Università degli Studi di Bari
Scarni richiami di
fisica
meccanica classica
il principio di inerzia
Aristotele (384-322 a.C.) nei suoi scritti di “Fisica” asseriva che lo stato naturale
dei corpi è la quiete, ossia l'assenza di moto, e che qualsiasi oggetto in movimento
tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo
movimento.
2000 anni dopo Galileo Galilei (1564-1642) scopre
l'errore di Aristotele, ed espone con estrema
chiarezza il principio di inerzia nei Dialoghi
La prima enunciazione formale del principio di inerzia appartiene a
Newton, che lo descrisse nella sua famosa opera “Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica” (1687), con la seguente formula: “ Lex prima:
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter
in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum
mutare.”
Il “corpo”
Un corpo è un sistema materiale che può essere modellato
come:
punto
Se il suo volume è piccolo rispetto allo spazio in cui si muove e si è
interessati solo a conoscere le leggi del moto
corpo rigido
Se si vuole studiare il suo stato di quiete o di moto
corpo deformabile
Se si vuole determinare lo stato di sollecitazione
La quantità di materia associata ad un corpo è la sua massa
Principio di inerzia di Galileo
prima legge di Newton
Un punto materiale isolato persiste nel suo stato di quiete
o di moto rettilineo uniforme
Quando sul punto vi è l’influenza di altri corpi il suo moto è
perturbato ed il principio di inerzia non è più applicabile
La I legge è valida in un sistema inerziale, ossia in un sistema fisso o in
movimento a velocità costante (accelerazione nulla) rispetto alle stelle fisse
In questi sistemi l'accelerazione dei corpi è dovuta a forze
reali, ossia a forze causate dall'azione o interazione di un corpo
fisico su un altro.
sistemi non inerziali
Nei sistemi non inerziali (o accelerati) i corpi non vengono
accelerati da forze reali ma da forze apparenti, come ad esempio
la forza centrifuga che noi percepiamo a bordo di una vettura
affrontando una curva a velocità sostenuta. In realtà
la forza in gioco è sempre quella d'inerzia,
per cui il nostro corpo tende a proseguire dritto, nella stessa
direzione che aveva la vettura prima di affrontare la curva; nel
mezzo della curva, però, si ha la sensazione che ci sia una forza
che ci spinge all'esterno.
II legge di Newton
Il moto di un punto materiale P è tale che il prodotto
della massa m del punto per la sua accellerazione a è
uguale alla forza risultante F di tutte le azioni che
agiscono sul punto
La forza è una grandezza vettoriale in grado di modificare lo stato di
quiete o di moto di un punto:
F = ma
se su un corpo agiscono diverse forze è lecito calcolarne la
risultante per lo studio del moto
III legge di Newton
ad ogni azione corrisponde sempre una reazione
uguale e contraria
il peso di un corpo è la forza gravitazionale esercitato su di
esso dalla terra
P = mg
la massa è una proprietà intrinseca di un corpo
Meccanica
•Statica
equilibrio
•Cinematica
movimento
•Dinamica
forze/movimento
Centro di gravità (di massa)
•Le dimensioni del corpo sono piccole rispetto alla terra.
•Le forze gravitazionali possono essere considerate uniformi e
parallele
•Il sistema di forze parallele ammette una risultante il cui
punto di applicazione si chiama centro di gravità o baricentro
Nelle ipotesi fatte baricentro e centro di massa coincidono
A
spostamento
In cinematica si definisce spostamento il
cambiamento di posizione di un punto in movimento
Velocità istantanea
valore limite a cui tende la velocità
media calcolandola su intervalli di
tempo sempre più piccoli
Q
v=lim Δs / Δt
Q
Q
Q
Δt→0
P Q→P
direzione
tangente alla traiettoria nel
punto occupato nell’istante
considerato
intensità
Limite del rapporto
tra le quantità
infinitesime Δs e Δt
verso
coincidente con
quello di Δs
velocità
Δx
Δt
dx
vi =
dt
vm =
Nel SI la velocità si esprime in m/s.
Velocity
•For human gait, speed is the
product of stride length and
stride velocity.
