Meccanica
• Cinematica: descrizione dei moti
• Dinamica: relazione tra forze e moti
• Statica: equilibrio dei corpi (No TLB)
Grandezze fisiche principali
Derivate
[L]
lunghezza
velocità
v=[L]/[T]
[T]
tempo
accelerazione a=v/[T]=[L]/[T]2
[M] massa
forza
F=[M]a=[M][L]/[T]2
Momento
M=F[L]=[M][L]2/[T]2
Energia
E=F[L]= [M][L]2/[T]2
Sommario
• Cinematica: descrizione dei moti
• moto rettilineo uniforme
• moto rettilineo uniformemente accelerato
• uso vettori
• misura istantanea e misura media
• moto circolare uniforme
• Dinamica: relazione tra forze e moti
• stato di quiete di un corpo
• definizione di forza
• leggi della dinamica
• condizione equilibrio corpi puntiformi
• forze d’attrito e forze apparenti
• legge di Newton
• Peso e massa
• Lavoro, energia, energia cinetica e potenziale
• Conservazione energia meccanica: il campo gravitazionale
• Potenza
Cinematica: descrizione dei moti
Spostamento s=[L]
velocità
v=[L]/[T]
accelerazione a=v/[T]=[L]/[T]2
Δs/Δt
Δv/Δt
Moto rettilineo uniforme
v=costante
Equazione oraria
s(t)= v t
v2
s
t
Moto rettilineo uniformemente accelerato
a=costante
v(t)= v0 + a t
s(t)= v0 t + 0.5 a t2
v1
a2
s
a1
t
Vettori in cinematica
Somma di Spostamenti
Somma di Velocità
Misure istantanee e medie
Velocità istantanea
e
velocità media
La velocità istantanea rappresenta la velocità a un dato istante: si
misura con uno strumento che misura velocità, il tachimetro nelle auto.
La velocità media invece si misura attraverso la definizione stessa di
velocità, cioè come rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato. Di
solito si misura per tempi lunghi (ore, ad esempio un viaggio tra
Cagliari e Sassari).
Anche la velocità istantanea si può misurare come rapporto tra spazio e
tempo, in questo caso si usa un intervallo molto piccolo (secondi).
Esercizi equazione oraria
Calcolare (1) accelerazione in m/s2 e (2) lo spazio percorso ai vari istanti
Formule
v costante:
s(t)= v t
a costante:
v(t)= v0 + a t
s(t)= v0 t + 0.5 a t2
1. Calcolare la velocità ai vari istanti
2. Calcolare lo spazio percorso ai vari istanti
(4.16 m/s2; 52 m)
Esercizi Frenata
Calcolare la velocità in Km/h e lo spazio di frenata
v costante:
s(t)= v t
1. Calcolare lo spazio
percorso
a costante:
v(t)= v0 + a t
s(t)= v0 t + 0.5 a t2
1. Calcolare quanto tempo ci
vuole per fermarsi, v=0
2. Calcolare lo spazio percorso
50,4 Km/h; 23 m
Esercizi
Quanto spazio percorro muovendomi a 20 m/s per due ore?
Percorro 100 Km alla velocità di 85 Km/h, poi mi fermo 30 minuti
e riprendo percorrendo 150 Km alla velocità di 120 Km/h. Quale è
la velocità media?
Un corridore percorre 100 metri in 9.58 s (2009, Usain Bolt).
Quale è la sua velocità media (Km/h)?
Supponendo che raggiunge la velocità massima dopo 50 m
calcolare questa velocità e l’accelerazione (in realtà la velocità di picco è di
44,72 Km/h tra 60-80 metri e quella media nei secondi 50 metri di 41 Km/h)
Suggerimento: 0.5 v*t1=v*t2
Infatti partendo da fermi ho che:
S=0.5a*t1*t1
e siccome v=a*t1 => S=0.5vt1
Moto circolare uniforme
Moto a velocità costante lungo una circonferenza
ΔS=ΔαR Spazio percorso sulla circonferenza
ω= Δα/Δt velocità angolare
v=ΔS/Δt=Δα/Δt R=ωR
O Δα
R
ΔS
Per avere la velocità costante dobbiamo avere
una velocità angolare costante ω
Attenzione: il numero di giri al secondo NON è la velocità angolare
ma la frequenza di rotazione ν che si misura in s-1
ω=2π*ν
Velocità angolare
Giri al secondo o frequenza rotazione
Esempio
ΔS=ΔαR Spazio percorso sulla circonferenza
ω= Δα/Δt velocità angolare
ΔS
Δα
O
R
V=ΔS/Δt=Δα/Δt R=ωR
Calcolare la velocità all’estremità di un disco di raggio R=10 cm che
ruota a una frequenza di 45 giri/min
Possiamo calcolarlo o con la definizione di moto circolare o con la
definizione di velocità
1. V=ωR
ω=2π*ν=2π*45/60s = 4.71 s-1
V=4.71 *10 cm/s= 47.1 cm/s
2. V= ΔS/Δt
Δt=60 s
ΔS=45*2πR cm=2827.4 cm
V= 2827.4 cm / 60 s = 47.1 cm/s
Analisi dimensionale
Si consideri il moto circolare uniforme
Si determini la formula dell’accelerazione in base all’analisi
dimensionale.
r
v
r
v
R
Le Forze
Cosa è una forza?
