Circuiti del primo ordine

Circuiti del primo ordine
Un circuito del primo ordine è caratterizzato da
un’equazione differenziale del primo ordine
I circuiti del primo ordine sono di due tipi:
RL o RC
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Circuiti del primo ordine, pag. 1
Circuiti del primo ordine
L’eccitazione può essere di due tipi
• autonoma: il circuito non comprende
generatori indipendenti ed evolve nel
tempo grazie all’energia immagazzinata
nel condensatore (RC) o nell’induttore (RL)
• forzata: il circuito comprende generatori
indipendenti che ne determinano il
comportamento nel tempo
Teoria dei Circuiti
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Circuiti del primo ordine, pag. 2
Circuito RC autonomo
Ipotesi:
iC
C
+
v
iR
v(0) = V0
R
1
2
w(0) = C ⋅ V0
2
–
v(t) = ? (per t > 0)
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Circuiti del primo ordine, pag. 3
Circuito RC autonomo
iC + iR = 0
dv v
C⋅ + =0
dt R
dv
v
+
=0
dt RC
iC
+
v
–
C
v(t ) = Ae
− t / RC
v(t ) = V0 e
Teoria dei Circuiti
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iR
R
v(0) = V0
− t / RC
Circuiti del primo ordine, pag. 4
Circuito RC autonomo: risposta naturale
La risposta naturale rappresenta il comportamento intrinseco di un circuito, senza l’intervento
di sorgenti esterne di eccitazione
v
v(t ) = V0 e
−t /τ
τ = RC
costante di tempo
Teoria dei Circuiti
V0
V0e -1 ≈
V0
3
0
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τ
t
Circuiti del primo ordine, pag. 5
Circuito RC autonomo: costante di tempo
v(t ) = V0 e
τ = RC
−t /τ
costante di tempo
v
= e −t / τ
V0
1
τ =2
τ =1
t
e–t/τ
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
0.36788
0.13534
0.04979
0.01832
0.00674
τ = 0.5
0
Teoria dei Circuiti
1
2
Prof. Luca Perregrini
3
4
t
Circuiti del primo ordine, pag. 6
Circuito RC autonomo: potenza ed energia
v(t ) = V0 e −t /τ
iR (t ) =
v(t ) V0 −t /τ
= e
R
R
Potenza dissipata nel resistore:
V02 − 2t /τ
p(t ) = v ⋅ iR =
e
R
iC
C
+
v
–
iR
R
Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:
wR (t ) = ∫
t
0
V02 − 2t /τ
1
p ⋅ dt = ∫
e
⋅ dt = C ⋅V02 (1-e − 2t /τ )
0 R
2
t
1
wR (∞) = C ⋅ V02 = w(0)
2
Teoria dei Circuiti
Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> τ) il
resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzinata nel condensatore all’istante iniziale (t = 0)
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Circuiti del primo ordine, pag. 7
Circuito RC autonomo: riassunto
Il calcolo della risposta naturale di un circuito RC
autonomo richiede:
• la conoscenza o il calcolo della tensione sul
condensatore all’istante iniziale (V0)
• il calcolo della resistenza equivalente R posta
in parallelo al condensatore per la
determinazione della costante di tempo τ = RC
v(t ) = V0 e
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−t /τ
Circuiti del primo ordine, pag. 8
Circuito RL autonomo
Ipotesi:
i
L
–
vL
+
i (0) = I 0
+
vR
R
–
1
2
w(0) = L ⋅ I 0
2
i(t) = ? (per t > 0)
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Circuiti del primo ordine, pag. 9
Circuito RL autonomo
i
vL + vR = 0
di
L ⋅ + R ⋅i = 0
dt
di R
+ i=0
dt L
L
–
+
vL vR
–
+
i (t ) = Ae
− Rt / L
i (t ) = I 0 e
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R
i (0) = I 0
− Rt / L
Circuiti del primo ordine, pag. 10
Circuito RL autonomo: risposta naturale
La risposta naturale rappresenta il comportamento intrinseco di un circuito, senza l’intervento
di sorgenti esterne di eccitazione
i
i (t ) = I 0 e
− t /τ
τ = L/R
costante di tempo
Teoria dei Circuiti
I0
I 0 e -1 ≈
I0
3
0
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τ
t
Circuiti del primo ordine, pag. 11
Circuito RL autonomo: potenza ed energia
i (t ) = I 0 e −t /τ
i
vR (t ) = R ⋅ i = R ⋅ I 0 e −t /τ
Potenza dissipata nel resistore:
p (t ) = vR ⋅ i = R ⋅ I 02 e −2t /τ
L
–
+
vL vR
–
+
R
Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:
wR (t ) = ∫ p ⋅ dt = ∫ R ⋅ I e
1
⋅ dt = L ⋅ I 02 (1-e − 2t /τ )
2
1
wR (∞) = L ⋅ I 02 = w(0)
2
Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> τ) il
resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzinata nell’induttore all’istante iniziale (t = 0)
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t
t
0
0
2 − 2t /τ
0
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Circuiti del primo ordine, pag. 12
Circuito RL autonomo: riassunto
Il calcolo della risposta naturale di un circuito RL
autonomo richiede:
• la conoscenza o il calcolo della corrente
sull’induttore all’istante iniziale (I0)
• il calcolo della resistenza equivalente R posta
in parallelo all’induttore per la determinazione
della costante di tempo τ = L/R
i (t ) = I 0 e
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− t /τ
Circuiti del primo ordine, pag. 13
La “funzione gradino unitario”
La funzione a gradino unitario è una funzione
discontinua.
Essa viene utilizzata per rappresentare
variazioni molto rapide di tensione o corrente
u
0 t < 0
u (t ) = 
1 t > 0
1
0
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t
Circuiti del primo ordine, pag. 14
La “funzione gradino unitario”
u
0 t < t0
u (t − t0 ) = 
1 t > t0
1
0
0
V (t ) = 
V0
Teoria dei Circuiti
t < t0
t0
t
V (t ) = V0 ⋅ u (t − t0 )
t > t0
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Circuiti del primo ordine, pag. 15
La “funzione gradino unitario”
t = t0
V0
a
a
+
–
V0 ⋅ u (t − t0 )
t = t0
b
b
a
a
I 0 ⋅ u (t − t0 )
I0
b
Teoria dei Circuiti
+
–
b
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Circuiti del primo ordine, pag. 16
Risposta al gradino di un circuito RC
R
VS +
–
t =0
R
+
C
VS ⋅ u (t )
v
–
+
–
+
C
v
–
Ipotesi:
−
v(0 ) = V0
v(t) = ?
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Circuiti del primo ordine, pag. 17
Risposta al gradino di un circuito RC: t ≤ 0
R
VS ⋅ u (t )
+
–
+
C
v
–
v non può cambiare istantaneamente:
+
−
v(0 ) = v(0 ) = V0
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Circuiti del primo ordine, pag. 18
Risposta al gradino di un circuito RC: t > 0
dv v − VS
=0
C⋅ +
dt
R
dv v − VS
+
=0
RC
dt
d (v − VS ) v − VS
+
=0
RC
dt
R
VS
+
–
v(t ) − VS = Ae
v(t ) = VS + (V0 − VS ) e
Teoria dei Circuiti
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− t /τ
+
C
v
–
− t / RC
+
v(0 ) = V0
τ = RC
Circuiti del primo ordine, pag. 19
Circuito RC: risposta completa
La risposta completa rappresenta il comportamento
di un circuito alla applicazione improvvisa di un
generatore, supponendo il condensatore già carico
v
V0
v(t ) = 
−t / τ
+
−
V
(
V
V
)
e
0
S
 S
t<0
t >0
VS
V0
τ = RC
costante di tempo
0
Teoria dei Circuiti
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τ
t
Circuiti del primo ordine, pag. 20
Circuito RC: risposta completa
risposta naturale
risposta forzata
+
o transitorio
o regime
v
v(∞)
v(t0)
0
t0
t0+τ
v(t ) = v(∞) + [v(t0 ) − v(∞)] e − ( t −t0 ) /τ
Teoria dei Circuiti
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t
t > t0
Circuiti del primo ordine, pag. 21
Circuito RC: riassunto
Il calcolo della risposta completa di un circuito
RC richiede:
• la conoscenza o il calcolo della tensione sul
condensatore all’istante iniziale (v(t0))
• il calcolo della tensione a regime sul
condensatore (v(∞))
• il calcolo della resistenza equivalente R posta
in parallelo al condensatore per la
determinazione della costante di tempo τ = RC
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Circuiti del primo ordine, pag. 22
Risposta completa di circuiti del I ordine
La risposta completa di un circuito del primo ordine è
sempre del tipo:
 x(t0− )
x(t ) = 
− ( t −t0 ) / τ
+
x
(
∞
)
+
[
x
(
t
)
−
x
(
∞
)
]
e
0

