8.6 La sezione aurea 8.6.1 Il numero della bellezza?

$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
1
/DVH]LRQHDXUHD
,OQXPHURGHOODEHOOH]]D"
La determinazione di ciò che è bello o brutto esula certamente dall’ambito della
matematica, in quanto estremamente soggettiva ed opinabile. Fino dai tempi antichi vi è
però un particolare rapporto che ricorre spesso nelle arti figurative e del quale sono in
molti a pensare che possieda un particolare valore estetico. Tale rapporto corrisponde ad un
numero irrazionale che – uniformandoci ad una notazione introdotta nel 1914 dal
matematico Theodore Cook –LQGLFKHUHPRFRQ
DXUHD o DXUHRUDSSRUWR. Ecco la sua definizione:
HGè universalmente noto come VH]LRQH
/D VH]LRQH DXUHD GL XQ VHJPHQWR q OD SDUWH GL HVVR PHGLD SURSRU]LRQDOH WUD WXWWR LO
VHJPHQWRHODSDUWHULPDQHQWH
Sebbene in diverse opere antiche e medioevali, sia di pittura che di scultura o
architettura, si rinvengano rettangoli in cui la proporzione tra base ed altezza è data da
che l’aureo rapporto realizzi un ideale classico di bellezza è una teoria estetica risalente
solo al XIX secolo e che non trova alcun riscontro nei testi di epoche precedenti.
,O SULPR D WULEXWDUH DO UDSSRUWR
XQ VLJQLILFDWR FKH HVXOL GDO ULVWUHWWR DPELWR
dell’aritmetica e della geometria fu il grande matematico nonché frate francescano Luca
Pacioli, che nel 1498 dedicò alla sezione aurea un’opera dal titolo 'H 'LYLQD3URSRUWLRQH.
Il motivo per cui all’aureo rapporto viene riconosciuto un significato addirittura divino è da
ricercarsi in tre analogie:
1.
riunisce in un’unica entità (la proporzione) tre elementi distinti (gli estremi e il
medio comune), in ciò è figura della Trinità;
2.
il suo valore è espresso da un numero irrazionale, questo ci ricorda l’ineffabilità
di Dio ovvero il fatto che sia inaccessibile alla ragione umana;
3.
l’uguaglianza dei rapporti che compaiono nella proporzione rappresenta
l’immutabilità divina.
Inoltre vi è un riferimento alla relazione dell’aureo rapporto con il dodecaedro, una
figura solida che nella simbologia platonica rappresentava l’intero universo
XOWLPRVDOYDWDJJLR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
2
'HWHUPLQD]LRQHJHRPHWULFDGHOODVH]LRQHDXUHD
Negli (OHPHQWL la sezione aurea viene introdotta in due modi indipendenti. Nella
proposizione 11 del secondo libro viene data la costruzione per GLYLGHUH XQ VHJPHQWR LQ
PRGRFKHLOUHWWDQJRORFRPSUHVRGDWXWWRLOVHJPHQWRHGDXQDGHOOHSDUWLVLDHTXLYDOHQWH
DO TXDGUDWR GHOOD SDUWH ULPDQHQWH. Nella proposizione 30 del sesto libro viene invece
mostrato come GLYLGHUH LQ HVWUHPD H PHGLD UDJLRQH XQ VHJPHQWR GDWR (“dividere in
estrema e media ragione” significa appunto determinare una parte che sia media
proporzionale tra tutto il segmento e la parte rimanente). Sebbene le due proposizioni
riguardino una un problema di equivalenza e l’altra uno sulle proporzioni, riconosciamo
facilmente che esse esprimono lo stesso rapporto quando si ricordi la proprietà per cui in
una proporzione numerica il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi (in termini
di equivalenza: il rettangolo avente per dimensioni i medi di una proporzione tra segmenti
è equivalente a quello avente per dimensioni gli estremi).
La costruzione geometrica della sezione
aurea di un segmento dato è illustrata nella
Figura 1. A partire dall’estremo % tracciamo il
segmento
%& = $%
e
disegniamo
la
circonferenza avente %& come diametro.
