INDICE
PARTE PRIMA
Introduzione
1
PRELIMINARI
3
OG. Osservatori e grandezze
Scalari
Vettori
Operatori lineari
4
4
5
6
VA. Vettori applicati
Momento polare di un vettore applicato
Momento assiale di un vettore applicato
Sistemi di vettori applicati
Legge di distribuzione dei momenti
Invarianza del momento rispetto al polo
Coppia
Sistemi a momento nullo rispetto a un polo
Teorema di Varignon
Momento assiale di un sistema di vettori
Trinomio invariante
Asse centrale di un sistema di vettori applicati
Operazioni elementari
Sistemi riducibili
Teoremi di riducibilità
8
9
12
15
16
17
18
21
21
22
23
24
34
35
36
462
Sistemi a invariante nullo
Centro dei vettori paralleli
41
45
Cinematica
57
CP. Cinematica del punto
Cinematica lungo una traiettoria assegnata
Cinematica vettoriale
Moti piani in coordinate polari
Velocità areale
Moti centrali
Formula di Binet
Moti celesti
58
60
64
71
76
77
81
83
CR. Cinematica del corpo rigido
Corpo rigido e condizione di rigidità
Retta solidale e velocità di scorrimento
Riferimento solidale
Velocità angolare e formule di Poisson
Legge di distribuzione delle velocità
Derivata di un vettore solidale
Moto rigido
Classificazione dei moti rigidi
Accelerazione in un moto rigido
Legge di distribuzione degli spostamenti
Angoli di Eulero
Punti di vista lagrangiano ed Euleriano
Atto di moto
Teorema di Mozzi
86
86
88
92
95
101
103
104
104
118
121
122
126
128
130
MR. Cinematica relativa
Teorema di derivazione relativa
Teorema di composizione delle velocità
Teorema di composizione delle accelerazioni
135
136
138
141
463
Teorema di composizione delle velocità angolari
Rotolamento di due superfici rigide
144
146
MP. Moti rigidi piani
Centro di istantanea rotazione
Determinazione analitica del centro
Base e rulletta
150
153
155
157
CS. Cinematica dei sistemi
Vincoli
Sistemi olonomi
Spazio delle configurazioni e spazio degli eventi
Vettori velocità in un sistema olonomo
Spostamenti possibili e virtuali
Spostamenti reversibili e irreversibili
164
164
175
178
179
180
181
Geometria delle masse
185
BA. Baricentri
Massa
Densità
Baricentro
Proprietà di ubicazione del baricentro
187
187
188
190
193
MI. Momenti d’inerzia
Teorema di Huygens-Steiner
Matrice d’inerzia
Assi principali d’inerzia
Ellissoide d’inerzia
Ricerca degli assi principali d’inerzia
Figure piane
Traslazione degli assi
Rotazione degli assi
199
201
206
212
213
217
222
223
226
464
Cinematica delle masse
229
CM. Cinematica delle masse
Quantità di moto, momento della quantità di moto
ed energia cinetica
Teorema del moto del baricentro
Moto relativo al baricentro
Primo teorema di König
Secondo teorema di König
Corpo rigido
Sistema olonomo
230
Lavoro e potenziale
253
LP. Lavoro e potenziale
Forza
Lavoro di una forza
Lavoro lungo un cammino finito
Forza conservativa e potenziale
Superfici equipotenziali e linee di forza
Forza peso
Forza centrale
Lavoro di un sistema di forze
Lavoro di un sistema di forze applicate
a un corpo rigido
Lavoro di un sistema di forze applicate
a un sistema olonomo
Sistemi di forze conservativi
Determinazione del potenziale
Forze elastiche
Potenziale di una coppia applicata a un corpo rigido
254
254
255
256
261
265
267
270
272
230
232
233
235
237
238
249
275
278
280
283
288
291
465
Principi della meccanica
293
PM. Principi della meccanica
Attrito
Attrito dinamico
Attrito statico
Vincoli privi di attrito
Principio delle reazioni vincolari
Corpo rigido con un punto fisso
Vincolo di puro rotolamento
Unicità della soluzione
295
298
300
303
306
307
309
310
311
STATICA
315
SP. Statica del punto
Quiete
Equilibrio
Punto vincolato su una superficie priva di attrito
Punto vincolato su una curva priva di attrito
Punto vincolato su una superficie con attrito
Punto vincolato su una curva con attrito
Statica relativa del punto
Potenziale della forza centrifuga
Forza peso
Equilibrio relativo su un piano ruotante con attrito
317
317
317
319
