.52)
e
e
2πa
e±ikF x D ilϕ±,p (x,t) −ilϕ±,p (0,0) E
<
Gl,±
(x, t) =
.
(2.53)
e
e
2πa
I fattori di Klein, presenti nell’espressione degli operatori ψ± , fattorizzano nella media
termica e non contribuiscono al risultato finale [39]. Sfruttando la relazione valida per il
generico campo bosonico non interagente A(x, t)
heiA(x,t) e−iA(0,0) i = ehA(x,t)A(0,0)i e−hA
2 (0,0)i
(2.54)
il propagatore diventa
>
Gl,±
(x, t) =
e∓ikF x l2 W± (x,t)
e
,
2πa
(2.55)
<
Gl,±
(x, t) =
e±ikF x l2 W± (x,t)
e
,
2πa
(2.56)
con W± (x, t) la funzione di correlazione a due punti per il campo bosonico data da
W± (x, t) = hϕ±,p (x, t)ϕ±,p (0, 0)i − hϕ2±,p (0, 0)i.
(2.57)
Per calcolare questa funzione è necessario ricordare l’espressione quantizzata del campo
bosonico. In questo caso occorre esplicitare la dipendenza temporale del campo
r
a
i
2πν X
i †
±ik(x∓vt)
∓ik(x∓vt)
ϕ±,p (x, t) =
− √ b±,±k e
+ √ b±,±k e
e− 2 k .
(2.58)
L
k
k
k>0
2.3 Calcolo del propagatore per le eccitazioni cariche di bassa energia
47
Si noti che, a causa della chiralità degli edge, il correlatore W± (x, t) dipende in realtà
soltanto dalla combinazione z± = x∓vt. Inserendo l’Eq. (2.31) nell’Eq. (2.57) e ricordando
che gli operatori obbediscono alla statistica di Bose-Einstein
hb±,±k b±,±q i = hb†±,±k b†±,±q i = 0
hb±,±k b†±,±q i =
eβvk
δk,q ,
eβvk − 1
hb†±,k b±,q i =
(2.59)
1
eβvk
−1
δk,q
(2.60)
si ottiene
βvk e
1
2πν X e−ak
±ikz±
∓ikz±
. (2.61)
e
− 1 + βvk
e
−1
W± (x, t) =
L
k
eβvk − 1
e
−1
k>0
R∞
P
1
Passando al continuo nel limite in cui L è arbitrariamente grande si ha L1 k>0 → 2π
0 dk
per cui si può riscrivere l’Eq. (2.61) nella forma
Z ∞
βvk
e−ak
(1 − cos[kz± ]) coth
∓ i sin[kz± ] .
(2.62)
W± (x, t) = −ν
dk
k
2
0
Espressioni di questo tipo compaiono tipicamente nell’ambito di sistemi quantistici dissipativi [41]. La convergenza dell’integrale in Eq. (2.62) è assicurata dalla presenza del
cut-off a. Questo cut-off, che da un punto di vista matematico dovrebbe essere mandato a zero, acquista significato fisico richiedendo che la teoria che stiamo sviluppando sia
applicabile come teoria efficace a basse energie. In questo senso il cut-off a rappresenta
la scala di lunghezza minima del sistema. Dal momento che si è visto nel Capitolo 1 che
ogni stato del sistema è localizzato all’incirca entro una lunghezza lB , si può identificare
il cut-off a proprio con la lunghezza magnetica lB .
Per procedere nel conto di Eq. (2.62) conviene separare il contributo a temperatura finita
dal contributo a temperatura nulla
W± (x, t) = W±,0 (x, t) + W±,β (x, t),
con
Z
W±,0 (x, t) = −ν
∞
dk
0
e−ak
[1 − cos(kz± ) ∓ i sin(kz± )]
k
contributo a temperatura nulla e
Z ∞
e−ak
βvk
W±,β (x, t) = −ν
dk
(1 − cos(kz∓ )) coth
−1
k
2
0
(2.63)
(2.64)
(2.65)
contributo a temperatura finita.
2.3.1
Caso di temperatura nulla
A temperatura nulla il correlatore risulta essere dato da Eq. (2.64)
Z ∞
i
e−ak h
W±,0 (x, t) = −ν
dk
1 − e±ikz±
k
0
" ∞
#
Z ∞
−ak
X (±ikz± )n
e
= −ν
dk
−
k
n!
0
n=1
#
"
Z ∞
∞
X
(±iz± )n n−1
−ak
k
.
= −ν
dke
−
n!
0
n=1
(2.66)
48
Gli stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
Operando un cambio di variabile y = ak e scambiando sommatoria e integrale si ottiene
n Z ∞
∞
X
±i za±
dye−y y n−1
W±,0 (x, t) = −ν
n!
0
= −ν
n=1
∞ X
±i
n=1
z± n Γ(n)
.
a
n!
(2.67)
Nell’ultima equazione è stata utilizzata l’espressione integrale della funzione Gamma di
Eulero
Z ∞
dye−y y n−1
(2.68)
Γ(n) =
0
che soddisfa Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ N0 [42]. Sfruttando l’identità
∞
X
xn
− ln(1 − x) =
n=1
n
si ottiene l’espressione finale per il correlatore bosonico a temperatura nulla
1
.
W±,0 (x, t) = ν ln
1 ∓ i za±
(2.69)
(2.70)
Questo fa si che il propagatore di l-agglomerato a temperatura nulla vada come [31]
(l)
G±,T =0 (x, t) ∼
1
(x ∓ vt)νl2
(2.71)
per cui per l’operatore elettronico si ha
1
(e)
G±,T =0 (x, t) ∝
(x ∓ vt)
1
ν
=
1
.
(x ∓ vt)2m+1
(2.72)
Si noti che il propagatore elettronico di edge acquista un esponente 2m + 1 > 1; ciò
implica che gli elettroni sull’edge di uno stato Hall frazionario sono fortemente correlati e
non possono essere descritti dalla teoria del liquido di Fermi, per il quale si avrebbe invece
(e)
G±,T =0 (x, t) ∝
1
.
(x ∓ vt)
(2.73)
La forma fortemente correlata del propagatore elettronico è una delle caratteristiche distintive dei già discussi liquidi di Tomonaga-Luttinger. Come vedremo nel Capitolo 3 essa
è direttamente collegata a risultati anomali nelle misure di trasporto, per cui è possibile
verificare sperimentalmente se si è o meno in presenza di un liquido di Tomonaga-Luttinger.
2.3.2
Caso di temperatura finita
Il termine del correlatore bosonico a temperatura finita può essere scritto nella forma
Z
W±,β (x, t) = −ν
∞
dk
0
e−βvk
e−ak 2 − eikz± − e−ikz±
.
k
1 − e−βvk
(2.74)
2.3 Calcolo del propagatore per le eccitazioni cariche di bassa energia
49
Effettuando la sostituzione y = βvk si ottiene
Z ∞
i
z±
z±
1
1
dy h −(1+ βω1 )y
1
−(1+ βω
−i βv
)y
−(1+ βω
+i βv
)y
c
c
c
.
W±,β (x, t) = −ν
2e
−e
−e
y
1 − e−βω
0
(2.75)
In Eq. (2.75) è stato introdotto un cut-off sull’energia imposto dalla velocità di propagazione v e dal cut-off a
v
ωc = .
(2.76)
a
Come vedremo in seguito le caratteristiche di trasporto del sistema nella sequenza di Laughlin dipendono dai rapporti tra le energie associate al voltaggio (Ql V ) e alla temperatura
(kB T ) e la scala di energia appena introdotta (ωc ). Tornando al calcolo del correlatore
bosonico, Eq. (2.75) può essere riscritta in termini della funzione Zeta di Hurwitz [42]
Z ∞
1
dt e−qt
ζ(α, q) =
(2.77)
Γ(α) 0 t1−α 1 − e−t
per cui si ottiene
1
z±
1
z±
1
) − ζ(α, 1 +
− i ) − ζ(α, 1 +
+i ) .
W±,β (x, t) = −ν lim Γ(α) 2ζ(α, 1 +
α→0
βωc
βωc
βv
βωc
βv
(2.78)
Ricordando le relazioni [42] valide nel limite α → 0
2 !
1
1
Γ(α) = + O
(2.79)
α
α
ln(2π)
1
α + O(α2 )
(2.80)
ζ(α, q) = − q + ln Γ(q) −
2
2
si ottiene
 2 
z± 1
 Γ 1 + βωc − i βv 
W±,β (x, t) = ν ln 
(2.81)
.
Γ2 (1 + βω1 c )
Mettendo insieme i contributi (2.70) e (2.81) si è ottenuta un’espressione del correlatore
bosonico
 2 
z± 1
 Γ 1 + βωc − i βv 
W± (x, t) = ν ln  2
(2.82)
.
Γ (1 + βω1 c )(1 ∓ i ωcvz∓ )
Definendo una nuova funzione
 2 
1
t  Γ 1 + βωc − i β 
W(t) = ν ln  2

Γ (1 + βω1 c )(1 + iωc t)
(2.83)
si possono riscrivere i correlatori sui due edge nella forma
W± (x, t) = W(t ∓ x/v).
(2.84)
Infine inserendo l’espressione ottenuta per il correlatore bosonico nelle (2.55) e (2.56) si
ottengono le funzioni di Green definite sugli edge.
50
Gli stati di edge nell’effetto Hall quantistico frazionario
Capitolo 3
Trasporto attraverso un Quantum
Point Contact in una barra Hall
Nei Capitoli precedenti è stata discussa l’importanza della chiralità degli edge per spiegare
la quantizzazione della conduttanza nei sistemi Hall. Infatti fenomeni di backscattering
corrispondono a un cambio nel verso di propagazione delle eccitazioni sul bordo, e possono
quindi avvenire solo attraverso eventi di tunneling tra un bordo e l’altro. Tuttavia la
probabilità che una particella su un edge effettui tunneling finendo sull’edge opposto è
esponenzialmente soppressa dalla distanza tra i bordi1 . Per questo motivo gli stati di
edge si comportano come canali unidimensionali a trasmissione perfetta e la conduttanza
risulta quantizzata (~ = 1) [43]
e2
G=
ν.
(3.1)
2π
Creando due contatti metallici al di sopra dell’interfaccia dove si forma il 2DEG è possibile
modificare la densità elettronica bidimensionale applicando un potenziale di gate Vg . In
particolare l’applicazione di un potenziale di gate negativo crea una regione di deplezione
intorno ai contatti causando un avvicinamento degli edge. La geometria cosı̀ ottenuta,
mostrata in Fig. 3.1, prende il nome di quantum point contact (QPC) [44] ed è il sistema
più semplice che permette scambio di particelle tra gli edge. Un’altra geometria spesso
utilizzata negli esperimenti è quella di cleaved edge overgrowth (CEO), che permette
tunneling tra un metallo e gli edge [44, 45], ma non sarà discussa in questa tesi. Nella
geometria di QPC si rendono possibili eventi di tunneling da un edge all’altro che si
manifestano macroscopicamente in una corrente di backscattering IBS , per cui la corrente
misurata I in seguito all’applicazione di un potenziale V tra gli edge è minore di quella
attesa
I = GV − IBS .
(3.2)
Questa geometria rappresenta il dispositivo più semplice per fornire prove sperimentali
della bontà del modello teorico finora elaborato, poiché permette di misurare sperimentalmente la corrente di backscattering e risalire eventualmente anche al tipo di particelle
(quasi-particelle, elettroni o in generale agglomerati) che hanno effettuato tunneling [46].
In particolare in questo modo si può verificare se gli stati di edge si comportino secondo
1
Nel seguito si discuterà solo la sequenza di Laughlin. Esistono casi più complicati, come ad esempio
la sequenza di Jain, in cui la struttura Hall è composta da diversi edge.
51
52
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
Figura 3.1: Geometria di QPC. Il potenziale di gate Vg < 0 causa l’avvicinamento degli
edge e permette fenomeni di tunneling (rappresentati da linee tratteggiate) da un bordo
all’altro.
il modello di liquido di Luttinger elaborato nel Capitolo 2. Vedremo infatti che lo stato
di elettroni fortemente correlato descritto dal liquido di Luttinger è responsabile di andamenti anomali della corrente in funzione del voltaggio e della temperatura rispetto ad un
liquido di Fermi.
Il trasporto attraverso il QPC può essere distinto in diversi regimi, riportati in Fig. 3.2, a
seconda dell’intensità del potenziale di gate.
(a)
• (a) Vg è molto piccolo e non riesce ad avvicinare i bordi in maniera sufficiente a
permettere eventi di tunneling. La corrente di backscattering è nulla e la conduttanza
è quantizzata secondo Eq. (3.1).
(b)
• (b) Regime di weak pinch-off. Il potenziale Vg è sufficiente ad avvicinare i bordi in
modo da permettere eventi di tunneling, con una debole corrente di backscattering
trattabile come una perturbazione alla corrente GV che scorre nel caso di canale
aperto Vg = 0. Vedremo che in questo regime il tunneling è dominato dalle quasiparticelle.
• (c) In questo regime la corrente di backscattering è dello stesso ordine della corrente
trasmessa e non si può trattare come una piccola perturbazione.
(d)
• (d) Regime di strong pinch-off. Il potenziale di gate Vg è tale da separare il fluido
Hall in due gocce distinte. In questo caso la corrente trasmessa può essere considerata
come una correzione alla corrente di backscattering. Nel regime di strong pinch-off
solo gli elettroni possono effettuare tunneling poiché le quasi-particelle non possono
esistere al di fuori del fluido Hall.
• (e) Regime di pinch-off totale. Tutta la corrente viene riflessa, quindi la corrente
trasmessa è nulla: I = 0.
In questo lavoro di tesi ci concentreremo sullo studio del regime di weak pinch-off di
Fig. 3.2(b), in cui la corrente di backscattering può essere trattata come una correzione
alla corrente trasmessa. In questo modo è possibile ricavare l’andamento teorico della
corrente utilizzando la teoria delle perturbazioni nel processo di tunneling.
3.1 La probabilità di tunneling
(a)
53
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 3.2: Cinque principali regimi di trasporto del QPC. Per una descrizione dei diversi
regimi si veda il testo.
3.1
La probabilità di tunneling
In questa sezione studieremo nel dettaglio la corrente di backscattering nel regime di weak
pinch-off. Il sistema è descritto schematicamente in Fig. 3.3. Etichetto con + (−) l’edge
superiore (inferiore) sul quale le eccitazioni si propagano progressivamente (regressivamente) e che risente del potenziale chimico µ+ (µ− ). La coordinata x si riferisce all’edge
+, la coordinata y si riferisce all’edge −. Nel caso Vg = 0 gli edge sono disaccoppiati e,
richiamando le Eqs. (2.20) e (2.28), il sistema è descritto dall’hamiltoniana
H0 = H+ + H− − µ+ N + − µ − N −
(3.3)
avendo separato il contributo dei modi plasmonici H± dal contributo di modo zero legato
ai potenziali elettrochimici, ossia −µ± N± .
Una differenza di potenziale V tra gli edge corrisponde ad uno squilibrio tra i potenziali
chimici
eV = µ+ − µ− .
(3.4)
In presenza di un potenziale di gate Vg < 0 gli edge si avvicinano ed è possibile che una
particella iniettata sull’edge + faccia tunneling e finisca sull’edge −, o viceversa. Questa
possibilità si esprime attraverso un’hamiltoniana di interazione che accoppia i due edge.