•Adults walk faster using
longer stride lengths and
faster stride frequency.
•Stride length in children has
great variability.
Le condizioni iniziali
Origine del moto
Origine del moto
P0
vt
P
s0
s
P0
vt
P
s
Origine delle
coordinate
Origine delle
coordinate
s = vt
s =s0 + vt
s
s
s0
t
t
La pendenza della retta fornisce la velocità
Kinematic analysis of 100 m sprint
Kinematic analysis of 100 m sprint
Velocity during 100 m
Average velocity 0-10 m
50-60 m
v = d / ∆t = 10 / 2.2 = 4.5 m·s-1
10-20 m
= 10 / 0.8 = 12.5 m·s-1
60-70 m
= 10 / 1.2 = 8.3 m·s-1
20-30 m
= 10 / 0.7 = 14.3 m·s-1
70-80 m
= 10 / 0.8 = 12.5 m·s-1
30-40 m
= 10 / 0.8 = 12.5 m·s-1
80-90 m
= 10 / 0.7 = 14.3 m·s-1
40-50 m
= 10 / 0.9 = 11.1 m·s-1
90-100 m
= 10 / 0.8 = 12.5 m·s-1
= 10 / 0.9 = 11.1 m·s-1
accelerazione
Nel SI l'accelerazione si esprime in m/s2.
Sovente è anche espressa in g, dove un g rappresenta l'accelerazione
gravitazionale terrestre che è pari a circa 9,81 m/s2.
Δv
Δt
dv
ai =
dt
am =
Acceleration during 100 m
Acceleration at start of race
a = (v2 - v1) / ∆t
= (8.3 - 4.5) / 1.2
= 3.2 m·s-2
Positive Acceleration
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Acceleration during middle of race
a = (v2 - v1) / ∆t
= (12.5 - 12.5) / 0.8
=
0
Constant Velocity
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Acceleration at end of race
a = (v2 - v1) / ∆t
= (11.1 - 14.3) / 0.9
= -3.5 m·s-2
Negative Acceleration
Acceleration and Direction of Motion
•Complicating factor in understanding acceleration is direction of
motion of object.
•When object moving in same direction continually, accelerate often
used to indicate an increase in velocity and decelerate to indicate a
decrease in velocity.
•If object changes direction, one direction is positive, the opposite
direction is negative.
Equazioni moto rettilineo uniformemente accelerato
v=
x − x0
t − to
a=
v − v0
t − to
v = v0 + at
1
x = x0 + v0t + at 2 a = costante
2
2
2
v = v0 + 2a (x − x0 )
v=
v + v0
2
In cinematica il moto uniformemente accelerato è il moto di un punto
sottoposto ad un'accelerazione costante in modulo, direzione e verso.
Ne risulta che la variazione di velocità del punto è direttamente
proporzionale al tempo in cui essa avviene.
Moto rettilineo uniformemente accelerato
caratteristica: a =Δv/ Δt costante
riferendo il moto all’istante t = 0
v-v0= at
v = v0 + at
v
La pendenza della retta fornisce
il valore di a
t
v
v = at (se la velocità
iniziale è nulla)
t
Il moto di caduta dei gravi
Sperimentalmente si verifica che tutti i
corpi, indipendentemente dal loro peso, in
assenza di aria sono soggetti sulla
superficie
terrestre
alla
medesima
accelerazione costante g = 9,8m/s2
Quindi il moto a cui essi sono soggetti è un
moto rettilineo uniformemente accelerato
s = 1/2g t2; v = gt; a = g
v = v0 + at
1
x = x0 + v0t + at 2
2
caduta libera
g = 9,81 m/s2.
y = y0 + v0t +
1 2
gt
2
moto di un proiettile
Galileo è stato il primo a
studiare in modo scientifico il
moto di un proiettile
dimostrando che la sua
traiettoria è una parabola.