Possiamo dire che una forza è una sollecitazione
Meglio domandarsi cosa provoca una forza:
1. Effetto statico:
Una deformazione di un corpo
2. Effetto dinamico: Un cambiamento del moto di un corpo
Con un martello posso, a seconda di come lo rivolgo a un corpo:
1. Rompere il corpo
2. Muovere il corpo
Le forze sono vettori, quello che conta è la RISULTANTE delle forze
Le Forze: effetto dinamico
Stato di quiete: corpo fermo o in moto a velocità costante
Cosa produce una forza? La forza cambia lo
stato di quiete di un corpo
1. Se il corpo è fermo inizia a muoversi con
velocità non zero
2. Se aveva una velocità questa aumenta
La forza induce un cambiamento di velocità
Forza peso: ogni corpo è attratto verso
il centro della terra. Quando lasciamo
cadere un corpo questo accelera
scendendo verso il basso.
Come si misurano le forze
Le forze si misurano con uno strumento detto dinamometro:
Si utilizza la proprietà che una forza deforma un corpo, in questo
caso una molla. La molla ha la proprietà di deformarsi sotto
l’azione di una forza solo sino a che la forza viene applicata.
Finita l’azione della forza torna nella sua posizione iniziale, detta
di riposo. La molla viene considerata un corpo elastico, che si
oppone ai corpi plastici che dopo l’azione di una forza
mantengono permanentemente la deformazione.
Se applichiamo una forza a una molla questa si estende: maggiore
è la forza maggiore è l’estensione.
F ~ D*x
2*F ~ 2*D*x
L’estensione della molla ci dà una misura della forza applicata
Le leggi della dinamica: forze e moti
1. Ogni oggetto rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo
uniforme fino a quando non agisca su esso una forza risultante
diversa da zero F=0 => v=costante
2. L’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza
risultante che agisce su di esso ed inversamente proporzionale alla
sua massa. La direzione dell’accelerazione è la stessa delle forza
r
r
risultante
∑ F = ma
3. Ogniqualvolta un corpo esercita una forza su un secondo corpo, il
secondo esercita sul primo una forza uguale in direzione opposta
€
Definizione inerziale della massa: quanto è facile accelerare un corpo
L’unità di misura della forza è il Newton 1 N = 1 Kg * 1 m/s2
che dà a un corpo di massa 1 kg un’accelerazione di 1 m/s2
Legge di Newton
Da cosa ha origine la forza peso? Dall’attrazione tra masse
Legge di Newton
m1m2
MT
F = G 2 = G 2 m = mg
r
RT
mg=F=ma => per II legge dinamica => a=g=9.8m/s2
Ogni corpo subisce un’accelerazione verso il basso uguale a 9.8 m/s2
€
L’accelerazione è indipendente dalla massa
i corpo arrivano a terra insieme
Attrito!!!
Peso e massa
Sulla luna la forza peso è diversa che sulla terra (1/6)!
Nello spazio la forza peso è nulla, non c’è attrazione, g=0!
P = F = mg˜
Quando ci pesiamo sulla bilancia cosa stiamo misurando?
Se usiamo un apparecchio che misura forze
allora stiamo misurando il peso, altrimenti la
massa. La massa oltre che una definizione
inerziale m=F/a ha anche la definizione di
quantità di materia che compone un corpo
€
P = mg = 70Kg ⋅ 9.8m /s2 ≈ 700N
€
Dire che il nostro peso è 70 Kg è improprio
Il Kg è l’unità di misura della massa…
r
r
∑ F = ma
Tipi di forze
Risultante delle forze:
somma vettoriale di tutte le forze agenti
Condizione di equilibrio: Se la somma di tutte le forze è nulla il
corpo è in quiete
FG= Forza peso
+
FN= Forza vincolare
Forza di reazione che agisce sul tavolo
Forze di attrito: quando c’è
movimento. La forza di attrito è
proporzionale alla forza normale e si
oppone al moto.
I corpi in quiete nel mondo reale
NON hanno v=costante
Moto circolare uniforme
Il modulo della velocità è costante
l’accelerazione è nulla?
NO. Dove è diretta?
Verso il centro:
Forza centripeta
a=v2/r
Forze apparenti:
forza di accelerazione
di una vettura sul
passeggero o forza
centrifuga
Siamo in riferimento
non inerziale
Esempi
Quale è la figura giusta
per un disco da hockey che
scivola sul ghiaccio senza attrito?
Conviene spingere o tirare
una slitta?
Esercizi
Ho una massa da 5 Kg a cui applico una forza di 150 N. Trovare
l’accelerazione.
Se ho una massa di 50 Kg, quale è la mia forza peso? E se mi
trovassi sulla luna cosa otterrei?