Assumiamo che gli edge interagiscano solo al centro del contatto con eventi di tunneling
54
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
edge +
x
Vg
X=0
y=0
Vg
y
edge -
Figura 3.3: Schema del QPC. Assumo che gli eventi di tunneling possano avvenire solo
puntualmente al centro del contatto (x = y = 0). L’evento riportato corrisponde ad una
particella che effettua tunneling dall’edge − all’edge +, ma è possibile anche il processo
inverso.
puntuali2 . Scegliendo il sistema di riferimento di Fig. 3.3 l’hamiltoniana di tunneling di
QPC assume la forma
(l)†
(l)
(l)†
(l)
HP = Λ0 ψ+ (0)ψ− (0) + Λ∗0 ψ− (0)ψ+ (0),
(3.5)
(l)
dove ψ± (0) sono gli operatori di l-agglomerato descritti nel Capitolo 2. La costante di
accoppiamento Λ0 si assume indipendente dal voltaggio e dalla temperatura. Si noti che
il primo termine di Eq. (3.5) rappresenta il processo di tunneling che corrisponde ad
un l-agglomerato che effettua tunneling dall’edge − all’edge +, mentre il suo hermitiano
coniugato rappresenta il processo inverso, in cui un l-agglomerato effettua tunneling dall’edge + all’edge −.
L’obiettivo sarà quindi il calcolo della corrente di backscattering indotta dal tunneling di
Eq. (3.5). Questa dipende dalla probabilità
pi→f (t0 , t) = | hf |i(t)i |2
(3.6)
che una particella, al tempo iniziale t0 nello stato
|ii = |Ni , αi i
(3.7)
2
Questa assunzione è utilizzata nella maggior parte dei lavori teorici sul quantum point contact.
L’obiettivo del Capitolo 4 sarà di estendere la trattazione a regioni di tunneling estese.
3.1 La probabilità di tunneling
55
effettui tunneling finendo al tempo t nello stato
|f i = |Nf , αf i.
(3.8)
Gli stati quantistici sono descritti dal numero totale di elettroni sugli edge
Ni = Ni,+ ⊕ Ni,− ,
Nf = Nf,+ ⊕ Nf,−
(3.9)
αf = αf,+ ⊗ αf,− .
(3.10)
e da tutti i restanti gradi di libertà bosonici
αi = αi,+ ⊗ αi,− ,
Si noti che il termine di tunneling HQP C fà si che che non si conservi più il numero di
particelle separatamente sui due edge
[N± , HP ] 6= 0,
(3.11)
mentre il numero totale di particelle è ancora conservato
[N+ + N− , HP ] = 0.
(3.12)
Tale condizione garantisce che, anche a seguito di tunneling di quasi-particelle a carica
frazionaria, la carica totale del sistema sia sempre un multiplo intero della carica dell’elettrone, come necessario visto che l’entità fondamentale costituente il fluido Hall è proprio
l’elettrone. Per calcolare la probabilità di tunneling di Eq. (3.6) conviene introdurre
l’operatore di evoluzione temporale in rappresentazione di interazione [12]
−i
U(t, t0 ) = T e
Rt
t0
HP (t0 )dt0
(3.13)
dove T indica l’operatore di ordinatamento temporale e HP (t) evolve rispetto all’hamiltoniana imperturbata H0 . In questo modo la probabilità di transizione (3.6) è data
da
R
R
−i t H (t0 )dt0
i t H (t0 )dt0
pi→f (t0 , t) = hf | T e t0 P
|ii hi| T̃ e t0 P
|f i ,
(3.14)
dove T e T̃ indicano rispettivamente gli operatori di ordinatamento e antiordinamento
temporale.
Questa espressione è esatta; se siamo interessati al limite di weak pinch-off, in cui la
corrente di backscattering è una piccola correzione alla corrente totale, si può sviluppare
Eq. (3.14) al primo ordine |Λ0 |2 nella perturbazione
Z
t
pi→f (t0 , t) =
Z
t
dt2 hNf , αf |HP (t1 )|Ni , αi i hNi , αi |HP (t2 )|Nf , αf i .
dt1
t0
(3.15)
t0
Supponendo che il sistema sia inizialmente in equilibrio a temperatura T si può sommare
su tutti gli stati bosonici iniziali, pesati coi rispettivi fattori di Boltzmann, e su tutti gli
stati bosonici finali, per cui ci interessa in realtà calcolare
Pi→f (t0 , t) =
X e−βEαi
pi→f (t0 , t)
Z
α ,α
i
f
56
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
Z t
X e−βEαi Z t
dt2 hNf , αf |HP (t1 )|Ni , αi i hNi , αi |HP (t2 )|Nf , αf i ,
dt1
=
Z
t0
t0
α ,α
i
(3.16)
f
dove abbiamo definito la funzione di partizione bosonica Z =
P
αi
e−βEαi , con Eαi energia
della configurazione dei modi bosonici αi . La probabilità di transizione di un l-agglomerato
si ottiene inserendo la (3.5) nell’Eq. (3.16)
(l)
Pi→f (t0 , t) =
Z t
X e−βEαi Z t
dt2 ·
dt1
Z
t0
t0
α ,α
i
f
D
h
i
E
(l)†
(l)
(l)†
(l)
· Nf , αf |eiH0 t1 Λ0 ψ+ (0, 0)ψ− (0, 0) + Λ∗0 ψ− (0, 0)ψ+ (0, 0) e−iH0 t1 |Ni , αi ·
D
h
i
E
(l)†
(l)
(l)†
(l)
· Ni , αi |eiH0 t2 Λ0 ψ+ (0, 0)ψ− (0, 0) + Λ∗0 ψ− (0, 0)ψ+ (0, 0) e−iH0 t2 |Nf , αf ,
(3.17)
avendo esplicitato l’evoluzione temporale di HP (t).
Si noti che dei quattro termini nella (3.17) solo due danno un contributo diverso da zero;
essi corrispondono alla probabilità che un l-agglomerato effettui tunneling dall’edge −
all’edge +
Z t
X e−βEαi Z t
(l)
2
P−,+ (t0 , t) = |Λ0 |
dt1
dt2 ·
Z
t0
t0
α ,α
i
f
D
E
(l)†
(l)
· Nf , αf |eiH0 t1 ψ+ (0, 0)ψ− (0, 0)e−iH0 t1 |Ni , αi ·
D
E
(l)†
(l)
· Ni , αi |eiH0 t2 ψ− (0, 0)ψ+ (0, 0)e−iH0 t2 |Nf , αf ,
(3.18)
e alla probabilità che un l-agglomerato effettui tunneling dall’edge + all’edge −
(l)
P+,− (t0 , t)
Z t
X e−βEαi Z t
= |Λ0 |
dt1
dt2 ·
Z
t0
t0
α ,α
2
i
f
D
E
(l)†
(l)
· Nf , αf |eiH0 t1 ψ− (0, 0)ψ+ (0, 0)e−iH0 t1 |Ni , αi ·
D
E
(l)†
(l)
· Ni , αi |eiH0 t2 ψ+ (0, 0)ψ− (0, 0)e−iH0 t2 |Nf , αf .
(3.19)
Consideriamo il caso in cui un l-agglomerato effettua tunneling dall’edge − all’edge +. La
probabilità in Eq. (3.18) può essere riscritta nella forma
(l)
P−,+ (t0 , t) = |Λ0 |2
Z t
X e−βEαi Z t
dt1
dt2 ·
Z
t0
t0
α ,α
i
f
D
E
(l)†
(l)
· Nf , αf |e−i(µ+ N+ −µ− N− )t1 ψ+ (0, t1 )ψ− (0, t1 )ei(µ+ N+ −µ− N− )t1 |Ni , αi ·
D
E
(l)†
(l)
· Ni , αi |e−i(µ+ N+ −µ− N− )t2 ψ− (0, t2 )ψ+ (0, t2 )ei(µ+ N+ −µ− N− )t2 |Nf , αf ,
(3.20)
3.1 La probabilità di tunneling
57
nella quale gli operatori evolvono secondo la sola parte plasmonica H+ + H− . Il risultato
dipende da quale entità sia coinvolta nel tunneling. In generale se attribuiamo l’evento di
tunneling al generico l-agglomerato si ha
Z t
X e−βEαi Z t
(l)
2
dt2 eilν(µ+ −µ− )(t2 −t1 ) ·
P−,+ (t0 , t) = |Λ0 |
dt1
Z
t
t
0
0
α ,α
i
(l)†
f
(l)†
(l)
(l)
·hαf |ψ+ (0, t1 )ψ− (0, t1 )|αi ihαi |ψ− (0, t2 )ψ+ (0, t2 )|αf i.
(3.21)
Utilizzando l’Eq. (3.4) e invertendo
l’ordine dei prodotti scalari, cosı̀ da poter sfruttare la
P
relazione di completezza |αf ihαf | = 1, si ottiene
αf
(l)
P−,+ (t0 , t) = |Λ0 |2
XZ
αi
t
Z
t
dt1
dt2 eiQl V (t2 −t1 ) ·
t0
t0
e−βEαi
(l)†
(l)
(l)†
(l)
hαi |ψ− (0, t2 )ψ+ (0, t2 )ψ+ (0, t1 )ψ− (0, t1 )|αi i,
Z
avendo sfruttato l’Eq. (3.4) e introdotto la carica dell’l-agglomerato
·
Ql = lνe = le∗ .
In Eq. (3.22) compare la media termica h. . . i =
(l)
P−,+ (t0 , t)
= |Λ0 |
2
Z
t
Z
t
dt1
t0
(3.23)
P e−βEαi
αi
(3.22)
Z
hαi | . . . |αi i per cui si ha
D
E
(l)†
(l)
(l)†
(l)
dt2 eiQl V (t2 −t1 ) ψ− (0, t2 )ψ+ (0, t2 )ψ+ (0, t1 )ψ− (0, t1 ) .
t0
(3.24)
Poiché operatori definiti su edge diversi sono indipendenti la media termica in può essere
scomposta nella forma
Z t
Z t
D
ED
E
(l)
(l)†
(l)
(l)
(l)†
2
P−,+ (t0 , t) = |Λ0 |
dt1
dt2 eiQl V (t2 −t1 ) ψ− (0, t2 )ψ− (0, t1 ) ψ+ (0, t2 )ψ+ (0, t1 ) ,
t0
t0
(3.25)
e richiamando le definizioni (2.48) e (2.49) si ottiene
Z t
Z t
(l)
2
>
<
P−,+ (t0 , t) = |Λ0 |
dt1
dt2 eiQl V (t2 −t1 ) Gl,−
(0, t2 − t1 )Gl,+
(0, t2 − t1 ),
t0
(3.26)
t0
essendo le funzioni di Green date da
D
E
(l)†
(l)
>
Gl,−
(0, t2 − t1 ) = ψ− (0, t2 )ψ− (0, t1 ) ,
(3.27)
D
E
(l)
(l)†
<
Gl,+
(0, t2 − t1 ) = ψ+ (0, t2 )ψ+ (0, t1 ) .
(3.28)
Con un cambio di variabile t2 → t0 = t2 − t1 l’integrale in Eq. (3.26) fattorizza. In
particolare la probabilità di tunneling presenta un andamento lineare nel tempo e si può
scrivere come
(l)
(l)
P−,+ (t) = (t − t0 )Γ−,+ (V, T ),
(3.29)
58
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
avendo introdotto il rate di tunneling definito come probabilità di transizione per unità di
tempo
Z ∞
(l)
dP−,+ (t)
(l)
>
<
dteiQl V t Gl,−
(0, t)Gl,+
(0, t),
(3.30)
Γ−,+ (V, T ) =
= |Λ0 |2
dt
−∞
che dipende dalla differenza di potenziale tra gli edge V , oltre che dalla temperatura.
Allo stesso modo si può definire il rate di tunneling per il processo inverso, in cui un
l-agglomerato effettua tunneling dall’edge + all’edge −, che risulta essere dato da
(l)
(l)
Γ+,− (V, T )
dP+,− (t)
=
= |Λ0 |2
dt
Z
∞
−∞
>
<
dte−iQl V t Gl,+
(0, t)Gl,−
(0, t),
(3.31)
ed è legato al precedente dalla relazione
(l)
(l)
Γ+,− (V, T ) = Γ−,+ (−V, T ).
(3.32)
Dai rate di tunneling per i due processi è possibile risalire alla corrente di backscattering
(l)
(l)
I (l) (V, T ) = Ql Γ−,+ (V, T ) − Γ+,− (V, T )
(3.33)
che in virtù di Eq. (3.32) può essere scritta in termini del solo contributo dovuto a
tunneling dall’edge − all’edge +
(l)
(l)
(3.34)
I (l) (V, T ) = Ql Γ−,+ (V, T ) − Γ−,+ (−V, T ) .
Nella prossima sezione ci occuperemo di calcolare la corrente di backscattering dovuta
a tunneling di l-agglomerato. A tale scopo sarà necessario richiamare le espressioni bosonizzate degli operatori di l-agglomerato date nel Capitolo 2. Da questa analisi sarà
possibile predire l’andamento della corrente di backscattering in funzione del voltaggio e
della temperatura.
3.2
La corrente di backscattering
Per tutto il resto del Capitolo ci occuperemo di calcolare il rate di tunneling dall’edge −
all’edge +, essendo sufficiente per calcolare la corrente secondo la (3.34). Nelle notazioni successive si eviterà quindi di specificare il processo. D’altra parte, per ricordare che
stiamo calcolando il rate di tunneling per interazione puntuale tra gli edge, le grandezze fisiche veranno etichettate con una P (puntuale) per distinguerle dalle grandezze che
calcoleremo nel Capitolo 4, le quali si riferiranno invece ad una regione estesa. Vogliamo
quindi calcolare
Z
(l)
∞
ΓP (V, T ) = |Λ0 |2
−∞
>
<
dteiQl V t Gl,−
(0, t)Gl,+
(0, t).
(3.35)
Occorre ricordare le espressioni per i propagatori di edge valutate nelle Eqs. (2.55), (2.56)
>
Gl,−
(0, t) =
1 l2 W− (0,t)
e
2πa
(3.36)
<
Gl,+
(0, t) =
1 l2 W+ (0,t)
e
.
2πa
(3.37)
3.2 La corrente di backscattering
59
Si noti che i fattori di Klein sono stati omessi nelle espressioni precedenti. Si può infatti mostrare che nel caso che stiamo considerando essi non danno alcun contributo [39].
Inserendo queste espressioni in Eq. (3.31) si ottiene
Z ∞
|Λ0 |2
2
(l)
ΓP (V, T ) =
dteiQl V t el (W− (0,t)+W+ (0,t))
(2πa)2 −∞
Z ∞
|Λ0 |2
2
=
dteiQl V t e2l W(t) ,
(3.38)
2
(2πa) −∞
avendo richiamato la funzione definita in Eq. (2.83) per cui
W± (x, t) = W(t ∓ x/v).
(3.39)
Inserendo l’espressione (2.83) in Eq. (3.38) si ottiene
(l)
ΓP (V, T ) =
|2
|Λ0
(2πa)2
 2 2g
1
t Γ
1
+
−
i
βωc
β 

dteiQl V t  2

Γ (1 + βω1 c )(1 + iωc t)
−∞
Z
∞
=
|Λ0 |2
P̃g (0, Ql V ).
(2πa)2
(3.40)
con g = l2 ν, che vale ν nel caso di quasi-particelle (l = 1) e vale 1/ν nel caso di elettroni
(l = 1/ν), avendo definito
Z ∞
P̃g (0, ω) =
dtPg (0, t),
(3.41)
−∞
trasformata di Fourier di
g
Pg (0, t) = e2 ν W(t)
 2 2g
t 1
−
i
Γ
1
+
βωc
β 

= 2
 .