Composizione di moti simultanei
Quando un punto materiale è soggetto a due o più moti
contemporanei il suo spostamento è dato dalla somma vettoriale
degli spostamenti dovuti ai singoli moti e la sua velocità è la
somma vettoriale delle velocità dei singoli moti.
vvento
vmotore
La composizione di due moti
rettilinei e uniformi è un moto
rettilineo uniforme
Composizione di un moto rettilineo uniforme e di un moto
uniformemente accelerato
x=v0t
v0t
y=1/2gt2
1/2gt2
y=(g/2v02)x
La traiettoria è
una parabola
moto di un proiettile
energia cinetica
Si definisce energia cinetica di un
corpo la grandezza scalare K (sempre
positiva!) ottenuta dal semiprodotto
della massa m per il quadrato del
modulo v della velocità.
1 2
K = mv
2
Quantità di moto
p = m⋅v
Moto uniforme: velocità di
intensità costante
rettilineo
curvilineo
La velocità è costante
come vettore (infatti la
direzione non cambia
essendo quella della
retta su cui avviene il
moto)
La velocità non è
costante come vettore
in quanto la sua
direzione cambia in
ogni punto della
traiettoria
moto circolare uniforme
Si definisce moto circolare uniforme il moto
di un corpo (considerato puntiforme) che
percorre una traiettoria circolare
con velocità costante in modulo.
L'aggettivo uniforme non deve ingannare: il
moto è comunque accelerato perchè la
velocità varia in direzione. L'aggettivo
uniforme si riferisce al fatto che il modulo
della velocità rimane costante.
F = ma = m v2 / r
In un moto circolare uniforme la forza (e quindi anche l'accelerazione) sono sempre
radiali, cioè costantemente perpendicolari alla velocità. Dato che la velocità è tangente
alla traiettoria, la forza e l'accelerazione sono sempre dirette verso il centro della
circonferenza (forza centripeta e accelerazione centripeta).
Attenzione! Non è il moto circolare uniforme a creare la forza centripeta, ma è la
forza centripeta che causa questo tipo di moto.
moto circolare uniforme
Un sasso che ruota legato ad una corda: è la
tensione della corda che gioca il ruolo di forza
centripeta: se la corda si rompe, il sasso partirà
per la tangente secondo la direzione della
velocità in quell'istante. E' quello che succede,
per esempio, nel lancio del martello, dove la
velocità viene via via aumentata fino al lancio
(e questo significa che la forza ha una
componente radiale ed una tangenziale).
moto circolare uniforme
v2
= ω2r
r
1
periodo
T=
f
2πr
v=
= ωr
T
αR =
velocità
accelerazione
centripeta
v = velocità tangenziale
ω = velocità angolare
cinematica rotazionale
moto puramente rotatorio è il moto in
cui tutti i punti del corpo descrivono
circonferenze
un radiante è l’angolo sotteso
da un arco di lunghezza uguale
al raggio
360° = 2π rad Î 1 rad =
360°/6.28= 57.32°
θ=
l
r
adimensionale
cinematica rotazionale
se la velocità angolare di P non
è costante P è soggetto ad una
accelerazione angolare
gli spostamenti angolari non
sono vettori ma gli spostamenti
angolari infinitesimi si Î ω è
un vettore
Tipi di forze
• statiche
• dinamiche
• ripartite
• concentrate
• gravitazionali
• elettromagnetiche
• nucleari forti (neutroni-protoni)
• nucleari deboli (decadimento beta)
non associate ad alcun corpo
forze fittizie
consentono l’applicazione
della meccanica classica a
sistemi non inerziali
Accelerazione Centripeta o Centrifuga?
Nello studio del moto circolare uniforme abbiamo parlato soltanto
di accelerazione centripeta, mentre tutti noi abbiamo sperimentato
almeno una volta in curva un’accelerazione che ci spinge in fuori,
l’accelerazione centrifuga. Qual è l’accelerazione giusta?
Tutto dipende dal punto di vista.
(dal sistema di riferimento)
Consideriamo un disco che ruota attorno al suo asse verticale sul
quale si trova un osservatore B. Noi, che saremo l’Oss. A
osservatore inerziale, osserveremo il moto dell’Oss. B stando
fermi con i piedi ben piantati sul pavimento del laboratorio.
