Il moto dei corpi estesi e sistemi di corpi.
• Nello studio della dinamica fatto finora, si è implicitamente inteso che il
moto di un corpo esteso (come la Terra, la palla, l’automobile ecc.) si
potesse trattare come se il corpo fosse senza estensione, ciò che in
meccanica viene identificato come un “punto materiale”. In questa visione il
corpo si muove tutto solidalmente, trasla, ma non può deformarsi e non si
considerano le sue possibili rotazioni intorno a qualche asse mentre trasla.
Non si è considerato per es. :
- il possibile moto di rotazione su stessa di una palla lanciata in alto,
- o il moto di un cilindro che può scendere sia scivolando che rotolando su
un piano inclinato,
- l’eventuale allungamento e variazioni dell’allungamento di una corda che
sostiene un corpo………………………..
- Inoltre finora si è considerato il moto di un corpo solamente, su cui gli
altri corpi agiscono con forze.
Non si è considerato il moto di un sistema di corpi, separati ma
interagenti tra loro, e interagenti con corpi esterni, come:
- il moto della terra e della nel loro moto intorno al sole,
- di due automobili o palle di biliardo che si urtano,
- di corpi estesi (continui, è la dizione usata in fisica) e deformabili come
l’acqua in un tubo, di una pelle di tamburo che oscilla, di una bolla di sapone
che si gonfia, o di un corpo elastico che si deforma e dà luogo a
oscillazioni…………………..
La descrizione fatta finora ha riguardato la dinamica del punto materiale,
che è basata sul fatto che i moti, per i corpi estesi che non si deformano,
chiamati corpi rigidi, e per i sistemi di corpi che sono assimilabili a punti
materiali, possono essere scomposti in a) moto di traslazione del centro di
massa e b) moto di rotazione intorno al centro di massa .
Il centro di massa è il “punto materiale” ideale, che può non coincidere con
nessuno dei corpi materiali, e che si muove come se tutte le forze esterne
al corpo o al sistema di corpi considerati, vi fossero applicate
direttamente.
Le possibili deformazioni o variazioni di forma vengono poi considerate a
parte, in sovrapposizione a questi.
Nota: per corpo rigido si intende un corpo esteso in cui le distanze tra1 due
unti qualsiasi non cambia mai, che non si deforma, non cambia volume ecc.
Il centro di massa è definito come il punto di coordinate( per i
sistemi di vari corpi (e analogamente per un corpo esteso):
N
∑
i= 1
N
r cm =
m i ri
∑
mi
i= 1
m1 Fint
Fest
1
=
M
N
∑
i= 1
m2
m3
r2
r3
r1
m i ri ⇒
1
M
∫
r dm =
M
dm =ρ1 dV
Fint
1
M
∫r
ρ(r)
dV
M
dm=ρ2 dV
Fest
r
Si definiscono analogamente
la velocità e l’accelerazione
(come medie pesate, con peso la
massa i-esima):
N
d rcm
= ∑ mi v i
dt
i= 1
N
d v cm
M a cm = M
= ∑ miai
dt
i=1
e poichè
M v cm = M
N
∑ma
i= 1
i
i
=
N
∑F
i, est
i=1
+
ma per il principio
N
∑F
i=1
i, int
di azione e reazione
N
∑F
i= 1
M a cm =
i, int
= 0 , quindi
N
∑F
i=1
i, est
Il centro di massa è quel punto che si muove come se tutta la
massa vi fosse concentrata e tutte le forze ESTERNE vi fossero
applicate (vedi il moto della chiave inglese……). Le forze interne,
di interazione, quando si considera tutto il sistemma, si annullano a 2
vicenda e non contribuiscono al moto del centro di massa
Quantità di moto di un sistema di corpi
La quantità di moto di un sistema è la somma delle quantità di moto dei
singoli costituenti ed è uguale al prodotto della massa totale M per la
velocità del centro di massa alla massa totale:
N
N
i=1
i=1
Ptot = ∑ p i = ∑ m i v i ≡ M v cm
La variazione nel tempo della quantità di moto totale è uguale alla
somma delle forze esterne che agiscono sul sistema:
d v cm
d Ptot
= M
= ∑ Fest
dt
dt
Ne discende:
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO:
Se in un sistema, la somma delle forze esterne è nulla la quantità di moto
non cambia: La quantità di moto totale finale deve essere uguale a quella
iniziale Pf = Pi, ovvero la quantità di moto totale è costante.