Γ (1 + βω1 c )(1 + iωc t)
(3.42)
Si noti che la dipendenza del rate di tunneling dall’entità che salta è contenuta nella
carica Ql e nell’esponente g, che vale ν nel caso di quasi-particelle (l = 1) e 1/ν nel caso
di elettroni (l = 1/ν).
Il calcolo della funzione P̃g (0, ω) è svolto in dettaglio in Appendice B. Nel limite βωc 1
si ottiene
1 βω 2π 2g−1
βω
βω
P̃g (0, ω) =
e2
B g − i ,g + i
(3.43)
ωc
βωc
2π
2π
dove B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y) è la funzione Beta di Eulero [42]. Il rate di tunneling
risulta quindi essere dato da
|Λ0 |2 1 βQl V
2π 2g−1
βQl V
βQl V
(l)
2
ΓP (V, T ) =
e
B g−i
,g + i
.
(3.44)
(2πa)2 ωc
βωc
2π
2π
Osservando l’Eq. (3.44) si nota che sussiste la relazione di bilancio dettagliato [47, 48]
(l)
(l)
ΓP (−V, T ) = e−βQl V ΓP (V, T )
(3.45)
60
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
che permette di riscrivere la corrente di backscattering di Eq. (3.34) nella forma
(l)
(l)
IP (V, T ) = Ql 1 − e−βQl V ΓP (V, T )
βQl V
βQl V
(l)
ΓP (V, T ).
= 2Ql e 2 sinh
2
(3.46)
Il principio di bilancio dettagliato è una proprietà generale del sistema, dipendente dalla
forma analitica delle funzioni di Green e non dalla forma del rate di Eq. (3.44), come sarà
dimostrato nella prossima sezione.
3.2.1
Principio di bilancio dettagliato per tunneling puntuale
Per dimostrare questa fondamentale proprietà si osservi l’Eq. (3.38)
(l)
ΓP (−V
|Λ0 |2
)=
(2πa)2
Z
∞
dte−iQl V t e2l
2 W(t)
.
(3.47)
−∞
Operando un cambio di variabile t → −t0 e sfruttando la proprietà analitica del propagatore bosonico
W(−t) = W(t − iβ)
(3.48)
si ottiene
(l)
ΓP (−V
) =
|Λ0 |2
(2πa)2
= e
−βQl V
Z
∞
0
dt0 eiQl V t e2l
2 W(t0 −iβ)
−∞
|Λ0 |2
(2πa)2
Z
∞−iβ
dteiQl V t e2l
2 W(t)
(3.49)
−∞−iβ
dove nel secondo passaggio è stato effettuato un nuovo cambio di variabile t0 − iβ → t.
Grazie all’analiticità della funzione W(t) l’integrale in (3.49) è pari all’integrale esteso su
tutto l’asse reale, per cui si ottiene
(l)
ΓP (−V, T ) = e−βQl V
= e
−βQl V
|Λ0 |2
(2πa)2
Z
∞
dteiQl V t e2l
2 W(t)
−∞
(l)
ΓP (V, T )
(3.50)
che costituisce la relazione di bilancio dettagliato.
Richiamando l’Eq. (3.44) si ottiene quindi l’espressione esplicita della corrente di backscattering nella geometria di QPC con tunneling puntuale
(l)
IP (V, T ) =
|2
|Λ0 2Ql
(2πa)2 ωc
2πkB T
ωc
2l2 ν−1
sinh
Ql V
2kB T
Γ l2 ν + i
Ql V
2πkB T
Γ (2l2 ν)
2
.
(3.51)
Si noti che la corrente dipende solo dai vari rapporti tra le scale energetiche in gioco.
In particolare l’espressione (3.51) può essere analizzata in due limiti: temperatura nulla
(T → 0) e voltaggio nullo (V → 0).
3.2 La corrente di backscattering
3.2.2
61
Corrente nel limite Ql V kB T
In questo limite si ha Ql V /kB T 1 e si può quindi utilizzare l’espansione asintotica della
funzione Gamma di Eulero [42]
√
|Γ(x + iy)| →
y→∞
π
1
πe− 2 y |y|x− 2 ,
(3.52)
per cui si ottiene
(l)
IP (V, T ) =
Ql |Λ0 |2
1
ωc (2πa)2 Γ(2l2 ν)
2l2 ν−1
Ql V
ωc
Θ(V ) + O
kB T
Ql V
,
(3.53)
dove Θ(V ) è la funzione di Heaviside. La dipendenza della corrente di backscattering
dal voltaggio è del tipo legge di potenza, con l’esponente dipendente dal filling factor e
dall’entità che effettua tunneling
(l)
IP (V, T
= 0) =
(l)
I0
Ql V
ωc
2l2 ν−1
,
(3.54)
avendo definito
(l)
I0 =
Ql |Λ0 |2
1
.
2
ωc (2πa) Γ(2l2 ν)
(3.55)
La corrente di quasi-particella (l = 1) vale
(qp)
IP (V, T
= 0) =
(qp)
I0
e∗ V
ωc
2ν−1
(3.56)
e presenta un esponente pari a 2ν − 1 mentre la corrente di elettroni (l = 1/ν) vale
(e)
IP (V, T
= 0) =
(e)
I0
eV
ωc
2 −1
ν
(3.57)
e presenta un esponente pari a 2/ν − 1. Si noti che il contributo di quasi-particella e
quello di elettrone sono legati dalla sostituzione ν → 1/ν, che rappresenta la dualità tra
quasi-particelle ed elettroni.
Si noti inoltre che per tutte le frazioni appartenenti alla sequenza di Laughlin si ha
2ν − 1 < 0 < 2/ν − 1 e quindi la corrente di quasi-particelle diverge per V → 0, mentre la
corrente di elettroni tende a zero. In questo senso il tunneling di quasi-particelle è dominante rispetto a quello di elettroni3 [49]. Tuttavia è bene notare che una divergenza della
corrente di tunneling è in contrasto con l’espansione perturbativa che stiamo conducendo,
in quanto viola il regime di weak pinch-off che ci ha permesso di considerare affidabile
un’espansione perturbativa al primo ordine nell’interazione. I risultati a cui siamo giunti,
in particolare riguardo alla dominanza del tunneling di quasi-particella, rimangono comunque validi finché la corrente di backscattering costituisce una piccola correzione alla
corrente trasmessa.
3
In generale il tunneling di quasi-particelle è dominante rispetto al tunneling di l-agglomerato.
62
3.2.3
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
Corrente nel limite Ql V kB T
In questo limite la corrente di backscattering può essere ottenuta sviluppanda la (3.51) in
serie di Taylor rispetto a Ql V /kB T ed è data da
(l)
IP (V, T )
=
Q2l
|Λ0 |2 Γ2 (l2 ν)
(2πaωc )2 Γ(2l2 ν)
2πkB T
ωc
2l2 ν−2
V +O
Ql V
kB T
.
(3.58)
Anche in questo caso si evidenzia un andamento a legge di potenza in funzione della
temperatura, con l’esponente dipendente dal filling factor e dal tipo di agglomerato che
effettua tunneling
2l2 ν−2
(l)
(l) kB T
IP (V → 0, T ) = V G0
,
(3.59)
ωc
avendo definito
(l)
G0 = Q2l
2
|Λ0 |2 Γ2 (l2 ν)
(2π)2l ν−2
(2πaωc )2 Γ(2l2 ν)
(3.60)
che ha le dimensioni di una conduttanza.
Dalla corrente è possibile ricavare la dipendenza della conduttanza in regime lineare dalla
temperatura
!
2l2 ν−2
(l)
dI
(V,
T
)
p
(l)
(l) kB T
.
(3.61)
GP (T ) =
= G0
dV
ωc
V =0
Anche in questo caso si avranno andamenti diversi per la quasi-particella e l’elettrone. La
conduttanza, considerando tunneling di quasi-particella (l = 1), è descritta dall’andamento
(qp)
GP (T )
=
(qp)
G0
kB T
ωc
2ν−2
,
(3.62)
diverso dall’andamento atteso per tunneling di elettroni (l = 1/ν)
(e)
GP (T )
=
(e)
G0
kB T
ωc
2 −2
ν
.
(3.63)
Anche in questo caso il contributo di quasi-particella risulta dominante rispetto al contributo elettronico ed anche in questo caso si osserva la dualità tra quasi-particella ed
elettrone.
Abbiamo quindi ottenuto due leggi di potenza per le proprietà di trasporto del sistema
∗ 2g−1
(l)
(l) le V
IP (V, T = 0) = I0
(3.64)
ωc
2g−2
(l)
(l) kB T
GP (T ) = G0
(3.65)
ωc
con g = l2 ν. Si noti che nel caso intero (ν = g = 1) la corrente risulta lineare nel voltaggio, riproducendo la legge di Ohm, e la conduttanza differenziale lineare non dipende
dalla temperatura, in accordo con il modello a liquido di Fermi.
Nel caso frazionario la dipendenza delle proprietà di trasporto dal voltaggio e dalla temperatura è sempre del tipo legge di potenza, ma con esponenti diversi da quelli previsti dal
3.3 Esperimenti nella geometria di quantum point contact
63
modello a liquido di Fermi. Questi andamenti sono conseguenza diretta della struttura
del propagatore sugli edge, la quale è determinata dalla forte correlazione presente nel
sistema. In questo senso misure di trasporto attraverso geometrie quali quella di quantum
point contact possono essere uno strumento efficace per verificare l’esistenza di sistemi
elettronici fortemente correlati.
Andamenti a legge di potenza sono infatti tipici anche di altri sistemi correlati unidimensionali, quali i fili quantici [50, 51] o i nanotubi di carbonio [52]. Tuttavia misure di
trasporto in questi sistemi dipendono in maniera cruciale dalla distribuzione di impurezze, che causano fenomeni di localizzazione e backscattering, e dal tipo di interazione, che
modifica l’esponente nelle leggi di potenza. Al contrario, gli stati di edge nell’effetto Hall
quantistico frazionario non risentono di fenomeni di backscattering, se non come conseguenza dell’interazione indotta tra gli edge attraverso il QPC, poiché come abbiamo visto
hanno natura chirale, e l’esponente che compare nella legge di potenza è quantizzato e
legato alle proprietà di bulk del sistema.
Si capisce quindi perché moltissimi esperimenti si concentrino sulle proprietà degli stati di
edge e in particolare sulla geometria di quantum point contact.
Nella prossima sezione saranno descritti alcuni esperimenti realizzati sugli stati di edge nella geometria di quantum point contact nel regime di weak pinch-off, che abbiamo trattato
teoricamente, rimandando alla letteratura per quanto riguarda gli esperimenti realizzati
nel regime di strong pinch-off [53] o in altre geometrie [44, 45].
3.3
Esperimenti nella geometria di quantum point contact
In questa sezione sono illustrati due diversi esperimenti che hanno in parte confermato e
in parte contraddetto la teoria fin qui sviluppata. Si tratta di due esperimenti condotti
dal gruppo di F. Beltram del NEST di Pisa e dal gruppo di M. Heiblum del Weizmann
Institute di Israele.
Entrambi gli esperimenti si concentrano sullo studio delle proprietà di trasporto degli stati
di edge in sistemi Hall frazionari con filling factor ν = 1/3 nella geometria di quantum
point contact nel regime di weak pinch-off. Questi esperimenti possono quindi essere
confrontati con la teoria che abbiamo sviluppato.
3.3.1
Il gruppo di F. Beltram NEST di Pisa
In questo esperimento [54] si utilizza un 2DEG creato a partire da un un eterogiunzione
GaAs/Al0.3 Ga0.7 As di densità ne ∼ 5 1010 cm−2 e mobilità µ ∼ 1 106 cm2 /Vs. Il campo
magnetico applicato è pari a B ∼ 6 T e il sistema si trova nello stato Hall frazionario
ν = 1/3. La geometria di quantum point contact è realizzata applicando un potenziale di
gate Vg = −0.4 V a due contatti metallici cresciuti sulla superficie a distanza 140 nm dal
2DEG, in modo da avvicinare i bordi e permettere eventi di tunneling nel regime di weak
pinch-off.
Con questo dispositivo si effettuano misure di conduttanza differenziale G(VT ) = dIT /dVT
nel range di temperature da 30 mK a 900 mK (mantengo le notazioni utilizzate nell’articolo, in cui IT indica la corrente di backscattering e VT il potenziale applicato tra i bordi). Le
misure effettuate sono riportate in Fig. 3.4(a). Per valori di temperature sufficientemente
alti (> 400 mK) i dati sperimentali, riportati in Fig. 3.4(c), trovano un buon accordo con
64
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
Figura 3.4: Misure di conduttanza differenziale per un sistema nello stato ν = 1/3 effettuate dal gruppo del NEST. a) Misura della conduttanza differenziale dIT /dVT in funzione
del potenziale di bias VT per i seguenti valori di temperatura (curve dal basso verso l’alto):
(30, 100, 200, 300, 400, 500, 700, 900) mK. Si osservi la transizione da massimo a minimo
della conduttanza per VT = 0 attorno a 400 mK. b) Andamenti teorici della conduttanza
differenziale dIT /dVT in funzione del potenziale di bias VT per alcuni valori di temperatura
sopra 400 mK. c) Misura della conduttanza differenziale per gli stessi valori di temperatura
riportati nel pannello (b); si osservi il buon accordo qualitativo tra teoria ed esperimenti
per temperaure sopra i 400 mK. Tratto da [54].
gli andamenti teorici, riportati in Fig. 3.4(b) e ottenibili derivando la (3.51) rispetto al
voltaggio V . La conduttanza presenta un picco per VT = 0; aumentando la temperatura
questo picco si allarga e diminuisce in intensità fino a scomparire a temperature T ∼ 1 K
mentre abbassando la temperatura si restringe e aumenta in intesità.
Questo avviene fino a che si raggiungono temperature T ∼ 400 mK. Per temperature
ancora inferiori (T < 400 mK) si osserva la comparsa di un minimo della conduttanza in
VT = 0, accompagnata da una più marcata asimmetria rispetto a VT .
Questo andamento anomalo è stato giustificato in termini di una simmetria particella-buca
del sistema, come mostrato dagli stessi autori dell’esperimento in un lavoro successivo [55],
o anche ipotizzando un’inomogeneità del sistema, per cui esso risulta descritto da un filling
factor ν lontano dal contatto e da un filling factor ν ∗ < ν nei pressi dello stesso [56].
3.3.2
Il gruppo di M. Heiblum del Weizmann Institute di Israele
In questo esperimento [57] si effettuano misure di corrente di backscattering nella geometria di quantum point contact, in un regime di pinch-off estremamente debole (la corrente
di backscattering è pari a circa il 3% della corrente trasmessa), in cui dovrebbe dominare il
tunneling di quasi-particella. Misure di rumore confermano infatti che l’entità che effettua
tunneling ha carica frazionaria pari a e/3. Le misure sono effettuate fino a temperature
3.3 Esperimenti nella geometria di quantum point contact
65
estremamente basse (T ∼ 9 mK). Il bulk del sistema ha filling factor ν = 1/3, immerso in
un campo magnetico B ≈ 14.26 T. In Fig. 3.5 è mostrato in scala bilogaritmica l’anda-
Figura 3.5: Grafico in scala bilogaritmica della corrente di backscattering in funzione
della temperatura ottenuto nell’ambito dell’esperimento di M. Heiblum. La linea retta
rappresenta un fit a legge di potenza. Tratto da [57].
mento della corrente di backscattering IB in funzione della temperatura T . Dalla teoria
elaborata ci aspettiamo che la corrente segua un andamento del tipo legge di potenza.
