Conservazione dell’energia meccanica
Problema
Una massa di m=40Kg cade dall’altezza di h=2m rispetto al parte
superiore di una molla di costante elastica k=3750N/m adagiata su un
piano orizzontale e disposta verticalmente (per ammortizzare la caduta
della massa). Risolvere i seguenti quesiti.
1.1
Determinare il modulo della velocità della massa nell’istante in
cui tocca la molla.
1.2
Determinare la massima compressione della molla (cioè la
misura della compressione della molla quando la massa avrà
finito la sua corsa).
Soluzione
1.1
La massa m, cadendo liberamente dall’altezza h giungerà al contatto con la molla dotata
di energia cinetica pari al lavoro compiuto dalla forza peso durante la caduta:
1
Ec = mV 2 = mgh V = 2 gh
2
Sostituendo i valori noti alle grandezze si ha
m
m
V = 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 2m 6, 26
s
s
1.2
Indichiamo con ∆x la misura della compressione della molla da calcolare. Risolviamo il
problema applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica giacché le
forze che intervengono nel fenomeno, la forza elastica della molla e la forza
gravitazionale, sono conservative. Durante la compressione l’energia meccanica
complessiva si conserva.
Assumiamo come livello zero per l’energia potenziale gravitazionale quella del piano α
parallelo al piano orizzontale passante per l’estremità superiore della molla quando si
sarà compressa al massimo.
Osserviamo che nell’istante in cui la massa m tocca la molla l’energia meccanica del
1
sistema massa+molla è data dalla somma dell’energia cinetica della massa mV 2 con
2
l’energia potenziale gravitazionale della stessa massa (riferita al piano α) che vale
mg∆x. Nell’istante in cui la molla sarà compressa al massimo l’energia meccanica del
sistema massa+molla sarà solo l’energia elastica immagazzinata dalla molla:
1
2
U elast . = k ( ∆x )
2
Per il principio di conservazione dell’energia, non essendoci forze dissipative durante il
fenomeno, sussiste l’uguaglianza
1
1
2
mV 2 + mg ∆x = k ( ∆x )
2
2
Risolvendo l’equazione ottenuta nell’incognita ∆x si trova il valore richiesto.
2
k ( ∆x ) − 2mg ∆x − mV 2 = 0
40 ⋅ 9,81 + 40 2 ⋅ ( 9,81) + 3750 ⋅ 40 ⋅ ( 6, 26 )
mg + m 2 g 2 + kmV 2
∆x =
=
m
k
3750
2
2
0, 55m
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