∑ Fest = 0 ⇒
dPtot
=0
dt
Esempi:
-nello scoppio del proiettile, durante lo scoppio, la somma delle forze
esterne (forze peso) è trascurabile rispetto alle forze dovute allo scoppio:
la quantità di moto dei frammenti è uguale alla quantità di moto del
proiettile iniziale;
-nell’urto di due palle di biliardo: agiscono solo forze interne (il peso è
equilibrato dal tavolo) e il moto delle palle dopo l’urto è determinato dal
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principio di conservazione.
- urto della pallina da ping-pong sulla racchetta, uomo e barca in acqua….
Snoopy camminando sulla barca
riesce a farla muovere, mentre lui si
sposta in avanti la barca va indietro, se
prima Snoopy era fermo rispetto lla
barca la quantità di moto totale era
nulla, quando lui si muove con velocità v ,
la barca si muove con velocitàV
V=-(mSnoopy/Mbarca )v.
V razzo
Nel moto del razzo ancora vale il
principio della conservazione della
quantità di moto: notare che in
questo caso il sistema totale è
costituito dal razzo, il gas di scarico
e il modulo che viene poi espulso.
Se interessa studiare solo il moto
del razzo e la sua velocità bisogna
tenere conto che la sua massa cambia.
V gas
Associato al concetto di centro di massa, vi è il concetto di baricentro,
che è il punto in cui si intende concentrato tutto il peso (Mtotaleg) del
corpo esteso o del sistema di corpi.
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Cenni di dinamica della rotazione di un corpo rigido
ω
L
vi
ri
La tavoletta è incernierata attorno ad un suo
asse (asse di rotazione) e può ruotare. E’ un
corpo rigido, indeformabile, le distanze tra due
qualunque suoi punti non cambiano.
Supponiamo che stia ruotando con velocità
angolare ω e vogliamo trovare la sua energia
cinetica.
mi
La sua massa totale è M e possiamo pensarla
divisa in N masse uguali mi a distanza ri dall’asse
di rotazione.
Ogni massa mi percorre una circonferenza di
L2
raggio
ri (variabile da 0 a L) e ha energia
cinetica:
Ki = (1/2) mi vi2 = (1/2) mi ri2 ω2.
Sommando su tutte le N masse di cui si può pensare divisa la tavoletta
l’energia cinetica di rotazione attorno all’asse è
Ktot = Σ i=1..N Ki = (1/2) (Σ i=1..N mi ri2) ω= (1/2) I ω2
I= (Σ i=1..N mi ri2) è chiamato “momento di inerzia” (unità: Kg m2) e
caratterizza la rotazione di un corpo esteso.
A parità di massa, la rotazione è caratterizzata dalla distribuzione della
massa attorno all’asse di rotazione. Il momento di inerzia cambia al cambiare
della posizione dell’asse. Nell’esempio sopra I=(1/3) ML2, ma se l’asse cambia
come sotto, a parità di velocità angolare cambia l’energia cinetica di
rotazione.
I = (1/12) M(a2 + b2)
I = (1/12) ML2
L
b
a
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Cenni di dinamica della rotazione di un corpo rigido: 2
Se la sfera ruota attorno ad un asse passante
per il centro di massa e contemporaneamente
trasla (questo potrebbe essere considerato il
moto complessivo della terrase si considera
l’intervallo di tempo di mezza giornata, per
esempio), l’energia cinetica totale del corpo sarà
la somma di energia cinetica di traslazione e di
rotazione:
R
ICM = (2/5) MR2
Ktot = (1/2) M (vCM)2 + (1/2) ICM ω2.