Dall’Eq. (3.59) nel caso ν = 1/3 ci si attende un andamento del tipo
(qp)
IP (V, T )
=V
(qp)
G0
kB T
ωc
− 4
3
,
(3.66)
che riportato in scala bilogaritmica è descritto da una retta con pendenza negativa. I dati
sperimentali mostrano un andamento a legge di potenza, come previsto dal modello di
liquido di Luttinger chirale, ma la pendenza della curva sperimentale è opposta rispetto
a quella prevista teoricamente. Questa anomalia viene interpretata come un effetto di
rinormalizzazione dell’esponente [58], causato dall’interazione con gradi di libertà esterni,
che inducono un cambio di pendenza nell’andamento teorico atteso. In letteratura si trovano diversi modelli di interazione che possono generare questo tipo di rinormalizzazione,
basati su accoppiamenti con bagni di fononi [59], interazioni elettrone-elettrone [60, 61],
processi di edge reconstruction [62, 63] o anche effetti del rumore 1/f [64]. L’andamento
della corrente non è più descritto dalla (3.66), ma dalla legge con esponente rinormalizzato
(qp)
IP (V, T )
=V
(qp)
G0
kB T
ωc
2gc ν−2
,
(3.67)
dove gc è il parametro di rinormalizzazione che dovrebbe tenere conto delle interazioni con
l’esterno. Si noti che nel caso considerato, cioè ν = 1/3, si ottiene l’inversione di pendenza
della retta per valori del parametro di rinormalizzazione gc > 3.
66
Trasporto attraverso un Quantum Point Contact in una barra Hall
Questi due esperimenti da un lato confermano parzialmente la teoria fin qui formulata
per il tunneling attraverso un quantum point contact, ma allo stesso tempo presentano
delle anomalie.
Come visto le proprietà di trasporto misurate possono differire dai risultati teorici per
diversi motivi. Innanzitutto per potere effettuare misure sperimentali è necessario che
l’ampiezza di tunneling sia sufficientemente grande da produrre una corrente di backscattering misurabile; in questo senso non è detto che i risultati ottenuti in teoria della risposta
lineare siano affidabili e può rivelarsi necessario sviluppare ad ordini perturbativi più alti
[65]. Inoltre fin qui abbiamo assunto che la densità elettronica sia uniforme in tutto il
campione; d’altra parte il potenziale di gate può modificare la densità elettronica al centro
del contatto. Di questo bisogna in principio tener conto quando si costruisce un modello
teorico di tunneling [55]. Infine il sistema può non essere perfettamente isolato, per cui le
interazioni con l’esterno possono portare a rinormalizzazioni degli esponenti nelle leggi di
potenza previste teoricamente [58]. Questi modelli sono estensivamente trattati in letteratura e non saranno ulteriormente discussi in questa tesi.
Osserviamo però che esiste un’ulteriore assunzione adottata fin qui che è senza dubbio
troppo riduttiva: quella di interazione puntuale tra gli edge. Più realisticamente, il potenziale di gate avvicina i bordi del campione permettendo tunneling di particelle in una
regione estesa di punti. Nel prossimo Capitolo studieremo in quale modo la natura estesa
del contatto modifichi gli andamenti della corrente di backscattering e rappresenti quindi
un modello alternativo per spiegare alcune delle anomalie discusse.
Capitolo 4
Trasporto attraverso giunzioni
estese
Lo scaling a legge di potenza della corrente di backscattering è uno strumento potente
per dimostrare che il sistema si comporta come un liquido di Luttinger. Nel corso dei
Capitoli precedenti tale scaling è stato dimostrato a partire da un semplice modello in cui
gli edge interagiscono attraverso un point contact. In diverse situazioni questo semplice
modello può rivelarsi sufficiente a spiegare i risultati sperimentali. Quando ciò non accade
è necessario estendere lo studio a situazioni più complicate. In questo Capitolo vogliamo
studiare come le proprietà di trasporto di un sistema Hall siano modificate lasciando
cadere l’ipotesi che l’interazione tra gli edge sia confinata ad un unico punto del sistema.
Considereremo quindi un sistema Hall in cui, attraverso un potenziale di gate, i due edge
possono interagire in una regione estesa spazialmente, dando una descrizione più realistica
rispetto a quella di quantum point contact. Si consideri la geometria di Fig. 4.1. Il
caso puntuale considera come unico evento di tunneling possibile quello tra i punti in
cui gli edge sono più vicini, che corrisponde in figura allo scattering tra i punti x = 0 e
y = 0 indicato dalla linea blu. Tuttavia realisticamente saranno possibili anche eventi di
scattering che coinvolgono percorsi più lunghi di quello minimo puntuale. Ovviamente,
più lungo è il cammino che la particella deve effettuare nel processo di tunneling, minore
sarà la probabilità che questo evento si realizzi.
Come già fatto nel Capitolo 3, etichetto con + (−) l’edge superiore (inferiore) sul quale
le eccitazioni si propagano progressivamente (regressivamente) e risentono del potenziale
chimico µ+ (µ− ). La coordinata x si riferisce all’edge +, la coordinata y si riferisce all’edge
−. La geometria di Fig. 4.1 è ottenuta attraverso l’accensione di un potenziale di gate
che avvicina gli edge. Una differenza di potenziale V tra gli edge crea uno squilibrio tra i
potenziali chimici
eV = µ+ − µ− .
(4.1)
Tale squilibrio si manifesta in una corrente netta che attraversa il campione. Nella regione
in cui i bordi si avvicinano si può avere tunneling da un edge all’altro e quindi, a causa
della natura chirale di questi, una corrente di backscattering, che diminuisce la corrente
netta che scorre nel campione.
L’hamiltoniana totale del sistema conterrà quindi, oltre il termine imperturbato
H0 = H+ + H− − µ+ N+ − µ− N−
67
(4.2)
68
Trasporto attraverso giunzioni estese
edge +
x
Vg
X=0
y=0
Vg
y
edge -
Figura 4.1: Schema di quantum point contact esteso con eventi di tunneling all’interno di
una regione estesa. Il tunneling puntuale discusso nel Capitolo 3 è mostrato dalla linea
tratteggiata blu. La freccia nera rappresenta uno degli infiniti eventi di tunneling possibili
in un quantum point contact esteso.
dato dal contributo dei modi plasmonici H± di Eqs. (2.20), (2.28) e dal contributo dei modi
zero legato ai potenziali elettrochimici −µ± N± , anche un termine di tunneling, in questo
caso esteso (etichetto con L le quantità associate al tunneling esteso, per distinguerle da
quelle calcolate nel Capitolo 3, etichettate invece con una P )
Z
HL =
(l)
h
i
(l)†
(l)
(l)†
(l)
dxdy Λx,y ψ+ (x)ψ− (y) + Λ∗x,y ψ− (y)ψ+ (x) ,
(4.3)
dove ψ± (0) sono gli operatori di l-agglomerato descritti nel Capitolo 2 e, se non diversamente indicato, gli integrali si intendono effettuati da −∞ a +∞. Il primo termine in HL
descrive il passaggio di un l-agglomerato dall’edge − all’edge +, il suo hermitiano coniugato descrive il passaggio dall’edge + alll’edge −. La grandezza Λx,y rappresenta l’ampiezza
di tunneling locale relativa al processo che corrisponde al tunneling di una particella dalla
posizione y sull’edge − alla posizione x sull edge +.
Un ruolo importante nella fisica del sistema è giocato proprio dall’ampiezza di tunneling
locale Λx,y in Eq. (4.3). Essa permette di pesare di più o di meno un percorso a seconda di
quali punti questo coinvolga. La prossima sezione è dedicata alla discussione della forma
analitica scelta per l’ampiezza di tunneling locale.
4.1 Ampiezza di tunneling locale
4.1
69
Ampiezza di tunneling locale
Come detto in precedenza, un punto fondamentale nel modellizzare l’effetto di un quantum point contact esteso sulle proprietà di trasporto del sistema è la scelta della forma
dell’ampiezza di tunneling locale. In generale si possono distinguere gli eventi di tunneling
in due categorie principali:
• tunneling verticale: questo evento è associato ad una particella in y = z0 che salta
in x = z0 . La forma di Λx,y associata a questo tipo di eventi è
Λx,y = Λl (x)δ (x − y) .
(4.4)
La grandezza Λl (x) permette di pesare diversamente i vari eventi di tunneling verticale, a seconda di quali punti essi coinvolgano, come mostrato in Fig. 4.2.
edge +
x
Vg
X=0
y=0
Vg
y
edge -
Figura 4.2: Eventi di tipo lateral. Più l’evento di tunneling avviene lontano dal centro del
contatto, minore è l’ampiezza di tunneling associata all’evento stesso.
• tunneling incrociato: questo evento è associato ad una particella in y = z0 che salta
in x = −z0 . La forma di Λx,y associata a questo tipo di eventi è
Λx,y = Λc (x)δ (x + y) .
(4.5)
La grandezza Λc (x) permette di pesare diversamente i vari eventi di tunneling
incrociati, a seconda di quali punti essi coinvolgano, come mostrato in Fig. 4.3.
In [66] e [67] si assume che l’unica classe di eventi di tunneling possibile sia quella di tipo
verticale, ma noi intendiamo andare oltre tale assunzione.
In generale ci si aspetta che quanto minore è la distanza che la particella deve percorrere
tra i punti iniziale e finale di tunneling, tanto maggiore sarà l’ampiezza locale associata
all’evento.
Si consideri quindi il generico evento di tunneling indicato dalla freccia in Fig. 4.1. La
distanza media dell’evento di tunneling dal centro del contatto è proporzionale a (x + y).
Per la geometria scelta, minore è questa distanza, maggiore sarà l’ampiezza locale ad
70
Trasporto attraverso giunzioni estese
edge +
x
Vg
X=0
y=0
Vg
y
edge -
Figura 4.3: Eventi di tipo incrociato. La distanza media dell’evento di tunneling dal centro
del contatto è la stessa in tutti i casi, ma a percorsi più lunghi competono ampiezze di
tunneling minori.
esso associata. Al contrario, all’aumentare della distanza ci si allontana sempre di più
dal centro del contatto, per cui l’ampiezza locale associata ad un evento molto distante
dal centro tenderà a zero. La situazione è schematizzata in Fig. 4.2. Tuttavia fissare
la distanza media dal centro del contatto non identifica un preciso evento di tunneling.
Tutti gli eventi in Fig. 4.3 avvengono alla stessa distanza media dal centro del contatto,
ma devono essere pesati in maniera diversa a seconda della distanza (x − y) tra il punto
iniziale e il punto finale. Minore è questa distanza, maggiore sarà l’ampiezza locale ad esso
associata; all’aumentare della distanza tra i punti iniziale e finale l’ampiezza di tunneling
locale diminuisce. L’ampiezza di tunneling locale dipende quindi da due fattori: la distanza
media dell’evento di tunneling dal centro del contatto e la distanza tra il punto iniziale e
il punto finale di tunneling.
Generalizzando questo discorso assumiamo che l’ampiezza di tunneling locale abbia una
forma separabile [68] del tipo
Λx,y = Λ0 fc (x − y)fl (x + y).
(4.6)
Per quanto detto le funzioni fc (x) e fl (x) devono essere massime per x = 0 e decrescere
all’aumentare di x. In particolare, se fc (x) = δ(x) ritroviamo il caso di soli contributi
di tipo verticale; al contrario, se fl (x) = δ(x) si ritrova il caso di soli contributi di tipo
incrociato; infine, se fc (x) = fl (x) = δ(x) si ritorna al caso di interazione puntuale, in cui
il tunneling avviene solo tra i punti y = 0 e x = 0. Nel caso generale in cui fl (x) 6= δ(x),
fc (x) 6= δ(x) gli eventi di tunneling possibili non saranno nè perfettamente verticali nè
perfettamente incrociati.
Per ottenere delle forme trattabili analiticamente o numericamente è necessario esplicitare la forma delle funzioni fc e fl . Una buona scelta, che rispetta i requisiti discussi
precedentemente, è di assumere che queste abbiano una forma gaussiana. Inoltre, poiché
l’ampiezza di tunneling locale è legata all’overlap tra la funzione d’onda nella posizione
y sull’edge − e la funzione d’onda nella posizione x sull’edge +, dalla teoria di Laughlin
4.1 Ampiezza di tunneling locale
71
2 l
[2, 21] ci si aspetta che l’ampiezza di tunneling sia proporzionale a exp − 4lx,y
, dove lx,y
2
B
è la distanza tra il punto x e il punto y e lB è la lunghezza magnetica. Sulla base di questi
argomenti la forma analitica assunta per le funzioni fl e fc è
2
− x2
1
fl (x) = √
e 4ξl ,
2πξl
(4.7)
2
fc (x) = √
1
−x
e 4ξc2 .
2πξc
(4.8)
Inserendo questa scelta nella (4.6) si ottiene
2
Λx,y
−
Λ0 − (x−y)
e 4ξc2 e
=
2πξc ξl
(x+y)2
4ξ2
l
.
(4.9)
Si noti che le funzioni sono normalizzate in modo che
Z
dxdyΛx,y = Λ0 .
L’ampiezza di tunneling locale dipende quindi dai parametri ξl e ξc . Questi sono legati rispettivamente alla larghezza del contatto e alla distanza tra gli edge al centro del medesimo.
Diverse scelte dei parametri portano a diversi modelli di quantum point contact:
• (ξc → 0, ξl → 0): in questo caso l’ampiezza di tunneling locale si riduce a
Λx,y = Λ0 δ(x + y)δ(x − y)
(4.10)
che corrisponde al caso di interazione puntuale tra gli edge (Fig. 4.4).
Figura 4.4: Density plot dell’ampiezza efficace di tunneling. Nel caso (ξc → 0, ξl → 0) si
ritrova il caso di quantum point contact con interazione puntuale. Unità di misura 10 nm.
72
Trasporto attraverso giunzioni estese
Figura 4.5: Density plot dell’ampiezza efficace di tunneling. Nel caso (ξc → 0, ξl 6= 0)
si considerano contatti estesi, assumendo che tutte le interazione siano di tipo verticale.
Unità di misura 10 nm.
• (ξc → 0, ξl 6= 0): in questo caso l’ampiezza di tunneling locale si riduce a
Λx,y
Λ0 −
=√
e
2πξl
(x+y)2
4ξ2
l
δ(x − y)
(4.11)
che corrisponde a considerare solamente i contributi di tipo verticale [66, 67], con
ampiezza del contatto ∝ ξl (Fig. 4.5).
Figura 4.6: Density plot dell’ampiezza efficace di tunneling. Nel caso (ξc 6= 0, ξl 6= 0)
si considerano contatti estesi, con interazioni sia di tipo verticale sia di tipo incrociato.
Unità di misura 10 nm.
4.2 Probabilità di tunneling attraverso giunzioni estese
73
• (ξc 6= 0, ξl → 0): in questo caso l’ampiezza di tunneling locale si riduce a
2
Λ0 − (x−y)
e 4ξc2 δ(x + y)
Λx,y = √
2πξc
(4.12)
che corrisponde a considerare solamente i contributi di tipo incrociato. Questo caso
è fisicamente poco sensato.
Nel seguito studieremo il caso più generale in cui sia ξc sia ξl sono non nulli (Fig. 4.6).
Per dare una descrizione quantitativa di come la presenza di una zona estesa di tunneling
influenzi la corrente occorre calcolare, come fatto nel caso puntuale, la probabilità che
una particella possa effettuare tunneling finendo sull’edge opposto. La prossima sezione è
dedicata al calcolo di questa probabilità.