38
La forza centrifuga è una forza apparente, (non nel senso che sembra una forza
e non lo è) ma nel senso che appare (e non è dovuta all’interazione con altri
corpi) in quanto il sistema di B non è inerziale ma è un sistema accelerato.
relazioni fra cinematica lineare ed angolare
αR =
v2
= ω2r
r
Momento di inerzia
Può essere riferito ad un punto (polare)
o ad una retta (assiale)
Il momento di inerzia è uno scalare
dm1
dm2
r1
r2
I = ∑ dm r2
r3
dm3
MOMENTO DI INERZIA
The mass moment of inertia (example)
about an axis passing through the centre of mass
I = ∑ dmi ri2
<
A
B
A greater couple is required to accelerate B than it is for A
energia cinetica rotazionale
1 2
K = Iω
2
m2
1J = 1 N ⋅ m = 1 kg ⋅ 2
s
energia cinetica
K=
1 2
mv
2
K=
1 2
Iω
2
moto rotatorio
moto traslatorio
lavoro
Si dice che una forza compie un lavoro motore se tende
a far aumentare l'energia cinetica del corpo, un lavoro
resistente se tende invece a farla diminuire.
Una forza può anche compiere lavoro nullo: in questo
caso essa non provoca variazioni di energia cinetica.
Il lavoro di una forza è una grandezza scalare che
rappresenta energia in trasformazione o energia in
trasferimento.
L = F⋅x
Lavoro
F = − kx
L = Fx
L = − kx ⋅ x = −kx 2
Lavoro
F = −kx
L = Fx
L = − kx ⋅ x = −kx 2
Lavoro
F = −kx
L = Fx
L = − kx ⋅ x = −kx 2
??
Lavoro
F = −kx
F non è costante
L = Fx
L = − kx ⋅ x = −kx 2
??
Lavoro
F = −kx
L = Fx
F non è costante
L = − kx ⋅ x = −kx 2
F = − kx
L = Fx
F=kxf
L = − kx ⋅ x = −kx
2
F=0
1
F = kx
2
1
1
L = kx ⋅ x = kx 2 = U el
2
2
lavoro e teorema dell’energia cinetica
L = F⋅x
v − vo
a=
t
v + vo
x=
t
2
1 2 1 2
mv − mv0
2
2
1
K = mv 2
2
L=
L = K − K0
Energia
Un Lavoro e’ una Forza moltiplicata per uno
spostamento
L’Energia e’, grossolanamente, la capacita’ di
compiere un Lavoro
Energia Cinetica
L’Energia cinetica e’ dovuta al moto di un corpo
1
E = mv 2
2
Moto del corpo rigido
• È determinato da una o più forze esterne,
generalmente applicate in punti diversi del corpo
• Le forze sono quindi caratterizzati da una forza
risultante F e da un momento risultante τ
• Il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è
nullo quindi la variazione dell’energia cinetica è
uguale al lavoro delle forze esterne
57
Lavoro
w = mgDh
Dh
Nota: Arnold NON compie lavoro se mantiene il peso sopra la testa
Tipi di Lavoro Meccanico
potenza
la potenza esprime la rapidità con cui si compie un lavoro
L
P=
t
J
N ⋅m
m2
1W = 1 = 1
= 1 kg ⋅ 3
s
s
s
quantità di moto
p = m⋅v
dp
dv
= m = m⋅a = F
dt
dt
pertanto l’applicazione di una forza comporta
una variazione della quantità di moto
Conservazione della quantità di moto
In un sistema meccanicamente isolato la quantità di moto dei
singoli corpi può variare, ma la quantità di moto totale del
sistema rimane costante (in modulo, direzione e verso).
impulso
dp
= F ≡ dp = dt ⋅ F ≅ Δp = FΔt
dt
pf
tf
pi
ti
p f − pi = ∫ dp = ∫ Fdt = J
la variazione della quantità di moto dovuta ad una forza che agisce in
un intervallo di tempo molto piccolo è chiamata impulso (J)
quanto più Δt è piccolo tanto più corretto è ritenere applicabile
il principio della conservazione della quantità di moto
(URTI)
momento della quantità di moto
- momento angolare Il momento angolare (L) o momento
della quantità di moto o impulso
angolare di un corpo rotante rispetto
al centro attorno al quale gira (detto
anche polo) è un'importante grandezza
che caratterizza il moto circolare. ed è
estremamente utile per la descrizione
del moto di una particella nello spazio
(non per i soli moti circolari). Ha
infatti la proprietà, in molti problemi
meccanici, di essere una costante del
moto (un vettore che si conserva nel
tempo).