Trovare l’accelerazione centrifuga di un rotore con raggio 1 m e
frequenza di rotazione di 30 giri al minuto. Confrontare con g.
490 N; 81,67 N; 9.8 m/s2; uguale
Lezione
Lavoro
Definiamo il lavoro fatto da una forza rcome
r il prodotto scalare
della forza per lo spostamento L = F ⋅ d = Fd cos θ
Una forza compie lavoro quando il punto di applicazione della forza si sposta
€
È la componente della forza
lungo lo spostamento quella
che conta!
L=F d cos θ= Fd d
Nel caso in cui si trasporta qualcosa il
lavoro fatto risulta nullo perché la
forza applicata è perpendicolare allo
spostamento, θ=90o => cos90o=0
Esempio
Quando si trasporta qualcosa ad un’altezza h si
deve compiere lavoro contro la forza di gravità:
L=F d cos θ
Ma dcosθ=h
Non importa il percorso che
facciamo ma solo il dislivello!
L=Fh=mgh
θ1=π/3
θ2=π/6
m=15 Kg
h=10 m
θ1=π/3
d1=20 m h=20*cos(π/3) m = 10 m
θ2=π/6
d2=11.55 m h=11.55*cos(π/6) m = 10 m
FE=mg=15*9.8 N = 147 N
L=147N*10 m=1.47 103J
La Risultante delle Forze
Forze = vettori
modulo
direzione
verso
Con le due forze in figura,
quanto vale la componente
lungo y della forza totale?
Lungo quale direzione si
sposta il motoscafo, se
questo non ha alcun
vincolo? Quale è il lavoro
fatto dalla forza totale su un
percorso di 10 m parallelo al
canale?
E dalle singole persone?
Come bisogna modificare le
forze perché il motoscafo si
sposti solo lungo X?
In questo caso quanto vale il
lavoro fatto dalle due
persone?
Energia
Energia di un corpo: capacità di un corpo a compiere lavoro
Esistono varie forme di energia:
1. Energia cinetica
2. Energia potenziale
3. Energia interna
4. Calore
L’energia si misura in Joule, definita come l’energia che si fornisce
a un corpo applicando una forza di 1 N per 1 metro
L=[Joule]=[L2][M]/[T2]=1N 1m
Principio di conservazione dell’energia:
L’energia si può trasformare da una forma all’altra ma l’energia
totale di un sistema si conserva
Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui
l’energia non si sia conservata
Energia cinetica
Quando applichiamo una forza a un corpo questo accelera e
acquista velocità
L = F ⋅ s = ma ⋅ s = m
2
v
s
Δt
v Δt
2
v
Δt
Δt
s=a
=
=
2
Δt 2
2
1 2
L = mv = Energia _ cinetica
2
Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo
Energia potenziale
Se siamo in un campo di forze, come ad esempio il campo
gravitazionale terrestre, possiamo definire l’energia potenziale
come l’energia che forniamo a un corpo per sollevarlo a
un’altezza h contro le forze del campo (gravità)
Il lavoro fatto NON si è
trasformato in energia
cinetica del corpo
U=Energia potenziale
Solo quando lasciamo il
corpo libero di cadere questo
acquista velocità e quindi
energia cinetica
Conservazione energia meccanica
L’energia potenziale è definita come il lavoro fatto contro le
forze del campo per sollevare un corpo a un’altezza h
L’energia potenziale dipende solo dall’altezza h a cui portiamo il corpo
La somma di energia potenziale e cinetica si conserva
ΔU+ΔK=costante
Esercizio Torre
h=70 m
m= 1 kg
a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s
vfinale=?
Eq. oraria moto unif. accelerato
s(t)=1/2 a t2
s(tfinale)=1/2 g t2finale= h=70 m
t finale=
2h
140
s=
s = 3.78s
g
9.8
v(3.78)= a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s
€
K=Ek=0.5 m v2=0.5 * 1 Kg * 37.042 m2/s2= 686 J
Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo?
Energia potenziale=mgh=1Kg*9.8 m/s2*70 m=686 J
Esercizio Saltatore con l’asta
h=6 m (record mondiale di salto con l’asta)
m=70 Kg
Determinare la velocità di arrivo alla battuta
U=mgh=70 Kg*9.8 m/s2*6 m = 4116 J
Principio di conservazione dell’energia
K= U = 4116 J=0.5 m v2 =>
4116 × 2
v=
m /s v=10.8 m/s=39 km/h
70
Cosa succede se
considero
un atleta di 50 Kg?
velocità più grande o
piccola?
La stessa!
mgh × 2
v=
= 2gh
m
Potenza
Potenza= velocità con cui viene fornita/consumata energia
Watt=E/Δt=1J/1s
Un atleta di 60 Kg sale una
rampo di scale alta 4.5 m in 4.0 s
Quanto è il lavoro e la potenza
L=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J
W=L/Δt=2646 J / 4 s = 661.5 W
Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per 1 metro in 1 secondo
1 cavallo-vapore=mgh/s=75*9.8 Js=735 W
In Inghilterra 746 W!