Tracciamo poi la retta $2 che incontra la
circonferenza in ' e (. Il segmento $' è la
sezione aurea cercata di $%. Osserviamo
infatti che '(ˆ % = '%ˆ $ in quanto angoli alla )LJXUD&RVWUX]LRQHGHOODVH]LRQHDXUHDGLXQ
VHJPHQWR
circonferenza che insistono sul medesimo arco
'% (nell’angolo '%ˆ $ un lato è la tangente $%); pertanto i triangoli $%' e $%( – avendo
anche l’angolo in $ in comune – sono simili per il primo criterio di similitudine. Le coppie
di lati corrispondenti sono: $% e $(, '% e %(, $' e $%. Vale quindi la proporzione:
$% : $' = $( : $%
che,
applicando
la
proprietà
dello
scomporre
diventa:
$% − $' : $' = $( − $% : $% . Ma '( è un diametro della circonferenza e quindi è
uguale ad $%; pertanto $( − $% = $( − '( = $' . Operando questa sostituzione l’ultima
proporzione diventa: $% − $' : $' = $' : $% , che è proprio quello che stavamo
cercando. Per rendere più chiaro il senso di quanto ottenuto indichiamo $% con 1 e $' con
OD SURSRU]LRQH VL VFULYH DOORUD 1 − Φ : Φ = Φ : 1 , cioè il segmento $' è medio
XOWLPRVDOYDWDJJLR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
3
proporzionale tra tutto il segmento $% e la parte rimanente $% − $' , che è proprio la
definizione dell’aureo rapporto.
Formalizziamo i passaggi di questa dimostrazione:
,SRWHVL: la costruzione geometrica riportata in Figura 1
'(ˆ % = '%ˆ $ (ipotesi, teorema angolo alla circonferenza)
'$ˆ % = '$ˆ %
$%' ≈ $%( (primo criterio similitudine, 1, 2)
$% : $' = $( : $% (3)
$% − $' : $' = $( − $% : $% (proprietà dello scomporre, 4)
$% = '( (ipotesi)
$( − $% = $( − '( = $' (6)
7HVL: $% − $' : $' = $' : $% (5, 7)
Rappresentiamo con un diagramma i passi seguiti nella dimostrazione:
)LJXUD6FKHPDORJLFRGHOODFRVWUX]LRQHGHOODVH]LRQHDXUHDGLXQVHJPHQWR
&RVWUX]LRQHGHOGHFDJRQRHSHQWDJRQRUHJRODUL
Teorema:
,O ODWR GHO GHFDJRQR UHJRODUH q OD VH]LRQH DXUHD GHO UDJJLR GHOOD FLUFRQIHUHQ]D
FLUFRVFULWWDDOSROLJRQR
XOWLPRVDOYDWDJJLR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
4
Per dimostrare questo teorema basta osservare che unendo il
centro di un decagono regolare con i vertici otteniamo dieci
triangoli isosceli uguali, ciascuno avente angolo al vertice di
angoli alla base di
π
e
5
2
π . Ora, un questo triangolo gode della
5
proprietà che la bisettrice dell’angolo alla base individua un )LJXUD ,O GHFDJRQR
UHJRODUH
triangolo simile a quello di partenza.