momento angolare
L
r
r1
L = r ∧ p = Iω
p non rappresenta un punto ma la quantità
di moto di un punto materiale di massa m
conservazione del momento della quantità
di moto
La legge di conservazione del momento angolare,
anche detta bilancio del momento angolare della
quantità di moto afferma che il momento angolare di
un sistema è costante nel tempo se è nullo il momento
delle forze esterne che agiscono su di esso.
conservazione del momento della quantità
di moto
Le pulsar erano inizialmente stelle come il
Sole che ruotavano lentamente intorno a se
stesse; in seguito, con l'esaurirsi del
combustibile nucleare, la stessa massa si e'
riversata in uno spazio molto piu' piccolo
mentre il momento angolare e' rimasto
identico, per cui la rotazione e' aumentata di
moltissimo. Ad esempio il Sole ruota intorno a
se stesso in circa 30 giorni mentre una pulsar
con la stessa massa ruota in un secondo!
Alcune pulsar arrivano anche a ruotare
centinaia di volte al secondo .
Vincoli
Nel momento in cui un
vincolo impedisce un
movimento genera una
forza chiamata
reazione vincolare
2 o n corpi a contatto interagiscono
tramite un’entità denominata forza
A
B
Vincoli
Nel momento in cui un
vincolo impedisce un
movimento genera una
forza chiamata
reazione vincolare
2 o n corpi a contatto interagiscono
tramite un’entità denominata forza
A
?
Forza
e quando il contatto diretto non esiste ?
????
A
F
campo
Campo di forze
« Che un corpo possa agire su un altro corpo a distanza senza
la mediazione di null'altro è per me una così grande assurdità
che ritengo che nessuna persona con un minimo di
competenza nelle questioni filosofiche vi possa credere. »
(Isaac Newton, Four letters from Sir Isaac Newton to Doctor Bentley, containing
some arguments in proof of a deity, Londra, R. e J. Dodsley, 1752)
In fisica, un campo di forze è un campo vettoriale che genera
una forza dipendente dalla posizione nello spazio-tempo.
Forze conservative
In tutti i fenomeni naturali avviene una trasformazione di energia da una forma
all'altra: il lavoro di una forza è una grandezza scalare che rappresenta energia
in trasformazione o in trasferimento.
Se una forza compie lavoro motore oppure resistente, significa che è in atto un
trasferimento di energia.
Un percorso chiuso è uno spostamento in cui il punto di inizio e di fine
coincidono.
Si dice che una forza è conservativa se il lavoro da essa
compiuto durante un qualsiasi percorso chiuso è nullo.
Forze conservative
Il lavoro della forza alla fine del percorso chiuso può essere nullo se:
• La forza si è mantenuta costantemente perpendicolare allo
spostamento
• La forza ha compiuto per un certo tratto del lavoro motore e
per il tratto rimanente lavoro resistente opposto a quello motore
Forze conservative
Per qualsiasi forza
conservativa il lavoro fatto per
andare da un punto A ad un
punto B è indipendente dal
percorso seguito.
Energia potenziale
l’Energia potenziale e’ dovuta alla posizione di un corpo in un
campo di forze
E = mgh
Altri campi di forze generano
diverse funzioni di energia
potenziale
energia potenziale
in un campo conservativo si definisce energia potenziale la
differenza di energia posseduta da un oggetto in una data
posizione nello spazio e l'energia posseduta dallo stesso in una
posizione di riferimento.
L = K − K 0 = ΔK
ΔK = −ΔU
ΔK + ΔU = 0
K + U = E (costante)
legge di conservazione
L = −ΔU
dell’energia
(forze conservative)
si può anche dire che un corpo
possiede energia potenziale se ha la
possibilità di acquistare energia
cinetica.