4.2
Probabilità di tunneling attraverso giunzioni estese
Si vuole calcolare la probabilità
pi→f (t0 , t) = | hf |i(t)i |2
(4.13)
che una particella nello stato iniziale
|ii = |Ni , αi i
al tempo t0 effettui tunneling finendo al tempo t nello stato
|f i = |Nf , αf i.
Gli stati quantistici sono descritti dal numero totale di elettroni sugli edge
Ni = Ni,+ ⊕ Ni,− ,
Nf = Nf,+ ⊕ Nf,−
(4.14)
αf = αf,+ ⊗ αf,− .
(4.15)
e da tutti i restanti gradi di libertà bosonici
αi = αi,+ ⊗ αi,− ,
Si noti che il termine di tunneling HL fa si che non si conservi più il numero di particelle
separatamente sui due edge
[N± , HL ] 6= 0,
(4.16)
mentre il numero totale di particelle è ancora conservato
[N+ + N− , HL ] = 0.
(4.17)
Per calcolare la corrente di backscattering indotta dalla presenza di tunneling si può nuovamente utilizzare un approccio di tipo perturbativo. La probabilità che al tempo t una
particella effettui tunneling da un edge all’altro è data da
Z t
Z t
pi→f (t0 , t) =
dt1
dt2 hNf , αf |HL (t1 )|Ni , αi i hNi , αi |HL (t2 )|Nf , αf i .
(4.18)
t0
t0
74
Trasporto attraverso giunzioni estese
Supponendo che il sistema sia inizialmente in equilibrio a temperatura T possiamo sommare su tutti gli stati bosonici iniziali, pesati con l’opportuno peso statistico dato dal fattore
di Boltzmann, e su tutti gli stati bosonici finali, per cui ci interessa in realtà calcolare
Pi→f (t0 , t) =
X e−βEαi
pi→f (t0 , t)
Z
α ,α
i
=
f
Z t
X e−βEαi Z t
dt2 hNf , αf |HL (t1 )|Ni , αi ihNi , αi |HL (t2 )|Nf , αf i,
dt1
Z
t0
t0
α ,α
i
(4.19)
f
con Z = αi e−βEαi funzione di partizione bosonica e Eαi energia della configurazione dei
modi bosonici αi . La probabilità di transizione di un l-agglomerato è quindi data da
P
(l)
Pi→f (t0 , t)
Z t
X e−βEαi Z t
=
dt2 ·
dt1
Z
t0
t0
α ,α
i
· hNf , αf | e
iH0 t1
iH0 t2
· hNi , αi | e
Z
dxdy
Z
0
dx dy
0
h
h
f
(l)†
(l)
Λx,y ψ+ (x)ψ− (y)
(l)†
(l)
Λx0 ,y0 ψ+ (x0 )ψ− (y 0 )
i
+
(l)†
(l)
Λ∗x,y ψ− (y)ψ+ (x)
+
(l)†
(l)
Λ∗x0 ,y0 ψ− (y 0 )ψ+ (x0 )
e−iH0 t1 |Ni , αi i ·
i
e−iH0 t2 |Nf , αf i
(4.20)
avendo esplicitato l’hamiltoniana di tunneling di Eq. (4.3). Come nel caso puntuale, dei
quattro termini nella (4.20) solo due sono non nulli. Questi corrispondono al passaggio di
un l-agglomerato dall’edge − all’edge +
(l)
P−,+ (t0 , t)
Z t
Z
X e−βEαi Z t
=
dt1
dt2 dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0
Z
t
t
0
0
α ,α
i
(l)†
f
(l)†
(l)
(l)
hNf , αf |eiH0 t1 ψ+ (x)ψ− (y)e−iH0 t1 |Ni , αi ihNi , αi |eiH0 t2 ψ− (y 0 )ψ+ (x0 )e−iH0 t2 |Nf , αf i
(4.21)
e al passaggio di un l-agglomerato dall’edge + all’edge −
(l)
P+,− (t0 , t)
Z t
Z
X e−βEαi Z t
dt1
dt2 dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0
=
Z
t
t
0
0
α ,α
i
(l)†
f
(l)†
(l)
(l)
hNf , αf |eiH0 t1 ψ− (y)ψ+ (x)e−iH0 t1 |Ni , αi ihNi , αi |eiH0 t2 ψ+ (x0 )ψ− (y 0 )e−iH0 t2 |Nf , αf i.
(4.22)
La probabilità associata al tunneling dall’edge − all’edge + vale
(l)
P−,+ (t0 , t)
Z t
Z
X e−βEαi Z t
=
dt1
dt2 dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0 ·
Z
t
t
0
0
α ,α
i
f
(l)†
(l)
·hNf , αf |e−i(µ+ N+ +µ− N− )t1 ψ+ (x, t1 )ψ− (y, t1 )ei(µ+ N+ +µ− N− )t1 |Ni , αi i·
(l)†
(l)
·hNi , αi |e−i(µ+ N+ +µ− N− )t2 ψ− (y 0 , t2 )ψ+ (x0 , t2 )ei(µ+ N+ +µ− N− )t2 |Nf , αf i.
(4.23)
4.2 Probabilità di tunneling attraverso giunzioni estese
75
Come fatto per il caso puntuale, nell’espressione precedente abbiamo esplicitato la dipen(l)
(l)
denza dai potenziali chimici e quindi ψ+ e ψ− evolvono secondo la sola parte plasmonica
H+ + H− di Eq. (4.2).
Questa espressione dipende da quale particella sta effettuando tunneling. Per il generico
l-agglomerato si ottiene
Z
Z t
Z t
(l)
dt2 dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0 eiQl V (t2 −t1 ) ·
dt1
P−,+ (t0 , t) =
t0
t0
E
(l)†
(l)
(l)†
(l)
· ψ− (y 0 , t2 )ψ+ (x0 , t2 )ψ+ (x, t1 )ψ− (y, t1 ) ,
D
(4.24)
dove abbiamo nuovamente indicato la media termodinamica con h. . . i ed è stata introdotta
la carica del generico l-agglomerato Ql = le∗ .
Poiché, come nel caso puntuale, all’ordine più basso nel tunneling |Λ0 |2 gli operatori sui
due edge sono tra loro indipendenti, si può riscrivere
Z t
Z t
Z
(l)
P−,+ (t0 , t) =
dt1
dt2 dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0 eiQl V (t2 −t1 ) ·
t0
t0
D
ED
E
(l)†
(l)
(l)
(l)†
· ψ− (y 0 , t2 )ψ− (y, t1 ) ψ+ (x0 , t2 )ψ+ (x, t1 ) ,
(4.25)
che richiamando le definizioni Eqs. (2.49), (2.48) corrisponde a
Z t
Z t
Z
(l)
P−,+ (t0 , t) =
dt1
dt2 dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0 eiQl V (t2 −t1 ) ·
t0
t0
>
<
·Gl,−
(y 0 − y, t2 − t1 )Gl,+
(x0 − x, t2 − t1 ),
(4.26)
dove sono stati introdotti i propagatori definiti sugli edge
D
E
(l)†
(l)
>
Gl,−
(y 0 − y, t2 − t1 ) = ψ− (y 0 , t2 )ψ− (y, t1 ) ,
(4.27)
D
E
(l)
(l)†
<
Gl,+
(x0 − x, t2 − t1 ) = ψ+ (x0 , t2 )ψ+ (x, t1 ) .
(4.28)
Con un cambio di variabile t2 → t0 = t2 − t1 l’integrale in Eq. (4.26) fattorizza. In
particolare la probabilità di tunneling presenta un andamento lineare nel tempo e si può
scrivere come
(l)
(l)
P−,+ (t0 , t) = (t − t0 )Γ−,+ (V, T ),
(4.29)
avendo introdotto il rate di tunneling definito come probabilità di transizione per unità di
tempo
Z
Z ∞
(l)
0 0
∗
>
<
Γ−,+ (V, T ) = dxdydx dy Λx,y Λx0 ,y0
dteiQl V t Gl,−
(y 0 − y, t)Gl,+
(x0 − x, t) (4.30)
−∞
che coincide con il rate della regola d’oro di Fermi calcolato per l’hamiltoniana di transizione (4.3). Tale rate dipende dalla differenza di potenziale tra gli edge V , oltre che dalla
temperatura. Il rate di tunneling per il processo opposto in cui un l-agglomerato effettua
tunneling dall’edge + all’edge − è dato semplicemente da
(l)
(l)
Γ+,− (V, T ) = Γ−,+ (−V, T ),
(4.31)
76
Trasporto attraverso giunzioni estese
per cui la corrente di backscattering è naturalmente data da
(l)
(l)
I (l) (V, T ) = Ql Γ−,+ (V, T ) − Γ+,− (V, T )
(l)
(l)
= Ql Γ−,+ (V, T ) − Γ−,+ (−V, T ) .
(4.32)
In Appendice C è stato dimostrato che, anche nel caso in cui gli edge siano messi in
contatto attraverso una regione estesa di spazio, continua a valere il principio di bilancio
dettagliato
(l)
(l)
Γ−,+ (−V, T ) = e−βQl V Γ−,+ (V, T )
(4.33)
e la corrente di backscattering si può cosı̀ scrivere nella forma
(l)
I (l) (V, T ) = Ql 1 − e−βQl V Γ−,+ (V, T ).
(4.34)
Nella prossima sezione calcoleremo esplicitamente la corrente di backscattering in (4.34).
4.3
Corrente di backscattering
Per tutto il resto del Capitolo ci occuperemo di calcolare il rate di tunneling dall’edge −
all’edge +, essendo sufficiente per calcolare la corrente di backscattering, come si vede da
Eq. (4.34). Nelle notazioni successive si eviterà quindi di specificare il processo. Vogliamo
valutare
Z ∞
Z
(l)
>
<
dteiQl V t Gl,−
(y 0 − y, t)Gl,+
(x0 − x, t).
(4.35)
ΓL (V, T ) = dxdydx0 dy 0 Λx,y Λ∗x0 ,y0
−∞
A tale scopo devo conoscere le espressioni dei propagatori di l-agglomerato sugli edge, date
nelle (2.55) e (2.56)
0
eikF (y −y) l2 W− (y0 −y,t)
>
e
(4.36)
Gl,−
(y 0 − y, t) =
2πa
0
<
Gl,+
(x0
eikF (x −x) l2 W+ (x0 −x,t)
− x, t) =
e
.
2πa
(4.37)
Inserendo queste espressioni in Eq. (4.35) si ottiene
(l)
ΓL (V, T )
Z
=
Z
=
0
dxdydx dy
dxdydx0 dy 0
0
Λx,y Λ∗x0 ,y0
Λx,y Λ∗x0 ,y0
(2πa)2
(2πa)2
0
ikF (y 0 −y+x0 −x)
Z
∞
e
dteiQl V t el
2 [W (y 0 −y,t)+W (x0 −x,t)]
−
−
−∞
0
eikF (y −y+x −x)
Z
∞
dteiQl V t e
h
i
0
0
l2 W(t+ y v−y )+W(t− x v−x )
,
(4.38)
−∞
avendo richiamato la funzione definita in Eq. (2.83)
W(t ∓ x/v) = W± (x, t).
(4.39)
Il calcolo del rate in (4.38) è evidentemente reso più complicato dalla possibilità per
le particelle di eseguire un’infinità di processi di tunneling diversi, ognuno pesato dal
4.3 Corrente di backscattering
77
corrispettivo fattore Λx,y .
Per procedere nel conto conviene cambiare variabile di integrazione temporale
y − y 0 − x + x0
.
2v
Con questa scelta si può riscrivere l’Eq. (4.38) nella forma
h
i
Z
Ql V
Ql V
Λ Λ∗
0
0
(l)
0 0 x,y x0 ,y 0 i kF + 2v (x −x)+ kF − 2v (y −y)
e
ΓL (V, T ) = dxdydx dy
·
(2πa)2
Z ∞
z
z
2
·
dτ eiQl V τ el [W(τ − v )+W(τ + v )] ,
t→τ =t−
(4.40)
(4.41)
−∞
avendo definito
z=
y − y 0 + x − x0
.
2
(4.42)
Il rate di tunneling diventa
h
i
Z
Ql V
Ql V
Λ Λ∗
0
0
(l)
0 0 x,y x0 ,y 0 i kF + 2v (x −x)+ kF − 2v (y −y)
ΓL (V, T ) = dxdydx dy
e
P̃g (z, Ql V ) (4.43)
(2πa)2
con g = l2 ν, che vale ν nel caso di quasi-particelle (l = 1) e vale 1/ν nel caso di elettroni
(l = 1/ν), avendo definito
Z ∞
g
z
z
P̃g (z, ω) =
dτ eiωτ e ν [W(τ − v )+W(τ + v )] .
(4.44)
−∞
Inserendo nella (4.43) l’ampiezza locale nel limite puntuale, data in (4.10), si ritrova
ovviamente il rate di tunneling nel caso di interazione puntuale, dato in Eq. (3.44)
(l)
ΓP (V, T ) =
|Λ0 |2
P̃g (0, Ql V ).
(2πa)2
Si può riscrivere la (4.44) nella forma
Z ∞
z
z
P̃g (z, ω) =
dτ eiωτ P g 0, τ −
P g 0, τ +
2
2
v
v
−∞
(4.45)
(4.46)
e, per calcolare la (4.46), conviene riscrivere P g (0, τ ± vz ) in antitrasformata di Fourier
2
Z
z
z
1
(4.47)
P g 0, τ ±
=
dEe−iE(τ ± v ) P̃ g (0, E).
2
2
v
2π
In questo modo la (4.44) diventa
Z
z
z
P̃g (z, ω) =
dτ eiωτ P g 0, τ −
P g 0, τ +
2
2
v
v
Z
Z
Z
z
dE
dE 0 −i(τ + z )E 0
v
=
dτ eiωτ
e−i(τ − v )E P̃ g (0, E)
e
P̃ g (0, E 0 )
2
2
2π
2π
Z
Z
z
1
0
0
dEdE 0 ei v (E−E ) P̃ g (0, E)P̃ g (0, E 0 ) dτ ei(ω−E−E )τ
=
2
2
2
(2π)
Z
z
1
=
dEei v (2E−ω) P̃ g (0, E)P̃ g (0, ω − E)
2
2
2π
Z
ω
2z
1
ω
=
dEei v E P̃ g 0, + E P̃ g 0, − E
(4.48)
2
2
2π
2
2
78
Trasporto attraverso giunzioni estese
R
avendo sfruttato la relazione eiαx dx = 2πδ(a) e avendo utilizzato il cambio di variabile
E → E + ω/2 nell’ultimo passaggio. Moltiplicando e dividendo il membro di destra della
(l)
(4.43) per ΓP (V, T ), dato nella (4.45), si ottiene la forma più compatta
(l)
(l)
(l)
ΓL (V, T ) = λef f (V, T ) · ΓP (V, T ),
(4.49)
in termini del coefficiente di rinormalizzazione
Z
Λx,y Λ∗x0 ,y0
(l)
·
λef f (V, T ) = dxdydx0 dy 0
|Λ0 |2
P̃g (z, Ql V )
Ql V
Ql V
0
0
· cos kF +
(x − x) + kF −
(y − y)
.
2v
2v
P̃g (0, Ql V )
(4.50)
In virtù dell’Eq. (4.34) si ottiene che la corrente di backscattering nel caso esteso può essere
espressa in termini della corrente nel caso di interazione puntuale (data in Eq. (3.51))
(l)
(l)
(l)
IL (V, T ) = λef f (V, T ) · IP (V, T ).