Infatti,
$&ˆ % =
con
riferimento
alla
Figura
4,
abbiamo:
π 1 ˆ
= &$% = '$ˆ % = '$ˆ & in quanto $' è la bisettrice di
5 2
2
&$ˆ % ; $'ˆ % = π per il teorema dell’angolo esterno, inoltre
5
2
$%ˆ ' = π per ipotesi. Quindi i due triangoli $%& e $%' sono
5
simili in base al primo criterio di similitudine, e vale pertanto la )LJXUD 5HOD]LRQH WUD LO
proporzione $& : $% = $% : '% . Osserviamo ora che anche il
triangolo $&' è isoscele poiché '$ˆ & = $&ˆ ' =
π
; pertanto,
5
ODWRGHOGHFDJRQRUHJRODUH
H LO UDJJLR GHO FHUFKLR
FLUFRVFULWWR
essendo $& = &% = U (raggio della circonferenza circoscritta) e $% = $' = &' = " (lato
del decagono), avremo che U : " = " : U − " , che è proprio la relazione che definisce la
sezione aurea. Formalizziamo i vari passaggi di questa dimostrazione:
,SRWHVL: è dato un decagono regolare e il cerchio ad esso circoscritto; si considera il
triangolo isoscele di Figura 4 formato da due raggi e dal lato; '$ˆ & = '$ˆ % per costruzione
$&ˆ % =
π
(ipotesi)
5
2
&$ˆ % = &%ˆ $ = π (teorema somma angoli interni, ipotesi, 1)
5
π 1 ˆ
= &$% = '$ˆ % = '$ˆ & (ipotesi, 2)
5 2
2
$'ˆ % = π (teorema dell’angolo esterno, 1, 3)
5
XOWLPRVDOYDWDJJLR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
5
2
$'ˆ % = &%ˆ $ = π (2, 4)
5
'$ˆ % = $&ˆ % =
π
(1, 3)
5
$%& ≈ $%' (1° criterio similitudine, 5, 6)
$& : $% = $% : '% (7)
'$ˆ & = $&ˆ ' =
π
(ipotesi)
5
$&' isoscele (teorema triangolo isoscele, 9)
$%' isoscele (teorema triangolo isoscele, 2)
$% = $' = &' = " (10, 11)
$& = &% = U (ipotesi)
7HVL: U : " = " : U − " (7, 12, 13)
Come corollario di questo teorema abbiamo anche la procedura
per la costruzione del pentagono regolare; infatti, una volta
determinati sulla circonferenza i dieci vertici del decagono, per avere
il pentagono basterà unirne alternativamente uno sì e uno no (Figura
5).
'HWHUPLQD]LRQL QXPHULFKH GHOOD VH]LRQH
DXUHD
)LJXUD 'HFDJRQR H
SHQWDJRQRUHJRODUL
Anche se uno studio dell’aureo rapporto dal punto di vista aritmetico e algebrico esula
dall’ambito della geometria, si tratta comunque di considerazioni interessanti che meritano
la nostra considerazione. Il numero
è la soluzione dell’equazione di secondo grado
ottenuta dalla proporzione: 1 : [ = [ : 1 − [ . Per le proporzioni numeriche si dimostra
facilmente che vale la proprietà per cui: LO SURGRWWR GHL PHGL q XJXDOH DO SURGRWWR GHJOL
HVWUHPL. Si avrà quindi l’equazione [ 2 = 1 − [ , le cui radici sono
−1± 5
(VVHQGR
2
rapporto tra segmenti solo la radice positiva è accettabile, per cui Φ =
XOWLPRVDOYDWDJJLR
XQ
5 −1
= 0,61803
2
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
6
,UUD]LRQDOLWjGHOO¶DXUHRUDSSRUWR
Sebbene si possa dimostrare che il numero
5 è irrazionale seguendo gli stessi passi
utilizzati nel caso dell’incommensurabilità tra lato e diagonale del quadrato e di lì dedurre
FKH LO ULVXOWDWR GHOO¶HTXD]LRQH FKH GHILQLVFH LO QXPHUR
è un numero irrazionale, la
dimostrazione che presentiamo adesso segue una strada differente, prendendo le mosse
direttamente dalla definizione di parte aurea di un segmento.
Dividendo per [ entrambi i membri dell’equazione [ 2 = 1 − [ , questa si può riscrivere
1
1
− 1 , cioè: − [ = 1 . Supponiamo per assurdo che esistano due numeri P e Q
[
[
come: [ =
primi tra loro (altrimenti sarà sempre possibile semplificare la frazione) tali che [ =
P
Q
(essendo [ un valore minore di 1 in quanto esprime il rapporto di una parte del segmento a
tutto il segmento, si avrà P < Q ). In tal caso la relazione
1
− [ = 1 si può riscrivere come
[
Q P
Q
P
− = 1 . Osserviamo che deve essere 1 < < 2 altrimenti, essendo
< 1 la relazione
P Q
P
Q
Q P
− = 1 non potrebbe comunque essere soddisfatta (la differenza tra un numero
P Q
maggiore di 2 e un numero minore di 1 non può essere pari a 1). Sia dunque
con N < P . Riscriviamo la relazione
solo se
Q
N
= 1+ ,
P
P
Q P
N P
− = 1 come 1 + − = 1 , che è soddisfatta se e
P Q
P Q
N P
N P
= . Tuttavia, essendo P e Q primi tra loro, sarà necessariamente
≠
P Q
P Q
(esiste infatti un solo modo di scrivere una frazione ridotta ai minimi termini), e quindi la
relazione
Q P
− = 1 non potrà in alcun modo essere soddisfatta. Scriviamo adesso i vari
P Q
passaggi seguiti nella dimostrazione.