t < t0
t > t0
dove x rappresenta indifferentemente la tensione o la
corrente sul condensatore o sull’induttanza e t0 è l’istante
in cui commuta l’interruttore. Si richiede il calcolo di:
• valori iniziali x(t0–) e x(t0+);
• valore a regime x(∞);
• costante di tempo τ = RC oppure τ = L/R
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Circuiti del primo ordine, pag. 23
Risposta al gradino di un circuito RL
R
t = t0
R
i
i
VS +
–
VS ⋅ u (t − t0 ) +
L
–
L
Ipotesi:
−
0
i (t ) = I 0
i(t) = ?
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Circuiti del primo ordine, pag. 24
Risposta al gradino di un circuito RL
R
VS +
–
• valori iniziali:
• valore a regime:
• costante di tempo:
Teoria dei Circuiti
i
t = t0
L
i (t0+ ) = i (t0− ) = I 0
VS
i (∞) =
R
L
τ=
R
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Circuiti del primo ordine, pag. 25
Circuito RL: risposta completa
I 0

VS  −( t −t0 ) /τ
i (t ) = VS 
+  I0 −  e
 R 
R
t < t0
τ = L/R
t > t0
costante di tempo
i
I0
VS
R
0
Teoria dei Circuiti
t0
t0+τ
Prof. Luca Perregrini
t
Circuiti del primo ordine, pag. 26