(4.51)
Ciò permette di interpretare la corrente attraverso il contatto esteso come una corrente di
tunneling puntuale con una probabilità di tunneling efficace
2
(l)
(l)
2
Λef f (V, T ) = λef f (V, T ) |Λ0 | .
(4.52)
In questo modo gli effetti indotti dalla natura estesa della giunzione si traducono in una
rinormalizzazione dell’ampiezza di tunneling, che acquisisce una dipendenza dal voltaggio e
dalla temperatura [68]. Questa ampiezza di tunneling efficace può modificare gli andamenti
attesi per le proprietà di trasporto rispetto al caso di tunneling puntuale discusso in
precedenza.
Si osservi come la scelta di una forma separabile per l’ampiezza locale permetta di separare
la (4.50) in due contributi. Inserendo la (4.6) nella (4.50) si ricava infatti
Z
(l)
λef f (V, T ) = dxdydx0 dy 0 fc (x − y)fl (x + y)fc (x0 − y 0 )fl (x0 + y 0 )
P̃g (z, Ql V )
Ql V
Ql V
0
0
· cos kF +
(x − x) + kF −
(y − y)
2v
2v
P̃g (0, Ql V )
(4.53)
e con opportuni cambi di variabile si ottiene
Z
Ql V 0
(l)
0
λef f (V, T ) = dydy 2 cos
y − y fc (2y)fc (2y 0 )·
v
Z
·
P̃g (x0 − x, Ql V )
.
dxdx0 2 cos 2kF x0 − x fl (2x)fl (2x0 )
P̃g (0, Ql V )
(4.54)
Si può cosı̀ riscrivere la (4.54) come prodotto di un contributo di tipo verticale e di uno
di tipo incrociato
(l)
(l)
(l)
λef f (V, T ) = λef f,c (V, T ) · λef f,l (V, T ),
(4.55)
4.3 Corrente di backscattering
79
con
Z
(l)
λef f,c (V, T ) = 2
(l)
λef f,l (V, T )
Z
=2
dydy 0 cos
Ql V 0
y − y fc (2y)fc (2y 0 ),
v
P̃g (x0 − x, Ql V )
dxdx0 cos 2kF x0 − x fl (2x)fl (2x0 )
.
P̃g (0, Ql V )
(4.56)
(4.57)
Calcoliamo ora il coefficiente di rinormalizzazione inserendo la forma esplicita per l’ampiezza di tunneling locale Λx,y , data in Eq. (4.9), nelle Eqs. (4.56) e Eq. (4.57). Si
ottiene
2
−1
(l)
ξc Ql V
v
λef f,c (V, T ) = e 2
,
Z
x2
P̃g (ξl x, Ql V )
1
(l)
dxe− 2 cos (2kF ξl x)
.
λef f,l (V, T ) = √
2π
P̃g (0, Ql V )
(4.58)
(4.59)
Mettendo insieme le Eqs. (4.55), (4.58), (4.59) si può riscrivere
1 −1
(l)
λef f (V, T ) = √ e 2
2π
ξc
Ql V
v
2
Z
dxe−
x2
2
cos (2kF ξl x)
P̃g (ξl x, Ql V )
.
P̃g (0, Ql V )
(4.60)
Inserendo quindi l’espressione integrale di P̃g (ξl x, Ql V ) dall’Eq.(4.48) e integrando rispetto
alla variabile x si ottiene
(l)
Q V 2
− 21 αc vkl
−2α2l
F
λef f (V, T ) = e
Z
·
dE
e
2π
2
−2 αl vkE
F
e
·
P̃ g 0, Ql V + E P̃ g 0, Ql V − E
2
2
E
2
2
cosh 4αl2
,
vkF
P̃g (0, Ql V )
(4.61)
dove sono stati introdotti i parametri adimensionali
αc = kF ξc ,
αl = kF ξl .
(4.62)
Si noti come nella (4.61) compaia la scala di energia vkF . E’ facile convincersi che questa
scala di energia altro non è che ωc , introdotta nel Capitolo 3. Abbiamo visto infatti che
ωc , che a priori dipende dal cut-off matematico a necessario a far convergere le espressioni,
acquista significato fisico quando si interpreti a come un reale cut-off sulle piccole distanze.
La più piccola scala di lunghezza del sistema è la lunghezza magnetica lB , per cui la scala
di energia caratteristica del sistema è ωc ≈ v/lB . Per quanto riguarda kF , esso può essere
2 [69], dove d è la distanza tra gli edge. Poiché all’interno del contatto
stimato come d/2lB
questa distanza deve essere dell’ordine della lunghezza magnetica per permettere eventi
di tunneling, si ottiene kF ≈ 1/lB , per cui si ha vkF ≈ ωc .
Possiamo stimare il range di valori realisticamente ammissibili per i parametri adimesionali
αc e αl introdotti. Per un valore tipico del campo magnetico in esperimenti sul 2DEG
(B ∼ 10 T), si ha lB ∼ 10 nm, per cui per larghezze realistiche del canale ξl , comprese tra i
10 nm e i 50 nm, si ha αl = kF ξl ≈ ξl /lB compreso tra 1 e 5 [68]. Nel seguito effettueremo
diverse simulazioni al variare del parametro αl che come detto controlla la larghezza del
contatto.
Abbiamo invece assunto un valore costante pari a 0.5 per il parametro αc che dipende dalla
distanza tra gli edge al centro del contatto [68]. Infatti è stato osservato che modifiche di
80
Trasporto attraverso giunzioni estese
tale parametro non influenzano sostanzialmente il risultato, poiché, come si evince dalla
(4.61), esso interviene solamente come un taglio esponenziale a grandi voltaggi.
Il nostro scopo è quello di predire in che modo la natura estesa del contatto modifichi
l’andamento delle proprietà di trasporto in funzione del voltaggio e della temperatura.
La dipendenza dell’ampiezza efficace dal voltaggio e dalla temperatura è implicita nelle
funzioni P̃g ; per sviluppare ulteriormente l’Eq. (4.61) occorre quindi conoscere la loro
espressione esplicita.
Nella prossima sezione calcoleremo la corrente di backscattering per giunzioni estese nel caso di temperatura nulla, per il quale si ottengono espressioni semplificate per tali funzioni.
Successivamente estenderemo lo studio al caso di temperatura finita. Questa generalizzazione costituisce la parte più originale di questo lavoro di tesi, dal momento che in
letteratura non si trovano altri lavori teorici al riguardo.
4.4
Giunzioni estese a temperatura nulla
Si ricordi che nel caso di tunneling puntuale a temperatura nulla la teoria sviluppata nel
Capitolo 3 predice una dipendenza della corrente di backscattering dal voltaggio di tipo
legge di potenza, con l’esponente che dipende dall’l-agglomerato che effettua tunneling
∗ 2l2 ν−1
(l)
(l) e V
IP (V, T = 0) = I0
.
(4.63)
ωc
Per sapere in quale modo la natura estesa del contatto modifichi tale andamento devo
valutare la (4.61). Nel caso di temperatura nulla si otteniene un’espressione semplificata
per la funzione P̃g (0, E), già utilizzata in Eq. (3.53)
2g
2π
E
1
P̃g (0, E) =
Θ(E),
(4.64)
Γ(2g) ωc
E
con g = l2 ν. Posso quindi valutare il coefficiente di rinormalizzazione nel caso di temperatura nulla inserendo la (4.64) nella (4.61)
Q V 2
Γ(2g)
2
− 12 αc ωl
c
e−2αl 22−2g 2 ·
Γ (g)
(l)
λef f (V, T = 0) = e
Z
·
Ql V
2
−
Ql V
2
2
E
αl lω
dE −2
e
Ql V
c
"
2 #g−1
E
2E
1−
cosh 4αl2
.
lωc
Ql V
(4.65)
Per meglio comprendere i regimi entro i quali si manifesta la natura estesa della giunzione
conviene introdurre la lunghezza elettrica LV , associata al voltaggio applicato tra i bordi
LV =
v
.
Ql V
(4.66)
Le proprietà di trasporto del sistema dipendono infatti dal rapporto tra le lunghezze
caratteristiche del sistema: le lunghezze geometriche ξc e ξl e la lunghezza elettrica LV .
Si può riscrivere la (4.65) in funzione della variabile adimensionale ξl /LV
(l)
λef f (V, T
= 0) = e
− 21
α c ξl
αl LV
2
2
e−2αl 22−2νl
2
Γ(2νl2 )
·
Γ2 (νl2 )
4.4 Giunzioni estese a temperatura nulla
1
Z
·
− 21
dxe
0
ξl
LV
x
2
81
νl2 −1
ξl
x 1 − x2
.
cosh 2αl
LV
(4.67)
Nel seguito restringemo l’analisi a valore di filling factor ν = 1/3 e considereremo tunneling
di quasi-particelle (l = 1), che abbiamo visto nel Capitolo 3 essere l’evento dominante. Si
ricordi che in questo caso la teoria puntuale prevede, secondo la (4.63), un andamento del
tipo
∗ − 1
3
(qp)
(qp) e V
IP (V, T = 0) = I0
.
(4.68)
ωc
Dalla conoscenza del coefficiente di rinormalizzazione, dato in Eq. (4.67), e della corrente
di backscattering nel caso puntuale, data in Eq. (4.68), si può risalire alla corrente di
backscattering nel limite di temperatura nulla tramite la relazione
(l)
(l)
(l)
IL (V, T = 0) = λef f (V, T = 0) · IP (V, T = 0).
(4.69)
In Fig. 4.7 è riportato l’andamento del coefficiente di rinormalizzazione di Eq. (4.67) a
temperatura nulla per la quasiparticella, in funzione del voltaggio applicato tra i bordi e
per diversi valori della larghezza del contatto.
(qp)
Figura 4.7: Andamento di λef f (V, T = 0) a temperatura nulla in funzione del voltaggio.
Le quattro curve differiscono per la larghezza del contatto: αl = 1 (rosso), αl = 1.5
(verde), αl = 3 (blu), αl = 5 (viola). Il parametro αc è costante e pari a 0.5.
Dalla relazione (4.52) si evince che mentre nel caso puntuale l’ampiezza di tunneling efficace
è pari a Λ0 , costante ed indipendente dal voltaggio, nel caso esteso essa presenta una
marcata dipendenza dal voltaggio. In particolare questa presenta una struttura con un
picco. Lontano dal picco la media sui vari eventi di tunneling dà vita ad un’interferenza
distruttiva che tende a sopprimere l’ampiezza di tunneling efficace [67].
Poiché l’ampiezza di tunneling acquisisce una dipendenza dal voltaggio, la legge di potenza (4.68) viene modificata secondo la (4.69), come rappresentato in Fig. 4.8. La legge
di potenza (4.68) sopravvive solo per valori di voltaggio sempre più bassi all’aumentare
dell’ampiezza del contatto. Al di fuori di questa regione la corrente mostra una struttura
82
Trasporto attraverso giunzioni estese
(a)
(b)
Figura 4.8: (a) Corrente di backscattering a temperatura nulla in un contatto esteso in
funzione del voltaggio. Le quattro curve differiscono per la larghezza del contatto: αl = 1
(rosso), αl = 1.5 (verde), αl = 3 (blu), αl = 5 (viola). Il parametro αc è costante e
pari a 0.5. (b) Corrente di backscattering a temperatura nulla in funzione del voltaggio
nell’ipotesi di interazione puntuale.
piccata. Questo andamento è chiaramente dovuto alla dipendenza dal voltaggio dell’ampiezza efficace.
A parte il taglio esponenziale exp(−2αl2 ), nel limite ξl /LV → 0 si ritrovano le leggi di
potenza previste nel caso di interazione puntuale
ξl /LV → 0
(qp)
2
⇒
(qp)
(qp)
IL (V, T
= 0) →
(qp)
I¯0
e∗ V
ωc
− 1
3
,
(4.70)
avendo definito I¯0 = e−2αl I0 .
In questo senso anche nel caso di giunzioni estese il tunneling di quasi-particelle continua
ad essere l’evento dominante per bassi voltaggi. Al di fuori di questa regione cominciano a
farsi sentire le deviazioni dovute alla natura estesa del contatto. In Fig. 4.9 è riportato, in
scala bilogaritmica, l’andamento della corrente di backscattering in funzione del voltaggio.
L’ampiezza della regione entro la quale rimane valida l’approssimazione di interazione
puntuale, identificato dall’andamento lineare in scala bilogaritmica, si riduce all’aumentare
del parametro αl .
Alcune delle considerazioni svolte in questa sezione si ritrovano nel recente articolo di
T. Martin et al. [68]. Nella sezione successiva generalizzeremo al caso di temperatura
finita gli effetti di giunzioni estese per la sequenza di Laughlin. Questo studio generalizza
anche i risultati noti per esperimenti di tipo interferometrico [70], nei quali il tunneling
avviene attraverso un numero finito di contatti puntuali messi in cascata. La giunzione
estesa costituisce infatti il limite al continuo di infiniti contatti puntuali posti a distanza
infinitesima uno dall’altro. L’analisi che ci apprestiamo a condurre non ha precedenti e
costituisce la parte più originale di questo lavoro di tesi.
4.5 Giunzioni estese a temperatura finita
83
Figura 4.9: Corrente di backscattering a temperatura nulla in funzione del voltaggio, in
scala bilogaritmica. La regione entro la quale continua a valere l’approssimazione puntuale,
identificato dall’andamento lineare nel grafico, si restringe all’aumentare della larghezza
del canale. Le quattro curve differiscono per la larghezza del contatto: αl = 1 (rosso),
αl = 1.5 (verde), αl = 3 (blu), αl = 5 (viola). Il parametro αc è costante e pari a 0.5.
4.5
Giunzioni estese a temperatura finita
Da un punto di vista matematico, trattare il problema di tunneling attraverso giunzioni
estese a temperatura finita richiede una forma in generale più complicata rispetto a quella
utilizzata in Eq. (4.64). Da un punto di vista fisico, la temperatura introduce una nuova
scala di lunghezza del sistema, la lunghezza termica
LT =
v
.
kB T
(4.71)
Le proprietà di trasporto dipenderanno in generale dalle lunghezze associate alla geometria
del contatto, ξc e ξl , e da quelle introdotte dalle scale di energia in gioco, LV e LT .
In questa sezione vogliamo studiare in che modo la natura estesa del contatto modifichi
gli andamenti attesi per le proprietà di trasporto a temperatura finita. Lo scopo è di
generalizzare i risultati già noti nel caso di temperatura nulla, per capire se la natura estesa
del contatto possa essere responsabile di andamenti anomali delle proprietà di trasporto
del sistema.
Richiamiamo quindi il coefficiente di rinormalizzazione dato in Eq. (4.61)
(l)
λef f (V, T )
Z
·
2
E
−2 αl lω
dE
e
2π
c
Q V 2
− 12 αc ωl
−2α2l
c
=e
e
·
P̃ g 0, Ql V + E P̃ g 0, Ql V − E
2
2
E
2
2
cosh 4αl2
.
lωc
P̃g (0, Ql V )
(4.72)
Nel seguito restringeremo l’analisi in temperatura al caso βωc 1, per il quale si ottengono
delle espressioni analitiche per la funzione P̃g (0, E). Volendo andare oltre questo limite
84
Trasporto attraverso giunzioni estese
sarebbe necessario utilizzare metodi di integrazione numerica per ricavare questa funzione,
e sempre attraverso metodi numerici stimare gli effetti della natura estesa del contatto.