,SRWHVL: [ 2 = 1 − [ , con [ compreso tra 0 e 1
1
− [ = 1 (ipotesi)
[
[=
Q P
− = 1 (1, 2)
P Q
P
con P e Q primi tra loro (tesi negata)
Q
XOWLPRVDOYDWDJJLR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
7
Q
< 2 (ipotesi, 2)
P
1<
Q
N
= 1 + , con N < P (4)
P
P
N P
− = 1 (3, 5)
P Q
1+
N P
=
(6)
P Q
N P
(ipotesi)
≠
P Q
assurdo (7, 8)
7HVL: ∀P, Q [ ≠
P
(negazione di 2)
Q
6YLOXSSRLQIUD]LRQHFRQWLQXD
Vogliamo adesso illustrare una maniera per calcolare il valore di
DG XQ TXDOVLDVL
livello di approssimazione utilizzando numeri razionali. Trasformiamo quindi l’equazione
che definisce l’aureo rapporto nella seguente maniera:
[ 2 = 1 − [ → [ 2 + [ = 1 → [([ + 1) = 1 → [ =
1
1+ [
In base ad essa possiamo facilmente costruire una successione di numeri razionali. Sia
infatti [0 il primo di tali valori, il secondo termine sarà: [1 =
1
1
, il terzo: [ 2 =
,e
1 + [0
1 + [1
così via. Se ora andiamo a sostituire l’espressione di [1 nella definizione di [2 otteniamo:
[2 =
1
1+
1
1 + [0
. Analogamente: [3 =
1
1+
. Il procedimento può essere ripetuto
1
1+
1
1 + [0
indefinitamente, ottenendo ogni volta una approssimazione sempre migliore il valore di
cosicché potremo formalmente scrivere:
5 −1
=
2
1
1+
. La frazione a secondo
1
1+
,
1
1+
1
1+
membro – chiamata IUD]LRQH FRQWLQXD – è composta da infiniti termini. Interrompere la
XOWLPRVDOYDWDJJLR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
frazione ad un qualsiasi livello fornirà una approssimazione del numero
8
tanto migliore
quanto più è elevato il numero di livelli considerati.
/¶DXUHRUDSSRUWRHLQXPHULGL)LERQDFFL
&RQVLGHULDPR L SULPL WHUPLQL GHOOR VYLOXSSR LQ IUD]LRQH FRQWLQXD GHO QXPHUR
Ponendo [0 = 1 essi saranno: 1
1
2
2
3
3
5
5 8
Osserviamo che in ogni frazione il
8 13
numeratore è uguale al denominatore della precedente e il denominatore è uguale al
numeratore della successiva. Inoltre, se mettiamo in fila i numeratori (o i denominatori,
dato che si tratta degli stessi numeri) possiamo notare una interessante regolarità: nella
sequenza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ogni valore è pari alla somma dei due precedenti. Una
sequenza così costruita si chiama VXFFHVVLRQH GL )LERQDFFL, in onore del matematico
Leonardo Pisano, detto Fibonacci, vissuta a cavallo tra i secoli XII e XIII. Nella sua opera
più nota, il /LEHU $EDFL, presenta un problema destinato ad ispirare generazioni successive
di matematici: supponiamo di avere una coppia di conigli che figlia una coppia ogni mese,
ciascuna nuova coppia poi comincia a figliare dal secondo mese di vita in poi; quante
coppie di conigli avremo ogni mese?
Per i primi due mesi vi sarà una sola coppia (quella iniziale), ma all’inizio del terzo
mese la coppia iniziale avrà figliato e così avremo due coppie. Al quarto mese la nuova
coppia non potrà ancora figliare mentre la coppia originaria genererà una nuova coppia: in
totale tre coppie. Al quinto mese alle tre coppie presenti al mese precedente dovremo
aggiungere le due coppie generate dalla coppia originaria e da quella di prima generazione
(che intanto ha raggiunto l’età in cui può figliare), per un totale di cinque coppie.