323
325
328
331
334
336
339
LV. Principio dei lavori virtuali
Condizione necessaria
Condizione sufficiente
Condizioni di sicurezza
Equilibrio di un corpo rigido
Lavoro delle forze interne
Corpo rigido con un punto fisso
342
345
347
350
351
351
353
466
Corpo rigido con un asse fisso
Corpo rigido scorrevole su una semiretta fissa
Equilibrio di un sistema olonomo
Sistemi a legami completi
Equilibrio relativo e potenziale della forza centrifuga
Reazioni vincolari
354
357
361
375
377
379
ES. Equazioni cardinali della statica
Sufficienza delle equazioni cardinali per i corpi rigidi
Corpo rigido con un punto fisso
Corpo rigido con un asse fisso
Corpo rigido scorrevole su una semiretta fissa
Equilibrio di sistemi costituiti da più corpi rigidi
Corpo rigido appoggiato a un piano orizzontale liscio
Insieme discreto di punti di appoggio
Insieme continuo di punti di appoggio
Equilibrio di un tavolo
Equilibrio della scala
381
386
390
392
396
400
401
402
413
416
418
TF. Statica delle travi e dei fili
Equilibrio delle travi
Classificazione delle forze
Equazioni delle travi in forma integrale
Condizioni al contorno
Trave incastrata a un estremo
Trave appoggiata agli estremi
Equazioni delle travi in forma differenziale
Equilibrio dei fili
Equazioni intrinseche dei fili
Filo fortemente teso su una superficie
Equazioni cartesiane dei fili
Fili soggetti a forze parallele
Curva dei ponti sospesi
Catenaria
420
420
421
424
428
430
434
437
438
441
443
449
450
453
455
467
PARTE SECONDA
DINAMICA
1
DP. Dinamica del punto
Integrale generale e integrali particolari del moto
Integrali primi del moto
Teorema dell’energia cinetica
Integrale primo dell’energia
Integrale primo delle aree
Dinamica del punto materiale libero
Moto di un grave
Moto di un punto in presenza di resistenza del mezzo
Moto di un punto soggetto a forza elastica
Moto di un punto soggetto a forza elastica e
resistenza viscosa
Oscillazioni forzate e risonanza
Dinamica del punto materiale vincolato
Moto di un punto su una superficie priva di attrito
Moto di un punto su una curva priva di attrito
Moto di un punto su una curva qualunque
Pendolo semplice
2
2
4
5
7
8
10
10
15
20
DR. Dinamica relativa
Teorema dell’energia cinetica
Problema dei due corpi
Integrazione della traiettoria
Legge oraria del moto
Velocità di fuga
Deviazione dei gravi verso oriente
55
57
59
64
72
73
74
ED. Equazioni cardinali della dinamica
Dinamica dei sistemi
80
80
26
33
37
37
43
44
49
468
Integrale generale e integrali particolari del moto
Integrali primi del moto
Teorema dell’energia cinetica
Integrale primo dell’energia
Equazioni cardinali della dinamica
Equazione del moto del baricentro
Dinamica del corpo rigido
Corpo rigido libero
Corpo rigido con un punto fisso: equazioni di Eulero
Corpo rigido con un asse fisso
Equilibratura dinamica
Principio dell’effetto giroscopico
Giroscopio pesante
Moti alla Poinsot
81
82
82
83
84
88
90
90
93
97
105
107
113
118
EL. Equazioni di Lagrange
Disuguaglianza variazionale della dinamica
Principio di D’Alembert
Equazioni di Lagrange
Sistemi conservativi: lagrangiana
Potenziali generalizzati
Forze giroscopiche
Forze dissipative
Integrale generale e integrali particolari del moto
Integrale primo del moto
Coordinate cicliche o ignorabili
127
128
129
131
137
138
140
141
143
144
144
EH. Equazioni di Hamilton
Formulazione del primo ordine delle equazioni
del moto
Trasformate di Legendre
Equazioni di Hamilton
Integrale generale e integrali particolari del moto
Integrale primo del moto
150
151
153
155
157
157
469
Coordinate cicliche o ignorabili
Parentesi di Poisson e integrali primi del moto
Hamiltoniana
Formulazione mista: funzione di Routh
158
158
160
163
5SO. Stabilità e piccole oscillazioni
Criterio di stabilità di Ljapunov
Stabilità asintotica
Stabilità dell’equilibrio
Stabilità dell’equilibrio di un sistema meccanico
Teorema di Ljapunov
Teorema di Dirichlet
Studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio
Piccole oscillazioni
Lagrangiana approssimata
Equazioni linearizzate
Frequenze proprie di oscillazione
Coordinate normali
165
165
166
166
167
169
173
174
176
177
179
180
183
AQ. Analisi qualitativa del moto
Sistemi non autonomi e sistemi autonomi
Spazio delle fasi
Sistemi a un grado di libertà: piano delle fasi
Velocità di fase
Punti fissi e punti di equilibrio
Sistemi autonomi: equazione delle curve integrali
Sistemi conservativi: curve di livello dell’energia
Curve di livello degli integrali primi
Andamento di V(x) e curve di livello dell’energia
Diagramma di fase del pendolo semplice
Sistemi autonomi non conservativi
Linearizzazione nell’intorno di un punto singolare
185
185
187
189
191
192
193
197
202
204
222
225
228
470
Classificazione dei punti singolari
Nodi
Punti di sella
Nodi degeneri
Fuochi
Quadro riassuntivo
Pendolo in presenza di resistenza del mezzo
Soluzioni periodiche e cicli limite
231
234
237
238
245
250
251
256
MECCANICA DEI CONTINUI
263
MC. Meccanica dei continui deformabili
Cinematica
Punto di vista lagrangiano
Punto di vista euleriano
Deformazione
Coefficiente di dilatazione lineare
Deformazione angolare
Coefficiente di dilatazione superficiale
Coefficiente di dilatazione cubica
Problema inverso
Statica
Forze esterne
Forze interne
Formula di Cauchy
Principio di Pascal
Condizioni al contorno
Principio di indifferenza materiale
Condizioni di equilibrio di un continuo
Spostamenti rigidi
Dinamica
Equazioni di bilancio
Bilancio della massa
Teorema del trasporto
264
264
265
266
267
272
274
277
279
280
282
282
284
285
289
291
294
394
298
301
302
303
307
471
Bilancio della quantità di moto
Bilancio del momento della quantità di moto
Bilancio dell’energia
Equazioni costitutive
Fluidi
Fluidi incomprimibili
Fluido ideale pesante in quiete
Teorema delle tre quote
Lavoro delle forze interne
309
309
312
314
316
316
317
319
321
COMPLEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
326
PV. Principi variazionali
Introduzione al calcolo delle variazioni
Funzionale continuo
Massimi e minimi relativi di un funzionale
Variazione di un funzionale
Condizione necessaria di massimo e minimo
Equazioni di Eulero
Principio di Hamilton
Prima formulazione
Seconda formulazione
Principio di Maupertuis
Principio di Hamilton per le teorie di campo
Prima formulazione
Seconda formulazione
Leggi di conservazione
Teorema di Noether
327
327
331
333
334
334
335
344
344
345
346
350
350
325
354
355
TC. Trasformazioni canoniche
Funzione generatrice
Invarianti canonici
Condizioni di canonicità - Parentesi di Poisson
Parentesi di Lagrange e invarianti integrali di Poincaré
359
359
366
366
370
472
Trasformazioni infinitesime di contatto
Teorema di Liouville
Teoria di Hamilton-Jacobi
Funzione principale di Hamilton
Equazione di Hamilton-Jacobi
Funzione caratteristica di Hamilton
Coordinate cicliche
Separazione delle variabili
371
378
379
379
379
384
385
386
APPENDICI
403
AL. Algebra vettoriale e matriciale
Vettori
Rappresentazioni di un vettore
Operatori lineari e matrici
Rappresentazioni di un operatore lineare
Prodotto tensoriale
Determinante
Operatori di proiezione
Teoremi di Laplace e matrice inversa
Operatori simmetrici
Operatori antisimmetrici
Traccia di un operatore
Operatori unitari o ortogonali e operatori di rotazione
Trasformazione di similitudine
Inversione spaziale
Problema agli autovalori
Diagonalizzazione di una matrice simmetrica
Operatori definiti di segno
Rappresentazione polare di un operatore
404
404
414
423
424
428
430
435
438
447
448
453
455
462
465
469
417
480
490
CU. Proprietà differenziali delle curve
Triedro di Frenet
Torsione e formule di Frenet
494
497
502
473
NA. Operatore nabla
Gradiente
Divergenza
Rotore
Laplaciano
Formule
Campo irrotazionale
Campo solenoidale
Rappresentazione di un campo vettoriale qualunque
505
505
506
507
508
508
509
509
510