Questo analisi va oltre gli scopi di questa tesi, per cui la trattazione sarà limitata a regioni
di basse temperature. La funzione P̃g (0, E) nel regime di basse temperature è stata ricavata
in Appendice B ed è data da
2π 2g−1 1 βE
βE
βE
P̃g (0, E) =
e 2 B g−i
,
(4.73)
βE, g + i
βωc
ωc
2π
2π
dove B(x, y) è la funzione Beta di Eulero [42]. Ricordo che nel caso puntuale P̃g (0, Ql V )
è direttamente proporzionale al rate di tunneling.
(qp)
Figura 4.10: Andamento di λef f (V, T ) in funzione del voltaggio e della temperatura per
un contatto con αc = 0.5, αl = 3. Sulla destra è riportata la scala dei colori.
Con alcuni passaggi è possibile riscrivere
P̃ g 0, ω2 + E P̃ g 0, ω2 − E
Γ(2g) β
2
2
= 2
Γ (g) 2π
P̃g (0, ω)
ω
g
ω
2
g
i
i
B
+
+E , +
− E .
2 2π 2
2 2π 2
(4.74)
Inserendo la (4.74) nella (4.72) e operando un cambio di variabile si ottiene
(l)
λef f (V, T )
=e
Q V 2
− 12 αc ωl
−2α2l
c
e
Γ(2νl2 )
8π 2 Γ2 (νl2 )
2
2
νl
i
Ql V
νl2
i
Ql V
2 kB T
· dxe
x B
+
+x ,
+
− x .
cosh 2αl
lωc
2
4π kB T
2
4π kB T
(4.75)
che può essere valutata numericamente per ricavare la dipendenza dell’ampiezza efficace
dal voltaggio e dalla temperatura, secondo la (4.52). Essa è scritta in termini delle variabili
adimensionali e∗ V /ωc e kB T /ωc e dipende dai parametri αc e αl definiti nella (4.62). In
Fig. 4.10 è riportato il coefficiente di rinormalizzazione in funzione del voltaggio applicato
tra i bordi e della temperatura, ottenuto integrando numericamente la (4.75). Si noti
Z
2
kB T
− 21 αl lω
x
c
4.5 Giunzioni estese a temperatura finita
85
che, in virtù di (4.52), esistono regioni in cui l’ampiezza efficace viene molto soppressa,
in generale per valori molto bassi o molto alti di voltaggio (e∗ V ωc o e∗ V ωc ) e
temperatura.
Voglio studiare in quale modo questa complicata dipendenza dell’ampiezza di tunneling
dalle scale energetiche influenzi la corrente di backscattering. Dalla (4.75) è infatti possibile
risalire alla corrente di backscattering attraverso giunzioni estese tramite la relazione
(qp)
(l)
(qp)
IL (V, T ) = λef f (V, T ) · IP (V, T ).
(4.76)
In Fig. 4.11 è riportata la corrente di backscattering nel caso di giunzioni estese in funzione del voltaggio, per diversi valori di temperatura, con larghezza del contatto fissata.
L’andamento nel caso esteso è palesemente diverso dal comportamento nel caso puntuale.
La corrente di backscattering presenta un picco tanto più marcato quanto più bassa è la
temperatura.
Dalla corrente di backscattering è possibile risalire alla conduttanza nel caso esteso
(qp)
(qp)
Gdif f,L (V, T )
(a)
dI (V, T )
= L
.
dV
(4.77)
(b)
Figura 4.11: (a) Corrente di backscattering in funzione del voltaggio in un contatto esteso
con αc = 0.5, αl = 3. (b) Corrente di backscattering in funzione del voltaggio nell’ipotesi
di interazione puntuale. Le quattro curve corrispondono a quattro diverse temperature:
kB T /ωc = 1 (rosso), kB T /ωc = 0.5 (verde), kB T /ωc = 0.2 (blu), kB T /ωc = 0.1 (viola).
In Fig. 4.12 è riportata la conduttanza differenziale nel caso di giunzioni estese in funzione
del voltaggio, per diversi valori di temperatura, con larghezza del contatto fissata.
Come si vede in Fig. 4.13, la conduttanza differenziale si comporta in maniera qualitativamente simile al caso puntuale per temperature sufficientemente alte mentre esibisce un
comportamento diverso per temperature più basse. In particolare per la curva corrispondente alla temperatura più alta (rossa) la conduttanza esibisce un massimo per voltaggio
nullo, mentre al diminuire della temperatura essa esibisce invece un minimo. Questo
86
Trasporto attraverso giunzioni estese
Figura 4.12: Conduttanza differenziale in funzione del voltaggio in un contatto esteso
con αc = 0.5, αl = 3. Le quattro curve corrispondono a quattro diverse temperature:
kB T /ωc = 1 (rosso), kB T /ωc = 0.5 (verde), kB T /ωc = 0.2 (blu), kB T /ωc = 0.1 (viola).
comportamento ricorda, da un punto di vista qualitativo, quello riscontrato sperimentalmente [54], sebbene l’andamento complessivo non trovi accordo con le stesse evidenze
sperimentali.
(a)
(b)
Figura 4.13: (a) Conduttanza differenziale in funzione del voltaggio in un contatto esteso
con αc = 0.5, αl = 3. (b) Conduttanza differenziale in funzione del voltaggio nell’ipotesi
di interazione puntuale. Le quattro curve corrispondono a quattro diverse temperature:
kB T /ωc = 1 (rosso), kB T /ωc = 0.5 (verde), kB T /ωc = 0.2 (blu), kB T /ωc = 0.1 (viola).
4.5 Giunzioni estese a temperatura finita
4.5.1
87
La conduttanza in regime lineare
In questa sezione restringiamo l’analisi al regime e∗ V kB T , per cui posso considerare
che la corrente di backscattering sia data con buona approssimazione da
(qp)
(qp)
IL (V, T ) = V GL (T ),
(4.78)
(qp)
dove con GL (T ) indico la conduttanza in regime lineare. Vogliamo studiare come la
legge di potenza
− 4
3
(qp)
(qp)
(qp) kB T
IP (V, T ) = V GP = V G0
,
(4.79)
ωc
(qp)
con G0 definito in Eq. (3.60), prevista dalla teoria di tunneling puntuale, venga modificata dalla natura estesa del contatto.
Nel regime lineare si ottengono espressioni semplificate di Eq. (4.75). Infatti la conduttanza in regime lineare nel caso esteso è legata a quella puntuale dalla relazione
(qp)
(qp)
(qp)
GL (T ) = λef f (V = 0, T ) · GP (T ).
(4.80)
La dipendenza dell’ampiezza efficace dalla temperatura in generale modificherà la legge di
potenza predetta nel caso puntuale. La (4.75) valutata per voltaggio nullo vale
4
ν
i
2 kB T
= 0, T ) = e
cosh 2αl
dxe
x Γ
+
x .
ωc
2 4π
(4.81)
Questa espressione può essere integrata numericamente.
(qp)
λef f (V
−2α2l
Γ(2ν)
8π 2 Γ4 (ν)
Z
2
kB T
− 12 αl ω
x
c
(qp)
Figura 4.14: Andamento di λef f (V, T = 0) a voltaggio nulla in funzione della temperatura.
Le quattro curve differiscono per la larghezza del contatto: αl = 1 (rosso), αl = 1.5 (verde),
αl = 3 (blu), αl = 5 (viola). Il parametro αc è costante e pari a 0.5.
In Fig. 4.14 è riportato l’andamento del coefficiente di rinormalizzazione in funzione dalla
temperatura per voltaggio nullo, per diversi valori di larghezza della giunzione.
88
Trasporto attraverso giunzioni estese
(a)
(b)
Figura 4.15: (a) Conduttanza lineare in funzione della temperatura in un contatto esteso.
Le quattro curve differiscono per la larghezza del contatto: αl = 1 (rosso), αl = 1.5 (verde),
αl = 3 (blu), αl = 5 (viola). Il parametro αc è costante e pari a 0.5. (b) Conduttanza
lineare in funzione della temperatura nell’ipotesi di interazione puntuale.
Inserendo la (4.81) in (4.80) si ottiene la dipendenza della conduttanza differenziale lineare
dalla temperatura, mostrata in Fig. 4.15.
La legge di potenza (4.79) sopravvive solo per valori di temperatura sempre più bassi
all’aumentare della larghezza del contatto. Per temperature più alte la dipendenza della
conduttanza lineare dalla temperatura viene modificata rispetto al caso puntuale.
La temperatura introduce infatti la nuova scala di lunghezza LT , definita in (4.71). Si può
riscrivere il coefficiente di rinormalizzazione a voltaggio nullo in funzione della variabile
adimensionale ξl /LT
4
2
Z
ξ
ξl
i
ν
− 12 L l x
(qp)
−2α2l Γ(2ν)
T
λef f (V = 0, T ) = e
dxe
cosh 2αl
x Γ
+
x .
2
4
8π Γ (ν)
LT
2 4π
(4.82)
2
A parte il taglio esponenziale exp −2αl , nel limite ξl /LT → 0 si ritrovano le leggi di
potenza previste nel caso di interazione puntuale
− 4
3
(qp)
(qp) kB T
ξl /LT → 0 ⇒ GL (T ) → Ḡ0
,
(4.83)
ωc
(qp)
2
(qp)
avendo definito Ḡ0 = e−2αl G0 .
Al di fuori di questa regione si hanno deviazioni dall’andamento puntuale, dovute alla natura estesa del contatto. In Fig. 4.16 è riportato, in scala bilogaritmica, l’andamento della
corrente di backscattering in funzione della temperatura. L’ampiezza della regione entro
la quale rimane valida l’approssimazione di interazione puntuale si riduce all’aumentare
del parametro αl .
Dalla conduttanza in regime lineare si può risalire alla corrente di backscattering attesa
nel regime e∗ V kB T attraverso la (4.78). In Fig. 4.17 è riportata la corrente di
backscattering in regime lineare nel caso di un contatto esteso e nel caso di interazione
puntuale.
4.5 Giunzioni estese a temperatura finita
89
Figura 4.16: Conduttanza lineare in funzione della temperatura, in scala bilogaritmica. Le
quattro curve differiscono per la larghezza del contatto: αl = 1 (rosso), αl = 1.5 (verde),
αl = 3 (blu), αl = 5 (viola). Il parametro αc è costante e pari a 0.5.
Figura 4.17: Corrente di backscattering nel limite e∗ V kB T per contatto esteso con
αc = 0.5, αl = 3 (in blu). L’andamento, in accordo con quello puntuale (in nero) per
temperature molto basse, cambia per temperature più alte.
Si noti che la teoria sviluppata in questo Capitolo tenendo conto della natura estesa del
contatto permette di predire, entro un certo range di valori di temperatura, una pendenza
opposta a quella attesa nel caso puntuale. Questo andamento ricorda, da un punto di vista
qualitativo, quello riscontrato in alcuni esperimenti, come quello discusso nel Capitolo 3
[57] e riportato in Fig. 4.18, che non può essere compreso alla luce della teoria “nuda”di
tunneling puntuale. In questo senso si può pensare di dare una giustificazione del risultato
sperimentale, alternativa ai modelli teorici [58] ad oggi sviluppati per chiarire il cambio
di pendenza nell’andamento di Fig. 4.18, considerando la natura estesa del contatto, che
90
Trasporto attraverso giunzioni estese
Figura 4.18: Corrente di backscattering in regime lineare in funzione della temperatura, in
scala bilogaritmica, ottenuto nell’ambito dell’esperimento di M. Heiblum. La linea retta
rappresenta un fit a legge di potenza. Tratto da [57].
come abbiamo visto modifica gli andamenti della corrente di backscattering.
Tuttavia occorre osservare che, se da un punto di vista qualitativo si può trovare un accordo tra i risultati sperimentali e la descrizione teorica del tunneling attraverso giunzioni
estese, le scale di energia previste dal modello sono troppo grandi confrontate con quelle
tipiche degli esperimenti. Infatti nella sequenza di Laughlin le eccitazioni si propagano
tipicamente con velocità v dell’ordine di 104 m/sec, per cui l’energia caratteristica del
sistema ωc è dell’ordine di 1 meV (ωc è dell’ordine di 10 K, tradotto in unità di temperatura). Come analizzato in Fig. 4.9 e in Fig. 4.16, deviazioni dal comportamento puntuale
cominciano a farsi sentire per valori di temperatura e di voltaggio che, per i valori tipici
di ωc , sono troppo grandi se confrontati ai tipici valori ai quali si svolgono gli esperimenti
[66]. In questo senso non è possibile confrontare direttamente le predizioni teoriche con i
risultati sperimentali.
Il risultato principale di questa tesi consiste nell’aver mostrato che l’approssimazione di
interazione puntuale tra i bordi attraverso un contatto è piuttosto problematica e deve
essere trattata con la dovuta cautela. Riteniamo comunque che sia forse possibile spiegare
gli andamenti sperimentali anomali discussi considerando un modello ancora più generale.
Occorre infatti considerare che il sistema non è mai perfettamente isolato. Esso, interagendo col mondo esterno, si accoppia ad ulteriori gradi di libertà [59], per cui non può essere
descritto in termini di un solo campo bosonico al quale compete l’energia ωc . L’accoppiamento con gradi di libertà esterni può essere anch’esso descritto in termini di un campo
bosonico, al quale è associata un’energia ωn . Questa scala di energia ωn , non essendo
necessariamente legata ad interazioni di tipo coulombiano, può essere molto più piccola
di ωc . In questo caso ci si aspetta che la natura estesa della giunzione possa manifestarsi
anche per valori di temperatura e voltaggio molto più bassi, per via della presenza di una
scala energetica molto più piccola di ωc . Purtroppo queste estensioni vanno ben oltre gli
obiettivi che ci eravamo posti inizialmente e rappresentano alcuni dei possibili sviluppi di
ricerca futuri che potranno scaturire da questa tesi.
4.5 Giunzioni estese a temperatura finita
91
In questo lavoro abbiamo mostrato come gli andamenti teorici attesi assumendo che gli
edge interagiscano puntualmente siano modificati tenendo conto dell’estesione spaziale del
quantum point contact. La natura estesa del contatto si manifesta in una rinormalizzazione
dell’ampiezza di tunneling. Questa non è più una quantità independente dall’energia, ma
acquisisce una dipendenza dalle scale energetiche in gioco: il voltaggio applicato tra i bordi
del campione e la temperatura. La rinormalizzazione dell’ampiezza di tunneling influenza
le proprietà di trasporto del sistema, modificando gli andamenti teorici attesi.
92
Trasporto attraverso giunzioni estese
Appendice A
Quantizzazione del campo
bosonico di edge
Questa Appendice è dedicata alla quantizzazione dell’operatore bosonico di edge. Per
semplicità verrà studiato nel dettaglio solo il caso in cui le eccitazioni si propagano progressivamente e saranno riportate solamente le espressioni per il modo regressivo.
Il campo di densità è legato al campo bosonico di edge dalla relazione (2.29)
ρ+ (x) =
1
∂x ϕ+ (x).
2π
ed è legato agli operatori di creazione e distruzione dalle relazioni (2.18)
r
r
2π
2π
†
b+,k =
ρ+,k ,
b+,k =
ρ+,−k ,
νkL
νkL
(A.1)
(A.2)
valide per k 6= 0. Per passare a quantizzare il campo ϕ+ (x) conviene separare il contributo
di modo zero dal contributo dei modi plasmonici
ϕ+ (x) = ϕ+,p (x) + ϕ+,0 (x).
(A.3)
Cosı̀ facendo le relazioni (A.1), (A.2) definiscono la quantizzazione della parte plasmonica
del campo bosonico di edge
r
2πν X
i
i † −ikx − a k
ikx
√
√
b+,k e +
b e
ϕ+,p (x) =
−
e 2 ,
(A.4)
L
k
k +,k
k>0
dove è stato introdotto il cut-off a che assicura la convergenza delle espressioni.
