Il Corso di Fisica per
Scienze Biologiche
Ø Prof. Attilio Santocchia
Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica
(Quinto Piano) Tel. 075-585 2708
Ø E-mail: [email protected]
Ø Web: http://cms.pg.infn.it/santocchia/
Ø Testo: Fondamenti di Fisica (HallidayResnick-Walker, Casa Editrice Ambrosiana)
Velocità media: scalare e vettoriale
w La posizione di un punto nello spazio
può essere identificata dal vettore che
congiunge l’origine degli assi cartesiani
e il punto
w Lo spostamento può essere identificato
come la differenza tra il vettore
posizione finale e posizione iniziale
w La velocità media vettoriale è il
rapporto tra il vettore spostamento e il
tempo impiegato per spostamento
w La velocità media scalare è
semplicemente il rapporto tra la distanza
percorsa e il tempo impiegato a
percorrerla
r
−
r
Δ
r
Δ
r
f
i
vm =
=
⇒ vm =
Δt t f − t i
Δt
w Nota Bene: il modulo della velocità
media vettoriale e la velocità media
scalare possono essere diversi!
Δs
vs =
≠ vm
Δt
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Diagramma orario della velocità
w Con un po’ di geometria si vede che
nel diagramma orario del moto a una
dimensione la pendenza della retta
che unisce inizio e fine dello
spostamento è proprio la velocità
media scalare
w Nel moto a una dimensione il
modulo della velocità media
vettoriale coincide sempre con la
velocità media scalare
w In 2 o 3 dimensioni il modulo dello
spostamento e lo spazio percorso
possono assumere valori diversi
w In 2 o 3 dimensioni il diagramma
orario si riferisce alla variazione di
una singola coordinata o (è la stessa
cosa) ad una componente del vettore
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Velocità Istantanea: scalare e vettoriale
w E’ data in entrambi i casi dal limite per Δt che tende a 0
nelle formule precedenti
w Si può dimostrare che il vettore velocità istantanea è
tangente alla traiettoria per ogni punto della traiettoria
w ORA il modulo della velocità vettoriale istantanea coincide
con la velocità istantanea scalare
Δr
r (t + Δt) − r (t) dr
v = lim
= lim
=
Δt → 0 Δt
Δt → 0
Δt
dt
Δs ds
v = lim
=
Δt → 0 Δt
dt
v = v x i + v y j + v zk
€
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Accelerazione
w Tutto quello visto fino ad ora per la velocità si ripete per
l’accelerazione semplicemente sostituendo al termini
spostamento la variazione di velocità
w Si può quindi parlare di accelerazione media e istantanea
(come limite per Δt→ 0 dell’accelerazione media)
E’ la derivata del
w Qui però la matematica si complica…
versore tangente
Δv dv d % ds ( % d ds ( ds dτˆ d 2 s
dτˆ
dτˆ
a = lim
=
= ' τˆ * = '
= 2 τˆ + v s
= atτˆ + v s
*τˆ +
Δt → 0 Δt
dt dt & dt ) & dt dt ) dt dt dt
dt
dt
dv y
dv z
dv x
d
a=
v x i + v y j + v zk =
i+
j+
k = ax i + ay j + azk
dt
dt
dt
dt
d 2s
ds
Nota Bene: il versore τ viene derivato perché la sua
at = 2 e v s =
direzione varia nel tempo; i versori i, j e k non variano nel
dt
dt
(
)
tempo… quindi non vanno derivati (sono costanti)
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Derivata del versore tangente
rˆ = cosθ i + sin θ j
rˆ = 1 = cos2θ + sin 2θ
d
d
τˆ =
( rˆ) = (cosθ i + sin θ j) = (−sin θ i + cosθ j) ma τˆ = (−sin θ ) 2 + (cosθ ) 2 = 1
dθ
dθ
rˆ ⋅ τˆ = rxτ x + ryτ y = cosθ ( −sin θ ) + sin θ (cos θ ) = 0 ⇒ Sono Perpendicolari!
d ˆ
d 2 rˆ
d
τ) = 2 =
−sin θ i + cosθ j) = −cosθ i − sin θ j = −(cosθ i + sin θ j) = −rˆ
(
(
dθ
dθ
dθ
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y
rˆ
sinθ
€
w La derivata di un versore è un versore
perpendicolare al versore dato
w La derivata seconda di un versore è un versore che
ha la stessa direzione del versore dato ma verso
opposto
w Spostamento à Velocità à Accelerazione
w La velocità è tangente alla traiettoria
w L’accelerazione ha una componente tangente
alla traiettoria e una componente
perpendicolare alla traiettoria
drˆ
= τˆ
dθ
€ θ
cosθ
€
x
dτˆ
dθ
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Accelerazione 2
w Il vettore accelerazione per un moto generico si può
scomporre in 2 vettori:
n
n
L’accelerazione tangenziale (tangente alla traiettoria)
L’accelerazione normale (perpendicolare all’accelerazione
tangenziale)
a = at + an
€
d 2s
at = 2 τˆ = atτˆ
dt
dτˆ ds dτˆ
an = v s
=
dt dt dt
w Per un moto rettilineo l’accelerazione normale è nulla
w Se invece l’accelerazione tangenziale è nulla abbiamo un
moto circolare
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Accelerazione 3
w Tutti i problemi relativi al moto del punto materiale si risolvono a partire
dalle relazioni viste ora…
w Quindi bisogna saper derivare se si vuole conoscere v ed a usando
l’equazione del moto…
w …e bisogna sapere integrare se conosco invece v o a e voglio ricavare la
legge del moto…
w In genere per poter risolvere completamente i problemi occorre anche
conoscere quelle che vengono definite “condizioni al contorno”
w Esempio Semplice: per descrivere completamente il moto di un punto
materiale non basta dire che è un moto rettilineo uniformemente
accelerato con a=10m/sec2…
w … ma occorre ad esempio specificare anche che la posizione all’istante
t=5sec nella scala dei tempi è x(5)=12m e la velocità all’istante t=10sec
è v(10)=20m/sec
w a questo punto posso ricavare rapidamente la legge oraria x=x(t)
w Nel libro ci sono decine di problemi ed esercizi svolti….