Continuando così è facile vedere che il numero )Q di coppie presenti all’Q-esimo mese è
dato dalla somma del numero di coppie presenti nei due mesi precedenti: )Q = )Q−1 + )Q− 2 ,
che è appunto la relazione che definisce la successione di Fibonacci.
9HULILFKHGLFRQRVFHQ]DHFRPSUHQVLRQH
1.
Definisci la sezione aurea di un segmento.
2.
Enuncia la definizione di sezione aurea basata sull’equivalenza.
3.
Enuncia e dimostra la costruzione geometrica della sezione aurea di un segmento.
4.
Di quale proprietà gode il triangolo isoscele con angoli alla base di
XOWLPRVDOYDWDJJLR
2
π?
5
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
/DVH]LRQHDXUHD
9
5.
Enuncia e dimostra la costruzione geometrica del decagono regolare.
6.
Come si costruisce il pentagono regolare?
7.
&RPHVLRWWLHQHO¶HTXD]LRQHGLVHFRQGRJUDGRGDFXLFDOFRODUHLOQXPHUR "
8.
Dimostra l’incommensurabilità di un segmento con la sua parte aurea.
9.
Che cos’è una IUD]LRQH FRQWLQXD?
10. QuaOHIUD]LRQHFRQWLQXDGHILQLVFHLOQXPHUR "
11. &KH FDUDWWHULVWLFDKDQQROHIUD]LRQLFKHDSSURVVLPDQRLOQXPHUR "
12. Che cos’è la successione di Fibonacci?
3UREOHPL
1.
Costruisci con riga e compasso il lato del poligono regolare di 20 lati.
2.
Costruisci con riga e compasso il lato del poligono regolare di 15 lati
(SHQWDGHFDJRQR). (6XJJHULPHQWR O¶DQJROR DO FHQWUR VRWWHVR GDO ODWR GHO
SHQWDGHFDJRQR UHJRODUH q GL
GHOO¶HVDJRQRqGL
3.
2
π
π TXHOOR GHO GHFDJRQR q GL TXHOOR
15
5
π
)
3
Costruisci con riga e compasso il lato del poligono regolare di 60 lati.
(6XJJHULPHQWRSURFHGLLQPDQLHUDDQDORJDDOSUREOHPDSUHFHGHQWHRVVHUYDQGR
FKH O¶DQJRORDOFHQWURVRWWHVRGDOODWRGHOSROLJRQRUHJRODUHGLODWLqGL
TXHOORGHOSROLJRQRGLODWLqGL
4.
2
π
15
π
π
TXHOORGHOSROLJRQRGLODWLqGL )
6
30
1
Quale numero viene approssimato dalla frazione continua:
2+
?
1
2+
1
2+
1
2 +
5.
Trova lo sviluppo in frazione continua per la soluzione positiva dell’equazione
6.
Trova una regola generale per il calcolo dei termini della seguente successione:
di secondo grado: [ 2 + 3 [ − 1 = 0 . Di quale valore si tratta?
1, 3, 7, 17 41, 7.
Dimostra che nel pentagono regolare il lato è la sezione aurea della diagonale.
8.
Applicando le opportune proprietà delle proporzioni dimostra che il medio
proporzionale tra 1 + Φ H
XOWLPRVDOYDWDJJLR
è 1.
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
9.
/DVH]LRQHDXUHD
10
Dimostra che il quadrato in
cui un lato è suddiviso come
in Figura 6 (assumendo pari a
1 la lunghezza del lato del
quadrato
JUDVVHWWR
i
segmenti
VRQR
in
è )LJXUD(TXLYDOHQ]DGLXQTXDGUDWRHXQUHWWDQJROR
equivalente al rettangolo avente base 1 + Φ H DOWH]]D 6XJJHULPHQWRVIUXWWDLO
ULVXOWDWRGLPRVWUDWRQHOSUREOHPD8)
XOWLPRVDOYDWDJJLR