La forma più generale per il modo zero compatibile con Eq. (A.1) è
ϕ+,0 (x) = 2π
N+
x + απ+,0
L
(A.5)
dove N+ rappresenta la variazione del numero di elettroni rispetto ad un valor medio N ,
mentre π0,+ è il momento coniugato alla coordinata generalizzata N+
[N+ , π+,0 ] = i.
93
(A.6)
94
Quantizzazione del campo bosonico di edge
Valutiamo adesso il commutatore dei campi bosonici a tempi uguali ma in punti diversi.
Per come abbiamo separato il campo bosonico il contributo di modo zero commuta con i
contributi plasmonici; il commutatore diventa quindi
[ϕ+ (x), ϕ+ (y)] = [ϕ+,p (x) + ϕ+,0 (x), ϕ+,p (y) + ϕ+,0 (y)]
= [ϕ+,p (x), ϕ+,p (y)] + [ϕ+,0 (x), ϕ+,0 (y)]
(A.7)
Per il commutatore plasmonico si trova
[ϕ+,p (x), ϕ+,p (y)] = =
a
2πν X e− 2 (k+q) √
[b+,k , b†+,q ]ei(kx−qy) + [b†+,q , b+,k ]e−i(kx−qy)
L
kq
k,q>0
2πν X e−ak ik(x−y)
e
− e−ik(x−y)
L
k
k>0
n 2π
n 

(x−y+ia)
−i L (x−y−ia)
i 2π
∞
L
e
e
X


= ν
−
n
n
=
(A.8)
n>0
dove nell’ultimo passaggio è stata esplicitata la condizione di quantizzazione del momento
k = 2πn/L con n ∈ N. Sfruttando l’identità
− ln(1 − x) =
∞
X
xn
n=1
(A.9)
n
si ottiene
"
[ϕ+,p (x), ϕ+,p (0)] = ν ln
2π
1 − e−i L (x−ia)
#
i 2π
(x+ia)
L
1−e
= 2iν arctan
x
a
−
2πνi
x
L
(A.10)
per |x| ≤ L/2, che può essere estesa per periodicità per tutti i valori di x. Nel limite a → 0
per L finito si ha perciò
[ϕ+,p (x), ϕ+,p (y)] −→ iπνsign(x − y) −
a→0
2πνi
(x − y).
L
(A.11)
Affinché i campi di l-agglomerato soddisfino le corrette proprietà di statistica richiediamo
che valga
[ϕ+ (x), ϕ+ (y)] = iπνsign(x − y).
(A.12)
Si può ottenere Eq. (A.12) richiedendo che i modi zero soddisfino la relazione
[ϕ+,0 (x), ϕ+,0 (y)] =
2πνi
(x − y)
L
(A.13)
cosı̀ da cancellare il secondo termine in Eq. (A.11). In particolare Eqs. (A.5), (A.6) e
(A.13) implicano α = ν in Eq. (A.5).
Riassumendo abbiamo quantizzato il campo bosonico di edge separando i contributi plasmonici da quello di modo zero; l’espressione generale, a seconda del segno della velocità
delle eccitazioni sull’edge, è data da
ϕ± (x) = ϕ±,p (x) + ϕ±,0 (x),
(A.14)
95
con
ϕ±,0 (x) = ±2π
r
ϕ±,p (x) =
N±
x + νπ±,0 ,
L
a
2πν X
i
i †
±ikx
∓ikx
√
√
−
b±,±k e
+
b±,±k e
e− 2 k .
L
k
k
k>0
(A.15)
(A.16)
Possiamo quindi esprimere l’operatore di l-agglomerato in termini del campo bosonico di
edge
e±ikF x ilϕ± (x)
eikF x il ϕ±,p (x)±2π NL± x+νπ±,0
(l)
ψ± (x) = √
e
=√
e
(A.17)
2πa
2πa
avendo introdotto l’esponenziale exp (ikF x) che tiene conto, attraverso il momento di
Fermi kF , del numero totale di particelle N lungo l’edge. Tale fattore di fase è inessenziale
nella geometria di quantum point contact ma come vedremo si rivela fondamentale per
descrivere esperimenti di tunneling in una regione estesa. Si può riscrivere la (A.17) nella
forma
N
ikF x
x
il ϕ±,p (x)±2π L± x∓πlν L
(l)
(l) e
ψ± (x) = F √
e
(A.18)
2πa
avendo definito il fattore di Klein di l-agglomerato [39]
F (l) = eilνπ±,0 .
(A.19)
L’operatore di l-agglomerato nel limite di lunghezza dell’edge infinita si ottiene da Eq.
(A.18)
F (l) ±ikF x ilϕ±,p (x)
(l)
e
e
.
(A.20)
ψ± (x) −→
L→∞ 2πa
Per mostrare che i campi sui due edge evolvono in modo diverso a causa della chiralità si
può considerare l’equazione di evoluzione temporale
dϕ± (x, t)
= i[H, ϕ± (x, t)],
dt
dove l’hamiltoniana di edge è data da
X †
πv 2
N .
H± = v
kb±,±k b±,±k +
Lν ±
(A.21)
(A.22)
k>0
In particolare si può dimostrare che i campi soddisfano l’equazione del moto chirale
±∂x ∂t + v∂x2 ϕ±,p (x, t) = 0,
(A.23)
per cui deve valere
ϕ± (x, t) = ϕ± (x ∓ vt),
(A.24)
nella quale si evidenzia ancora una volta la natura chirale degli edge. Allo stesso modo si può verificare che anche il modo zero soddisfa le medesime relazioni di chiralità.
L’evoluzione temporale dell’operatore π±,0
h πv
i
dπ±,0
2πv
=i
N± , π±,0 = −
N±
dt
Lν
Lν
(A.25)
96
Quantizzazione del campo bosonico di edge
implica infatti
N±
(x ∓ vt) + νπ±,0 .
L
Abbiamo quindi dimostrato che i campi sui due edge evolvono secondo
ϕ±,0 (x, t) = ±2π
ϕ± (x, t) = ϕ± (x ∓ vt).
(A.26)
(A.27)
Appendice B
Rate di tunneling puntuale
In questa Appendice vogliamo valutare esplicitamente il rate di tunneling per interazione
puntuale tra gli edge, dato in Eq. (3.44)
Γ(l) (V, T ) =
|Λ0 |2
P̃g (0, Ql V ),
(2πa)2
(B.1)
con g = l2 ν, per cui occorre calcolare l’espressione
Z +∞
g
P̃g (0, Ql V ) =
dteiQl V t e2 ν W(t) ,
(B.2)
−∞
essendo
 2 
t 1
 Γ 1 + βωc − i β 
W(t) = ν ln  .
Γ2 1 + βω1 c (1 + iωc t)
(B.3)
Utilizzando la proprietà della funzione gamma di Eulero Γ(1 + x) = xΓ(x), la (B.3) può
essere riscritta come

 Γ βω1 c + i βt Γ 1 + βω1 c − i βt
.
W(t) = ν ln 
(B.4)
βωc Γ2 1 + βω1 c
Considerando il limite βωc 1 e tenendo solamente l’ordine dominante in 1/βωc , introduciamo la funzione X(t) = W(t − i β2 )

 

Γ 12 + i βt Γ 21 − i βt
π
 = ν ln 
 .
(B.5)
X(t) = ln 
βωc
βω cosh πt
c
β
Si noti che la sostituzione t → t − i β2 , è lecita grazie alle proprietà di analiticità della
funzione di Green. Sostituiamo ora l’Eq. (B.5) nella (B.3), effettuando il precedente
cambio di variabile e sfruttando il fatto che X(t) è una funzione reale e simmetrica

2g
Z +∞
βQl V
π
 .
P̃g (0, Ql V ) = 2e 2
dt cos(Ql V t) 
(B.6)
0
βωc cosh π βt
97
98
Rate di tunneling puntuale
Si può riscrivere la (B.6) effettuando la sostituzione z = exp [−(πt)/β]. Si ottiene
2g
P̃g (0, Ql V ) = 2
π
βωc
2g
e
β
π
βQl V
2
Z
1
dz z
2g−1 z
i
βQl V
π
0
βQl V
π
+ z −i
(1 + z 2 )2g
.
(B.7)
Poniamo ora s = z 2 /(z 2 + 1) in modo da avere
P̃g (0, Ql V ) = 2
Z
·
1
2
2g−1
π
βωc
2g
e
βQl V
2
β
·
π
h
βQl V
βQl V
βQl V
βQl V i
ds (1 − s)g−1+i 2π sg−1−i 2π + (1 − s)g−1−i 2π sg−1+i 2π
(B.8)
0
che può essere facilmente ricondotto a
2g−1
P̃g (0, Ql V ) = 2
π
βωc
2g
e
β
π
βQl V
2
Z
1
ds(1 − s)g−1+i
βQl V
2π
sg−1−i
βQl V
2π
.
(B.9)
0
Infine quest’ultima può essere riscritta ricordando la definizione della funzione Beta di
Eulero [42]
Z 1
dssx−1 (1 − s)y−1
(B.10)
B(x, y) =
0
da cui
P̃g (0, Ql V ) = 2
2g−1
π
βωc
2g
e
βQl V
2
β
βQl V
βQl V
B g−i
,g + i
π
2π
2π
(B.11)
che è il risultato cercato. Il rate di tunneling vale quindi
(l)
Γ (V, T ) =
2π
βωc
2l2 ν−1
βQl V 2
βQl V
1 |Λ0 |2 βQl V
2
2
B l ν−i
e
,l ν + i
.
ωc (2πa)2
2π
2π
(B.12)
Appendice C
Principio di bilancio dettagliato
per tunneling attraverso una
giunzione estesa
In questa Appendice vogliamo dimostrare che nel caso di quantum point contact esteso
vale la relazione di bilancio dettagliato
(l)
(l)
ΓL (−V, T ) = e−βQl V ΓL (V, T ).
(C.1)
(l)
Si consideri il rate di tunneling ΓL (−V, T ), ottenibile dall’Eq. (4.41)
(l)
ΓL (−V, T ) =
Z
dxdydx0 dy 0
Z
∞
·
Λx,y Λ∗x0 ,y0
(2πa)2
e
i
h
i
Ql V
Ql V
kF − 2v
(x0 −x)+ kF + 2v
(y 0 −y)
·
z
z
2
dτ e−iQl V τ el [W(τ − v )+W(τ + v )] ,
(C.2)
−∞
dove z = (y − y 0 + x − x0 )/2. Sfruttando la proprietà del propagatore bosonico
W(−t) = W(t − iβ)
e la sostituzione τ → τ 0 = −τ si ha
i
h
Z
Ql V
Ql V
Λ Λ∗
0
0
(l)
0 0 x,y x0 ,y 0 i kF − 2v (x −x)+ kF + 2v (y −y)
·
ΓL (−V, T ) = dxdydx dy
e
(2πa)2
Z ∞
0 z
0 z
0 2
·
dτ 0 eiQl V τ el [W(τ − v −iβ)+W(τ + v −iβ)] .
(C.3)
(C.4)
−∞
Effettando quindi l’ulteriore sostituzione τ 0 → t = τ 0 − iβ si ottiene
i
h
Z
Ql V
Ql V
Λ Λ∗
0
0
(l)
−βQl V
0 0 x,y x0 ,y 0 i kF − 2v (x −x)+ kF + 2v (y −y)
ΓL (−V, T ) = e
dxdydx dy
e
·
(2πa)2
Z
∞−iβ
·
z
z
2
dteiQl V t el [W(t− v )+W(t+ v )] .
−∞−iβ
99
(C.5)
100
Principio di bilancio dettagliato per tunneling attraverso una giunzione estesa
Grazie all’analiticità della funzione W(t) l’integrale in (C.5) è pari all’integrale esteso su
tutto l’asse reale, per cui si ottiene
h
i
Z
Λx,y Λ∗x0 ,y0 i kF − Ql V (x0 −x)+ kF + Ql V (y0 −y)
(l)
2v
2v
e
ΓL (−V, T ) = e−βQl V
dxdydx0 dy 0
·
(2πa)2
Z ∞
z
z
2
·
dteiQl V t el [W(t− v )+W(t+ v )] .
(C.6)
−∞
A questo punto è possibile scambiare le variabili spaziali x ↔ y, x0 ↔ y 0 ; questo scambio
lascia invariate le quantità Λx,y , Λx0 ,y0 , nonchè z, per cui si ottiene
(l)
ΓL (−V, T )
−βQl V
Z
0
dxdydx dy
=e
Z
∞
·
0
Λx,y Λ∗x0 ,y0
(2πa)2
i
e
h
i
Ql V
Ql V
kF + 2v
(x0 −x)+ kF − 2v
(y 0 −y)
·
z
z
2
dteiQl V t el [W(t− v )+W(t+ v )]
−∞
(l)
= e−βQl V ΓL (V, T ).
(C.7)
Risulta cosı̀ dimostrato il principio di bilancio dettagliato per tunneling attraverso giunzioni estese.
Conclusioni
In questo lavoro di tesi ci siamo concentrati sullo studio delle proprietà di trasporto degli
stati di edge dell’effetto Hall quantistico frazionario. L’attezione è stata focalizzata sulla
geometria di quantum point contact, nella quale i due edge sono posti in comunicazione
attraverso un potenziale di gate. Questa geometria rende possibile eventi di tunneling di
eccitazioni tra un edge e l’altro, che si manifestano macroscopicamente in una diminuzione
della corrente trasmessa. L’analisi è stata ristretta al regime di debole tunneling, nel quale
si può trattare l’interazione tra gli edge attraverso la teoria delle perturbazioni. Questo
lavoro ha riguardato la sequenza di Laughlin, per la quale si può dare una descrizione in
termini di un solo campo bosonico.
Dapprima è stata calcolata la corrente di tunneling indotta dal quantum point contact
nell’ipotesi di interazione puntuale tra gli edge, ricavando gli andamenti teorici in funzione della differenza di potenziale tra i bordi e della temperatura. Nel caso puntuale il
processo di tunneling è parametrizzato da un’ampiezza di tunneling costante.
Quindi abbiamo generalizzato la trattazione al caso più realistico di quantum point contact esteso, nel quale gli eventi di tunneling possono avvenire all’interno di una regione
estesa spazialmente. Abbiamo dimostrato che l’estensione spaziale del contatto si manifesta in una rinormalizzazione dell’ampiezza di tunneling. Questa non è più costante, ma
acquisisce una dipendenza dal voltaggio e dalla temperatura. Questa ampiezza efficace
modifica l’andamento atteso per la corrente di tunneling.
Abbiamo dapprima calcolato l’ampiezza efficace e la corrente di tunneling per giunzioni
estese a temperatura nulla. Quindi la trattazione è stata estesa al caso generale di temperatura finita. Tale analisi costituisce la parte più originale di questo lavoro, poiché in
letteratura non esistono altri studi teorici al riguardo. Questa generalizzazione ha anche
consentito di confrontare, da un punto di vista qualitativo, gli andamenti teorici con alcuni risultati sperimentali che non possono essere descritti da una trattazione di tunneling
puntuale “nuda”.
In futuro si potrà estendere questa analisi a stati Hall frazionari più complessi, come la
sequenza di Jain, per la quale è necessario ricorrere a teorie gerarchiche per gli stati di
bordo, oppure considerare casi in cui il sistema può interagire con ulteriori gradi di libertà
esterni [59, 60, 62]. Si può altresı̀ applicare il modello proposto per descrivere esperimenti
di tunneling negli isolanti topologici [71, 72].
101
102
Conclusioni
Bibliografia
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