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Moto Circolare Uniforme
w Nel moto circolare uniforme la
particella compie una traiettoria
circolare con velocità scalare costante
w La direzione del moto varia ad ogni
istante ⇒ il moto è accelerato
w Indichiamo con r il vettore posizione
e con r̂ il versore del vettore r .
w Chiamiamo ω la velocità angolare del
moto circolare, in questo caso la
velocità è costante ed è definita
esattamente come la velocità (media e
istantanea) dove si considera l’angolo
percorso al posto della posizione
velocità angolare
istantanea
velocità angolare
media
Δθ θ f − θ i
ωm =
=
Δt
t f − ti
d
mentre ω (t ) = θ (t )
dt
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Accelerazione Centripeta
d
d
d
v = (r ) =
rx i + ry j = ( r cos θ i + r sin θ j)
dt
dt
dt
dθ
= rω (−sin θ i + cosθ j) dove ω =
e θ = θ (t)
dt
= v x i + v y j ⇒ v x = −v sin θ e v y = v cosθ dove v = rω
d
dv
a=
= v ( −sin θ i + cosθ j)
dt
dt
v2
v2
= vω ( −cos θ i − sin θ j) = − (cos θ i + sin θ j) = − rˆ
r
r
(
€
)
L’accelerazione in un moto circolare uniforme è
diretta verso il centro e ha modulo a=v2/r
Tale accelerazione viene chiamata Centripeta
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La velocità angolare
w Si misura in (rad⋅s-1) poiché gli angoli si misurano
in radianti
w Il tempo necessario a completare un giro è indicato
con T e viene chiamato periodo del moto
w La frequenza di rotazione è definita come l’inverso
del Periodo e si misura in Hertz (Hz=s-1)
ν=
€
1
⇒ [ν ] = [ t −1 ] = s−1 = Hz
T
2π
ω=
= 2πν
T
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Accelerazione
w Il moto generico di un punto materiale può essere descritto in vari modi.
Possiamo distinguere questi casi più frequenti:
n
n
n
n
n
n
n
Moto rettilineo uniforme à velocità costante e accelerazione nulla
Moto circolare uniforme à velocità scalare costante, velocità vettoriale con
modulo costante ma direzione che varia ad ogni istante. Accelerazione
tangenziale nulla. Accelerazione normale sempre diretta verso il centro della
circonferenza e con modulo costante
Moto rettilineo uniformemente accelerato à La velocità vettoriale ha
direzione e verso costante ma il modulo aumenta linearmente nel tempo.
Accelerazione tangenziale costante. Accelerazione normale nulla.
Moto uniformemente decelerato à come il precedente ma l’accelerazione è
negativa (il corpo sta rallentando)
Moto rettilineo vario à l’accelerazione normale è sempre nulla. Velocità e
accelerazione tangenziale variano
Moto vario à Accelerazione tangenziale e normale variano. Il moto non è
rettilineo (Altrimenti l’accelerazione normale sarebbe nulla)
Punto Fermo à velocità e accelerazione nulla
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Formule utili
w Derivata di una funzione composta
d
df dx
f (x) =
dt
dx dt
esempio :
d
d
dθ dθ
sin θ =
(sinθ ) = cosθ
dt
dθ
dt
dt
w Moto unidimensionale a velocità costante
€
x = x0 + v x t
w Moto unidimensionale ad accelerazione costante
v x = v x 0 + ax t
1
v x = (v x + v x 0 )
2
1 2
x = x 0 + v x 0 t + ax t
2
v x2 = v x20 + 2ax (x − x 0 )
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Esercizio 1
w Quanti metri percorre un’auto che sta
viaggiando a 88 Km/h in 1 s impiegato dal
guidatore ad osservare un incidente sul bordo
della strada?
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Esercizio 2
w Calcolare la velocità media nei due casi
seguenti:
a) una persona cammina per 72 m ad una
velocità di 1.2 m/s e poi corre per 72 m ad
una velocità di 3 m/s
b) una persona cammina per 1 minuto ad una
velocità di 1.2 m/s e poi corre per 1 min ad
una velocità di 3 m/s
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Esercizio 3
w Un jumbo per poter decollare deve
raggiungere una velocità di 360 Km/h. Se la
pista è lunga 1.8 Km, qual è la minima
accelerazione con partenza da fermo?
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Esercizio 4
w Un’auto che si muove con accelerazione
costante percorre 50 metri in 6s. La sua
velocità nel punto finale è di 15 m/s
a) Qual era la sua velocità all’istante iniziale?
b) Qual è l’accelerazione?
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Esercizio 5
w Un razzo è lanciato verticalmente e sale con
un’accelerazione verticale costante di 20 m/s2
per 1 minuto. Allora tutto il combustibile è
consumato ed esso continua a salire come un
corpo libero:
a)
b)
Quale altezza raggiunge?
Qual è il tempo passato dall’istante del lancio a
quello in cui il razzo ricade per terra?
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Esercizio 6
w Certe stelle di neutroni possono ruotare a 1
giro/s. Se una di tali stelle ha un raggio di 20
Km, qual è l’accelerazione di un oggetto
all’equatore della stella?
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