“E” rappresenta
l’energia meccanica
totale
conservazione dell’energia
conservazione dell’energia
in presenza di forze non conservative, esempio forze di attrito
ΔK + ΣΔU = L f
ΔE = E − E0 = L f
ΔE + Q = 0 ⇒ Q = −ΔE
in presenza di forze di attrito l’energia termica
è uguale al lavoro fatto dall’oggetto
principio di conservazione dell’energia
in generale considerando la presenza di forze
conservative, forze di attrito ed altre forze non
conservative
ΣLc + L f + ΣLnc = ΔK
teorema dell’energia cinetica
L = K − K 0 = ΔK
ΣLc = −ΣΔU
L f = −Q
ΣLnc = ΔK + ΣΔU + Q
ΣLnc = − Ed
l’energia totale è costante
0 = ΔK + ΣΔU + Q + Ed
Forze conservative
Qualche forza
conservativa
Qualche forza non
conservativa
Forza di gravità
Forza d'attrito
Forza di richiamo di una
molla (forza elastica)
Resistenza del mezzo
Forza elettrostatica
Forza magnetica
forze di attrito
L'attrito (o forza d'attrito) è una forza
dissipativa che si esercita tra due
superfici a contatto tra loro e si
oppone al loro moto relativo. La forza
d'attrito che si manifesta tra superfici
in quiete tra loro è detta di attrito
statico, tra superfici in moto relativo
si parla invece di attrito dinamico.
Fr = μ r N
essendo N la componente normale alla superficie
di appoggio della forza agente sul corpo
forze di attrito
• Attrito radente
L'attrito radente è dovuto allo strisciamento
(ad esempio, l'interazione tra due superfici
piane che rimangono a contatto mentre
scorrono l'una rispetto all'altra).
Ci sono diverse interpretazioni sulle cause di
questa forza: la meccanica galileiana
proponeva come causa dell'attrito radente le
asperità tra le superfici a contatto; studi più
recenti hanno invece dimostrato che l'attrito
radente è dovuto soprattutto a fenomeni di
adesione (legami chimici) tra le molecole che
compongono le superfici a contatto.
Fr = μ r N
forze di attrito
• Attrito volvente
Il rotolamento di norma è reso possibile
dalla presenza di attrito radente statico tra la
ruota e il terreno; se questo attrito non ci
fosse, o fosse molto piccolo (come nel caso
di un terreno ghiacciato), la ruota
striscerebbe senza riuscire a compiere un
rotolamento puro, nel qual caso entrerebbe
subito in gioco l'attrito radente dinamico che
si oppone allo slittamento e, riducendo
progressivamente la velocità relativa fra i
corpi striscianti, tende a ripristinare le
condizioni di puro rotolamento.
Il coefficiente di attrito volvente è all'incirca
direttamente proporzionale al coefficiente di
attrito statico e inversamente proporzionale
al raggio della ruota
Fv = μ v N
forze di attrito
• Attrito viscoso
Quando un corpo si muove all'interno
di un fluido (liquido o gas) è soggetto
ad una forza di attrito dovuta
all'interazione del corpo con le
molecole del fluido. Tale forza di attrito
è legata ad un numero adimensionale
detto numero di Reynolds
in cui Rs è la dimensione caratteristica dell'oggetto, nel
caso di un sistema isotropo il raggio della sfera v
la sua velocità scalare, ρ la densità del liquido e η la
viscosità del fluido
Re =
2 Rs vρ
η
Se il corpo si muove a bassa velocità, così che nel flusso prevalgano le forze di viscosità rispetto a quelle d'inerzia
(regime di Stokes) ovvero per Re < 1, allora la forza di attrito è proporzionale alla velocità del corpo nel fluido; nel caso
di una sfera, la forza di attrito è data in questo caso dalla legge di Stokes,
Se la velocità del corpo è superiore (Re > 1), le forze d'inerzia prevalgono rispetto alla viscosità ed il moto relativo del
fluido è detto laminare (fino a Re = 106) oppure turbolento (per Re > 106)
in questo caso la legge di Stokes non è più valida
Il “corpo”