ICM è il momento di inerzia rispetto all’asse di
rotazione che passa per il centro di massa
L
ω
r
v
Un’altra quantità importante nella rotazione dei
corpi estesi e dei sistemi di corpi è il momento
della quantità di moto ( momento angolare),
definito per un corpo di massa m:
L = r ∧ p = r ∧ (m v),
dove r è la distanza orientata dall’asse di
rotazione al punto dove si considera la quantità di
moto.
Per un corpo che ruota con velocità angolare ω a distanza r dall’asse di
rotazione : L = mr2 ω.
Per un corpo esteso (come la sfera dell’esempio sopra) che ruota attorno
ad un asse passante per il centro di massa
L = ICM ω
La rotazione di un corpo o di un sistema di corpi è determinato dalle forze
che agiscono attraverso il
Momento totale delle forze
Mtot= Σ ( ri ∧ Fi, est)
con ri distanza orientata dall’asse di rotazione del punto di applicazione
della forza i-esima.
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Suggerimento: verificare che le dimensioni (e quindi le unità di misura)
del momento di una forza sono quelle di una energia.
Si dimostra che:
La variazione nel tempo del momento della quantità di moto (o
momento angolare) è uguale alla somma dei momenti delle forze
esterne agenti sul sistema:
dL tot
= M tot
dt
Se il momento totale delle forze esterne è nullo, il momento angolare
non varia: PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO
ANGOLARE.
Esempio
L
ω1
L
ω 2 > ω1
L’uomo è seduto su uno sgabello che ruota. Mentre ruota l’uomo cambia il
momento di inerzia avvicinando i pesi al petto, il momento delle forze
agenti è nullo (il suo peso è equilibrato dalla sedie e i pesi che ha in mano
hanno momenti uguali in valore, ma di segno contrario quando le braccia
sono estese, e sono equilibrati quando li porta al petto, rispetto all’asse
di rotazione). Quindi il momento angolare è costante, e avvicinando i pesi
aumenta la velocità di rotazione.
Lo stesso succede a un ballerino che ruota su stesso, sulle punte o a un
pattinatore, o a un tuffatore: il momento delle forze agenti è nullo, il
momento angolare si conserva, stringendosi su se stessi, aumentano la
velocità di rotazione diminuendo il momento di inerzia………
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F(r) = −
GMT Ms
r
2
rˆ
r(t)
Moto della terra intorno al sole ( o
in generale per il moto planetario).
Il momento delle forza agente
è nullo (r e F(forza di gravitazione)
sono antiparalleli):
il momento angolare si conserva.
Si può dimostrare che la legge delle aree di Keplero è
la descrizione fenomenologica del principio di conservazione del
momento angolare.
La dimostrazione è abbastanza immediata se si considera il pianeta che
si muove in orbita circolare, con moto uniforme /velocità angolare
costante)
Riassumendo
Nello studio del moto dei sistemi di corpi o di corpi estesi, la traslazione
viene regolata dalle leggi di Newton applicate al centro di massa, che è il
punto reale o ideale in cui si considera concentrata la massa e
intervengono solo le forze esterne (quelle esercitate da corpi esterni al
sistema considerato). Le forze interne, che si presentano sempre come
forze di azione a reazione, si annullano e non contribuiscono al moto.
La rotazione del corpo intorno a qualche asse (passante per il centro di
massa o un asse che vincola il moto) viene descritta dal momento delle
forze esterne, e l’accelerazione angolare dipende dalla distribuzione
della massa attorno all’asse di rotazione attraverso il centro di inerzia.
Il principio di conservazione dell’energia meccanica deve essere
applicato tenendo conto dell’energia cinetica di rotazione, oltre che
quella di traslazione e delle energie potenziali.
Si sono introdotti due nuovi principi: conservazione della quantità di
moto (somma delle forze esterne=0), conservazione del momento
angolare( somma dei momenti esterni =0). Se il corpo è inizialmente
fermo, questi sono i principi che regolano la statica dei corpi.
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