Un corpo è un sistema materiale che può essere modellato
come:
punto
Se il suo volume è piccolo rispetto allo spazio in cui si muove e si è
interessati solo a conoscere le leggi del moto
corpo rigido
Se si vuole studiare il suo stato di quiete o di moto
corpo deformabile
Se si vuole determinare lo stato di sollecitazione
La quantità di materia associata ad un corpo è la sua massa
equazioni cardinali della dinamica
C
≡
R
Il problema dinamico consiste nel chiedersi quale sia il
movimento risultante, definito da:
R = m aCM
C= I a
dove
R = ∑F
C = ∑ MCM
F
moto di corpo rigido
Moto traslatorio
•Il segmento orientato relativo ad un qualunque coppia di particelle si mantiene
costante in modulo ed orientamento
•Le particelle descrivono traiettorie uguali ottenibili l'una dall'altra per traslazione
•Ad ogni istante tutti i punti del sistema possiedono la stessa velocità e la stessa
accelerazione
Moto rotatorio
•Il moto di un corpo rigido si dice rotatorio attorno ad un asse se le posizioni di
due dei suoi punti si mantengono inalterate nel tempo
•Ogni particella del sistema descrive una circonferenza il cui centro giace sull'asse
di rotazione
Moto rototraslatorio
•Scelto in modo arbitrario un punto A il moto più generale del sistema consiste in
una traslazione con velocità v ed in una successione di rotazioni elementari con
velocità w attorno agli assi di istantanea rotazione passanti per A.
•La velocità di un generico punto P e' uguale alla somma della velocità di
traslazione del punto A e della velocità lineare che compete a P nel moto relativo
di rotazione:
dinamica del corpo rigido in rotazione
•Nel moto di rotazione dei corpi rigidi di una certa dimensione, che si ha quando
il corpo ruota attorno ad un proprio asse, le leggi della dinamica del punto non
sono applicabili.
•Infatti mentre nel moto traslatorio la massa possiamo considerarla concentrata
nel baricentro e considerare quindi la velocità del baricentro come la stessa di
qualunque punto del corpo, nel moto rotatorio questo non è possibile
Immaginiamo un disco pieno che ruota attorno al
suo asse baricentrico se considerassimo la massa
concentrata nel baricentro poiché per il baricentro
passa l’asse di rotazione, il disco dovrebbe avere
velocità periferica nulla, invece sappiamo che:
r
r
v p = ωr
dinamica del corpo rigido in rotazione
Consideriamo un punto di massa m collegato tramite
un’asta di lunghezza r, a un asse di rotazione , applicando
alla massa una forza F per la seconda legge della
dinamica si ha
F = ma t
Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per la
distanza r si ottiene
F ⋅ r = m ⋅ r ⋅ at
Ricordando che
F ⋅r = M
at = α ⋅ r
Rappresenta il momento della forza F
m⋅r2 = J
r
F ⋅ r = m ⋅ r ⋅α
2
sarà
Questo prodotto rappresenta
il MOMENTO D’INERZIA
ASSIALE
r
M = J ⋅α
dinamica del corpo rigido in rotazione
L’espressione vista in precedenza esprime analiticamente l’EQUAZIONE
FONDAMENTALE DELLA DINAMICA (SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA )
riferita a un corpo rigido vincolato a ruotare attorno a un asse fisso. E’ analoga alla
espressione della seconda legge della dinamica del punto materiale riferita ai moti
traslatori
M = J ⋅α
F = m⋅a
J = resistenza d’inerzia
M = causa del moto
α = effetto del moto
m = resistenza d’inerzia
F = causa del moto
a = effetto del moto
principio di D’Alembert
posta l’equazione
M = J ⋅α
M − J ⋅α = 0
nella forma
Si ottiene l’espressione analitica del principio di D’Alembert dei corpi
rigidi in rotazione.
Il termine ( -Jα) di verso opposto a quello dell’accelerazione angolare
α, è detto coppia d’inerzia analoga alla forza d’inerzia
(F = - ma) dei moti di traslazione.
Se il corpo è soggetto oltre al momento motore Mm anche ad un
momento resistente Mr il principio di D’Alembert diventa
M m − M r − J ⋅α = 0
Come nei moti di traslazione esprime la condizione di equilibrio
dinamico
LAVORO NEL MOTO ROTATORIO
Durante la rotazione il punto di applicazione
della forza F si sposta della distanza s dalla
posizione A alla posizione B, pertanto la forza F
compie un lavoro il cui valore è indicato da:
L = F ⋅s
Sostituendo s =rϑ abbiamo:
L = F ⋅ r ⋅ϑ
Quando i versi del momento e della rotazione
sono concordi,il lavoro è positivo e il momento e
detto motore
M = F ⋅r
L = M ⋅ϑ
Quando i versi sono discordi il lavoro è negativo e
il momento è detto resistente
POTENZA NEL MOTO ROTATORIO
Analogamente ai moti di traslazione
la Potenza è data dal rapporto fra il
lavoro compiuto e il tempo impiegato
a compierlo
L = M ⋅ϑ
Ricordando che nel
moto rotatoria si ha:
ϑ = ω ⋅t
L
P=
t
P=
M ⋅ω ⋅ t
t
P = M ⋅ω
FORZA CENTRIFUGA
Nello studio del moto circolare uniforme è stata rilevata la presenza di una particolare
forma di accelerazione definita “accelerazione centripeta” diretta verso il centro della
circonferenza :
v2 ω 2 ⋅ r 2
2
ac =
r
=
r
= ω ⋅r
Per il secondo principio della dinamica esiste una
forza che definiremo forza centripeta capace di
provocare l’accelerazione suddetta.
Abbiamo cioè:
r
FCP = m ⋅ aCP = m ⋅ ω 2 ⋅ r
Per la terza legge della Dinamica , a ogni azione
corrisponde una reazione uguale e contraria.
Questa forza di reazione prende il nome di FORZA
CENTRIFUGA
FCF = − FCP = −m ⋅ ω 2 ⋅ r
moto circolare uniforme
Un'automobile che curva: la forza centripeta
necessaria per curvare è fornita dalla forza di
attrito statico di aderenza tra gomme e strada
(statico e non dinamico perché non c'è moto
nella direzione radiale, ma solo in quella
tangenziale); se la massima forza di attrito
statico non è sufficiente, come nel caso di
strada ghiacciata, l'auto non riesce a tenere la
curva.
FORZA CENTRIFUGA
Un veicolo in curva è soggetto alle forze: centrifuga e centripeta. Esse non sono
allineate: la forza centrifuga e applicata nel baricentro del veicolo , mentre quella
centripeta (dovuta all’attrito) è applicata nel punto di contatto C tra ruota e strada.
Nel baricentro del veicolo sono applicate due
forze la forza centrifuga orizzontale diretta verso
l’esterno della curva ed il peso P verticale diretto
verso il basso.
La forza centripeta è applicata nel punto C di
contatto fra il terreno e la ruota e costituisce
insieme alla forza centrifuga una coppia di
braccio h (altezza del baricentro della vettura).
Tale coppia, che tende a produrre il ribaltamento
del veicolo verso l’esterno ha un momento
Mc = Fch
Ed a questo si oppone il momento raddrizzante
del peso P rispetto al punto C.
Mp = Pl/2
Il veicolo sarà in equilibrio se Mp >Mc (o uguale)
Al contrario si può arrivare al ribaltamento del
veicolo
Fcp
Risultante delle forze agenti
su un veicolo in curva
Equazione di Bernoulli
(Basilea, 27 dicembre 1654 – Basilea, 16 agosto 1705)
L'equazione rappresenta matematicamente il
principio di Bernoulli (o effetto Bernoulli) che
descrive il fenomeno per cui in un fluido ideale su
cui non viene applicato un lavoro, per ogni
incremento della velocità
si ha simultaneamente una diminuzione della pressione o un cambiamento nella
energia potenziale gravitazionale del fluido.
v2
p + ρ + ρgh = costante
2
Rappresenta la formulazione del teorema della conservazione dell’energia
nel caso di moto di un fluido
Effetto Magnus
Moto senza rotazione
Moto con rotazione
Effetto Magnus
?
